egyenletek Jó, hogy itt vagytok! titeket vártalak. Hadd találjam ki, hol vagyunk! Kínában. Jól gondolod. Az évben vagyunk, a Hova vezet minket?

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "egyenletek Jó, hogy itt vagytok! titeket vártalak. Hadd találjam ki, hol vagyunk! Kínában. Jól gondolod. Az 1400. évben vagyunk, a Hova vezet minket?"

Erik Bogdán
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 egyenletek és egyenlôtlenségek Jó, hogy itt vagytok! titeket vártalak. Hadd találjam ki, hol vagyunk! Kínában. Egyenesen a császárhoz. ezt a tudást át kell ültetnetek a matematikába. Te nem hiszed ezt el? tankonyv_teljes jav_09_22.indd 189 Jól gondolod. Az évben vagyunk, a Ming dinasztia idején. Hova vezet minket? Feltárom nektek a bölcs uralkodás titkát. És mi a közös az uralkodásban és a matematikában? A SZÁMOKRA IS IGAZ LENNE AZ EGYENSÚLY? mindennek egyensúlyban kell lennie Még a számoknak is. PEDIG IGAZ! ÁÁÁÁ... 11/10/7 1:27 PM

évben vagyunk, a Ming dinasztia idején. Hova vezet minket? Feltárom nektek a bölcs uralkodás titkát.

2 régen és most Az ókori emberek szövegesen írták fel a problémákat, és azokat fejtették meg. Régen a matematikai problémák megoldásakor általában nem írták le sem az összefüggéseket, sem a megoldás lépéseit. Ebből arra következtetünk, hogy találgatással oldották meg őket. Találtam egy követ, aminek nem tudtam a tömegét. Amikor azonban hozzáadtam az egyhetedét és az egészhez még az egytizennegyedét is, pontosan egy mina tömegű volt. Kr. e körül. A kínaiak ismerték a kapcsolatokat a különböző mennyiségek között, és a végeredményt a megfelelő csökkentéssel vagy növeléssel számolták ki. Az egyiptomiak gyakran szándékosan, de átgondoltan használtak helytelen megoldást, majd azt helyesre kijavították. Ennek az eljárásnak a neve regula falsi. Száz kenyércipót igazságosan ossz el tíz ember közt úgy, hogy a köztük levő csónakos, eladó és őr a többiekhez képest kétszeres mennyiséget kapjon. Rhind papirus 190 Egy hold jó minőségű föld 300 aranyba kerül, hét hold gyenge minőségű pedig 500 aranyba. Mennyi jó és mennyi gyenge földet vett a földműves, ha 100 holdért aranyat fizetett? Az egyiptomiak használtak néhány jeltípust az egyenlőség, egyenlőtlenség kifejezésére:

Találtam egy követ, aminek nem tudtam a tömegét. Amikor azonban hozzáadtam az egyhetedét és az egészhez még az egytizennegyedét is, pontosan egy mina tömegű volt. Kr. e. 1800 körül.

3 egyenletek és egyenlôtlenségek 1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. Egyenletek Az = (egyenlo ség) jelet a mai értelemben elo ször 1557-ben használták. 3. egyenlôtlenségek anna és Bence próbára teszi tudását A < (kisebb) és > (nagyobb) jeleket elo ször egy angol matematikus, Thomas Harriot ( ) használta, azonban a gyakorlatban még sokáig használatosak és jelek is. voltak a Londonban a Hyde parkban van a Speakers Corner (Szónoksarok), ahol bárki szinte bármit hangosan kimondhat. A vélemény kimondása leheto ség az egyensúly megteremtésére. A mérleg állása, az egyensúly, illetve a billenés jól mutatják az egyenlo séget, illetve az egyenlo tlenséget. Az egyenlo ség és egyenlo tlenség fogalmát kifejezo szavakkal a sportban is gyakran találkozunk. A maratoni táv pontosan méter hosszú. tankonyv_teljes jav_09_22.indd 191 A mai meccsen eggyel kevesebb gólt lo ttem, mint a tegnapin. Csak egy körrel rontott többet az ellenfelem, mint én. Nyertem! /10/7 1:27 PM

használatosak és jelek is. voltak a Londonban a Hyde parkban van a Speakers Corner (Szónoksarok), ahol bárki szinte bármit hangosan kimondhat.

