Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl( -) x - y 8 676 a) p Ebbôl a két egyenes: x - 8y, illetve x - 8y -q ét 8 p különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-} b) $ - p-, q! R 8 p 8 677 T(a b) 678 n$ n a + a 0 a - az a 0, ne felel eg a feladat feltételeinek 679 a) AB( ) n( -) x - y 0 b) n BA( 8 7) 8x + 7y - c) AB( 0 8 ) n( 0) x, továbbá n(0 ) y 680 v AB( x - 9) n(9 - x), nl( ), n $ nl 6 + ( - x) 0 x - 8 68 AB( 0 y - ), n( ), AB n AB $ n 0, 0 + ( y- ) 0 y- 68 x - y -, x + y 6 x- y- 68 a) e: x - y -, f: x + y 0 e + f: M(, 7 7, ) x+ y 0 a 6, b) e: x+ y 0 f:x + y - e+ f: - O nn $ $ + $ 9, n 9, nl, 9 9 $ $ cosa a, 6 9 68 a) F AB - O b) F 0 AB O 68 a) F( - ), AB( 6) n( ) x+ y- b) x- 8 y 7 c) x + 0 d) y 6 686 AB felezôerôlegese: 8x + y, aelyet a pont koordinátái kielégítenek, tehát igaz az állítás 687 Az AB felezôerôlegesének és az adott egyenesnek a etszéspontja adja a egálló x+ y 7 helyét AB felezôerôlegese: x + y 7 x- y M O AM, k 688 Az elsô egyenes az y tengelyt az E (0 -) pontban, a ásodik egyenes az E (0 -) pontban etszi F(0 -) A középpárhuzaos: x - y 9 ( ) 689 A feladat feltételeinek két egyenes felel eg: e Q és e AF Q Q( - 6) n( ) e : x + y 7 FQ( ), AF( - 6) n( ) e : x + y
árhuzaos és erôleges egyenesek 690 a) ét ilyen egyenes van: x - 6y + 9 0, illetve x- y 69 b) x - y + 0, illetve x - y + 0 69 CB( ), CA( - 0), CB $ CA 0 a hároszög derékszögû eressünk többféle egoldást is 69 n(8 ) egyen O az origó, (0 8) az átfogó felezôpontja Ekkor OC O + n OC( 8 ), C( 8 ) nl(- 8) az n 90c-os elforgatottja OA O + nl, OA( - 6) A(- 6) A-t -ra tükrözve kapjuk a B( 0) csúcsot AC egyenlete: AC( -), n( ) x+ y 9, BC egyenlete: BC( ), n( -) x - y 6 C csúcsot -ra tükrözve is egoldást kapuk égtelen sok egoldás létezik, ert OC OA + k $ n is egoldást ad, ahol k! R\{0} 69 I egoldás: AM egyenes egyenlete y - (x + ) BM egyenes egyenlete: y 6 + - ( - ) y x+ + B( 0 + ) x y, x + + 6 - + + 6 B 0 + 6 + - 0 O 6 - + 6 Mc0 b 6 - l, - - Mc0 - b 6 + l II egoldás: BM( - y + 6) AM $ BM 0 egyenlet egoldásával kapjuk B koordinátáit III egoldás: AM + (y - ), BM + (y + 6), AB 6 + 6 itagorasz tételét alkalazva AM + BM AB Az egyenlet egoldásával egkapjuk M koordinátáit 69 x + y 69 Az adott pont és az adott befogó egyenes távolsága adja a befogó hosszát, aelybôl a kívánt agasság kiszáítható A befogó egyenlete: x + y BC + AC C C( - ) AC, 0 6 696 C O 697 A( ), B(8 b), C(- c) CA( 6 - c), CB( 0 b- c) CA CB CA$ CB 60 + ( -c)( b- c) 0 c -( b+ ) c+ b+ 60 0 Akkor létezik a feltételnek egfelelô hároszög, ha az egyenletnek legalább egy valós egoldása van, vagyis D $ 0, D ( b+ ) - ( b+ 60) $ 0 b $ + vagy b # - 698 Ha a kocka éle a, akkor a befogók: a és a egyen A(a 0), Bb0 a l, C(0 0) a Ekkor A, C a a, AA a a 0, CC a a O O O O - O O O O a a AA$ CC- + 0 AA CC a O 699 egyen Ab0 a l, B(-a 0), C(a 0) S 0 SC felezôpontja O F a a O 6 O
