Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az eseménynek megfelelő rézhalmaz geometriai mértékével (pl.: hosszával, területével, térfogatával) arányos, akkor a valószínűségeket geometriai valószínűségeknek nevezzük. Megjegyzés: A geometriai valószínűség eseménytere egy geometriai alakzat, az esemény az ezen pontok egy részhalmaza, az elemi esemény pedig egy pontnak felel meg. Ezzel a módszerrel olyankor is tudunk valószínűséget meghatározni, ha az elemi események száma végtelen. DEFINÍCIÓ: (Geometriai valószínűségi mező) Ha a T eseménytér mérhető (pl.: van hossza, területe, térfogata), az eseményei mérhetőek, és valószínűségük egyenesen arányos a mértékükkel, akkor ezt az eseményteret az eseményeivel és a köztük értelmezett műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, komplementer) együtt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük. TÉTEL: Ha a T geometriai valószínűségi mező eseménytere, a rajta értelmezett mérték (pl.: hossz, terület, térfogat) μ, akkor bármely A eseményre igaz, hogy P (A) = μ (A) μ (T). DEFINÍCIÓ: (Valószínűségi változó) Ha egy valószínűségi kísérlet minden kimeneteléhez 1 1 számértéket rendelünk, akkor az így kapott függvényt valószínűségi változónak nevezzük. Jele: ξ. Megjegyzés: A valószínűségi változó egy olyan változó mennyiség, amelynek értékei a véletlentől függnek, s a függvény értelmezési tartománya az elemi események halmaza, értékkészlete pedig a való számok egy részhalmaza. Ha a ξ valószínűségi változó értékkészlete a véges x 1, x 2,, x k, vagy megszámlálhatóan végtelen x 1, x 2,, x k, sorozat, akkor diszkrét valószínűségi változóról, ha viszont egy intervallum minden értékét felveheti, akkor folytonos valószínűségi változóról beszélünk. 1

Ha valamely kísérlet során az A i esemény következett be, és a valószínűségi változó szerint ehhez az x i értéket rendeltük, akkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó az x i értéket vette fel. Jele: ξ = x i. A ξ = x i esemény valószínűségének jele: P (ξ = x i ). DEFINÍCIÓ: (Valószínűségi változó eloszlása) Legyen az A i esemény azoknak az elemi eseményeknek az összessége, amelyekhez a ξ valószínűségi változó az x i értéket rendeli. Ekkor a P (ξ = x i ) = P (A i ) valószínűségek halmazát a ξ eloszlásának nevezzük. Megjegyzés: A valószínűségi változó eloszlása megmutatja, hogy a valószínűségi változó a lehetséges értékeit milyen valószínűséggel veszi fel. DEFINÍCIÓ: (Várható érték) Egy ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x 1, x 2,, x n, a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig P 1, P 2,, P n, vagyis P (ξ = x i ) = P i. Ekkor a ξ valószínűségi változó várható értéke az M (ξ) = P 1 k 1 + P 2 k 2 + + P n k n súlyozott számtani közép. Megjegyzés: Ha egy kísérletet nagy számban megismétlünk, akkor a ξ valószínűségi változó megfigyelt értékeinek az átlaga egy szám körül ingadozik, s ezt a számot várható értéknek nevezzük. A várható érték nem szó szerint értendő: ez az az érték, amely körül a tapasztalati értékek ingadoznak, vagyis megadja a valószínűségi változó által felvett értékek,,középpontját. Léteznek olyan valószínűségi változók, amelyeknek nincs várható érétke. TÉTEL: Ha ξ és η ugyanazon véges eseménytéren értelmezett valószínűségi változók, akkor ξ + η is valószínűségi változó, és várható értéke: M (ξ + η) = M (ξ) + M (η). DEFINÍCIÓ: (Szórás) Ha ξ valószínűségi változó, akkor ξ M (ξ) is az, és így a négyzete is. A ξ valószínűségi változó szórásnégyzete a ξ M (ξ) valószínűségi változó négyzetének várható értéke: D 2 (ξ) = M ([ξ M(ξ)] 2 ) = P 1 (k 1 M(ξ)) 2 + + P n (k n M(ξ)) 2 = M (ξ 2 ) M 2 (ξ). A D (ξ) = M ([ξ M(ξ)] 2 ) - t pedig a ξ valószínűségi változó szórásának nevezzük. 2