4 1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK Megtanulod, hogy: mit nevezünk állításnak, mi a nyitott mondat, hogyan írjuk le az állításokat és a nyitott mondatokat. A család tagjai arról beszélgettek, hogy ki milyen kövér. Anya és Márta néni nem akarták megmondani, hogy hány kilósak, apa pedig azt állította, hogy ô 85 kg. Mindenki kivéve anyát és Márta nénit megmérte magát. Anna pedig ezt jegyezte fel: A nagymama 78 kg, apa 87 kg, Panni (a nôvérem) 56 kg, Tóni bácsi 82 kg, Marci (az unokatestvérem) 67 kg, én 42 kg. gondolkozz! Mit mondhatnál apa állításáról? A matematikában azokat a kijelentéseket, amikrôl el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis, állításoknak nevezzük. Tudjuk, hogy azok az állítások, amiket Anna lejegyzett, igaz állítások. Ô ugyanis a mérések eredményét írta le. A nagymama 78 kg. Panni 56 kg. stb. Apa állítása: Én 85 kg-os vagyok. hamis, mert a mérleg 87 kg-ot mutatott. Anya és Márta néni nem mondták meg a tömegüket, és nem is mérték meg magukat. Ezért Anna ezt tudta feljegyezni: Anya kg. Márta néni kg. Ezek hiányos állítások. Nem tudjuk eldönteni, hogy igazak-e. Az üres helyre be kell írnunk egy számot, s ezután lehet csak dönteni. Az ilyen hiányos állításokat nyitott mondatoknak nevezzük. Állítás és nyitott mondat Azt a kijelentô mondatot nevezzük állításnak, amirôl eldönthetô, hogy igaz vagy hamis. A nyitott mondat hiányos állítás. Ha a nyitott mondatot kiegészítjük (szavakkal vagy számokkal), akkor állítást kapunk. Az állítás lehet ez: egyenlô. Ezt = jellel jelölhetjük. 6 2=4 7 9 = = 58 Vagy ez: nem egyenlô, kisebb <, nagyobb >, kisebb vagy egyenlô, nagyobb vagy egyenlô. A számokat tartalmazó nyitott mondatokban üres kerettel jelöljük a hiányzó értéket: 6 A =4 7 9= 15 jel helyett betût is írhatunk. 6 x=4 y<9 3 a + 2 = 17 5 b FIGYELEM! A kérdô és a felszólító mondatok nem állítások. Az állítás mindig kijelentô mondat. MINTAFELADATOK 1. A felírt állítások között van-e igaz állítás? A hamis állítások helyett írj nyitott mondatokat! a) A három páratlan szám. b) A 38 nagyobb, mint a 83. c) Gyôr Magyarország fôvárosa. d) Magyarország legmagasabb hegycsúcsa a Kékes. e) = 66 f) = 55 Igaz állítások: a; d és e. A hamis állításokból nyitott mondatot készítünk: b) A 38 nagyobb, mint a 83. A 38 nagyobb, mint c) Gyôr Magyarország fôvárosa. 192 f) = 55 tankonyv_teljes jav_09_22.indd 192. Magyarország fôvárosa. 87 = 55 11/10/7 1:27 PM

Mindenki kivéve anyát és Márta nénit megmérte magát. Anna pedig ezt jegyezte fel: A nagymama 78 kg, apa 87 kg, Panni (a nôvérem) 56 kg, Tóni bácsi 82 kg, Marci (az unokatestvérem) 67 kg, én 42 kg.

