KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú, ha a súlya.95 kg és.5 kg közé sik. Mi a valószínûség, hogy két véltlnül kiválasztott zacskó közül lgalább az gyik lsõ osztályú?. Egy dobozban alkatrész van, amlyk közül 9 sljts. 7 lmû mintát vszünk visszatvéssl. Mi a valószínûség, hogy a mintában lgfljbb sljts alkatrész van?. Hány jgyû szám készíthtõ darab gys, darab ktts és darab hármas számjgybõl?. Lgyn E (î)., D (î).7. Adjon alsó bcslést a P (.66 < î <.9) valószínûségr. 5. Egy munkadarab hossza közlítõlg normális loszlású valószínûségi változó, mlynk várható érték 7 és szórása.. Mnnyi a valószínûség, hogy a munkadarab hossza kisbb, mint 7.? 6. Hányfélképpn rakhatunk b 8 lvlt 5 rkszb, ha a lvlk között nm tszünk különbségt és gy rkszb maximum gy lvlt tszünk? 7. doboz mindgyikébn 55 golyó van, amlyk közül rndr 5, 6, 7,, 55 fhér. Találomra választunk gy dobozt, majd abból véltlnül kihúzunk gy golyót. Mi a valószínûség, hogy fhér golyót húzunk? 8. Annak valószínûség, hogy gy bnzinkútnál 6 prcnél többt kll várakozni a tapasztalatok szrint.. A várakozási idõt xponnciális loszlásúnak fltétlzv, mi annak a valószínûség, hogy 6 prcnél kvsbbt kll várakozni? 9. Egy rjtvénypályázaton három díjat sorsolnak ki a hlys mgfjtést bküldõk között (gy mgfjtõ lgfljbb gy díjat kaphat). 7 jó mgfjtés érkztt b összsn, zk közül Miskolcról. Mi a valószínûség, hogy lsz miskolci nyrts?. A (î, ç) valószínûségi változóról tudjuk, hogy î 9, ç )., î 9, ç 75).7 és î, ç ).. Ismrt, hogy î csak a 9 és, míg ç csak a és 75 értékkt vhti fl. Számítsa ki az çî ) fltétls várható értékt!. Egy hallgató nnk a fladatnak a mgoldásával átlagosan 9 prc alatt végz. A fladatra fordított idõ xponnciális loszlású valószínûségi változó. Mi annak a valószínûség, hogy gy véltlnül kiválasztott hallgató 8 prcn blül oldja mg a fladatot?. A és függtln sményk,.87, és.6. Határozza mg AA+ ért ékét!. Lgalább hány lmû mintát kll vnnünk, ha visszatvéss mintavétlnél a sljtarányt. pontossággal (lgfljbb nnyi ltéréssl) és.9 mgbízhatósággal akarjuk bcsülni?. Egy céllövõ találati pontossága. cm várható értékû xponnciális loszlású valószínûségi változó. Lgfljbb hányszor lõht, ha azt akarjuk, hogy még lgalább 79%-os biztonsággal mindn találata a 8. cm sugarú körb ssn? 5. A (î, ç) valószínûségi változóról tudjuk, hogy î 6, ç 7)., î 6, ç 5). és î 5, ç 7).. Ismrt, hogy î csak a 6 és 5, míg ç csak a 7 és 5 értékkt vhti fl. Számítsa ki az D(î+ç) értékt! 6. Egy î gynlts loszlású valószínûségi változóról tudjuk, hogy î) 7. és D(î) 6.. Mi a valószínûség, hogy gymástól függtlnül mgismétlt kísérlt mindgyikébn î. és 6.9 közötti értékt vsz fl? 7. Egy csiga élténk hossza xponnciális loszlású valószínûségi változó.6 év várható értékkl. Mi a valószínûség, hogy kdvnc csigánk élténk harmadik évébn pusztul l? 8. 