3. Helygörbék Eddig olyan áramköröket vizsgáltunk, amelyekben valamennyi elem jellemző értéke (ellenállása, induktivitása, kapacitása) állandó volt. Így egy adott gerjesztés hatására a kialakuló áramok illetve feszültségek időben állandó (egyenáramú hálózatok), illetve állandó amplitúdójú, időben szinuszosan váltakozó, állandó frekvenciájú mennyiségek (váltakozó áramú hálózatok). továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy időben szinuszosan váltakozó gerjesztés esetén milyen következményekkel jár, ha az áramkör valamelyik elemének jellemzője változik. vizsgált áramkör minden esetben lineáris, koncentrált paraméterű, invariáns hálózat. váltakozó áramú hálózatok vizsgálatát a komplex számításmód alkalmazásával végeztük. Ennek során minden szinuszosan változó mennyiséghez hozzárendeltünk egy fázort, amelyeket a komplex számsíkon ábrázolhattunk (fázorábra). Ez az áramköri elemek egy adott értéke esetén kialakuló jellemzőket jeleníti meg. Egy változó áramköri jellemző egy változó valós paraméter hatására az áramkör valamennyi árama és feszültsége megváltozik. Ha energiatároló elem (tekercs vagy kondenzátor) található az áramkörben, akkor nemcsak a kialakuló áramok, feszültségek nagysága (csúcsértéke illetve effektív értéke) fog megváltozni, hanem a fázishelyzetük pl. a feszültség és áram időfüggvények közötti fáziseltérések nagysága is változhat. Természetesen ennek megfelelően változni az egyes fázorok helyzete, tehát a fázorábra is. helygörbe a komplex számsíkon ábrázolt olyan görbe, amelyet egy valós változójú komplex függvény fázorjának (vektorának) végpontja ír le, mialatt a valós változó az értelmezési tartományának valamennyi lehetséges értékét folyamatosan felveszi. Először azt vizsgáljuk meg, hogy az áramköri jellemzők változásának leírására, ábrázolására milyen lehetőségeink vannak, majd részletesen tárgyaljuk a villamos jellemzők meghatározásának, ábrázolásának különböző módjait. Külön elemezzük a gerjesztés frekvenciájának változása miatt létrejövő jelenségeket. 3.. z impedancia- és az admittancia-diagram Z e L p R p-skála m Z 2 p = p = p = 2 p Z(p) R +jx L jx L 2 R +jx L Re Z R 2 R a) b). ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz b) az impedancia-diagram Vizsgáljuk meg, hogy az ellenállás értékének változásakor (a ábra), hogyan változik a kör impedanciája. váltakozó áramú hálózatok tárgyalásánál megismertek szerint az impedancia értéke felírható Ze ( p) = p Ro + jωl alakban. Tehát olyan komplex számmal adható meg, amelynek képzetes része állandó, és csak a valós része változik. Ezért az impedancia vektorok (komplex számok) ábrázolásakor (b
ábra) a vektorok végpontja egy a valós tengellyel párhuzamos - egyenesen mozog. z azonos tulajdonságú pontok halmazát mértani helynek nevezzük. Tehát az impedanciadiagram az impedancia-vektor végpontjainak mértani helye a komplex síkon. Nyilvánvaló, hogy a helygörbe egyes pontjaihoz a változó elem (pl. ellenállás) különböző értéke tartozik. változó érték jelöléséhez bevezetjük a paramétert, amely a változónak egy alapértékhez (R o ) viszonyított arányát adja meg: R p =. R o Tehát a paraméter azt mutatja meg, hogy a változó értéke a választott alapérték hányszorosa. paraméterek értékét az impedancia helygörbével párhuzamos egyenesen tüntetjük fel. Ezt - a lineáris léptékkel rendelkező - egyenest paraméter-skálának (p-skála) nevezzük. kör áramának értékét az Ohm-törvény alkalmazásával határozhatjuk meg: ( p) = = Ye ( p) Ze ( p) Tehát a feszültséget az impedancia reciprokával, az admittanciával kell szorozni, ezért az admittancia változását is egy helygörbével ábrázolhatjuk, amit admittancia-diagramnak nevezünk. Ebből következik, hogy minden impedancia vektorhoz hozzárendelhetünk egy megfelelő inverz (reciprok) admittancia vektort. Vizsgáljuk meg, hogy ezt a hozzárendelést hogyan kell elvégezni. komplex inverzió az a matematikai művelet, amellyel egy vektort invertálunk, azaz a vektorhoz a megfelelő inverz (reciprok) vektort hozzárendeljük. Röviden foglaljuk össze a komplex inverzió legfontosabb jellemzőit az jϕ Y ( p) = = = e Z ( p) jϕ Z e Z összefüggés alapján. Eszerint egy vektor invertálása két lépésben történhet (2. ábra):./ Tükrözzük a vektort a valós tengelyre (a +ϕ szögből -ϕ szög lesz). 2./ Képezzük a vektor hosszának a reciprokát. z impedancia-helygörbe m a valós tengellyel párhuzamos egyenes, tehát a tükrözött görbe is a valós tengellyel párhuzamos egyenes lesz. reciprokképzés jx L során az origóhoz (inverziós centrumhoz) legközelebb lévő pont () kerül az origótól legtávolabbra. Tételezzük fel, hogy X L egységnyi (X L =), ezért a reciproka is, tehát a pont B helye nem változik ( pont). z O szakaszra, mint átmérőre, rajzoljunk egy félkört. tükörkép helygörbe p= pontjához (C pont) húzott vektor a félkört a B pontban metszi. ϕ -ϕ p= C p= 2. ábra p=2 p=2 Z(p) Re Z Z(p) tükörkép 2
