Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív pénzügyek szakrány Szakdolgozat Kráncz Enk Gréta Témavezet : Dr. Molnár-Sáska Gábor Valószín ségelmélet és Statsztka Tanszék Budapest, 215
Köszönetnylvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondan mndazoknak, akk segítették munkámat, és hozzájárultak ahhoz, hogy ez a szakdolgozat megszülethessen. Különösképpen témavezet mnek, Dr. Molnár- Sáska Gábornak köszönöm, amért hasznos tanácsaval, észrevételevel segítette a szakdolgozatom elkészülését. 2
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 1.1. Motvácó........................................ 6 1.2. Htelkockázat, cs dkockázat.............................. 7 1.3. Hteldervatívák..................................... 8 1.3.1. Credt Default Swaps.............................. 1 1.3.2. Credt Default Swaptons........................... 14 2. Modellek hteldervatívák árazására 17 2.1. Strukturáls modellek.................................. 17 2.1.1. A strukturáls modell általános leírása.................... 18 2.2. Intenztás modellek................................... 21 2.2.1. A sztochasztkus ntenztás modell általános leírása............. 21 2.2.2. Árazás a sztochasztkus ntenztás modellben................ 24 2.2.3. A determnsztkus ntenztás modell általános leírása............ 29 2.2.4. Árazás a determnsztkus ntenztás modellben............... 3 3. HJM kamatlábmodell sztochasztkus volatltással 33 3.1. A sztochasztkus volatltású HJM modell felépítése................. 35 3.1.1. Korrelácós struktúra bevezetése....................... 39 3.1.2. HJM feltétel................................... 41 3.2. Markov-tulajdonságú HJM kamatlábmodellek.................... 44 4. Implementácó, árazás szmulácóval 49 4.1. Árazás a sztochasztkus HJM modellel........................ 5 4.1.1. A modell felépítése............................... 5 4.1.2. CDS opcó árazása............................... 57 4.2. Árazás a Black-modellel................................ 59 4.2.1. A modell felépítése............................... 59 3
4.2.2. CDS opcó árazása............................... 59 4.3. Összehasonlítás, összefoglalás............................. 61 A. Függelék - Együttható függvények és állapotváltozók 63 B. Függelék - Programkód 67 4
1. fejezet Bevezetés A szakdolgozatban a legjelent sebb és leglkvdebb, ún. sngle-name hteldervatíva, a credt default swappok árazására koncentrálunk, amelyek talán túlzás nélkül a hteldervatívák alap épít kövének teknthet ek, és gen jól használhatóak a cs dkockázat becslésére. Az általuk nyújtott, egy-egy országra vagy vállalatra vonatkozó cs dnformácók és várakozások roppant fontosak, ha bonyolultabb, ún. mult-name hteldervatívákat szeretnénk árazn, és emellett fontos szerepet játszanak a htelkockázat, partnerkockázat kezelésében s. Mégs a szakdolgozat f célja a credt default swapton-ök, azaz a forward credt default swappokra szóló opcók árazása, amelyek kevésbé lkvdek, mnt az alaptermékül szolgáló credt default swap, és pont ezért kemelt jelent ség az árazásuk, hszen a pac gyakran nem ad far árat. Alapvet en két f csoportja van a htelkockázatot és hteldervatívákat megragadó modelleknek, ezek közül az ún. ntenztás modellekre koncentrálunk ebben a szakdolgozatban, és ezek általános áttekntése után egy specáls, szntén az ntenztás modellek körébe tartozó sztohasztkus volatltást s használó Heath-Jarrow-Morton modellt fogunk részletesebben megvzsgáln. A sztochasztkus volatltású HJM modellekben a volatltás folyamatot tovább, a forward kamatlábat mozgató Wener-folyamatokon felül Wener-folyamatok mozgatják, ez a kemelend különbség a sztenderd HJM modellekhez képest. Ez a feltevés azokkal a pac meggyeléssekkel konzsztens, hogy egyrészt a kamatláb volatltás sztochasztkus, és változása korrelál a kamatláb változással, másrészt hogy ez a sztochasztkus volatltás tartalmaz olyan faktorokat, amelyeket nem lehet fedezn csupán az alapterméket használva ezt nevezk átíveletlen volatltásnak, harmadrészt olyan, a pacon meggyelt jellegzetességeket s vsszaad, mnt például a volatltás púposságát. Így ez a megközelítés egy sokkal általánosabb keretrendszerben vzsgálja a kamatláb folyamatokat és hteldervatívákat. Mndezt úgy tesz, hogy a kockázatos hozamgörbe modellezésére külön fogalmazza meg a kockázatmentes forward kamatláb, és az ezen felül, kockázatért kompenzáló forward spread d- 5
namkáját, lletve ezek drftjét és volatltását vezet sztochasztkus volatltás-folyamatot. Megmutatjuk, hogy bzonyos volatltás-struktúra esetében a kockázatos és kockázatmentes elem kötvény árak kfejezhet ek nagyszámú együttesen Markov-tulajdonságú állapotváltozók exponencálsan an kombnácójaként, könny kezelhet séget, de emellett továbbra s nagyfokú rugalmasságot bztosítva. Végül ennek a sztochasztkus volatltású HJM modellnek egy, a pac adatokhoz kalbrált változatát használva megvzsgáljuk a credt default swapton-ök árazását, és összehasonlítjuk a kapott árakat egy egyszer bb, az alaptermék lognormáls eloszlását feltételez modell által adott árakkal. 1.1. Motvácó A hteldervatívák megjelenése kétségkívül forradalmasította a htelkockázat kezelését és kereskedését, és alapvet en megváltoztatta a bankok és pénzügy ntézetek htelkockázatról és htelkockázat kezelésr l alkotott képét. A hteldervatívák f jellegzetessége, hogy segítségükkel könnyen és hatékonyan átruházható a htelkockázat, és egy olyan pacot nytottak ezeknek a kockázatoknak, amelyen bárk részt vehet. Kezdetben f ként a bankok használták a hteldervatívák által nyújtott lehet ségeket, mvel gen hasznos eszköznek találták a tpkus bank mérlegben megjelen nagymérték, htelek nyújtásából és kötvények tartásából származó htelkockázat fedezésére, és az ezekre tartandó kötelez tartalékok hatékonyabb kezelésére, így csökkentve a bankszektorban jelenlév htelkockázat koncentráltságát. A hteldervatívák hrtelen felfutásának és népszer ségének tovább f oka között szerepel, hogy a pénzügy szerepl k hamar felfedezték, hogy új termékeket alkothatnak, amelyeket a kívánt hozam-kockázat prolnak megfelel en alakíthatnak, ezzel alapvet en valam újat nyújtva mnd a befektet knek, mnd a hedgereknek. Ezáltal növelk a lkvdtást, olyan módon, hogy a kevésbé lkvd termékeket átcsomagolják, átstrukturálják olyan termékekké, amelyek jobban megfelelnek a befektet k elképzelésenek. Tovább tulajdonsága között szerepel, hogy a hteldervatívák segítségével könnyebben vehet fel short pozícó, akár meglév htelktettség fedezésére, akár hogy kfejezzük negatív várakozásankat a htelpacon, lletve segítségükkel könnyebben dverzkálható a htelkockázat, mvel a paca lkvdebb, mnt a vállalat kötvényeké, és így a hteldervatívák megjelenésével átláthatóbbá vált a htelkockázat árazása. Akárcsak a hteldervatívák paca, a htelkockázat modellezése s hrtelen nagy gyelmet kapott, és gyors fejl désen ment keresztül, de természetesen folyamatosan fejl dk most s, ezért csak gen rtka esetekben tudunk vszonylag egyértelm en állást foglaln az egyes modellezés 6