Megjegyzés: A valószínűségi változó a várható értéke körül ingadozik, melynek mértékéről a szórás ad információt. A szórásnégyzet a várható értéktől való négyzetes eltérés várható értéke. TÉTEL: Ha ξ és η ugyanazon véges eseménytéren értelmezett független valószínűségi változók, akkor ξ + η is valószínűségi változó, és összegük szórásnégyzete: D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η). DEFINÍCIÓ: (Egyenletes eloszlás) Ha a ξ valószínűségi változó minden lehetséges értékét ugyanakkora valószínűséggel veszi fel, akkor egyenletes eloszlásúnak nevezzük. Megjegyzés: Az egyenletes eloszlás a klasszikus valószínűség esete. Ha a ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei x 1, x 2,, x n, akkor várható értéke: M (ξ) = x 1 + x 2 + + x n. n Ha a ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei x 1, x 2,, x n, akkor szórás négyzete: D 2 (ξ) = x 1 2 + x 2 2 + + x 2 n ( x 1 + x 2 + + x n ) 2. n n DEFINÍCIÓ: (Binomiális eloszlás) Legyen p = P (A) az A esemény valószínűsége, míg q = P (A) = 1 p az A esemény ellentettjének valószínűsége. A ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású, ha lehetséges értékeit P (A k ) = P (ξ = k) = ( n k ) pk q n k valószínűséggel veszi fel (ahol k = 0; 1; ; n). Megjegyzés: Olyan esetekben binomiális eloszlású egy valószínűségi változó, amikor a kísérlet kimenetele csak kétféle lehet: az A esemény vagy annak a komplementere (pl.: visszatevéses mintavétel). Visszatevéses mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevéssel kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = P (ξ = k) = ( n k ) (K N )k ( N K N )n k = ( n k ) pk q n k. 3

TÉTEL: Az n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke: M(ξ) = n p. TÉTEL: Az n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó szórása: D (ξ) = n p q. Visszatevés nélküli mintavétel: Legyen adott N elem, amelyek közül K számú elem rendelkezik valamilyen tulajdonsággal, a többi elem nem. Ha visszatevés nélkül kiválasztunk n számú elemet, akkor annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan k számú elem rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal: P (A k ) = P (ξ = k) = (K K k ) (N n k ). ( N n ) DEFINÍCIÓ: (Hipergeometrikus eloszlás) A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ha lehetséges értékeit P (A k ) = P (ξ = k) = (K k K ) (N n k ) ( N n ) valószínűséggel veszi fel (ahol k = 0; 1; ; n). TÉTEL: Az n, K és N paraméterű hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = n K N. TÉTEL: Az n, K és N paraméterű hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó szórása: n K D (ξ) = (1 K N n ). N N N 1 4

Geometriai valószínűség 1. Egy 20 m 2 - es szobában leejtjük a lekvároskenyeret a padlóra. Mekkora valószínűséggel esik az 5 m 2 - es szőnyegre? Az összes eset a szoba 20 m 2 - es területe, míg a kedvező eset a szőnyeg 5 m 2 - es területe. Ezek alapján a megoldás: P = 5 20 = 0,25. 2. Egy darts tábla kör alakú átmérője 45 cm. Közepén egy 4 cm átmérőjű tartomány található. Mi a valószínűsége, hogy beletalálunk középre, ha feltesszük, hogy a táblát biztosan eltaláljuk? Az összes eset a tábla területe: T ö = 22,5 2 π 1 589,63 cm 2. A kedvező eset a középső tartomány területe: T k = 2 2 π 12,56 cm 2. Ezek alapján a megoldás: P = 12,56 1 589,63 0,0079. 3. Egy 50 cm oldalú négyzetben egy 10 cm sugarú kör található. Mi a valószínűsége, hogy beletalálunk a körbe, ha a négyzetet biztosan eltaláljuk? Az összes eset a négyzet területe: T ö = 50 2 = 2 500 cm 2. A kedvező eset a kör területe: T k = 10 2 π 314 cm 2. Ezek alapján a megoldás: P = 314 2 500 0,13. 4. Válasszunk a [2; 15[ intervallumból véletlenszerűen egy valós számot! Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a szám egész része 3 - mal osztható! Az összes eset legyen az alaphalmaz hossza, vagyis 13 egység. A kedvező esetek a [3; 4[, a [6; 7[, a [9; 10[ és a [12; 13[ intervallumok hosszának összege, vagyis 4 egység. Ezek alapján a megoldás: P = 4 13 0,31. 5

5. Két ember megbeszéli, hogy 16 és 17 óra között találkoznak. Mennyi a valószínűsége, hogy egyikük sem vár 10 percnél többet? Jelöljük x - szel és y nal, hogy a két ember mennyi perccel érkezik 16 óra után a helyszínre. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: x y < 10. Hagyjuk el az abszolútértéket a következőképpen: 10 < x y < 10. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y < x + 10 és y > x 10. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 60 2 = 3 600 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = 60 2 50 2 = 1 100 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 1 100 3 600 0,31. 6

