A kiadvány 08. 0. 6-tól tankönyvi engedélyt kapott a TKV/8-9/08. számú határozattal. A tankönyv megfelel az /0. (XII..) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 7. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok. évfolyama számára..0.;. sz. melléklet: Kerettanterv a szakgimnáziumok 9. évfolyama számára megnevezésű kerettanterv előírásainak és az érettségi vizsga követelményeinek [0/00. (V..)]. Lektorok: Füleki Lászlóné, Beck Zsuzsa Az ábrákat készítette: dr. Fried Katalin A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők: dr. Várady Ferenc, Zarubay Attila Korom Pál, Eszterházy Károly Egyetem (Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt.), 009 ISBN 978-96-9-68- Eszterházy Károly Egyetem 00 Eger, Eszterházy tér. Tel.: (+6-) 60-87 Fa: (+6-) 60-8 E-mail: kiado@ofi.hu A kiadásért felel: dr. Liptai Kálmán rektor Raktári szám: NT-60/F Felelős szerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Műszakiiroda-vezető: Horváth Zoltán Ákos Műszaki szerkesztő: Orlai Márton Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné Terjedelem:, (A/) ív Tömeg: 0 gramm. kiadás, 09 Készült a Gyomai Kner Nyomda Zrt.-ben, 09-ben Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja Az igazgatóság elnöke Balla László Vezérigazgató Erdős Tamás Telefon: 66/887-00
Tartalom Bevezető... Megoldások Hatvány és logaritmus... 6 90. feladatlap: Másodfokúra visszavezethető egyenletek... 6 90. feladatlap: Másodfokú egyenletrendszerek... 0 9. feladatlap: Racionális kitevőjű hatványok... 9. feladatlap: Eponenciális függvények... 9. feladatlap: Logaritmus fogalma... 9 9 6. feladatlap: Logaritmus azonosságai... 9 7. feladatlap: Logaritmusfüggvény... 7 9 8. feladatlap: Eponenciális egyenletek... 97 9. feladatlap: Logaritmusos egyenletek... 97 Trigonometria alkalmazása... 6 99 0. feladatlap: Két vektor skaláris szorzata... 6 99. feladatlap: Két vektor skaláris szorzata koordináta-rendszerben... 8 99. feladatlap: Szinusztétel... 9 00. feladatlap: Koszinusztétel... 0. feladatlap: Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztétel alkalmazására... 0. feladatlap: Sokszögekre vonatkozó vegyes feladatok... 0 6. feladatlap: Trigonometrikus egyenletek.... 0 7. feladatlap: Trigonometrikus egyenletek.... 7 0 8. feladatlap: Trigonometrikus egyenlőtlenségek... 8 06 Koordinátageometria... 0 07 9. feladatlap: Helyvektor, vektor, osztópont... 0 07 0. feladatlap: Párhuzamos és merőleges vektorok... 08. feladatlap: Egyenes... 6 0. feladatlap: Egyenes és pont... 8. feladatlap: Egyenes iránytényezős egyenlete... 9. feladatlap: A párhuzamosság és merőlegesség feltétele... 6. feladatlap: Két egyenes metszéspontja... 6 6. feladatlap: Pont és egyenes távolsága... 6 7. feladatlap: Kör egyenlete... 67 8. feladatlap: Pont és kör viszonya... 69 9. feladatlap: Egyenes és kör kölcsönös helyzete... 7 6 0. feladatlap: Vegyes feladatok... 7 6
Megoldások Gondolkodási módszerek... 77 8. feladatlap: Gráfelmélet... 77 8. feladatlap: Kombinatorika (permutáció, kombináció, variáció)... 79 9 n. feladatlap: Kombinatorika (az k tulajdonságai)... 8 9. feladatlap: Kombinatorika gyakorlása... 8 9. feladatlap: Valószínűség-számítás... 86 0 Megoldások... 90
Bevezető A feladatlap-gyűjtemény elsősorban a középiskolai matematika tananyag gyakorlására készült. A tematikus sorrendben felépülő feladatlapok segítik az órai munkát, a szakköri, illetve korrepetáló foglalkozást, az önálló gyakorlást vagy a középszintű matematika érettségire való felkészülést. A feladatlapok a. évfolyamos kerettanterv tananyagát követik. A feladatlapok feldolgozását két fontos egység segíti. Az első egységcsoport a minden nagyobb téma előtt a témához kapcsolódó elméleti emlékeztető. Ezek a részek az adott témához tartozó definíciókat, tételeket, illetve a fontosabb eljárásokat, módszereket tartalmazzák. A másik alapvető egység pedig a feladatlap-gyűjtemény végén található megoldások, amelyek az eredményeken túl az azokhoz vezető fontosabb lépéseket is magukban foglalják. A feladatlap-gyűjtemény készítésekor elsődleges cél volt, hogy lehetőleg minden feladatot a feladatlap oldalain oldjon meg a tanuló.
Hatvány és logaritmus. feladatlap Másodfokúra visszavezethető egyenletek EMLÉKEZTETŐ másodfokú egyenlet megoldóképlete: Az a + b + c 0 ( a 0) alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete: b b ac ; ±. a a megoldások alakjai: A végtelen számú tizedesjegyre vezető változó értékét megadhatjuk pontosan és kerekítve is. pontos érték: A végtelen szakaszos tizedes törtet egyszerűsített tört alakban 0,, az irracionális számot pedig a megfelelő művelet megtartásával, ; 0, 07... írjuk le. kerekített érték: Nagy pontosságú számoló eszköz, például számológép, segítségével kiszámoljuk az eredményt, majd a megadott számú értékes jegyig kerekítjük a kapott értéket. Például kerekített értéke három értékes jegy esetén 0,07; de 00, 60... kerekített értéke három értékes jegy esetén,6. (Nem,6, mert ez a kerekítés öt értékes számjegyet tartalmaz. Az értékes jegyek és a tizedesjegyek száma nem feltétlenül egyezik meg.) n n a + b + c 0 alakú egyenlet megoldása: Az y n új változót vezetjük be, és az ay + by + c 0 másodfokú egyenlet már megoldható. Amennyiben az y változónak léteznek megoldásai ( y; y ), akkor az y n, y n egyenleteket még meg kell oldani. Például az + 0 egyenlet az y új változó bevezetésével y y+ 0 másodfokú egyenletté alakítható át, amelynek a megoldásai: y és y. Az y egyenlet megoldásai: ± Az y egyenlet megoldásai: ;. ; ±. Így az eredeti egyenlet megoldásai a valós számhalmazon: ; ; ;. másodfokúnál magasabb fokú egyenlet megoldása: Általános megoldóképlete a harmadfokú és a negyedfokú egyenletnek van, de ezeket a megoldóképleteket a középiskolában nem tanuljuk. A másodfokú egyenleteknél magasabb fokú egyenletek megoldásainál a feladatok jellegzetességeit kell észrevenni, például bizonyos tagok hiányoznak (hiányos egyenlet), vagy az együtthatók nagyon speciálisak, valamely azonosságra emlékeztetnek, vagy kiemelhetők. A megoldási trükkök jelentős részének az az alapja, hogy az egyenletet alacsonyabb fokú egyenletekre (például első- vagy másodfokúra) vezetjük vissza. A továbbiakban csak néhány módszert tekintünk át. n n p alakú egyenlet megoldása: A megoldása páratlan n esetén, p értékétől függetlenül a, páros n esetén, amennyiben p 0, n ; ± p. új változó bevezetése: Sok esetben a változó bonyolultabb kifejezése helyett érdemes új változót bevezetni, majd az új változó megoldásai után kiszámolni az eredeti változó értékeit. Például ( ) ( + + ) 8 egyenletnél bevezetjük az y + új változót. Ekkor az y ( y+ ) 8 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai y ; y. A kapott értékeket behelyettesítve az új változó helyére, az + és a + egyenletekhez jutunk, amelyeknek megoldásai: ; ; ;. az egyenlet nullára redukálása és szorzattá alakítása: Sok esetben érdemes az egyenletet nullára redukálni (ekkor az egyenlet egyik oldalán csak a 0 szerepel), mert a másik oldal szorzattá alakításakor a tényezők az eredeti egyenleteknél kisebb fokszámú kifejezések lesznek, és figyelembe véve, hogy egy szorzat akkor és csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője nulla, ezek a tényezők kisebb fokszámú egyenletek lesznek. Például az + 0 egyenletből csoportosítva lehet kiemelni ( + ) ( + ) 0. További kiemelés után az egyenlet alakja ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 0. Az 0, + 0 és + 0 egyenletek megoldásai ; ;. 6 Hatvány és logaritmus
FELADATOK.. Számold ki négy értékes számjegy pontossággal a következő egyenletek megoldásait! a), 78; b) ; c) b ; d) ( y ) 0; e) 0; f) a 6 0 +... Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) 0; b) 8 6 7 + 7 0; 8 c) + 0;. feladatlap 7
0 d) 0 0... Oldd meg az alábbi negyedfokú egyenleteket! Hány megoldást találsz? a) 0; b) 9 + 00 0; c) 00 0; d) + 0; e) + 9 + 00 0... Új változó bevezetésével oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ( + 9+ ) ( + 9+ 7) ; 8 Hatvány és logaritmus
b) ( ) ( ) ; c) 8 + + + + + ; d) 0 + + + + +... Szorzattá alakítással oldd meg a következő egyenleteket! a) + 0; b) 9+ 8 0; c) + 0; d) 6 9 + 0.. feladatlap 9
.6. Erzsi egy egynél nagyobb irracionális számra gondolt. Ha a szám négyzetéhez hozzáadunk egyet és négyzetre emeljük, akkor a gondolt szám négyzetének négy és félszeresét kapjuk. Melyik számra gondolt Erzsi?.7. a) Melyek azok a számok, amelyeknek a harmadik hatványa megegyezik az eredeti számmal? b) Melyek azok a számok, amelyeknek a negyedik hatványa megegyezik az eredeti számmal? c) Melyek azok a számok, amelyeknek a negyedik hatványa egyenlő a második hatványuk kétszeresével?. feladatlap Másodfokú egyenletrendszerek EMLÉKEZTETŐ másodfokú egyenletrendszer megoldása: A másodfokú egyenletrendszer megoldásánál sok esetben használhatjuk az elsőfokú egyenletrendszer megoldásánál használható módszereket: az egyik ismeretlen kifejezését és a másik egyenletbe való behelyettesítését, vagy ha lehetőség van rá, az egyenlő együtthatók módszerét. másodfokú egyenletrendszer megoldása új ismeretlenek bevezetésével: Sok esetben a változók bizonyos kifejezései helyett új ismeretleneket vezethetünk be, és az így kapott kétismeretlenes egyenletrendszer már megoldható, és az új változók értékeinek ismeretében már az eredeti egyenletrendszer megoldásai is megadhatók. Például ( + y) y 7. Az új ismeretlenek ( + y)+ y u v 7 u + y, v y bevezetése után az egyenletrendszer alakú lett. Az egyenletrendszer megoldása u 9 + y, u+ v v 0 y. Az új egyenletrendszert például y 9 behelyettesítéssel oldhatjuk meg. Ekkor a megoldáspárok:, y ;, y. 0 Hatvány és logaritmus
FELADATOK.. Oldd meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) + y 6 y 8 ; b) y y ; + y 7 c) y ; d) y. y 6.. Oldd meg a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) + y 0 ; + y 8 y + y b) ; y 9. feladatlap
y + y + y c). y.. Új változók bevezetésével oldd meg következő egyenletrendszereket! (Az eredmény nem csak egész vagy racionális szám lehet!) a) ( + y) + y 79 ; ( + y) y 9 b) ( + y) y 0 ; ( + y) ( + y) + y 6 c) + y + y 9 ; ( + y) y 0, d) ( y) y. ( y) + y 68.. Egy derékszögű háromszög területe 8,8 cm, átfogója 8, cm. Mekkora a két befogója? Hatvány és logaritmus
. feladatlap Racionális kitevőjű hatványok EMLÉKEZTETŐ a hatványozásról tanultak: Az a n ( a, n ) hatványon n esetén olyan n tényezős szorzatot értünk, amelynek minden tényezője a. Megállapodás szerint a a, valamint a 0 ( a 0 ). Negatív kitevő esetén a a hatványozás azonosságai: a, b ; m, n +. n n n. a b ( a b);. a n a b racionális kitevőjű hatvány: Az a n n ( ). Mivel az a n n n n a m n m n b, b 0;. a a a + ;. a a m n n (a \ { 0 }, n ). n a m n a m n mn n m, a 0;. ( a ) a ( a ). ( n > ) jelenti azt a pozitív számot, amelynek n-edik hatványa a nemnegatív szám, n n n n vagyis a a meghatározása pontosan megegyezik a a meghatározásával, így elmondhatjuk, hogy a a, ahol a bal oldali kifejezést hatványalaknak, a jobb oldali kifejezést pedig gyökalaknak nevezzük. p q racionális kitevőjű hatvány: Az a ( a> 0; p Z; q N \{} 0 ) jelenti azt a pozitív számot, amelynek q-adik hatványa a p q p p nemnegatív szám, vagyis ( a ) q p a. A gyakorlatban jól használható azonosság az a q q a p a > 0; p Z; q N és q, ahol a bal oldali kifejezést hatványalaknak, a jobb oldali kifejezést gyökalaknak nevezzük. ( ) FELADATOK.. Számítsd ki a hatványok pontos értékét! a) 6 b) 7 c) 6 d) 0, e) 0, 0000 f) 0, 06.. Számítsd ki a hatványok pontos értékét! a) b) c) 6 6 d) 7 e) f) 8.. A gyökalakban megadott kifejezéseket alakítsd át hatványalakúvá! ( a 0; b > 0.) a) b). feladatlap
c) d) 7 e) a f) a b.. A gyökalakban megadott kifejezéseket alakítsd át hatványalakúvá úgy, hogy a kitevőben ne legyen negatív szám! ( a 0; b > 0.) a) b) c) a b.. A hatványalakban megadott kifejezéseket alakítsd át gyökalakúvá! ( a 0; b > 0.) a) 7 b) c) a d) e) 0, f) a b.6. A hatványalakban megadott kifejezéseket alakítsd át gyökalakúvá úgy, hogy a kitevőben ne legyen negatív szám! ( a 0; b > 0.) a) b) a c) b.7. A hatványozás azonosságainak alkalmazásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd add meg őket gyökalakban! a) b) c) d) a a e) : Hatvány és logaritmus
f) : g) : h) a : a.8. A hatványozás azonosságainak alkalmazásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd add meg őket gyökalakban! a) 0 0 b) c) a 0 a a d) a a 6 e) f) a a a a. feladatlap Eponenciális függvények EMLÉKEZTETŐ a alapú eponenciális függvény: Az f : +, a ( a > 0 ) függvényt a alapú eponenciális függvénynek nevezzük. Az alaptól függően a függvénynek három típusa lehetséges:. feladatlap