6 Az egyenes egyenletei f :, F a a a O n b - l i x- y a, y 0 x H a 6 O 0 O a BC oldal haradolópontja Ugyanígy f egyenletét kielégítik a ásik haradolópont koordinátái 700 A(9 0), B(- -6) 70 egyen A(0 a), B(b 0), C(-b0) D(0 0) AC( b a ), n(a -b), AC: ax - by -ab, ax- by-ab / $ a a x- aby-a b DE: bx + ay 0 DE + AC E bx ay 0 + + / $ b b x+ aby 0 a b ab a b ab x - y, E - O a + b a b a + b a + b O F a b a b ab O - + a + b ` j ` j O a b+ b ab EB - O a + b a + b O FA a b a b a + ab O EB + a + b ` j ` j O $ FA 0 EB FA 70 AT egyenlete y Mivel BC 9 AT, BC egyenlete x 6 Ezért F(6 ), B(6 b), C(6 c) F a BC felezôpontja: c 6 - b AB BC b -b + 7 0 B b6 7 + l, C b6 9 - l, B b6 7 - l, C b6 9 + l 70 kielégíti a szietriatengely egyenletét, tehát Q R QR a hároszög alapja T 6 7 legyen az alap felezôpontja QR: x+ y- QR + T T T - O Az egyenlô szárú QT $ T Q $ hároszög száraihoz tartozó agasságai egyenlôk $ t QT t QR, $, 6 QT, T, Q 9, 70 (-0 -) 70 Mivel Q párhuzaos az adott egyenessel, Q felezôerôlegese etszi ki az egyenesbôl a keresett pontot M( - ) 7 706 a) - O b) _, -, i 707 a) b : x BA( 6-6 ) n( -), C(0 0) c: x- y 0 b+ c M x x- y 0 M( ) b) M(- - ) c) M( -6) d) b : x 0 CB n(c b) x ac 0 a : cx + by ac cx+ by 0 M 0 b O e) AB( - ), c : n( - ), C( ) x - y BC( - ), a : n( - ), A( ) x - y -7 a + c M x- y / $ x x- y-7 y M O 708 a) S O A körülírt kör középpontja az oldalfelezô erôlegesek etszéspontja AC felezôerôlegese: x + y, AB felezôerôlegese: x ( ) b : x + y,
árhuzaos és erôleges egyenesek 7 c : x, M( ) MS -, O S -, O ebbôl: MS $ S, a háro pont egy egyenesen van b) S, O ( ), M( ) a háro pont az y egyenletû egyenesre illeszkedik c) S 7, O, O M, O SM $ S d) S 6, O, O M -, O 70 SM $ S 709 Mivel a háro nevezetes pont egy egyenesen van, ezért közülük kettô eghatározza az Euler-egyenest x - y 70 AB + a A A (--) AB + b B B( ) BC : x + y, AC : x - 7y BC + AC C C( 6) 7 a) BC : x, AC : x - y - BC + AC C C( ) b) C - O c) C(67 -) 7 a) Az adott pont koordinátái ne elégítik ki egyik agasságvonal egyenletét se, ezért legyen: A( - ) b :7x-y c :x-7y 6 AC 9 b, AC:x + 7y - AC + c C C( --) AB 9 c, AB:7x + y AB + b B B( ) b) B(- -), C(7-7), c) B(- -7), C(-0,,9) 7 A A egyenlete: x + y T az A F-re vonatkozó tükörképe T( - 6 ) TA CB TA egyenlete: x - y - TA + A A A A (- 6 ) A-t F-re tükrözve kapjuk a B(- -) csúcsot BM 9 AC, AC: x + y 6, BC: x - y 6 AC + BC C C( 0 ) - + + x 7 egyen C(x y ) Ekkor () x - y 0, S(x y) x x x + és + 0+ y y y y - Behelyettesítve ()-be, (x + ) - (y - ) 0 6x - 9y -8, 7 kivéve az egyenesnek azt a Q pontját, aely AB egyenesére illeszkedik, ahol Q - 6 9 O 7 AS : SA : A (9 0) BC 9 AM, BC egyenlete: x - y 8 AC 9 BM, BM( b- b+ ), AC egyenlete: (b - )x + (b + )y 0 BC felezôpontja A, innen b + c 8, b + c 0 B koordinátái kielégítik BC egyenletét: b - b 8, C koordinátái kielégítik AC egyenletét: (b 7 - )c + (b + )c 0 Z b+ c 8 ] b+ c 0 A kapott [ b- b 8 egyenlet- ]( b- ) c+ ( b+ ) c 0 \ rendszert egoldva kapjuk: B( 6), C(6-6) A feladatnak egy egoldása van
