\ Lássátok be, hogy a következő két összefüggés is heyes! ~ 2 P(EIJOBB) = 6P(EIKEZDO)+ 6P(EIJOBB)+ 6 0 + ö, + 6 P( E BAL)+ 6 P( E K ZEJ>);.., P( E KOZEP) = 6 + 6 P( E BAL)+ 6 P( E JOBB) + 6 O+ + ~P( E KÖZ ÉP). Jeöésünket tovább egyszerűsítve XI = P(E I KEZDŐ); x 3 = P(EI BAL); Írjuk fe ezekke a nyert egyeneteket! egyen x 2 = P(EI KÖZÉP); x = P(EIJOBB). 2 x = - x + - x + - + - x + - x 3 6 6 3 6 6 6 2 x 1 = 2 (x 3 + x ); 2 x = - x+ - x+ - x3+ - xz; 6 6 6 6 2 x 2 = - + - (x 3 +x )+ - x 2. 6 6 6 Az eső és a harmadik egyenet összeadásakor a második és a negyedik egyenet összeadásakor 230 adódik. Az utóbbit az eőzőbe heyettesítve nyerjük, hogy tehát A már emjített szimmetria miatt tehát " XI = P(EIKEZDO) =2. P(MI KEZDŐ) = P(EI KEZDŐ), P(M KEZDŐ)+ P( E KEZDŐ) = P(M) + P( E) =. Így P(a játék örökké tart) = O ehet csak. Négyzetjáték Egy négyzet négy csúcsát az ; 2; 3; számokka megszámoztuk. Ezen játszik egymássa Viágos és Söiét az aábbi szabáy szerint: Viágos kezd, majd fevátva dobnak kockáva; a soron következő játékos addig 2 dob kockáva, amíg az ; 2; 3; számok vaameyikét dobja. Ekkor egy saját (nevéve azonos sz ínű) bábuját az iyen számú csúcsra heyezi. Ha ott társa bábuja vot má r, akkor azt visszaadja. Ha saját bábu ja t. 3 vot ott, emmit nem tesz. (Minden csúcson egfejebb egy bábu ehet egyszerre.) Az nyer, aki egy odat eőbb efoga, azaz az oda mindkét végpontjára saját bábuját tudta erakni. Azt vizsgájuk, hogy miyen vaó zínüségge nyer a kezdő Viágos; nyer Sötét; tart örökké a játék. (Ez a három esemény tejes eseményrendszert a kot: egymást páronként kizárják, s közüük vaameyik biztosan bekövetkezik, ezért P( Viágos nyer) + P( Sötét nyer)+ P( örökké tart) = 1.) 231
Szeméetünkre támaszkodva ismét azt várjuk, hogy P(örökké tart) = O, tehát "a játék örökké tart", egy nua vaószínűségű, bár evben eképzehetö esemény. Ezt a szeméetes tényt akkor bizonyítjuk be ha megmutatjuk, hogy ' P( Viágos nyer)+ P( Sötét nyer) =. Eöször a P( Viágos nyer) vaószínűséget számítjuk ki. A kasszikus vaós~ínűsé.gszámítás eszámáási trükkjei most sem segítenek. A :.~hetse~es ktmeneteek" számbavéteéhez hasonóan fetérképezhetjuk, mtyen küönböző bábueheyezkedések ehetnek, amikor vaameyikjátékos éppen soron következík. Az iyen eheyezkedéseket a_játék áapotainak fogjuk nevezni. Azt is fetüntethetjük, hogy meytk á ~po~bó meyik áapotba, éspedig miyen vaószínűségge tudunk ejutni. Nem szeretnénk tú sok áapotta dogozni, ezért nem_ küönböztetjük meg azokat az áapotokat egymástó, ameyek eseten a soron következő játékos nyerési eséye szimmetriaokokbó nyivánvaóan azonos. Ezeket az áapotokat a háromszögjátékhoz hasonóan grafikusan is ábrázojuk, a köztük evő ehetséges átmeneteket nyiakka jeezzük, a nyiakra a megfeeő átmenetva ószínűségeket írjuk. A ~eh~~s~ges á.