. a > esetén az eponenciális függvény szigorúan monoton növekedő;. a esetén az eponenciális függvény az f :, konstans függvény;. 0< a < esetén az eponenciális függvény szigorúan monoton csökken. y y y a, a a,0 a a, a 0 0 0 FELADATOK.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :, + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Mi a zérushelye a függvénynek? c) Hol metszi a függvény az y tengelyt? d) Pontja-e a grafikonnak a ( ; 0, ) koordinátájú pont? 6 Hatvány és logaritmus
.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :,, függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Monotonitás szempontjából milyen a függvény? c) Milyen függvényérték tartozik az helyhez? d) Hol veszi fel a függvény a értéket?.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f :, + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Monotonitás szempontjából milyen a függvény? c) Milyen tartományban pozitív a függ vény? d) Az helyen milyen értéket vesz fel a függvény?. feladatlap 7
.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f : [ ; ], + függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Az alábbi pontok közül melyek illeszkednek a grafikonra? ( ) A 0, ; 0 ; B ( 0 ; ); ( ) C 0, ; ; ( ) D, ;,... A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f :, függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 8 Hatvány és logaritmus
.6. Adott a függvény paraméteres alakja és a grafikonjának egy pontja. Számítsd ki a függvény paraméterét, és ábrázold a függvényt! a) f ( ) a + és P ( 0 ; ); + b b) g( ) és Q ( ; 0 ); c) h( ) c + és R ( ; 0 ).. feladatlap Logaritmus fogalma EMLÉKEZTETŐ b pozitív szám a alapú logaritmusa: A b pozitív szám a (a > 0 és a ) alapú logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre az a alapot emelve a b számot kapjuk. Például a log (ejtsd -es alapú logaritmus ) jelenti azt a kitevőt, amelyre -t emelve -at kapunk, vagyis l o g. 0-es alapú logaritmus: Mivel az általunk használt számrendszer alapja 0, ezért a 0-es alapú logaritmust (log b 0 ) megkülönböztetett módon, lg b -vel jelöljük. Például lg ; l g 0, 6. a alapú hatvány a alapú logaritmusa: Az a n hatvány a alapú logaritmusa pont a hatvány kitevője ( n ), mert a logaritmus definíciója alapján a-t n-re kell emelni, hogy a n n -t kapjunk. log a a n. Például log, mert -öt a. hatványra kell emelni, hogy -t kapjunk. log, mert. az a szám a alapú logaritmusa: log a a. Az a szám a alapú logaritmusa, mert a a. az tetszőleges alapú logaritmusa: log a 0. Az -nek akármilyen alapú logaritmusát vesszük, akkor 0-t kapunk, mert bármely pozitív szám 0. hatványa. Például log 0, l g 0. FELADATOK.. A logaritmus fogalma alapján add meg a következő kifejezések pontos értékét! a) l o g b) 0 l g 6. feladatlap 9
c) log 7 d) 9 log 90 e) 0 lg f) 0 7 7 log0 0 7.. Határozd meg a következő logaritmusokat! a) log 8 b) log 9 c) log d) log e) log f) log g) log 6 h) log i) log.. Határozd meg a következő logaritmusokat! a) log b) log 9 c) log d) log 0, e) log 7 f) log 0, g) log 0, h) log 8 i) log 0, 0.. Számítsd ki a következő kifejezésék pontos értékét! a) lg 00 b) lg 0 000 c) l g 0, 0 d) lg 0, 000 0 0 Hatvány és logaritmus
e) lg ( 0, 0 00) f) l g 0, 0.. Határozd meg a következő logaritmusokat! ( a, b, c, d, m, n 0, a, b, c, d. ) a) log n b) log m c) log a a d) log b b e) log c c f) log d d.6. Számítsd ki a következő logaritmusos kifejezések pontos értékét! ( a > 0, a. ) a) log 6 b) lg 0 c) log d) lg 0 e) log f) lg 0 g) log a a h) log a 9 a 8.7. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! ( > 0.) a) log 7; b) log ; c) lg ; d) log ;. feladatlap
e) log a ; f) log a ; g) log ; h) log ; i) lg..8. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! ( > 0,.) a) log 6 6 ; b) log 6 ; c) log 6 ; d) log 6 ; e) log 6 ; f) log 6 ; g) log ; h) log ; Hatvány és logaritmus
i) log. 9.9. Számítsd ki a logaritmus definíciója és a hatványozás azonosságainak segítségével a következő kifejezések pontos értékét! ( > 0,.) a) + log b) + log 6 c) log d) 7 log7 e) log log f).0. Számológép segítségével határozd meg a következő logaritmusok közelítő értékét három értékes jegy pontossággal! a) l g, b) l g, c) l g, 6 d) lg0, 76 e) l g 0, f) l g 0,.. Számológép segítségével oldd meg a következő egyenleteket három értékes jegy pontossággal! a) lg 0, ; b) lg, 6 ; c) lg, ; d) lg 0, ; e) lg, 6 7 ; f) lg, 8 8.. feladatlap
6. feladatlap Logaritmus azonosságai EMLÉKEZTETŐ szorzat logaritmusa: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összegével egyenlő. loga y loga + log a y, ahol > 0, y > 0, a > 0 és a. Például lg000 lg, 0 lg, + lg0 lg, +. tört logaritmusa: Tört logaritmusát megkapjuk, ha a számláló logaritmusából a nevező logaritmusát levonjuk., loga loga log a y, ahol > 0, y > 0, a > 0 és a. Például lg 0, 000 lg lg, lg0 lg,. y 0 n hatvány logaritmusa: Hatvány logaritmusa egyenlő a kitevő és a hatványalap logaritmusának szorzatával. loga n log a, ahol n, > 0, a > 0 és a. Például lg lg. áttérés új logaritmusalapra: Egy szám új alapú logaritmusának és a régi alap új alapú logaritmusának hányadosa egyenlő a szám logb lg régi alapú logaritmusával. loga, ahol > 0, a > 0, a, b > 0, b. Például log logb a lg. nem tízes alapú logaritmusok közelítő értékének kiszámítása: Tízes alapú logaritmusra való áttéréssel számológéppel lg kiszámíthatjuk a nem tízes alapú kifejezések közelítő értékét. Például log 0 699. lg, 0 0,, FELADATOK 6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) lg8 + lg b) log + log 6+ log 8 c) log + log 7 log d) log 60 log log Hatvány és logaritmus
6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! ( a 0, ). 00 a) lg( 0) + lg b) log ( a) + log a c) log ( ) log a a d) log log 8 6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) log + log 6 6 6 b) log + log c) log 000 log 6 6 d) log 8 log 6. feladatlap
6.. Határozd meg értékét! a) lg lg 7 lg8+ lg ; b) lg lg6 + lg8 lg ; c) log log log ; d) lg lg lg+ lg 6. 6.. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log a) log 6 b) log + log log76 c) log, log 06, + log 00, d) log log log 6 Hatvány és logaritmus
6.6. Számológép segítségével számítsd ki a következő kifejezések közelítő értékét három értékes jegy pontossággal! a) log 6 b) log 0,, 6 c) log 9 d) log 0, 0 6.7. Számológép segítsége nélkül számítsd ki a következő kifejezések közelítő értékét, ha tudjuk, hogy log, 8! a) log 6 b) log 9 c) log d) log 8 7. feladatlap Logaritmusfüggvény EMLÉKEZTETŐ logaritmusfüggvény: Az f : +, f( ) log a ( a > 0, a ) függvényt a alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük. Az alaptól függően a függvénynek két típusa lehetséges: 7. feladatlap 7