kérdésekben, folyamatos khívást nyújtva így mnd az akadéma, mnd az üzlet szektornak. Mndezért ebben a szakdolgozatban s egy vszonylag új, és érdekes megközelítést fogunk megvzsgáln a htelkockázat modellezésére, hteldervatívák árazására. 1.2. Htelkockázat, cs dkockázat Mel tt nekláthatnánk a hteldervatívák denálásának, a hasonlóan kérdéses cs dkockázat és htelkockázat fogalmak megfelel denícóját s fontos végggondoln. A cs dkockázat valójában a kötelezett adós zetés kötelezettségéhez kapcsolódk, hszen mnket az érdekel, zetn fog-e. Ebben az értelemben a cs dkockázat denícója csak a zetés kötelezettségre vonatkozk, nem magára a kötelezettre, elképzelhet lenne tehát, hogy egy adós csak bzonyos kötelezettségenek tesz eleget, míg másoknak nem. Ez a vselkedés azonban általában törvényleg tltott, az adós köteles eleget tenn mnden zetés kötelezettségének, ameddg arra képes. Ha nem tud, egy független közvetít vesz át eszközet, és megpróbálja megtaláln a módját, hogy kzesse az összes htelez t. Így az összes htelez t egyenl en kezelk, nem választhat, hogy melyk követeléseknek tesz eleget és melykeknek nem. A kötelezett cs dje esetén ezért általában az összes htelez veszteséget szenved el. Ezeket a cs d esetén fellép veszteségeket gen nehéz el re megbecsüln, ugyans számos el re nem látható tényez hathat rá. Fontos kérdés ennek a modellezése s. Ezek alapján azonban már a kötelezett cs dvalószín ségér l beszélhetünk, és nem az egyes kötelezettségekér l. Természetesen a cs dvalószín ség sok más fontos jellemz je s nehezít a kvanttatív modellezést, például hogy a cs desemények rtkák és váratlanul következnek be, lletve hogy jelent s veszteséget okoznak, amelyek nagysága a cs d el tt nem smert. A htelkockázat jelent ségét az adja, hogy nncs olyan kötelezettség, amellyel kapcsolatban nem kéne számolnunk azzal, hogy a partner nem zet vagy valamlyen más módon veszteségünk származk a zetés képességének változásából. A htelkockázat legfontosabb eleme a következ ek lehetnek: Bekövetkezés kockázat arrval rsk, am annak a kockázatát fejez k, hogy bekövetkezke a cs d egy adott d horzonton tpkusan egy év. A cs dvalószín séggel szokás mérn, amely a cs d d horzonton belül bekövetkeztének, mnt ndkátor változónak az eloszlását írja le. Id zítés kockázat tmng rsk, am annak a kockázatát fejez k, hogy mkor következk be a cs d, amnek smerete magába foglalja a bekövetkezés kockázat smeretét mnden d horzonton. A cs d dejét, mnt valószín ség változót az eloszlásfüggvényével jellemezzük. Ha nem következk be cs d, akkor a cs d d pontját végtelennek tekntjük. 7
Megtérülés kockázat recovery rsk, am a cs d esetén fellép veszteség nagyságának kockázatát fejez k, vagys egészen pontosan annak ellentétét, azaz azt, hogy mennyt nem vesztünk el. A bzonytalanságot tt tehát cs d esetén a tényleges kzetés nagysága adja, és általában a névérték százalékában fejezzük k. A recovery rate feltételes valószín ség eloszlásával fejezzük k. Pac kockázat market rsk, am annak a kockázatát fejez k, hogy a kockázatos eszköz pac értéke változk, akkor s, ha nem következett be cs d. A tmng és recovery rsk változása s hat rá, olyan módon, hogy megváltoztatja a pac várakozásokat és így az eszköz értékelését. Ezen kívül egyéb pac változók vselkedése, mozgása s befolyásolhatja a követelés értékét, lyen például a kockázatmentes hozam vagy a devzaárfolyamok változása. Korrelácós kockázat default correlaton rsk, am annak a kockázatát fejez k, hogy bzonyos adósok egyszerre jelenthetnek cs döt. Ebben az esetben már nem külön-külön kell gyelembe vennünk a kötelezettségeket, hanem együttes cs dvalószín ség eloszlást és a cs d dejét kfejez együttes eloszlást kell vzsgálnunk. Ezek a felsorolt kockázatok mnd alapvet jelent ség ek lesznek a htelkockázat, lletve hteldervatívák tárgyalásakor, és többségükre a kés bbekben k fogunk térn a szakdolgozatban. Különböz feltevéseket fogunk tenn ezek alakulására, természetesen törekedve a mnél általánosabb megközelítésre, de sok esetben hasznos lesz megkötéseket és egyszer sítéseket tenn a konkrét gyakorlat alkalmazásokkor. Elmélet szempontból mnél többféle kockázatot veszünk gyelembe, annál jobb, annál pontosabb és realsztkusabb a modellünk. Vlágos azonban, hogy mnél komplexebb a modell, annál több mplementácós problémával kell megküzdenünk, és annál lassabb a futásdeje s. Ezzel szemben azonban mnden egyszer sítés egyben olyan mplct feltevéseket jelent a modellezett kockázatokról, amelyek következménye nem feltétlenül egyértelm ek. Fontos tehát úgy megválasztanunk a modellünkben szerepl tényez ket, hogy csak olyanokat hagyjunk k, amelyek hánya nem eredményez túl nagy eltérést a valóságtól, de mndeközben maradjon a lehet legegyszer bb. Hogy mkor mlyen kockázatokat érdemes gyelembe venn, az természetesen sok mndent l függ: a termék konstrukcójától, hogy mennyre kereskedett, lletve hogy menny adatunk van róla, ezért általában a modellezett termék smeretében határozzuk meg azokat, ahogy ezt a kés bbekben s látn fogjuk. 1.3. Hteldervatívák A hteldervatíva kfejezést a származtatott termékek rendkívül széles körére használhatjuk, amelyeket els sorban a htelkockázat fedezésére, átruházására, kezelésére használunk. A következ 8