Mivel az OC és OB derékszögű háromszögek hasonlóak, felírhatjuk az oldalak arányára: m OB O =. p= p=2 p O OC Feltételeztük, hogy O =, ezért OB =. Z() Z(p) Z() OC Z(2) z OC a p= paraméterhez tartozó Re impedancia nagyságát jelenti, ezért ennek reciproka az admittanciát adja meg. Y(2) z inverzió eredményét a 3. ábrában Y() Y() foglaltuk össze. z impedancia helygörbe egy Y(p) általános helyzetű félegyenes (<p< ), tehát p-skála az admittancia helygörbe egy origón átmenő p= p=2 félkör lesz. félkörön a különböző paraméterű pontok elhelyezkedése nem lesz lineáris, de az 3. ábra adott ponthoz tartozó paraméter meghatározásához a tükrözött impedancia helygörbe paraméter-skálaként felhasználható, mivel lineáris m () léptékű. Ezzel párhuzamos bármely egyenes, azaz a kör paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes lehet Re a) paraméter-egyenes. b) c) m m K inverz kör B inverz egyenes B K a / a B 4. ábra tükrözött egyenes () () Re Re tükrözött kör félkör átmérőjét az határozza meg, hogy milyen admittancia-léptéket választunk. Természetesen az impedancia és az admittancia léptéke egymástól függetlenül megválasztható. komplex inverzió szabályait az alábbiakban foglalhatjuk össze:./ z origón (inverziós centrumon) átmenő egyenes inverze a tükörkép-egyenes (4a ábra). reciprok-képzés miatt a inverziós centrumban lévő pont megfelelője az inverz helygörbe végtelenben lévő pontja. z inverz egyenes nem rendelkezik lineáris paraméter-skálával, ha az eredeti egyenes paraméterezése lineáris. 2./ Általános helyzetű egyenes inverze origón átmenő kör (4b ábra). reciprok-képzés miatt az egyenes végtelenben lévő pontja (jelen esetben a paraméterű pont) kerül az inverzió centrumába (az origóba), és az egyenesnek az origóhoz legközelebbi pontja lesz a kör origótól legtávolabbi pontja. Ez tehát a kör átmérőjének két végpontja, aminek felezési pontja lesz a kör középpontja.( kör már ez alapján is megrajzolható.) Tehát a kör középpontja rajta lesz az origóból a tükrözött egyenesre bocsátott merőlegesen. 3
Ebből következik, hogy az egyenes egy pontjának ( a vektor) invertálásával (/ a vektor), és a húrfelező merőleges megszerkesz-tésével is meghatározható a kör középpontja (K). paraméter-skála elkészítéséhez egy további pontra is szükség van 3./ Általános helyzetű kör inverze általános helyzetű kör (4c ábra). z inverzió első lépése tükrözés a valós tengelyre. tükrözés előtt megrajzoljuk az origóból induló, és a kör középpontján átmenő egyenest, valamint egy szelőt is húzunk a körhöz ( és B pontok). tükrözést követően ezek a tükrözött kör és B pontjai. Rajzoljuk meg az origóból a tükrözött körhöz húzható érintőket. Nyilvánvaló, hogy ezek az inverz körnek is érintői lesznek, mert a reciprokképzés során a szögtartomány nem változhat. z inverz kör középpontja rajta lesz az origót a tükrözött kör középpontjával összekötő egyenesen. z ponthoz tartozó vektor reciprok vektorának végpontja az pontban van, illetve a B ponthoz tartozó vektor végpontja a B pont. z eredeti körön a B pont volt közelebb az origóhoz, a reciprok körön viszont az pont lesz közelebb, mert a nagyobb szám reciproka lesz kisebb. két pont alapján megszerkesztett felező merőleges egyúttal az inverz kör húrfelező merőlegese, ami a tükrözött kör középpontjához az origóból húzott egyenesen kijelöli az inverz kör középpontját. Ennek ismeretében az inverz kör már megrajzolható. Természetesen a paraméter-skála elkészítéséhez itt is szükség van még egy pontra. Példa: Szerkesszük meg a komplex inverzió szabályainak alkalmazásával az 5. ábrán megadott kapcsolás eredő impedancia és admittancia diagramját ω = 2 rad/s körfrekvencia esetén, ha a paraméter értéke a p tartományban változik. C R p L R = 2 Ω L = mh C = 25 µf 5. ábra Megoldás: z energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = 2 = 2 Ω X C = = = 2 Ω 6 ω C 2 25 z első lépésben a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás admittanciáit kell összegezni, amihez az induktivitás admittancia-diagramját kell meghatározni. z induktivitás impedancia függvénye Z L ( p) = j 2 p, a képzetes tengely pozitív részébe eső, félvégtelen,5 egyenes (6a ábra). Ennek reciproka az YL ( p) = = = j, ami a képzetes Z ( p) j 2 p p tengely negatív részébe eső félvégtelen egyenes. Ennek a pontja van a -ben, és a pontja kerül az origóba. Ha ehhez hozzáadjuk az ellenállás reciprokát - Y R = = =,5 S -, R 2 akkor ennyivel tolódik el az egyenes a valós tengely irányában (6b ábra). Így megkapjuk ( p) -t, a párhuzamosan kapcsolt ágak eredő admittancia diagramját. Y p Ennek reciproka a Z p ( p) impedancia-diagram, amely a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás eredő impedanciáját adja meg. Ez egy félkör, tehát a képzetes tengellyel párhuzamos félvégtelen egyenes inverze a valós tengelyen nyugvó félkör. z eredő impedanciát úgy kapjuk meg, hogy ehhez hozzáadjuk a vele sorba kapcsolt kapacitás impedanciáját, amely = j2 Ω. Ezzel a félkört eltoljuk a képzetes tengellyel Z C L 4
párhuzamosan (6c ábra). Így egy általános helyzetű kört (félkört) kapunk, amely a megadott áramkör eredő impedanciájának helygörbéje. m Z 2 Ω, () m Y,5 S m Z p= p= Z Ω p (p) Z L (p),5 S Re Y Re Z Re Z 2 Ω 2 Ω Y L (p) Y p (p) - Ω p= Z e (p) -,5 S p= p= -2 Ω () () a) b) c) 6. ábra z eredő admittancia helygörbéjét ennek inverziójával kapjuk meg (7. ábra). z ábrán az inverziós lépések jobb követhetősége érdekében feltüntettük a ( p) helygörbét is. m Y,5 S L Y e (p) p=,5 S Re Y képzetes tengelyen nyugvó pont () inverze is a képzetes tengelyen lesz (az admittancia-lépték most is ez előzőekben használttal megegyező). Mivel az impedancia helygörbének érintője a képzetes tengely, ezért az inverz körnek is érintője lesz (l. a 4c ábrát!). Tehát az inverz kör középpontja rajta van a pontban a képzetes tengelyre állított merőlegesen. Másrészt rajta van az eredeti kör középpontján áthaladó egyenes tükörképén is, így a kör középpontja a két egyenes metszéspontja (L pont). p= másik két pont helyének meghatározásához húzzunk egyenest az impedancia-diagram p= paraméterű pontján keresztül, amely most áthalad a Z e (p) (2 Ω) K paraméterű ponton is. Ezt tükrözve a valós tengelyre, a tükrözött egyenes metszi a kört, és a metszéspontok 7. ábra kijelölik a keresett pontokat. Vigyázzunk, mert a reciprokképzés miatt az origóhoz közelebbi pont (p=) kerül az origótól távolabbra az inverz görbén (l. a 4c ábrán az és B pontokat!). keresett helygörbe a kör vastagon kihúzott szakasza, tehát egy,5 S átmérőjű háromnegyed kör. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a pontból kiindulva haladunk a görbe mentén a pontig úgy, hogy közben a p= ponton is áthaladjunk (vastag vonallal jelzett szakasz). Tehát a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a pontból a p= pontba jutunk úgy, hogy közben a harmadik (például p= paraméterű) ponton is áthaladunk. m Y Példa: S 2 S p= Re Y Z p 5 - S 8. ábra
