1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényt a 3;6 intervallumon! Igazolja számítással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont) 0,5 3,5 a) Elvégezve a köbre emelést: b) összevonva és rendezve: a megoldáshalmaz tehát a 3 3 3 3 1 3 3 1 8 ( pont) 1 1;1 intervallum f függvény helyes ábrázolása ( pont) g függvény helyes ábrázolása a metszéspont koordinátái (1;) c) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a 3 0,5,5 egyenlőtlenséggel A bal oldal nem negatív a jobb oldal 5-nél nagyobb -ekre negatív Az egyenlőtlenség megoldásait a intervallumon a b) részben ábrázolt f 3;6 és g függvényekről leolvashatjuk A megoldáshalmaz a 3;1 intervallum ( pont) Összesen: 14 pont
) a) Hány olyan tízjegyű pozitív szám van, amelynek minden számjegye a halmaz eleme? (3 pont) 0;8 b) Írja fel 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és 8-as számjegyeket tartalmazza! (7 pont) a) A legnagyobb helyi értékű szám csak a 8-as lehet A többi 9 helyi érték mindegyikénél két lehetőségünk van Így b) Egy szám akkor és csak akkor osztható 45-tel, ha 5-tel és 9-cel is osztható ( pont) Mivel a keresett szám 5-tel osztható, ezért csak 0-ra végződhet Egy (pozitív egész) szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel Csak 0 és 8 számjegyeket tartalmazó egész szám esetén ehhez legalább 9 darab 8-as számjegy kell A legkisebb (pozitív) többszöröshöz pontosan 9 darab 8-as számjegyre van szükség tehát a keresett szám 8888888880 Összesen: 10 pont 9 51 ilyen tízjegyű szám képezhető 3) Az ABCDEFGH téglatest A csúcsból induló élei: AB 1, AD 6, AE 8. Jelölje HG felezőpontját P. a) Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét! (10 pont) b) Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával? (3 pont) a) Az alaplap területe: cm Az AB él felezőpontja legyen M, a CD él felezőpontja pedig N. Az APB háromszög egyenlő szárú, a PM merőleges az AB szakaszra. Az MNP háromszög az N csúcsban derékszögű. PM 10 cm (a befogók 6 és 8) T 1 6 7 ABCD Az ABP háromszög területe: T ABP AB PM 1 10 60 cm DC PN 1 8 A DCP háromszög területe: TDCP 48 cm DP PC 10 cm A PBC és a PAD oldallapok egybevágó háromszögek és a két háromszög egybevágó a PBM háromszöggel
T PBC 6 10 30 cm 7 60 48 30 40 cm A gúla felszíne: b) Az MN szakasz és a PM szakasz is merőleges az AB élre, ezért a kérdezett szög a PMN A PMN háromszög N-nél derékszögű ezért tgpmn PN 8 4 MN 6 3, ahonnan PMN 53,1 Összesen: 13 pont 4) Egy felmérés során megkérdeztek 640 családot a családban élő gyermekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét az alábbi táblázat mutatja: (Tehát pl. a gyermektelen családoknak a száma 160, és 15 olyan család volt a megkérdezettek közt, amelyben 1 fiú és lány van.) a) Hány fiúgyermek van összesen a megkérdezett családokban? (3 pont) b) A felmérésben szereplő legalább kétgyermekes családokban mennyi a leggyakoribb leányszám? (5 pont) c) A családsegítő szolgálat a megkérdezett családok közül a legalább négy gyermeket nevelőket külön támogatja. Az alábbi táblázat kitöltésével készítsen gyakorisági táblázatot a külön támogatásban részesülő családokban lévő gyermekek számáról! Hány családot és összesen hány gyermeket támogat a családsegítő szolgálat? (6 pont)
a) A fiúk számát az oszlopokban lévő adatok alapján számoljuk ki 103 58 15 3 3 0 6111 3 3 1 3 16 4 9 5 4 =44 fiú van összesen a megkérdezett családokban b) A lányok számát a táblázatból soronként számolhatjuk ki, de a gyermektelen és egygyermekes családok adatait (160, illetve 103 és 11) nem vesszük figyelembe. Nincs lány 61 8 5 74 családban 1 lány van 58 11 4 1 1 75 családban lány van 54 15 3 78 családban 3 lány van 9 3 1 1 1 14 családban 4 lány van 6 3 1 1 1 1 családban c) 5 lány van 1 1 családban A legalább kétgyermekes családokban a leggyakoribb leányszám tehát a A gyakoriság helyes értelmezése A táblázatban van legalább 4 helyes gyakoriság Minden gyakoriság helyes A támogatott családok száma 40 A támogatott gyermekek száma: 1 4 8 5 5 6 4 7 8 =198 Összesen: 14 pont
