Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor
Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A felszín és a térfogat szemléletes fogalmának továbbfejlesztése. A poliéderek szemléletes definíciója, alapfogalmak ismerete (pl.: alkotó, alaplap, magasság). A hasáb, a gúla, a csonkagúla felszínének és térfogatának kiszámítása a megismert képletek alapján. 6 óra 1. évfolyam Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése. AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a Polydron készlet alkalmazását csoportmunkában: testépítés háló vagy leírás alapján, a test adatainak (élhosszak, testmagasság, lapszögek) mérése, a mért adatok felhasználása térfogat és felszín számításakor. Az eszközkészlet használata helyett a mintapéldákat a modulhoz készült bemutató segítségével is átvehetjük, de ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a mintapéldát megoldani. Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva. Igyekeznünk kell megtalálni a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több helyen szerepel a tetszőleges módszerrel megjegyzés. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra (lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni.
Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból a hiányzó adatok kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények konvertálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egység kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.
Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. Emelt szint Térgeometriai feladatok megoldása. TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz készült egy bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat. Ezen kívül találhatók benne olyan képek, amelyek segítenek csoportmunkában tapasztalatokat gyűjteni (ld. Polydronnal megoldható feladatok). A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. A hasáb térfogata, felszíne. Feladatok megoldása. A gúla térfogata, felszíne 4. Feladatok megoldása 5. A csonkagúla térfogata, felszíne 6. Feladatok megoldása
Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I. A hasáb 1. Testek származtatása, poliéderek, térfogat, felszín, testmagasság Metakogníció, figyelem, rendszerezés (hasáb, gúla esetén),. Csoportalakítás tetszőleges módszerrel, ismétlés Kooperáció, kommunikáció, rendszerezés. Hasáb építése, mérés, térfogat és felszín meghatározása (csoportmunka, ellenőrzés párban módszer) következtetés, becslés Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi 4. Hasáb térfogatával, felszínével kapcsolatos feladatok (egyéni feladatmegoldás vagy csoportmunka) becslés, ábrázolás, számológép használa- Mennyiségi következtetés, számolás, ta 5. Mintapéldák testátlóra (frontális vagy csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés 6. Testátlóval kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, mennyiségi következtetés, számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata Bemutató Bemutató, Polydron, vagy 1. és. mintapélda 1 14. feladatokból válogatunk. és 4. mintapéldák, bemutató 15 0. feladatokból válogatunk
Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 6 II. A gúla 1. A gúla térfogata (csoportmunkában) Kommunikáció, kooperáció, egybevágó gúlát építünk, és ezeket kockává illesztjük össze; metakogníció, mennyiségi következtetés szabályos tetraéder, négyzet alapú gúla.. Gúla térfogatával és felszínével kapcsolatos feladatok Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása. Hasonló testek térfogata, felszíne (testépítés és számítások csoportmunkában, Kommunikáció, kooperáció, majd mintapéldák frontális megoldása) metakogníció, mennyiségi következtetés 4. Feladatok megoldása Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása Polydron, bemutató 1 0. feladatokból válogatunk Bemutató, 5. és 6. mintapélda 1. feladatokból válogatunk III. A csonkagúla 1. Mintapélda megoldása (frontális, tanári magyarázat) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, 7. mintapélda. Feladatmegoldás (tetszőleges módszerrel) ábrázolás, matematikai szöveg érté- se, képletek alkalmazása 4 4. feladatokból válogatunk IV. Vegyes feladatok 1. Feladatok megoldása (frontális vagy egyéni, differenciált feladatmegoldás) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása 4 61. feladatok közül válogatunk
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 I. A hasáb A lakásban szeretnénk átalakításokat végezni: új falat emelni gipszkartonból, légkondicionálót beszereltetni, a falat lefestetni. Csupa olyan probléma, amelynek megoldásához alapvető térgeometriai ismeretekre van szükség: a festék mennyiségének meghatározásához területet, felszínt kell számolni, a megfelelő hűtőrendszer kiválasztásához pedig ismernünk kell a helyiség térfogatát. A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk, amely az egységélű kocka térfogata. Módszertani megjegyzés: Célszerű régi térfogategységeket feleleveníteni, esetleg a történetükkel és átszámításukkal kapcsolatban internetes kutatás-projektet indítani. A testek származtatása a 9. évfolyam anyaga, az ismétlést megbeszélhetjük a modulhoz készült bemutató segítségével is. A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Minden konvex poliéderre teljesül Euler tétele: l + c = e + (lapok + csúcsok száma = élek száma + ). A poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder (1 lap), ikozaéder (0 lap). A középiskolában leggyakrabban a poliéderek közül a hasábokkal, gúlákkal és csonkagúlákkal foglalkozunk. A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel,
8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát. A hasáb térfogata: V = alapterület testmagasság, felszíne: A = alapterület + a palást területe. A térfogat és felszínképletek bizonyítható állítások. Speciális hasábok a téglatest és a kocka. A kocka térfogata: V = a, felszíne A = 6a (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza). Módszertani megjegyzés: A Polydron készlet és hurkapálca segítségével tanulmányozhatjuk a testek testátlóit, lapátlóit, hajlásszögeit. Javasolt téglatesteket, hasábokat építtetni a tanulókkal csoportmunkában, azon méréseket végezni, kiszámítani a lapátlókat, testátlókat, hajlásszögeket, és a mért adatokat összehasonlíttatni a számított adatokkal. Hatékony módszer, ha a tanulók párban végzik a méréseket és számításokat: előbb egy téglatesten mér az egyik tanuló, számít a másik, majd egy szabályos hatszög alapú hasábon felcserélik a szerepeket. A csoport másik párja szintén ugyanezen a két testen dolgozik, és a párok egyeztetik az eredményeket. Így a mintapéldák helyett a gyakorlat során megépített testeken végezhetünk számításokat. Mindenképpen javasolt térfogatot és felszínt számíttatni, rajzoltassunk testhálót, írassuk be az adatokat a megfelelő élekre, és szögfüggvények alkalmazásával számítassunk hajlásszögeket is. Az alábbi mintapéldát frontálisan, a bemutató segítségével vegyük át. Választhatjuk a két mintapélda feldolgozása helyett Polydron készlet alkalmazását az előbb leírt módon.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 Mintapélda 1 Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala közös és 4 cm hosszú, valamint két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és cm, magassága cm. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszínét és a térfogatát! A felszín kiszámításához szükségünk van a trapéz szárára: 1 c = + = 5. A test hálóját felrajzolva láthatók a testet határoló síkidomok. A felszín ezek területének összege: + 4 A = 4 ( 5 + + 4) + = 0 + 8 5 47,9 cm. A térfogat kiszámításához felhasználjuk, hogy a test egy trapéz alapú egyenes hasáb, az + 4 alapterület a trapéz területe: T = = 6 cm, a testmagasság M = 4 cm, így a térfogat: V = T M = 4 cm. Mintapélda Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olyan paralelogramma, melynek egyik szöge 60. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az alapél hossza 14 cm, az oldalél hossza 0 cm? Ábrát készítünk, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az alapterület T =14 = 196 (cm ). Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögből számítható a testmagasság, amely ebben az esetben az egyik oldallap m magassága is egyben: sin 60 =, ahonnan m = 0 sin 60 17, (cm). 0 A térfogat V = T m 94,7 cm. A felszín kiszámításához minden adatot ismerünk: A = (14 + 0 14 + 14 17,) 146,96 cm.