6. Anita és Csilla egy napon vásárolnak ugyanabban a boltban. A bolt 10 órától 20 óráig van nyitva, s ők 2 órát töltenek el vásárlással. Mennyi a valószínűsége, hogy egyszerre bent lesznek? Jelöljük x - szel Anita érkezési idejét, y - nal Csilla érkezési idejét. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenség: x y < 2. Hagyjuk el az abszolútértéket a következőképpen: 2 < x y < 2. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y < x + 2 és y > x 2. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 8 2 = 64 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = 8 2 6 2 = 28 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 28 64 0,44. 7

7. Zsuzsa minden reggel fél 9 és 9 óra között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. Neki két busz is megfelel, az egyik 15, a másik 20 percenként indul 5 órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy nem kell 5 percnél többet várnia? Ábrázoljuk Zsuzsi érkezését egy szakasszal, majd jelöljük be rajta a buszok érkezését. Az összes eset a teljes szakasz hossza, vagyis 30 perc. A kedvező eset a zöld szakaszok hosszának összege, vagyis 3 5 = 15 perc. Ezek alapján a megoldás: P = 15 30 = 0,5. 8. A koordináta rendszerben egy pontot véletlenszerűen választunk abból a téglalapból, amelynek csúcsai (0; 0), (2; 0), (2; 3) és (0; 3). Mi a valószínűsége, hogy a pont x koordinátája kisebb, mint az y koordinátája? Azon pontok, melyek x koordinátája kisebb, mint az y koordinátája, az y = x egyenes felett helyezkednek el. Ábrázoljuk koordináta rendszerben a feltételnek megfelelő pontokat. Az összes eset a téglalap területe: T ö = 2 3 = 6 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = 6 2 2 = 4 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 4 6 0,67. 2 8

9. Véletlenszerűen választunk két 0 és 1 közé eső számot. Mi a valószínűsége, hogy összegük legfeljebb 1? Legyen a két választott szám x és y. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenség: x + y 1. Rendezzük az egyenlőtlenséget a következőképpen: y 1 x. Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a négyzet területe: T ö = 1 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = 1 1 1 = 0,5 terület egység. Ezek alapján a megoldás: P = 0,5 1 = 0,5. 2 10. Egy pálcát véletlenszerűen kettétörünk. Mi a valószínűsége, hogy a töréspont közelebb lesz a pálca valamelyik végéhez, mint a középpontjához? Ábrázoljuk a pálcát egy szakasszal, majd bontsuk a szakaszt 4 egyenlő részre. Az összes eset a pálca teljes hossza, vagyis 4 egység. A kedvező eset a zöld szakaszok hosszának összege, vagyis 2 egység. Ezek alapján a megoldás: P = 2 4 = 0,5. 9

11. Egy 1 egység hosszúságú pálcát véletlenszerűen három darabra törünk. Mennyi a valószínűsége, hogy a darabokból háromszög állítható össze? Legyen az egységnyi AB szakasz két osztópontja C és D, továbbá AC = x és AD = y. Ekkor CD = y x és DB = 1 y. Ahhoz, hogy a felosztással keletkezett szakaszokból háromszög legyen szerkeszthető, teljesülnie kell a háromszög egyenlőtlenségnek. Ezek alapján a következő egyenlőtlenségek adódnak: 1 y < x + y x y > 1 2 x < y x + 1 y x < 1 2 y x < x + 1 y y < x + 1 2 Ábrázoljuk a kapott ponthalmazokat közös koordináta - rendszerben: Az összes eset a piros négyzet területe: T ö = 1 1 = 0,5 terület egység. A kedvező eset a zöld síkidom területe: T k = Ezek alapján a megoldás: P = 0,125 0,5 = 0,25. 2 0,5 0,5 10 2 = 0,125 terület egység.

Valószínűségi változó eloszlása, várható értéke, szórása 1. Három pénzérmével dobunk egymás után. Legyen a ξ valószínűségi változó értékei azon pénzérmék száma, melyekkel fejet dobunk. Adjuk mega valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = 1 8 Annak a valószínűsége, hogy nem lesz fej a dobások között. P (ξ = 1) = 3 8 Annak a valószínűsége, hogy 1 darab fej lesz a dobások között. P (ξ = 2) = 3 8 Annak a valószínűsége, hogy 2 darab fej lesz a dobások között. P (ξ = 3) = 1 8 Annak a valószínűsége, hogy 3 darab fej lesz a dobások között. A ξ várható értéke: M (ξ) = 1 8 0 + 3 8 1 + 3 8 2 + 1 8 3 = 1,5. A ξ szórása: D (ξ) = 1 8 (0 1,5)2 + 3 8 (1 1,5)2 + 3 8 (2 1,5)2 + 1 8 (3 1,5)2 0,87. 2. Kockával dobva, határozd meg a dobott szám értékét felvevő valószínűségi változó várható értékét és szórását! Legyen ξ az a valószínűségi változó, amely megmutatja, hogy mennyi a dobott szám értéke. Bármelyik szám dobásának a valószínűsége: 1 6. A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = 1 6 1 + 1 6 2 + 1 6 3 + 1 6 4 + 1 6 5 + 1 6 6 = 3,5. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = 1 6 (1 3,5)2 + 1 6 (2 3,5)2 + 1 6 (3 3,5)2 + 1 6 (4 3,5)2 + 1 6 (5 3,5)2 + 1 6 (6 3,5)2 1,71 11

