Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 8. osztály VI. rész: Térgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019

2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI. rész: Térgeometria.......................... 3 64. Térelemek szöge és távolsága.......................... 3 65. Hasábok származtatása............................. 4 66. Hasáb hálózata, felszíne............................ 5 67. Henger származtatása, henger hálózata, felszíne............... 6 68. Téglatest és kocka testátlói, lapátlói...................... 7 69. A gúla származtatása, testhálója, felszíne................... 8 70. A forgáskúp származtatása, testhálója, felszíne................ 9 71. Feladatmegoldás................................ 10 72. Hasábok, hengerek térfogata.......................... 11 73. Gúla és kúp térfogata.............................. 12 74. Gömb felszíne és térfogata........................... 13 75. Összefoglalás.................................. 14 76. Témazáró dolgozat megírása.......................... 15

64. óra. Térelemek szöge és távolsága 3. 64. óra Térelemek szöge és távolsága Def. (Szög). Az egy pontból kiinduló két félegyenes által határolt síkrészt szögnek nevezzük. A pont a szög csúcsa, a két félegyenes a szög két szára. Def. (Kitérő egyenesek szöge). Az egyik egyenes tetszőleges pontján át párhuzamost húzunk a másikkal. A két eredeti egyenes szöge az így kapott két metsző egyenes szögével egyezik meg. Def. (Egyenes és sík merőlegessége). Egy egyenes merőleges egy síkra, ha a sík minden egyenesére merőleges. Bizonyítható, hogy ha az egyenes merőleges a sík 2 egymást metsző egyenesére, akkor a sík összes egyenesére is merőleges. Def. (Egyenes és sík szöge). Ha egy egyenes pontjaiból egy síkra merőlegest állítunk, akkor a talppontok az egyenes síkra eső merőleges vetületét alkotják. Az eredeti egyenes és vetületének szöge egyenlő az egyenes és sík szögével. Def. (Két sík szöge). Két metsző sík közös része egy egyenes, a síkok metszésvonala. Mindkét síkon merőlegest állítunk a metszésvonalra, ezek szöge adja a két sík szögét. Def. (Két alakzat távolsága). Az X és az Y alakzat pontjai között húzható összes szakasz közül a legrövidebbnek a hosszúsága. Jele: d(x, Y ) Megjegyzés. A távolság egy nemnegatív valós szám: d(x, Y ) 0. Csak akkor 0, ha az alakzatok illeszkedők. Szimmetrikus, azaz d(x, Y ) = d(y, X). A legrövidebb út mindig az egyenes: d(a, C) d(a, B) + d(b, C) Def. (Pont és sík távolsága). A pontot merőlegesen levetítjük a síkra. A vetület és az eredeti pont távolsága a pont és sík távolsága. Def. (Egyenes és vele párhuzamos sík távolsága). Az egyenes tetszőleges pontját levetítjük a síkra. A kiválasztott pont és vetületének távolsága a keresett távolság. Def. (Kitérő egyenesek távolsága). Az egyik egyenes bármelyik pontján át párhuzamost húzunk az eredeti egyenessel, amely meghatároz egy síkot. Az eredeti egyenes és a kapott sík távolsága a keresett távolság. 64. Házi feladat. Készíts modellt, mely két térelem szögét mutatja be! 64. Szorgalmi. Hogyan értelmezzük két görbe szögét?

4. 65. óra. Hasábok származtatása 65. óra Hasábok származtatása Def. (Hasáb:). Adott a síkon egy önmagát nem átmetsző sokszög. Ha ennek a síkidomnak (alaplap) a kerületén egy síkkal nem párhuzamos egyenest önmagával párhuzamosan körbevezetünk, akkor egy végtelen hasábfelülethez (palást) jutunk. Ha ezt a felületet egy, az eredeti síkkal párhuzamos síkkal elmetsszük (fedőlap), akkor a két sík és a palást egy hasábot vág ki a térből. Megjegyzés. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. Az alap és fedőlap éleit alapélnek az oldallap éleit oldalélnek nevezzük. Az élek találkozási pontjai a csúcsok. Def. (Egyenes és ferde hasáb:). Ha a körbevezetett egyenes merőleges az alap- és fedőlapra, akkor egyenes, egyébként ferde hasábot kapunk. Def. (Szabályos hasáb:). Ha az alap és fedőlap szabályos sokszög és minden alkotója merőleges az alap és fedőlapra, akkor szabályos hasábokról vagy oszlopokról beszélünk. A szabályos síkidomok középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. Def. (Téglatest és kocka:). Ha az egyenes hasáb minden lapja téglalap, akkor téglatestről, ha minden lapja négyzet, akkor kockáról beszélünk. 65. Házi feladat. Egy medence felülről nézve téglalap alakú, szélessége 10 méter, hossza 40 méter. Rövidebb oldalán 1 méter mély és 3 méterig mélyül a másik rövidebb oldalra haladva. Számítsd ki mekkora felületen kell lefesteni! 65. Szorgalmi. Készíts egy hasábot és rajzold meg a hálóját!

66. óra. Hasáb hálózata, felszíne 5. 66. óra Hasáb hálózata, felszíne 1. Feladat. Rajzoljuk le a következő alakzatok hálózatát! Kocka F = 6a 2 Négyzetes oszlop F = 2 a 2 + 4 a b Téglatest F = 2 (a b + a c + b c) Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb Prizma Paralelepipedon Állítás. A területű alaplappal és P területű palásttal rendelkező hasáb felszíne: F = 2 A + P Állítás. A területű alaplappal rendelkező, h magasságú, k A alapkerületű egyenes hasáb felszíne: F = 2 A + k A h 2. Feladat. Számítsuk ki az 1. feladatban felírt alakzatok felszínét! 66. Házi feladat. Rajzold le a kocka összes lehetséges hálózatát! 66. Szorgalmi. Készíts paralelepipedont tetszőleges számú szimmetriával!

6. 67. óra. Henger származtatása, henger hálózata, felszíne 67. óra Henger származtatása, henger hálózata, felszíne

68. óra. Téglatest és kocka testátlói, lapátlói 7. 68. óra Téglatest és kocka testátlói, lapátlói 1. ábra. Kocka lapátlói és testátlói 2. ábra. Téglatest lapátlói és testátlói 67. Házi feladat. Egy kocka lapátlója 42 cm. Mekkora a testátlója és az éle? 67. Szorgalmi. Készíts kockát vagy téglatestet!

8. 69. óra. A gúla származtatása, testhálója, felszíne 69. óra A gúla származtatása, testhálója, felszíne Def. (Gúla). Adott az S síkon egy k sokszög. Indítsunk egyeneseket egy P / S pontból k pontjaiba. Ezen egyenesek és a k által körülzárt térrészt gúlának nevezzük. Oldalmagasság Magasság 3. ábra. A négyzet alapú gúla Alap Állítás. Egy a oldalhosszúságú négyzet alapú, m magasságú gúla felszíne: A = a 2 + 2 a a 2 + m 2 3. Feladat. Írj összefüggést a ferde gúla felszínére! 68. Házi feladat. Egy gúla alapéle és magassága ugyanakkora. Felszíne 42 területegység. Mekkora a magassága? 68. Szorgalmi. Készíts adott magasságú gúlát!

