KOMPLE FELADATOK Egy probléma, többféle kifutással 4.2 Alapfeladat Egy probléma, többféle kifutással 2. feladatcsomag a szövegértés fejlesztése és az értelmezés mélyítése matematikai modellek keresése és alkalmazása a logikai vagy értelmezése (különféle megfogalmazásban), összekapcsolása halmazok egyesítésel A feladatok listája 1. Azt hiszed, hogy mindent értesz? (modellalkotás, szövegértés) 2. Csönget a postás (modellalkotás, modellhasználat, szövegértés) Ajánlás A csomagban leírt két feladatcsokor egy-egy problémából indul. Az első egy szöveges feladat értelmezését járja körül, mégpedig úgy, hogy a szavak jelentésétől, a kimondott és a félig rejtett információk kiemelésén át, a feltétel szerepének mérlegeléséig is eljutunk. A második probléma egyszerűnek tűnő szöveges feladat, amelyről kiderül, hogy nem tartalmaz egy olyan feltételt, amit legtöbbször kimondatlanul hozzá szoktunk érteni. Ennek a pontos értelmezéséhez keresünk és kínálunk többféle modellt, másrészt innen kiindulva többféle megközelítésben járulunk hozzá a logikai vagy értelmezéséhez. Megoldások, megjegyzések 1. Azt hiszed, hogy mindent értesz? 1. a) A szöveg elolvasása után igen fontos a szereplő kifejezések pontos értelmezése (esetleg a kiemelteken kívül is). A karton szót legtöbbször kartonpapírként értik, ebből Fejlesztő matematika 1
KOMPLE FELADATOK Egy probléma, többféle kifutással 4.2 is adódhat, hogy érthetetlen a 6 méter kifejezéssel való összekapcsolása. A 6 m hosszúság becslése és (közelítő) kimérése szükséges ahhoz, hogy elképzelhessék, mire szeretné Kata néni felhasználni. De a kelme hosszúságának ismerete mellett a szélességét is fontos tudni ahhoz, hogy dönthessünk arról, mire lesz ez elég. b) A 3 ezres nem elég, ezért kellett még egy ötszázast is kikészíteni, de 3500 Ft-ból kikerül a 6 m anyag ára. c) A felsoroltak közül nem lehet a fizetendő összeg az áthúzott: 3000, 3500, 3300, 2400, 3233, 3420, 3009, 3024, 3060, 3150, 3450, 3498. 3000 azért nem, mert akkor nem kellett volna az 500-as. A 2400 még 3000-nél is kevesebb. A 3500, 3233 és 3009 nem oszthatók 6-tal, tehát nincs olyan egész forintos méter-ár, amelynek kerekítés nélkül ez 6-szorosa lenne. A felsoroltak közül a legkisebb lehetséges ár a 3024, a legnagyobb a 3498. d) 6 méter ára: 3000 < 6 < 3500 1 méter ára: 500 < < 584 2. Így a 6 méter ára 3500 Ft és 3600 Ft közé esne, de lehetne pontosan 3600 Ft is. 1 méter ára pedig 583 Ft-nál több, de 600 Ft-nál nem több (600, vagy annál kevesebb) lenne: 6 méter ára: 3500 < 6 3600 1 méter ára: 583 < 600 2. Csönget a postás 1. a) Elsős szintű feladatnak gondolja, akinek nem jut az eszébe, hogy vihetett a postás valahova pénzt is és ajánlott levelet is. b) A rizsszemek ráirányíthatják a figyelmet a többféle lehetőségre. c) A felsoroltak közül 8 szám lehetséges: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 2 Fejlesztő matematika
KOMPLE FELADATOK Egy probléma, többféle kifutással 4.2 Minél több helyre vitt pénzt és ajánlott levelet is, annál kevesebb olyan hely van, ahova csak ajánlott levelet vitt. Például: P P Ha 3 helyre mindkettőt vitt, akkor 4 helyre csak ajánlott levelet, és 22 helyre kellett csöngetnie. Ha 5 helyre vitt pénzt és ajánlott levelet, akkor 2 helyre csak levelet. Így 20 helyre csengetett. d) A papírcsíkok csúsztatásával modellezett megoldásban jól leolvasható a 4, 1, 0, 3 ház, ahova csak ajánlott levél érkezett, ennyi ház van a 18 pénzes helyen kívül, és így a postás 22, 19, 18, 21 háznál csengetett. Ha a közös helyek számát írjuk a keretbe, akkor a csengetések száma: 18 + 7. Így érjük el, hogy ne számítsuk kétszer a közös helyeket. 2. Tíz 5-tel osztható és tizenhat 3-mal osztható szám van 1-től 50-ig. 5-tel vagy 3-mal osztható mégsem 26 van, hanem csak 23, mert a 15, 30, 45 mindkét számmal osztható, ezeket nem kell kétszer számításba venni. 3. Azok a számok, amelyek nem oszthatók sem 5-tel, sem 3-mal, a körön és a téglalapon kívül vannak. Ezek száma 50 23 = 27. 4. a) 5-tel és 3-mal osztható. b) 3-mal nem osztható. c) 3-mal osztható, vagy 5-tel nem. Fejlesztő matematika 3