denícó pontosabban s meghatározza ezt a fogalmat, és érthet vé tesz, hogy mért volt szükség a htelkockázat és annak elemenek áttekntésére. 1.3.1. Denícó. Hteldervatívának nevezzük azokat a származtatott termékeket, amelyek kzetése htelesemények bekövetkeztéhez kötött. A htelesemény egy adott referenca egységhez kapcsolódk, és cs dje vagy egyéb el re meghatározott htelesemény bekövetkeztekor a partnerek egyke köteles a szerz désben meghatározottak alapján zetn a másknak. A következ pár pontban felsoroljuk a hteldervatívák tárgyalásákor megjelen f bb fogalmakat, szerepl ket. A partner, a védelmet vásárló fél, ak cs d vagy egyéb htelesemény bekövetkeztekor k- zetésre jogosult, más szóval ak long a hteldervatívában. A védelemért cserébe díjat prémumot zet. B partner, a védelmet eladó fél, ak cs d vagy egyéb htelesemény bekövetkeztekor zetn köteles. Short a hteldervatívában. C partner, a szerz dés alapjául szolgáló referenca egység, akknek cs djére vagy egyéb hteleseményére szól a szerz dés. Referenca eszközök, azok az eszközök, amelyekre hatással van a referenca egység cs dje vagy hteleseménye. Szükségesek a recovery rate, lletve maguk a htelesemények meghatározásához. Általában a szerz désben tételesen felsorolják a referenca eszközök körébe tartozó hteleket és kötvényeket. Htelesemény, azok a szerz désben pontosan meghatározott események, amelyek általában a referenca egységgel és a referenca eszközökkel szorosan összefüggnek. Lehet például: bankcs d, zetésképtelenség, zetés elhalasztása vagy átstruktúrálása, lemn sítés, credt spread változása stb. Kzetés cs d esetén default payment, az a kzetés, amelyet a B partner köteles teljesíten a szerz désben rögzített htelesemények valamelykének bekövetkezése esetén. A kzetés történhet többféleképpen, készpénzben vagy zka leszállítással, és dátuma lletve nagysága s változhat - ezek mnd befolyásolják a védelem árát. A továbbakban áttekntjük a legjelent sebb és legnépszer bb hteldervatívákat, f bb tulajdonságakat, és árazásuk alapelvet. A következ fejezetekben ezeket az általánosan érvényes árazás elveket fogjuk felhasználn. 9
1.3.1. Credt Default Swaps Els ként a legjelent sebb és leglkvdebb ún. sngle-name 1 hteldervatíva, a credt default swap, azaz htelkockázat csereügylet továbbakban CDS felépítését és árazását smertetjük. Kemelten fontos szerepe van a hteldervatívák körében, mert sok másk hteldervatíva alapját adja, lletve a pac árakból következtetn tudunk az adott kockázatos referenca egység cs dvalószín ségére, amelyet sok egyéb termék árazásakor s felhasználhatunk. Egy CDS szerz dés keretében két partner, A és B megegyeznek abban, hogy C referenca egység T lejárat d el tt bekövetkez cs dje jelöljük a cs d d pontját τ-val vagy el re meghatározott hteleseménye esetén B zet A-nak egy el re meghatározott LGD összeget általában az ún. loss gven default értékét, azaz nemteljesítéskor veszteségrátát; ez a kzetés cs d esetén. Egyel re tegyük fel az egyszer ség kedvéért, hogy ez az összeg el re meghatározott, kés bb azt az általánosabb esetet s fogjuk vzsgáln, ahol az Rt recovery rate determnsztkusan vagy sztochasztkusan változó nagysága fogja meghatározn a zetend összeget egészen pontosan a névérték és a recovery rate névértékre vetített nagyságának különbsége. A védelemért cserébe A el re meghatározott d közönként π díjat zet, ez a CDS felár CDS spread. Legyenek a díjzetés d pontja T = {T 1, T 2,..., T n }, δ = T T 1, T =, T n T tpkusan T n = T. Addg zet díjat, amíg C referenca egység cs dbe nem megy τ T, vagy ha nem megy cs dbe, akkor T n -g. Vegyük észre, hogy az utolsó díjzetés d pontja után bekövetkez cs döt s megengedjük T n τ T, hogy mnél általánosabban írhassuk fel a terméket. Vzsgáljuk el ször a CDS értékét a B partner szemszögéb l, azaz mlyen díjzetéseket kap a védelem eladója a védelemért cserébe, ezt premum legnek nevezk. V prem t, T, T, π = 1 {t<τ} dt, ττ T ατ 1 π 1 {τ<tn} + =αt dt, T δ π 1 {τ T }, 1.1 ahol T αt a t d pontot követ els díjzetést jelöl, tehát T 1, T 2,..., T n d pontok valamelykét, és dt, T = Bt/BT = e T t rsds sztochasztkus dszkontfaktor, rs a rövd logkamatláb. Az árazáshoz szükségünk lesz tehát a kamatláb dnamkájának alakulására vonatkozó feltevésekre, ezeket a harmadk fejezetben fogjuk részletesen tárgyaln, lletve ezen kívül a cs dvalószín ség meghatározásához s szükségünk lesz egy modellre, ezt a másodk fejezetben smertetjük. Egyel re teljesen általánosan, az el bbekre semmlyen feltevést nem téve vzsgáljuk a CDS-ek árazását. A felírás azt fejez k, hogy az évesített π díjat a cs d d pontjág mnden díjzetéskor megkapja a B partner, lletve a cs d bekövetkeztekor az utolsó díjnak az utolsó díjzetés óta eltelt d vel arányos részét s. 1 egyetlen referenca egységhez kapcsolódó 1
Nézzük meg a CDS másk lábát, vzsgáljuk tehát a szerz dést A partner szemszögéb l mlyen kzetés llet t meg C partner cs dje esetén, ezt protecton legnek nevezzük. V prot t, T, T, LGD = 1 {t<τ} 1 {τ T } dt, τ LGD A felírás azt fejez k, hogy C partner cs dje esetén A partner x LGD összeget kap a cs d d pontjában. Ez az úgynevezett sztenderd, folyamatos 2 CDS. 1.2 Megjegyezzük, hogy egyszer sítésként, a számolások megkönnyítése érdekében meghatározható lenne a zetés struktúra úgy s, hogy ezt a x összeget ne a cs d d pontjában, hanem az azt követ els díjzetés d pontban lletve a CDS lejártakor, ha az utolsó díjzetésen már túlvagyunk kapja meg a A partner, lletve A partner az utolsó esedékes díjzetésnek a következ díjzetés d pontban tesz eleget B partner felé amennyben kell még díjat zetn. Amkor tehát azt tesszük fel, hogy cs dhöz kapcsolódó kzetésekkel csak a következ díjzetés d pontjában vagy a lejáratkor számolnak el, akkor az ún. halasztott 3 CDS-r l beszélünk. A CDS t-bel dszkontált értékét a két láb értékének különbsége adja, tehát felírhatjuk az alább módon, a két partner kzetéset együttesen vzsgálva, 1.1 és 1.2 egyenl ségek különbségét véve: V CDS t, T, T, π, LGD = V prem t, T, T, π V prot t, T, T, LGD = = 1 {t<τ} dt, ττ T ατ 1 π 1 {τ<tn} + dt, T δ π 1 {τ T } 1 {τ T } dt, τlgd =αt 1.3.2. Jelölés. Legyen a fent folyamatos CDS ára t d pllanatban CDSt, T, T, π, LGD Mnt árazáskor általában, a CDS árát a dszkontált kzetés kockázatsemleges mérték szernt feltételes várható értéke adja. CDSt, T, T, π, LGD = E Q V prem t, T, T, π V prot t, T, T, LGD F t, ahol az összes rendelkezésre álló nformácót F t szgma-algebra reprezentálja, és a kockázatmentes kamatláb által generált ltrácó, lletve a τ cs dd pont által generált ltrácó únója, azaz F t = H t L t, ahol H t = σ {τ < u} : u t, és L t = σ ru : u t. Megyjegyezzük, hogy valójában L t mnden cs d nélkül nformácót tartalmaz, am egyel re a kockázatmentes kamatlábat jelent, kés bb ez még b vüln fog. Ennek pontosabb denálására akkor lesz szükségünk, amkor már egyéb folyamatok s megjelennek az árazáskor, ezt a másodk fejezetben b vebben tárgyaljuk 2 runnng 3 postponed 1.3 11