10 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat csoportmunkában dolgozzuk fel: mindenki 1-1 részfeladattal foglalkozik a csoportból. Adott időre (például 8 perc) kell végezni. Az értékelés a megoldás helyessége alapján történik, a csoportban először a négyzetes oszlop térfogatának és felszínének képletét kell megkeresni, majd a munkamegosztásról kell dönteni. Az elkészült csapattagok segíthetnek társaiknak, ellenőrizhetik őket. Gyengébb képességű tanulók esetén a képleteket közösen is meghatározhatjuk. Ekkor a megoldáshoz kevesebb időt adunk. 1. Mekkora az a alapélű, b oldalélű négyzetes oszlop a térfogata és felszíne, ha a) a = 1 cm, b = dm; b) a =,4 cm, b = 5 mm; c) a = 400 mm, b = 4 dm; d) a = 55 mm, b = 0, dm. a) 880 cm, 148 cm ; b) 0,16 cm, 45,1 cm ; c) 64 dm ; 96 dm ; d) 90,75 cm ; 16,5 cm.. Egy négyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélnek. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! alapél térfogat felszín a) 6 cm 648 cm 504 cm b) 4,6 dm 9 dm 96,4 dm c) 7 cm 109 cm 686 cm d),5 m 46,875 m 87,5 m. Egy építkezéshez darab, négyzetes oszlop alapú gerendát használnak fel. A gerenda keresztmetszete 10,5 cm x 10,5 cm, hosszuk egységesen 8,4 m. a) Hány m a gerendák térfogata összesen? b) A gerendákat olyan felületkezelő anyaggal vonják be, amelynek kiadóssága 10 m /liter. Hány liter vegyszerre van szükség? a),96 m 94, 7m ; b) 5500,5 cm,5 m egy gerenda felszíne, azt összes felszín: 11 m, ehhez 11, l favédő anyag kell.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 11 4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm! Az alaplap magassága m = 45 5 = 1400 7, 4 cm, az alapterület a m 50 7,4 T = = 95cm, a térfogat V = T M = 65450 cm. A felszín = T + P = 95 + ( 50 + 45) 70 = 11670 A cm. 5. Az üzletben 750 ml-es utántöltőben is árulják a folyékony szappant. Van egy hasáb alakú tartónk, amelynek alaplapja egy 6 cm és 1 cm alapú, 7, cm szárú trapéz, a testmagassága 18 cm, és a tartó térfogatából 85% a tartály. Betölthető-e ebbe a szappantartóba a vásárolt folyékony szappan? 6 + 1 Az alaplap magassága m = 7, 6, 55, az alapterület T = 6,55 = 58, 95 (cm ). A térfogat V = T M = 1061, 1 cm. 0,85 V 90 cm 9 deciliter, tehát a 7,5 dl belefér. 6. Az alábbi lakás szobáiba és konyhájába szeretnének klímaberendezést vásárolni. A lakás magassága,8 méter. Becsüljük meg, mekkora teljesítményű berendezéseket vásároljanak az egyes helyiségekbe! Átlagosan 5 W/m teljesítményegységgel számolhatunk. Megjegyzés: A kapott érték valóban becslés, mert a kívánt teljesítmény függ a helyiség használatának jellegétől, a benne tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek anyagától, a tájolástól stb. A konyha térfogata,6 4,,8 4, m, a szükséges teljesítmény 4, 5 = 1515,5 W 1,5 kw. Hasonlóan számolv: 1. szoba: 44,5 m és 1,6 kw;. szoba: 70 m és 450 W,5 kw;. szoba: m és 110 W 1,1 kw.
