FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi elemekre egyaránt hatnak. Ilyen például a nehézségi erő. Ez például egy ember kezére éppúgy hat, mint a veséjére, a szívére vagy egy vörösvértestre. Az eredő nehézségi erő a részekre ható nehézségi erő (vektori) öszszege. A felületi erők a test felületén hatnak. Ilyenek a felületen ható nyomóerők és súrlódási erők. Világos, hogy a talaj nyomóereje a talpunkon hat, és a felületi rétegekből adódik át a test belső részeinek. Gondoljunk el valamely deformálható testben (rugalmas testben, folyadékban vagy gázban) egy térfogatrészt, erre a felületi erők csak a felület közvetítésével hatnak.lehetséges, hogy ez az erő befelé hat, mint például a léggömb esetében: a ballon befelé mutató erőt fejt ki a gázra. Lehetséges az is, hogy, a felületi erő kifelé hat, ezt látjuk akkor, amikor pillanatragasztó tapadt az ujjunk hegyéhez: kifelé húzza a szöveteket. Ha a felületre merőleges felületi erő a test felé mutat, akkor a felületegységre vonatkoztatott részének nagyságát nyomásnak nevezzük. Tehát p = F A. A nyomás leggyakrabban használt mértékegysége N/m 2, ezt röviden pascal-nak 1 nevezzük és Pa-val jelöljük: [p] =N/m 2 = Pa. Gyakran használt mértékegység a bar és az atm: 1 bar =10 5 Pa, 1 atm = 101325 Pa =1, 01325 bar. Használjuk még a N/cm 2 mértékegységet is, nyilvánvaló, hogy 10 4 N/m 2 = 1 N/cm 2. A levegő nyomása 1 atm, ez azt jelenti, hogy a talajra négyzetméterenként 10 5 newton erő hat. 2 Érzékletesen: 10 Nerőt érzünk, ha 1 liter vizet tartunk kezünkben, vagyis jó ha megjegyezzük 1 kg tömegű test súlya 10 N. Egyszerű illusztrációként gondoljuk végig a következő nagyon egyszerű, de annál érdekesebb problémát! Egy strandon kiterített szőnyeg nagysága 1 m 2. Fontoljuk meg, hogy mekkora erőt fejt ki rá a felette levő levegő! Mekkora a szőnyeg fölötti 1 m 2 keresztmetszetű levegőoszlop tömege? (A nehézségi gyorsulás kerekített értéke g =10m/s 2.) A megoldás valóban nagyon egyszerű. A strandszőnyeg 1 m 2 - es felületére 10 5 Nerőt fejt ki rá a Föld légköre. Ez hozzávetőlegesen 10 4 kg tömegű anyag (például 10 m 3 víz) súlya, hiszen az m tömegű test súlya G = mg. Hidrosztatikai nyomás Folytassuk a gondolatmenetet a következő feladattal. Határozzuk meg a nyomást 10 méter mélyen a víz felszíne alatt! Számítsuk ki a nyomást 20 m, 30 m mélységben! (A víz sűrűsége ϱ = 1000 kg/m 3 és g =10m/s 2.) Megoldás nyilvánvaló. Az A =1m 2 keresztmetszetű h =10méter magas ϱ = 1000 kg sűrűségű m 3 vízoszlop tömege m = Ahϱ = 10000 kg, a súlya Ahϱg = mg = 100000 N, ezért a folyadékoszlop nyomása p = mg A = Ahϱg A = hϱg = 100000 N m 2 =105 Pa. 1 Pascal életével, művével kapcsolatban érdemes megtekinteni a http:// hu.wikipedia.org/wiki/blaise_pascal honlapot. 2 Ez persze nem pontos érték, nem a mérés pontatlansága miatt, hanem mert a levegő nyomása ingadozik. Azonban megállapodunk abban, hogy 1 atmoszféra 101 325 Pa. Ez az érték Párizs szélességi körénél a tengerszinten mért átlagos légköri nyomás. Lásd: http://hu.wikipedia.org/wiki/atmoszf. A feladatokban használhatjuk az 1 atm 10 5 Pa közelítést. 1
Következésképp, 10 méter mélyen a folyadék súlyából származó hidrosztatikai nyomás 1 atm. A víz felszínére azonban ezt az előző feladatban láttuk a levegő nyomása (a légkörben lévő anyag súlyából származó nyomás) 1 atm. A víz felszíne alatt 10 méter mélységben egy búvár a fölötte lévő 10 méteres vízréteg és a víz fölötti légkör súlyát érzékeli. Így tehát 10 méter mélyen a víz felszíne alatt a nyomás p(10) = p 0 +10ϱg =10 5 +10 5 =2 10 5 Pa. A víz felszíne alatt 10 méter mélyen a nyomás 2 atm. Hasonlóképpen 20 méter mélyen p(20) = p 0 +20ϱg =10 5 +2 10 5 =3 10 5 Pa, 30 méter mélyen pedig p(30) = p 0 +30ϱg =10 5 +3 10 5 =4 10 5 Pa. Érdemes megjegyezni: a víz felszíne alatt 10 méterenként 1 atmoszférával nő a nyomás. 