. a > esetén a logaritmusfüggvény szigorúan monoton nö;. 0< a < esetén az logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökken. y y log a, a 0 0 log a,0 a a logaritmusfüggvény értelmezési tartománya: A logaritmusfüggvényben lévő kifejezés csak pozitív lehet. A függvény értelmezési tartományát ezen feltétel alapján határozhatjuk meg. Például f( ) log ( ) szögfüggvényben lévő kifejezés pozitív ( > 0 ), ha >,. FELADATOK 7.. Mely valós -ekre értelmezhetők a következő kifejezések: a) l g ; b) l g ( +, ) ; c) log ( ); d) lg ; e) log ( ); f) log 0, ( ) ; ( ) h) lg ( + + ). g) lg + ; 8 Hatvány és logaritmus
7.. Ábrázold közös koordináta-rendszerben az + halmazon értelmezett alábbi függvényeket! a) log ; b) log ; c) log ; d) log. 7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f : +, log függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 7. feladatlap 9
7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold és jellemezd az f : ] ; [, log ( + ) függvényt! Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushely: Növekedés: Csökkenés: Szélsőértékek: Páros: Páratlan: Periódus: 7.. A függvénytranszformációkkal kapcsolatos ismereteid segítségével ábrázold az f : ] 0, ; [, log ( 0, )+ függvényt, és a grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre! a) Mi az értékkészlete a függvénynek? b) Az alábbi pontok közül melyek illeszkednek a grafikonra? A( ; ) ; B( 00, ;, ); C( 0 ; ) ; D(, ; ). 0 Hatvány és logaritmus
8. feladatlap Eponenciális egyenletek EMLÉKEZTETŐ + eponenciális egyenlet: Eponenciális egyenletről beszélünk, ha az ismeretlen a kitevőben fordul elő. Például. az alapegyenlet megoldása: Az eponenciális alapegyenlet a b alakú, ahol ab, +. Az egyenletet megoldhatjuk pontosan és közelítő módon. Amennyiben a jobb oldalon álló b kifejezés átírható a bal oldalon szereplő a alap valamely hatványára, úgy megkaphatjuk pontos értékét, mert az eponenciális függvény kölcsönösen egyértelműségéből következik, hogy a kitevők egyenlők. + Például 8, vagyis +, innen 0. Amennyiben a jobb oldal nem írható fel hatványalakban, úgy vegyük mindkét oldal 0 alapú logaritmusát: lga lg b, alkalmazva b a megfelelő azonosságot lga lg b, innen lg, amely közelítő érték tetszőleges pontossággal meghatározható. lg a Fontos szabály az eponenciális egyenletek megoldásánál: törekedni kell az egyenletek megoldásának pontos megadására! Amennyiben ez nem lehetséges, akkor következik a közelítő megoldás alkalmazása. FELADATOK 8.. Add meg a következő eponenciális egyenletek pontos megoldását! a) 8; b) 96; c) 6; d) ( ) ; e) + 0,; f) ; g) + ( + ) ( ) ; h) ; i) 9; j) 0. 8. feladatlap
8.. Add meg a következő eponenciális egyenletek pontos megoldását! a) ; b) ; c) 7 ; d) 9 ; e) 6 9 ; 8 f) 000. 8.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! + a) + ; b) + + + + 8; + + c) ; d) + + + 9. 8.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) + 0; b) + 0; c) 0 + 0 0 ; d) 8 0; e) + 0; f) 9 0 + 9 0. Hatvány és logaritmus
8.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ; + b) ; c) + + + ; d) 8 + 0. 9. feladatlap Logaritmusos egyenletek EMLÉKEZTETŐ logaritmusos egyenlet: Olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen logaritmusfüggvényben fordul elő. logaritmusos alapegyenlet megoldása: Az log a b alakú egyenlet a logaritmusos alapegyenlet. Az egyenlet megoldása a b. Például lg egyenlet megoldása 0 00. az loga loga b alakú egyenlet megoldása: Mivel csak az egyenlő számok logaritmusa egyenlő, ezért az egyenlet megoldása b. A kiemelt szövegrészletet ennél a lépésnél fel kell tüntetni! Például lg ( + ) lg ( + ) egyenlet esetén. (Kikötés: > ) Az egyenlet átalakítása után lg ( + ) lg ( + ), mivel csak az egyenlő számok logaritmusa egyenlő, ezért ( + ) ( + ). A másodfokú egyenlet megoldásai: ;, melyek közül csak az megoldása az eredeti egyenletnek. feltétel (vagy kikötés): A logaritmusfüggvényben lévő kifejezés csak pozitív lehet. Több logaritmusfüggvényt tartalmazó egyenlet esetén több egyenlőtlenség közös megoldása adja meg az egyenlet értelmezési tartományát. Az értelmezési tartományt az egyenlet megoldása előtt érdemes meghatározni. Sok esetben előre kiderülhet, hogy nincs az egyenletnek megoldása, vagy a lehetséges megoldások közül kiszűrhetjük a hamisakat. Például. lg ( ) + lg ( ) egyenletnek nincs megoldása, mivel > 0 és > 0 egyenlőtlenségrendszernek nincs közös megoldása ( > vagy < 0).. A lg ( ) lg ( + ) egyenlet értelmezési tartománya az > 0, + > 0 egyenlőtlenségrendszer közös megoldása, az >. Az egyenletet megoldva: lg, + + 0,,. Az így kapott megoldás nem esik bele az egyenlet értelmezési tartományába, így nem megoldás, hamis gyök. ellenőrzés: A megoldások visszahelyettesítése az eredeti egyenletbe, egy másik lehetséges szűrési módja a hamis megoldásoknak. FELADATOK 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! (Ne felejtsd el a feltételeket!) a) lg lg ; b) lg ; c) lg ; d) lg( ) ; 9. feladatlap
e) lg ; + f) lg( ) lg( + ). 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log + log ; 6 6 b) log log ; 6 6 c) lg( ) lg ; d) lg + lg. 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log ( ) + log ( + ) ; b) log + log ( ). 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log ( ) log ( ); b) log ( ) log ( + ) 0; c) log ( ) ; log ( + ) d) log ( ). log ( + ) 9.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) logloglog 0; Hatvány és logaritmus
b) logloglg ; ( ) c) log log (log + ) + 7 ; ( ) d) log lg(log 09, ) + 6. 9.6. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg lg + 0 0; b) lg lg 0; c) 6lg + lg 0; d) log + log 0. 9.7. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg lg ( +6); b) lg( + 6) lg ( 6); c) lg lg ( + ); d) lg ( ) lg ( + 7). 9.8. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) lg ( ) + lg ( + ) ; b) log ( + 9) + log ( + ) ; c) log ( + + ) ; d) log ( + + 6). 9. feladatlap