8 Az egyenes egyenletei 76 x y - 7 7 77 a) I egoldás: egyen A( ), C( ) A négyzet középpontja O C - O + 90 -kal elforgatva D O OD O + D, OD( ), D( ) D-t tükrözve -ra: B( ) II egoldás: A keresett B, illetve D pont rajta van AC felezôerôlegesén, és D B C A AC felezôerôlegese: x - y -7 A D A D 7 7 0 x- + y- x + y -7x- 7y+ 0 O O y - 7y+ 0, y x y-7, y, D( ), B( ) 7 b), O - O 78 C(- - ) B( - 6 ) D(6 0) 79 -ból AD-re állított erôleges kietszi AD felezôpontját, F-et F egyenlete: x- y- n( ), x + y AD + F F F (- ) x+ y F( - ) - 90 -kal elforgatva: E ( ) E FD iatt OD OF + FD, OD ( 0) D ( 0) D-t F-re tükrözve: A(- 0), A-t -ra tükrözve C( ), D-t -ra tükrözve: B( -) 70 e : x + y + 0, e :6x-y, e :x-y, e :x + 8y + 7 0 n ( ), n (6 - ), n ( - ), n ( 8) n n, illetve n n, n $ n 0 n 9 n, illetve n $ n 0 n 9 n alóban téglalapot határolnak 7 D ( ) C(7 - ) 7 AC egyenlete: y 6 AC + AB A A ( 6) A-t M-re tükrözve: C( 6) AB 9 BC, BC: x + y 0, AB + BC B B( ) B-t M-re tükrözve: D(0 0) 7 A ( ) D (-- ), B( ) 7 AB egyenlete: x - y - C! y x - C(c c - ) AC AC 0, (c - ) + (c - - ) 0 (c - ) c -! C (7 6), C (- -) CB 9 AB, C B: n( ), x + y 7 C B: n( ), x + y - AB + C B B B ( 8) 9 7 AB + C B B B (--) AC felezôpontja:, O C -t -re tükrözve: D ( ) AC felezôpontja: -, - O C -t -re tükrözve: D ( -) 7 B( ) D(- 6) 76 BD átló egyenlete y x - A-t M-re tükrözve: C( 6) egyen B(b b ), b b -, AB( b b - 6), CB( b - b - 8) AB CB AB $ CB 0 b (b - ) + (b - 6) (b - 8) 0 B ( 0), B ( 0) Mivel B D és B D, a feladatnak egy egoldása van
árhuzaos és erôleges egyenesek 9 7 77 A téglalap középpontja:, O A A B A B egyen B(x y), 7 ahol x y B(y y) y- + ( y- ) O Így B (6 ), B O B-t -ra tükrözve 7 kapjuk D-t, D ( ), D O 78 egyenek a téglalap csúcsaihoz vezetô helyvektorok rendre: a, b, c, d Ekkor, AB b- a, AB( - ), $ AB( 9 - ) AB 90 -os elforgatottja BC ( 9), illetve BC ( - - 9) c b + BC, c b+ BC, d a+ AD, d a+ AD, ahol AD BC, 9 AD BC Innen: C 9, O C - 9, O D 0, O D - -8 O 79 egyenek a téglalap csúcsaihoz, illetve az adott felezôponthoz vezetô helyvektorok rendre a, b, c, d, e, f FE ( e-f)( 9 - ), FE( - ) FE + 90 -kal elforgatva: BA CD( ) BA EA O a e+ EA A ( 0) d f+ FD, ahol FD EA Innen D(- ) A-t E-re, D-t F-re tükrözve: B( -), C(-6 0) 70 egyen A(0 0), B(b 0), C(b a), D(0 a) A + C x + y +(x - b) +(y-a), B + D (x - b) + y + x + (y - a) 7 egyen A(a 0), B(a b), C(0 b), D(0 0) a b O e e, e e, és e 9 e, e : y x, e : y - ( ) x - a a a e + e A, A + + O e : y - b (x - a) y x - a + b e : y- x + b e + e C, C ( a + ) b-a O + + O R S a a a A C felezôpontja (x y ) x, + + W S + W R T X S ( + ) b- a+ a W b y a b S + W O T X 7 7 egyen A(0 0), B(b 0), C(b a), D(0 a) A szögfelezô egyenlete: y x (b b) BD egyenlete: ax + by ab ab ab BD + A M M a + b a+ bo AC egyenlete: ax - by 0, ab b b ab y x, O DB( b - a), a + b a + b a + b a+ bo ab b O DB $ 0 DB a + b a+ bo
