Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a feltételezésen alapszk, hogy valamely elem egy halmaznak vagy eleme, vagy sem. A kettő között átmenet nem létezk. A vlág, amelyben élünk, ettől kssé eltér. Vegyük például az alább, mndenk által smert összetett mondatot: Ha végre tt a nyár és meleg az dő, az ember strandra jár. Amennyben ez a mondat a kétértékű logka szernt lenne érvényes, akkor a strandnak nem kellene a nyár napforduló előtt knytna, mert senk nem látogatná őket. Esős nyár napon szntén nem kellene knytna, mert ugye nem szép az dő. A nyár van és szép az dő csak akkor gaz, ha mndkettő egydejűleg teljesül. Pedg a valóság ettől merőben eltér. A strandok május elsejére knytnak, mert ugyan még nncs nyár, de ha szép dő van, akkor özönlk a tömeg a strandra. Mért s van ez? Mert a már nyár van és a még nncs nyár között átmenetek vannak. Mert a szép dő van nem mndenknek jelent pontosan ugyanazt. Apuka felhős dőben s szívesen megssza sörét a medence mellett, de anyuka csak akkor vsz szívesen a gyerekeket strandra május elején, ha egyetlen felhőt sem lát az égen. Szóval a strandnak érdemes knytn akkor s, ha már eléggé nyár van, és elég esély van jó dőre. Vegyük például a nyár van állítást. Magyarországon pl. júlus 15.-én ez teljes mértékben teljesül és december 24.-én egyáltalán nem. De vajon mennyre van nyár május 29.-én? Vagy szeptember 19.-én? Az lyen mennységek leírására hozta létre 1965-ben Lotf A. Zadeh a fuzzy logkát. A fuzzy logka szernt egy elem egy halmaznak nulla és egy között mértékg eleme lehet. Az x elem A halmazhoz való tartozásának mértékét a µ A (x) fuzzy tagságfüggvény adja meg, melynek értéke a [0,1] ntervallum valamely eleme. Például, ha egy útkönyv azt írja, hogy Lengyelországban 5 zloty egy lter benzn, az nem azt jelent, hogy mndg és mndenhol pontosan anny. A lengyel benzn az 5 zlotys benznek halmazához bzonyos fuzzy tagságfüggvény által leírt mértékg tartozk hozzá. Ez a tagságfüggvény sokféle lehet. Az 1. ábra smertet néhány példát a leggyakrabban használt fuzzy tagságfüggvény alakokból. 1. ábra. Néhány gyakran alkalmazott fuzzy tagságfüggvény alak. Mndegyk a körülbelül öt halmazt írja le
Most pedg hasonlítsuk össze a hagyományos kétértékű és a fuzzy logka alapfogalmat. Mndkét esetre tekntsük az A és B halmazokat, melyek az X alaphalmaz részhalmaza. A hagyományos logka szernt az A halmazt leírhatjuk a A : X {0,1 } karaktersztkus függvénnyel, mely defnícó szernt bármely x X esetén A( x) 1 x A és A( x) 0 x A. A fuzzy logkában a karaktersztkus függvény értéktartománya változk meg: A : X [0,1], és így bármely x X esetén az x elem A halmazhoz tartozásának mértékét a karaktersztkus függvény A (x ) értéke fogja meghatározn, melyet az x elem A halmazhoz vszonyított fuzzy tagságfüggvényének nevezünk. A halmazokon végzett egyszerűbb műveletek összehasonlítására tekntsük meg az alább táblázatokat: Művelet Hagyományos kétértékű logka szernt Üres halmaz ( ) 0 Komplemens halmaz ( x) 1 ( x) x X Egyesítés A B( x) max{ A( x), B( x)} x Metszet ( x) mn{ ( x), ( x)} ( x) ( x) A A X A B A B A B x X Művelet Fuzzy logka szernt Üres halmaz ( ) 0 Komplemens halmaz ( x) 1 ( x) x X Egyesítés Általánosan: A B( x) max{ A( x), B( x)} x X Mamdan szernt: A B( x) max{ A( x), B( x)} x X Larsen szernt: A B ( x) 1 (1 A( x)) (1 B ( x)) x Metszet Általánosan: A B( x) mn{ A( x), B( x)} x X Mamdan szernt: A B( x) mn{ A( x), B( x)} x X Larsen szernt: ( x) ( x) ( x) x A A X A B A B X A fent táblázatokban megfgyelhető, hogy vannak olyan műveletek, amelyeket nem csak egyféleképpen lehet értelmezn. A Mamdan és Larsen-féle fuzzy logka csak kettő a sok értelmezés közül. Ezek között különbséget látn fogjuk a továbbakan. A fuzzy partícó A fuzzy