II. 5) Az egyenletű parabola az egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konve rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (16 pont) y y 8 Az egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y y y 8 y y 1 8 y 8 0 y 4 ( pont) amelyek közül az A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge 90 y a feladatnak megfelelő, mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója így a területe: ( pont) A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: Tparabolaszelet TABCD d 4 1 (5 pont) 3 4 4 16 8 8 6 3 3 3 A konve rész területe: 16 4 T Tkörszelet Tparabolaszelet 4 3 3 Összesen: 16 pont 1 Tkörszelet r sin 1 8 sin 4
6) Megrajzoltuk az ABCDE szabályos sokszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelyek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? (8 pont) b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 10 cm. Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékekre kerekítve adja meg! c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot a válaszra! 1. állítás: Ennek a gráfnak 0 éle van.. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör. a) A számba veendő háromszögek szögei: 36, 36 és 108, vagy 7, 7 és 36. Ezért kétféle lényegesen különböző háromszög van az ábrán. Az olyan háromszögekből, amelynek szögei 36, 36 és 108, két méret van: a leghosszabb oldal vagy az ABCDE ötszög oldala vagy oldala. Az ilyen háromszögek száma 10 5 15 Az olyan háromszögekből, amelynek a szögei 36, 36 és 108, három méret van: a legrövidebb oldal az ABCDE vagy a PQRST ötszög egy-egy oldala, illetve a csillagötszög egy-egy oldala ( pont) Az ilyen háromszögek száma 5 5 10 0 Összesen 35 háromszög van az ábrán b) Az ABCQ négyszög rombusz, mert szemközti szögei egyenlők: 7 és 108. Ha az ötszög (a rombusz) oldalát a-val jelöljük: a sin108 10 a 11,3 cm A szabályos ötszög területét 5 egybevágó középponti háromszög (ABO) területéből számíthatjuk: a m c 5 10 TABCDE tg54 4 sin108 T 17 ABCDE T ABCDE am 5 5 a tg54, ahol tg54 4 cm c) 1. állítás IGAZ, mert a 10 pont mindegyikének 4 a fokszáma, a fokszámok összege 40, ami az élek számának kétszerese. állítás IGAZ például ABCDEQPTA egy nyolcpontú kör Összesen: 16 pont
7) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés havi mennyisége ( mennyisége) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: euró. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb 36 0, 03 havi bevétel? (6 pont) b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? (nyereség = bevétel-kiadás) (10 pont) a) Az eladásból származó havi bevétel: Az 0,03 36 36 0,03 euró, maimummal rendelkező másodfokú függvény A függvény zérushelyei 0 és 100 ezért a függvény maimumhelye 600 Ez az érték a feltételek szerinti intervallumba tartozik A legnagyobb bevételt tehát 600 kg termék értékesítése esetén érik el, a legnagyobb bevétel 10 800 euró b) A havi nyereség a havi bevétel és a havi kiadás különbségével egyenlő. A havi nyereséget az függvény adja meg A nyereséget leíró függvény: 3 0,03 36 0,0001 30,1 13000 3 0,0001 0,03 66,1 13000 100 700 Ez a függvény deriválható, és deriváltja az 0,0003 0,06 66,1 100 700 függvény 100 700 0,0003 0,06 66,1 0 egyenletnek 00 0400 0 380;700 1 580 100;380 380 A egy negatív és egy pozitív valós gyöke van A deriváltfüggvény a intervallumon pozitív az intervallumon negatív tehát a nyereségfüggvény 380-ig szigorúan nő, majd szigorúan csökken A vizsgált függvénynek tehát egy abszolút maimumhelye van és az a 380 A legnagyobb függvényérték 306,4 A legnagyobb havi nyereség tehát 380 kg termék eladása esetén keletkezik, értéke 306,4 euró Összesen: 16 pont