3 (Ez persze azt jelenti, hogy 1 méter mélyen a víz alatt 1, 1 10 5 Pa =1, 1 atm a nyomás.) A fölöttünk található 30-40 kilométer vagy még vastagabb levegőréteg súlya megegyezik 10 méter magas vízoszlop súlyával. Egy 10 méter mély kút aljára ható F erő egyenlő a víz súlyának és a víz fölötti levegőréteg súlyának összegével: F = G lev. + G víz =2 10 5 N. Jelöljük a kút keresztmetszetét A- val, mélységét h-val, továbbá a térfogategységre jutó tömeget, a sűrűséget ϱ-val. Ekkor a víz mennyisége a kútban m = Ahϱ. Jelöljük a levegő nyomását a föld felszínén p 0 -lal, Láttuk, hogy p 0 =1atm 10 5 Pa. Jelöljük most a kút fenekén a víz nyomását p-vel. Így tehát a víz súlya G víz,alevegő súlya G lev. = p 0 A. Ekkor a kút fenekére fölülről lefelé ható erő pa = p 0 A + Ahϱg. Innen azt kapjuk, hogy p = p 0 + hϱg. Itt a hϱg mennyiséget hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. A kút fenekén a nyomás a víz fölötti levegő folyadék felszínére ható nyomásának és a hidrosztatikai nyomásnak az összege. Egy 1 cm 2 keresztmetszetű alul zárt függőleges csőbe h 1 =0, 6 m magasan vízet, erre h 2 =0, 4 m magasan ϱ 2 = 0, 8 kg/dm 3 sűrűségű) benzint töltünk (1. ábra). Határozzuk meg a folyadékoszlop nyomását a cső aljánál, a cső alja felett 20 cm-re, 40 cm-re, 60 cm-re, 80 cm-re és 100 cm-re! Mekkora erőt fejt ki a folyadék a cső aljára? A probléma megoldásához fontoljuk meg a következőt. Ismert, hogy ϱ sűrűségű folyadékban a felszín alatt h mélységben a nyomás egyenlő a hϱg folyadéksztatikai nyomás és a folyadék felszínén kialakult nyomás összegével. A mi esetünkben a benzin felszínén a nyomás egyenlő a felszínnel érintkező légkör p 0 nyomásával. Így a benzin legfelső pontjában a cső alja fölött 100 cm-rel anyomás p(1, 00) = p 0 = 101300 Pa. 4 Ezért a benzin felszíne alatt 20 cm mélyen acső alja fölött 0,8 m magasan anyomás p(0, 80) = p 0 +0, 2ϱ benzin g = 102686 Pa, 3 Hangsúlyozni kell, bár a feltételekből következik, hogy édesvízről van szó, a sós tengervíz sűrűsége nagyobb az édesvíz sűrűségénél. 4 A víz- és benzinoszlop hosszának cm-es pontossága megköveteli, hogy a légkör nyomásának pontosabb értékével és g = 9, 8 m/s 2 -tel számoljunk, azaz nem éltünk a szokásos p 0 100 000 Pa és a g 10 m/s 2 közelítésekkel. 2
1. ábra. és a benzin legmélyebb pontjában, a víz benzinnel értintkező pontjaiban p(0, 60) = p 0 +0, 4ϱ benzin g = 104436 Pa lesz a nyomás. Azt kaptuk tehát, hogy lefelé haladva 20 cm-enként 1568 Pa-lal nő a benzin nyomása. Következésképp a víz felszíni rétegében p = 104436 Pa a nyomás egyenlő a 40 cm magas benzinoszlop nyomásával. Amikor a víz felszíne alatt számoljuk a nyomást, a p -nak ugyanaz a szerepe, mint a p 0 -nak volt, amikor a benzin belsejében határoztuk meg a nyomást. Így tehát a víz felszíne alatt lefelé haladva 20 centiméterenként 1960 Pa-lal nyő a nyomás, vagyis p(0, 4) = p +0, 2ϱ víz g =(p 0 +0, 4ϱ benzin g)+0, 2ϱ víz g = 106396 Pa, p(0, 2) = p +0, 4ϱ víz g =(p 0 +0, 4ϱ benzin g)+0, 4ϱ víz g = 108356 Pa, p(0, 0) = p +0, 6ϱ víz g =(p 0 +0, 4ϱ benzin g)+0, 6ϱ víz g = 110316 Pa. Az könnyen látható, hogy a víz által a cső aljára kifejtett lefelé mutató erő nagysága p(0, 0) A = 110316 m 2 10 4 Pa 11, 03 N, ebből a benzin fölötti levegő súlya mintegy 10 N, a benzin és a levegő együttes súlya nagyjából 1 N. (Egyébként itt láttunk egy példát arra, hogy számolás közben mértékegységekkel is számoltunk. Feladatmegoldói tapasztalat az, hogy a folyadékok és gázok statikájában ez néha hasznos lehet.) Pascal törvénye Egy mindkét végén nyitott elég hosszú függőleges csövet vízbe állítunk