Másodrend görbék az általános iskolától az egyetemig

Másodrend görbék az általános iskolától az egyetemig Szakdolgozat Készítette: Mestyán Gábor András Szak: Matematika BSc Tanári szakirány Témavezet : Szeghy Dávid (egyetemi tanársegéd) Tanszék: Geometria Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011

Tartalomjegyzék 1. Bevezet 3 2. Általános iskola 6 2.1. Az els találkozás......................... 6 2.2. A másodfokú függvény...................... 9 2.3. A kör................................ 10 2.4. Összefoglalás........................... 12 3. Középiskola 13 3.1. A törtfüggvény, mint hiperbola................. 13 3.2. A másodfokú függvény mélyebb tulajdonságai......... 14 3.3. A kör a középiskolában...................... 16 3.4. Koordináta-geometria....................... 18 3.4.1. A kör........................... 18 3.4.2. A parabola........................ 19 3.4.3. Az ellipszis........................ 21 3.4.4. A hiperbola........................ 23 3.4.5. A másodrend görbék, mint kúpszeletek........ 24 3.5. Összefoglalás........................... 25 4. Másodrend görbék az egyetemen 26 4.1. Ismétlés: a kör.......................... 26 4.2. Ismétlés: másodrend görbék a koordináta-rendszerben.... 29 4.2.1. Kúpszeletek, másodrend görbék............ 29 1

TARTALOMJEGYZÉK 2 4.3. Anitás.............................. 31 4.4. Projektív geometria........................ 32 4.4.1. A projektív geometria bevezetése............ 32 4.4.2. Homogén koordináták.................. 34 4.4.3. Kanonikus alak...................... 37 4.4.4. A kúpszeletek projektív egyenl sége........... 43 4.5. Összefoglalás........................... 46 5. Kör- és kúpszeletsorok 47 5.1. Körsorok.............................. 47 5.2. Kúpszeletsorok.......................... 52 6. Összefoglalás 55

1. fejezet Bevezet Dolgozatom témaválásztásának okát egy rövid, és nem teljesen pontos idézettel foglalhatnám össze, mely egy népszer televíziós sorozatra utal: "A másodrend görbék mindenütt jelen vannak." Ez valóban igaz is, hiszen már az általános iskolában is találkozunk velük, noha ekkor még nem kell a diákoknak tudniuk, hogy ez valóban az. Viszont a téma, még ha nem is végig nevesítve, de matematikai tanulmányainkat végigkíséri. Mint a dolgozatomból is fog látszódni, szinte nincs olyan évfolyam vagy egyetemi félév, ahol ne bukkannának fel (ha másképp nem, kör képében). A másik dolog, amit indokolnom kell: Miért így dolgoztam fel ezt a témát? Miért nem koncentráltam egy fajta görbére (mondjuk a körre, vagy csak a parabolára)? Vagy miért nem koncentráltam egy, a másodrend görbék szempontjából speciális témára (pl. koordináta-geometria, projektív geometria). A válasz ezen kérdésekre igen egyszer : így épül egymásra rendesen az anyag. Így összefüggéseiben látható, hogy a görbék mennyire hasonlóak (szinte egyforma a deníciójuk, stb). Ezen kívül a másodrend görbék ilyetén való feldolgozásához nagy ihletet kaptam az egyik, itt a Mi egyetemünkön elvégzett gyakorlatomon. A másodrend görbék tehát mindenhol szerepelnek, még ha nem is használjuk így a megnevezésüket, de még a való életben is szükségünk van rájuk. Ha egy kertet akarunk felásni, akkor akaratlanul is a fordított arányosságot 3

1. FEJEZET. BEVEZETŽ 4 használjuk: ha többen csináljuk, el bb végzünk. Mikor a csillagászok és tudósok kutatják az új életformákat, és új civiláziókat az rben, akkor nekik is szükségük van a másodrend görbékre; még ha csak közvetve is, mert ha a matematikusok nem találják ki a parabolaantennát és a m ködését, akkor nagyítóval kereshetnék az új életet, nem tudományos eszközökkel. Dolgozatomban tehát lépésr l lépésre végigveszem a köz- és a fels oktatás évfolyamait és féléveit, hogy hol, milyen formában, és milyen mélyen találkozhat egy átlagos, de a matematika irányába érdekl d diák a másodrend görbékkel. Az általános iskolában még eléggé lazán, nagyvonalakban vezetik be a fogalmakat, inkább példákon keresztül (mondjuk az érint t), de a fordított arányosságra nagy hangsúlyt fektetnek, azonban a hiperbolának csak a nevét említik. Középiskolában már el térbe kerülnek a pontos és fontos deníciók és tételek, de bizonyos dolgokról még itt is bölcsen hallgatnak a tankönyvek szerz i, és néhány tanár is. Pedig véleményem szerint már itt is lehetne karcolgatni (f leg a koordináta-geometriai részben vagy az után), hogy vajon miért ennyire hasonlóak a görbék. Miért csak egy el jelben tér el az ellipszis és a hiperbola egyenlete, esetleg van-e közük egymáshoz. Nyilván annak a f oka, hogy ez nem kerül el a diákok passzivitása, illetve a tananyag nagysága, így is el -el fordul, hogy bizonyos anyagrészek kimaradnak, vagy átcsúsznak a következ évre. Az egyetemen a deníciók és az összefüggések pontos ismerete az elvárás és csak ez elfogadható. Elvégre tudós emberek leszünk, legyen bennünk ennyi igény a precizitásra, aztán majd ha elkezdünk tanítani, akkor nekünk is majd el kell takarni bizonyos összefüggéseket. A dolgozatom is ezen irányvonal mentén halad: az elején még a kevés denícióból is sokat elhallgat, a végére viszont mindenre fény derül, még arra is, hogy a négyféle, nem elfajuló másodrend görbe igazából csak egy. Ezen kívül egy kicsit túl is lépünk ezen, hogy még inkább átlássuk, hogy miért kell a másodrend görbéket nagyon ismernünk. A dolgozat elkészítésében elévülhetetlen érdemeket szerzett, és nagy kö-

1. FEJEZET. BEVEZETŽ 5 szönettel tartozom kitartó munkájáért, amivel a legnagyobb elakadásaimon is túllendített: Szeghy Dávid, a Geometria tanszék oktatója. Illetve az ötletért külön köszönet illeti Korándi Józsefet, a Matematikatanítási és Módszertani Központ oktatóját, aki az általa szervezett gyakorlattal nagy lökést adott a m elkészültéhez. Az el bb említett személyeken kívül szeretném megköszönni egyetemi oktatóimnak is, hogy nyilvánossá tették el adásuk jegyzetét vagy vázlatát, ezzel is hozzájárultak a dolgozatom elkészültéhez.