1 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból levágunk egyegy cm oldalélű kockát az ábra szerint. Mekkora a megmaradó rész térfogata és felszíne? V = 9 8 = 51 cm, a felszín megegyezik a kocka felszínével: A = 6 9 = 486 cm. 8. Mekkora az ábrán látható, cm élű játékkockákkal kirakott játékbástya térfogata és felszíne? Az építmény 4 kis kockából áll, így a térfogata V = 4 = 6 cm. A felszínt 168 négyzet adja, aminek a területe A = 168 = 67 cm. Módszertani megjegyzés: Csoportmunkához ajánlott, hogy a tanulók számítsák ki padjuk faanyagának (vagy bútorlapanyagának) térfogatát és felszínét. Határozzák meg, hogy milyen adatokat kell megmérniük, végezzék el a méréseket, majd a számításokat. 9. Egy téglatest egyik éle m-rel hosszabb a másiknál, a harmadik éle 0 m, a térfogata 600 m. Mekkorák az élei és a hasáb felszíne? Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él): 600 = a ( a + )0, ahonnan a hiányzó élek 10 és 1 m, a felszín 1180 m. 10. Egy téglatest felszíne 8576 cm. Egyik oldaléle,4 dm, a másik két oldalél különbsége 1 cm. Mekkorák a hasáb élei és térfogata? Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él): [ 4a + 4( a + 1) + a( 1) ] A = 8576 = a + térfogat 4990 cm., ahonnan a hiányzó élek 40 cm és 5 cm, a
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 11. Egy ajtóban az üveg keretét 8 cm x cm széles deszkából készítették. Az ajtó 10 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó térfogatának hány százaléka az üveg térfogata? Az üvegtábla méretei: 194 cm x 70 cm, a térfogata V = 194 70 0,8 10864 cm, a keret térfogata 1 = V = (10 8 + 70 8 ) = 1440 cm V1. Az üveg 100 = 44,7%. V +V 1 1. Egy szabályos hatszög alapú hasáb magassága másfélszerese az alapélének. Mekkora a hasáb felszíne, ha térfogatának pontos értéke 888? a az oldalél, az alapterület T a = 6, a testmagasság M = 1, 5a. A térfogat 4 6a 1,5a V = T M = =,5 a = 888, így a = 1, M = 18. 4 A felszín A = T + P = a + 6aM = 4 + 196 044, (te). 1. Egy szabályos sokszög alapú hasáb alapéle 1 cm, testmagassága 5 cm. Számítsd ki a hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap a) hatszög; b) ötszög; c) nyolcszög; d) tízszög. a) V 95 cm, A 548 cm ; b) V 6194 cm, A 1995 cm ; c) V 178 cm, A 791 cm ; d) V 7699 cm, A 516 cm. 14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? Az alaplap területe T = a = 16. 4 A palást területe P = a M 6 16 = 8 M, ahonnan a testmagasság M = 4. A hasáb térfogata V = T M = 19 cm, a felszíne A = T + am = 18 1, 7 cm. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 006. májusi középszintű érettségin.
14 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt mennyi vas anyagra lesz szükség, ha a színpad 1,6 m magas, és 10 m x 6m a felület, amin fellépnek a művészek. Mekkora szögben illeszkedik egymáshoz a két testátló, és milyen hosszú az a négy darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést? A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: x = 6 + 1,6 = 8,56 6, 1(m) y = 6 + 10 = 16 11,66 (m) z = 1,6 + 10 = 10,56 10,1 (m) A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: d = 10 + x = 10 + 6 + 1,6, ahonnan =18, 56 d, d 11, 77 (m). A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges anyagmennyiséget: 4 (10 + 6 + 1,6) + ( x + y + z) + 11,77 150 m anyagra van szükség. A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresünk a testátlók által meghatározott síkban. Szögfüggvény segítségével α 45,5. tgα = z z =, ahonnan 5 10 A feladat megoldása során láttuk, hogy a testátló hossza hogyan függ az oldalak hosszától: d = a + b + c. Ebből kapunk egy általánosan is igaz összefüggést: A téglatest testátlójának hossza: d + = a + b c, ahol a, b és c a téglatest egy csúcsban összefutó éleinek hossza.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 15 Mintapélda 4 Hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka (a) oldalhosszától? A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk. Most minden oldal egyenlő: = a + a + a a, ahonnan a d = d =. Feladatok 15. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsban összefutó élei, d a testátló, A a felszín és V a térfogat. a b c d A V a) 5 cm 8 cm 10 cm 1,7 cm 40 cm 400 cm b) 1, cm 0,46 dm 7 mm 15 cm 56,5 cm 407,4 cm c) 10 m 0 m 6 m 4, m 1960 m 500 m d) 6 cm 11 cm 14,8 cm 19,4 cm 65, cm 976,8 cm e) 8 dm a + 8 16 dm a + 11 19 dm 6,1 dm 1168 dm 4 dm 16. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a) a kocka éleivel; b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával? a) tgα =, α 54, 7 ; b) 90 α 5, ; c) a a β sin = = = d a, β 109, 5. Azonban a hajlásszög 90 -nál nem nagyobb, ezért a keresett szög β mellékszöge: 70,5. 17. Mekkora a kocka térfogata és a felszíne, ha testátlója 1 cm? 1 A testátló: d = 1 = a, ahonnan a = = 4. A térfogat V = a = 19,6 cm, a felszín A = 6a = 88 cm.
16 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 18. Egy téglatest két éle 8 cm és 16 cm, felszíne 1168 cm. Mekkora szöget zár be a testátlója azokkal az élekkel és lapokkal, amelyek a testátló egyik csúcspontjában találkoznak? A = ( ab + ab + bc) 1168 = (8 16 + 8x + 16x), ahonnan a harmadik él: x =19 cm. d = a + b + c 6, 1. x cos α =, ahonnan α 4, a 19 cm-es éllel bezárt szöge, és d az alaplappal bezárt szöge 90 α 46, 7. Hasonló módon a másik két éllel bezárt szögek 7, és 5,, a másik két lappal bezárt szögek 17,8 és 7,8. 19. Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm térfogatú, szabályos hatszög alapú hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal? a V Az alapterület T = 6 = 4, a magasság M = 1 cm. 4 T M 1 tg α = = =, ahonnan α 56,. a 8 0. Egy szabályos sokszög alapú egyenes hasáb alapéle a, oldaléle b. Fejezd ki a leghosszabb testátlót a és b segítségével, ha az alaplap a) négyzet; b) hatszög; c) nyolcszög. a) e + = a, d = b + e d = a b ; b) = 4a b ; d + c) a e = ; cos 67,5 a d + cos 67,5 = ( e) + b d = b.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 II. A gúla Módszertani megjegyzés: A gúla térfogatát szemléletesen pleximodellek és víz segítségével mutathatjuk be, ha van azonos alaplapú és testmagasságú, nyitott téglatestünk, illetve gúlánk. Ekkor gúlányi vizet kell a téglatestbe tölteni, hogy tele legyen. A másik lehetőség: a modulvázlat mellékletében három gúla hálózata található (A4-es lapra kinyomtatható, kartonból kivágható és összeragasztható). A három gúlából összeállítható egy szabályos háromszög alapú hasáb (ragasztógyurmával összeragasztható). A három gúláról belátható, hogy térfogatuk megegyezik (ehhez előtte meg kell egyeznünk abban, hogy ha két gúlának egyenlő az alapterülete és a magassága, akkor azok térfogata is egyenlő), így a gúla térfogata a hasáb térfogatának harmada. A Polydron készletet is használhatjuk a szemléltetéshez: A következő feladatokat csoportmunkában javasolt megoldani. Az első feladatot a csoport együtt oldja, vagy tanári irányítással az egész osztály. Ezután a feladatokat a csoporton belül megosztják a tanulók. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága.