úgy, hogy kiemelkedik a vízből. A csőbe h = 0, 6 m hosszú benzinoszlopot töltünk. Milyen magasan van a benzinoszlop felső vége a víz felszíne fölött és milyen mélyen van az alsó része a víz felszíne alatt? A probléma megoldásához vezessük be a 2. ábrán látható jelölést: legyen x acsőben és a csövön kívül a vízfelszínek távolsága. Vizsgáljuk meg a nyomást a csőben a víz felszínén! Ez a csövön belül p 0 + hϱ benzin g, a csövön kívül ugyanebben a magasságban p 0 + xϱ víz g. Pascal törvénye szerint nyugvó összefüggő azonos minőségű folyadékban minden pontban azonos a nyomás, ezért p 0 + hϱ benzin g = p 0 + xϱ víz g. Innen x = h ϱ benzin ϱ víz =56cm. 3
2. ábra. Így azt kapjuk, hogy a csövön belül a benzin felső pontja a kádba töltött víz felszíne fölött van h x = 4 cm-rel. Ez azt jelenti, hogy vegyük szemügyre jól az ábrát! 56 cm magas vízoszlop nyomása egyenlő 60 cm magas benzinoszlop nyomásával. Egy formájú U alakú vékony üvegcső függőleges szárai 1 méter hosszúak. A csőben alul h =30cm magasságig ϱ Hg =13, 6 g/ cm 3 sűrűségű higany van. Ezután a bal oldali szárba L =70cm magas vízoszlopot töltünk (3. ábra). Milyen magasan állnak ezután a két szárban a higanyszintek? A megoldás érdekében vezessük be az ábrán látható jelöléseket! Jegyezzük meg mindenek előtt 5, hogy x + y =2h, azaz például y =2h x =0, 6 x. A bal oldali szárban a cső alján a könyöknél a nyomás p 0 + Lϱg + xϱ Hg g, a jobb oldali szárban ugyanebben a magasságban p 0 + yϱ Hg g. Mivel pedig Pascal törvénye szerint nyugalmi állapotban homogén folyadékban bármely vízszintes sík minden pontjában azonos a nyomás, ezért p 0 + Lϱg + xϱ Hg g = p 0 + yϱ Hg g. Az adatokat figyelembe véve azt kapjuk, hogy 10000 + 136000x = 136000(0, 6 x), hiszen ϱg = 10000 N/ m 3 és ϱ Hg g = 136000 N/ m 3, azaz 10 + 136x = 136(0, 6 x), és ezért x =0, 264 m =26, 4 cm és y =0, 336 m =33, 6 cm. A bal oldali szárban 26,4 cm, a jobb oldali szárban 33,6 magasan áll a higany. A higanyszintek különbsége 7,2 cm, innen látható, hogy a bal 3. ábra. 5 Sokszor nagyon hasznos hogy mielőtt a feladat érdemi megoldásához hozzáfognánk, a nyilvánvaló geometriai viszonyokat tisztázzuk. 4
oldali szárban z = 7, 2/2 = 3, 6 cm-t süllyedt a higanyszint, a jobb oldali szárban pontosan ennyivel emelkedett. Egy U alakú vékony üvegcső függőleges szárai L =1méter hosszúak. A csőben alul h =30cm magasságig ϱ Hg = 13, 6 g/ cm 3 sűrűségű higany van. Ezután a bal oldali szárat feltöltjük vízzel. Határozzuk meg, hogy milyen magasan állnak a két szárban a higanyszintek! Miyen hosszú a csőbe töltött vízoszlop? A megoldás érdekében alkalmazzuk a 4. ábrán látható jelöléseket: a bal oldali szárban a higanyoszlop magasságát jelöljük x-szel, a jobb oldali szárban y-nal. Nyilvánvaló, hogy a bal oldali szárban a vízoszlop magassága L x. Világos az is, hogy x + y =2h, hiszen a higanyszál hossza állandó. A vízszintes 4. ábra. szárban mindenütt azonos a nyomás: ez a bal oldali könyöknél: p bal = p 0 +(L x)ϱ v g + xϱ Hg g, a jobb oldali könyöknél p jobb = p 0 + yϱ Hg g. Tehát a feladat megoldását leíró egyenletrendszer: p 0 +(L x)ϱ v g + xϱ Hg g = p 0 ++yϱ Hg g, x + y =2h Helyettesítsük be az adatokat! A távolságot méterben, a sűrűséget kg/m 3 -ben mérjük. Így y =0, 6 x. Ezt az első egyenletbe helyettesítjük, ezután p 0 -at mindkét oldalhoz hozzáadjuk, majd gvel egyszerűsítünk, végül 1000-rel osztjuk az egyenletet: (1 x)+x 13, 6=(0, 6 x) 13, 6, innen azt kapjuk, hogy x =0, 273 m =27, 3 cm és y =0, 326 m =32, 6 cm. Könnyen látható, hogy z =(y x)/2 =0, 027 m =2, 7 cm, azaz a bal oldali szárban 2,7 cm-rel süllyed, a jobb oldali szárban 2,7 cm-rel emelkedik a higany szintje, és így a csőbe töltött vízoszlop hossza 62,7 cm. }. 5