Trigonometria alkalmazása 0. feladatlap Két vektor skaláris szorzata EMLÉKEZTETŐ két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és hajlásszögük koszinuszának szorzatát értjük. a b a b cos γ. (Ez egy valós szám.) b FELADATOK a 0.. Adott a két vektor abszolút értéke és hajlásszöge, számítsd ki a skaláris szorzatukat! a b γ a b a),, 0 b) 0 0 c),, 0 d) 0 8 e) 90 f) 6 60 g) h) 6 0 i) 6 80 0.. Az előző feladat segítségével válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Milyen esetben lehet a skaláris szorzat 0? b) Milyen esetben lesz a skaláris szorzat negatív? c) Milyen esetben pozitív a skaláris szorzat? d) Ha az a vektor egységvektor, akkor mit jelent a b cosγ szorzat? e) Milyen közbezárt szög esetén lesz maimális a két vektor skaláris szorzata? f) Milyen közbezárt szög esetén lesz minimális a két vektor skaláris szorzata? 6 Trigonometria alkalmazása
0.. A táblázat egy-egy sorában két vektor skaláris szorzata és a szorzat tényezői szerepelnek. Töltsd ki a táblázat üresen maradt celláit! a b γ a b a) 6 b) 0 c) 6 0 d) 9 0,6 0.. Mekkora munkavégzés árán lehet 0 N nagyságú erővel elhúzni egy ládát 0 m úton, ha az erő 0 -os szöget zár be az elmozdulással? 0.. Egy paralelogramma AB oldala egység hosszúságú, a két oldal által közbezárt szög 6. Tudjuk, hogy A B A D 0. Mekkora a másik oldal? 0.6. Egy rombusz oldala 6 egység hosszúságú, a két oldal által közbezárt szöge 7. Mekkora a közös csúcsból induló két oldalvektor skaláris szorzata? 0. feladatlap 7
0.7. A következő paralelogrammákról döntsd el, hogy melyik rombusz, melyik téglalap, melyik négyzet! a A B b A D A B A D A négyszög típusa a) b) 0 c) 6 d) 0. feladatlap Két vektor skaláris szorzata koordináta-rendszerben EMLÉKEZTETŐ két vektor skaláris szorzata: Két koordinátáikkal megadott vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével. Ha aa ( ; a ) és bb ( ; b ), akkor a b ab + ab. Például a( ; ) és b( ; ) esetén a két vektor skaláris szorzata a b + ( ). Fontos tudnivaló, hogy egy vektor önmagával vett skaláris szorzata az pont a vektor abszolút értékének négyzetével egyenlő. a a a a + a a a + a a. Vagyis a vektor hossza (abszolút értéke) egyenlő az önmagával vett skaláris szorzatának a négyzetgyökével. a a a a + a. FELADATOK.. Adott a( ; ), b( ; ) és c( ; 0 ) vektor. Számold ki a következő műveletek eredményeit! a) a b b) a ( b+ c) c) b ( a+ c) d) ( a b) ( a+ c).. Határozd meg a két vektor hosszát, skaláris szorzatát és hajlásszögét! aa ( ; a ) a bb ( ; b ) b a b cosγ γ a) ( ; ) ( ; ) b) ( 0 ; ) ( 8 ; 6 ) c) ( ; 6 ) ( ; 0, ) d) ( ; ) ( ;, ) 8 Trigonometria alkalmazása
.. Adott a derékszögű háromszög három csúcspontja. A skaláris szorzat segítségével határozd meg, hogy az A csúcsnál található-e derékszög! Aa ( ; a) Bb ( ; b) Cc ( ; c) A B A C A B A C Derékszögű-e? a) ( 0 ; 0 ) ( ; ) (, ; ) b) ( 0 ; 0 ) ( ; ) ( ; 6) c) ( ; ) ( ; ) ( ; ).. Mely érték esetén zár be a két vektor derékszöget egymással? a) a( ; ) és b( ; ) ; b) a( ; ) és b( ; ) ; c) a( ; ) és b( 6 ; ) ; d) a ( ; ) és b ( ; ).. feladatlap Szinusztétel EMLÉKEZTETŐ szinusztétel: Egy háromszögben két oldal aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszának arányával. a b sin α ; sin β a c sin α sin γ ; b c sin β sin γ. szinusztétel használata: A szinusztételt érdemes használni, ha a háromszögben adott két szög (a harmadik már kiszámolható) és egy oldal; két oldal és az egyikkel szemközti szög. (Ha a nagyobb oldallal szemközti szög az ismeretlen, vigyázni kell, mert a háromszög tompaszögű is lehet.) FELADATOK.. A háromszög egyik oldala 0 cm, a rajta fekvő két szög és. Mekkora a háromszög másik két oldala?. feladatlap 9
.. Adott a háromszög két szöge, 0 és 6. A kisebb szöggel szemközti oldal cm nagyságú. Mekkora a másik két oldal?.. Egy háromszög két oldala 7 cm és cm. A nagyobb oldallal szemközti szög 6. Mekkora a másik két szög és a harmadik oldal?.. Egy szigeten a hajótörött a következőképpen akarta lemérni, hogy a szemközti sziget legnagyobb pálmafája milyen messze van. Kijelölt a saját szigetén egymástól 0 méterre lévő két pálmafát, és mind a kettőnél megmérte a másik pálmafa és a szomszédos sziget pálmafája által bezárt szöget. 8 6, és 7 9, adódott. Milyen messze volt a 8 6, -os szög csúcsában lévő pálmafa a másik szigeten lévő pálmafától?? 86 79 0 m.. A háromszög kerülete 0 cm, két szöge pedig 7 és 9. Mekkora a háromszög három oldala? 0 Trigonometria alkalmazása
.6. A háromszög szögeinek aránya : :. A legnagyobb szöggel szemközti oldal 0 cm. Mekkora a másik két oldal?. feladatlap Koszinusztétel EMLÉKEZTETŐ koszinusztétel: Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. c a + b abcos γ. koszinusztétel használata: A koszinusztételt érdemes használni, ha a háromszögben adott két oldal és az általuk közbezárt szög; három oldal. FELADATOK.. Egy háromszög két oldala 0 cm, 0 cm, az oldalak által közbezárt szög. Mekkora a harmadik oldal?.. Egy háromszög három oldala cm, cm és 8 cm. Mekkorák a háromszög szögei?. feladatlap
.. Egy pontszerű testre 0 N és N nagyságú erő hat. Mekkora a két erő eredője, ha a vektorok által bezárt szög a), ; b),? F N F N F 0 N F 0 N.. Mekkorák a cm és cm oldalú paralelogramma átlói, ha az oldalak által közbezárt szög 67?.. Egy háromszög két oldalának aránya :, a két oldal által közrezárt szög 60. Mekkorák a háromszög oldalai, ha a háromszög kerülete 0 cm?.6. Mekkora az ábrán látható négyszög ismeretlen oldala? 80 0 cm cm 9 cm? Trigonometria alkalmazása
. feladatlap Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztétel alkalmazására FELADATOK.. Egy háromszög két oldala 8 cm és cm, a két oldal által közbezárt szög 6. Mekkora az ismeretlen oldal és a másik két szög?.. Egy háromszög egyik oldala cm. Az oldalon fekvő két szög és 6. Milyen hosszú az oldalhoz tartozó súlyvonal?.. Az ábra adatai alapján határozd meg az ismeretlen szakaszok hosszát! z? 7 7 6 y??.. Az ábra adatai alapján határozd meg értékét! 0 cm 6 0 cm 0 c?. feladatlap
. feladatlap Sokszögekre vonatkozó vegyes feladatok EMLÉKEZTETŐ háromszög területe: A háromszög területe az alábbi összefüggésekkel számolható ki: a m t a ; a b t sin γ ; t s( s a)( s b)( s c); t r s; abc t, R a b c ahol s a háromszög kerületének a fele: s + +, R a háromszög köré írható kör sugara, r a háromszögbe írható kör sugara. FELADATOK.. A háromszög 8 cm és cm-es oldala által közbezárt szöge. Mekkora a háromszög kerülete, területe?.. A háromszög kerülete 6 cm, oldalainak aránya : :. Mekkora a háromszög területe? Mekkora a háromszög köré és a háromszögbe írható kör sugara?.. A háromszög egyik oldala cm. A rajta fekvő két szög 8 és 9. Mekkora a háromszög kerülete, területe? Mekkora a háromszög köré és a háromszögbe írható kör sugara? Trigonometria alkalmazása