KOMPLE FELADATOK Egy probléma, többféle kifutással 4.2 d) Nem osztható 5-tel és 3-mal is. (Nem osztható mindkettővel.) 5. Azon felül, hogy a tulajdonságokat az egyedi dobások szerint értelmezik a gyerekek (igaz-e a tulajdonság az adott számpárra), az igaz valamelyik kifejezést is tanulják azonosítani a logika megengedő vagy tartalmával. Azzal, hogy akár csak az egyik, akár mindkét tulajdonság igaz, igaz az ily módon összetett tulajdonság is. Tapasztalatot szereznek valószínűségekről, és megfigyelhetik azt is, hogy néhány tulajdonságpár esetén mindig léphetnek. Ilyen az 1. 3., a 2. 4., a 3. 10. és az 5. 10. pár, amelyek egymást a lehetséges összes esetre egészítik ki. Majdnem ilyen a 7. 9. pár is, mert valamelyik szinte mindig bekövetkezik (csak a 2, 5 dobása esetén nem), de itt több esetben igaz lesz mindkettő tulajdonság. (Például 1, 2; 1, 3; 2, 4; 3, 3; 5, 5; dobások esetében.) A játék kiegészíthető további tulajdonságokkal, akár a tanár, akár a gyerekek ötletei szerint. Más kifutása a játéknak, ha a szabályt cseréljük le. Új szabály lehet: Akkor léphetsz, ha az egyik tulajdonság igaz, a másik hamis. ha mindkét állítás igaz. ha hamis valamelyik. ha nem mindkettő hamis. 4 Fejlesztő matematika
KOMPLE FELADATOK 1. Azt hiszed, hogy mindent értesz? 1. Olvassátok el a következő szöveges feladatot, de ne azonnal a megoldásán kezdjetek el gondolkodni, hanem vizsgáljátok meg a szavakat, mit értetek rajtuk! Kata néni a méteráruboltba ment vásárolni. Kiválasztott egy szép színes kartont, és 6 métert kért belőle. A blokkal a pénztárhoz érve kikészített három ezerforintost és egy ötszázast. Mennyibe kerülhetett a karton métere? a) Beszéljétek meg, ki mit ért a következő szavakon! méteráru (Miféle termékek ezek? Mit lehet kapni egy ilyen üzletben? Vajon miért nevezik így ezt a boltot? Te hogy neveznéd?...) karton (Volt-e már dolgod kartonnal? Te is a méteráruboltban keresnéd? Mit jelent, hogy színes a karton?...) 6 méter (Mutasd meg, hogy mekkora az? Mit jelent, hogy a kartonból 6 méter? Kiterítve elférne ez az asztalon? A teremben? A folyosón? Kellene-e még valamit tudni róla, hogy dönthessetek? Vajon mire használható ennyi karton?...) a karton métere (Hogy mondanád másképpen?...) Miért így szól a kérdés: Mennyibe kerülhetett...? b) Mire lehet következtetni abból, hogy milyen címletű pénzt készített elő Kata néni? Lehet-e tudni valamit arról, hogy mennyit kellett fizetnie a vásárolt áruért? Beszéljétek meg! Írd le a füzetedben szavakkal röviden! Fejlesztő matematika 5
KOMPLE FELADATOK c) Hány forintba kerülhetett a 6 méter karton? Húzd át a következő számok közül azokat, ahány forint biztosan nem állhatott a blokkon fizetendő öszszegként! 3000, 3500, 3300, 2400, 3233, 3420, 3009, 3024, 3060, 3150, 3450, 3498 Magyarázzátok meg egymásnak döntéseteket! (Indokoljátok is, melyik szám miért nem felel meg!) A felsoroltak közül melyik a legkisebb lehetséges összeg, és melyik a legnagyobb? Húzd alá! Jelöld egy ilyen számegyenesen azt a leghosszabb szakaszt, amelyen a lehetséges fizetendő összegek vannak! d) Hány forintba kerülhetett a karton métere? Jelöld az 1 méter karton árát kerettel, és írd le azt a nyitott mondatot, amely a 6 méter karton lehetséges árát kifejezi!... < 6 <... Mennyibe kerülhetett tehát 1 méter karton?... < <... Válaszd meg a számegyenes szakaszát, amelyen jól kijelölhető az 1 méter karton lehetséges ára! 2. Hogy változna az előző feladat megoldása, ha még 1 százast is kikészített volna Kata néni? 6 Fejlesztő matematika
KOMPLE FELADATOK 2. Csönget a postás 1. Az utcánkban tegnap 7 helyre vitt ajánlott levelet a postás, és 18 helyre pénzt. Csak ezekbe a házakba kellett becsengetnie (a nem ajánlott leveleket a levélszekrénybe bedobta, és nem csengetett). Hány házba csöngetett be a postás az utcánkban? a) Húzd alá kék színessel azokat a szavakat, amiket nem biztos, hogy jól értesz, aztán beszéljétek meg ezeket! Húzd át grafittal azokat a szavakat, amelyek nem fontosak a kérdés eldöntéséhez! Írd ki azokat az adatokat, amelyek lényeges információt tartalmaznak!...... b) Feri azt mondta, hogy 7 + 18 a válasz. Mit feltételezett Feri, amikor így adott feleletet? P betűvel jelöltük az utca házai közül azokat, amelyekbe pénz érkezett: Hova érkezhetett ajánlott levél (A)? 7 rizsszemet ejts rá egyszerre az utca rajzára! Amelyik házhoz a legközelebb van egy-egy szem, ezt válasszuk ki az ajánlott levelek számára! (Ha egy házat több rizsszem is kiválasztott, akkor azt a szemet ejtsd le újra!) Jelöld a házakat színessel! Hány helyre csengetett így a postás?... Fejlesztő matematika 7
KOMPLE FELADATOK c) Ezen a rajzon pöttyökkel jelöltük az utcánk házait. Körülkerítettük azokat, ahova pénzt hozott a postás. Színessel keríts körül 7 a rizsszemek által kijelölt házat, ahova ajánlott levél érkezhetett! Lehet-e, hogy 22 helyre kellett becsengetnie a postásnak? Hát 18 helyre? És 27 helyre? Válaszd ki a következő számok közül azokat, ahány helyre valóban becsengethetett: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 Fejezd be a rajzot még kétféle lehetőség szerint! Így... helyre kellett becsengetnie. Így... helyre kellett becsengetnie. 8 Fejlesztő matematika
KOMPLE FELADATOK d) Egy papírcsíkon egymás mellé rendeztük azokat a házakat, ahova pénzt hozott a postás. Egy másikon azokat rendeztük egymás mellé, ahova ajánlott levél érkezett. Ezt a két papírcsíkot csúsztathatjuk egymáson. Amely házak egymásra kerülnek, azok ugyanazt a házat jelentik. Olvasd le, hogy az egyes esetekben hány helyre csengetett a postás! Ebbe a keretbe: azt a számot írom be, ahány helyre pénzt és ajánlott levelet is hozott a postás. Írd le a keret felhasználásával, hogy hány helyre kellett becsöngetnie! 18 +... Fejlesztő matematika 9
KOMPLE FELADATOK 2. Egy elképzelt utcasoron 1-től 50-ig vannak számozva a házak. Te csengess be oda, ahol a házszám osztható 5-tel vagy 3-mal! Hány helyre kell becsengetned? Hány 5-tel osztható szám van 1-től 50-ig?... Hány 3-mal osztható szám van 1-től 50-ig?... Lehet, hogy e két szám összege a válasz a kérdésre? A piros karikán belül helyezd el az összes házszámot, amely osztható 5-tel! (Mik kerülnek a piros karikán kívül?)... A kék téglalapba írd az összes 3-mal osztható számot! Vigyázz, hogy a piros karika szerint se rontsd el a válogatást! Színezd be halványan azoknak a házszámoknak a helyét, ahol csengetned kell! Több vagy kevesebb helyre csengetsz, mint az 5-tel osztható és a 3-mal osztható számok összege? Menynyivel? Magyarázd meg társadnak a tapasztalatodat! 10 Fejlesztő matematika
KOMPLE FELADATOK 3. Hogy változik az előző feladat, ha most oda kell becsengetned, amely házszám nem osztható 3-mal és 5-tel sem? (Keresd meg az előző rajzon ezeknek a házszámoknak a helyét!) 4. A 2. feladatban elkészített rajzon sötétítettük azoknak a házszámoknak a helyét, ahova egy-egy alkalommal becsöngetett a postás. Írd alájuk, hogy milyen tulajdonságú házszámokat választott ezekben az esetekben! a) b)............ c) d)............ Vizsgáld meg mindegyik esetben, hogy a sötétített részbe tartozó számok mindegyikére igaz-e a leírt tulajdonság, és a fehér rész számai közül egy sem rendelkezik-e ezzel a tulajdonsággal! Fejlesztő matematika 11
KOMPLE FELADATOK 8 10. 5. Játék 2 kockával és 10 tulajdonság-kártyával 7 lépéses játékpályán léphettek egy-egy bábuval. Vegyétek elő a számkártyákat 1-től 10-ig! Mindenki két számot húz az összekevert számkártyák közül, és az ilyen sorszámú két tulajdonság-kártyával játszik egy menetben. Egyszerre dobjatok a két dobókockával addig, amíg valaki célba nem ér. Egy-egy kidobott számpárról mindenkinek el kell döntenie, hogy a kapott két tulajdonság igaz-e rá. Akkor léphetsz egyet a játékpályán, ha igaz valamelyik tulajdonság. Egy menet után húzhattok újra két tulajdonságot. Tulajdonságkártyák 1. Mindkét szám páros. 2. Mindkét szám páratlan. 3. Páratlan valamelyik szám. 4. A két szám szorzata páros. 5. A két szám összege páratlan. 6. A két szám összege 3-mal osztható. 7. Az egyik szám a másik többszöröse. 8. Összegük nagyobb 7-nél. 9. Különbségük kisebb 3-nál. 10. A két szám különbsége páros. 12 Fejlesztő matematika