9 golyót osztunk ki gynként 8 dobozba úgy, hogy bármlyik dobozt gynlõ valószínûséggl választjuk mindn golyó lhlyzéskor. Mnnyi a valószínûség, hogy a harmadik dobozba golyó krül? 9. Lgyn a (î, ç) vktorváltozó sûrûségfüggvény x.5y A, ha x >, y > f ( x, y), gyébként Milyn valószínûséggl sik ç a (.5,.) intrvallumba, ha î.8?. Egy ügyfélszolgálaton az ügyintézés 7 prct vsz igényb. Az gyik nap két ismrõs mgy b az ügyfélszolgálatra gymástól függtlnül 8 és óra között véltlnül választva az idõpontot. M a valószínûség, hogy lsz olyan idõpont, amikor gyszrr vannak bnt?. Az A smény bkövtkzésénk a valószínûség.6. Mnnyi a valószínûség, hogy tíz kísérltbõl lgalább háromszor bkövtkzik? 87
KOD: 777. Tudjuk, hogy., A. és ).9. Mnnyi a valószínûség, hogy az A és lgalább gyik bkövtkzik?. A CHIPCAD microchip gyártó cég tljs trmlés két gépsorról származik. Az I. gépsor adja a trmlés 7 %- át. % sljttl, míg a II. gépsor adja a trmlés 7 %-át. % sljttl. Ha gy véltlnül kiválasztott chip sljts, akkor mi a valószínûség, hogy azt a II. gépsor gyártotta?. Egy î valószínûségi változó sûrûségfüggvény.5x, f ( x) ha < x, gyébként Határozza mg a î > î)) valószínûségt! 5. Az A, és C függtln sményk, amlyr.,.6 és C).5. Határozza mg annak a valószínûségét, hogy pontosan kttõ kövtkzik b közülük! 6. Lgyn a î valószínûségi változó gynlts loszlású a [-6.6, 6.6] intrvallumon. Számítsa ki a î+ <.6) valószínûségt! 7. Egy dobozban alkatrész van, amlyk közül 9 sljts. 7 lmû mintát vszünk visszatvéssl. Mi a valószínûség, hogy a mintában lgfljbb sljts alkatrész van? 8. Az A és játékos flváltva dob kosárra (A kzd). Az A játékos.77, míg.58 valószínûséggl talál a kosárba. A játékot addig folytatják, amíg valamlyik játékos bltalál a kosárba. Mi annak a valószínûség, hogy pont az ötödik dobás után ér végt a játék? 9. A î xponnciális loszlású valószínûségi változó várható érték.. Számítsa ki azt a m értékt, amlytõl jobbra és balra mggyzik az ç î valószínûségi változó sûrûségfüggvény alatti trült!. Egy kisgér folyosó bármlyikén ljuthat gy sajtdarabhoz. Akármlyik folyosón ajtón kll áthaladni. Mi a valószínûség, hogy a kisgér l tud jutni a sajthoz, ha az ajtók gymástól függtlnül.7 valószínûséggl nyílnak ki, és kinyitásuk után nyitva is maradnak (ha van nyitott folyosó, akkor a kisgér mgtalálja a sajtot)? 88
KOD: 777 δ.8. fladat k m A flhasznált képlt: F( k) Φ( ) δ m.5.95.95 < ξ <.5) F (.5) F(.95) Φ Φ.8.8 Φ(.58).966.8 A P P + A ) + A ) A A ) osztályú ).8.8 P (..965 Thát.965 a valószínûség annak, hogy két véltlnül kiválasztott zacskó közül lgalább az gyik lsõ osztályú.. fladat N alkatrész s 9 n 7 lmû minta (visszatvéssl) n k n s ( N s) k A flhasznált képlt: P n k sljts N P (lgfljbb sljts)? 7 7 9 ( 9) P.7 7 Thát.7 a valószínûség annak, hogy a mintában lgfljbb sljts alkatrész van. k. fladat db gys db ktts db hármas Hány db jgyû szám készíthtõ?! Ismétléss prmutáció: n!!! Thát db jgyû szám készíthtõ.. fladat E (. D(.7 P (.66<ξ <.9)? P (.66< ξ <.9).66. < ξ <.9.).79 < ξ <.79) ( ξ. <.79)..79) P ξ az alsóbcsléshz flírom a Csbisv-gynlõtlnségt: 89