logka tagságfüggvénye lehetővé teszk, hogy különböző elemeket különböző mértékg soroljunk bele valamely halmazba. Ezt a lehetőséget felsmertve, Ruspn [3] 1969- ben bevezette a valószínűség fuzzy partícó fogalmát, mely szernt ha az X alaphalmaz elemet A 1, A 2 A c halmazokba kívánjuk besoroln, akkor a 1( x) 2 ( x) c ( x) 1 lesz. Így azt s mondhatjuk, hogy valamely A osztályhoz tartozást leíró (x) fuzzy tagságfüggvény megmutatja, hogy az x elem mlyen valószínűséggel tartozk az osztályhoz. A fuzzy Ruspn-féle valószínűség fuzzy partícót alkalmazásaképpen, 1981-ben Bezdek [4] bevezette az ún. fuzzy c-means (FCM) klaszterező (csoportosító) algortmust, melynek segítségével az X alaphalmaz vektoráls (vagy sajátos esetben skalárs) adatat optmálsan csoportosíthatjuk egymáshoz hasonló egyedek halmazára. Az FCM algortmus előre eldönt, A
hogy hány osztályba fogja soroln az adatokat, ezt jelöljük c-vel. Mnden osztálynak lesz egy reprezentatív eleme vagy prototípusa ( v, 1c ), amely az adott osztályba tartozó bemenet adatoknak egy súlyozott átlaga lesz. Az x k ( k 1n ) bemenet adat v osztály prototípushoz való hasonlóságát vagy különbségét jellemezhetjük a kettő között távolsággal, melyet vektoráls környezetben normaként értelmezünk: d x v. Eukldesz távolságot használva ezt így s írhatjuk: d x v x v ) ( x v ). k k k T ( k k Az FCM algortmus egy optmáls valószínűséget számít k, egy négyzetes célfüggvény mnmumának meghatározásával. A célfüggvény a következő: k J FCM c n 1 k 1 m k c n x v d (1) k 2 1 k 1 m k 2 k ahol az egyszerűség kedvéért használtuk a k ( x k ) jelölést az x k adat -dk osztályhoz való tartozás fuzzy tagságfüggvényéhez, továbbá m jelöl a Bezdek-féle fuzzy ktevőt, melynek értékével ( m 1) az algortmus fuzzy jellegét lehet szabályozn. A célfüggvény mnmumának megkeresése során azt várjuk, hogy a v osztály prototípusok olyan helyre álljanak be, ahol sok bemenet adathoz közel lehetnek, továbbá olyan fuzzy partícót kapjunk, melyben egy osztály prototípushoz közel eső adatok nagy valószínűséggel tartozzanak az adott osztályhoz, míg a távol eső adatok alacsony tagságfüggvény értéket kapjanak. A célfüggvény mnmumát a Ruspn-féle valószínűség megkötés megtartása mellett hajtjuk végre. Bezdek a célfüggvény parcáls derváltjanak zérus átmeneteből, Lagrange szorzók alkalmazásával határozta meg az teratív mnmumkereső eljárás smétlődő lépéset: 2 ( m1) dk k c 2 ( m1) d jk j 1 1c k v n k 1 n k 1 m k x m k k 1 n (2) 1c (3) A (2) és (3) egyenletekben leírt számításokat addg kell smételn, amíg az osztály prototípusok konvergencája bekövetkezk. Végül a kalakult partícót defuzzyfkálhatjuk, azaz meghatározhatjuk, melyk bemenet adat melyk osztályhoz tartozk legnkább. Ez matematkalag így fogalmazható meg: k 1n esetén x k vektort abba a j-dk osztályba soroljuk be, amelyre j arg max{, 1c} k (4) Vzsgáljuk meg egy kcst a (2)-es formulát: az x k vektornak az -dk osztályhoz való tartozását leíró fuzzy tagságfüggvény értékét egy tört formájában számítjuk k. A tört számlálója a d x v távolságnak egy negatív hatványa, azaz mnél közelebb van az k k x k vektor a v osztály prototípushoz, annál nagyobb fuzzy tagságfüggvénnyel fog az -dk