majd. E Q jelz, hogy kockázatsemleges mérték szernt várható értéket veszünk. A korábbakat felhasználva CDSt, T, T, π, LGD = = E Q dt, ττ T ατ 1 π 1 {τ<tn} + dt, T δ π 1 {τ T } 1 {τ T } dt, τ LGD F t ]. =αt Megjegyezzük, hogy azért nem írjuk k a továbbakban az 1 {t<τ} ndkátorváltozót, amely szerepelt a V prem t, T, T, π és V prot t, T, T, LGD meghatározásakor, mert ezt az nformácót F t tartalmazza, tehát gyelembe vesszük, amkor feltételes várható értéket veszünk F t szernt. mellett 1.4 Az úgynevezett far CDS felár 4 vagy CDS díj 5 az a π t, T védelemért zetend díj, amely CDSt, T, T, π t, T, LGD = E Q V prem t, T, T, π t, T V prot t, T, T, LGD F t =. A számolások megkönnyítése érdekében érdemes a sz kebb, csak a "kockázatmentes" nformácókat tartalmazó L t szubltrácó szernt feltételes várható értékkel számoln. Ezt a cserét a következ képpen tehetjük meg lásd például [4], [5], lletve a 2. fejezetben s ktérünk rá: CDSt, T, T, π t, T, LGD = E Q V prem t, T, T, π t, T V prot t, T, T, LGD F t = 1 {τ>t} = Q E Q V prem t, T, T, π t, T V prot t, T, T, LGD L t. 1.5 τ > t L t Ez a kés bbekben gen hasznos lesz a konkrét számolásoknál. Fontos kemelnünk, hogy az eddg smertetettek a lehet legáltalánosabb esetben adnak képletet a CDS-ek árára. Természetesen lehet még általánosítan példásul a x, el re meghatározott LGD összeget egy determnsztkusan, vagy sztochasztkusan változó mennységre, azaz 1 Rt-t írn a helyére, de nkább abban az értelemben teknthetjük általánosnak ezeket a képleteket, hogy nem tettünk fel semmt a kamatláb, vagy a cs dvalószín ség változásáról, dnamkájáról. Ezekkel a következ fejezetekben fogunk foglalkozn, és ott mnden esetben kndulhatunk majd ezekb l a képletekb l, és hozzáadhatjuk az aktuáls feltételenkb l következ plusz nformácókat. Pac ktekntés A pacon a far CDS díjak meghatározása a következ képpen történk: ha a t d pllanatg nem történt cs d, akkor olyan π t, T felárat határoznak meg, amelyre 4 spread 5 premum CDSt, T, T, π t, T, LGD =. 12
A ténylegesen megjelen bd és ask árakat pedg a π t, T far felár alatt, lletve felett fogják meghatározn. Az alább 1.1-es ábrán látható az Internatonal Busness Machnes CDS spread görbéje, amely a lejárat d függvényében ábrázolja a md CDS felárakat, amelyeket ebben az esetben a pac bd és ask árak átlagaként számolnak. Általában hat hónapos a legrövdebb, és tzenöt éves a leghosszabb futamdej CDS, de a legkereskedettebbek, leglkvdebbek az öt éves futamdej ek. A pac CDS felárakból meghatározható a CDS alapjául szolgáló referenca egység cs dvalószín sége az adott d ntervallumon, a leggyakrabban alkalmazott módszer az ún. bootsrappng, amelyr l a másodk fejezetben b vebben s lesz szó, és amelynek segítégével a negyedk fejezetben kszámoljuk az IBM cs dvalószín ségét. 1.1. ábra. IBM CDS felárak - Bloomberg képerny Mostanra a CDS pac nagyrészét szabványosították, az Internatonal Swaps and Dervatves Assocaton ISDA sztenderd szerz dés tervezetét használva x kuponzetést és sztenderd díj- zetés d pontokat használva. A x, évesített kuponok 1 vagy 5 bázspont matt fellép különbözetet upfront díj zetésével egyenlítk k a szerz dés létrejöttének pllanatában. 13
1.3.2. Credt Default Swaptons A CDS szerz désre szóló opcót nevezzük Credt Default Swapton-nek, a továbbakban pedg CDS opcóként fogunk hvatkozn rá. Egy vaníla CDS opcó T E lejárattal valójában egy forward CDS-re szóló európa opcó. Az alaptermék, a forward CDS egy olyan CDS, amely szerz dés szernt a jöv bel T E pllanatban ndul, és T -ben jár le, és mnderr l azaz a jöv ben zetend π f díjról s pllanatban állapodtak meg s T E < T, tehát C partner cs dje ellen véd a [T E, T ] ntervallumban, de ha a C partner még a CDS kezdetének d pontja el tt cs dbe megy τ < T E, akkor a szerz dés érvényét veszt 6. A forward CDS értékét a szokásos módon, kockázatsemleges mérték szernt feltételes várható értékként kapjuk CDS f t, π f = E Q V f prot t π f V f premt Ft, t [s, T E ], 1.6 ahol az el z ekhez hasonlóan V f prot t a CDS részeként kzetett védelem t d pontra dszkontált f értéke, és π f V prem t = Vpremt f a CDS díjzetésenek t d pontra dszkontált értéke, tehát ahol Vpremt-b l f kemelve a zetett π f díjat V premt-t f kapjuk. A több, CDS árát befolyásoló tényez r l a következ ket tesszük fel, és a továbbakban nem jelöljük külön: T = {T 1, T 2,..., T n } = {T E + δ, T E + 2δ,..., T E + Nδ}, δ = T T E /N, lejárat deje T, cs d esetén LGD összeget zet A partnernek. A π f t, T E far forward CDS felár az a díj, amely mellett CDS f t, π f t, T E = E Q V f prot t π f t, T E V f premt F t =, t [s, T E ]. Vzsgáljuk most meg a forward CDS-re szóló opcót: tekntsünk egy K kötés díjú CDS opcót, amely az opcó lejártakor, azaz T E -ben, ha addg C partner nem ment cs dbe τ > T E egy olyan T E pllanatban kezd d és T -ben lejáró CDS szerz désbe belépés lehet ségét bztosítja, amelyben A partner K díjat zet B partnernek az el re meghatározott díjzetés d pontokban, és cserébe C partner cs dje esetén jogosult a szntén el re meghatározott LGD kzetésre. Ha nem kötöttek volna opcót erre a CDS-re, akkor ugyanezen feltételek mellett A partnernek a K díj helyett π f T E, T E díjat kéne zetne, hogy T E d pllanatban beléphessen egy CDS szerz désbe. Azt az opcót, ahol a tulajdonosa azért zet opcós díjat, hogy az opcó lejártakor ha lehívja a CDS szerz dés díjat zet A partnere lesz, payer CDS opcónak nevezzük. Ezzel szemben, azt az opcót, amely az opcós díj ellenében arra a lehet ségre jogosít fel, hogy a lejártakor egy CDS szerz dés díjat kapó, és cs d esetén zet B partnere legyen, recever CDS opcónak nevezzük. Megkülönböztetjük ezen kívül a knockout és nem-knockout CDS opcókat. A továbbakban a knockout CDS opcókkal fogunk foglalkozn, amelyek C referencaegység T E lejárat d el tt 6 ez az ún. knockout tulajdonság, a továbbakban b vebben s lesz szó róla 14