18 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 1. Kheopsz fáraó négyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisának eredeti alapéle 0 m, magassága 147 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a felszíne! a = 0 m, M = 147 m; T M a M 6 V = =,6 10 m, a m A = a + 4 = a + am ; a m = + M 186,6 (m). Behelyettesítve 5 A = 1876 1,4 10 m.. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 50 cm a) a testmagassága; b) az oldallapjának magassága; c) az oldaléle? a) a = 5 cm, M = 50 cm. T M a M V = = 0417 cm, a m = + M 5 cm, A = a + am = 495 cm. a b) a = 5 cm, m = 50 cm, M = m 46, 8(cm). V 19110 cm, A = 475 cm. a a 5 c) M + = = = 50 4, 4 b M b cm, V 1771, 7 cm. a 5 m = b = 50 46,8 cm, A 4501 cm.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 19. Egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla alapéle a = 1 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 0 cm a) testmagassága; b) oldallapjának magassága; c) oldaléle? a az alapterület mindhárom esetben T = 6 74, 1(cm ), és 4 a x = 10,4 (cm). Az alkalmazott képletek: V a m A = T + 6. a) a = 1 cm; M = 0 cm. V 494 cm. T M =, m = x + M,6 (cm), A 1188 cm. b) a = 1 cm; m = 0 cm. M = m x 17, 1(cm), V 1, 4 cm. A 1094 cm. c) a = 1 cm; b = 0 cm. M = b a = 16 (cm), V 1995, cm. m = x + M 19,1 (cm), A 1061, 7 cm. Módszertani megjegyzés: A következő két feladatnak a) és b) része is van, a megoldást ellenőrzés párban módszerrel javasoljuk. A 4 fős csoport egyik párja az a) feladatot oldja, mialatt a másik pár a b)-vel foglalkozik. Egy adott idő múlva (ez függ a gyerekek terhelhetőségétől) a párok feladatot cserélnek. Az ellenőrzés párban módszernek az a lényege, hogy a pár egyik tagja oldja a feladatot a másik ellenőrzése mellett, majd a következő feladatnál szerepet cserélnek. Mindkét feladat megoldása után a csoporton belül egyeztetik az eredményeket és megbeszélik a tapasztalatokat. A szerepcsere fontos, hogy a feladat jellegével és megoldásával minden tanuló megismerkedjen. 4. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 10 cm. Mekkora a gúla térfogata és a felszíne, ha 75 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? a) a = 10 cm, α = 75. Az alaplap átlójának a fele 5 (cm), a testmagasság M = 5 tg75 6,4 (cm). Az oldallap a magassága m = M + 6, 9 (cm). A keresett adatok: V 880 cm, A 68cm.
0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a b) a = 10 cm, β = 75. m = 19,(cm), M = 5 tgβ 18, 7 cosβ (cm). A keresett adatok: V 6, cm, A 486cm. 5. Egy hatszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 1 cm átmérőjű kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? a) A szabályos hatszög köré írható körének sugara egyenlő a hatszög alapélének hosszával: a = 6 cm, α = 45. a M = a tg α = 6 (cm), T = 6 9, 5 (cm ). 4 a m = M + 7,9 m. A keresett adatok: V 187cm, A 5,7cm. a M b) a = 6 cm, β = 45. M = tgβ 5, (cm), m = 7, 4 (cm), T 9, 5 (cm ). sin β A keresett adatok: V 16cm, A 6,7 cm. 6. Két szabályos gúla magassága megegyezik. Az egyik alaplapja szabályos ötszög, a másiké szabályos hatszög. A két sokszög köré írható körök sugara is megegyezik. Hány százalékkal nagyobb az egyik test térfogata a másik térfogatánál? A hatszög területe: r T1 5981 4 = 6, r, az ötszög r sin 7 területe T = 5 =, 776 r. A térfogatok aránya: V V T1 M M T 1 1 = = = T T ötszög alapú gúla térfogatánál. 1,09, vagyis a hatszög alapú gúla térfogata 9,%-kal nagyobb az
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 7. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrán látható testet: egy 10 cm élű kocka éleinek harmadoló pontjait kötötték össze, és levágták a kocka így adódó sarkait. a) Mekkora a keletkező test térfogata? b) Mekkora a felülete a piros és a kék részeknek összesen? a) A levágott gúla alaplapjának az egyik derékszögű háromszög alakú lapját tekintjük. Ekkor a gúla magassága 40 cm. 40 40 T M V 1 = = 10666,7 cm. A test térfogata V = 10 8 V 1 164666,4 cm 1,6m b) A testet 6 darab nyolcszög és 8 darab szabályos háromszög határolja. Egy nyolcszögek területe: 40 T 1 = 5 40 + 4 = 1100(cm ), egy háromszög területe: ( 40 ) 185, 6. T = a = (cm ). A test felszíne: 4 4 A = 6 T1 + 8 T 7884,8cm 7,8m. 8. a) Számítsuk ki az a élű szabályos tetraéder térfogatát és felszínét! b) Mekkora az alaplap és az oldallap, illetve az alaplap és az oldalél hajlásszöge? a a a) s =, T =. A testmagasság az alaplap 4 középpontjában, a súlyvonal oldalhoz közelebbi harmadoló pontjában metszi az alaplapot. Ezért a a s a a = = = a a, M a M = =. Az oldallap magassága a a m =. A felszín: A = 4 = a, a térfogat 4 1 1 a a V = T M = a =. 4 1
MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a b) Az alaplap és az oldalél által bezárt szög: cosα = = α 54, 7, az a 1 alaplap és az oldallap szöge: cos β = β 70, 5. 9. A Téglatest együttes új nevet vett fel: Pyramys. Az együttes koncertjein árult, műanyagból készült, cm 4 cm 5 cm élű téglatestekből 60 darab megmaradt. Ezeket megolvasztják, és olyan négyzet alapú szabályos piramisokat gyártatnak belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága,5 cm. A gyártás során 7%-os térfogatveszteséggel kell számolni. Hány ilyen piramis készíthető? A megmaradt anyag térfogatának 9%-a megegyezik az új piramisok térfogatának összegével: V 1 0, 9 = V. V 1 = 60 4 5 = 1600 cm, n darab piramis esetén a 7,5 térfogat V = n n 57, 17. Az egyenletet felírva: 1600 0,9 = n 57, 17, ahonnan n 51, 4, vagyis 51 darab piramis készíthető. 0. Egy vállalkozás reklámcélokra szabályos hatszög alapú szabályos gúlákat csináltat, amit fából készítenek el. A gúla alapélei 4, cm hosszúak, magassága 5 mm. Eddig 50 ilyen ajándékot osztottak ki. a) Hány cm faanyag van az eddig kiosztott gúlákban? b) A gúla oldallapjait színesre festik. Hány cm felületet festenek be egy gúla oldallapjainak a színezésekor? Mennyi festékre volt szükség a 50 ajándék befestésekor, ha 1 m -hez,6 liter festék kell? a a) Az alapterület hat szabályos háromszög összege: T = 6 45, 8 (cm ), a gúlák 4 T M 4, térfogata: V = 50 = 50 6,5 50 8, 9550 cm. 4 b) A palást területének kiszámításához szükségünk van az oldallap magasságára. a x =,64 (cm), a Pitagorasz-tételt felírva
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ x = +,5 m, ahonnan 4, 41 4,m m (cm). A palást területe: P = 6 55, 6 cm, összesen a felszín: A = 50 P 1900 (cm ) 1,4(m ), ezért 1,4,6 5 liter festék kellett. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 005. októberi középszintű érettségin. A következő mintapélda a hasonló testek térfogatának és felszínének arányára világít rá, a tapasztalat szintjén. A mintapélda helyett Polydron segítségével, csoportmunkában is megtapasztalhatjuk az ismereteket (.1 feladatlap). Mintapélda 5 Egy 1 cm alapélű, 1 cm magasságú négyzet alapú szabályos gúlát elvágunk a testmagasság harmadoló pontjain átmenő, alaplappal párhuzamos síkokkal. a) Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát! A vázlat elkészítése a megoldás egyik kulcslépése. Három gúlát kapunk, amelyek alaplapja hasonló egymáshoz (a gúla csúcsából történő középpontos hasonlósággal ezek az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők). A hasonlóság arányát a megfelelő szakaszok, most a testmagasságok arányából határozzuk meg. A hasonló síkidomok területe a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: T : T = ( M : M ) = jelenti, hogy T = T = 4T, és hasonlóan T 1 = T = 9T., ami azt 1 1 A szabályos egyes gúlák alapterülete: T = T = = 16 cm, 64 9 9 T = cm, a gúla T M 16 4 64 térfogata V =, a legkisebb gúláé V = = 1, cm. A másik két test térfogata gúlák térfogatának különbségeként állítható elő: 64 8 V = V 149, cm 1 1, illetve V1 = ( V + V ) 405, cm. Megjegyzés: A gúla alaplapjával párhuzamos síkok által levágott testek közül a gúla csúcsánál egy újabb gúla keletkezett, a másik két test pedig egy-egy csonkagúla, amellyel a későbbiekben részletesen foglalkozunk. A keletkezett kis gúla hasonló az eredetihez. A hasonlóság a térbeli alakzatokra is ugyanazt jelenti, mint a síkidomokra megadott definíció.
4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát a csúcsából k-szorosára nagyítunk. Írd fel T, M és k segítségével a keletkező új gúla térfogatát! Az eredeti gúla térfogata V T M T ' M ' =. A nagyított gúla térfogata V ' =, ahol T az új test alapterülete, M pedig a testmagassága. A nagyított és az eredeti gúla hasonlósága miatt M ' = k M, míg az alapterület T ' = k T. Ezeket behelyettesítve T ' M ' V ' = = ( k T ') ( k M ') = k T ' M ' = k V Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának második hatványa. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának harmadik hatványa. Ha az 1. és a. test hasonló és k a hasonlóság aránya, akkor A 1 V = k és 1 = k A V Feladatok 1. Egy szabályos gúlát úgy vágunk el egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogata megegyezzen. A magasság hányad részénél kell elvágnunk a gúlát? A levágott és az eredeti gúla között k arányú hasonlóság van, M V = k m, és V = k v (kisbetűk jelölik a levágott gúla adatait). Ez utóbbiból V = k, ahonnan 1 k =. Innen m = M 0, 79 M. Tehát a csúcstól számítva a magasság 79%-ánál kell elvágni a gúlát.. Egy hatszög alapú szabályos gúla testmagassága és alapéle egyaránt 4 cm. Úgy vágjuk el a gúlát egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogatának aránya : legyen! a) Számítsd ki a keletkező részek térfogatát! b) Hol kell elvágni a gúlát? Módszertani megjegyzés: jobb képességű diákoknak feladhatjuk a felszín kiszámítását is.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 1 1 4 a) A nagy gúla térfogata V = T M = 4 1995, (cm ). A kisebb 4 gúla térfogata V 1 = V 1197,cm, a csonkagúla térfogata V = V 798,1 cm. 5 5 b) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság köbével egyenlő. A kis gúla és az eredeti gúla hasonló, a hasonlóság aránya: k = 0, 84, azaz a csúcstól számítva 5 0,1 cm-re kell az eredeti gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan elvágni.. Egy 8,5 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alaplappal 65 -os szöget zár be. Az alaplaptól milyen távolságokban vágjuk el a gúlát két, alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező részek térfogata egyenlő legyen? Legyen a legkisebb gúla magassága M 1. A hasonlóság miatt M = M1 és M = M1. Az alaplap átlójának fele, M és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögben: M tg 65 = 8,5 M 1,9 (cm), így M 8,9 (cm), M 11, 1 (cm). Az alaptól tehát 1,6 cm és 4 cm-re kell elvágni a gúlát.