Határozzuk meg a 8. ábrán megadott eredő admittancia-diagram alapján az áramkör felépítését, és az elemek értékét, ha ω = 2 rad/s! Megoldás: z admittancia diagramot bontsuk fel két összetevőre (9a ábra). z egyik egy konstans ( Y = j S ) míg a másik az Y2 ( p) félkör, amely a változó paramétert tartalmazza, tehát az eredő admittancia a kettő összege. z admittanciák párhuzamos kapcsolás esetén összegződnek, tehát a kapcsolás két párhuzamos ágból áll. z egyik ág impedanciája X Z = = j Ω, amiből az induktivitás értéke: L = L = H = 5 µ H. Y ω 2 másik ág admittancia diagramját megrajzoltuk (9b ábra), és az inverziót elvégeztük. Z 2 ( p) a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, tehát ez az ág egy soros RC-tag, ahol a kondenzátor kapacitása változik. p= Y m Y 2 (p) m Y - S p= Y 2 (p) 2 S Re Y a) b) (). ábra 9. ábra Mivel Z 2 () = = =,5,5 Ω Y2 () + j S j, ezért az ellenállás értéke R =,5 Ω, a 3 kapacitás értéke pedig C = = F = F. ω X C 2, 5 z áramkör felépítése a. ábrán látható. példák alapján összefoglalóan megállapíthatjuk: p= Z 2 (p) Ha a passzív hálózatrész több elemet tartalmazó vegyes kapcsolás, akkor az eredő admittancia diagramját általában több lépésben az inverziós szabályok ismételt alkalmazásával - határozhatjuk meg. Ezek a lépések lehetnek összegzések vagy komplex inverziók is. Ha egy diagramhoz egy vektor hozzáadunk, akkor a diagram alakja nem változik, csak eltolódik a vektornak megfelelően. z komplex inverzió szabályaiból következik, hogy a helygörbék alakja kör vagy egyenes. Történhet olyan összegzés is, aminek következtében az eddig általános helyzetű kör átmegy az origón. Természetesen ennek inverze egyenes lesz. Ezek alapján kimondhatjuk: ha az áramkörben csak egy elem értéke változik, akkor a helygörbe egyenes vagy kör lehet. továbbiakban mi csak ilyen eseteket vizsgálunk. lyenkor viszont nem szükséges a fenti sokszor körülményes, hosszadalmas lépésenkénti szerkesztést (komplex inverzió) alkalmaznunk. gyanis a három pontja ismeretében egyértelműen megállapítható a helygörbe alakja (egyenes vagy kör), és ez alapján a szerkesztés elvégezhető. következő pontban ezt részletesen tárgyaljuk. Ellenőrző kérdések: Re L R p C 6
./ Milyen következményekkel jár az energiatároló elemek reaktanciának változása szinuszos gerjesztés esetén? 2./ Hogyan ábrázolhatjuk a változó mennyiségeket? 3./ Mi a paraméter, és hogyan értelmezhető? 4./ Mi az impedancia-diagram? 5./ Mi az admittancia-diagram? 6./ Mi a komplex inverzió, és mik a szabályai? 7./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő impedancia-diagramja? 8./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő admittancia-diagramja? 9./ Milyen jellegű helygörbe fordulhat elő, ha csak egy elem értéke változik? 3.2. z áram-munkadiagram Ha az eddig vizsgált áramkörre egy állandó amplitúdójú, szinuszosan váltakozó feszültséget előállító generátort kapcsolunk (a ábra), akkor a körben szinuszosan váltakozó áram alakul ki. z ennek megfelelő fázorábra a b ábrán látható. z L = X L alapján nyilvánvaló, hogy a kör árama L -el arányosan fog változni, tehát az ellenállás értékének növelésekor csökken. z áram vektorának helyzete viszont az R -el megegyező (az ellenállás áramának és feszültségének fázisszöge azonos). Ha R= (), akkor L =, és az áram 9 o -kal késik az feszültséghez képest (2a ábra). Ha az ellenállás értékét növeljük, akkor a kör impedanciája nő, árama csökken és a ϕ fázisszög is kisebb lesz. kialakuló áram az ( p) = = Y( p) Z( p) összefüggés alapján az impedancia reciprokával az ún. m Re (p) p = 2 () () p = p-skála () 2 p = (p) a) b) 2. ábra admittanciával arányos. Vegyük észre, hogy az áram-munkadiagram csak az konstans szorzóban tér el az admittancia diagramtól! Ha az feszültséget nulla fázisúnak tételezzük fel (időfüggvényének fázisszöge nulla), akkor fázora a valós tengelyen helyezkedik el. Ha az áramléptéket az S a = [ V] a Y cm cm m p = (2) m ϕ R b) a) L. ábra L p R L Re Re R 7
összefüggés alapján határozzuk meg, akkor az admittancia- és az áram-diagram ugyanaz a helygörbe lesz a komplex számsíkon, csak a léptékben különböznek! 2b ábrán az ennek megfelelő helygörbét ábrázoltuk. z feszültségfázor ábrázolása csak tájékoztató jellegű (nul-la fázisú mennyiség). Így feszültség-léptéket sem definiálunk (az fázor hossza tetszőleges). z áram-munkadiagram az áramfázor végpontjainak mértani helye, amely a helygörbét és a hozzárendelt paraméter-skálát jelenti. z áram-munkadiagram meghatározására a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:./ Felírjuk a függvény komplex alakját, és ez alapján megállapítjuk ( kitaláljuk ), hogy milyen görbe egyenlete (l. később). Ez a módszer csak egyszerűbb esetekben alkalmazható (ha a helygörbe egyenes vagy kör), és megfelelő matematikai ismereteket igényel. 