0 Az egyenes egyenletei 7 A(6 6) illeszkedik az x - y - egyenletû egyenesre A-t -ra tükrözve: C( ) DB 9 AC, BD egyenlete: x + y 8 AB + BD B B( ) B-t -ra tükrözve: D( ) 7 AC egyenlete: x - y - BD egyenlete x + y 7 AB( - a b) - 90 -kal elforgatva A( b a ) p a+ A, (a + b a) B felezôpontja a + b a + b O CB( a b ), +90 -kal elforgatva CS( - b a) s c+ CS, S(-a -b a), SB a b a b felezôpontja: - + + O - Hasonlóan: M a+ b - a+ b O, a + b a + b - O Innen M( a + b a+ b), ( -( a + b) a + b), tehát M $ 0 és M M négyzet 76 A (- - ) C( ) B( - - 6) D(-6 8) 7 77 BD átló x - y AC : x + y 9 AC + BD O A-t -ra tükrözve: C( ) a 9 AB : BD: 9 ( x- 7) + _ y- i 9 Innen B(9 7), D( 0) x- y 78 78 BD, AC a, (a > 0), BC a + BD $ AC t BC $ a $ a + a + a a A ( 0 ), C( - 0) AB egyenlete: y x-, BC egyenlete: y- x- CD egyenlete: y x+, AD egyenlete: y- x+ 79 AB( ) CD( ) CD:x-y -7, B( ) n BC( - ) BC: x - y 9 CB + CD C C( 9) AC felezôpontja, O B-t -ra tükrözve: D( ) AB 9, BC 0, innen k ( 9 + 0) 9 70 E 8 0 O 7 A-t Q-ra tükrözve: C( ) BQ egyenlete: x - y 0 AB: x + y AB + BQ B 0 B O AC, BQ, BD, t $ $ területegység 7 Az AC egyenlete y AB, C(c ) BC ( c - ) + ( c- ) + 0 ( c- ) 6 c, c -, C ( ), C (- ) B-t AC felezôpontjára tükrözve kapjuk a D pontot Így D (6 ), D (- )
árhuzaos és erôleges egyenesek 7 BD AC 9 7 E, O F ( 99) AE: y x, AF: y x, 8 BD :x + y 0 AE + BD ( 8), AF + BD Q Q ( 66) BD haradolópontjai: H ( 8), H ( 66), tehát H, Q H 7 CE: dx + cy d(d + b) + c, E dx+ cy d + db+ c x 0 c + d + bd E 0 O c O ED d d bd - + O c AC( b + d c), ED $ AC bd + d -d - bd 0 O ED AC Ha a paralelograa téglalap, akkor E D A feladat állítása elei úton is könnyen belátható Az ACE hároszögben CD, illetve AD agasságvonalak, etszéspontja D, a hároszög agasságpontja Így ED a haradik agasságvonal c - 7 - + 76 C(c ), D(- d), A(-7 ), B( -7) c C( ), d - 7 - d D( - ) E (- ), F ( 8 - ), EF( - ) n( ) EF: x + y - egyenesre tükrözzük a paralelograa csúcsait EF-re erôleges egyenesek x- y -8/ $ norálvektora: n( -) AT :x-y -8 AT + EF T x+ y- T - O A-t T -re tükrözve: A (- 6) A -t E-re tükrözve kapjuk a D (- -) pontot Mivel A D 9 az x tengelyre, B C is erôleges, ezért B C egyenlete: x 8 DC( - ) n( ), CD: x + y B (8 ) B -et F-re tükrözve: C (8-8) 7 77 AB( 8) n( - ), GH egyenlete: x - y -, BC egyenlete: x 8, AD egyenlete x 0 Innen: G 0, O H 8 O AB egyenlete: x - y 0, DC egyenlete: x - y -, EF 7 egyenlete x Innen: F, O E O FH( ) n( - ), FH egyenlete: x- y, AC( 80) n( - ), AC egyenlete: x - y 0, 76 GE( 7) n( 7- ), GE egyenlete: 7x- y _ 7x- y- - GE + FH M b ` - x- y / $ b a M -0- O AC egyenletébe behelyettesítve: - 0 + $ 0, így indháro egyenes át- egy az M ponton
Az egyenes egyenletei 78 Tükrözzük a C pontot az AB felezôerôlegesére a) F --, O AB( - 67 ) n( - 67 ) A felezôerôleges f: - 6x+ 7y e 9 f, e: 7x + 6y - T - 8 70 O 6 C-t T-re tükrözve: D - 8 8 O b) D - O c) D(, -6,) AC $ BD 79 I egoldás: AC 6 t BD AM : MC : M 6 O MC $ MB MC MC 8 8 O + 90 -os elforgatottja MB -, O - 90 -os elforgatottja MD - O OB OM + MB, OD OM + MD Innen B(7, ), D(, 8) II egoldás: MB, M 6 O B, illetve D az AC-re M-ben állított erôlegesre illeszkedik x+ y 6, O illetve egység távolságra van M-tôl Így