cs dje esetén tovább kzetések nélkül megsz nnek. A nem-knockout payer CDS opcó tulajdonosa C referencaegység T E lejárat d el tt cs dje esetén ezzel szemben leszállíthatja a cs dös alapterméket a névértékért cserébe. A nem-knockout CDS opcó értéke meghatározható egy knockout swapton és egy ún. front end védelem értékének összegeként, ezért vzsgáljuk a továbbakban a knockout CDS opcókat. Nézzük a payer CDS opcó kzetésfüggvényét annak T E lejárat d pontjában +, G P T E = 1 {τ>te } CDS f T E, K CDS f T E, πf T E, T E 1.7 ahol CDS f T E, π f T E, T E = denícó szernt. Továbbá a π f T E, T E egy olyan forward CDS díját jelöl T E -ben, amelyk T E -ben kezd dk szerz dés szernt, tehát valójában egy egyszer CDS áráról van szó, ezért a továbbakban egyszer en π T E -el jelöljük. Mvel a payer opcó csak akkor lesz lehívva, ha π T E > K, ezért G P T E = 1 {τ>te } CDS f T E, K = 1 {τ>te } = 1 {τ>te } E Q V f prot T E K V f E Q V f prot T E F t K EQ V f prem T E F t + = premt E F t + = = 1 {τ>te }1 {π T E >K}E Q V f prot T E F t K1{τ>TE }1 {π T E >K}E Q V f prem T E F t 1.8 Vagy másképp megközelítve, egyszer en behelyettesítve 1.7 egyenl ségbe 1.6 kfejezés alapján G P T E = 1 {τ>te }E Q V f prem T E L TE π T E K +. 1.9 Vegyük észre, hogy a feltételes várható értéket már csak a kockázatmentes nformácókat tartalmazó L t szubltrácó szernt vesszük a korábbakkal megegyez en F t = L t H t. Hasonlóan kapjuk a recever CDS opcó kzetésfüggvényét amelyet csak akkor hívnak le, ha π T E < K G R T E = 1 {τ>te }E Q V f prem T E LTE K π T E +. 1.1 1.3.3. Jelölés. Jelöljük Vswptt-vel P a payer CDS opcó értékét, lletve Vswptt-vel R a recever CDS opcó értékét t [s, T E ]. A CDS opcó értékét meghatározhatjuk, mnt a dszkontált kzetésfüggvény kockázatsemleges mérték szernt feltételes várható értéke, és felhasználva a kzetésfüggvény 1.9-as és 1.1-as alakját a következ t kapjuk Vswptt P = E Q dt, T E G P T E F t = E Q dt, T E 1 {τ>te }E Q V f prem T E L TE π T E K + F t, 1.11 Vswptt R = E Q dt, T E G R T E F t = E Q dt, T E 1 {τ>te }E Q V f prem T E L TE K π T E + F t, 15 1.12
ahol a dszkontfaktor dt, T E = e T E t rsds. Mostanág ahogy az egész szakdolgozatban a Q kockázatsemleges mérték szernt áraztunk, amely mérték szernt a Bt = e rsds bankbetét, mnt ármérce szernt tetsz leges dszkontált kzetésfüggvény martngál. Az At ármérce megfelel megválasztásával, és így a Q mértékre áttéréssel, ahol dq = AtB dq t ABt, 1.13 egyszer bben s kfejezhet a CDS opcó értéke. Rutkowsk és Armstrong [29] javasolta az ármérce következ megválasztását At = Ekkor a CDS opcó értéke kfejezhet, mnt V P 1 Qt < τ L t E Q V f prem t L t. 1.14 G P T E π swptt = At E Q F t = 1 AT E {τ>t} At E Q f t, T E K + L t, 1.15 G R T E K swptt = At E Q F t = 1 AT E {τ>t} At E Q π f t, T E + L t. 1.16 V R Továbbá gyakor feltételezés, hogy a forward CDS felárak lognormáls eloszlást követnek az új Q mérték szernt, azaz dπ f t, T E = σ TE π f t, T E dw t, 1.17 ahol W t Wener-folyamat Q szernt. Lognormáls eloszlást feltételezn kézenfekv, mert egyrészt bztosítja, hogy a forward CDS felárak sosem lesznek negatívak, másrészt az eloszlás ferdesége összevág a pacon meggyelt adatokkal. Ezenkívül így a CDS opcó értéke megadható a Blackformulával lásd Brgo és Mortn [25] ahol π ln d 1 = Vswptt P = 1 {τ>t} At πf t, T EΦd 1 KΦd 2, 1.18 f t,t E K + σ2 T E 2 T E t σ TE TE t és d 2 = d 1 σ TE TE t. Ekkor σ TE az egyetlen paraméter, amt a pac adatokból kell knyernünk, de llkvd termékeknél gyakran ez s nehézségekbe ütközhet. A másk probléma ezzel a modellel, hogy már többen s elutasították azt a feltevést, hogy a forward CDS felárak lognormáls eloszlást követnének, például Jabbour, El-masr és Young [28] megmutatta, hogy a lognormáls forward CDS felárak túlságosan ferdék és csúcsosak. 16
2. fejezet Modellek hteldervatívák árazására Az utóbb évtzedekben két típusú arbtrázsmentes árazás megközelítés jelent meg a szakrodalomban a htelkockázatok modellezésére: az ntutívabb, könnyebben értelmezhet strukturáls modellek, lletve a könnyebben kalbrálható redukált vagy ntenztás modellek családja. Jarrow és Protter [16] szernt a két típusú modell nem s annyra különbözk egymástól, s t valójában ugyanaz az alapjuk, csak különböz feltevésekkel élnek a rendelkezésre álló nformácókról. A modellez rendelkezésére álló nformácó mn sége maga után vonja a cs d dejének el rejelezhet ségét, és gyakran e szernt különböztetk meg a két megközelítést. Ebben a fejezetben ezek alapvet feltevéset, m ködését fogjuk átteknten, majd a harmadk fejezetben részletesebben a sztochasztkus volatltást s használó, HJM keretrendszerben leírt specáls ntenztás modellekkel fogunk foglalkozn. 2.1. Strukturáls modellek A strukturáls modellek Merton [1974] modelljéb l fejl dtek k, kés bb Black és Cox [1976] fejlesztették tovább. Azon alapszanak, hogy a vállalat vagy portfóló értéke sztochasztkus folyamatot követ, és ha ez az érték egy meghatározott determnsztkus vagy véletlen mnmum sznt alá csökken, akkor a vállalat cs dbe megy. Jarrow és Protter [16] szernt a szétválasztás alapja a rendelkezésre álló nformácó: a struktúráls modellben a modellez rendelkezésére álló nformácó tartalmazza a vállalat értékfolyamata által generált ltrácót. Merton eredet modellje feltesz, hogy cs d csak az d szak végén, az adósság lejártakor következhet be. Konstans kockázatmentes kamatlábat és volatltást feltételezve zárt formulát kapunk az adósság értékére tetsz leges, d horzonton belül d pllanatra. A vállalat saját t kéjét call opcónak tekntve a vállalat értékén a jól smert Black-Scholes képletet vezette le kockázatos adósságok árazására. Ezt fejlesztette tovább Black és Cox, bevezetve egy exponencáls szntelérés d t és így 17