2./ függvény egyenletébe behelyettesítve az adott (p p p 2 ) tartomány több pontjában, kiszámoljuk a függvény értékét (pl. áramot). kapott értékeket a komplex számsíkon ábrázolva az összekötő görbe megadja a keresett helygörbét. Mindig használható módszer, de sok számolással jár (l. számítástechnika!). 3./ komplex inverzió szabályainak alkalmazásával megszerkesztjük a diagramot (részletesen megtalálható az előző pontban). gyakorlatban ritkán használjuk. 4./ diagramot számítással határozzuk meg, azaz 3 pontban az áram értékét meghatározzuk. z egyenes 2 pontja, a kör 3 pontja ismeretében rajzolható meg. Ez az áram-munkadiagramok megrajzolásánál kettő illetve három áramfázor (komplex szám) meghatározását jelenti. továbbiakban csak ezzel a módszerrel foglalkozunk! Mivel az általunk vizsgált áramkörökben csak egy elem értéke változik, ezért a helygörbe vagy egyenes, vagy kör lehet. Tehát három pont ismeretében egyértelműen eldönthetjük, hogy a diagram egyenes vagy kör. Ehhez ki kell választani azt a három pontot (paraméter értéket), amelyeknél kiszámoljuk az áram komplex értékét. és paraméter esetén mindig számolunk (még akkor is, ha utóbbi értéket a paraméter ténylegesen fel sem veszi). Ezekben az esetekben a változó elem jellegétől függően - rövidzárral illetve szakadással helyettesíthető, ami egyszerű számolást tesz lehetővé. Másrészt a paraméter-skála megszerkesztéséhez a paraméterű pontra szükségünk van. Ha a valós paraméter ennél szűkebb tartományban változik (pl. p 3), a helygörbén az értelmezési tartományt utólag a paraméter-skála segítségével jelölhetjük ki. harmadik pont egy tetszőleges paraméterű pont lehet, de a kiválasztásánál itt is a célszerűség a meghatározó (az áram komplex értékét minél egyszerűbben meghatározhassuk). Általában a p= (esetleg p=2 vagy,5) paraméterű pontban számolunk. Ez a pont a paraméter-skála léptékének elkészítéséhez szükséges. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a helygörbe nyilvánvalóan egyenes. Egyéb esetekben a húrfelező merőlegesek szerkesztésével a kör középpontját meghatározhatjuk, így a kör megrajzolható. Számos esetben a három pont ábrázolása után a pontok elhelyezkedése alapján a kör középpontja közvetlenül megállapítható, tehát a húrfelező merőlegesek szerkesztésére nincs szükség! smételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a pontból a (vagy p max ) pontba jutunk el úgy, hogy közben a harmadik ponton (pl. p=) is áthaladunk. 8
diagramból közvetlenül leolvashatjuk az áram nagyságát és a fázisszögét, amely megadja, hogy mekkora szöggel késik az áram időfüggvénye a generátor feszültségéhez () képest. gyanakkor az ehhez tartozó paraméter értékét még nem ismerjük. Ha az ellenállás az impedanciának lineáris függvénye, akkor az impedancia-diagram lineáris paraméter-skálaként használható (l. a 2. és 3. ábrákat). kör p = paraméterű pontjához húzható érintő adja meg az impedancia-diagram illetve tükörképének irányát. Ez a tapasztalatunk általánosítható: paraméter-egyenes a helygörbe p = pontjához húzott érintővel párhuzamos egyenes. (2b ábra). Egy adott ellenállás értékhez (paraméterhez) tartozó pont helyének a helygörbén történő meghatározására szolgál a paraméter-skála, amely egy skála-beosztással ellátott paraméter-egyenes. z egyenes önmagával párhuzamosan bármikor eltolható, így a skálaosztás tetszőlegesen nagyítható vagy kicsinyíthető. paraméter-skála megrajzolásának a menete a következő (3. ábra):./ Húzzunk egy egyenest a helygörbe p = pontjába húzható érintővel párhuzamosan. 2./ Húzzunk segédegyenest a p = pontból a helygörbe p = pontján keresztül, amely kijelöli a p = pontot () a paraméter-egyenesen. 3./ Húzzunk segédegyenest a p = pontból a helygörbe p = pontján keresztül, amely kijelöli a p = pontot (B) a paraméter-egyenesen. 4./ paraméter-skála lineáris, tehát a p = és a p = pontok helyének ismeretében az egyenesen a lineáris skálaosztást elkészíthetjük. fenti egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméterskálaként használható! Például keressük meg a helygörbén a p = 5, paraméterű pont helyét! z először megrajzolt paraméterskálán a p = 5, pontot nem tudjuk kijelölni, mert a rajzon erre nincs elegendő hely. Mivel a p = pontba húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes felhasználható paraméter-egyenesként, ezért a p-skála osztását kicsinyíthetjük a p = ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenes felvételével. Ezen a paraméter-skálán az B másfélszerese jelenti a p = 5, paraméterű pont helyét ( C pont). p = pontból ezen a ponton keresztül kell húznunk egy segédegyenest, amelynek a helygörbével adódó metszéspontja jelenti a diagram p = 5, paraméterű pontját (az ehhez tartozó áramfázort ábrázoltuk).,5 m p-skála p= p=,5 ( p) 3. ábra p-skála B C p-skála,5 B Re paraméter-skála kicsinyítését, a p = ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenest megrajzolhattuk volna a valós tengely feletti részen is (tkp. középpontos tükrözés a paraméterű pontra). Ennek a megoldásnak előnye, hogy a paraméter-skála a helygörbén kívül helyezkedik el, így áttekinthetőbb marad az ábra. z egyes paramétereknek megfelelő pontok helyét a segédegyeneseknek a ponton keresztül történő meghosszabításával jelölhetjük ki ezen a paraméter-egyenesen. 9