.. Egy trapéz két alapja cm, 8 cm. A 6 cm-es szár a hosszabb alappal 60 -os szöget zár be. Mekkora a trapéz kerülete és területe?.. A paralelogramma oldalai cm és cm, és az egyik közbezárt szög 6 8. Mekkora a paralelogramma területe?.6. A rombusz oldala 6 cm, az egyik szöge. Mekkora a területe? 6. feladatlap Trigonometrikus egyenletek. EMLÉKEZTETŐ legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek: Négyféle legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet különböztetünk meg: sin a; cos a; tg a; ctg a. Az egyenleteknek a valós megoldásait keressük, tehát a szögeket minden esetben radiánban kell megadni! Az egyenletek megoldásának fontos közös vonása, hogy ha van megoldásuk, akkor végtelen sok megoldásuk van. A sin a és cos a egyenleteknek csak a esetén van megoldásuk. Például a sin, egyenletnek nincs megoldása. A sin a és cos a egyenletek megoldásánál a periódus π. Például cos 0,. Az egységkörben tüntessük fel az első koordinátát (koszinusz jelentése), és ábrázoljuk a hozzá tartozó egységvektorokat! A 0, értékhez tatozó hegyesszög π. Az első π π egységvektorhoz tartozó megoldások π + kπ +kπ, ahol k. A másik π π megoldás π + + kπ +kπ. A tg a; ctg a egyenleteknél minden a esetén van megoldás, és a függvények periódusa π. Például tg,. A megoldás, 89 + kπ, ahol k. Fontos, hogy a tg és a ctg függvénynél mindig ki kell kötni, hogy mely -re értelmezett a függvény! 6. feladatlap
FELADATOK 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! π a) sin ; π b) cos + ; 6 π c) tg + ; π d) ctg. 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin cos ; b) sin cos ; c) s i n c o s ; π d) sin + cos. + π 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin sin ; b) cos cos. 6.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) s i n c o s ; b) c o s s i n. 6 Trigonometria alkalmazása
7. feladatlap Trigonometrikus egyenletek. FELADATOK 7.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin sin ; + 0 b) cos cos + 0; c) tg 0. 7.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos cos + 0; b) tg + tg 0. 7.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin cos + sin 0; b) cos sin + cos 0; c) cos + sin 0; d) sin cos + 0. 7.. Oldd meg a következő trigonometrikus egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin + cos ; b) cos sin. 7. feladatlap 7
8. feladatlap Trigonometrikus egyenlőtlenségek FELADATOK 8.. Az egységkör vagy a grafikon segítségével oldd meg a következő trigonometrikus egyenlőtlenségeket! a) sin > ; y y 0 0 b) sin ; y y 0 0 c) cos ; y y 0 0 8 Trigonometria alkalmazása
d) cos 0. y 0 0 8.. Az egységkör vagy a grafikon segítségével oldd meg a következő trigonometrikus egyenlőtlenségeket! a) < sin ; y b) y y 0 0 cos. y y 0 0 8. feladatlap 9
Koordinátageometria 9. feladatlap Helyvektor, vektor, osztópont EMLÉKEZTETŐ adott pont helyvektora: A koordináta-rendszer origójából az adott pontba mutató vektor. Az adott pont helyvektor koordinátái megegyeznek az adott pont koordinátáival. Jelölése: a O A, a pont betűjelének kisbetűs megfelelője. szakaszra írt vektor: A szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok különbsége. Amerre mutat, annak a pontnak a helyvektora lesz a kisebbítendő vektor. A B b a. szakasz hosszának kiszámítása: A szakaszra felírt vektor hossza megegyezik a szakasz hosszával. AB A B ( ) + ( y y ), B A B A helyvektorok koordinátái a ( ; y), b ( ; y). A A B B ahol a végpontokba mutató felezőpont: Az AB szakasz F felezőpontjába mutató f helyvektor koordinátáit az f a b + összefüggéssel számolhatjuk ki, ahol a az A pontba, b pedig a B pontba ( ) mutató helyvektor. Például az A( ; ) és B ; végpontú szakasz felezőpontjának a b helyvektora f + (; ) + ( ; ) + ( ) ( ) + ( ) ; ;. osztópont: Az AB szakaszt m : n arányban felosztó pont p helyvektorának koor- na mb dinátáit a p + összefüggéssel számolhatjuk ki, ahol a az A pontba, b pedig a B pontba mutató helyvektor. Például az A( ; ) és B( ; ) m+ n végpontú szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontjának helyvektora n a m b p + ( ; ) + ( ; ) + ( ) ( ) + ( ) m+ n + ; ;. háromszög súlypontja: A háromszög S súlypontjába mutató s helyvektor a b c az s + + összefüggéssel számolható ki, ahol a, b, c rendre a háromszög A, B és C csúcspontjába mutató helyvektorok. Például az A( ; ), A S c C a b c B( ; ) és C( 0; 0) háromszög súlypontjának koordinátái s + + ( ; ) + ( ; ) + ( 0; 0) + + 0 + + ; ( ) ( ) ( 0 ) 7 ;. a O s b B FELADATOK 9.. A koordinátasíkon adott a következő négy vektor: A( ; ), B( ; ), C( ; 0 ) és D( ; ). Számítsd ki a következő vektorok koordinátáit és hosszát! a) C A C A 0 Koordinátageometria
b) A B A B c) C D C D d) B D B D 9.. Adott az A( ; ), B( 0 ; ), C( ; 0 ) háromszög. Mekkora a háromszög kerülete? 9.. Adott az A(, 6 ;, ), B( 0 ;, ), C( ;, ) háromszög. Határozd meg az oldalfelező pontok koordinátáit! 9. feladatlap
9.. Adott az A( ; ), B( ; ), C( ; 6 ) háromszög. Határozd meg az A AF b F a háromszög kerületét! F b C F a B 9.. Határozd meg az A( ; ), B( ; ), C( ; 7 ) csúcspontú háromszög súlyvonalhosszainak összegét! 9.6. a) Határozd meg a A( ; ), B( 9 ; ), C( 7 ; 8 ), D( ; ) csúcspontú négyszög F Fb a és F Fd c középvonalvektorainak a koordinátáit! F a Fb F c Fd b) Az a) pont eredményei alapján indokold, hogy az FFFF a b c d négyszög paralelogramma! Koordinátageometria
9.7. Egybeesik-e az A( ; ), B( 6 ; ), C( ; 9 ) háromszög és az E( ; ), F( ; ), G( ; ) háromszög súlypontja? 9.8. Írd fel az A( 7 ; ), B( ; ) végpontú szakasz harmadoló- és ötödölőpontjainak a koordinátáit! 0. feladatlap Párhuzamos és merőleges vektorok EMLÉKEZTETŐ v vektorral párhuzamos vektor megadása: Ha egy vv ( ; v) vektort megszorzunk egy pozitív λ számmal, akkor a vektorral párhuzamos, vele egyirányú, a vektor hosszához képest λ-szoros hosszúságú vektort kapunk. Például ha a v( ; ) vektorral párhuzamos, vele egyirányú, de kétszeres hosszúságú vektort szeretnénk kapni, akkor a v vektort -vel kell megszorozni, így a keresett vektor v ( 6; ). Amennyiben a vektor irányát meg szeretnénk fordítani, úgy a v vektort negatív számmal kell megszorozni. v vektorra merőleges vektor megadása: A vv ( ; v ) vektor koordinátáit megcseréljük és az egyik előjelét megváltoztatjuk,. akkor az eredeti vektorra merőleges és vele egyenlő hosszúságú vektort kapunk. Két ilyen vektor lehetséges: ( v; v ) vagy ( v ; v ). ( ; ) ( ; ) ( ; ) FELADATOK 0.. Add meg az a( ; ) vektorral párhuzamos vektor koordinátáit, ha az a) egyirányú vele és háromszoros hosszúságú; 0. feladatlap