megengedve a korább cs döt, lletve zárt formulájú megoldást adtak a kockázatos kötvények árazására. Általánosíthatunk tehát a következ képpen: cs d nem csak az adósság lejártakor, az d szak végén következhet be, hanem az egész d szak alatt bármkor, ha átlép egy meghatározott Lt küszöböt, am maga s lehet sztochasztkus folyamat. Ez azt jelent, hogy a modellez rendelkezésére álló nformácónak nem csak a vállalat értékfolyamata által generált, hanem az Lt korlát által generált ltrácót s tartalmazna kell. A cs d tehát szntelérés d, és így általában el rejelezhet megállás d kvéve, ha vannak ugrások az Lt folyamatban. El rejelezhet a megállás d, ha létezk τ n növekv megállás d sorozat, amelyre τ n τ és lm n τ n = τ. Ezért, bár a cs d egy bzonytalan esemény, a modellez mégs majdnem bztosan el re látja a vállalat értékének alakulását gyelve. Látható, hogy ez elég er s feltevés, és így egyben a modell krtkáját adja. Sokan fejlesztették még tovább az alapmodellt, újabb feltevéseket feloldva, például teljeskör nformácók helyett aszmmetrkus nformácó, a részvényesek egyenl sége helyett egyes szerepl k prortása, elem kötvények helyett kamatot s zet kötvények jelenléte stb. A szakdolgozatnak szempontjából fontos továbbfejlesztés még Longsta és Schwarz [1995] modellje, akk bevezették a hozamgörbe kockázatot s a modellbe, feltételezve, hogy a rövdtávú hozamok a Vascek-modellt követk. Cs d akkor következk be, ha a vállalat értékfolyamata elér egy konstans küszöbértéket az adósság élettartama alatt. Cathcart és El-Jahel [1998] ezt a gondolatot folytatva azt tették fel, hogy a rövd kamatok folyamata CIR dnamkát, lletve hogy a cs döt jelent küszöbérték geometrkus Brown-mozgást követ. Shrakawa [1999] a credt spreadek vselkedését vzsgálta a modellen belül és különválasztotta a kockázatmentes hozamot lletve a hozamfelárat spreadet. 2.1.1. A strukturáls modell általános leírása El ször általánosabb esetben vzsgáljuk meg a strukturáls modelleket, majd megmutatjuk hogyan vezethet be a modellbe a cs dök közt korrelácó, végül ktekntésként adunk pár alternatívát a referenca egység értékfolyamatának dnamkájára. Rövden a strukturáls modellek f hátrányat s megemlítjük, melyek matt kevésbé alkalmazhatóak a gyakorlatban, így ebben a szakdolgozatban s nkább a kés bb tárgyalt ntenztás modellekre koncentrálunk, míg a strukturáls modellekre kevésbé. Tekntsük a [, T ] d horzontot és N referenca egységet 1, amelyek értékváltozása dúzós folyamatot követ ebben az d szakban, és amelyek egységny névértékny adóssága kötvénye T -ben jár le. Ezen az ntervallumon legyen Ω, F t, P ltrált valószín ség mez, és a vállalatok 1 a fejezet tovább részében vállalatként hvatkozunk rá, mvel ez a legáltalánosabb megközelítés 18
értékének dnamkája dv t = µ t, V t V t dt + σ t, V t V t dw t, = 1,..., N, 2.1 ahol W t Wener-folyamat a P mérték szernt. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy W =. Továbbá legyen L t az a sztochasztkus küszöbfolyamat, amelyet ha elér V t, akkor az. vállalat cs dbe megy, és ebben az esetben a htelez L t < 1 összeget kap, teknthet tehát egyfajta recovery rate-nek. Ekkor a strukturáls modellek jellemz jeként σv s, L s : s t F t, az. vállalat cs djének d pontja τ = nf {t > : V t L t}. Tegyük fel, hogy a pacok arbtrázsmentesek, és így létezk olyan ekvvalens Q mérték, amely mellett a dszkontált kötvényárfolyamok martngálok lesznek. Tegyük továbbá fel, hogy a kockázatmentes kamatláb konstans r, és a vállalatok volatltása s konstans σ. Ekkor a vállalat értékének kockázatsemleges mérték szernt dnamkája dv t = rv t dt + σ V t d W t, = 1,..., N, 2.2 ahol W t Q mérték szernt Wener-folyamat. Alkalmazzuk az Itô-lemmát log V t-re: d log V t = dt + 1 V t dv t + 1 2 V 2tσ2 V 2 t dt, d log V t = r dt + σ d W t 1 2 σ2 dt. Átrendezve W t = log V t log V r σ 2 /2t σ Ezek alapján denálhatunk az L t küszöböknek megfelel, de már a W Wener-folyamatokhoz tartozó L t küszöböket L = log L t log V r σ 2 /2t σ, amelyekre tehát gaz, hogyha W t folyamat L t küszöb alá csökken, akkor az. vállalat cs dbe jut, ugyans Q V t < L t log V t log V r σ 2 /2t = Q < log L t log V r σ 2 /2t = σ = Q W t < L t = Q Z < L t ln L t ln V r σ 2 /2t = Φ, 2.3 t σ t ahol Z sztenderd normáls eloszlású valószín ség változó, és Φt az eloszlásfüggvénye. Fontos smét megjegyezn, hogy ez tehát azt jelent, hogy ebben az esetben és a strukturáls modelleknél általában a cs d deje egy el rejelezhet megállítás d, egészen pontosan egy szntelérés d, am így endogénnek, a modellen belül meghatározottnak teknthet. Ahogy korábban s említettük, sokszor pont ez az el rejelezhet ség ad okot a modell krtzálására. 19 σ
Nézzük a legegyszer bb "hteldervatíva", azaz az. vállalat adósságának egységny névérték kötvényének értékét, amelyet a következ alakban írhatuk fel P d, T = E Q 1 τ T L τ e τ rsds + 1 τ >T e T rsds. 2.4 Idág csak egy vállalat értékváltozásával foglalkoztunk, de szükségünk van a vállalatok között kapcsolatok leírására s. Legyen ezért a W Wener-folyamat a következ dnamkájú: dw t = c t dmt + 1 c 2 t dz t, ahol Mt a közös hatásokat modellez Wener-folyamat, Z t pedg egy t le független N dmenzós, az egyén hatásokat reprezentáló Wener-folyamat. koordnátája, és 1 c 1. Ezek alapján az. és j. vállalat között cs d-korrelácó a t d pllanatban c tc j t. Mután felépítettük a modellt, Monte Carlo szmulácóval kapjuk az együttes veszteség eloszlást, lletve annak d bel alakulását s mutató együttes veszteség felületet, amelynek segítségével árazhatunk, például a korábban felírt 2.4 kockázatos elem kötvényt. Azonban a strukturáls modellek egyk f hátránya, hogy rövd lejáratokra tpkusan túl alacsony cs dvalószín ségeket ad a modell A Wener-folyamat nem ér el olyan hamar a cs dküszöböt, így a kockázatért kompenzáló htelfelár s túl alacsony lesz. Ezt a problémát megoldhatja, ha nem korrelált Wener-folyamatokkal vezetjük be a referenca egységek között korrelácót, hanem közös lefelé ugrásokat használunk, amelyek segítségével a kora cs dök s valószín bbek lesznek. Azonban már egy referenca egységre s bonyolult az ugró-folyamatokkal felépített modellben árazn. Ez a bemutatott modell természetesen az egyk legegyszer bb megközelítés, Hull, Predescu és Whte [1995] például sztochasztkus korrelácót és sztochasztkus recovery rate-et használva fejlesztették tovább. Tovább lehet ségként, az el z ekt l eltér en 2.1 vagy 2.2 vagy ugró-folyamat a vállalat értékének alakulására a következ feltevéseket s választhatjuk: Itô-dúzó sztochasztkus volatltással: Exponencáls Lévy-folyamat: dv t = µ t, V tv t dt + σ tv t dw t dσ t = a t, σ t dt + b t, σ t d W t V t = exprt + X t, ahol X t Lévy-folyamat, lehet tehát ugrófolyamat pl Merton modell - az ugrások normálsak, Kou modell - az ugrások aszmmterkus dupla exponencálsak, vagy végtelen aktvtású folyamat átskálázott Wener-folyamatok pl Normal Inverz Gaussan vagy Varance Gamma. 2