3. Két kockával dobunk, és a dobott számokat összeadjuk. Határozd meg az összeg várható értékét! Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyi a kidobott számok összege. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 2) = 1 36 P (ξ = 3) = 2 36 P (ξ = 4) = 3 36 P (ξ = 5) = 4 36 P (ξ = 6) = 5 36 P (ξ = 7) = 6 36 P (ξ = 8) = 5 36 P (ξ = 9) = 4 36 P (ξ = 10) = 3 36 P (ξ = 11) = 2 36 P (ξ = 12) = 1 36 A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = 1 36 2 + 2 36 3 + 3 36 4 + 4 36 5 + 5 36 6 + 6 36 7 + 5 36 8 + 4 36 9 + 3 36 10 + 2 36 11 + + 1 12 = 7. 36 4. Egy csomag magyar kártyából kiosztunk egyszerre 6 lapot. Mennyi a 6 kiosztott lap közt lévő királyok számának várható értéke? Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyi a kihúzott királyok száma. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (28 6 ) P (ξ = 1) = ( 4 ( 32 6 ) 1 ) (28 5 ) ( 32 6 ) P (ξ = 2) = ( 4 2 ) (28 4 ) ( 32 6 ) P (ξ = 3) = (4 3 ) (28 3 ) ( 32 P (ξ = 4) = ( 4 6 ) 4 ) (28 2 ) ( 32 6 ) P (ξ = 5) = 0 P (ξ = 6) = 0 A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = (28 6 ) ( 32 0 + ( 4 6 ) 1 ) (28 5 ) ( 32 6 ) 1 + ( 4 2 ) (28 4 ) ( 32 6 ) 2 + ( 4 3 ) (28 3 ) ( 32 12 6 ) 3 + ( 4 4 ) (28 2 ) ( 32 6 ) 4 + 0 5 + 0 6 = 0,75.

5. Azonos fajtájú hűtőgépek X élettartama véletlentől függő valószínűségi változó. Az ellenőrzés során azt tapasztalták, hogy a 6 éves élettartamúak aránya 5 % körül, a 7 éves élettartamúak aránya 30 % körül, a 8 éves élettartamúak aránya 45 % körül, a 9 éves élettartamúak aránya 10 % körül, a 10 éves élettartamúak aránya 10 % körül ingadozik. Mekkora a hűtőgépek élettartamának várható értéke, szórása? Az élettartam várható értéke: M (X) = 5 6 + 3 7 + 45 8 + 1 9 + 1 10 = 7,9 év. 100 10 100 10 10 Az élettartam szórása: D (X) = 5 100 (6 7,9)2 + 3 10 (7 7,9)2 + 45 100 (8 7,9)2 + 1 10 (9 7,9)2 + 1 10 (9 7,9)2 0,87. 6. Egy árukészlet ötöde hibás. Találomra kiválasztunk 4 darabot úgy, hogy a kihúzott árut visszatesszük, mielőtt a következőt kihúznánk. A ξ valószínűségi változó legyen a kiválasztott hibás darabok száma. Írd fel a valószínűségi változó eloszlását és számítsd ki a várható értékét, illetve szórását! Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = ( 4 0 ) (1 5 )0 ( 4 5 )4 = 256 625 P (ξ = 1) = ( 4 1 ) (1 5 )1 ( 4 5 )3 = 256 625 P (ξ = 2) = ( 4 2 ) (1 5 )2 ( 4 5 )2 = 96 625 P (ξ = 3) = ( 4 3 ) (1 5 )3 ( 4 5 )1 = 16 625 P (ξ = 4) = ( 4 4 ) (1 5 )4 ( 4 5 )0 = 1 625 A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = 256 625 0 + 256 625 1 + 96 625 2 + 16 625 3 + 1 625 4 = 0,8. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = 256 625 (0 0,8)2 + 256 625 (1 0,8)2 + 96 625 (2 0,8)2 + 16 625 (3 0,8)2 + 1 625 (4 0,8)2 = 0,8. 13