b) egyirányú vele és fele olyan hosszú; c) ellentétes irányú és két és félszeres hosszúságú; d) ellentétes irányú és a hossza -szoros! 0.. a) Hova mutat az a vektor, amely a P( ;) pontból indul és egyirányú az a( ; ) vektorral, csak négyszer olyan hosszú? b) Hova mutat az a vektor, amely a P( ;) pontból indul és ellentétes irányú az a( ; ) vektorral, de a hossza,-szeres? 0.. Egy paralelogramma csúcsai A( ; ), B( ; ), C( ; ). Határozd meg a negyedik csúcsot, ha a CD oldal párhuzamos az AB oldallal! 0.. Egy trapéz egyik alapjának csúcsai A( ; ), B( ; ). Melyek a trapéz másik két csúcsának koordinátái, ha a másik, kétszeres hosszúságú alap felezőpontja F( ; )? Koordinátageometria
0.. Határozd meg a v vektorra merőleges vektorokat! a) ( ; ) b) ( ; ) v w (pozitív irányú forgatott) w (negatív irányú forgatott) c) ( ; ) d) ( 0 ; ) 0.6. A négyzet szimmetria-középpontja O( ; ), az egyik csúcspontja A( ; ). Határozd meg a négyzet többi csúcspontját pozitív körüljárási irány szerint! 0.7. A rombusz szimmetria-középpontja O( ; ), a nagyobb átlója kétszerese a rövidebb átlójának. Az rövidebb átlóhoz tartozó egyik csúcspont A( ; 6 ). Határozd meg a rombusz többi csúcspontját pozitív körüljárási irány szerint! 0.8. A négyzet két szomszédos csúcspontja pozitív körüljárási irány szerint A( ; ), B( ; ). Mi a koordinátája a másik két csúcspontnak és szimmetria-középpontnak? 0. feladatlap
. feladatlap Egyenes EMLÉKEZTETŐ az egyenes normálvektora: Egyenes normálvektorának tekintünk bármely nem nullvektort, amely az egyenesre merőleges. az egyenes normálvektoros alakja: Ha adott az egyenes egy n( AB ; ) normálvektora és egy P ( ; y ) pontja, akkor az egyenes normálvektoros 0 0 0 n(a; B) e P(; y) P 0 ( 0 ; y 0 ) egyenlete a következő alakú: A + By A0 + By. 0 Például a P 0 ( ; ) ponton átmenő n( ;) irányvektorú egyenes egyenlete + y ( )+, vagyis + y. az egyenes irányvektora: Egyenes irányvektorának tekintünk bármely nem nullvektort, amely az egyenessel párhuzamos. az egyenes irányvektoros alakja: Ha adott az egyenes egy vv ( ; v) irányvektora és egy P ( ; y ) pontja, akkor az egyenes irányvektoros 0 0 0 ( ; ) egyenlete a következő alakú: v vy v 0 vy 0. e P(; y) P 0 ( 0 ; y 0 ) Például a P 0 ( ; ) ponton átmenő v( ; ) irányvektorú egyenes egyenlete y ( ) 7, vagyis y 7. a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek: Az tengellyel párhuzamos egyenes normálvektora az y tengellyel párhuzamos, n( 0 ; B) alakú, így a normálvektoros egyenlete By By 0 y y vagy y 7, egyenes az tengellyel párhuzamos, és n( 0 ; ), illetve y n( 0 ; ) a normálvektoruk. Az y 0 egyenletű egyenes maga az tengely. Az y tengellyel párhuzamos egyenes normálvektora az tengellyel párhuzamos, na ( ; 0 ) alakú, így a normálvektoros egyenlete A A0. Például vagy 7 egyenes az y tengellyel párhuzamos, és n( ; 0 ), illetve n( ; 0 ) a 0 normálvektoruk. Az 0 egyenletű egyenes maga az y tengely. FELADATOK.. Az egyenes egyenletéből állapítsd meg az egyenes egy normál- és egy irányvektorát! Egyenes egyenlete () e Normálvektora ( n e ) Irányvektora ( v e ) a) y 6 b) y c) + 0, 6 y d) y+ 6 Koordinátageometria
.. Írd fel az egyenes egyenletét, ha adott egy normálvektora és egy pontja! Normálvektora n e ( ) Az egyenes egy pontja P y a) n( ; ) P 0 ( ; ) b) n( ; 0 ) P 0 ( ; 0 ) c) n( ; ) P 0 ( ; ) d) n( ; ) P 0 ( 0 ; 0 ) ( ; ) Egyenes egyenlete () e 0 0 0.. Írd fel az egyenes egyenletét, ha adott egy irányvektora és egy pontja! Irányvektora Egy normálvektora Az egyenes egy pontja Egyenes egyenlete ( v e ) ( n e ) P y ( ; ) () e 0 0 0 a) v( ; ) P 0 ( ; ) b) v( ; 0 ) P 0 ( ; 0 ) c) v( ; ) P 0 ( ; ) d) v( ; ) P 0 ( 0 ; 0 ).. Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! A B Egy irányvektora Egy normálvektora Egyenes egyenlete a) ( ; ) ( ; ) b) ( 0 ; 0 ) ( ; ) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) ( ;) (, ;, ) ( v e ) ( n e ) () e.. Írd fel az AB szakaszra merőleges és az A ponton átmenő egyenes egyenletét! A B Egy normálvektora ( n e ) Egyenes egyenlete () e a) ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ;) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) (, ; ) (, ;, ). feladatlap 7
.6. Írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének az egyenletét! A B Felezőpont Egy normálvektora Egyenes egyenlete ( F) ( n e ) () e a) ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) ( 0 ; ) ( ; 0 ) d) (, ; ) (, ;, ). feladatlap Egyenes és pont EMLÉKEZTETŐ pont illeszkedése az egyenesre: A sík egy adott pontját akkor és csak akkor tartalmazza az adott egyenes, ha az egyenes egyenletébe behelyettesítve a pont koordinátáit, egyenlőséget kapunk. Például az A ; ( ) pont illeszkedik a y 8 egyenletű egyenesre, mert koordinátáinak behelyettesítése után, ( ) ( ) 6 + 8, egyenlőséget kapunk. A B( ; ) pont nem illeszkedik a y 8 egyenletű egyenesre, mert a koordinátáinak behelyettesítése után, () ( ) 9 + 8 7 8, nem kapunk egyenlőséget. abszcissza: Egy pont koordinátája. ordináta: Egy pont y koordinátája. FELADATOK.. A felsoroltak közül hány egyenesnek pontja az A( ;, )? Karikázd be a megfelelő egyenesek betűjelét! e: y 7, ; f: y, ; g:, y 7, ; h: 6. 8 Koordinátageometria
.. A felsoroltak közül mely pontok találhatók a + y egyenesen? Karikázd be a megfelelő pontok betűjelét! A ; ; B( ; ); C 9 ; ; D 7 ;... Hol metszi az tengelyt és az y tengelyt a következő egyenes? a), +, y 8 b), +, y 8, c) + y 6 d) 0, 06, y 8, Egyenes tengelymetszet y tengelymetszet. Adott az e: y és az f: + y egyenes. Mennyivel nagyobb az f egye- nes abszcisszájú pontjának ordinátája az e egyenes abszcisszájú pontjának ordinátájánál?. feladatlap Egyenes iránytényezős egyenlete EMLÉKEZTETŐ egyenes irányszöge: Az a forgásszög, melyet az egyenes az tengely pozitív irányába mutató félegyenesével zár be. egyenes iránytényezője: m tg a. az egyenes iránytényezős egyenlete: Az egyenes iránytényezős egyenlete y m + b alakú, ahol m az egyenes iránytényezője, b pedig az y tengely és az egyenes metszéspontja. Az y tengellyel párhuzamos egyenesnek nincs iránytényezős egyenlete. a normálvektor és az iránytényező közötti kapcsolat: Az egyenes normálvektoros alakjából levezethető az y A B + b iránytényezős alak. Innen A leolvashatjuk, hogy m. Például ha egy egyenes normálvektora n( ; ), akkor az iránytényezője m B. v az irányvektor és az iránytényező közötti kapcsolat: Az egyenes irányvektoros alakjából levezethető az y v + b iránytényezős alak. Innen leolvashatjuk, hogy m v. Például ha egy egyenes irányvektora v( ; ), akkor az iránytényezője m. v. feladatlap 9