KOD: 777 D ( ξ λ) λ.7 ξ..79).79.7 ξ..79).79.66< ξ <.9).97 Thát az alsóbcslés valószínûség:.97 5. fladat δ. m 7 7. ξ < 7.5)? 7.5 m 7.5 7 ξ < 7.5) Φ Φ Φ(.77). 97 δ. Thát.97 annak a valószínûség, hogy a munkadarab hossza kisbb, mint 7.5. 6. fladat A rkszk 5 lmt jlntnk, zkbõl kll 8-at úgy kiválasztani, hogy mindgyik rkszt csak gyszr választjuk ki. Thát az összs lhtségs 5 lm 8-ad osztályú kombinációinak száma. 5 n 65 8 Thát 65 fél képpn rakhatjuk a 8 lvlt a 5 rkszb. 7. fladat Az összs golyó száma: 55 55 A fhér golyók száma: (5+6+7+ +55) 5 5.. P ( fhér).66 (.6) 55 Thát.66 annak a valószínûség, hogy fhér golyót húzunk. 9
KOD: 777 8. fladat gy bnzinkútnál 6 prcnél többt kll várakozni). P ( ξ > 6)? (xponnci ális loszlás) ξ 6). ξ 6).79 F(6).79 6λ..79 6λ λ.6 A flhasznált képlt: λx ; x F( x) ; x < 6.6 ξ 6).77.9 Thát.9 annak a valószínûség, hogy gy bnzinkútnál 6 prcnél kvsbbt kll várakozni. 9. fladat összsn díj 7 jó mgfjtés miskolci lsz miskolci nyrts)? lsz miskolci nyrts) nm lsz miskolci nyrts) 7 összs st: 68 (7 ) kdvzõ st: 5 lsz miskolci nyrts). 9 7 Thát.9 annak a valószínûség, hogy lsz miskolci nyrts.. fladat ξ 9, η ). ξ 9, η 75).7 ξ, η ). ξ 9; η ;75 E ( ηξ )? P ( ξ, η 75) (.+.7+.).8 A flhasznált összfüggés: A P ( A 75 ç prmloszlás 9
KOD: 777 9..7...8.6 î prmloszlás.5.65..8 E ( ηξ ) η ξ ) + 75 η 75ξ ) + 75 68.8.6.6 Thát a várható érték 68.8.. fladat E ( 9 prc λ ξ < 8)? λ 9 8 9 ξ < 8) F ( λ).5889 Thát.5889 annak a valószínûség, hogy gy véltlnül kiválasztott hallgató 8 prcn blül mgoldja zt a fladatot.. fladat P (.87.6 A A +? A.57 A + + A.99 P ( A 67 8 A( A + ) + A AA A A + A + A + Thát a krstt valószínûség.965.965. fladat δ.9 A flhasznált összfüggés: ε. n ε n?.8 n 8.9 n. Thát lgalább 85 lmû mintát kll vnni. δ (nagy számok törvény) 9
KOD: 777. fladat î a céllövõ találati pontossága î) 79% 8. -as kör n? λ λ ξ < 8.) F (8.) 8. nlg(.79 8. lg.79 n nlg( ) lg.79 8. 8. 98.987 ) Thát lgfljbb 98-szor lõht a céllövõ. 5. fladat P ( ξ 6, η 7). ξ 6, η 5). ξ 5, η 7). ξ 6;5 η 7;5 D( ξ + η)? ξ 5, η 5) (. +. +.). 7 5 î+ç 6 7 8 89 6.. P.... 5.. D ( ξ+ η) ξ+ η) E ( ξ + η) ξ + η). 6 +. 7 +. 8 D( ξ + η) ξ + η) E ( ξ + η) 9.79 Thát a várható érték 9.79. +. 89 E ( ξ + η). 6+. 7+. 8 +. 89 8.5 65. 6. fladat E ( 7. D( 6. P? két függtln kísérlt mindgyikébn. < î < 6.9 9
KOD: 777 a + b 7. a + b 7. b a D( 6. b a 6. 6 a 7. b 7. + f ( x) ;. < ξ < 6.9 P.7 ( ) 6 6 ; ha gyébként 6.9. dx.7 Thát a krstt valószínûség.7. x (a, b) [ 6.9.].7 7. fladat M (.6 λ.69696 λ M ( ξ )? f ( x) λ x ; ha x ; ha x >.69 ξ ) F().756 Thát.756 annak a valószínûség, hogy a kdvnc csigánk élténk harmadik évébn pusztul l. 8. fladat 9 golyó 8 doboz P ( golyó a. dobozba)? 9 nnyi fél képpn krülht 8 7 8 6 nnyi fél képpn krülht a golyó agolyó gy dobozba a. dobozba nnyi fél képpn nm krülht. dobozba gy golyó 6 9 7 6 P 8.5.875.76 8 8 Thát.76 annak a valószínûség, hogy. dobozba három golyó krül. 9