osztályhoz tartozn. Amennyben xk és v egybeesk, a k tagságfüggvény értéke aszmptotkusan tart az 1-es érték felé, míg az összes több jk nulla lesz ( j ). A (3)-as formula a bemenet vektoroknak egy-egy súlyozott átlagaként számítja k az osztály prototípusok új értékét, ahol a súlyok a legutóbb kszámított fuzzy tagságfüggvényeknek az m-dk hatványa. Most pedg egy konkrét példa segítségével fgyeljük meg, hogy az FCM algortmus mlyen fuzzy tagságfüggvényeket számít k különböző m fuzzy ktevők esetén. Egy tanár tesztet íratott a dákjaval, majd az elért pontszámokat FCM algortmussal csoportosította 5 osztályba, és ezeket mnősítette elégtelen, elégséges, közepes, jó és jeles osztályzattal. A 4. ábrán megfgyelhetjük, hogy különböző m értékek esetén hogyan néznek k az egyes osztályok fuzzy tagságfüggvénye: m 2 esetén a Gauss-féle haranghoz, m 3 esetén háromszöghöz, míg m 2 ktevőnél a trapézhoz hasonló tagságfüggvényenk lesznek. Ugyanakkor megfgyelhetjük, hogy az m 1 fuzzy ktevőnél a kétértékű, hagyományos logkát közelítjük, ahol mnden elem egyetlen osztályhoz tartozk hozzá, 1-es tagságfüggvény értékkel. Ha pedg a fuzzy ktevőt nagyon megnöveljük, mnden fuzzy tagságfüggvény értéke tart 1 c felé. Ez utóbb eset nem vezet elfogadható osztályozáshoz. 2. ábra. Az FCM algortmus eredményeként kapott, változatos fuzzy tagságfüggvény alakok A fuzzy nferenca Három fuzzy jóbarát mndg a város valamely étteremében találkozk, és egy vacsora elfogyasztása mellett megvtatják legújabb fuzzy felfedezéseket. Szokás szernt a vacsora után az ételt s és a kszolgálást s egy-egy 0 és 10 közé eső osztályzattal mnősítk, majd ezekből a számokból fuzzy nferencával számolják k, hogy hány százalék borravaló jár a személyzetnek az [5,25] ntervallumból. A barát társaság fuzzy szabályrendszere a következőkből áll:
1. Az ételt négyféle fuzzy tagságfüggvénnyel kategorzálják. A besorolás szernt az étel lehet ehetetlen, ehető, fnom és ízletes. 2. A kszolgálás mnőségét három fuzzy halmazba sorolják: a kszolgálás lehet rossz, közepes és jó. A 3. ábrán megteknthetjük a bemenet adatok kategorzálását leíró fuzzy tagságfüggvényet. 3. ábra. Fent: étel mnőségét leíró fuzzy tagságfüggvények. Lent: a kszolgálás mnőségét leíró fuzzy tagságfüggvények 3. Négyféle fuzzy osztály jellemz borravalót (lásd 4. ábra), amely lehet skót, magyar, német, és mllomos. 4. ábra. A borravaló fuzzy tagságfüggvénye 4. A bemenet adatok (étel és szolgáltatás mnősége) fuzzy tagságfüggvénye és a kmenő adat (borravaló) fuzzy tagságfüggvénye között fuzzy szabályokkal teremtenek kapcsolatot, az alább formában: HA az étel ehető ÉS a kszolgálás jó AKKOR a borravaló magyar 5. Ha az egyk bemenő adatnak 4, a másknak pedg 3 fuzzy osztálya van, akkor elvleg 4 3=12 fuzzy szabályt kell felírnunk ahhoz, hogy mndegyk lehetséges bemenetre megoldást szolgáltassunk. Jelen konkrét feladat 12 fuzzy szabályát az alább
táblázatban foglaltuk össze. A táblázat szernt, pl. ízletes étel és közepes kszolgálás esetén német borravaló jár. ehetetlen Ehető fnom ízletes rossz skót Skót magyar magyar közepes skót magyar német német jó magyar magyar német mllomos Most pedg alkalmazzuk a barát társaság fuzzy nferencáját három konkrét vacsorájuk esetére. Az 5. ábrán három különböző színnel jelöltük a különböző éttermek osztályzatat. A pros étteremben az étel mnőségének 2,5-es osztályzata 1 1 4 lleszkedés mértékkel bír az ehetetlen fuzzy osztályra, valamnt 2 1 2 -del az ehető osztályra nézve. A kszolgálás mnősége vszont 8,5-es osztályzatot kapott, amellyel csak a jó fuzzy osztályhoz lleszkedk, 1 5 6 mértékg. Hasonló módon leolvashatjuk a zöld és kék étterem osztályzatat és lleszkedés mértéket a különböző fuzzy halmazokra nézve. 5. ábra. A három étteremnek adott számszerű osztályzatok és azok lleszkedés mértéke a fuzzy tagságfüggvényekhez Alkalmazzuk a fuzzy szabályokat mndhárom étterem esetében! A zöld étterem esete 1. Ha az étel 3 1 3 mértékg fnom és a kszolgálás 3 1 8 mértékg rossz, akkor 3 3 a borravaló mn{, } 1 8 mértékg magyar. 2. Ha az étel 3 1 3 mértékg fnom és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor 3 4 a borravaló mn{, } 1 3 mértékg német. 3. Ha az étel 4 1 2 mértékg ehető és a kszolgálás 3 1 8 mértékg rossz, akkor a 4 3 borravaló mn{, } 1 8 mértékg skót.