2. fejezet Általános iskola Ebben a fejezetben azok a másodrend görbék szerepelnek, mellyekkel egy átlagos általános iskolásnak találkoznia kell, mire a 8 osztályt elvégzi. Els ként (a kört leszámítva) a hiperbolával találkozik a diák, hatodik osztályban, mint a fordított arányosság függvényének képe. Ekkor még csak annyit mondanak neki, hogy ez a hiperbola, de az alakján kívül mással nem foglalkoznak. Az általános iskola utolsó évében megjelenik a függvényábrázolások között a másodfokú függvény is. Itt még csak annyit mondanak egy nyolcadikosnak, hogy ez egy parabola, de hogy milyen tulajdonságai vannak, arról mélyen hallgatnak. Ezen információ átadását a középiskolában oktató kollégákra bízzák a matematikatanárok. Ott már részletesebben mesélnek a paraboláról, én is így fogok tenni. Végül megismerkedhetünk azon információkkal a körr l, melyek fels tagozatban elhangzanak. 2.1. Az els találkozás Az általános iskolások els ként a körrel ismerkednek meg. Viszont azt már régebbr l ismerik, így ennek tárgyalását kés bbre halasztom Így az els igazán új másodrend görbe, amivel megismerkednek: a hiperbola, mint a fordított arányosság képe. Nézzünk egy mintafeladatot arra, hogy a hiperbolát hogyan vezetik be. 6

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 7 2.1. Feladat. Egy út építésének földmunkáit 3 gép 8 nap alatt tudja elvégezni. a) Foglaljuk táblázatba, hogy hány nap alatt végezné el ugyanezt a munkát 1; 2; 3; 5; 6; 8; 12; 16 ugyanilyen munkagép! b) Milyen kapcsolat van a munkagépek száma és a munkavégzés ideje között? c) Ábrázoljuk az összetartozó értékeket koordináta-rendszerben! A feladat megoldását kezdjük azzal, hogy megnézzük, hogy mit mond az egyenes- és mit a fordított arányosság deníciója. 2.2. Deníció (Egyenes arányosság). Két változó mennyiséget egymással egyenesen arányosnak mondunk, ha az egyik mennyiséget valahányszorosára változtatva, a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik. Ez képlettel leírva: f(x) = a x 2.3. Deníció (Fordított arányosság). Két változó mennyiséget egymással fordítottan arányosnak mondunk, ha az egyik mennyiséget valahányszorosára növeljük, a másik mennyiség ugyanannyiad részére csökken. Képlettel: f(x) = a x A feladat megoldását kezdjük azzal, hogy végiggondoljuk, hogy melyik fajta arányosságról beszélünk. Ha a munkagépek számát változtatjuk, akkor a szükséges id azzal ellentétesen változik. Ha több a gép, kevesebb id kell, és viszont. Vagyis a feladatot a fordított arányosság alapján tudjuk megoldani. Ezzel a b) kérdést már meg is válaszoltuk. Az a) kérdést egy-két gyors számítással megválaszolhatjuk. Ha 3 gép 8 nap alatt végez az úttal, akkor 1 gép 8 3 = 24 nap alatt végez. Miért van ez így? Mivel fordított arányosságról beszélünk, ezért nézzük meg mit mond: ahányszorosára változik az egyik mennyiség annyiad részére változik a másik. Jelen esetben: 3 1 = 1 darab gép van, ezért a napok 3 száma: 8 : 1 2 = 8 3 = 24. A többit ugyanígy kell kiszámolni. 3 = 2 3 3 gép 8 : 2 5 = 12 nap alatt végez. 3 = 5 3 3 gép 8 : 5 = 4, 8 nap alatt végez. 3

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 8 3 6 3 = 3 2 = 6 gép 8 : 2 = 4 nap alatt végez 3 8 3 = 8 gép 8 : 8 3 = 3 nap alatt végez 3 12 = 3 4 = 12 3 gép 8 : 4 = 2 nap alatt végez 3 16 = 16 gép 3 8 : 16 = 1, 5 nap alatt végez Ezeket az adatokat ábrázoljuk egy grakonon. 3 A c) részfeladatra a következ ábra adja meg a választ. Az ábrázolásnál az x tengelyen a gépek számát, az y-on pedig a szükséges id t jelenítem meg. Ugyan ekkor még nem minden feladatnál jelenik meg konkrétan a görbe is az ábrán (mert esetleg nem lenne értelme a racionális vagy irracionális értékeknek), de most a szemléltetés kedvéért így jelenítem meg a függvényt, és itt elfogadható a pontok összekötése. Amikor az ábrán a hiperbola megjelenik, akkor a diáknak a tanár csak annyit mond, hogy ez egy hiperbola, de nem elvárás, hogy a diák a nevét ismerje. Hatodik osztályban más másodrend görbe nincsen, egészen nyolcadikig nem is fordul el másik.

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 9 2.2. A másodfokú függvény Nyolcadik osztályban a függvényábrázolási feladatok között szerepel egy nagyon érdekes példa is. Ebben a példában a másodfokú függvénnyel, és annak képével, a parabolával ismerkedhet meg a diák. A témakör el tt már megismerkednek a hatványozással, valamint a kéttagú összeg, a kéttagú különbség négyzetével is. Ugyanakkor nyolcadikban a diákok még csak a felszínét karcolgatják a másodfokú függvényeknek, mert csak nagyon egyszer függvényábrázolásokkal (mint az alábbiak is) kell megküzdeniük. 2.4. Feladat. Ábrázoljuk a következ függvényeket koordináta-rendszerben! a) f(x) = x 2 b) g(x) = x 2 + 3 c) h(x) = (x 1) 2 d) i(x) = x 2 A feladat megoldása értéktáblázattal (ami nyolcadik osztályban még megengedett) könny. A következ ábra mutatja, hogy a függvények hogyan néznek ki.

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 10 Az általános iskolásnak ekkor a másodfokú függvényr l még csak néhány alapvet tulajdonságot kell tudnia (a nevén kívül, hogy parabola; értékkészlet, tengelymetszet, menet, széls érték). Viszont ezen tulajdonságokat úgy kell tudnia, hogy nem minden parabola ugyanolyan. (Például a lefele nyíló parabola esetén ne mondja azt, hogy a függvény értékkészlete a pozitív számok halmaza). A parabola (illetve a másodfokú függvény) további tulajdonságait (hogy bizonyos speciális parabolák (vagyis az y = 2px 2 ) paritására nézve páros, ha az origóban van a csúcsa; hogy mi az, hogy fókuszpont, vezéregyenes; stb.) majd csak középiskolában kell megismernie egy átlagos magyar diáknak. Mivel ezen tulajdonságok az ábrákról leolvashatók, így ezek részletezésébe itt nem mennék bele. 2.3. A kör Ebben a fejezetben megismerkedünk azon alap dolgokkal, amiket egy általános iskolásnak nyolcadik végére a körr l el kell sajátítania. Ekkor a körr l még nem mint másodrend görbér l beszélnek a tanárok, hanem inkább csak, mint mértani alakzatról. Most én is ennek a fényében vizsgálom a kört ebben a fejezetben, másodrend görbe mivoltáról majd a középiskolai résznél beszélek. Sajnos a körre vonatkozó deníciók ekkor még (eltekintve néhánytól, pl. körvonal, húr, stb.) nagyon elnagyolt formában, és nem teljesen pontosan jelennek meg. De igazából a lényeg az, hogy megértik ket a diákok, csak aztán a rossz (illetve nem pontos) deníciót jegyzik meg. Például ilyen az érint, melyr l azt állapítják meg, hogy egy olyan egyenes, mely nem metszi, hanem csak érinti a kört. Mi, egyetemisták viszont már tudjuk, hogy bizony az érint is metszi a kört, de csak egy metszéspontjuk van. Véleményem szerint egy 10-14 éves diáknak még jó ez a deníció (így könnyebben megértik a különbséget érintés és metszés között), de illene elmondani, hogy igazából ez is azt jelenti, hogy a kört az egyenes elmetszette. A körrel - komolyabban - a fels tagozatban kezdenek el foglalkozni a

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 11 diákok, így én is itt kezdem a tárgyalást. Ötödikben megismerkednek a körrel, mint mértani hellyel, és ezt a deníciót is kell megtanulniuk. 2.5. Deníció (Körvonal). Egy adott ponttól adott távolságra lév pontok halmaza a síkban a körvonal. Ezen kívül az alapfogalmak sajnos csak nagyon elnagyolt denícióval szerepelnek (sugár, átmér, körív, körlap, körcikk). A két kör kölcsönös helyzetér l is beszélnek ötödikben, de csak egy nagyon egyszer feladaton keresztül mutatják be a lehetséges eseteket. Feladatként azt adják, hogy adott egy szakasz változó hosszal, és rajzoljunk a végpontjaiba két kört, úgy, hogy 0, 1 vagy 2 közös pontjuk legyen. A feladatot és megoldását a következ ábra szemlélteti. Ezekb l már a diák könnyen megérti, hogy ha két kör metszi egymást, akkor két, ha érintik egymást, akkor egy, egyébként pedig nulla közös pontjuk (vagyis metszéspontjuk) van. A kör hatodikban már ismer s alakzatként tér vissza. Ekkor a diákoknak meg kell tanulniuk, hogy a kör tengelyesen szimmetrikus alakzat. A diákok ezen kívül megismerkednek a sokszögek köré írható körrel. A kör húrjával és érint jével is találkoznak, de ezen tudás átadásához nem kínálnak feladatot, csak annyit, hogy rajzoljunk egy kört, és úgy egy egyenest, hogy annak a körrel 0, 1 vagy 2 metszéspontja legyen. Ezen egyszer feladaton keresztül vezetik be az érint és a húr fogalmát. Hetedik osztályban a diákok kib vítik a sokszögek köré írható körr l való ismereteiket. Megtudják, hogy igen speciális sokszög, a háromszög köré is

2. FEJEZET. ÁLTALÁNOS ISKOLA 12 lehet kört írni, s t a háromszögbe bele is rajzolható kör. Magáról a körr l, mint alakzatról az új információ csak a kerületének és területének kiszámítási módja. 2.6. Deníció (A kör kerülete, területe). Egy r sugarú kör kerülete: K = 2rπ; területe: T = r 2 π Ezzel a diákok az általános iskolára befejezik a körrel való ismerkedést, további tulajdonságait és a körrel kapcsolatos tételeket már a középiskolai tanároknak kell megtanítaniuk. 2.4. Összefoglalás A diákok els ként másodrend görbével ötödik osztályban találkoznak, mikor megismerkednek a körrel. Nem nagyon mélyülnek bele, és általánosban talán nem is feladat, hogy a körr l mindent megtanítsunk a diáknak. Másfajta másodrend görbékkel is talákoznak, mint a hiperbolával és a parabolával. Én úgy gondolom, hogy, mivel nyolcadikban már tanulnak a diákok hatványozni, érdemes nekik elmondani, hogy ezek a görbék ún. "másodrend görbék". El is lehet magyarázni, f leg a parabolánál még könny is, hogy azért hívjuk így ket, mert az ket leíró egyenletben van másodfokú tag. De elvárni t lük, hogy ezt vissza is tudják mondani, hiba lenne. Ilyenkor még csak érdekességként szabad elhangzania az ilyeneknek, ne rettentsük el a a diákot a matematika csodálatos világától már ebben az életkorban. A másodrend görbék "negyedik" fajtája, az ellipszis nem kerül el általánosban. Ezzel a másodrend görbével a diákok el ször 11.-ben fognak találkozni, így tulajdonságait is csak ott kell részletezni.

3. fejezet Középiskola Ebben a fejezetben kicsit tovább lépünk a másodrend görbék világában. Belépünk arra a szintre, amit egy érettségizett embernek illik tudnia a másodrend görbékr l. Megismerkedünk a görbék mélyebb tulajdonságaival (paritás, monotonitás, stb.), a körnek újabb tulajdonságaival (középponti és kerületi szögek, körív hossza, stb.) és szerencsénk lesz találkozni a negyedik másodrend görbével is, az ellipszissel. Els ként kezdjünk ismét a hiperbolával, elvégre a kilencedikes diákok is azzal kezdenek. 3.1. A törtfüggvény, mint hiperbola Ez a függvény, az els ábrázoláskor, régi ismer sként köszön vissza a diáknak. Én legalábbis úgy vezetném be a törtfüggvényt, hogy ez nekünk már ismer s. Amikor megoldanak egy fordított arányossági feladatot, majd ezután ábrázolják például az f(x) = 1 x függvényt, akkor döbbennek csak rá igazán, hogy nem olyan újdonság ám ez. Utána ezen a függvényen keresztül be lehet vezetni a törtfüggvény alapvet tulajdonságait. Els ként vizsgáljuk meg, hogy a törtfüggvény milyen paritású. 3.1. Deníció. Azokat a függvényeket, amelyeknél az értelmezési tartomány minden elemére f( x) = f(x) teljesül, páratlan függvényeknek nevezzük. 13

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 14 Vizsgáljuk meg a példaként hozott f(x) = 1 függvényre ez teljesül-e! x f( x) = 1 = 1 = f(x), tehát ez a függvény páratlan. x x Azt, hogy mikor csökken vagy növekszik egy függvény, már régebbr l tudjuk (ez 8. osztályban tananyag), tehát itt csak meg kell állapítani a monotonitást: mindkét lehetséges intervallumban csökken. A széls érték fogalma is már általánosban szerepel, így itt csak meg kell állapítani, hogy nincsen széls érték. Az értékkészlet (és az értelmezési tartomány is) az ábráról könnyen leolvasható: mindkett a valós számok halmaza, a nullát kivéve. A konvexitás deníciója itt csak szemléletesen szerepel (ha tudok egyenest húzni úgy a görbe két pontja között, hogy az a görbe felett legyen végig, akkor konvex függvényr l beszélünk). Ezen függvénynek a konvexitását csak a pozitív ágra vizsgáljuk (itt). (A negatív ágon konkáv.) A hiperbola, mint másodrend görbe tulajdonságairól itt egy szó nem esik. Azok majd a kés bbiekben kerülnek el. Ezután a görbét a legkülönböz bb módon transzformálják a feladatok, egyre inkább eltávolítva a görbét a fordított arányosságnál tanult képét l. Kilencedikben már az is cél lehet, hogy egy alakzat ne csak egyetlen függvényhez párosodjon, hanem többhöz is, de a függvényhez ismerjük az elnevezését is. (pl. a fordított arányosságról beszélve tudnia kell a diáknak, hogy a képe egy hiperbola, de ha kérdezik, hogy tud-e még olyan függvényt mondani, aminek a képe hiperbola, akkor ugorjon be a törtfüggvény). Már ebben az évfolyamban fontos megjegyezni, hogy egy függvény típusnak nem csak egy képe van. A racionális törtfüggvénynek épp úgy egyenlete az f(x) = 1 x, mint például a g(x) = 12 x+1, vagy a h(x) = a x + b. 3.2. A másodfokú függvény mélyebb tulajdonságai A következ ismer sünk (aki ugyan tananyag szerint a törtfüggvény el tt szerepel, de az összefüggések miatt én mégis utána vettem) a parabola és a másodfokú függvény. A másodfokú függvény el ször kilencedikben tér vissza.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 15 Ekkor már elvárás, hogy a diák tudja, hogy a függvény képe a parabola. Azt is tudnia kell, hogy mit jelent, hogy ez egy páros függvény, ugyanis a páros függvény denícióját az f(x) = x 2 függvényen át vezetik be. 3.2. Deníció. Azokat a függvényeket, amelyeknél az értelmezési tartomány minden elemére f( x) = f(x) teljesül, páros függvényeknek nevezzük. Vizsgáljuk meg, hogy az x 2 függvény valóban páros-e! ( x) 2 = x 2. Ezt mindenki tudja már általános iskolából, hogy egy szám és ellentetjének négyzete megegyezik, tehát a függvény valóban páros. Ezután a parabola 10. osztályban fog újra el kerülni. Ekkor is a másodfokú függvény képeként szerepel, valamint a vázlatos képét segítségül fogjuk hívni a másodfokú egyenl tlenségek megoldásánál. Ekkor megismerik a diákok a másodfokú függvény általános hozzárendelési szabályát, valamint az ábrázolásának egy jó módszerét. 3.3. Deníció. A másodfokú függvény hozzárendelési szabálya általános esetben: f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, ahol a R, a 0, b; c R Célszer a másodfokú függvények hozzárendelési szabályát teljes négyzet alakra hozni: f : R R, f(x) = a(x u) 2 + v, ahol a R, a 0, u; v R. A normál parabolát ekkor a-szorosára nyújtjuk, és a csúcspont a C(u; v) pontba kerül. Ekkor kell bevezetni a zérushely fogalmát precízen. Azért most, mert a másodfokú egyenlet (de f leg az egyenl tlenség) megoldásánál fontos lesz tudni, hogy az ábrázolt parabolának hol vannak (ha egyáltalán vannak) zérushelyei. 3.4. Deníció (Zérushely). Azt az x valós számot, ahol f(x) = 0, a függvény zérushelyének nevezzük. Ezután megtanítjuk a diákoknak, hogy a másodfokú függvénynek legfeljebb 2 darab zérushelye lehet, a parabola elhelyezkedését l függ en. Ezt