70. óra. A forgáskúp származtatása, testhálója, felszíne 9. 70. óra A forgáskúp származtatása, testhálója, felszíne Def. (Forgáskúp). Ha egy derékszögű háromszöget, melynek befogói h és r a térben megforgatunk h körül, akkor egy olyan forgáskúpot kapunk, melynek magassága h, alapkörének sugara r. m r 4. ábra. Egy r sugarú alapkörrel rendelkező, m magasságú forgáskúp. Alkotónak nevezzünk azt szakaszt, mely a csúcsot köti össze az alapkörrel. Az alkotót által meghatározott felületet palástnak hívjuk. Állítás. Ha a forgáskúp palástját alkotója mentén felvágjuk és kiterítjük a síkba, akkor olyan körcikket kapunk, amelynek sugara a kúppalást alkotója, ívhossza pedig az alapkör kerülete. Ennek alapján a forgáskúp felszíne: A = π r 2 + π r r 2 + m 2 69. Házi feladat. Határozd meg egy 13 cm 2 felszínű forgáskúp magasságát, ha tudjuk, hogy az alapkörének átmérője 2 cm! 69. Szorgalmi. Határozd meg egy 13 cm 2 felszínű forgáskúp alapkörének sugarát, ha tudjuk, hogy a magassága 1 cm!

10. 71. óra. Feladatmegoldás 71. óra Feladatmegoldás 4. Feladat. Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapéle 4 dm, magassága 23 cm. Rajzold le a testhálóját és határozd meg a felszínét! 5. Feladat. Egyenes körhenger kiterített palástja egy 10 cm átlójú négyzet. Mekkora a felszíne? 6. Feladat. Mekkora felszíne egy szabályos sokszög alapú egyenes gúlának, ha az alaplapja 13 cm oldalú négyzet, a magassága 16 cm? 7. Feladat. Egy 52 cm magas négyzetes gúla alapéle 55 cm. A felső részéből levágunk az alappal párhuzamosan egy darabot úgy, hogy a fedőéle 32 cm lett. Mekkora a csonka test felszíne? 8. Feladat. Mekkora egy egyenes körkúp alkotója, ha az alapkörének sugara 25 cm és magassága 4,6 dm? 9. Feladat. Egyenes körkúp palástja 12 cm sugarú 240 -os középponti szögű körcikk. Mekkora felszíne? 70. Házi feladat. Egy csonka körkúp alapkörének sugara 26 cm, a fedőlap sugara 17 cm, a magassága 7,8 cm. Mekkorák az alkotók? 70. Szorgalmi. Szabályos hatoldalú csonkagúla alapéle 3,7 cm, fedőéle 2,4 cm, magassága 7,4 cm. Számítsuk ki a felszínét!

72. óra. Hasábok, hengerek térfogata 11. 72. óra Hasábok, hengerek térfogata Def. (Térfogat). Tekintsük az összes véges testet és mindegyikhez rendeljünk egy számot, amit térfogatnak nevezünk. A térfogat az alábbi feltételeknek felel meg: 1. Minden ilyen test térfogata egy nemnegatív valós szám lehet. 2. Ha A és B testek egybevágók, akkor térfogatuk egyenlő. 3. A és B diszjunkt testek A B térfogata A és B térfogatának összege 1. 4. Az egységnyi élű kocka térfogata 1. Állítás. Ha egy hasáb élei a, b és c hosszúságúak, akkor a hasáb térfogata: V = a b c Állítás. Ha egy m magasságú henger alapja r sugarú kör, akkor a henger térfogata: V = r 2 π m 10. Feladat. Egy medence felülről nézve téglalap alakú, szélessége 10 méter, hossza 40 méter. Rövidebb oldalán 1 méter mély és 3 méterig mélyül a másik rövidebb oldalra haladva. Számítsd ki hány liter víz fér bele! 11. Feladat. Egy téglatest térfogata 8658 dm 3. Mekkorák az élek, ha tudjuk, hogy az élek arányai 3 : 4 : 6? 12. Feladat. Prizma mindegyik alapéle 8 cm. A palást területe az alap területének háromszorosa. Mekkora a térfogata? 13. Feladat. Egy egyenes körhenger felszíne 4532,6 cm 2, tengelymetszetének területe 969,5 cm 2. Mekkora a térfogata? 71. Házi feladat. 2 m magas vasúti töltés felül 6 m széles. Keresztmetszete olyan trapéz, amelynek mindkét szára 3 m. Mekkora térfogatú a töltés 42 m-es szakasza? 71. Szorgalmi. Henger alakú, felül nyitott edény készítéséhez 480 cm 2 lemezt használnak fel. Mekkora az edény térfogata, ha alapkörének sugara 6 cm? 1 Ha átfedés van közöttük, akkor a térfogatból le kell vonni a közös részt.