2.2. Intenztás modellek A struktúráls modellekt l eltér en az ntenztás modellek vagy redukált formájú modellek azt feltételezk, hogy egy kívülr l adott, exogén folyamat vezérl a cs dvalószín séget és egy másk, szntén kívülr l adott folyamat modellez a recovery rate-et. A cs dvalószín ség folyamat mnden d ntervallumon poztív, és a cs döt gyakran Posson-folyamattal vagy Cox-folyamattal modellezk, ekkor sztochasztkus ntenztás modellekr l beszélhetünk. A fejezet tovább részében el ször az általános sztochasztkus ntenztású esetet, majd specáls eseteként a gyakorlatban jobban használható determnsztkus ntenztás modelleket tekntjük át, lletve megvzsgáljuk az adott keretrendszerben a hteldervatívák árazását. A strukturáls és ntenztás modellek közt egyk eltérés az, hogy ebben az esetben a modellez rendelkezésére álló nformácók nem olyan részletesek a vállalat eszközenek, értékenek változásáról, s t valójában úgy alkották, hogy a rendelkezésre álló nformácó a pacon meggyelhet nformácó legyen, ezzel egy sokkal realsztkusabb megközelítést képvselve. Így egyrészt a cs d d pontja már nem el rejelezhet. Másrészt, am a f, kemelend különbség, hogy a pacon meg- gyelt árakból megbecsülhet, kalbrálható a kockázatsemleges cs dvalószín ség, amelyet aztán fel tudunk használn árazáskor. El ször Pye [1974] lletve Ltterman és Iben [1991] nevéhez köthet ez a fajta megközelítés, majd sokan továbbfejlesztették ezt az elképzelést. A teljesség génye nélkül Jarrow és Turnbull [1995] konstans Posson-folyamatot használt mnd a cs dvalószín ség, mnd a recovery rate dnamkájához, és zárt formulájú megoldást adott a kockázatos kötvények és származtatott termékek árazására, míg Lando [1994, 1998] az általánosabb Cox folyamatot használta a cs dvalószín ség modellezésére. Ezen kívül több megközelítésben megjelent a kockázatmentes hozam és az ezen felül, a kockázatért kompenzáló spread szétválasztása, majd többféle mgrácós megoldás s: az adósságok besorolása am meghatározza a kockázatmentes kamatok felett árakat a vzsgált d horzonton megváltozhat. A továbbakban nagyrészt [18], [17], [19], [21] és [4] alapján áttekntjük a sztochasztkus és determnsztkus ntenztás modelleket, lletve megvzsgáljuk az adott keretrendszerben az egyk legfontosabb hteldervatíva, a credt default swappok árazását. 2.2.1. A sztochasztkus ntenztás modell általános leírása Tekntsük a [, T ] d horzontot, ezen az ntervallumon legyen Ω, F t, Q ltrált valószín ség mez, ahol Q a kockázatsemleges mérték vagy martngálmérték. Fontos kemeln, hogy az ntenztás modellek keretében csak a kockázatsemleges valószín séget használjuk. Legyen N vállalatunk vagy N elem portfólónk, és jelöljük τ -vel az. elem cs djének 21
d pontját, lletve F -vel a cs d kumulált eloszlásfüggvényét F t = Qτ t = 1,..., N, ahol Q kockázatsemleges mérték szernt valószín ség. Tegyük fel, hogy F t folytonos és monoton n. Látn fogjuk a kés bbekben, hogy gyakran ez egy exponencáls eloszlásfüggvény lesz. A gyakorlatban F t-t úgy határozhatjuk meg, hogy a pacon meggyelhet árakból kszámítjuk bzonyos t j d pontokra az F t j értékeket, és a köztes értékekre például exponencálsan nterpolálunk. A másk gyakor megközelítés a bootstrappng, amt a fejezet kés bb részében smertetünk. Ezen kívül szntén kívülr l adott az d horzonton az a kzetésfüggvény, amelyet cs d esetén alkalmazunk: ennyt zet egységny névérték adósság az. vállalat cs dje esetén. Ez a R t recovery rate gyakran maga s sztochasztkus folyamatot követ. Az egyszer bb ntenztás modellek esetében a cs d τ d pontját N λ t Posson-folyamat vezérl, determnsztkus λ t ntenztással, felfoghatóak tehát a sztochasztkus ntenztás modellek specáls eseteként, amelyek Posson-folyamat helyett az általánosabb, sztochasztkus ntenztású Cox-folyamatot használják: sztochasztkus ntenztás modellek esetében az. vállalat τ cs dd pontja egy Cox-folyamat els ugrásának d pontjával írható le. Denáljuk ehhez el ször a Posson folyamatot, majd áttérhetünk a Cox-folyamatra s. 2.2.1. Denícó. Az Nt λt determnsztkus ntenztású Posson folyamat, ha N =, független és staconárus növekmény, és annak a valószín sége, hogy k cs d következk be a [t, T ] ntervallumon Q NT Nt = k = T t k λu du k! e T t λu du. λt-r l feltesszük, hogy poztív és szakaszonként folytonos folyamat. 2.2.2. Megjegyzés. A továbbakban hasznos lesz az az észrevétel, hogy a denícó alapján egyszer formában kfejezethet annak a valószín sége, hogy t-g nem következett be cs d Q Nt N = = Q Nt = = e λu du. 2.2.3. Denícó. Mt-t Cox-folyamatnak nevezzük, ha Posson-folyamat λt, ω ntenztással, ahol λt, ω sztochasztkus folyamat és amelyr l gyakran azt tesszük fel, hogy dúzós folyamatot követ. A Cox-folyamatot olyan értelemben teknthetjük tehát a Posson-folyamat általánosításának, hogy ha az ntenztásfüggvény egy adott realzácóját λ, ω tekntjük, akkor determnsztkus ntenztású Posson-folyamatot kapunk λt, ω ntenztással, ahol most tehát az ω rögzítve van. 22
Azt tesszük fel, hogy a sztochasztkus ntenztás modellek kereten belül a modellez által meggyelhet nformácó a vállalatok cs d d pontja, azaz τ megállás d, rt kockázatmentes kamatláb, X t állapotváltozó és a recovery rate R t által generált ltrácót kell tartalmazza, ezért F t = H t G t D t K t = H t L t, ahol a cs d d pontját τ -t M t Cox-folyamat els ugrásaként denáljuk, H t = σ τ : s t, = 1,..., n, G t = σ rs : s t, K t = σ X s : s t, = 1,..., n, D t = σ R s : s t, = 1,..., n, és L t tartalmaz mnden "kockázatmentes" nformácót, tehát L t = G t D t K t. A cs d d pontját mozgató Cox-folyamat ntenztásáról a továbbakban azt tesszük fel, hogy a következ képpen véletlen folyamat: λ t, ω = λ X t, tehát az X t d-dmenzós sztochasztkus állapotváltozó amelyr l általában azt tesszük fel, hogy dúzós folyamatot követ vezérl az ntenztás-folyamatot. Ekkor tehát a λ ntenztás egy nemnegatív, folytonos, d-változós függvény. Az a feltétel, hogy az ntenztás az állapotváltozó pllanatny értékének függvénye, és nem az állapotváltozó egész múltjának függvénye, a gyakorlatban kfejezetten kényelmes feltevés, de matematka szempontból nem szükséges, egyel re m sem szorítkozunk erre az esetre. A kockázatmentes hozamról gyakran azt tesszük fel, hogy szntén az X sztochasztkus állapotváltozók mozgatják, és így G t K t. Ekkor jól látható a cs dntenztás és a kockázatmentes hozam kapcsolata, hszen ugyanattól a d dmenzós állapotváltozótól függnek, de természetesen ez a függés úgy s megadható, hogy G t és H t függetlenek legyenek, például ha a kockázatmentes hozam csak az X állapotváltozó els k koordnátájától függ, a cs dntenztás pedg a következ d k koordnátájától. 2.2.4. Denícó. A λxt sztochasztkus ntenztáshoz tartozó hazard-folyamat Λt = λxs ds. 2.2.5. Megjegyzés. Denálhatjuk τ -t egy exponencáls eloszlású valószín ség változó segítségével s. Legyen ξ1 exponencáls eloszlású valószín ség változó, amely független az X t állapotváltozótól, és λ X t továbbra s nemnegatív és folytonos függvény, ekkor τ = nf { t : } λ X sds ξ = nf {t : Λt ξ}. 23