B-t, illetve D-t az _ b x- + ( y- 6) O b ` egyenletrendszer egoldása adja 6 b x+ y b a 70 a) egyen A(-a 0), B(a 0), M( 0) Ekkor D(-a a + ), C(a a - ), CD felezôpontja F(0 a), DC(a -) n(a -) CD felezôerôlegese: ax - y -a AB felezôerôlegese: x 0 (0 a), ha! 0 Ha 0, akkor a két felezôerôleges egybeesik b) CD( a - ) n( a), CD: x + ay a M: n(a -), ax - y a CD + M ax - y a a a - a O a + a + a a - a A O x+ ay a a + a + O a + a + O a -a -a a - a B O a + a + O 7 ( a ) -( a + a ) + ( a -a ) A $ B ( a + ) a - a 0 ( a + ) 7 egyen 0 < p < a, (p a - p), ( p p- a), - bôl -re bocsátott erôleges egyenlete: px + (p - a)y p - (p - a) px + (p - a)y pa - a Bárely p-re Q(a a), pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét
ont és egyenes távolsága Területszáítás 7 egyen O az origó, (k k ), (l l ), 7 M k + l k + l, O (- k k ), (l - l ) [( l+ k) ( l+ k)] OM -nak a - 90 -os elforgatottja k+ l k l - +, O ennek kétszerese Ebbôl következik, hogy $ OM és OM M + x + y 7 M + O, O akkor iniális, ha O 9 AB O x + y ab AB $ ab Az OAB hároszög területe: t, ahol AB a + b Így a keresett iniu: AB ab a + b 7 egyen A(a0), B(b0), C(0 c), (x y) B + C $ A (x - b) + y + x + + (y - c) (x - a) + y (a - b)x - cy a - b - c, ai egyenes egyenlete ont és egyenes távolsága Területszáítás x+ y+ 0 6x- 8y+ 7 a) A + B 9+ 6, 0 b) 0 0 x+ 7 y- x- y+ c) 0 d) 0 76 a) Az origón átenô, az adott egyenesre erôleges egyenes egyenlete: x - y 0 M : x + y x x x- y 0 +, y, M O d MO + O O 0 $ 0 b) d - + c c) d d) d e) d 0 A + B f) x y 0 0 - + 0 d 77 n( ), A(- ) :x + y 7 x- y-6/ $ 9x- y-8 x 00 x+ y 7/ $ + 6x+ y 8 x, y 7, M( 7 ) d MA 6 + (- 8) 00 0
Az egyenes egyenletei 78 a) ( ), f 9 e, f : y- ( x- ) y x+ _ y- x+ b 8 0 M : M y x+ ` O d M + b O O a $ (-)-$ - 7-7 b) d c) d d) d 7 e) d f) d 8 0 g) d 7 0 79 d 0 760 Az A(7 ), B( ) pontok kielégítik az egyenes egyenletét Ezért: 7a+ b a a a+ b - - - Innen y- x+ x+ y- 0 d ( 6) 76 S( ), AB egyenlete: x - y d -0-6 BC egyenlete: 9 9 x - y - d 0 6 AC egyenlete: x - y 8 d 6 8 7 7 0 76 S - O b egyenlete: x + y 8 0 - + -8 d 76 A ( ), B( 0 0 ), C( 0 ) a b 6 c 76 A(- 6), B(- -), C( ) a 7 70 b 70 c 6 8 76 a) A(0 0), B( ), C(7 -) AB, AB( ) n( - ), x- y 0 8 c + $, t területegység b) Foglaljuk az ABC hároszöget a 6$ 7 $ 6 8$ CQR téglalapba Ekkor t t CQR - t CB - t BQA - t CRA, t 7$ 8- - - 6 - -6 - területegység c) 7 területegység
ont és egyenes távolsága Területszáítás 0 8 766 d p, e + + 6 > 0, dq, e + + > 0 a két pont az egyenes ugyanazon oldalán van 0 0 0 767 a) álasszuk ki az A(0-6) pontot a x - y 6 egyenletû egyenesen, és száítsuk ki A távolságát a ásik egyenestôl v( -) n( ), x + y -8 a erôleges egyenlete x y 8-9 0 M - x+ y-8 0 O d MA + 0 8 8 b)! e, (- 0), d, e - + - c) d) 768 A két egyenes távolsága adja a négyzet oldalának hosszát A x - y 0 egyenletû 0 ( ) 6 egyenes egy pontja: (0 -) d - - - 6 8 t területegység 7 l- l+ 769 (k l), k,l! Z d! Q 770 a) Ax + y + 0 egyenletû egyenes egy pontja: (- -) Az adott egyenessel c párhuzaos