5 ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. A nyitott mondatba helyettesítsd be a megfelelô számot, számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! Ezt nevezzük megoldásnak. a) 8 = 56 b) 4 + > 9 a) 8 7 = 56 Behelyettesítjük a 7-et, ez igazzá teszi az állítást. b) > = 9, de a bal oldalon 9-nél nagyobb kell. Ezért 5-nél nagyobb számot kell beírnunk az üres helyre. vagy > 9 vagy > 9 vagy > 9 Végtelen sok megoldás van: 6; 7; 8, Megjegyzés A nyitott mondat megoldásának nevezzük az összes számot, amire a nyitott mondat igaz. 3. A nyitott mondatba helyettesíts be pozitív egész számokat úgy, hogy hamis állítást kapj! a) 2 = 14 b) 7 < 3 a) 2 8 = 14 Bármely számot behelyettesíthetjük, kivéve a 7-et. b) Behelyettesíthetjük az 1, 2, 3, 4 számokat: 7 1 < 3 mert 7 1 = 6 6 > 3; 7 2 < 3 mert 7 2 = 5 5 > 3; 7 3 < 3 mert 7 3 = 4 4 > < 3 mert 7 4 = 3 3 = A nyitott mondatba helyettesíts be természetes számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! a) 2 x + 15 = 75 b) 7 y < 3 a) = 75 Behelyettesíthetjük a 30-at, mert = 75. b) 7 5 < < < 3 Behelyettesíthetjük az 5; 6 vagy 7 számokat. GYAKORLÓFELADATOK 1. Melyek matematikai állítások? a) A hányados nem változik, ha az osztandót és az osztót ugyanazzal a számmal osztjuk. b) Mely számok a szomszédjai a 375-nek? c) A természetes számok olyan számok, amelyekkel számlálunk. d) Olvasd fel nekem ezt a verset! e) = 100 f ) 56 : 8 g) 43 > Melyek az igaz állítások? a) A szám páros szám. b) A 15 ötszöröse 3. c) Ha felcseréljük a kisebbítendôt és a kivonandót, a különbség nem változik. d) A 48 a 6 többszöröse. e) 750 : 6 = 125 f ) 237 < 148 Megjegyzés igaz állítás = helyes állítás hamis állítás = helytelen állítás A matematikai állítás hamis, ha a nyitott mondatot olyan számmal egészítjük ki, amire az egyenlôség vagy egyenlôtlenség nem teljesül. 3. A 24-gyel és a 13-mal alkoss négy különbözô nyitott mondatot, majd azokat egészítsd ki úgy, hogy helyes állításokat kapj! 4. Melyik nyitott mondatot nem lehet igazzá tenni egész számmal? a) 3 = 36 b) 2 = 73 c) 8 < 24 d) + 27 = 15 e) 36 : = 39 f ) = 193

Ezért 5-nél nagyobb számot kell beírnunk az üres helyre. vagy 4 + 7 > 9 vagy 4 + 8 > 9 vagy 4 +.

6 2. EGYENLETEK Megtanulhatod, hogy: mi az egyenlet, hogyan oldunk meg egyenleteket próbálgatással és lebontogatással, hogyan oldunk meg szöveges feladatokat egyenlettel. Bence elvállalta, hogy szombat délelôtt a házuk minden ablakát megtisztítja. Ez nem kis munka, mert a háznak 14 ablaka van. Gyorsan dolgozott, így hamarosan 5 ablakkal elkészült. Elgondolkodott, hogy hány ablak van még hátra? gondolkozz! Hogyan írhatod fel Bence kérdését matematikai jelölésekkel? Anna felírta a 5 + = 14, nyitott mondatot, majd a -t kicserélte x-re. Ezt a felírást 5 + x = 14 egyenletnek hívjuk, az x-et pedig ismeretlennek. ismeretlen 5 + x = 14 MEGJEGYZÉS egyenlôség: = 14 egyenlet: 5 + x = 14 az egyenlet bal oldala az egyenlet jobb oldala Oldjuk meg Anna egyenletét! 5 + x = 14. x = 9, mert = 14 Ha az ismeretlen helyére beírjuk a helyes értéket, vagyis az egyenlet megoldását, akkor igaz állítást kapunk. Az egyenlet bal és jobb oldala ebben az esetben egyenlô. Így ellenôrizhetjük, hogy jó megoldást kaptunk-e. Az egyenlet megoldása 9. Bencének még 9 ablakot kell megtisztítania. Az egyenlet olyan nyitott mondat, amely egyenlôségjelet tartalmaz. A hiányzó értéket ismeretlennek nevezzük. Az ismeretlent az ábécé bármelyik betûjével jelölhetjük. Az egyenlet megoldása az a szám, amelyet az ismeretlen helyére beírva az egyenlet két oldala egyenlô. Az egyenlet megoldása 194

Elgondolkodott, hogy hány ablak van még hátra? gondolkozz! Hogyan írhatod fel Bence kérdését matematikai jelölésekkel? Anna felírta a 5 + = 14, nyitott mondatot, majd a -t kicserélte x-re.

Hasonló dokumentumok

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya