VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. A vektorokat rajzban nyíllal jelöljük. Írásban a jelölés lehet : a, AB A vektorok nagyon fontos matematikai fogalmak a fizikában, hiszen képesek az olyan mennyiségek leírására, amelyeknek a nagyságuk mellett az irányuk is fontos. Ilyen mennyiség pl.: a sebesség. A sebesség esetében egyértelmű, hogy nem csak az fontos, hogy a test mekkora sebességgel mozog, hanem az is, hogy milyen irányban. Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek esetében a számérték (nagyság) mellett a mennyiség iránya is fontos, vektormennyiségnek nevezzük. Megjegyzések: 1
A vektort meghatározó irányított szakasz hossza a vektor abszolútértéke. (A vektort reprezentáló szakasz hossza) Jelölés: A B, a Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok egyenesei párhuzamosak. Két vektor egyirányú, ha párhuzamosak és ugyanabba az irányba mutatnak. Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak. Ha két vektor egyenlő abszolútértékű (egyenlő nagyságú) és ellentétes irányú, akkor a két vektor egymás ellentettje. Jelölés: a vektor ellentettje a Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolútértékük egyenlő. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük VEKTOROK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN A derékszögű koordináta-rendszerben lehetőségünk van arra, hogy a vektorokat ne csak az őket reprezentáló irányított szakasz lerajzolásával adjuk meg, hanem számokkal, koordinátákkal jellemezzük. A derékszögű koordináta-rendszerben célszerű minden egyes vektort az origó kezdőpontú reprezentánsával szemléltetni, ugyanis így az origó kezdőpontú irányított szakasz végpontjának koordinátái egyértelműen megadják a vektort. 2
A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátái megegyeznek az origó kezdőpontú szakasz végpontjának koordinátáival. Jelölés: a (a1;a2) A derékszögű koordináta-rendszerben egy pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. A sík egy pontjának és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek. VEKTORMŰVELETEK VEKTOROK ÖSSZEADÁSA Rajzban: két vektort a háromszög - szabály vagy a palalelogramma szabály szerint összegezhetünk. Koordináták segítségével: Az egyes vektorok összegének koordinátáit az összeadandó vektorok megfelelő koordinátáinak az összege adja meg. x ; y a b( x x ; y ) a( x1; y1), b 2 2 1 2 1 y2 ű 3
Feladat: Határozzuk meg az a(4;-1) és b(2;3) vektorok összegvektorának koordinátáit. Ábrázoljuk a vektorokat koordináta rendszerben. VEKTOROK KÜLÖNBSÉGE Az a és b vektorok különbsége (jelölés: a-b) az a+(-b) vektor. Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. Vektorok különbségének koordinátai: x ; y a b( x x ; y ) a ( x1; y1) b 2 2 1 2 1 y2 A különbségvektor koordinátáit az a és b vektorok összetartozó koordinátáinak különbségei adják. Feladat: Legyenek adottak A(2;5) és B(-3;4) pontok. Határozzuk meg AB vektor koordinátáit! Ábrázoljuk koordinátarendszerben a feladatot! VEKTOR SZORZÁSA SZÁMMAL Amikor vektorok és számok együtt szerepelnek, akkor a számot skalár mennyiségnek, röviden skalárnak nevezzük. Adott egy a vektor és egy λ (λ ε R) szám. A λa vektor abszolutértéke λ a, egyállású a-val és iránya: ha a = 0, akkor λa = 0. Ha a 0, akkor: ha 0 < λ, akkor az a iránya, ha λ < 0, akkor az a irányával ellentétes, ha λ = 0, akkor a λa = 0. 4
Ha λ <1, akkor az a kicsinyítéséről beszélünk, ha λ >1, akkor pedig a nagyításáról. Egy vektor skalárszorosának koordinátái az eredeti vektor koordinátáinak skalárral történő szorzatával egyenlő. a( x1; y1), a( x1; y1) Feladat: Határozzuk meg a c vektor koordinátáit, ha c=-3a+7b, és a(-1;2) és b(4;1). GYAKORLÓ FELADATOK 1. Rajzoljon egy szabályos hatszöget! Ezen hatszögben határozza meg az alábbi vektorokat: a) AB+BC b) EF+ED c) FA+AD d) EF+DE 2. Rajzoljon egy paralelogrammát! Határozza meg az alábbi vektorokat: a) AB-AD b) DC-CB c) CD-CB d) DC-BC 3. Vegyen fel egy tetszőleges a és egy vele nem párhuzamos b vektort, majd adja meg rajzban a következő vektorokat: a)2a b)-2a c)a+b d)2(a+b) e)a-b f)2a-3b 4. Adottak d(3;4) és e(3;1) helyvektorok. Adja meg a d+e; d-e; 2d+e vektorok koordinátáit! Ábrázolja a vektorokat koordináta rendszerben! 5. Számolja ki az előző feladatban szereplő összes vektor hosszát (abszolút értékét)! 5
6. Adja meg az a+b vektor abszolút értékét, ha a(-1, 5) és b(2, 3). 7. Az c helyvektor hossza 5 egység. Adjuk meg b helyvektor koordinátáit, ha tudjuk, hogy a(3;0), és a+b=c. 8. Egy túrázó 5 km-t halad északi irányba, majd keletnek fordul és még 8 km-t megy. Mekkora távolságot tett meg összesen? Milyen messze jutott a kiindulási ponttól? 9. Adott A(1,2) és B(8,6) pontok által meghatározott szakasz. Mekkora a szakasz hossza? 10. Adott ABC háromszög {A(0,0), B(5,0), C(5, 8)}. Számítsa ki a háromszög kerületét és területét! 6