egyenes egyenlete: x + y + c 0-9 - 6 + c - c 0, c 0 A keresett egyenesek: x + y + 0 0, x + y + 0 0 b) x + y + 6 0, illetve x + y - 0 c) x - y - 8 0, illetve x - y - 0 77 a) x - y 6 egyenletû egyenessel párhuzaos egyenes egyenlete f : x - y + c 0, 0 0 c O(0 0) d0 f - + 6 c 6 c! 6, f : x- y! 6 0 Ha d 6, akkor x- y! 0 b) x + y + 0, illetve x + y + 0 c) x + y + 0, illetve x + y - 0 d) y x+! x+ ny+ -n 77 egyen n( n) x+ ny- + n 0 - n n + n + n 0-7 x + 0, illetve 7x- y+ 00 0 x+ ny+ -n 6+ n+ -n 77 egyen n( n) 0, n x y n + n + + 6 8 - + x+ y, n - x- y - - x+ y- x- y+ p + 9 77 (p 0), x- y+ 0 0 0 p, p -, 9 0 O, - 0 O
6 Az egyenes egyenletei 77 Az A( ) és B( -) pontoktól egyenlô távolságra a felezôerôleges pontjai vannak 9 f : x- 7y x- y 9 A x - y - 0 egyenes egy pontja ( -) e: a x - y - 0 egyenestôl egységre haladó párhuzaos egyenesek e:x- y + c 0 + + c c + c - : - y -, e : x- y + e+ f x- y - - 8 + O x- y 9 O e+ f x- y + + 8 -O x- y 9 O 776 Ha 0, 0 a két egyenes norálegyenlete, akkor azon pontok értani helye, aelyek a két egyenestôl egyenlô távolságra vannak: ( - )( + ) 0 x+ y- - 0, illetve + 0 a szögfelezôk egyenlete a) x+ y- 0 0, x- y+ 0 x+ y- x- y+ 0 x- y+ 0 0 0, + 0 9x+ y+ 7 0, x+ y- x- y+ 0-0 x- 9y+ 0 b) b- l x+ b -l y- 0, b- l x- b+ l y+ 0 c) x-y- 0, -x- y+ 0 0 d) x + y - 8 0 vagy x - y + 0 777 Az egyenes és az x tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x - y + + y x- y+ 0 x+ y+ 0, - y 0 x - 8y + 0 Az egyenes és az y tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x- y+ x- y+ + x 0 9x - y + 0, illetve - x 0 x + y - 0 778 AB: x - y - 60 Mivel AB norálvektora a hároszög belsejébe utat, ezért a belsô pontok távolsága AB-re is, AC-re is pozitív x y 6 AC egyenlete: y 0 BC( 9 - ) n(- -), BC egyenlete: - - + 0 x- y+ 60 x- y+ 60 x y 6 fa : y x- y+ 0 0, f : - - + b, -x- y+ 6 8x+ y- 0, fc : y x+ y- 9 0 fa+ fb x- y-0 O 8x y ( + ) és ez kielégíti f c egyenletét A beírható kör középpontja O( ), r A belsô és külsô szögfelezôk erôlegesek f bl : n( -8) x - 8y -96 x- 8y-96 f cl :x-y 8 fbl+ fcl x- y 8 ( 6 ), ez a pont kielégíti f a egyenletét
ont és egyenes távolsága Területszáítás 7 779 A ( ) ponton átenô egyenes norálvektora legyen n( n) egyenlete: x+ ny-n- x+ ny + n 0 da,e $ d BE n + + n-n- $ --n - - n+ $ -n- (-n - ) -n + n + n + 9 vagy (-n - ) n -, ahonnan: n - vagy n - Így e 8 :8x-8y -9 vagy e :x-y 780 x-y- 6 x-y- e : 0, e : 0, ( b) x-y- 6 -b - 78 egyen n( n) x+ ny + n - b - b - b Y -b - b b - b x+ ny-n- 0, n + + n-n- --n - $ $ n - n +, n + n + n - 9, n - e :9x-y, e :x-y - 78 Mivel e e, a keresett pont az adott e: x + y 6 egyenletû egyenes és az e, e, középpárhuzaosának: k-nak a etszéspontja e : x- y-, e : x- y 8, E ( 0 - E( 0 ) 0 O k: x - y - k + e 7 0 7 O x- y+ 8 x-y- 0 + 8 8-78 e : 0, e : 0, ( 0) d: > 0, d : 7 x- y+ 8 x-y- - < 0, ezért a szögfelezô: - x- y Az alap egyenese: n( ) x + y A csúcsok: + (- 6) x+ y x- y-8 x y 7 - - - x+ y O x y 8/ 8 - $ - - - x- y O 78 l^ -h 78 A visszavert fénysugár egyenlete: 8x - y -76 A beesô fénysugár egyenlete: x - 7y -6 786 A visszavert fénysugár: 9x - y + 0 787 e: x - y Tükrözzük A-t e-re, a tükörkép legyen A A B szakasz a két pont között a legrövidebb A B esse e-t M-ben Mivel A M AM, így M a keresett pont M ^ -h