8) a) Két gyerek mindegyike 40 forintért vett kaparós sorsjegyet. Fémpénzzel fizettek (5; 10; 0; 50; 100 és 00 forintos érmékkel), és pontosan kiszámolták a fizetendő összeget. Hányféleképpen fizethetett Miki, ha ő 4 darab érmével fizetett, és hányféleképpen fizethetett Karcsi, ha ő 5 darab érmével fizetett. (A pénzérmék átadási sorrendjét nem vesszük figyelembe) A bergengóc lottóban kétszer húznak egy játéknapon. Bandi egy szelvénnyel játszik, tehát az adott játéknapon mindkét húzásnál nyerhet ugyanazzal a szelvénnyel. b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy adott játéknapon Bandinak legalább egy telitalálata lesz, ha p annak a valószínűsége ( 0 < p < 1), hogy egy szelvényen, egy húzás esetén telitalálata lesz? Megváltoztatták a játékszabályokat: minden játéknapon csak egyszer húznak (más játékszabály nem változott). Bandi most két (nem feltétlenül különbözően kitöltött) szelvénnyel játszik. c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy adott játéknapon Bandinak telitalálata legyen valamelyik szelvényen? d) A telitalálat szempontjából a b) és c)-ben leírt játékok közül melyik kedvezőbb Bandi számára? a) Miki kétféleképpen fizethetett: ( pont) Karcsi négyféleképpen fizethetett: b) Bandinak telitalálata háromféle esetben lehet: (1)az első húzásnál telitalálata van, a másodiknál is telitalálta van, ennek a valószínűsége ()az első húzásnál telitalálata van, nincs másodiknál nincs telitalálata, ennek valószínűsége 40 00 0 10 10 100 100 0 0 40 00 0 10 5 5 00 10 10 10 10 40 100 100 0 10 10 100 50 50 0 0 p p p p 1 p p p (3)az első húzásnál nincs telitalálata, a másodiknál telitalálata van, ennek valószínűsége: 1 p p p p Annak a valószínűsége tehát, hogy egy adott játéknapon Bandinak telitalálata legyen ez a három valószínűség összege: p p (ez nem negatív, hiszen 0 p 1) c) Két esetet kell vizsgálni annak alapján, hogy Bandi a két szelvényét azonosan vagy különbözően töltötte-e ki (1) Ha Bandi két egyforma szelvényt töltött ki, akkor a telitalálat esélye p () Ha Bandi a két szelvényt különbözően tölt ki, akkor a telitalálat esélye p ( pont)
d) Ha Bandi két egyforma szelvényt tölt ki, akkor a kérdés az, hogy vagy p nagyobb Mivel p p p p 1 p 0, tehát az első játékszabály 0 p 1, ezért p p kedvezőbb Ha Bandi két különböző szelvényt tölt ki, akkor a kérdés az, hogy vagy p nagyobb Mivel ezért, tehát a második játékszabály a kedvezőbb Összesen: 16 pont p 0 p p p p p 9) Egy egyetem 10 580 hallgatójának tanulmányi lapjáról összesítették az angol és német nyelvvizsgák számát. Kiderült, hogy a német nyelvvizsgával nem rendelkezők 70%-ának, a német nyelvvizsgával rendelkezők 30%-ának nincs angol nyelvvizsgája. Az angol nyelvvizsgával nem rendelkezők 60%-ának nyelvvizsgája sincs. a) Ezek közül a hallgatók közül hányan rendelkeznek angol és hányan német nyelvvizsgával? (1 pont) b) A hallgatók hány százaléka rendelkezett angol és német nyelvvizsgák mindegyikével? a) Szemléltessük a feltételeket ábrával, ahol a hallgatók közül főnek nincs német nyelvvizsgája és főnek van német nyelvvizsgája, 10580 nincs német nyelvvizsgája ( fő) van német nyelvvizsgája 10580 nincs angol nyelvvizsgája nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája van német, de nincs angol nyelvvizsgája van angol nyelvvizsgája nincs német, de van angol nyelvvizsgája német és angol nyelvvizsgája is van A feladat helyes értelmezése (komplementer halmazok) A feladat feltétele alapján az fő 70%-ának, vagyis 0,7 főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája és a fő 30%-ának vagyis főnek van német, de nincs angol 10580 nyelvvizsgája Tehát nincs angol nyelvvizsgája 0,7 0,3 10580 3174 0,4 főnek Így a feladat feltétele szerint a 0,6 3174 0,4 0,7 0,6 3174 0,4 3174 0,4 főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája fő 60%-ának, vagyis Innen A német nyelvvizsgával rendelkezők száma: 10580 6440 fő Nincs angol nyelvvizsgája 3174 0,4 4830 főnek Van angol nyelvvizsgája 10580 4830 5750 főnek 4140 ( pont)
b) A német vizsgával rendelkezők 6440 fő 30%-a, (vagyis 193 fő) nem vizsgázott angolból vagyis a német nyelvvizsgával rendelkezők 70%-a angolból is vizsgázott, ezek száma 4508 fő 4508 10580 0,46 A hallgatók 4,6%-ának van angolból és németből is vizsgája Összesen: 16 pont