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 16 egy egyszer, vázlatos ábrával könnyen bemutathatjuk, ez nem igényel különösebb feladatot (noha a tankönyv ad erre vonatkozóan feladatot, én úgy gondolom, hogy a másodfokú egyenletek és egyenl tlenségek megoldásánál éppen elég gyakoroltatni a "pontos" függvényábrázolást). 3.3. A kör a középiskolában A középiskolai évek alatt a kör sokkal nagyobb hangsúlyt kap, mint általánosban. Ezt jelzi az is, hogy jelent sen több tétel és deníció kapcsolódik hozzá, és az id el rehaladtával egyre több információt kell megjegyezni róla. Végre pontosan is megismerkedik a diák a kör különböz denícióival (mi az hogy kör, mi az érint, milyen kapcsolat van a kör egy-egy érint je és szel je hossza között, stb.) Els ként a diák (nagyon helyesen) megismerkedik a körvonal, zárt körlap, nyílt körlap pontos fogalmával. Ez nagyon jó így, mert az egyetemi évek alatt, mikor egy pont környezetér l beszélünk, ugyanezen a deníciókat fogjuk használni, például az analízis is ezekre hivatkozik, ezeket használja. 3.5. Deníció. Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságra vannak, egy kör (körvonal). Jelekkel: OP = r Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak, az O középpontú, r sugarú zárt körlap. Jelekkel: OP r Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak, az O középpontú, r sugarú nyílt körlap. Jelekkel: OP < r Ezután következik az érint pontos(abb) deníciója és két fontos tétel, amit az érint r l tudni kell. 3.6. Deníció (Érint ). A kör érint je a kör síkjának olyan egyenese, melynek pontosan egy közös pontja van a körrel.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 17 3.7. Tétel. A kör minden pontjába pontosan egy érint húzható. Az érintési pontba húzott sugár mer leges az érint re. 3.8. Megjegyzés. A tétel bizonyítása középiskolában nem szerepel. A körök kölcsönös helyzetére, amit általánosban csak egy egyszer feladaton keresztül mutattak be, most már denícióként hivatkoznak. 3.9. Deníció (Körök kölcsönös helyzete). Egy síkban elhelyezked két körnek 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet; ha egy közös pontjuk van, akkor a két kör érinti egymást. A kört geometriai alakzatként a középiskola els két évfolyamán rengeteg dologra használják. Ezek a tulajdnoságok, illetve tételek nekünk, akik a kört, mint másodrend görbét vizsgálják, új információt nem hordoznak, ezért ezek csak említés szintjén szerepelnek itt. A körnek ezen kívül rengeteg új tulajdonságát is megismerik a diákok. Els ként kib vítik a sokszögek köré és a sokszögekbe írt körökr l szóló tudást azzal, hogy megtanítják az érint és húrnégyszög fogalmát. A Thalesz-tétel és bizonyítása is sokat köszönhet a körnek. Természetesen a kör szimmetriájáról sem szabad megfeledkezni, azt is meg kell tanítani. A körben lév speciális szögek (középponti-, kerületi szögek) is szóba kerülnek, illetve az ezekhez kapcsolódó tételek is szerepelnek a tananyagban. Ehhez kapcsolódva vezetik be a például a körív fogalmát is precízen. A kört úgy is használják a középiskolában, mint egy olyan alakzat, melynek bizonyos pontjaiból egy szakasz adott szögben látszik (ez lesz a látókörív). A kör speciális részeinek nagysága (körcikk, körgy r, stb.) is része az anyagnak, némelyik csak érettségi el tt; ezek f leg a térgeometria szempontjából érdekesek. A körr l 9. és 10. osztályban (ill. 12-ben) ezt kell megtanulni. Viszont a tizedik év végén nem búcsúzunk el a kört l az érettségi el tti ismétlésig. Ugyanis tizenegyedikben visszatér, de akkor már a koordináta-geometria témakörében, ahol már valódi másodrend görbeként vizsgáljuk, nem csak úgy, mint geometriai alakzat.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 18 3.4. Koordináta-geometria A koordináta-geometria, mint geometriai témakör, teljesen kimeríti a 11. évfolyamon tanítandó geometria anyagot. Viszont itt az "igazi" geometriát már csak segédeszközként használjuk, az alakzatok inkább lesznek koordinátákból, számokból, egyenletekb l álló absztrakt alakzatok, mint igazi képek. De természetesen nem szabad úgy nekiállni a koordináta-geometriát tanulni és tanítani, hogy nem tudjuk elképzelni, illetve lerajzolni a feladott feladatot. Ez nagyon sokszor nem csak hogy segít, hanem egyenesen ez vezet rá a megoldás menetére minket. Ezért mondom, hogy a geometria itt inkább segédeszköz, mint önálló, új ismereteket nyújtó tudományág. 3.4.1. A kör A kört ezúttal már nem mértani helyként vizsgáljuk, hanem a koordinátageometria fel l nézzük. Megismerkedünk a kör egyenletével és néhány egyéb érdekesség is kiderül róla. A kör, mint alakzat, természetesen a koordinátageometriában is ugyanaz, mint a "normál" geometriában. A síkban (és ezért a koordináta-rendszerben is) meg lehet adni egy kört a középpontjával és a sugarával. A két pont távolságára vonatkozó képlet alapján a kör egyenlete könnyen meghatározható. A két pont távolsága alapján a P (x; y) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a k körre, ha KP = (x u) 2 + (y v) 2 = r 2, ahol K(u; v) a kör középpontja és r R a sugár. Mindkét oldalt négyzetre emelve kapjuk a kör egyenletét: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. 3.10. Deníció (A kör egyenlete). A P (x; y) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a K(u; v) középpontú, r sugarú körre, ha az x és y koordináták kielégítik a következ egyenletet: (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ezt rendezve és a négyzetre emeléseket elvégezve kapjuk a kör egyenletének általános alakját: x 2 + y 2 2ux 2vy + u 2 + v 2 r 2 = 0.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 19 3.11. Megjegyzés. Ha a kör középpontja az origó, akkor az egyenlet: x 2 + y 2 = r 2 alakúra egyszer södik. Természetesen az alakzatok kölcsönös helyzetér l itt sem szabad megfeledkezni. A következ kis állítás meghatározza nekünk, hogy a koordinátageometriában hogyan kaphatjuk meg a két alakzat metszéspontjának koordinátáit: két alakzat közös pontját a két alakzat egyenletéb l álló egyenletrendszer megoldásai adják, ugyanis a közös pontok koordinátái mindkét egyenletet kielégítik, tehát mindkét alakzaton rajta lesznek. A kölcsönös helyzetr l szóló rész vizsgálgatása közben egy újabb érdekességre bukkanhatunk. A két körnek két metszéspontja lehet legfeljebb, és a két pont egyértelm en meghatároz egy egyenest. Mikor a megoldás során a két kör egyenletét kivonjuk egymásból, akkor egy kétismeretlenes lineáris egyenletet kapunk. Ezekb l a következ kis állítás vezethet le: 3.12. Állítás. Ez az egyenlet a két kör közös szel egyenesének az egyenlete. Itt felmerülhet kérdésként, hogy mi a helyzet akkor, ha két, egymást nem metsz kör egyenletét vonjuk ki egymásból. Hiszen ekkor is egy lineáris egyenletet kapunk, tehát valamiféle egyenest kellene kapnunk. Ez az egyenes lesz majd a két kör hatványvonala, mely majd az egyetemen fog el kerülni részletesen, ezért részletezni is csak ott fogom. Véleményem szerint viszont itt is el lehetne mondani, hogy mit értünk körre vonatkozó hatványon és hatványvonalon, nem olyan érthetetlen deníció, amit egy középiskolás ne foghatna fel. Enélkül kicsit feleslegesnek érzem a megállapítást (miért hagyjuk a kérdést nyitva?). 3.4.2. A parabola Ebben a részben a parabolával ismerkedünk meg még közelebbr l, mint eddig. Az eddigi fejezetekben sok szó esett már a paraboláról, mint a másodfokú függvény képér l. Most, nem csak, hogy részletesen megismerkedünk a parabola fogalmával, de végül a másodfokú függvénnyel való kapcsolatára is adunk egy új magyarázatot.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 20 Lássuk els ként a parabola pontos denícióját (erre egy átlagos diák 11 tanévet vár.) 3.13. Deníció (A parabola). A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy d egyenesét l (vezéregyenes) és egy d-re nem illeszked F pontjától (fókuszpont) vett távolsága egyenl. 3.14. Deníció. A parabola érint je olyan egyenes, melynek a parabolával egyetlen közös pontja van, de az egyenes nem párhuzamos a parabola tengelyével. Mivel ez a deníció nem teljesen egyértelm, ezért megadnak egy másik deníciót is, ami egyértelm síti az el z t. (Be lehet bizonyítani, hogy a két deníció ekvivalens.) 3.15. Deníció. A parabola érint je olyan egyenes, melynek a parabolával egyetlen közös pontja van, és a parabola összes többi pontja az egyenes által meghatározott egyik félsíkban van. A parabola elég speciális másodrend görbe abból a szempontból, hogy a helyzetét l és állásától függ en más és más az egyenlete. Ezt bizonyítja az alábbi deníció is, mutatva, hogy hányféleképpen lehet felírni a parabola egyenletét. 3.16. Deníció (A parabola egyenletei). (A jelölések magyarázata: F: fókuszpont, d: vezéregyenes, t: tengely, T: tengelypont, p: paraméter) 1. t : y = 0, T = (0, 0); F = (0, p 2 ); p 2 > 0; d : y = p 2 akkor y = 1 2p x2. Ez a parabola tengelyponti egyenlete. 2. t : y = 0, F = (0, p 1 ), akkor y = 2 2p x2 3. t : x = 0, F = ( p 1, 0), akkor x = 2 2p y2 4. t : x = 0, F = ( p 1, 0), akkor x = 2 2p y2