Példa: Rajzoljuk meg a 4. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! = 6 V ω = rad/s e L R = 2 ohm R 2 = ohm L = mh C o = 5 µf p 5 diagram alapján határozzuk meg a p paraméter értékét e = 9 esetén, valamint az eredő áram legnagyobb értékét! R 2 p C R 4. ábra Megoldás: z áramkör két párhuzamosan kapcsolódó részre bontható, amelyek közvetlenül a generátor kapcsaira csatlakoznak. z egyik az R ellenállás, a másik a vegyes RLC kapcsolás, amelyben a változó értékű elem található. Így az eredő áram a két áram összege ( p) ( p) =, e + 2 ahol a párhuzamosan kapcsolt R ellenállás árama a paraméter változásától független: 6 V = = = 3. R 2 Ω z 2 áram meghatározásához először határozzuk meg az energiatároló elemek reaktanciáját a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = = Ω illetve X C = = = 2 Ω 6 ω C 5 kondenzátor reaktanciája a paraméter függvényében az X C 2 X C p = = = = ω C ω p C p ( ) Ω p összefüggés szerint változik. z áramot a és paraméterű pontokban, valamint a p=2 paraméternél határozzuk meg. tóbbit az indokolja, hogy ekkor könnyen meghatározható a párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája [ ( j) = 5 j5]. számítás során előbb az eredő impedanciákat határozzuk meg, majd ebből az áramokat. esetén a kondenzátor szakadással helyettesíthető: Z ( ) = ( + )Ω 2 j p= esetén a kondenzátor rövidzárral helyettesíthető: Z ( ) = Ω 2 j j + 5 j5 = p=2 esetén a három elem eredő impedanciája: Z ( 2) = ( 5 + 5)Ω Így az áramok az egyes paramétereknél: 6 V + j Ω 6 + j 2 2 j ( ) = = = 3 3 ( ) = + ( ) = 3 + 3 j3 = 6 3 2 j 6 V j Ω e 2 j ( ) = = j 6 ( ) = + ( ) = 3 6 2 6 V 5 + j 5 Ω 2 + j e 2 j ( 2) = = = 6 6 ( ) = + ( 2 ) = 3 + 6 j6 = 9 6 2 j e 2 2 j
Ez alapján az eredő áram léptékhelyes diagramja megrajzolható (5. ábra). z ábrázoláshoz a = léptéket vettünk fel. cm három pont bejelölése után megállapíthatjuk, hogy a helygörbe 6 átmérőjű kör, melynek középpontja (K) a koordináta-rendszer (6, -6) pontja. Tehát a kör húrfelező merőlegesek szerkesztése nélkül is megrajzolható (vékony vonal). helygörbe háromnegyed kör lenne, ha a paraméter a tartományban változna (vastagabb vonal). Mivel a paraméter a 5 tartományban változik, ezért meg kell határozni a görbén a p=5 paraméterhez tartozó pont helyét. Ez a paraméter-skála felhasználásával végezhető el. m, 5 Re, =9 p-skála 9 max 5 K 2 p=2 (p) p=5 5 5. ábra kör paraméterű pontjához húzható érintő a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, ezért a képzetes tengellyel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként hasz-nálható. skálabeosztás elkészítéséhez húzzunk segédegyeneseket a kör paraméterű pontjából a és p=2 paraméterű pontjain keresztül. Ezek kijelölik a paraméteregyenesen a és 2 pontok helyét. Ez alapján a lineáris skálabeosztás elkészíthető, a keresett paraméterhez tartozó pont meghatározható Pl. a p=5 paraméter értékhez tartozó pont a és 2 pontok távol-ságának másfélszeresére van a p=2 paraméterű ponttól. paraméter-skála p=5 paraméterű pontját a kör pontjával összekötve a segédegyenes és a kör metszéspontja adja meg a helygörbe p=5 paraméterű pontját. körnek a és p=5 paraméterű pontok közötti része (vastag vonal) a keresett helygörbe.
Ezzel a léptékhelyes diagram elkészült, aminek kiértékelésével válaszolhatunk a kérdésekre. Rajzoljunk az origóból mint középpontból a 9 -nek megfelelő (9 cm) sugarú körívet. Ez két pontban is metszi a megrajzolt kört, de csak az egyik pont tartozik a diagramhoz. (Ha a paraméter-tartomány felső határa lett volna, akkor két megoldás lenne.) körív és a diagram metszéspontja a 9 nagyságú eredő áramhoz tartozó fázor végpontja. Ezt a pontot a kör paraméterű pontjával összekötő segédegyenes jelöli ki a paraméterskálán az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értékét (p=,5). maximális áramot a diagram origótól legtávolabb lévő pontja határozza meg. Ezt a pontot úgy kapjuk meg, hogy az origóból egyenest húzunk a kör középpontján keresztül. kör és az egyenes metszéspontja adja meg a körnek az origótól legtávolabbi pontját, tehát a maximális áramhoz tartozó fázor végpontját. léptékhelyes ábrából leolvasva: max =,5. Feladat: leírtak alapján határozzuk meg szerkesztéssel a maximális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,35) m O cos ϕ ϕ Re Q O ϕ P P p= sin ϕ S p= Q B B a) b) 6. ábra 3. ábrán megrajzolt helygörbe (áram-diagram) nemcsak az áramok, hanem a teljesítmények meghatározására is alkalmas (6. ábra). z áramfázornak a valós tengelyre vett (az feszültségvektor irányába eső) vetülete cosϕ (6a ábra), ami a hatásos teljesítménynyel arányos ( P = cosϕ ). z áramfázornak a képzetes tengelyre vett vetülete ( sinϕ ) pedig a meddő teljesítménnyel ( Q = sinϕ ) arányos. látszólagos teljesítmény az áramfázor hosszával (az adott pontnak a koordináta-rendszer középpontjától mért távolságával) arányos ( S = ). Tehát az áramfázornak az kapocsfeszültség irányába eső, illetve arra merőleges vetületeit kell az kapocsfeszültséggel megszoroznunk. különböző teljesítmények közvetlenül leolvashatók az áram-diagramból is, ha a teljesítmény-léptéket megfelelően definiáljuk. Ha az áramlépték (a ) adott, akkor a 6a ábra alapján felírhatjuk: O a ϕ = B a sin ϕ = OB a [ ] = cos [ ] [ ] teljesítmények a 6b ábra alapján: S O a = O P B a = a P = = B ap Q OB a = OB ap =. Ez a - teljesítmények leolvasására alkalmas - diagram a munkadiagram (6b ábra). felírt összefüggéseket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az áram-diagram és a munkadiagram ugyanaz a helygörbe, ha a teljesítmény-léptéket az 2