7. Legyen adott egy 20 cm oldalú négyzet alakú céltábla a közepén egy 5 cm sugarú körrel. Ha véletlenszerűen lövünk, s mindig a céltáblába találunk, akkor 10 lövés esetén mennyi a lövések várható értéke és szórása? Annak a valószínűsége, hogy a körbe találunk: p = 52 π 20 2 0,196. Annak a valószínűsége, hogy a körön kívülre találunk: q = 1 0,196 = 0,804. Legyen a ξ valószínűségi változó annak az értéke, hogy hányszor találunk a körbe a 10 lövésből. A ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású. A ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ) = 10 0,196 = 1,96. A ξ valószínűségi változó szórása: D (ξ) = 10 0,196 0,804 1,26. 8. Kati és Pali egy szabályos dobókockával játszanak. Kati nyer, ha 2 est, 3 ast, 5 öst, vagy 6 ost dobnak, Peti nyer, ha 1 est, vagy 4 est dobnak. Ha Kati nyer, akkor Pali fizet neki 3 forintot, ha Pali nyer, akkor Kati fizet neki 4 forintot. Kinek előnyösebb a játék? Legyen a ξ valószínűségi változó annak az értéke, hogy Katinak mennyi a dobás utáni pénze. Legyen a η valószínűségi változó annak az értéke, hogy Palinak mennyi a dobás utáni pénze. Számítsuk ki a ξ és a η lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 3) = 4 6 P (ξ = 4) = 2 6 P (η = 4) = 2 6 P (η = 3) = 4 6 Kati nyereményének várható értéke: M (ξ) = 4 6 3 + 2 6 ( 4) = 4 6. Pali nyereményének várható értéke: M (η) = 2 6 4 + 4 6 ( 3) = 4 6. Ezek alapján Kati nagyobb eséllyel nyer a játék során. 14

9. A rulettben 37 számra lehet tippelni 0 36 ig. Ha eltaláltuk a számot, a tét 36 szorosát kapjuk. Nyerünk, vagy veszítünk, ha sokáig játszunk? Ha eltaláljuk a számot, akkor a nyereség 36 1 = 35 Ft. Ha nem találjuk el a számot, akkor elveszítjük az 1 Ft ot. A nyereségünk várható értéke: M (ξ) = 1 36 35 + ( 1) = 1 = 0,027. 37 37 37 Ezek alapján, ha sokáig játszunk, akkor játékonként átlagosan a tét 2,7 % - át elveszítjük. 10. Egy lóversenyen három ló győzelmére lehet fogadni. Tornádó győzelme esetén a tét másfélszeresét fizeti a fogadóiroda. Villám győzelme esetén a tízszeresét, Szélvész győzelme esetén a háromszorosát. Titkos belső információ szerint Tornádó 60 % eséllyel nyer, Villám 10 % eséllyel, Szélvész pedig 30 % eséllyel. Melyik lóra érdemes fogadni és mennyi lesz a nyeremény várható értéke? Tegyük fel, hogy 1 Ft tal fogadunk az egyik lóra. Ha Tornádóra fogadunk és ő győz, akkor a nyereség 1 1,5 1 = 0,5 Ft. Ha Villámra fogadunk és ő győz, akkor a nyereség 1 10 1 = 9 Ft. Ha Szélvészre fogadunk és ő győz, akkor a nyereség 1 3 1 = 2 Ft. Számítsuk ki, hogy az egyes lovakra fogadva mennyi a nyereség várható értéke. Tornádó esetén a várható érték: M (ξ) = 0,6 0,5 + 0,1 ( 1) + 0,3 ( 1) = 0,1. Villám esetén a várható érték: M (ξ) = 0,1 9 + 0,6 ( 1) + 0,3 ( 1) = 0. Szélvész esetén a várható érték: M (ξ) = 0,3 2 + 0,6 ( 1) + 0,1 ( 1) = 0,1. Ezek alapján a futamon Villámra érdemes fogadni. 15