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 21 5. Ha a T (u, v) és F (u, v + p ), d : y = v p 1 akkor az y v = (x u)2 2 2 2p egyenlet a p paraméter, T (u, v) tengelypontú, y tengellyel párhuzamos tengely, "felfele nyíló" parabola egyenlete, melynek F a fókusza és d a vezéregyenese. Már említettem, hogy a másodfokú függvény képe parabola. A következ tételek magyarázatot adnak rá, hogy miért. 3.17. Tétel. Minden, a valós számokon értelmezett másodfokú függvény gra- konja olyan parabola, melynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Az f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, a > 0 másodfokú függvény grakonja az y tengellyel párhuzamos tengely, T ( b 2a, b2 4ac 4a ) tengelypontú, 1 2a paraméter parabola. 3.18. Tétel (Az el z tétel megfordítása). Bármely, az y tengellyel párhuzamos tengely parabolához pontosan egy, a valós számokon értelmezett másodfokú függvény tartozik, amelynek a grakonja az említett parabola. Bizonyítás. Az el z két tétel bizonyítása megtalálható a következ könyvben: Kosztolányi-Kovács-Pintér-Urbán-Vincze: Sokszín matematika 11. 3.19. Tétel (Az el z két tétel együtt kimondva). Jelölések: M: a valós számokon értelmezett másodfokú függvények. P: y tengellyel párhuzamos tengely parabolák. Tétel: Az M és P halmazok elemei kölcsönösen egyértelm módon megfeleltethet k egymásnak, azaz minden M-beli függvényhez pontosan egy P-beli parabola tartozik, amely a tekintett függvény grakonja; és fordítva, minden P-beli parabolához pontosan egy darab M-beli függvény van, amelynek grakonja a tekintett parabola. 3.4.3. Az ellipszis A következ ekben egy "új" másodrend görbével ismerkedünk meg, ez az ellipszis. Itt els ként a denícióval találkozik a diák, és nem az alakjával és