V ap [ V] a cm = cm összefüggés szerint rendeljük az áramléptékhez (tehát a kapocsfeszültséggel megszorozzuk az áramléptéket). lyenkor az áram és a teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható (l. a 6. ábrán), tehát az áram-diagramból egyúttal a teljesítmények is meghatározhatók, ezért nevezzük ezt áram-munkadiagramnak. léptékhelyes ábra megrajzolásához az áramlépték (a ) tetszőlegesen felvehető, amihez a teljesítmény-lépték - a kapocsfeszültség alapján - egyértelműen hozzárendelhető (l. fentebb). Tehát a léptékhelyes ábrából a keresett teljesítmények közvetlenül, mennyiségileg helyesen leolvashatók, nincs szükség a számítással történő meghatározásukra. görbe alapján az egyes mennyiségek szélső értékei (maximum, minimum) egyszerűen megállapíthatók. Példa: Rajzoljuk meg a 7. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! = 5 V ω = 5 rad/s R = 2 Ω R o = Ω e L L = 2 mh Határozzuk meg a p =,5 paraméterhez tartozó jellemzők értékét! RL R p R Megoldás: z induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: = ω L = 5 2 X L 3 = Ω 7. ábra tt is felesleges az áramkör eredő impedanciájának meghatározásával foglalkozni, mert a kere-sett eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: e ( p) = + RL ( p) ahol RL( p ) = p R + j X 5 V párhuzamosan kapcsolt ellenállás (R ) árama nem változik: = = = 2,5 R 2 Ω diagram három pontját az általánosan használt három paraméternél (p =,, ) határozzuk meg. változó ellenállást tartalmazó ág árama az egyes paraméterek esetén: 5 V RL ( ) = = = j5 R + j X j Ω RL o L 5 V + j Ω () = = = ( 2,5 j2,5 ) R o + j X p= esetén az ágban áram nem folyhat: ( ) = z eredő áram értéke az egyes paramétereknél: + ( ) = 2, 5 j5 e L ( ) = RL ( ) e ( ) = + RL ( ) = 2,5 () = + ( ) = 2, 5 + ( 2, 5 j2, 5) ( 5 - j2,5) e RL = RL z áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk. Tehát legyen o L 3
a = 5, cm, amihez a teljesítmény lépték a P = 5 V 5 = V, 25, cm cm és ekkor az áramok és teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható. három pont alapján a léptékhelyes ábra a komplex síkon megrajzolható (8. ábra). helygörbe egy félkör, a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p = pontból a p = jutunk úgy, hogy közben a harmadik ( p = ) ponton is áthaladunk. paraméter-skála a p = ponthoz húzható érintővel ( a valós tengellyel) párhuzamos egyenes. skálabeosztás a p = és a p = pontok alapján megrajzolható. távolság felezési pontja a p = 5, paraméterű pont. kör paraméterű pontjából ezen a ponton keresztül kell rajzolni egy segédegyenest, amely kimetszi a helygörbén a p = 5, paraméterhez tartozó pontot (az áramvektor végpontjának a helyét). Ezt az origóval összekötve kapjuk meg a keresett fázor hosszát. m, 2 3 4 5 Re, 2 (,5) p= 3,5 p-skála 4 B C 5 8.ábra z eredő áram nagysága a fázor hossza alapján: = a OC =,5 2 cm = 6, cm vetületek alapján felírt komplex értékből - = ( 45 j 4), - is számolhatjuk: 4
2 + = = 4, 5 4 = 6,2. kijelölt (C) ponthoz tartozó teljesítmények a teljesítmény-lépték alapján: - a hatásos teljesítmény: P = ap O = 25 9 2 V cm V cm - a meddő teljesítmény: Q = ap OB = 25 8 cm = 225 W cm = 2 var - a látszólagos teljesítmény az áram értékének ismeretében közvetlenül számolható: vagy az áramvektor hossza alapján: S = = 5 V 6 = 3 V, V S = a p OC = 25 2 cm = 3 V. cm teljesítmények szélsőértékei, és a hozzájuk tartozó paraméter értékek: P min = 25 W (p = és p = esetén) P max = 25 W (p = esetén) Q min = (p = esetén) Q max = 25 var (p = esetén) látszólagos teljesítmény szélsőértékeinek meghatározásához a helygörbe origóhoz legközelebbi, illetve attól legtávolabbi pontját kell ismerni. legközelebbi pont a helygörbe valós tengelybe eső pontja, míg a legtávolabbi pont az origóból a kör középpontján áthaladó segédegyenessel határozható meg. S min = 25 V (p = esetén) Feladat: leírtak alapján határozzuk meg a látszólagos teljesítmény maximális értékét és a hozzá tartozó paraméter értékét! (S max = 3 V,,4) teljesítménytényező (cosϕ) meghatározása kapcsán ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a számítások és az ábrázolás során (l. a 2. és 3. ábrát) az kapocsfeszültség fázor a valós tengelyen helyezkedik el, tehát a kapocsfeszültség időfüggvénye nulla fázishelyzetű. Ez egyrészt lehetővé teszi a teljesítménytényező értékének szerkesztéssel történő (cos ϕ-slála) meghatározását, másrészt az áramfázor szöge egyúttal a kapocsfeszültség és az eredő áram közötti szög, amiből cosϕ értéke számolható: m Re( ) 45, cosϕ = = 6 =,75. Feladat: Rajzoljunk cos ϕ-skálát, és szerkesztéssel ellenőrizzük a teljesítménytényező értékét! S p -skála 2 9. ábra p 2 p p Nagyobb paraméter értékeknél a pont meghatározása egyre pontatlanabbul végezhető el, mert a segédegyenes és a helygörbe egyre kisebb szögben metszi egymást (metszéspontjuk meghatározása bizonytalanná válik), illetve a p-skála léptékét is egyre jobban kell kicsip 2 p p Re p-skála 5
nyíteni ( a és pontok távolsága egyre kisebb lesz, a leolvasás pontatlanabbá válik). Ebben az esetben a paraméter-skála elforgatásával érhetünk el pontosabb eredményt (9. ábra). Rajzoljuk meg a kör paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos egyenest mint paraméter-egyenest (p), és készítsük el a skála-osztást a bejelölt pontok segítségével. Ezután vegyük fel az új paraméter-egyenest (p ), és jelöljünk ki a körön a paraméterű pont ( ) helyett egy új pontot (S) úgy, hogy az ebből a pontból az ponton keresztül húzott segédegyenes merőleges legyen az új paraméter-egyenesre. kör másik két bejelölt pontján keresztül is húzzunk segédegyenest az S pontból (ezért hívják ezt a pontot sorozópontnak), így a paraméter-skála elkészíthető. kettő egyenértékű, mivel az azonos köríveken nyugvó kerületi szögek egyenlők, tehát a megfelelő derékszögű háromszögek hasonlóak. paraméter-skála sorozópontos szerkesztése az alábbi lépésekben történik:./ Kijelöljük az S sorozópontot a körnek azon a szakaszán, amely nem része a helygörbének. 