FELADATOK.. Adott az egyenes irányszöge és az y tengelymetszet. Írd fel az egyenes iránytényezős egyenletét! α P ( 0 ; 0 b ) m y m + b a) 0 ( 0 ; ) b) ( 0 ; ) c) ( 0 ; 0 ).. Az egyenes iránytényezős egyenlete alapján add meg az egyenes egy irányvektorát és egy normálvektorát! y m + b v n a) y + b) y + c) y 6 d) y 6.. Az egyenes normálvektoros alakjából állapítsd meg az egyenes iránytangensét és az irányszögét! A + By A0 + By m α 0 a) y b) y 0 c) + y 0.. Mekkora szöget zár be az tengellyel a + y egyenes? 60 Koordinátageometria
.. Mekkorák a e: + y 0 egyenes, az f: + y egyenes és az tengely által határolt háromszög belső szögei?.6. Számítsd ki, hogy mekkora szöget zár be az A( ; ) és a B( ; ) pontokon áthaladó egyenes az y tengellyel!. feladatlap A párhuzamosság és merőlegesség feltétele EMLÉKEZTETŐ párhuzamosság feltétele:. Két egyenes (e és f ) párhuzamos, ha a normálvektoraik párhuzamosak, vagyis a vektorok megfelelő koordinátáinak aránya egyenlő. Ae A f Be. B f. Két egyenes (e és f ) párhuzamos, ha az irányvektoruk párhuzamos, vagyis a vektorok megfelelő koordinátáinak aránya egyenlő. v v e f ve. v f. Két (e és f ) egyenes párhuzamos, ha az iránytényezőjük egyenlő: m m. merőlegesség feltétele:. Két egyenes (e és f ) merőleges egymásra, ha a normálvektoruk merőleges egymásra, vagyis a vektorok skaláris szorzata 0. n e n 0. f. Két egyenes (e és f ) merőleges egymásra, ha az irányvektoruk merőleges egymásra, vagyis a vektorok skaláris szorzata 0. v e v 0. f. Két (e és f ) egyenes merőleges egymásra, ha az iránytényezőjük szorzata. m m. e. feladatlap 6 f e f
FELADATOK.. Döntsd el, hogy az alábbi egyenesek közül melyek párhuzamosak egymással és melyek merőlegesek egymásra! a: y ; b: + 0, y ; c:, y ; d: + y ; e: 0, 6 0, y 9 ; f: y 9. Egymással párhuzamos egyenesek: Egymásra merőleges egyenesek:.. Add meg a p paramétert úgy, hogy az egyenes párhuzamos, illetve merőleges legyen az + y egyenletű egyenessel! a) + py ; b) p y ; c) 0+ y p. Párhuzamos: p p p Merőleges: p p p.. a) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és párhuzamos a y egyenessel! 6 Koordinátageometria
b) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és merőleges a y egyenesre!.. a) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és párhuzamos az y + egyenessel! b) Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a P( ; ) ponton és merőleges az y + egyenesre!. feladatlap Két egyenes metszéspontja EMLÉKEZTETŐ két egyenes metszéspontja: Két egyenes metszéspontjának koordinátáit úgy számolhatjuk ki, hogy a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk.. feladatlap 6
FELADATOK.. Határozd meg a két egyenes metszéspontját! a) e: y, b) ey : +, 6, f: y. f: + y 8, 0. c) e: y, d) e: y 6, f: + y. f: + y 6... Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az + y és a + y egyenesek metszéspontján és irányvektora v( ; )!.. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a + y és a + y egyenesek metszéspontján és a P( ; 0 ) ponton! 6 Koordinátageometria
.. Egy négyszög csúcsai pozitív körüljárás szerint A( ; ), B( ; ), C( ; ), D( 6; ). Határozd meg az átlók metszéspontját!.. A háromszög a oldalegyenesének egyenlete + y ; b oldalegyenesének egyenlete + y ; c oldalegyenesének egyenlete + y 0. Mekkora a háromszög kerülete? 6. feladatlap Pont és egyenes távolsága EMLÉKEZTETŐ egyenes és pont távolságának kiszámolása: A P0( 0; y0) pont távolsága az A + By + c 0 egyenletű egyenestől: d A0 + By0 + c A + By + c. Például a P 0 ( ; ) pont távolsága a + y 7 0 egyenestől d + 0 0 ( ) 7 A + B A + B +. párhuzamos egyenesek távolsága: Ha két párhuzamos egyenes egyenlete A + By + c 0 és A + By + c 0, akkor a távolságuk kiszámolható a d c c összefüggéssel. Például a + y 7 0 egyenletű egyenes távolsága a A + B + y+ 0 egyenletű egyenestől d c c ( 7) 0. A + B + FELADATOK 6.. Milyen távol van a + y egyenestől az A( ;) és a B( ; ) pont? 6. feladatlap 6
6.. A háromszög csúcsai A( ; ), B( ; ) és C( ; ). Mekkora az A csúcshoz tartozó magasság, és mekkora a területe a háromszögnek? 6.. Mekkora az e: y és az f: + y egyenletű egyenesek távolsága? 6.. Adott az e: + y és az f: + y 6 egyenes. Melyik egyeneshez van közelebb az A( 6 ; ) pont? 6.. A négyzet egyik oldalegyenesének egyenlete + y 0, az egyik csúcspontja A( ; 7). Mekkora a négyzet kerülete? 66 Koordinátageometria
7. feladatlap Kör egyenlete EMLÉKEZTETŐ kör egyenlete: A Cuv ( ; ) középpontú r sugarú kör egyenlete ( u) + ( y v) r. Például: a) Az O( 0 ; 0 ) középpontú, r egység sugarú kör egyenlete + y 9. b) A C( ; ) középpontú r egység sugarú kör egyenlete ( ) + ( y+ ) 6. a kör egyenletének általános alakja: A kör kéttagú kifejezéseinek felbontása után y a kör egyenlete + y + a + by + c 0 alakúra hozható, ez a kör egyenletének általános alakja. Csak az ilyen alakúra hozható egyenletek lehetnek köregyenletek! Például az + y + y 6 0 egyenlet nem köregyenlet, mert y tagot is tartalmaz. A + y 6 0 nem köregyenlet, mert nem egyenlő a négyzetes tagok r együtthatója. A négyzetes tagok együtthatóinak egyenlősége szükséges feltétel, de nem C(u; ) kötelező, hogy legyen az értékük. Például y + 0 köregyenlet, mert a -vel való osztás után + y köregyenletet kapunk. Abból, hogy egy egyenlet általános köregyenlet alakú még nem feltétlenül következik, hogy kör is tartozik hozzá. Például az + y + 0 egyenlet 0 megfelel az általános alaknak, de FELADATOK + y, és az r sugár számunkra értelmezhetetlen. 7.. A középpont és a sugár ismeretében írd fel a körök egyenleteit! A kör középpontja A kör sugara A kör egyenlete Cuv ( ; ) r a) C( 0 ; 0 ) b) C( ; ) 0 c) C( ; ) 7 d) C( 0 ; ) e) C( ; ) 7.. A kör egyenlete alapján állapítsd meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! a) + y b) + y A kör egyenlete A kör sugara r A kör középpontja Cuv ( ; ) c) ( ) + ( y+ ) d) ( + ) + ( y ) 0, 09 e) ( ) + ( y+ ) 6, 7. feladatlap 67