6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III. A csonkagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk. Mintapélda 7 Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, csonkagúla alakú virágládába, amelynek belső méretei: az alaplap éle 6 cm, a fedőlap éle 8 cm, a láda magassága 47 cm? A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának kiszámítási módját. Hasonlóság segítségével a következő képletet lehet levezetni: M A csonkagúla térfogata: V ( T + t T + t) =, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. Az adatokat képletbe behelyettesítve: ( 6 + 8 6 + 8 ) = 4869 cm 48,7 liter V = 47 zsák virágföldet megvásárolni.. Érdemes tehát egy 50 literes A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. Ha a csonkagúla négyzet alapú szabályos gúlából származott, melynek adatai az ábrán láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: m b = M = m a c + a c +
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasoljuk megoldani. Feladatok 4. Egy egyiptomi matematikatörténeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpen írja le a csonkagúla térfogatának kiszámítását: [ ] alapélek:, illetve 4 könyök, magasság: 6 könyök. 1. Add össze ezt a 16-ot. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel:. kijön 8. Számítsd ki 4. 1/-át a 6-nak. Kijön. 5. Számolj 8-asával kétszer. Kijön 56. 6. Nézd, ez 56. Helyesen számítottad ki. Valóban helyes a számolás? Ellenőrizd! M 4 V = ( t + t T + T ) = ( + 4 + 4 ) = 56 6. Jól számoltak. Forrás: http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/000/0004/4.html 5. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c m M V A a) 10 6 6 5,7 8 5, 46, 18,4 b) 18 5 7, 10 6 0 4,5 906 760 c) a 1 =; a =14 5 8 4 47 15,7 49,6 1946,8 148 46 d) 06 17,5 5 15 1 676 194 6. Egy,6 dm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a kocka középpontján átmenő síkkal. Határozd meg az így kapott csonkagúla térfogatát és felszínét!
8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ (,6 + 1,8,6 + 1,8 ) 1,6 dm 1,8 V =. m = 1,8 + 0,9,0 (dm). A =,6 + 1,8 1,8 +,6 + 4 7,8dm. 7. Egy sokszög alapú szabályos csonkagúla alaplapjának éle 18 cm, fedőlapjának éle 8 cm, oldaléle 0 cm. Mekkora a térfogata és felszíne, ha az alaplap a) négyzet; b) szabályos hatszög? a) m 19,4 cm; M 18,7 cm; V 89,6 cm ; A 196,8 cm. b) M = 0 10 17, cm; m = 0 5 19,6 cm; V 8919,7 cm ; A 518,1 cm. 8. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 6 cm, fedőlapjának éle 18 cm, és az oldallapok 7 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? 4 m = 1, 7 (cm); cos7 M = 4 tg7 1,1 (cm); t = 18 = 4 (cm ); T = 6 = 676 (cm ); ( t + tt + ) 6410, cm M V = T ; a + c A = t + T + 4 m 05,6 cm. 9. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 16 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az oldalélek 64 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? e = 8 11, (cm); f =16, 6(cm); f e x = 5,65(cm); M = x tg64 11, 6 (cm);
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 x b = 1,9 (cm); m = b 4 1, (cm); t = 8 = 64 (cm ); T =16 = 56 cos 64 M a + c V = t + tt + T 17, cm ; A = t + T + 4 m 910,4 cm. (cm ). ( ) 40. Egy szobor talapzata 1,7 méter magas szabályos hatszög alapú egyenes csonkagúla, az alaplap éle 10 cm, és a fedőlap éle 0%-kal kisebb az alaplap élénél. a) Mekkora a talapzat tömege, ha az anyaga,7 kg/dm sűrűségű márvány? b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás viszontagságaitól. Mennyi csomagolóanyagra van szükség, ha a kötözéshez a talapzat felszínén kívül még 10% anyagot rá kell számolni? a) A fedőlap éle 1, 0,7 = 0, 84 (m). Az alaplap területe T 1, = 6 4,74 (m ), a fedőlapé 0,84 t = 6 1,8 (m ). 4 (,74 +,74 1,8 + 1,8) 4, 69 1,7 V = (m ). A tömeg: m = ρ V =,7 469 155 kg. Az oldallap magassága (1, 0,84) m = 1,7 + összefüggésből 1, 7 1, + 0,84 P = 6 1,7 10,59 (m ). Összesen tehát 10,59 + 1,8 1, 4 m. m (m), 41. Az ábrákon kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket! A páraelszívók szimmetrikusak egy olyan síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével párhuzamos és az alaplapra merőleges. Minden távolságadat cm-ben értendő. a) b)
0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 49 a) A csonkagúla térfogata: V = ( 60 90 + + 60 90 ) 1511 1 négyzetes oszlopé V = 65 1460 (cm ), együtt 15971 cm. = A felszínhez szükség van a kétféle oldallap magasságaira: m 1 = 49 + 4 m = 49 + 19 59,6 (cm), 5,6 (cm). 90 + A = ( 59,6 + 5,6) + 4 65 = 1886, 4 cm. (cm ), a b) Itt nincs hátlap, a csonkagúla egyik oldallapja merőleges az alaplapra. A térfogat ( 60 90 + 1 5 + 60 90 1 5) 1476 49 V 1 = (cm ), a négyzetes oszlopé V = 1 5 70 6750 (cm ), együtt 16106 cm. = A két magasság: m = 49 + 9 6, 6 (cm), m = 49 +,5 58, 8 (cm), a 1 90 + 5 90 + 1 A cm. felszín: = 6,6 + 58,8 + ( 1+ 5) 70 = 14816, 4. Egy szabályos háromszög alapú szabályos csonkagúla oldallapjai az alaplappal 70 os szöget zárnak be. A csonkagúla magassága 19 cm, az alaplap éle cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 19 19 m = 0, (cm); x = 6, 9 (cm). sin 70 tg70 A csonkagúla egyenes, ezért az alaplap és a fedőlap középpontján átmenő egyenes merőleges az alaplap síkjára. y a fedőlap magasságának harmada. 1 y = PQ x = x, (cm), így a fedőlap éle az 1 c y = összefüggésből c 8, 0 (cm). Az alaplap területe T = c 7, 7 (cm ), 4
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 a fedőlapé t 44, 4(cm ). ( 7,7 + 7,7 44,4 + 44,) 684,9 cm, V = 19 8 + 8 A = + + 0, 168,1 cm. 4 4
MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ IV. Vegyes feladatok 4. Mekkora annak a háromszög alapú egyenes hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek alapélei 10 cm, 1 cm és 14 cm, oldaléle pedig 0 cm hosszú? Az alapterületet vagy a Héron-képlettel számítjuk ki, vagy a koszinusz-tétellel meghatározzuk a legkisebb szögét (ez biztosan hegyesszög), és a trigonometrikus területképletet használjuk. 10 = 1 + 14 1 14 cosα, ahonnan α 44, 4. 1 14 sinα Az alapterület T = 58,8 cm, a hasáb térfogata V = 58,8 0 1176cm. A felszín: = T + P = 58,8 + ( 10 + 1 + 14) 0 67, 6 A cm. 44. Egy négyzetes oszlop oldalainak hossza centiméterrel mérve egész szám, térfogata 7 cm. Mennyi lehet a felszíne? A térfogat { } V = a b = 7 =. Így 1; ; ; ( ) a, ezért a csak 1,, vagy 6 lehet. A lehetséges megoldások: a 1 6 (cm) b 7 18 8 (cm) A 90 15 114 10 (cm ) 45. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az egyik méretei: 8 cm 01 cm mm, a másik méretei: 85 cm 0,5 cm 15 mm. a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó anyagának térfogatát! b) Mekkora a tömege az ajtónak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m? m A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: ρ =. V a) V = 0,8,01 0,0 0,08 m, 1 V = 0,85,05 0,015 0,06 m, V = V + V 0,064 m. b) m = ρ V 8,4 kg. 1
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 46. Egy 108 cm élű kocka oldalait kilenc egybevágó négyzetre osztjuk, és a középső négyzeteknek megfelelően teljesen átfúrjuk a kockát. a) Mennyi a megmaradó rész térfogata? b) A kocka lapjain megmaradó 8-8 négyzetet újra 9 egybevágó négyzetre osztjuk, és az itt megjelenő középső négyzeteknek megfelelően ismét átfurkáljuk a kockából megmaradt testet. Mekkora az így keletkező test térfogata? Módszertani megjegyzés: Érdeklődő diákjainknak megemlíthetjük, hogy ha a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, fraktált kapunk (Menger-szivacs; sorozat felállítása a térfogatra). Indíthatunk gyűjtőprojekteket, amelyek eredménye a fraktálokat ismertető kiselőadás (bemutatóval), vagy a dimenzió olyan értelmezésével kapcsolatos, amely nem egész számot ad. A fraktáloknak nagy jelentősége van, mert segítségükkel jól leírhatók a cikcakkos tengerpartok, a csipkés hegygerincek, a páfránylevelek stb. A fraktáldimenzió (törtdimenziójú felületek, testek) értelmezése logaritmussal történik, az összes szükséges előismerettel rendelkeznek a tanulók. A következő honlapokon bővebb ismertetéseket is találunk (007. márciusi állapot): http://t-t.freeweb.hu/minden/kaosz/menger.htm http://fraktal.lap.hu/ a) 7 darab, 6 cm élű kockát távolítottunk el, a megmaradó rész térfogata: 108 7 6 910 cm. b) 0 darab, az eredetihez hasonló kis kocka keletkezik, a hasonlóság aránya 1. Ezért 1 V = 0 V ere det i = 69100 cm.
4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 47. Mekkora annak a hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek hálóját és méreteit az ábra mutatja? 8 1 a) Derékszögű háromszög alapú hasáb. T = = 5 (cm ), az alaplap átfogója 8 + 1 = 15, (cm), M = 0 (cm). A térfogat V felszín A = T + M ( a + b + c) 80 cm. = T M = 1040 cm b) Rombusz alapú hasáb. T = 5 sin 60 1, 7 (cm ). V 108,5 cm, A 14,4 cm. c) Deltoid alapú hasáb. Az átlók hossza e = 1 sin 5 10, 1(cm) és 1 sin 5 e f f = 1 cos 5 + 16,9 (cm), az alapterület T = tg40 85, cm. 10,1 V 179,5 cm 1, dm. A deltoid ismeretlen oldala 7, 9 (cm), a felszín sin 40 A = T + 15 ( 7,9 + 1) 767,6 cm 7,7 dm., a 48. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan trapéz, amelynek egyik alapja kétszerese a másiknak. Hogyan tudnánk három, egyenlő térfogatú hasábra vágni két olyan síkkal, ami párhuzamos az oldalélekkel? A keresett síkok a hosszabbik alap F felezőpontjára és egy-egy oldalára illeszkednek. Így mindhárom hasáb alapterülete és testmagassága egyenlő, a térfogataik tehát megegyeznek.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 49. Egy trapéz alapú egyenes hasábot az alaplap átlóját tartalmazó, alaplapra merőleges síkokkal négy darab háromszög alapú hasábra bontunk az ábra szerint. Milyen összefüggések találhatók a keletkező hasábok térfogatai között? A trapéz rövidebbik alapja 6 cm, a hosszabbik 15 cm. T 1 + T 4 = T + T 4 T 1 = T, így az 1. és a. test térfogata egyenlő.. és 4. 15 háromszögek hasonlósága miatt T4 = T, így a térfogatuk aránya is 6 15 6 = 6,5. T1 = T = T T1 = T T = 0,68T V1 = 0, 69V. 6 15 50. A 10 cm alapélű, 15 cm testmagasságú, rombusz alapú egyenes hasábok közül melyiknek a legnagyobb a térfogata? Számítsd ki a maximális térfogatot és azt is, hogy ekkor mennyi a felszín! A trigonometrikus területképletet alkalmazva, az alapterület T =10 sinα, ahol α a rombusz hegyesszöge. Ez akkor maximális, ha sin α = 1, azaz α=90, a rombusz négyzet, a test négyzetes oszlop. Ekkor térfogata 10 15 = 1500 cm, felszíne 800 cm. 51. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrán. Mennyibe kerül a bútorlap költsége, ha a szekrény magassága 19 cm, körbe mindenhol bútorlap határolja és a négyzetméter ár 400 tallér? 60 Az alapterület T = 90 = 600 cm. Az első oldal szélessége (a két ajtó együtt) 60 84,9 cm, így a felszín: A = 600 + 19 ( 90 + 0 + 84,9) = 7505,7 cm A költség kb. 1807 tallér. 7,5 m.