12. 73. óra. Gúla és kúp térfogata 73. óra Gúla és kúp térfogata Állítás. T a alapterületű, m magasságú gúla és kúp térfogatának összefüggése: V = 1 3 T a m

74. óra. Gömb felszíne és térfogata 13. 74. óra Gömb felszíne és térfogata Def. (Gömb). Az O adott ponttól adott R távolságra levő pontok halmaza a térben: g = { x R 3 : d(x, O) = R } Állítás. Az R sugarú gömb felszíne és térfogata: A = 4 π R 2 V = 4 3 π R3 14. Feladat. Mekkora a gömb sugara, ha 1978,92 cm 2 a felszíne? R = 12, 55 cm 15. Feladat. Hány darab 1 cm sugarú golyót önthetünk egy 10 cm sugarú ólomgolyóból? Hányszorosa lesz a kisgolyók felszínének összege a nagy golyó felszínének? 10 16. Feladat. Van egy 5 cm, 8 cm, és egy 12 cm sugarú ólomgolyónk. A három golyóból öntünk egy nagy golyót. Mekkora ennek nagy golyónak a sugara? R = 12, 32 cm 17. Feladat. Belefér-e egy 1600 cm 2 felszínű golyó egy 20 cm élű kockába? Nem fér bele 18. Feladat. Egy gömb alakú gáztároló térfogata 5000 m 3. Hány méter a sugara? R = 10, 6 m 19. Feladat. Mekkora tömegű a 12 cm átmérőjű tekegolyó, ha sűrűsége 0,8 5790.58 g g cm 3? 72. Házi feladat. Egy henger alapkörének sugara 5 cm, magassága 24 cm. Mekkora a sugarú gömb írható a henger köré? 72. Szorgalmi. Egy csonkakúp alapkörének sugara 12 cm, fedőköréé 8 cm, magassága 10 cm. A csonkakúpba egy 8 cm sugarú, henger alakú lyukat fúrunk, a henger tengelye a csonkakúp tengelyével esik egybe. Mekkora a csonkakúpból megmaradt rész térfogata?

14. 75. óra. Összefoglalás 75. óra Összefoglalás 20. Feladat. Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát! Élei: a = 6 cm, b = 8 cm, c éle az előbbi kettő összegének 75 %-a. 21. Feladat. Mekkora a henger felszíne és térfogata, ha átmérője 4 dm, magassága 80 cm? 22. Feladat. Mekkora az előző feladat hengeréből készíthető legnagyobb négyzetes oszlop térfogata? 23. Feladat. Mekkora a négyzetes gúla felszíne és térfogata, ha alapéle 8,5 cm testmagassága 5,2 cm? 24. Feladat. Határozd meg az egyenes körkúp felszínét és térfogatát, ha sugara 1,4 dm testmagassága 3,6 dm! 25. Feladat. Mekkora a térfogata a kockának, ha felszíne 96 cm 2? 73. Házi feladat. Egy négyzetes hasáb éleinek összege 3,6 m. Egyik éle kétszerese a másiknak. Mennyi a felszíne és térfogata? 73. Szorgalmi. Mekkora az 5 cm sugarú 40 fokos középponti szögű körcikk területe?

76. óra. Témazáró dolgozat megírása 15. 76. óra Témazáró dolgozat megírása

16. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: http://fizika.mechatronika.hu [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály https://www.mozaik.info.hu/ Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bid=MS-2308 [3] Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné. Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva: Matematika feladatgyűjtemény 8. [4] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I. http://www.szechenyiszki.hu/dokumentumok/hasab_teglatest.pdf http://matfiz-habel.com/gallery/iii_tz_honlapra.pdf fizika.mechatronika.hu/matek/terffelszweb/gomb.doc