Látható, hogy ha λ X s nagy, akkor a megfelel hazard-folyamat s gyorsabban n, és gyorsabban elér a független exponencáls valószín ség változó szntjét, és így annak a valószín sége, hogy τ kcs, tehát hamar bekövetkezk a cs d, nagyobb lesz. Annak a feltételes valószín sége, hogy az. vállalat cs dbe jut egy adott kcs d ntervallumban, feltéve, hogy addg nem következett be cs d Q t τ < t + t t τ, K t = λ X t t. De az el z 2.2.2 megjegyzés alapján feltétel nélkül valószín ségként s fel tudjuk írn a cs d bzonyos d pont el tt be nem következtének valószín ségét Q t < τ K t = e λ X sds = e Λ t, 2.5 Q t < τ T K t = e λ X s e T λ X s = e Λ t e Λ T, 2.6 mert K t szernt feltételes valószín séget véve smerjük az X folyamat realzácóját, így λ X realzácóját. A determnsztkus esetben ezt a feltételt természetesen majd elhagyhatjuk. Nem feltételes valószín ségként s kfejezhetjük a túlélés és cs dvalószín séget, ekkor várható értéket kell vennünk. Q t < τ = EQ e λ X sds = E Q e Λ t, 2.7 Q t < τ T = E Q e λ X sds e T λ X s = E Q e Λ t e Λ T. 2.8 2.2.2. Árazás a sztochasztkus ntenztás modellben Ebben az általánosabb, sztochasztkus környezetben szeretnénk els ként levezetn árazás formulákat, ehhez [18] és [21] alapján el ször megmutatunk három összefüggést, és ezeket mnt alapelemeket használva rakjuk majd össze a hteldervatívákat. Például egy CDS értékének felírásához kett vagy három alapelem összegét fogjuk felhasználn, de ehhez el ször a kockázatos kötvény árát s felírjuk majd ebben a sztochasztkus ntenztású keretrendszerben. Az ebben a részben levezetett, CDS árát meghatározó egyenl séget kés bb a determnsztkus modellben, mnt specáls esetet fogjuk felhasználn, néha tovább megszorításokat s téve. Az általános eset áttekntésével egyrészt egy sokkal mélyebb és átfogóbb képet kapunk a témáról, másrészt a kés bbekben elég az tt levezetett formulákra hvatkozn. Az el z részben részletesebben s felírtuk, hogy a meggyelhet nformácók által generált σ-algebra hogyan bontható fel rész σ-algebrákra, de ebben a részben elég a F t = H t L t felbontás alkalmazása, ahol a korábbakkal megegyez en H t a t d pontg meggyelt cs dnformácókat, L t pedg a t d pontg meggyelt egyéb, "kockázatmentes" nformácókat tartalmazza, tehát L t = σ rxs, λxs, Rs : s t. A jelölésbel egyszer ség kedvéért a továbbakban nem 24
fogjuk külön jelöln rt és λt Xt állapotváltozótól való függését, de természetesen mnden folyamat marad sztochasztkus. Nézzük tehát az alapelemenket: legyen el ször X L T a T d pllanatban esedékes kzetés, amt akkor kapunk meg, ha addg nem következett be a cs d. Legyen Zt 2 L t -adaptált folyamat, amelyre azért van szükségünk, hogy meg tudjuk határozn, hogy menny kzetést kapunk, ha bekövetkezett a cs d. Denáljuk Zt-t úgy, hogy Zt =, ha t > T, így a megfelel alapelemben elhagyhatjuk majd a 1 {τ T } ndkátort. Végül legyen Y t a bezetések L t -adaptált folyamata, amelyet addg kell csak teljesíten, amíg nem következk be a cs d. Ez az utóbb végül kevésbé lesz hasznos számunkra, mert a CDS-ek esetében továbbra s azt feltételezzük, hogy a díjzetések x T d pontokban történnek, és nem folyamatosan, de a teljesebb kép érdekében hasznos ezt az összefüggést s felírn. Ezekre a bzonyos alapelemekre vonatkozó állítások következnek, amelyekben a teljes F t ltrácóra vett feltételes várható értéket lecserélhetjük a "kockázatmentes" nformácókat tartalmazó L t -re vett feltételes várható értékre. Ezt már használtuk korábban s az 1.5 egyenl ségnél, és most láthatjuk hogyan vág össze az ntenztás modellekben levezethet képlettel. 2.2.6. Állítás. Ha E Q e T t rsds X <, akkor 2.2.7. Állítás. Ha E Q T t E Q T t E Q e T t rsds X1 {τ>t } Ft = 1 {τ>t} E Q e ds T t rs+λs X L t. e s t rudu Y s ds <, akkor e s t rudu Y s1 {τ>s} ds F t = 1 {τ>t} E Q T 2.2.8. Állítás. Ha E Q T t e s t ru+λudu Zsλs ds <, akkor E Q e τ t rsds Zτ F t = 1 {τ>t} E Q T t t e s t ru+λudu Y s ds L t. e s t ru+λudu Zsλs ds L t. Az el z állítások bzonyításához, és jelen esetben f leg a jobb megértés érdekében a következ állítást hasznos belátn. 2.2.9. Állítás. E Q 1 {τ T } LT H t = 1 {τ>t} e T t λsds 2 ez a folyamat természetesen az Rt recovery rate-nek feleltethet majd meg 25
Bzonyítás. E Q 1 {τ T } LT H t = E Q 1 {τ T } 1 {τ>t} LT H t = Q{τ T } {τ > t} L T = 1 {τ>t} E Q 1 {τ T } LT H t = 1 {τ>t} Q{τ > t} = LT Q{τ T } L T = 1 {τ>t} Q{τ > t} L T = 1 e T λsds {τ>t} e = 1 t λsds {τ>t} e T t λsds A 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8 állítások bzonyításáért lásd [18]. Szükségünk lesz a zero-recovery-rate, azaz Rt = kockázatos kötvény értékére, azaz menny az ára egy olyan jöv bel kzetésnek, amelyr l tudjuk, hogy ha addg cs döt jelent a kötelezettje, akkor nem kapunk semmt? 2.2.1. Jelölés. Legyen P d t, T a T d pllanatban lejáró,. vállalathoz tartozó, egységny névérték, zero-recovery-rate kockázatos kötvény t pllanatbel értéke, azaz P d t, T = E Q e T t rsds 1 {τ >T } Ft. 2.2.11. Jelölés. Legyen P d t, T a T d pllanatban lejáró,. vállalathoz tartozó, egységny névérték zero-recovery-rate kockázatos kötvény t pllanatbel értéke, feltéve hogy tudjuk, hogy t-g nem következett be cs d, azaz P d t, T = 1 {τ >t} P d t, T. 2.9 Ez az ún. pszeudo kötvény. Használjuk fel a 2.2.6 állítást, ahol most X = 1 a T -ben esedékes kzetés, tehát P d t, T = E Q 1 e T t rsds 1 {τ >T } Ft = 1 {τ >t} E Q e ds T t rs+λ s 1 Lt = 1 {τ >t} E Q e T t rsds e T t λ sds L t = 1 {τ >t} E Q e T t rsds e T λsds e = λ sds L t = = 1 {τ >t} e λsds E Q e T t rsds e T λ sds Lt, 2.1 ahol az utolsó lépésben khasználtuk, hogy e λ sds mérhet L t -re, ezért kemelhetjük a feltételes várható értékb l, és így tovább írva az egyenl séget, és felhasználva a sztochasztkus ntenztás modell 2.5 tulajdonságát, kapjuk hogy P d t, T = 1 {τ >t} Q τ > t E Q L t e T t rsds 1 {τ >T } Lt. 2.11 26