KOD: 777 9. fladat -x-.5y A ; ha x >, y > f ( x) ;gyébként P (.5 < η<.ξ.8)? a î-r vonatkozó fltétls sûrûségfüggvény: f ( x, y) f ( y x) ; g (x) a î prmsûrûségfüggvény g( x) g( x) f ( x, y) dy y x.5 y x.5 y A.5y f ( y x).5 x A.5.5 < η<.ξ.8) A.5 dy A Thát a krstt valószínûség.76. x y f ( y x) dy.5 y.5 dy A.5.5 y x dy.5 y.5 y x A.5 ( ) x A.5.5y.5.5 [ ].5. 76. fladat az ügyintézés 7 prc 8 és óra között két ismrõs találkoznak)? (gomtriai valószínûség) 8 óra prc; T: a hatszög trült; t: a négyzt trült T 9 t T találkoz nak) t 5.5 576 Thát.5 annak a valószínûség, hogy lsz olyan idõpont, amikor a két ismrõs találkozik.. fladat.6 -bõl lgalább -szor bkövtkzik)? -bõl lgalább -szor bkövtkzik) lgfljbb -szr bkövtkzik) 9 8.6.7.6.7.6.7 + +.5 Thát.5 a valõszínûség, hogy -bõl lgalább -szor bkövtkzik az A smény. 95
KOD: 777. fladat. A..9 P ( A+? A.9..96 A.96.76958 A. Flhasznált összfüggésk: A P ( A ; A A+ + A.78 Thát.78 a valõszínûség, hogy az A és smény lgalább gyik bkövtkzik.. fladat A az I. gépsor gyártotta A a II. gépsor gyártotta a trmék sljts A ).7 A ).7 A ). A A ).? A flhasznált összfüggés: A P ( A.7.+.7..88 A ( ) ( ) P A P A A.8 Thát.8 a valõszínûség, hogy zt a II. gépsor gyártotta.. fladat.5x ; ha < x, f ( x) ;gyébként ξ > )? P x.5x dx.5 5 x.5x dx.5 5.5.87576 x.5.9 ( ξ > ).5x dx.5.96. 59 5.5 5 Thát a krstt valószínûség.59. 5.5 5 96
KOD: 777 5. fladat..6 C).5 pontosan kttõ kövtkzik b)? AC + AC + AC ) mivl függtln sményk, zért össz lht õkt szorozni AC + AC + AC ) C) + C) + C)..6 (.5) +. (.6).5+ (.).6.5.958 Thát.958 a valószínûség, hogy pontosan kttõ kövtkzik b. 6. fladat Egnlts o. [-6.6, 6.6] a 6.6 b 6.6 ξ + <.6)? ξ + <.6) ξ <.), ha -6.6 < x < 6.6 f ( x) b a 6.6 ( 6.6), gyébként, ha x 6.6 x a x + 6.6 F( x), ha -6.6 < x < 6.6 b a., ha x > 6.6 ξ + <.6) F(.).88(.8) & & Thát a krstt valószínûség.88. 7. fladat N alkatrész s 9 n 7 lmû minta (visszatvéssl) n k nk s ( N s) k A flhasznált képlt: P n k sljts N P (lgfljbb sljts)? 7 6 9 6 7 9 P. 7 7 Thát. a valószínûség annak, hogy a mintában lgfljbb sljts alkatrész van. 8. fladat P (.77..58. 97
KOD: 777 5.dobás után vég )? ( ) ( )...77. 7 P Thát.7 a valószínûség annak, hogy az ötödik dobás után ér végt a játék. 9. fladat. λ η ξ F ξ ln ( y) ξ F( m). F ( x) ξ m.. x ln.5. y) ξ m. m. ln.5 m.88 Thát a krstt m érték:.88. y) m.5. y. fladat gy folyosón mindhárom ajtó nyitva).7 p az lsõ folyosón mindhárom ajtó nyitva) p a második folyosón mindhárom ajtó nyitva) p a harmadik folyosón mindhárom ajtó nyitva) C) p lgalább gy folyosó szabad)? lgalább gy folyosó szabad : A C A C) + + C) A AC) C ) + AC ) 6 9 p p + p.7.7 +.7.8 Thát.8 a valószínûség annak, hogy a kisgér ljut a sajthoz. Flhasznált lmélt: Poincaré-tétl 98