2./ sorozópontot összekötjük a kör paraméterű pontjával. Ez az egyenes megadja a paraméter-egyenes irányát. z ezzel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként használható. 3./ sorozópontból a helygörbe p paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p paraméterű pont helyét (pl. p =). 4./ sorozópontból a helygörbe p paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p paraméterű pont helyét (pl. p =). 5./ két pont ismeretében a paraméter-egyenesen a lineáris lépték elkészíthető. Példa: Rajzoljuk meg a 2. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! e R g = V ω = 5 rad/s R = 2 Ω C = 5 µf L = 4 mh 2. ábra a./ Határozzuk meg var eredő meddő teljesítmény esetén az eredő áram nagyságát és a hozzá tartozó paraméter értékét! b./ Határozza meg a legnagyobb és a legkisebb áram értékét, és a hozzá tartozó paramétert is! Megoldás: z energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 3 X L = ω L = 5 4 = 2 Ω illetve X C = = = 4 Ω 6 ω C 5 5 z induktivitás reaktanciája a paraméter függvényében változik: ( p) = p 2 Ω z eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: ( p) = + ( p) párhuzamosan kapcsolt kondenzátor árama a paraméter változásától független: V C = = j2,5 j X j4 Ω = C g C X L e C C RL RL p L 6
z RL-ág áramát három paraméter értéknél kell meghatároznunk. és a mellett a p= értéket célszerű választani (egyszerű a gyöktelenítés elvégzése). Így az ág árama az egyes paraméterek esetén: V V RL ( ) = = 5 RL ( ) = RL () = = ( 2, 5 j2, 5) 2 Ω 2 + j2 Ω z eredő áram értéke az egyes paramétereknél: ( ) = + ( ) = ( 5 j2, 5) ( ) = j2,5 ( ) = + ( ) = 2,5 e C RL + e C = z áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk, a megrajzolandó kör átmérője cm körül legyen (kisebb ábrák esetén a kiértékelés nagyon pontatlanná válhat). Fentiek alapján legyen az áramlépték a = 5,, amihez a teljesítmény lépték cm V a P = V,5 = 5 cm cm ugyanaz a helygörbe használható. e. Így az áramok és teljesítmények leolvasásához most is kör megrajzolásához most sem szükséges a húrfelező merőlegesek szerkesztése. gyanis eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy az RL-ág helygörbéje a valós tengelyen m, C RL 5 S 4 3 K 2 p-skála p=p 2 (p ) var p p 2 2 p= 3 4 5 Re, 2. ábra 7
nyugvó félkör, ha az induktivitás értéke változik. Ezt a félkört az áram értékének megfelelően a képzetes tengellyel párhuzamosan kell eltolni pozitív irányban. z ennek megfelelően megrajzolt kör a 2. ábrán látható. helygörbe a vastag vonallal kihúzott félkör. z ábrán feltüntettük a var eredő meddő teljesítménynek megfelelő egyenest, ami az áramléptéknek felel meg ( V ). Ennek két metszéspontja van a helygörbével (p és p 2 paraméter értékeknél), tehát a feladatnak két megoldása van. p 2 paraméterű pont közel esik a helygörbe paraméterű pontjához, ezért p 2 értékének meghatározása az eddig alkalmazott paraméter-skála szerkesztési eljárással nehézkesen, pontatlanul lenne elvégezhető. Ezért a paraméter-skálát elforgatjuk (l. a 9. ábrát!). sorozópontos szerkesztési eljárást a következők szerint végezzük el. Jelöljük ki a sorozópont (S) helyét a körnek azon a szakaszán (a felső félkörön), amely nem része a helygörbének! Minél távolabb van a sorozópont a paraméterű ponttól, annál nagyobb mértékű az elforgatás. Ezért a sorozópontot a felső félkör jobb oldali negyedében jelöljük ki. Kössük össze a sorozópontot a paraméterű ponttal. z így kapott egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméter-skála készítéséhez felhasználható, tehát húzzunk ezzel párhuzamosan egy egyenest, amelyen a paraméter-skálát elkészítjük. paraméter-skála készítéséhez az S sorozópontból húzzunk egy segédegyenest a kör pontján keresztül, ami kijelöli az előbb megrajzolt paraméter-egyenesen a paraméter helyét. Ezt ismételjük meg a kör p= pontjának felhasználásával is, így megkapjuk a slála paraméterű pontját. Ezt a távolságot egységnek tekintve a lineáris skálabeosztás elkészíthető. fenti eljárás megismétlésével a helygörbe tetszőleges pontjához tartozó paraméter értéke meghatározható. Tehát húzzunk segédegyenest az S sorozópontból a p 2 paraméterű ponton keresztül! Ennek a paraméterskálával képzett metszéspontja adja meg a p 2 paraméter helyét a skálán. paraméter értéke a távolságok arányából közvetlenül számolható: p 7 mm 7 mm 2 =, amiből a keresett paraméter értéke: p 2 = = 3,5 3. 35 mm 35 mm leolvasás bizonytalansága (pontossága) miatt nincs fizikai tartalma (értelme) a túl sok jegy pontossággal elvégzett osztásnak, ezért általában két értékes jegyet veszünk figyelembe. tt van jelentősége a nagyobb méretű (és így pontosabb) ábra rajzolásának! Feladat: fenti eljárás megismétlésével határozzuk meg a p paraméter értékét! (p =,34) z áramok nagyságát a helygörbe p és p 2 paraméterű pontjainak az origótól mért távolsága adja meg. Tájékoztatásul az (p ) fázort feltüntettük az ábrán. Feladat: Határozzuk meg a keresett áramok értékét! ( =4,6, 2 =,5 ) maximális áram értékét a helygörbe origótól legtávolabbi pontja határozza meg. Ez a paraméterű pont, amelynek távolsága az origótól,2 cm tehát max = 5,6. minimális áram értéke a helygörbe origóhoz legközelebb lévő pontjához tartozó áram, ami min =. Feladat: Határozzuk meg a minimális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,4) munkadiagramból nemcsak áramok, hanem teljesítmények is leolvashatók. teljesítmények ismeretében azok aránya, tehát a hatásfok is megállapítható. Ehhez vizsgáljuk meg a 22. ábra szerinti elrendezést. hálózatról egy ohmos jellegű fogyasztót táplálunk. hálózat által betáplált teljesítmény (P BE ) egy része a termelőt a fogyasztóval összekötő Z v impedanciájú vezetéken hővé alakul. teljesítmény többi része (P H ) hasznosul a fogyasztó 8