8 Az egyenes egyenletei 788 788 T $ p$ p$ sin( b-a ) p$ p( sinbcosa- cosbsina ) $ ( psinb$ p$ cosa- pcosb$ p$ sina ) Mivel p $ sin b y p $ cos a x p $ cos b x p $ sin a y, ezért T x$ y- x$ y 789 A hároszög területe t a# b ahol a(x - x y - y 0), b(x - x y - y 0), Alkalazzuk a vektoriális szorzat i, j, k együtthatóinak kiszáítására vonatkozó összefüggést Ekkor a bizonyítandó területképletet kapjuk 790 a) (- -), (6 ), ( 6) t - ( - 6) + 66 ( + ) + $ (-- ) 0 területegység b) 0 területegység c) A(0 0), B( ), C(7 -) AC^7 -h, 9 AC 0, BC^ h, BC 9-0 $ 9 cosa cosa 0 $ 9 7 7 7 sina t $ 0 $ 9 $ területegység d), területegység, e) A( 0), B(- 0), C( 8) t területegység f) területegység 0 $ 9 0 $ 9 AB $ 8$ 8 7 79 a b, c 7 79 A( ), B(- ), C(c 0), t 0 0 ( -0 ) -0 ( - ) + c ( - ) - c 0 c, c -8 C ( 0), C (-8 0) AB $ c 79 A(- -), B( ), AB t c A haradik csúcs az AB-vel párhuzaos, A-tól, illetve B-tôl távolságra levô egyenesen van: x- y+ c - + + c 0 c + 0 c 9, c - e : x - y + 9 0, e : x - y - 0 A C csúcs a kapott egyeneseken, ( )-tôl egységnyire van C C ( x ) ( y ) - + - x- y+ 9 0 C ^ 7h, C ^ h, illetve ( x ) ( y - + - ) x-y- 0 C^9 -h, C ^ -h c 6 79 AB, 8 c AB^ - h n( ), x+ y x + y - 0 x + 0-6 8 8 x + 8 6 x, x - 8 A feltétel iatt C O
ont és egyenes távolsága Területszáítás 9 79 a), területegység b) 9, területegység 797 c) 7 területegység d) 0 területegység e) 7 területegység 796 AC, BD 0 AB AD AB AD és AC 9 BD a négyszög deltoid AC $ BD t 7 területegység 797 Mivel toa toab, az AB szakasz A-hoz közelebb esô haradolópontja: a b O t OQ t b BQ Q az OB szakasz felezôpontja: Q 0 O 798 A hároszög csúcsai: C _ 0-0 - 6-6 i B_ -0 0i A_ 0 0 i AC 0, 6 b 0 - t 0 0-6 $ $ területegység 000 799 c c c - A(- ), B( ), C ( 0) t területegység A(- ), B( ), C (- 0) egy egyenesre esnek, ilyen hároszög ne létezik 800 Az c az y tengely, ezért AB párhuzaos az x tengellyel, egyenlete y 9 AC egyenlete: y x- 7, ( > 0 ) b: y- x 6 A f 9p 6 6 B^-9 9h AB + 9 $ $ 9, 6 AB $ Miniua akkor van, ha 9 A( 9), B(- 9), AB, c 6, t 9 területegység 80 a), Q, t ABCD + t CDE 6 + 8 területegység b) Q, R, t BDF + t AEC - t ADM + 6-6 területegység c) R,, t ABCD + t BDF - t ABCD + 8 területegység 80 AB^ - h n AB( ) AB e c d A, e 0 9 d A, e - + - AB 6 + 6 80 9 t $ $ 8 területegység 80 AB, AB: y, C(c7) C rajta van az y 7 egyenletû egyenesen c, t Y 9 Ilyen hároszög ne $ c ( c 6 ) létezik 6c - - - - c 6 80 80