4. Ha az étel 4 1 2 mértékg ehető és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor a borravaló mn{ 4, 4} 1 2 mértékg magyar. A 6. ábra felső részén látható a zöld étterem osztályzatának mnd a négy lehetséges esete: a zöld vonalak behatárolják a kmenet fuzzy tagságfüggvényeket a kszámított lleszkedés mértékekg. Ez a grafkus ábrázolás a konkrét feladat fuzzy kmenete. Amennyben egyetlen skalárs értékkel meg akarjuk nevezn a fzetendő borravaló százalékot, defuzzyfkáln kell a kmenetet. Ehhez meg kell határoznunk, hogy a zöld vonalak alatt terület súlypontja hol helyezkedk el a vízszntes tengely mentén. 6. ábra. A fuzzy szabályokat alkalmazva mndhárom étterem esetére, az tt látható fuzzy kmeneteket kapjuk A pros és kék étterem esetén kapott fuzzy kmenetet s megtaláljuk a 8. ábrán. Most határozzuk meg, melyk étteremben mekkora borravalót fzetett a barát társaság. A színes vonalak és a vízszntes tengely által közrezárt terület súlypontja a pros étterem esetében határozható meg a legkönnyebben. Egyszerű geometra műveletekkel belátható, hogy a 2 vízszntes tengely mentén a súlypont 12 -nél, azaz 12.22-nél helyezkedk el. Ennek 9 megfelelően a vacsoravendégek 12.22% borravalót fzettek a pros étteremben. A másk két esetben a fuzzy kmenetet egy sokkal összetettebb alakzat ír le, melynek súlypontját sokkal nehezebb geometra műveletekkel meghatározn. Sokkal könnyebb lyen esetben numerkus megközelítést alkalmazn. A defuzzyfkált eredmény azt mutatja, hogy a zöld étteremben 13.85%, míg a kék étteremben 19.01% borravalót fzettek a fuzzy vendégek.
A fentekben smertetett teljes eljárást, ahogyan a numerkus bemenetekből a bemenet fuzzy tagságfüggvények és a fuzzy szabályok segítségével eljutunk a fuzzy kmenethez, és azt a súlypont módszerével defuzzyfkáljuk, Mamdan-féle nferencának nevezzük. Létezk egy nagyon hasonló, a Mamdan-féle nferencától csupán apró részleteben eltérő nferenca eljárás s, amelyet Larsen vezetett be. A Larsen-féle nferenca sajátossága az, hogy a fuzzy szabály alkalmazásakor a következőképpen jár el. Ha az egyk bemenet mértékg lleszkedk egy bzonyos fuzzy tagságfüggvényhez és a másk bemenet mértékg egy másk fuzzy tagságfüggvényhez, akkor a kmenet nem mn{, }, hanem mértékg fog az adott fuzzy szabály által előírt kmenet fuzzy tagságfüggvényhez lleszkedn. Tehát a Larsen-féle nferencánál a bemenet lleszkedés mértékek összeszorzódnak. Hogy ez mekkora különbséget jelent? Konkrétan, a pros étterem esetében a kmenet dagramon a pros trapéz magassága 12 helyett 512 lenne, és így a borravaló analtkus pontossággal 65 12 %, numerkus megközelítéssel 12.19% lenne. 342 A fuzzy rendszernek kettőnél sokkal több bemenete s lehet. Ha mndegyk bemenethez hozzárendelünk 3-4 fuzzy tagságfüggvényt, akkor hat bemenet esetén már ezres nagyságrandű fuzzy szabályra lesz szükség, és ez rendkívül körülményessé tehet mnd a fuzzy kmenet kszámítását, mnd pedg a defuzzyfkálás folyamatát. Ezt a problémát kívánja leküzden a Takag-Sugeno-Kang-féle (TSK) nferenca. Egy TSK rendszer ugyanúgy megvzsgálja a bemenetek lleszkedését a különböző fuzzy osztályokhoz, mnt a Mamdanféle rendszer, vszont a fuzzy szabályokat és a defuzzyfkálást egy egyszrűsített eljárással valósítja meg. A TSK rendszer működésének megértésére vegyük megnt a zöld étterem esetét. A bemenet, számszerű mnősítés az étel esetében x 5, míg a kszolgálásé x 4. 