~potok~t két csoportba sorohatjuk aszerint, hogy meytk Jatekos kovetkeztk. Ennek megfeeöen jeöjük meg öket: ~.betű és. egy szá~ j~öi azokat az áapotokat, ameyekben Viágos kovetkeztk; S betu es egy szám azokat, ameyekben Sötét következik. A további szempont miyen bábuk vannak a tábán, és azo)c hogyan heyezkednek e. O bábu csak kezdetben ehet a tábán. Nevezzük ezt KEZDET áapotnak (ekkor Viágos következik). Ha egy bábu van a tábán, akkor annak a színe ugyanoyan, mint az utosó dobóé. Jeöjük ezt a két áapotot VI-gye! és SI-gye!. Tehát: 232 VI := egy sötét bábu van a tábán, és Viágos következik; SI := egy viágos bábu van a tábán, és Sötét következik. Ha két bábu van a tábán, akkor azok ehetnek: V2; S2 := egymássa szemközt, és küönbözö színűek; V3; S3 :=egymássa szemközt, és azonos színűek; V; S := viágos bábu sötét szomszédda. (V3 esetén mindkét bábu sötét; S3 esetén mindkettö viágos. Miért?) A két bábu bármey más eheyezkedése esetén vége a játéknak. Három bábu esetén csak akkor nem fejeződik be a játék, ha két azonos színű egymássa szemben van, s közöttük egy etérő színű. Ennek fee meg a következő két-két áapot: VS; SS: = a soron következő játékosnak egy bábuja van a tábán, ameyet két másik színű bábu fog közre; V6; S6: = a soron következő játékos két bábuja egy másik színűt fog közre. Végü négy bábu is ehet a tábán: V? ; S7: = két-két átósan eheyezkedő sötét és viágos bábu van a tábán. A 21. ábra segítségéve nyomon követhetjük, hogyan vátogathatják egymást az egyes áapotok, beeértve a végső áapotokat is, amikor vaameyik játékos nyer. Az egyes átmeneteket jező nyiakon fetüntettük az átmenetvaószínűségeket Természetesen be ke átni, hogy a 21. ábrába fogat áítások heyesek. Szimmetria miatt eég igazoni az ábra eső feét, tehát azokat az áapotokat, amikor Viágos következik. Ezek közü mi az e ső három áapotta fogakozunk. V I áapot: A tábán egy sötét bábu van, és Viágos következik. Három eset van: a) ugyanoyan számot dob, mint aho a bábu á; ez egyféekép pen következhet be, így vaószínűsége -, ekkor a sötét bábut viágosra cseréi ki tehát az SI áapot következik; 233
21 ábra A Négyzetj áték" foyamaábrája + jeentése Saé dabása után a játék J vaászinúségge befejezódik b) a négyzeten evő bábuva "szemközti" számot dobja; ennek a vaószínűsége is, s az új áapot S2; c) végü kétféeképpen dobhat szomszédos számot, így - vaószí- 2 nűségge kerü az S áapotba. V2 áapot: Egymássa szemközt eheyezett küönbözö színű bábuk vannak a tábán, és Viágos következik. Most is három eset van: a) dobhat ugyanoyan számot, mint aho saját bábuja van; ekkor a tába vátozatan marad, tehát az S2 