0 Az egyenes egyenletei 806 80 q q ( ` - j+ + d) `q - j+ ( + d)( -q) 00, q d - dq + d 00, (q - ) d 00 $ $ $ 9 iatt (q - ) q vagy q 0, de a feladat feltételeinek ez utóbbi ne felel eg q, d 00 B(00 ), C(800 ) 80 A ( 6) ponton átenô egyenesek egyenlete: y - 6 (x - ) A hároszög csúcsai: x - y - y 0 y x- + 6-6 A (- 0) y 0 B 0 O x- y -6 ( - ) - 6 x- y- C - - O AB 6 6 - - 6 + c - - ( - 6) $ 7 + 9-6 0 ( - ) 7 - A keresett egyenesek: x + y 9, illetve x - 7y + 90 0 806 AD 9 - d, 0< d < 9, AC: x + y : 9 D x y + d AC + D M 9 _ y 9- x b dx 9x ( -6d) dx ` d- 9- x t ABC y d- 7- d 8, t ADM 9 b a ( - 6d) $ $ ( 9 - d) d - d+ 8 0 d 7 - d d,, ai ne egoldás DM egyenlete: x + y 807 A ( 0 0 ) B( 0 0) C(0 0) Az átfogóra erôleges egyenes a hosszabbik befogót _ x+ y 0 b 0 ( - b) etszi, egyenlete: y x+ b, ahol 0 < b < 0 M: y x+ b ` x b a 0 $ 0 ( 0 - b) $ ( 0 - b) t $ ( 0 - b) 0 b 0-0 a feltétel iatt A keresett egyenes: y x+ 0-0 x + 0 y + 6 808 S az AA szakasz haradolópontja:, 6 A (6 6) B(b 0) A a BC felezôpontja C(c ) Az AA B hároszög területének a kétszerese az ABC hároszög területe t ABC 6 területegység
ont és egyenes távolsága Területszáítás 809 t ABC t ADC - t BEC - t ADEB 000 999 9` + j` -j-` 999 -j`000 -j-` 999 - + 999 -j$ C 000 999 ` - $ + j területegység 80 A hároszög haradik csúcsa C(c -c) AB párhuzaos az x tengellyel c c + CA esse az x tengelyt A -ben, CB pedig t c B -ben CAB + CAB t ( c ) + c c + c + b l C cb + l - b + l 8 egyen AC irányvektora v (7 6) AC :6x-7y -0 BC irányvektora v ( ) BC :x-y 0 AC + BC C C( 0 0 ) AB, c 6 t területegység Ha AC irányvektora v ( ) AC: x - y BC irányvektora v (7 6) BC :6x-7y C( 0 - ) Innen c 6, t területegység 8 A(0 6), B(b 0) AB 0 b +6 00, b!8 B (8 0), B (-8 0) C (0 ) Hasonlóan C (6 ) t AB C 0 területegység t ABC 8 területegység 8 A( ), S( ), B(b 0) C(0 c) B( 0), C(0 ) t 9 területegység 8 sa+ sb S S( ) tabc $ tabs területegység 9 8 9$ 8 tabc tabcd- tacd + $ - területegység AC: y k x k 9x y, 9 E k k 9 O, Gk ( ), 0< k < 9 t CGE, ( k) k 9 - - 9 O ( 9- k) 6 9 - k!6 k, k, ai a feltételt ne elégíti ki Tehát az egyenes: x 86 AD( - 6), AB( 8 ) AD $ AB 0 AD AB AD AD 809 + CD t $, CD AD CD, ezért CD az AD -90c-os elforgatottja: CD( 6 ) C( 0 ) 0 $ c 87 AB 0, 0 c 8 C rajta van az AB-vel párhuzaos, A-tól 8 egység távolságra levô e egyenesen e: 0, 8 x- y+ c 6 $ - 8 $ + c 8 c- 0 c, c -6 e : x - y + 0, e : x - y - 6 0 C( - 0 6) C ( 6 - ) D
Az egyenes egyenletei _ 89 88 M: y - x y x + b 8 8 ` M b + + O, a 8 0 + O t 8 8 OM $ $ + + + +, ert > 0 + $ $ + + + + $ 8 # Egyenlôség akkor áll + + fenn, ha b$ d b$ p b$ d 89 tab tbc tac tabc egyen (p p ) t ABC, t AB $ d p AC( c d ) AC : dx - cy 0 dx- cy bd 0, b AC hároszög d + c d + b bd pd - pc d c b -bôl induló agassága: $ bd pd - $ c / $ d Y 0 p d + b d + b +, b + c d O, S b + c d O S 80 A (0 0), B (a a), C (a + b a - b), D (b -b) AB ( a a), CD ( a a) AB # CD$ AD( b - b) AB $ AD ab- ab 0 A B 9 A D A B C D téglalap AB a AD b t ABCD AB ta B C D a$ $ b$ ab 8 t : t : t :: Az ABC hároszög területe t 8 Ekkor: t t 6, t t, t t Mivel t t, rajta van az AC-vel párhuzaos középvonalon, t t, rajta van a súlyponton átenô BC-vel párhuzaos egyenesen A két egyenes etszéspontja S(7 8), BC felezôpontja A (9 ), AC( - 9) n( ), e :x + y 9 CB( 8 6 ) n( -), e : x - y -7 e + e : ( 0 9)