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 22 speciális egyenletével, mint a parabolánál, mikor még csak a másodfokú függvény képét párosítjuk hozzá. Mivel nagyon új görbér l van szó, ezért itt még csak nagyon keveset kell tudniuk a diákoknak az ellipszisr l (a középszint érettségihez ráadásul az ellipszisr l és a hiperboláról koordináta-geometriai szempontból semmit nem kell tudni). 3.20. Deníció (Az ellipszis). Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott F 1, F 2 pontjától (fókuszpontok) vett távolságösszege, melyet jelöljön 2a, állandó, ahol 2a > F 1 F 2. 3.21. Megjegyzés. 1. Az F 1 F 2 szakasz O felez pontja az ellipszis középpontja. 2. Az ellipszis tengelyesen szimmetrikus az F 1 F 2 egyenesre és az F 1 F 2 felez mer legesére is. 3. Az ellipszis ezért középpontosan is szimmetrikus az O középpontra. 4. Az ellipszis F 1 F 2 egyenesre illeszked A és B pontjainak távolsága a deníció következményeként 2a; ez az ellipszis nagytengelye. 5. A nagytengely O-ra illeszked felez mer legesének az ellipszishez tartozó C és D pontjai által meghatározott szakasz az ellipszis kistengelye, hossza 2b. 6. Az F 1 P és F 2 P a P ponthoz tartozó vezérsugarak. Jelölésük: F 1 P = r 1 és F 2 P = r 2. Ezután az ellipszis egyenletét vezetjük be, ezt speciálisan arra az esetre nézve, ha az ellipszis középpontja az origó, és a nagytengelyének egyenese az x-tengely. 3.22. Deníció (Az ellipszis egyenlete). Ha O = (0, 0), akkor az x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 egyenletet az ellipszis középponti egyenletének nevezzük adott F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0), a 2 = c 2 + b 2 adatok esetén.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 23 3.4.4. A hiperbola A hiperbola, mely következ kis fejezetünk tárgya, már szintén többször szerepelt: volt már a fordított arányosság képe, a törtfüggvény grakonja. Ezúttal koordináta-geometriai szemmel vizsgálgatjuk. Végre (hosszú évek türelmetlen várakozása után) megismerkedik a diák a hiperbola pontos deníciójával, és végül az origó központú hiperbola egyenletével is. 3.23. Deníció (A hiperbola). A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott F 1 F 2 pontjától (fókuszpont) vett távolságkülönbségének abszolútértéke állandó. A két adott pont a hiperbola fókuszpontjai és rájuk az F 1 F 2 < 2a összefüggés teljesül. (Vagyis a hiperbola két fókuszának távolsága kisebb a nagytengely hosszának kétszeresénél.) 3.24. Megjegyzés. 1. Az F 1 F 2 szakasz O felez pontja a hiperbola középpontja. 2. A hiperbola tetsz leges P pontját a fókuszpontokkal összeköt szakaszok a P vezérsugarai: F 1 P = r 1, F 2 P = r 2. 3. Az adott r 1 r 2 távolság jelölése 2a. 4. Az F 1 F 2 egyenesnek a hiperbolához tartozó A és B pontjaira teljesül, hogy AB = 2a, ez a hiperbola valós tengelye. 5. A hiperbola tengelyesen szimmetrikus az F 1 F 2 egyenesre és az F 1 F 2 egyenesre mer leges, O-ra illeszked egyenesre is; ezért a hiperbola is szimmetrikus középpontosan. 6. Az F 1 F 2 felez mer legese a képzetes tengely. 3.25. Deníció (A hiperbola egyenlete). Ha O(0, 0) és a valós tengely egyenese az x-tengely, akkor az x2 y2 = 1 egyenletet a hiperbola középponti a 2 b 2 egyenletének nevezzük, ahol adottak: F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0), c R, a 2 = c 2 + b 2, és a fél valós tengely hossza a.

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 24 3.4.5. A másodrend görbék, mint kúpszeletek A kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy egyenes körkúp és sík metszeteként jön létre. Mind a négy másodrend görbe (kör, ellipszis, hiperbola, parabola) el állítható, mint kúpszelet, ahol a sík a kúpot nem a csúcsában metszi. Ez nem tételként (vagy állításként) van kimondva, de egy ábrával "bizonyítva" van, hogy tényleg el állnak. Ezen "állítás" meger sítésre kerül az egyetemen, akkor már rendes állításként szerepel. 1. A kör: vegyük a síkot a forgáskúp tengelyére mer legesen. 2. Az ellipszis: vegyük a síkot úgy, hogy a forgáskúp tengelyére ne legyen mer leges és az alkotókkal ne legyen párhuzamos, valamint a metsz sík és a tengely. szöge legyen a kúp nyílásszögének a felénél nagyobb. Ha mer leges lenne a tengelyre, akkor visszakapnánk a kört. Ebb l is látszik, hogy a kör az ellipszis speciális esete. 3. A parabola: vegyük a síkot úgy, hogy a metsz sík és a tengely szöge legyen egyenl a kúp félnyílásszögével. 4. A hiperbola: a metsz sík és a tengely hajlásszöge legyen a kúp félnyílásszögénél kisebb. Másodrend görbéb l igazából nem csak ez a négy van, hanem van további öt is (pl. két párhuzamos egyenes, stb.; ezeket ld. a következ fejezetben). Ezeket azonban középiskolában nem tanítják (véleményem szerint helyesen, mert a diáknak elég azt megjegyeznie, hogy az egyenes egyenlete els fokú, a görbéké másodfokú; ha bevezetnénk az egyenesre a másodfokú egyenletet azzal (tisztelet a kivételnek) a többséget csak összezavarnánk, pedig ez a fejezet amúgy se könny ). Pedig ezeket is meg lehetne mutatni legalább egy-egy ábrával, mert nem olyan nehéz megérteni. Ha a metsz sík (mely a kúp csúcsán megy át) és a kúp tengelyének hajlásszögét változtatom, akkor a metszet lehet két egyenespár, ha a hajlásszög a félnyílásszögnél kisebb; egy egybees egyenespár, ha a hajlásszög és a félnyílásszög egyenl ; és egyetlen

3. FEJEZET. KÖZÉPISKOLA 25 pont, ha a hajlásszög nagyobb a félnyílásszögnél. Ennek ellenére ezeket nem mutatják meg, ezért ezek tárgyalását én is kés bbre halasztom. Az egyetemi részben, mikor a koordináta-geometria ismétlésér l lesz szó, kitérek a speciális másodrend görbékre is. 3.5. Összefoglalás A középiskolában már sokkal fontosabb lesz, hogy a diák a megtanult dolgok hátterét is értse, ne csak alkalmazni tudja azokat. Ezért sokkal több a pontos deníció és tétel. Végre megjelenik a negyedik másodrend görbe is, az ellipszis, és a többinek mélyebb tulajdonságaival is megismerkednek a tanulók. A koordináta-geometriai részben már érzékelhet, hogy a négy másodrend görbe valami módon összefügg. Nem csak azért, mert mind másodfokú, hanem azért is, mert például az ellipszis és a hiperbola leíró egyenlete közel azonos. Ez a kör és az ellipszis viszonyában még jobban látható: az ellipszis kis-, és nagytengelyének hosszát is 1-nek választva kapjuk a kör egyenletét. Tehát a két alakzat egyenlete nagyon közel áll egymáshoz, a kör az ellipszis egy speciális esete. Ez (és még sok más is) el re vetíti azt, amit az Egyetemen tanítanak meg geometriából, hogy ez a kapcsolat nem is véletlen, mert projektív szempontból a három kúpszelet (ellipszis, hiperbola, parabola) egy és ugyanaz.