áapot kö':'etkezik, s a megfeeő vaószínűség - ; b) dobhat oyan számot, mint aho partnere bábu ja á; ekkor két egymássa szemközt eheyezkedő viágos bábu esz a tábán, 23 tehát az S3 áapot következik, a megfeeő vaószínűség nyi-.. ' van 1smet - ; c) ha a másik két szám vaameyikét dobja, akkor egyik oda mindkét végpontjára viágos bábu kerü, tehát Viágos nyert; ez kétféeképpen következhet be, tehát a megfeeő vaószínü- 2 ség - = -. 2 V3 áapot: Két átósan eheyezkedő sötét bábu van, és Viágos következik. Vagy oyant dob, aho már á bábu, ekkor S2 következik, vagy oyant, aho nem á bábu, ekkor S6 következik. A kétfée átmenet egyenően vaószínű, tehát mindkét vaószínűség -.. 2 Gondojátok végig, hogy a másik négy áapotra vonatkozó áítások is igazak! A P( Viágos nyer) vaószínűség kiszámítását tűztük ki céu. Ehhez most egy kissé többet is ki ke számoni, nevezetesen meghatározzuk a P;= P( Viágos a V i áapotbó induva nyer) va ószínűségeket. A háromszögjátékhoz hasonóan egy egyenetrendszert áítunk fe. Eső épésként kiiktatjuk a vizsgáatunkbó az S áapotokat, hiszen Viágos csak akkor nyerhet, ha ö van soron. Ismét gyorsírá i jeöést vezetünk be: Vi-+ Vj: = Viágos a Vi áapotban dob, de nem nyert; így Sötét következik, az ö dobása után sem fejeződik be a játék; az új áapot Vj (i; j = ; 2;...; 7). Ugyancsak röviden azt mondjuk hogy "Vi-bő nyer", aheyett, hogy a tejes "Viágos a V i áapotbó induva nyer" mondatot ismétegetnénk. Bontsuk fö a "Vi-bő nyer" eseményt egymást kizáró események összegére: (Vi-bő nyer) = (Viágos rögtön nyer)+ + (V i-+ VI és VI-bő nyer)+ (V i-+ V2 és V2-bö nyer)+... + + (Vi-+ V7 és V7-bö nyer). 235
Mive a jobb odaon egymást kizáró események vannak, így vaószínűségeik összege a ba oda keresett Pi vaószínűségét adja meg. A foyamatábráró eovashatjuk, hogy a P( Viágos V i áapotbó rögtön nyer) vaószínűség VI és V3 esetén nua, küönben -. A többi esemény 2 vaószínűségének meghatározásához a fetétees vaószínűség fogamát hasznájuk fö. P( V i-... Vj és V}- bő nyer) = = P( V)- bő nyer/ V i-... Vj)P( V i-... Vj). Az itt szerepő fetétees vaószínűség nem függ a játék korábbi efoyásátó: Ha a Vj áapotban vagyunk, akkor a játék további efoyását egyátaán nem befoyásoja, hogyan jutottunk oda. Tehát P(Vj-bő1 nyer J Vi-... Vj) = P(Vj-bő 1 nyer)= Pi Ezze már ki is aakutak egyeneteink: p 1 = P(VI-bő rögtön nyer) +p 1 P(V1-...V1)+ + p 2 P(VI-... V2) +... + p 1 P(VI-... V7); p 2 = P( V2-bő 1 rögtön nyer) + p 1 P( V 2-... V ) + + p 2 P( V2-... V2) +... + p 1 P( V2-... V7); p 1 = P(V7-bő rögtön nyer)+p 1 P(V7-...V1)+ +P 2 P( V7.._. V2) +... +P? P( V7-... V7). A I je hasznáatáva: Pi = P( Vi-bő rögtön nyer) + I p i P( V i-... Vj). j = Az egyenetrendszerben szerepő