5 volt. Most lássuk a fuzzy szabályokat: 1. Ha az étel 3 1 3 mértékg fnom és a kszolgálás 3 1 8 mértékg rossz, akkor 1 3 3 a borravaló mn{, } 1 8 mértékg y f ( x, ) lesz. 1 magyar x 2. Ha az étel 3 1 3 mértékg fnom és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor 2 3 4 a borravaló mn{, } 1 3 mértékg y f ( x, ) lesz. 2 német x 3 1 3. Ha az étel 4 1 2 mértékg ehető és a kszolgálás 8 mértékg rossz, akkor a 3 4 3 borravaló mn{, } 1 8 mértékg y f ( x, ) lesz. 3 skót x 4 4. Ha az étel 4 1 2 mértékg ehető és a kszolgálás 1 mértékg közepes, akkor a borravaló mn{, } 1 2 mértékg y f ( x, ) lesz. 4 4 4 4 magyar x Mután az összes nem nulla lleszkedés mérték esetét véggvettük, a végső kmenetet egy egyszerű átlagolással határozzuk meg: y ahol bejárja az összes fennebb tárgyalt fuzzy szabály esetét, jelen konkrét példánál 14. A fuzzy szabályok alkalmazásakor felhasznált függvények ( f skót, f magyar, f német, és f mllomos ) előre meghatározott, legtöbbször lneárs függvények szoktak lenn. y,
Tehát a Mamdan-féle és a TSK nferenca modell a számszerű adatok fuzzyfkálását, valamnt a fuzzy szabályok alkalmazását teljesen azonos módon végzk. A különbség a fuzzy kmenet meghatározásnál és a defuzzyfkálásnál van: a TSK modell fuzzy kmenetet nem állít elő, hanem egyből számszerű kmenetet ad. Egy másk, gyakran alkalmazott megoldás a komplkált fuzzy kmenet kszámításának és defuzzyfkálásának elkerülésére, hogy a teljes fuzzy rendszer vselkedését megtanítják egy neuráls hálózatnak. A neuráls hálózat tanításához tanulás adatok kellenek. Ezeket úgy hozzák létre, hogy sok különféle bemenetre megállapítják a komplkált fuzzy rendszer mlyen kmenetet ad. Ezek a kmenetek lesznek az elvárt értékek a neuráls hálózat tanítása során, amkor ugyanazokat a bemenetet kapja a neuráls hálózat, mnt előzőleg a fuzzy rendszer. Amkor a neuráls hálózat képes a tanulás adatokra megfelelő, a fuzzy rendszerével megközelítőleg azonos kmenetet adn, akkor tovább tesztadatokra s képes lesz modellezn a fuzzy rendszer működését. A kmenet csak megközelítőleg lesz ugyanaz, mnt a fuzzy rendszer esetében, de ezt a kmenetet sokkal gyorsabban k lehet számítan. Az lyen, neuráls hálózattal modellezett fuzzy rendszereket neuro-fuzzy rendszereknek nevezzük. A fuzzy szabályozó fuzzy szabályozó fuzzy szabálybázs - nem fuzzy hba fuzzyfkáló nterfész fuzzy nferenca gép defuzzyfkáló nterfész nem fuzzy kmenet szabályozott szakasz 7. ábra. Szabályozó kör fuzzy szabályozóval A fuzzy szabályozó funkconálsan egy fekete doboz, melynek bemenete az elvárt referenca jel és a kmenet jel különbsége, kmenete pedg a szabályozott szakasznak adott szabályozás parancs. Mnd a bemenet, mnd pedg a kmenet egy-egy nem fuzzy mennység. A szabályozó belsejében vszont megtalálható a nem fuzzy bemenetet fuzzyfkáló nterfész, egy fuzzy nferenca gép, mely a fuzzy szabálybázs alapján előállítja a fuzzy kmenetet, és a defuzzyfkáló nterfész, amelyk a fuzzy kmenetből nem fuzzy kmenetet állít elő. Az nferenca gép bármely smertetett nferenca típust tartalmazhatja.
Irodalom [1] Zadeh LA: Fuzzy sets. Inform. Control 8:338-353, 1965 [2] Mamdan EH: Advances n the lngustc synthess of fuzzy controllers. Int. J Man-Mach. Stud. 7:1-13, 1974 [3] Ruspn EH: A new approach to clusterng. Inform. Control 15:22-32, 1969 [4] Bezdek JC: Pattern recognton wth fuzzy objectve functon algorthms. Plenum, New York, 1981