11. Egy kaszinó tulaja a következő játékot vezeti be. Három különböző színű kockával dobnak és az összeget nyeri a játékos, ha legalább 2 kockán 6 - ost dobott. a) Mekkora az esély nyerésre? b) Ráfizet - e a tulajdonos, ha a játékosnak egy játékért 1 eurót kell fizetnie (vagyis mennyi a játékban a nyeremény várható értéke)? a) Az összes eset száma: 6 3 = 216. A kedvező eseteknél a következő lehetőségek adódnak: 3 darab 6 - ost dobunk, amit 1 - féleképpen tehetünk meg; 2 darab 6 - ost és egy másik számot dobunk, ekkor először ki kell választanunk, hogy melyik két dobókockával dobunk 6 - ost, majd ezután azt, hogy a harmadikon melyik számot dobtuk az 5 - ből, ezt ( 3 2 ) (5 ) = 15 - féleképpen tehetünk meg. 1 Ebből a kedvező esetek száma: 1 + 15 = 16. Ezek alapján a megoldás: P = 16 216 0,074. b) Legyen ξ az a valószínűségi változó, amely megmutatja, hogy mennyit nyerünk a dobással. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 13) = 3 216 P (ξ = 14) = 3 216 P (ξ = 15) = 3 216 P (ξ = 16) = 3 216 P (ξ = 17) = 3 216 P (ξ = 18) = 3 216 P (ξ = 0) = 200 216 A nyeremény várható értéke: M (ξ) = 200 0 + 3 13 + 3 14 + 3 15 + 3 16 + 3 17 + 3 18 1,29. 216 216 216 216 216 216 216 Ezek alapján a nyeremény várható értéke több mint 1 euró, vagyis így a tulajdonos ráfizet. 16

12. Egy játékban két kockával dobunk, és a dobott számok szorzatát kapjuk meg nyereményként, illetve ezt az összeget csökkenti a játék díja. a) Határozd meg a nyeremény eloszlását! b) Hogyan kell a játék díját meghatározni, ha azt akarjuk, hogy a játék igazságos legyen (azaz a haszon várható értéke 0 legyen)? a) Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy mennyit nyerünk a dobással. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 1) = 1 36 P (ξ = 2) = 2 36 P (ξ = 3) = 2 36 P (ξ = 4) = 3 36 P (ξ = 5) = 2 36 P (ξ = 6) = 4 36 P (ξ = 8) = 2 36 P (ξ = 9) = 1 36 P (ξ = 10) = 2 36 P (ξ = 12) = 4 36 P (ξ = 15) = 2 36 P (ξ = 16) = 1 36 P (ξ = 18) = 2 36 P (ξ = 20) = 2 36 P (ξ = 24) = 2 36 P (ξ = 25) = 1 36 P (ξ = 30) = 2 36 P (ξ = 36) = 1 36 b) Legyen a játék díja x. Ekkor a haszon várható értéke: M (ξ x) = 1 (1 x) + 2 (2 x) + 2 (3 x) + 3 (4 x) + 2 (5 x) + 36 36 36 36 36 4 (6 x) + 2 (8 x) + 1 (9 x) + 2 (10 x) + 4 (12 x) + 36 36 36 36 36 2 (15 x) + 1 (16 x) + 2 (18 x) + 2 (20 x) + 2 (24 x) + 36 36 36 36 36 1 (25 x) + 2 (30 x) + 1 (36 x) = 12,25 x 36 36 36 Mivel a várható érték 0, így x = 12,25. Ezek alapján akkor igazságos a játék, ha a díja 12,25 Ft. 17

Binomiális-, hipergeometrikus eloszlás 1. Egy áruházban 15 eladó van, 3 ért szakszerűen a dolgokhoz. Az egyik napon 8 vevő jött és találomra kértek segítséget 1 1 eladótól. Mi a valószínűsége, hogy a 8 vevő között pontosan 5 volt, aki szakértőtől kért segítséget? Az összes eset száma: 15 2 = 2 562 890 625. A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt az 5 vevőt, akik szakértőtől kértek segítséget, amit ( 8 ) = 56 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 3 szakértőből kell 5 választanunk 5 - öt és a 12 további eladóból pedig 3 - at, s ezt 3 5 12 3 = 419 904 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 56 419 904 = 23 514 624. Ezek alapján a megoldás: P = 23 514 624 2 562 890 625 0,0092. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a vevők mennyi szakértőtől kértek segítséget. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 5) = ( 8 5 ) ( 3 15 )5 ( 12 15 )3 0,0092. 2. Egy 10 gyerekes családban mennyi a valószínűsége, hogy 3 fiú lesz a gyerekek között? Az összes eset száma: 2 10 = 1 024. A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 gyerek lesz fiú, amit ( 10 ) = 120 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a fiúkból kell választanunk 3 - at és a 3 lányokból pedig 7 - et, s ezt 1 3 1 7 = 1 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 120 1 = 120. Ezek alapján a megoldás: P = 120 1 024 0,12. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a 10 gyerek közül mennyi lesz fiú. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = ( 10 3 ) (1 2 )3 ( 1 2 )7 0,12. 18

