Laborjegyzıkönyv javítási tájékoztató Kiegészítések a leggyakoribb hibák értelmezéséhez
Miért készült ez a tájékoztató? Azért, mert néhányan szórást és átlagot számítottak a sóoldatok összetétel sőrőség mérési gyakorlatán, holott Lineáris regressziós számítást kértünk
A sóoldatok összetételérıl A sóoldatok összetétele és sőrősége közt közel lineáris a kapcsolat A só és víz eltérı ionos szerkezető anyagok, eltérı térfogatot foglalnak el A disszociáció fok kis mértékben, de változik Hallgatóink gyakorlatával és egyszerő eszközeinkkel a linearitástól való eltérés nem mutatható ki
A sóoldatok összetételérıl az ionos oldat szerkezete
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A sóoldatok összetételérıl A személy három oldatot készít: 0,10 0,15 0,0 az átlag persze 0,15 lesz
A sóoldatok összetételérıl B személy három oldatot készít: 0,15 0,0 0,5 az átlag persze 0,0 lesz a szórás ugyanakkora, mint az A esetben
A sóoldatok összetételérıl C személy három oldatot készít: 0,05 0,15 0,5 az átlag ismét 0,15 lesz a szórás jóval nagyobb, mint az A és B esetben
A sóoldatok összetételérıl oldat A személy B személy C személy x1 0,10 0,15 0,05 x 0,15 0,0 0,15 x3 0,0 0,5 0,5 átlag 0,15 0,0 0,15 szórás 0,05 0,05 0,10
A sóoldatok összetételérıl Mi történt? A kísérletet végzı személy saját döntésének eredménye az átlag és a szórás Ez az átlag és szórás semmiféle információt nem nyújt a mérés hibáiról és a mérési bizonytalanságról
A sóoldatok összetételérıl Mi a teendı? A mérési eredményeknek nem az átlagtól való eltérését számítjuk ki, hanem a lineáris regressziós egyenestıl való eltérését (hasonlóképpen, de nem ugyanúgy: az eltérések négyzetes összegébıl képezünk statisztikai jellemzıt)
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 eltérés az eloszlás súlypontjától 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 eltérés a regressziós egyenestıl 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 eltérés az eloszlás súlypontjától 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 eltérés a regressziós egyenestıl 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A lineáris regressziótól való eltérés nagysága Képezzük a regressziós egyenestıl való eltérések szórását. Választhatunk akkora szélességő sávot, amelybe 95% valószínőséggel valamennyi mérési eredmény belefér (ez a szórás háromszorosa, szakszerően: a kiterjesztési tényezı értéke 3)
mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y = 0,0358x + 1003,3 1300 150 100 1150 1100 1050 1000 950 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 amount of substance concentration, mol/m3
A számítás menete Számítjuk a lineáris regressziót A független változó valamennyi x i értékéhez kiszámítjuk a lineáris regresszióból kapott y Ri érték és a valóságosan mért y i függı változó különbségének négyzetét Itt az átlag helyére mindig más és más számérték kerül s y = n i= 1 ( y y ) Ri n 1 i
A lineáris regressziótól való eltérés nagysága Ezt a számítást az elsı félévben nem kérjük. De a hibák elkerülése érdekében tudnunk kell róla Hasonló kiértékelési mőveletet végzünk: a Bernoulli-kísérletnél a refraktométeres kísérletnél
Miért készült ez a tájékoztató? Mert néhány hallgató többször is alkalmazta a hibaterjedés képletét pedig a burgonya sőrőségére egyetlen becslést kerestünk, és ennek mérési bizonytalanságára egyetlen becslést
A burgonya sőrősége A burgonya természetesen rendelkezik inhomogenitással. De mérésünknek nem ez volt a célja. Célul tőztük ki, hogy megtanuljuk, hogyan lehet megmérni a sőrőségét bármely szilárd halmazállapotú testnek > többször megismételt méréssel > hogy ezáltal megbízhatóbb becslést kapjunk
Hogyan mutattuk be a hibaterjedés számítását? Hallgatóink nem ismerik a parciális deriváltat, nem ismerik a szorzat és hányados deriválási szabályait, ezért grafikus módszerrel vezettük be a számítást a levezetésnek meg kellett mutatnia, hogy a számítás a változók értékkészletében mindenhol igaz
Hogyan mutattuk be a hibaterjedés számítását? A következı ábrán bemutatjuk, hogy egy sőrőség-értéket egy térfogat-értékbıl számítunk ki Ezt az összefüggést úgy jelöltük, hogy színes vonallal egészítettük ki az eredeti ábrát
A sőrőség a térfogat függvényében 6 5 sőrőség hibája Sőrőség, g/cm3 4 3 1 0 a térfogat és hibája 0 1 V-σ V V+σ 3 4 V-σ V V+σ 5 6 7 térfogat, cm3
A kiértékelés módja A grafikus módszer azt is megmutatta, hogy az a V=0 helyen nem érvényes, de mindenhol máshol igen Nekünk a V=átlag helyen volt szükségünk a számítás eredményére ρ = 1 V m + m V 1 V
A kiértékelés módja ρ = 1 m V 1 + m V V kiemeljük a gyökjel alól a térfogatot: 1 ρ = V m + m V 1 V kiemeljük a gyökjel alól a tömeget: ρ = m V m m 1 + V V összevonjuk a törteket: ρ = m V ρ = ρ m m m m + + V V V V beírjuk a sőrőség értékét: íme, a két képlet azonos N.B. a térfogat és a tömeg konstansa az egyenletnek, hiszen az átlagot tartalmazza
A kiértékelés módja ρ = 1 V m 1 + m V V képlet a parciális deriváltakból ρ = ρ m m + V V az egyszerősített képlet ρ = ρ m m + V V a relatív szórások négyzete van a gyökjel alatt. Ezek egymáshoz viszonyított aránya megmondja, melyikük növeli jobban az eredmény mérési bizonytalanságát
A kiértékelés módja V és m az átlagot jelentik V és m a szórást jelentik A képlet ezért más formában is írható: 1 1 V m ρ σ V m + σ V = σ
A kiértékelés módja
A kiértékelés módja A térfogat és a tömeg adatokból a sőrőség átlagát bármilyen módon számíthatjuk, mert ezek a mőveletek lineárisak A hibaterjedési számításban a Pithagorasz tételhez hasonló számítást végzünk, tetszılegesen sok dimenziós értelmezésben: minden szórás négyzetgyökösen befolyásolja az eredmény szórását (esetünkben kettı)
Még egy megjegyzés n ( x ) x x x i i i= 1 i= 1 n mert sajnos néhányan az x i értékek összegét írták oda, és azt négyzetre emelték