ellenállásán. Tehát a vizsgálat során az összekötő vezeték impedanciáját (Z v ) és így a rajta fellépő veszteséget - is figyelembe vesszük. Vizsgáljuk meg, hogyan alakulnak a teljesítmény viszonyok illetve a hatásfok a terhelő ellenállás változásának a függvényében! P BE 22. ábra Z v P v (R =p R ) esetén is ( ). m X v O C F R v D L v 23. ábra Z(p) R v +R B 24. ábra M E (p) P H R v p R Re p R z elrendezésnek megfelelő villamos helyettesítő kapcsolás a 23. ábrán látható. vezeték impedanciája egy soros RL kör, tehát az áramkör ellenállása R v (ez a paraméterű pont!) és között változik. Ehhez hasonló kapcsolás jellemzőit már vizsgáltuk (l. a. és 2. ábrákat), ezért az áram-munkadiagram menete most is hasonló az ott ábrázolthoz, de a helygörbe most nem lesz egy teljes félkör (24. ábra), mert az impedancia-diagram egyenese nem érinti a képzetes tengelyt. z ábrába berajzoltuk az áramfázort esetén ( ) - ami a kör OB húrja -, és egy tetszőleges paraméter értékhez tartozó terhelő ellenállás Ha a terhelő ellenállás értéke (), akkor az R v ellenálláson keletkező veszteség: P = 2 R = B a, v v ahol a p a teljesítmény-lépték. z áram esetén a derékszögű háromszögek hasonlósága alapján felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát: Rv CD =. Rv + R CE kifejezés bal oldalát az áram négyzetével bővítve: 2 Rv Rv Pv = = 2 2 Rv + R Rv + R Pv + PH a teljesítmények arányát kapjuk meg. Tehát megállapíthatjuk, hogy a hasznos teljesítmény illetve a betáplált teljesítmény meghatározható a PH = DE a p illetve a PBE = CE a p összefüggés segítségével az ábrázolt diagram alapján. z ábrából nyilvánvaló, hogy az OB húr (az áramfázor) és a képzetes tengely közötti szakasz ( B vagy CD ) hossza a P v teljesítménnyel arányos, míg az OB húr és a kör közötti szakasz a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény értékével arányos. hatásfok definícióját alkalmazva: PH DE η = = [% ], P CE BE p 9
tehát az adott paraméterhez tartozó hatásfok a megfelelő szakaszok arányából közvetlenül számolható. z előbbiekben láttuk, hogy az ábrából a teljesítmények értéke is meghatározható. Vizsgáljuk meg, hogy a hasznos teljesítmény legnagyobb értéke mikor (milyen ellenállás illetve paraméter értéknél) lép fel, és hogyan határozható meg az ábrából. z OB húr és a kör közötti szakasz akkor a legnagyobb, amikor a kör adott pontja a húrtól legtávolabb van. Ez a húr felező merőlegesének megszerkesztésével kereshető meg (M pont). Így a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény maximális értéke: P = FM H max a p. Paraméter-skála szerkesztése esetén az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értéke és így az ellenállás értéke is meghatározható. Példa: Határozzuk meg egy ellenállással lezárt váltakozó feszültségű generátorból kivehető maximális teljesítmény értékét! (25. ábra) Megoldás: b = 4 V R b = 2 ohm ω =5 rad/s L b = 8 mh b R b 25. ábra váltakozó áramú hálózatok vizsgálata során megállapítottuk, hogy a generátorból akkor vehető ki a maximális hatásos teljesítmény, ha a lezáró impedancia a generátor impedanciájának komplex konjugáltja ( Z t = Z b ). Ez itt nem alkalmazható, mivel a lezárás ellenállással * történik. Ezért a feladatot léptékhelyes áram-munkadiagram szerkesztésével oldhatjuk meg. z induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: X = ω = 5 8 = 4 Ω. b L b z R ellenállás értékét úgy választjuk meg a számításokhoz, hogy p= esetén egyszerűen tud-junk számolni. Ezért legyen R = 2 Ω. diagram három pontját az általánosan használt Q, var 8 6 24 32 4 8 6 24 p= p-skála 2,2 P, W L b 3 p R három paraméternél (p =,, ) határozzuk meg. 4 V ( ) = = ( 4 j8) ( 2 + j4) Ω 4 V () = = ( 5 j5) 4 + j4 Ω ( ) ( ) = kör a három pont alapján már megszerkeszthető (26. ábra). kör középpontja a képzetes tengelyen található, mert a valós tengellyel páthuzamos egyenes inverze a képzetes tengelyen nyugvó félkör (l. a 26. ábrát!). kör átmérője az X b reaktancia értékéből számolható:. 26. ábra 2
helygörbe a félkör vastag vonal-lal jelölt szakasza. maximális hasznos teljesítmény pontját az előzőekben ismertetett módon szerkesztettük meg (l. a 24. ábrát). léptéket közvetlenül teljesítmény leolvasására készítettük, ezért egy osztás illetve 4 V. maximális teljesítménynek megfelelő vízszintes szakaszt bejelöltük az ábrába: hossza 3 W osztás. Így a maximális teljesítmény értéke: P max = 3 osztás 4 = 2 W. osztás z ehhez tartozó paraméter érték a paraméter-skála alapján p=2,2. Tehát a terhelő ellenállás: = p R = 2,2 2 Ω R t = Ellenőrzés: kör árama a diagram alapján p=2,2 paraméternél: 5,2. Ebből a teljesítmény: P 2 R = 5,2 2 4,4 9,5 W Ellenőrző kérdések: max = t =./ Mi az áram-munkadiagram? 2./ Mikor lesz azonos helygörbe az eredő admittancia illetve az eredő áram helygörbéje? 3./ Hogyan rajzolható meg a diagram a gyakorlatban? 4./ Milyen paraméterű pontokban számolunk? 5./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála? 6./ Mikor van szükség a paraméter-skála elforgatására? 7./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála sorozópontos szerkesztéssel? 8./ Mikor és miért alkalmas a diagram teljesítmények leolvasására (munkadiagram)? 9./ Hogyan olvashatók le a különböző teljesítmények az áram-munkadiagramból?./ Mit értünk léptékhelyes ábra alatt?./ Mit értünk minőségileg (jellegre) helyes diagram alatt? 2./ Hogyan határozható meg a hatásfok a diagram alapján? 4,4 Ω 2