3. Egy dobozban 30 termékből 8 hibás. Egyet kiválasztunk, s megvizsgáljuk selejtes - e, majd visszatesszük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 - öt kiválasztva pontosan 2 selejtes lesz közöttük? Az összes eset száma: 30 5 = 24 300 000. A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 2 húzásnál lesz hibás, amit ( 5 ) = 10 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 8 selejtből kell választanunk 2 - t és 2 a 22 hibátlanból pedig 3 - at, s ezt 8 2 22 3 = 681 472 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 10 681 472 = 6 814 720. Ezek alapján a megoldás: P = 6 814 720 24 300 000 0,28. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 választott termékből mennyi lesz selejtes. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = ( 5 2 ) ( 8 30 )2 ( 22 30 )3 0,28. 4. Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 darab kék és 3 darab piros. Mi a valószínűsége, hogy visszatevéssel 4 - szer kihúzva 1 1 golyót, pontosan 3 kék lesz közöttük? Az összes eset száma: 10 4 = 10 000. A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 húzásnál lesz kék, amit ( 4 ) = 4 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 7 kékből kell választanunk 3 - at és a 3 3 pirosból pedig 1 - et, s ezt 7 3 3 1 = 1 029 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 4 1 029 = 4 116. Ezek alapján a megoldás: P = 4 116 10 000 0,41. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy a 4 kihúzott golyó között mennyi lesz kék színű. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = ( 4 3 ) ( 7 10 )3 ( 3 10 )7 0,41. 19

5. Egyszerre dobunk fel 5 szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két darab 3 - mal osztható számot dobunk? Az összes eset száma: 6 5 = 7 776. A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk melyik két kockával dobunk 3 - mal osztható számot, amit ( 5 ) = 10 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 2 darab 3 - mal 2 osztható számból kell választanunk 2 - t és a többi számból pedig 3 - at, s ezt 2 2 4 3 = 256 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 10 256 = 2 560. Ezek alapján a megoldás: P = 2 560 7 776 0,33. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 dobásból mennyi lesz 3 - mal osztható. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = ( 5 2 ) (2 6 )2 ( 4 6 )3 0,33. 6. Egy kaszinóban magyar kártyával játszanak egy szerencsejátékot. A játékos a 32 lapból véletlenszerűen kiválaszt egyet, annak színét feljegyzik, majd a lapot visszateszik a pakliba, s megkeverik a paklit. Ezután még 4 - szer húz hasonló módon. Ha az 5 feljegyzett szín között legalább kétszer szerepel a zöld, akkor a játékos nyert, ellenkező esetben veszített. Mekkora a nyerés valószínűsége? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor a játékos nem húz legalább két zöld lapot. Az összes eset száma: 32 5 = 33 554 432. A kedvező esetek a következők lehetnek: nem húz zöldet, amit 24 5 = 7 962 624 féleképpen tehet meg, illetve 1 zöldet húz, amit ( 5 1 ) 81 24 4 = 13 271 040 féleképpen tehet meg. Ebből a kedvező esetek száma: 7 962 624 + 13 271 040 = 21 233 664. Ezek alapján a megoldás: P (A) = 1 P (A) = 21 233 664 33 554 432 0,37. A megoldáshoz használhatjuk a binomiális eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott kártyából mennyi lesz zöld. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. 20

P (ξ = 2) = ( 5 2 ) ( 8 32 )2 ( 24 32 )3 0,2637 P (ξ = 3) = ( 5 3 ) ( 8 32 )3 ( 24 32 )2 0,0879 P (ξ = 4) = ( 5 4 ) ( 8 32 )4 ( 24 32 )1 0,0146 P (ξ = 5) = ( 5 5 ) ( 8 32 )5 ( 24 32 )0 0,001 Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (A) = 0,2637 + 0,0879 + 0,0146 + 0,001 = 0,3672. 7. Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 kék és 3 piros. Mi a valószínűsége, hogy ha kiveszünk 5 - öt visszatevés nélkül, akkor pontosan 4 kék lesz közte? Az összes eset száma: ( 10 5 ) = 252. A kedvező esetek száma: ( 7 4 ) (3 1 ) = 105. Ezek alapján a megoldás: P = 105 252 0,42. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott golyóból mennyi lesz kék. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 4) = (7 4 ) (3 1 ) ( 10 5 ) 0,42. 8. Egy farsangon 20 emberből 8 nő. Kisorsolnak tombolán 5 embert úgy, hogy mindenkit csak egyszer húznak ki. Mi a valószínűsége, hogy 3 nőt sorsolnak ki? Az összes eset száma: ( 20 ) = 15 504. 5 A kedvező esetek száma: ( 8 3 ) (12 2 ) = 3 696. Ezek alapján a megoldás: P = 3 696 15 504 0,24. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kihúzott emberből mennyi lesz nő. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 3) = (8 3 ) (12 2 ) ( 20 5 ) 0,24. 21