együtthatókat a P (Vi-... V;) átmenetvaós zí nűségge adják meg. Ezek meghatározásához segít bennünket, ha a foyamatábrán fetérképezzük, hogy miyen közbüső S áapotokon keresztü juthatunk e Vi-bő Vj-be: 236 7 r>< 2 3 5 6 7 SI SI; S2 S2 SI; S S 2 - S2; S3 S2 - - S3-3 - S2 S2 - S6 - - - - - S S ss ss 5 - - - - S6 - S7 6 - - - - - ss ss 7 - - - - - - S7 Ha nincs oyan S áapot, meyen keresztü Vi-~ő Vj-be ju_tn~n~, akkor nyivánvaóan P( V i-... V;)= O. A nem nua atmenetvaoszmuségek közü kettőt meghatározunk: P( VI -... VI)= = P( V még egyszer sorra kerü a VI áapotbanis az SI áapotban. vot) P(a V I áapotot az SI áapot követi) = = 16 P( VI-... V2) = P( VI-... V2 és VI-et SI követi)+ + P( VI-... V2 és VI-et S2 követi) = = P( VI-... V2/VI-et SI követi)p(vj-et SI követi)+ + P( VI-... V2 JV-et S2 követi)p( V -et S2 követi) = = P(S-et VI követi)p(v-et SJ követi) + + P(S2-t VI követi)p(v-et S2 követi) = +. = 8 Ugyanígy ehet meghatározni a többi átmenetvaószínűséget is: P( V1-...V3) = P(V2-...V3) = P(V-...V) = P(V-...V5) = = P(V-...V6) = P(V-...V7) = 16; P( VI-... V 5) = P( J>Q-... V6) = P( V3.._. V2) = P( V3... V3) = = P( V 5-... V 5) = P( V 5-... V7) = P( V 6-... V 6) = P( V 6.._. V7) = 8 ; 3 P(V2-... V2) = 16 ; 237
P( V!-+ V) = P(V3-+ VS) = P(V7-+ V7) = -. Eenőrizzetek ezek közü néhányat! Az á tmenetvaószínűségek számszerű értékeinek ismeretében már feírhatjuk a hétismeretenes egyenetrendszert Pt = 0+ - pt + - pz + - p3+ - p + - ps+ O+ O; 16 8 16 8 3 P 2 = - + 0+ - p 2 + - p 3 + 0+0 + - p + O 1 2 16 16 8 6 ' P3 = 0+0+ 8 Pz +8 P3 +0 + Ps + 0 + 0; P = - + 0 + 0 + 0 + - p + - p + - p + - p. 5 6 7 2 16 16 16 16 ' Ps= - + 0 + 0 + 0 + 0 + - p 5 + 0 + - p 7 ; 2 8 8 p 6 = - + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + - p 6 + - p 7 ; 2 8 8 p 7 =2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + p 7. Egyenetrendszerünket "háturó" kezdve odhatjuk meg eggyorsabban: 2 2 P 6 = 2 + 8 P 6+ 8. 3 <=> P 6 = 3; 2 2 P = 2+ 16 P +3 ' 16. 3<=> P = 3. Eddig egyszerű visszaheyettesítéssei céhoz jutottunk. p 2 és p 3 értékét egy kétismereenes egyenetrendszer adja: E enőrizzétek. 7 3 P = 12 + 16P2 + 16p3; P3 =6+ 8P2+ 8P3 hogy ennek a megodása: 8 P3 = 27. V ég ü ismét visszaheyettesítéssei adódik p 1 : 15 20 8 2 2 52 16 P t = 8. 27 + 16. 27 +. 3+ 8. 3<=> Pt = 135 ' Most már könnyen váaszohatunk az eredeti kérdésre: P( Viágos nyer) = = P( Viágos másodszorra VI-be kerü és nyer) + +P( Viágos másodszorra V2-be kerü és nyer) + +P( Viágos másodszorra V -be kerü és nyer) = = P( Vi-bő nyer 1 másodszor VI-be kerü) P( SI-bő Vi-be kerü)+ + P( V2 - bő nyer J másodszor V2-be kerü) P( SI-bő V2-be kerü)+ + P( V -bő nyer 1 másodszor V -be kerü) P( SI-bő V -be kerü) = = P(VI-bő nyer) P(SI-bő VI-be kerü)+ +P( V2-bő nyer) P( SI-bő V2-be kerü)+ + P(V-bői nyer) P(SI-bő V-be kerü) =?1R 239
52 20 2 83 =p - +p 2 - +p - = - - + - - + - - = -. 2 135 27 3 2 135 Hasonítsátok össze ezt az eredményt a tippetekke Szeretnénk tudni, hogy a játék tényeg csak nua vaószínűségge tarthat-e örökké. Ehhez a P(Sötét nyer) vaószínűséget ke meghatározni. Szimmetria miatt így tehát P(Sötét nyer) P(Viágos VI-bő nyer) = p 1 52 135, 83 52 P( Viágos nyer)+ P( Sötét nyer) = - + - =, - 135 135 P(a játék örökké tart) = O. A keresett vaószínűséget assan, több odanyi terjedeemben tudtuk csak meghatározni. Iyen esetekben cészerű a vaószínűségek pontos kiszámítása heyett azok közeítő értékeit megadni. A jó közeítés eszköze ehet a számítógépes szimuáás. (A atin eredetű szimuáás szó a tudományokban a következő érteemben hasznáatos: "vaamiyen rendszer vagy jeenség várható aakuásának számbavétee matematikai mode segitségéve.") Ennek során a.,négyzetjáték"-ot a számítógépbe épített véeten zám-generátor segítségéve nagyon sokszor ejátszhatjuk, s megfigyehetjük, hogy hányszor nyertek a játéko ok. Egy iyen programot megadunk a HT- 1080 Z számítógépre (. program). A program tartamaz egy késetetési paramétert (U-t). Az U= 600 váasztás meett a játékok efoyása a képernyőn foyamatosan nyomon követhető. Nagyszámú játszma esetén az U= O váasztás a cészerű. A játszmák száma (./) a program másik paramétere. Efogadható becséshez J-t egaább 500-nak ke váasztani. A futás végén a reatív gyakoriságok és az átagos épésszámok is megjeennek a képernyőn. 20 10 CLS 1 u ~ 6oo 15 PRINT 160, "U="i:NPUT U 20 GOSUB 30 30 PRINTI 2 ~0, "JATSZKAK SZAKA = " ;: INPUT J 0 r ar 1=1 TO J 50 RE" ===== UJ JATEK JON a::a::am= 60 C< =O: C(2=O:C <3 OIC < O N O 70 r ar Z= TO U1NEXT ZIPRINTIBOO,;"- IK JATSZKA JON" BO GOSUB 30 : ror Z= TO U:NEXT Z 90 PRINT 656," 1. JA TEKOS JON" 100 R= RND < : N=N+ 110 C< R 120 GOSUB 30 130 H R+I : IF H=5 THEN H 10 Ir C( H= THEN 280 150 K=R- 1 : Ir K=O THEN K= 160 Ir C(K= THEN 290 170 r ar Z= TO U1NEXT Z 190 PRINT 656,"2. JATEKOS JON" 1~0 R=RND < : N=N+I 200 C<R =2 2 10 GOSUB 30 215 rar Z= TO U : NEXT Z 220 H=R+I : Ir H=5 THEN H= 230 Ir C< H=2 THEN 2 ~0 20 K= R- 1 : Ir K=O THEN K= 250 I r C( K=2 THEN 2 ~0 260 GOTO ~O 270 r ar Z= TO 20001NEX T Z 290 PRINTI51 2, " Z t. JATEKOS NYERT";N1" LEPESBEN":E E+1L L+NIGOT0300 2~0 PRINTI 51 2, " Z 2. JATEKOS NYER T"tNr" LEPESBEN"1K K+I1L L+N 300 NEXT 310 PRINT "RELATIY GYAKORISASOK t. "1EIJ1" 2.";"/J 320 PRINT "ATLAGOS LEPESSZA" "1 L/J 330 END 30 PRINT O,C ( I PRINT 11B, C<2 3,0 PRINTI39,C ( PRINTI02,C<3 360 RETURN o o U? 100 AZ t. JATEKOS NYERT 3 LEPESBEN RE LATIY GYAKOR I SASOK :.. 2 6 ALAGOS LEPESSZA" :. RE ADY 21