4. fejezet Másodrend görbék az egyetemen A következ fejezetben a másodrend görbék azon tulajdonságai fognak el kerülni, melyek az egyetemi tananyagban szerepelnek, némi ráadással a végén. A már korábban leírt deníciók és tételek, hacsak nem különösen fontos, hogy újra szerepeljenek, nem jelennek meg újra. Az el z ekben áttkeintett 12 év után, ideje, hogy a geometria olyan területére lépjünk, ahol az elnagyolt deníciókat már nem nézik jó szemmel, és az ezekb l fakadó félreértésekre is igyekeznek rávilágítani. A vége felé végre választ kapunk a nagy kérdésre: miért hasonlítanak ennyire a másodrend görbék egymásra? Els ként természetesen a frissen (vagy nem olyan frissen) érettségizett hallgatóknak szükségük van arra, hogy a Geometria c. tantárgy és irányzatai el tt tiszta vizet öntsenek a pohárba. Mit tanultunk 12 évig a közoktatásban, mit mondtak el jól, és mit kevésbé jól? 4.1. Ismétlés: a kör Ebben az alfejezetben a f hangsúly az ismétlésen van. Fontos, hogy a másodrend görbékr l megtanult dolgok újra a helyükre kerüljenek. A vonatkozó rész természetesen a legalapvet bb másodrend görbével indul, a körrel. Újra megtudjuk, hogy mit nevezünk körnek, hogyan deniáljuk a bels és küls pontot, és a kör és egyenes kölcsönös helyzetér l is van pontos 26

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 27 deníció, illetve az érint is pontosan van deniálva. Megtudjuk azt is, hogy két kör egy síkban egymáshoz képest hatféleképpen helyezkedhet el. A kör további tanulmányozása során ismét szóba kerülnek az érint k. Ennek során megismerjük azon tételeket, melyek szerint a kör tetsz leges pontjába húzható érint, az érint mer leges az érintési pontba húzott sugárra; minden küls pontból két érint húzható a körhöz és ezen két érint hossza megegyezik. Ezen tételek némelyike szerepel korábban (ha nem is ilyen pontosan, de utalnak rá). A kör egyéb részeir l is megtanítanak új információkat. A középponti- és kerületi szögek is el kerülnek ismét. A kett egymáshoz való viszonyáról szóló tétel is visszatér (vagyis, hogy az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög feleakkora a középponti szögnél). A látókörívet is újra deniálják. Az els "új" dolog, a "Pont körre vonatkozó hatványa"-ról szóló tétel. Ez és a további tételek a kés bbiekben lesznek nagyon hasznosak, de mivel az ismétlésben ide kerültek, ezért a történeti h ség kedvéért maradjanak itt. (Ez az a rész, ami akár el is fordulhatna a középiskolában, de nem kerül szóba; hagynak egy kis munkát az egyetemi kollégáknak is.) 4.1. Tétel. Az el jeles távolságoknál számított P A P B szorzatot a P pont körre vonatkozó hatványának nevezzük. Ez a tétel a középiskolában már tanult, "A körhöz húzott érint és szel szakaszok tétele"-ben szerepl összefüggésre utal vissza. Ezt a témakört egy félévvel kés bb tovább boncolgatják, én az összefüggések miatt itt fejteném ki a további tudnivalókat a hatványpontokról és hatványvonalakról. Az el z tételre épül a következ deníció. 4.2. Deníció. Adott egy O középpontú, r sugarú kör. A P pont hatványa P O 2 r 2. 4.3. Következmény. A P O 2 r 2 értéke lehet 1. pozitív, ha P nincs rajta a körlemezen;

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 28 2. nulla, ha P rajta van a körvonalon; 3. negatív, ha P a körlemezen van, de nem a körvonalon. Két kör esetén már vizsgálhatjuk ezt is, hogy hol leszenk (milyen geometriai alakzaton) azok a pontok, melyeknek a két körre vonatkoztatott hatványuk megegyezik. Ez egy egyenes lesz, melyet a két kör hatványvonalának nevezünk. A következ tétel a hatványvonal két körhöz való helyzetér l beszél. 4.4. Tétel (Két kör hatványvonala). Ha O 1 O 2, akkor azon pontok mértani helye, melyek hatványa az O 1 középpontú, r 1 sugarú és az O 2 középpontú, r 2 sugarú körre megegyezik, az egy az O 1 O 2 egyenesre mer leges egyenes. Bizonyítás. Ld.: ifj. Böröczky Károly Geometria 2 Tanár c. el adásának neten található jegyzete, 35. oldal. Ennek a tételnek kib vített változata, ha nem két, hanem három körr l beszélünk, a következ : 4.5. Következmény. Ha O 1, O 2, O 3 nem kollineáris, akkor pontosan egy olyan pont van, melynek a hatványa az O i középpontú, r i sugarú körre megegyezik. (i=1,2,3) Az állítás bizonyítása egyszer. Vegyük fel a három kört, és szerkesszük meg az els kett nek a hatványvonalát. Majd a második és harmadik körre vonatkozó hatványvonalat is megszerkesztjük. Mivel az O i pontok nem kollineárisak, ezért a két hatványvonal nem lesz párhuzamos. Így metszéspontjuk egy olyan pont lesz, amelynek hatványa mindhárom körre egyenl lesz. Az egyértelm ség bizonyítása: Ha P olyan pont, melyre a három körre vonatkoztatott hatvány megegyezik, akkor ennek rajta kell lennie az els kett, illetve a második és a harmadik körök hatványvonalán is a hatványvonal deníciója miatt.

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 29 Természetesen a kör területére vonatkozó összefüggés sem maradhat ki az ismétlésb l, és hiába mondják el százszor, mégis el fordul, hogy elfelejt dik hirtelen. A háromszögek ismétlésekor el kerül az ún. Feuerbach-kör. Ez a speciális kör középiskolában csak említés szintjén kerül el, ha egyáltalán el kerül. 4.2. Ismétlés: másodrend görbék a koordinátarendszerben A nagy ismétléssorozatból persze a koordináta-geometria, és a másodrend görbék sem maradhatnak ki. Mint már utaltam rá, a középiskolában csak a négy valódi görbével ismeretetik meg a diákot. Mostmár ideje, hogy a diák megismerkedjen az olyan görbékkel is, amelyek másodrend ek, de a nevükön kívül másképp nem görbék. Els ként tekintsük át sorban azon tételeket és deníciókat, melyeket a paraboláról, az ellipszisr l és a hiperboláról ismerni kell. A tananyag szerint a rend mindháromnál ugyan az: els ként a pontos deníciók, és utána a középponti egyenletek. Ami újként hat, hogy azokkal az egyenletekkel is meg kell ismerkedniük a hallgatóknak, mikor a görbe középpontja egy általános pont, nem az origó. 1. A parabola: Ha a csúcspont koordinátái: C(u, v), tengelye párhuzamos az x tengellyel: (y v) 2 = 2p(x u) 2 2. Az ellipszis és a hiperbola együtt: Ha a középpont C(u, v), és a fókuszokat összeköt egyenes párhuzamos az x tengellyel: (x u) 2 a 2 (Megj.: Ha "+", akkor ellipszis; ha "-", akkor hiperbola) ± (y v)2 b 2 = 1 4.2.1. Kúpszeletek, másodrend görbék Els ként ismerkedjünk meg azzal, hogy mit nevezünk általánosan másodrend görbének.

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 30 4.6. Deníció (Másodrend görbe). Az ax 2 +bxy +cy 2 +dx+ey +f = 0 típusú egyenlettel megadott alakzatokat másodrend görbéknek nevezzük, ha a 0 vagy b 0 vagy c 0. Ezzel összefüggésben kimondhatjuk a következ tételt is. 4.7. Tétel. A kúpszeletek másodrend görbék. Ennek a tételnek a megfordítása is igaz, és számunkra inkább ez a fontos. 4.8. Tétel. Minden másodrend görbe a következ k egyike: ellipszis, kör, üres halmaz, pont, parabola, egyenes, párhuzamos egyenespár, hiperbola, metsz egyenespár. Bizonyítás. A tétel bizonyítását ld. kés bb Hogy ezek mindegyike el is áll, azt a következ példa mutatja. 4.9. Példa. a > 0, b > 0, c > 0 és a, b, c R 1. Ellipszis: x 2 + y2 = 1 a 2 b 2 2. Kör: x 2 + y 2 = 1 3. Pont: c 2 1x 2 + c 2 2y 2 = 0 4. Üres halmaz: c 2 1x 2 + c 2 2y 2 + 1 = 0 5. Parabola: y 2 = 2px 6. Egyenes: x 2 = 0 7. Párhuzamos egyenespár: x 2 c 2 = 0 8. Hiperbola: x 2 y2 = 1 a 2 b 2 9. Metsz egyenespár: x 2 c 2 y 2 = 0

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 31 Természetesen ezek nem feltétlenül egy adott másodrend görbe legegyszer bb egyenletei. Például az egyenes egyenletét a legritkább esetben adjuk meg másodfokúként, de ha most nem így tennénk, akkor nem lenne igaz a tétel. Viszont azt fontos tudni, hogy itt nem egy egyenesr l beszélünk, hanem egyenes párokról. És két egyenes egyenletének a szorzata már másodfokú lesz valóban. Az els félévben zajló ismétlés ennyi volt. A következ részekben már a másodrend görbék közötti kapcsolatra kerül a hangsúly. A középiskolában már láttuk, hogy a másodrend görbék nem is olyan különböz ek, mint azt els re gondolnánk (kinek jutna eszébe, hogy egy ellipszis és egy parabola hasonlíthat egymásra). A fejezet végére rá kell döbbennünk, hogy a két alakzat bizony sokkal közelebb áll egymáshoz, mint gondolnánk. 4.3. Anitás Ebben a fejezetben egy újfajta geometriai transzformációval fogunk megismerkedni, az anitással. Azt már tudjuk, hogy a körök egymáshoz hasonlóak, s t, vannak köztük egybevágóak is. Most az lesz a cél, hogy belássuk, hogy nem csak két kör "ugyanaz", hanem an értelemben a kör ugyanaz, mint az ellipszis. Els ként ismerkedjünk meg magával az anitás fogalmával. 4.10. Deníció (Az anitás). A sík egy önmagára vett bijektív transzformációja anitás, ha tartja az egyeneseket, azaz ha bármelyik l egyenest bijektíven és folytonosan képez le valamely l egyenesre. A deníciót kiegészítend, szükségünk van egy lemmára, hogy pontosan meg tudjuk mondani, hogy mit jelent az anitás. 4.11. Lemma. Ha φ a sík egy anitása, akkor 1. φ injektív, 2. ha A, B, C, D egy paralelogramma csúcsai ilyen sorrendben, akkor ez teljesül a φ(a), φ(b), φ(c), φ(d) pontokra is,

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 32 3. párhuzamos egyenesek képe párhuzamos egyenes. A kör és ellipszis közötti, már említett kapcsolatot a következ tétel is meger síti. 4.12. Tétel. Kör an képe ellipszis, ellipszis an képe ellipszis. Bizonyítás. Ld. ifj. Böröczky Károly Geometria 2 Tanár cím, interneten megtalálható jegyzetében 33. oldalon. 4.4. Projektív geometria Ebben a fejezetben elérkezünk a f kérdés megválaszolásához: Véletlen-e, hogy a négy (nem elfajuló) másodrend görbe mind alakjában mind egyenletében ennyire hasonlít egymásra, vagy van valami közük is egymáshoz. A téma felszínét már karcolgattuk az el z ekben (ld. kör an képe ellipszis, egy általános egyenletb l minden görbe kihozható, stb.); de a projektív geometria végre választ ad a már kialakult sejtésünkre: a négy görbe valami módon összefügg. De ennél sokkal gyakorlatiabb oka van annak, hogy a projektív geometria tudományága létrejött. Azért foglalkozom ezzel a témakörrel részletesen, mert a másodrend görbékre vonatkozó azon tétel bizonyításához szükséges, hogy minden másodrend görbe el állítható egy általános másodfokú egyenletb l. Ehhez viszont nagyon alaposan el kell merülnünk a projektív geometriában, és így jutunk el a nagy kérdés megválaszolásához is. 4.4.1. A projektív geometria bevezetése Ebben a részben a projektív geometria bevezetésér l lesz szó, milyen alapvet tulajdonságai vannak a projektív geometriának, illetve, hogy a projektív síkot hogyan lehet beleilleszteni az euklideszi térbe. A projekció szó vetítést jelent. A térbeli alakzatok síkon történ ábrázolásához kézenfekv vagy a párhuzamos vagy a középpontos vetítés módszerét alkalmazni. Az emberi szem által a térbeli tárgyakról alkotott kép a centrális

4. FEJEZET. MÁSODREND GÖRBÉK AZ EGYETEMEN 33 vetületnek felel meg. Ily módon f ként a festészet és az építészet számára már évszázadokkal ezel tt szükségesnek mutatkozott a centrális vetítés törvényszer ségeinek feltárása. A centrális vetítés összefüggéseinek tanulmányozása egy matematikai elmélet, a projektív geometria, kialakulásához vezetett. A középpontos vetítés során egy nagy problémába ütközünk. Ha párhuzamosan vetítünk, akkor két sík pontjai között létre tudunk hozni egy bijektív megfeleltetést (minden pontnak lesz pontosan egy képe); de középpontos vetítésnél ez nem lehetséges. Miért? Már nagyon régen rájöttek az emberek, hogy "a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást". Ezt használja ki a projektív geometria: adjunk a párhuzamosoknak egy metszéspontot. Legyen ez a pont egy végtelen távoli pont (más nevén ideális pont), ahol a párhuzamosok metszik egymást. Legyen adva egy S sík és egy T / S pont (tartópont, ami a vetítési centrum "szerepét játsza"). A sík egy P pontjához rendeljük hozzá a P T egyenest, és egy T -re illeszked e egyeneshez rendeljük hozzá az e S pontot. Ez a hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelm. Ha egy T -re illeszked e egyenes metszi a síkot, akkor valóban e S az az egyetlen síkbeli pont, akihez e-t rendeltük, azonban az S síkkal párhuzamos T -re illeszked egyenesekhez nem tartozik pont és ket nem rendeltük hozzá S beli pontokhoz sem. Ha most veszünk egy f S egyenest és megnézzük hogy a P n T egyenes mit csinál, ha a P n f, n = 1, 2... pont sorozat kifut az f egyenes mentén a "végtelenbe" (azaz precízen a P n pontsorozatnak nincsen torlódási pontja f-en), akkor lim n P n T éppen a T -re illeszked f-vel párhuzamos egyenes lesz. Ez magyarázza, hogy az F egyenest le kell zárni egy ideális ponttal, melyet a T -re illeszked f-vel párhuzamos egyenes reprezentál. Mivel, ha f, g S párhuzamos egyenesek, akkor az ideális pontjukat ugyanaz a T -re illeszked, velük párhuzamos egyenes reprezentálja, ezért párhuzamos egyenesekhez ugyanazt az ideális pontot fogjuk rendelni. Egy T -re illeszked egyenest pedig egy irányvektorával fogunk megadni (ez a vektor nem egyértelm, hiszen ha v egy egyenes irányvektora, akkor minden v λ, λ R is ugyanannak az egyenesnek irányvektora lesz). Hasonlóan ha adott egy f S egyenes, akkor hozzá az f-re és T -re illeszked S f,t síkot