9. Egy 25 fős osztályban 8 tanuló jeles matematikából. Kisorsolunk egy felmérésben 5 diákot. Mennyi a valószínűsége, hogy közöttük 2 jeles lesz, ha csak egyszer sorsolhatjuk ki őket? Az összes eset száma: ( 25 ) = 1 081 575. 5 A kedvező esetek száma: ( 8 2 ) (17 ) = 19 040. 3 Ezek alapján a megoldás: P = 19 040 1 081 575 0,018. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kisorsolt diákból mennyi lesz jeles. Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P (ξ = 2) = (8 2 ) (17 3 ) ( 25 5 ) 0,018. 10. Egy üzemben naponta 100 öltönyt varrnak, melyből 80 fekete és 20 szürke. Minden nap 10 selejtes készül, s egy ellenőrzés során 50 öltönyt vizsgálnak át. Ha az 50 - ből csak 2 selejtes, akkor a teljes árut megveszi az öltönyökkel kereskedő cég, de ha ennél több, akkor nem vásárolja meg a készletet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy ilyen vizsgálat után megkötik az üzletet? Az összes eset száma: ( 100 50 ). A kedvező esetek száma: ( 10 0 ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 48 ). Ezek alapján a megoldás: P = (10 0 ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 48 ) ( 100 50 ) 0,092. A megoldáshoz használhatjuk a hipergeometrikus eloszlás képletét is: Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 50 kiválasztott öltönyből mennyi lesz selejtes. Számítsuk ki a ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (10 0 ) (90 50 ) ( 100 P (ξ = 1) = ( 10 50 ) 1 ) (90 49 ) ( 100 Ekkor a következőképpen adódik a megoldás: P = (10 0 ) (90 50 ) + ( 10 ( 100 50 ) 50 ) P (ξ = 2) = ( 1 ) (90 49 ) + ( ( 100 50 ) 10 2 ) (90 48 ) ( 100 10 2 ) (90 48 ) ( 100 50 ) 50 ) 0,092. 22

11. Egy pénztárcában 10 darab 1 Ft - os és 8 darab 2 Ft - os érme van. a) Kiválasztunk közülük 5 öt visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy az első két húzáson 1 Ft - ost, a további húzásokon pedig 2 Ft - ost húzunk? b) Kiválasztunk közülük 5 öt úgy, hogy nem tesszük vissza a már kihúzottakat. Mi a valószínűsége, hogy lesz köztük legalább 2 darab 1 Ft - os érme? a) Az összes eset száma: 18 5 = 18 895 668. A kedvező esetek számánál ezúttal meg van határozva előre a különböző pénzérmék helye, így csak ki kell választanunk az 1 Ft - osokból 2 t, a 2 Ft - osokból pedig 3 - at, s ezt 10 2 8 3 = 51 200 - féleképpen tehetjük meg. Ezek alapján a megoldás: P = 51 200 18 895 668 0,0027. b) Legyen ξ az a valószínűségi változó, ami megmutatja, hogy az 5 kiválasztott érméből mennyi lesz 1 Ft - os. Számítsuk ki az ellentett eseménynek megfelelő ξ lehetséges értékeinek valószínűségét. P (ξ = 0) = (10 0 ) (8 5 ) ( 18 P (ξ = 1) = ( 10 5 ) 1 ) ( 8 4 ) ( 18 5 ) Ezek alapján a megoldás: P (A) = 1 P (A) = 1 ( (10 0 ) (8 5 ) ( 18 + ( 10 1 ) ( 8 4 ) ) 5 ) ( 18 0,91. 5 ) 12. Egy futball bajnokság mérkőzését a Falábúak és a Kurtalábúak csapata játssza. A hosszabbítás után is döntetlen az eredmény, ezért 5 5 tizenegyest rúgnak, hogy eldöntsék, ki lesz a bajnok. Ha a Falábúak 80 %, a Kurtalábúak 85 % eséllyel rúgnak be egy tizenegyest az ellenfél kapusának, akkor mi a valószínűsége, hogy a Falábúak 5 3 ra győznek? (A tizenegyesrúgásokat akkor is folytatják, ha már biztos az egyik csapat győzelme.) Legyen az A esemény az, hogy a Falábúak minden tizenegyest berúgnak, a B esemény pedig az, hogy a Kurtalábúak 3 tizenegyest berúgnak. A két esemény független egymástól, így a keresett valószínűség: P (A B) = P (A) P(B). Az A esemény valószínűsége: P (A) = 0,8 5 0,33. A B esemény valószínűsége: P (B) = ( 5 3 ) 0,853 0,15 2 0,14. Ezek alapján a megoldás: P (A B) = 0,33 0,14 = 0,0462. 23