Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1

Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt matematikai modelljei Információs gépek: bemenő adat: információ a környezettől kimenő adat: információ a környezet felé Kalman-féle rendszer modellbe illeszthetőség Formális nyelvek/2

Automaták és formális nyelvek - bevezetés Formális nyelvek: információ feldolgozás alapeszközei adathalmazok: véges sok jelből alkotott szavak szavak halmaza: nyelv nyelv: szabályok a szavak alkotására, feldolgozására Formális nyelvek/3

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Ábécé Szimbólumok (jelek) tetszőleges, nemüres, véges halmazát ábécének, az ábécét alkotó jeleket betűknek nevezzük. jel: alapfogalom ábécék halmazok, így alkalmazhatók rájuk a halmazműveletek Formális nyelvek/4

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szó Legyen adott egy tetszőleges ábécé. Ekkor az ábécé betűiből alkotott véges sorozatokat szavaknak, az adott ábécéből alkotott szavaknak nevezzük. Pl.: V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ábécéből származó szavak a tízes számrendszerben felírt számok. Formális nyelvek/5

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szó hossza A szó hossza alatt a szót alkotó jelek számát értjük. Jele: α szó hossza d(α) Def.: Üres szó Az egyetlen betűt sem tartalmazó sorozatot üres szónak nevezzük és ε-nal jelöljük. Természetesen d(ε)=0. Formális nyelvek/6

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szavak egyenlősége Két szó egyenlő, ha hosszuk megegyezik és a betűik páronként rendre megegyeznek. Legyen α és β két szó. α = β, ha d(α) = d(β) = n és a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b n. Formális nyelvek/7

Formális nyelvek - alapfogalmak Példa: Legyen V 1 = {0, 1} ábécé szavai: ε, 110100, 00 hosszuk: 0, 6, 2. Legyen V 2 = {if, then else, for to, do, begin, a, b, c} szavai: if a then b else c, for b to c do begin a hosszuk: 6, 7 Formális nyelvek/8

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szavak szorzása Legyen α és β két szó. α és β szorzatán (egyesítésén) azt az új szót értjük, ami úgy jön létre, hogy β-t leírjuk az α után. Az így kapott új szót az αβ jelöli. Ha α = a 1 a 2 a n és β = b 1 b 2 b m, akkor αβ = a 1 a 2 a n b 1 b 2 b m ha α V és β W, akkor αβ V W d(αβ) = d(α)+d(β) azaz d(αβ) = n+m Formális nyelvek/9

Formális nyelvek - alapfogalmak tetszőleges szóra igaz: εα = αε = α szavak szorzása asszociatív, de nem kommutatív Példa Formális nyelvek/10

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szavak hatványozása Ha α egy tetszőleges szó, akkor α 0 = ε, α 1 = α, illetve α n = α n-1 α, n=1, 2, 3, esetén. Def.: Szó tükörképe A szó tükörképének azt α -1 -gyel jelölt szót nevezzük, amely az α betűit fordított sorrendben tartalmazza, azaz α=a 1 a 2 a n esetén α -1 =a n a n-1 a 1. Formális nyelvek/11

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Szó kezdőszelete, végszelete, részszava Az α szó a β szónak kezdőszelete (prefixuma), ha létezik olyan γ szó, amelyre β = αγ. Az α szó a β szónak végszelete (szuffixuma), ha létezik olyan γ szó, amelyre β = γα. Az α szó a β szónak részszava, ha léteznek olyan µ és η szavak, amelyre β = µαη. Ha V egy tetszőleges ábécé, akkor a V-ből alkotott összes szavak halmazát jelöljük V * -gal. Formális nyelvek/12

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Formális nyelvek Egy adott ábécéből alkotott szavak tetszőleges halmazát formális nyelvnek nevezzük. Másképpen egy L halmazt pontosan akkor nevezünk formális nyelvnek, létezik olyan V L ábécé, melyre L V L*. Formális nyelvek/13

Formális nyelvek - alapfogalmak Példa: Legyen V={0, 1} ábécé, ekkor a V-ből alkotott formális nyelvek: az üres halmaz ; az üres szót tartalmazó egy elemű halmaz {ε}; a V * ; L 1 ={0, 00, 010, 1100} ; L 2 ={0 n 1 n : n 0} ; Formális nyelvek/14

Formális nyelvek - alapfogalmak az L 3 halmaz, amelyet az alábbiak szerint határozunk meg: 1. ε L 3 ; 2. ha α L 3, akkor 0α1 L 3 és 1α 0 L 3 ; 3. ha α L 3 és β L 3 akkor α β L 3 ; 4. L 3 -ben nincs más szó, csak azok, amik az 1.-3. szabályok véges sokszori alkalmazásával megkaphatunk. véges végtelen nyelvek Formális nyelvek/15

Formális nyelvek - alapfogalmak Műveletek nyelvekkel: Halmazelméleti műveletek L 1 L 2 = {ω : ω L 1 vagy ω L 2 } L 1 L 2 = {ω : ω L 1 és ω L 2 } L 1 - L 2 = {ω : ω L 1 és ω L 2 } L = V * -L, ahol V az L-hez tartozó ábécé. Formális nyelvek/16

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Formális nyelvek szorzása Legyen adott két nyelv L 1 és L 2, a hozzájuk tartozó ábécék pedig legyenek W 1 és W 2. Az L 1 és L 2 nyelvek L 1 L 2 szorzatán a következő W 1 W 2 ből alkotott nyelvet érjük: L 1 L 2 = {αβ : α L 1 és β L 2 } Példa L 1 = {0, 01}, L 2 = {1, 11} akkor L 1 L 2 = {01, 011, 0111} A szorzás ebben az esetben is asszociatív, de nem kommutatív. Formális nyelvek/17

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Formális nyelvek hatványozása Legyen L tetszőleges nyelv, V pedig a hozzá tartozó ábécé. Az L nyelv hatványait a következő módon határozzuk meg: L 0 = {ε} L 1 = L L n = L n-1 L, n = 1, 2, 3, Példa: Legyen L = {0, 1} Ekkor: L 2 = L L = {00, 01, 10, 11} L 3 = L 2 L = {000, 010, 100, 110, 001, 011, 101, 111} Formális nyelvek/18

Formális nyelvek - alapfogalmak Def.: Formális nyelv iteráltja Az L nyelv hatványainak egyesítését az L nyelv iteráltjának nevezzük L * -gal jelöljük: L = U n 0 L iteráltja tehát az L-beli szavak tetszőleges véges sok tényezőiből álló szorzatainak a halmaza. L n Formális nyelvek/19

Formális nyelvek - alapfogalmak Példa: Legyen L = {0, 01} Ekkor: L 2 = L L = {00, 001, 010, 0101} L 3 = L 2 L = {000, 0010, 0100, 01010, 0001, 00101, 01001, 010101} és az iterált L * = {0, 01, 00, 001, 010, 0101, 000, 0010, 0100, } Formális nyelvek/20

Formális nyelvek - Grammatikák Generatív grammatikák: élő nyelv: szavak sorozatáról a nyelvtan szabályai alapján döntjük el, hogy mondat-e formális nyelvek: szavak generálása struktúra hozzárendelése információ a matematikai informatika, programozási nyelvek, gépi fordítóprogramok, számítási módszerek modellezése Formális nyelvek/21

Formális nyelvek - Grammatikák Generatív grammatika elemei: Egy ábécé, melynek az elemei a terminális jelek. Ez az ábécé a grammatika kimenő ábécéje, mely a generált nyelvhez tartozik. Egy másik ábécé, melynek az elemei a nemterminális jelek. Ez egy segédeszköz, betűi nem szerepelnek a generált nyelv szavaiban. Egy kezdő szimbólum (rögzített nemterminális jel). Formális nyelvek/22

Formális nyelvek - Grammatikák A szavak alkotását megadó helyettesítési szabályok. Ezek terminális és nemterminális jelekből alkotott szavak rendezett párjai, melyekben az első tag legalább egy nemterminális jelet tartalmaz. Formális nyelvek/23

Formális nyelvek - Grammatikák Generálás folyamata kiindulunk a egy szóból, amely kezdetben egyetlen jelből, a kezdőszimbólumból áll; ezután a vizsgált szó valamelyik részszavát egy alkalmazható helyettesítési szabály alapján egy másik szóra cseréljük ki; az eljárás addig folytatjuk, amíg olyan szóhoz nem jutunk, amely csak terminális jelekből áll; a kapott szó eleme lesz a generált nyelvnek. Formális nyelvek/24

Formális nyelvek - Grammatikák Def.: Generatív grammatika Egy G generatív grammatikán a következő rendezett négyest értjük: ahol G = <V, W, S, P> V a terminális jelekből álló ábécé; W a nemterminális jelekből álló ábécé; S W a kezdőszimbólum; P = {< α, β >} szabályhalmaz. Formális nyelvek/25

Formális nyelvek - Grammatikák P olyan < α, β > rendezett pároknak a véges halmaza, melyeknél α és β a V W halmazból alkotott szavak, és α-nak legalább egy betűje nemterminális jel. P elemeit helyettesítési szabályoknak nevezzük, jelölési mód: α β azaz α szó helyettesíthető β szóval. Formális nyelvek/26

Formális nyelvek - Grammatikák Def.: Közvetlen levezethetőség A G = <V, W, S, P> grammatika alapján a µ szó közvetlenül levezethető az η szóból, ha µ,η (V W) *, és léteznek olyan γ,δ (V W) * szavak, valamint olyan α β szabály P-ben, amelyekre jelölése: η µ η = γαδ, µ = γβδ Formális nyelvek/27

Formális nyelvek - Grammatikák Def.: Levezethetőség Szavaknak egy ω 1, ω 2, ω n sorozatára azt mondjuk, hogy ez ω n nek ω 1 ből történő levezetése a G grammatika alapján, ha ω 1 ω 2 ω n. Ha létezik ez a levezetés akkor azt mondjuk, hogy ω n levezethető ω 1 ből a G grammatika alapján és a következőképpen jelöljük: ω 1 ω n A közvetlen levezetések száma adja meg a levezetés hosszát. Formális nyelvek/28

Formális nyelvek - Grammatikák A G = <V, W, S, P> grammatika generálja az α szót, ha α V * -nak és α levezethető S-ből, azaz S α. Azt mondjuk, hogy a G = <V, W, S, P> grammatika generálja az L V * nyelvet, ha L = {α : α V*, S α} Ebben az esetben L-re használjuk az L(G) jelölést. Formális nyelvek/29

Formális nyelvek - Grammatikák Két grammatikát, G -t és G -t akkor nevezünk ekvivalensnek, ha L(G )=L(G ). Példa Formális nyelvek/30

Formális nyelvek - Grammatikák Tétel Legyen adva egy G=<V, W, S, P> generatív grammatika és tegyük fel, hogy P-ben vannak olyan szabályok, amelyek a jobb oldali szavukban is tartalmazzák az S kezdőszimbólumot. Ekkor meg lehet adni olyan G grammatikát, amely ekvivalens lesz G-vel, és amelyben a helyettesítési szabályok jobb oldalán nem fordul elő a G kezdőszimbóluma. Formális nyelvek/31

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása Grammatikák csoportosítása : a helyettesítési szabályokra tett megkötések alapján 1. csoport: Az olyan generatív grammatikákat, amelyeknek a helyettesítési szabályaira semmiféle megszorítást nem teszünk, vagyis amelyekben a szabályok: αaβ ω alakúak, ahol α,β és ω terminális és nemterminális jelekből alkotott szavak, A pedig nemterminális jel, általános vagy 0-típusú grammatikáknak nevezzük. Formális nyelvek/32

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása 2. csoport: Azokat a G = <V, W, S, P> generatív grammatikákat, amelyeknek a helyettesítési szabályai: αaβ αωβ alakúak, ahol α,β,ω (V W) *, ω ε és A W, környezetfüggő vagy 1-típusú grammatikáknak nevezzük. Ilyen szabályok esetén az A szimbólum csak α- β környezet esetén helyettesíthető az ω szóval. Példa Formális nyelvek/33

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása 3. csoport: Azokat a G=<V, W, S, P> generatív grammatikákat, amelyeknek a helyettesítési szabályai: A ω alakúak, ahol A W, ω (V W) * és ω ε, környezetfüggetlen vagy 2-típusú grammatikáknak nevezzük. Példa Formális nyelvek/34

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása 4. csoport: Azokat a G=<V, W, S, P> generatív grammatikákat, amelyeknek minden helyettesítési szabálya: A ab vagy A a alakú, ahol A, B W, a V, reguláris vagy 3- típusú grammatikáknak nevezzük. Példa Formális nyelvek/35

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása Def.: Egy formális nyelvet akkor nevezünk regulárisnak (3-típusúnak), környezetfüggetlennek (2-típusúnak), környezetfüggőnek (1-típusúnak) vagy általánosnak (0-típusúnak), ha van olyan reguláris, környezetfüggetlen, környezetfüggő vagy általános típusú grammatika, amelyik ezt a nyelvet generálja. Formális nyelvek/36

Formális nyelvek Grammatikák csoportosítása Chomsky-féle hierarchia reguláris g. környezetfüggetlen g. környezetfüggő g. általános g. Formális nyelvek/37