6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5. Egy szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alapél kétszerese. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? a 15 m = (a) = a, a a a 1 cos α = = = =, ahonnan α 75. m m 15a 15 5. Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének és testmagasságának aránya : 5, térfogata 1875 cm. Mekkora a felszíne? Az arány miatt van egy közös egység (e), amivel felírva az alapél e, a magasság 5e. (e) 5e V V = = 15e, ahonnan e = = 5(cm), az alapél a = 15 cm, a testmagasság 15 M = 5 cm. a m Az oldallap magassága m = 7,5 + 5 6, 1(cm), a palást P = 4 78 (cm ), a felszín A = a + P 1008 cm. 54. Egy 4 cm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszínét! V = a = 4608 cm. Az oldallap magassága m = 1 + 4 6,8 (cm), így A = a ( a + m) 186,4 cm.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 55. Egy kerítésdíszt úgy készítenek, hogy egy 6 cm élű kocka szemközti oldalainak csúcsait összekötik a kocka középpontjával (középen pontszerűen összehegesztik). Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszínét! 1 V = 6 1 5858,7 cm. m = 1, az egész test 6 1 felszíne A = 6 + 8 64 cm. 56. A 0 cm magasságú, 18 cm alapélű, négyzet alapú szabályos gúlát az alaplapjával felfelé fordítjuk, és a magasság feléig megtöltjük vízzel. Ezután lezárjuk, és a gúlát az alaplapjára fordítva lerakjuk az asztalra. Milyen magasan áll benne a víz? Az egész gúla térfogata 18 0 = 160, a beleöntött víz 9 10 térfogata = 70 (cm ); a hasonlóság miatt az alapél is felére csökken, 9 cm-re. Megfordítás után a hasonlóság miatt x y =, ahonnan y = 0, 9 x 0 18 A felső gúla térfogata 160 70 = 1890 (cm ). A térfogat képletével számolva y x 0,81x 1890 =, beírva az előbbi összefüggést 1890 =, x = 7000 19, 1(cm). A víz tehát mindössze kb. 9 mm magasan áll a gúlában. 57. Egy szabályos ötszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 6,8 cm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? Az alapterület a trigonometrikus területképlettel 6,8 sin 7 számítva: T = 5 109, 9(cm ), az alapél
8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a = 6,8 sin 6 8,0 (cm). A 45 azt jelenti, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszögekkel számolhatunk. x = 6,8 cos6 5, 5 (cm). a) M T M a m = r = 6,8 (cm); V = 49,1 cm ; A = T + 5, ahol m = x + M 8,7 (cm). Behelyettesítve az adatokat A 8,9 cm. T M b) M = x 5,5 (cm); V = 01,5 cm ; m = x 7, 8 (cm); A 65,9 cm. 58. Egy nyolcszög alapú szabályos gúla alaplapja köré, dm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 5 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? A nagyobb pontosság miatt centiméterben számolunk, és az eredményt a végén váltjuk át és kerekítjük. sin 45 T = 8 1496, (cm ); a = sin,5 17,6 (cm); x = cos,5 1, (cm). a) M = tg5 16, 1(cm); m = M + x 6, 6 (cm); V 1 809,6 cm 8 dm = T M ; a m A = T + 8 68,8 cm,7 dm. b) M = x tg5 14, 8 (cm); m = M + x 5, 9(cm); V 781, cm 7,4 dm ; A 19,6 cm, dm. 59. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla testmagassága 5 -os szöget zár be az oldallap magasságával, és a két magasság különbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha a fedőlap éle cm? m M = 6, 8; M = m cos 5, ezért M ( 1 cos 5 ) = 6,8, ahonnan M 7,6 (cm), m 80, 1(cm).
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 x = m sin 5,9 (cm), a = + x 90, 8 (cm); T 844, 6 (cm ), t = 59 (cm ), 6861,4 cm V 6,9 dm ; A 7004,4 cm 70 dm. 60. Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla fedőlapjának és alaplapjának élei közötti különbség 1 cm, testmagassága 1,8 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 498 cm? a c 1 M = 1,8 (cm); a = c + 1 ; x = = = 6 (cm); m = M + x 15 (cm). A térfogat [ + ( c + 1) c + ( 1) ] 1,8 498 = c c +, ahonnan c + 1c 1 = 0 adódik. Ennek pozitív megoldása: c = 7 (cm), ebből a = 19 (cm). A felszín a + c A = t + T + 4 m = 1190 cm. 61. Mekkora annak a négyzet alapú csonkagúlának a térfogata és felszíne, amelyiknek hálója az ábrán látható? m = 10 5 = 75 8,7 ; M = m 5 = 50 7, 1; t = 8 = 64; T = 18 = 4 ; a + c A = t + T + 4 m 840,4 cm ( t + t T + ) 159,1 cm M V = T ;.
40 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Kislexikon A test térfogata: annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk. Térfogategység: az egységélű kocka térfogata. A test felszíne: a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja. Konvex poliéder: bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Euler tétele: l + c = e + (lapok + csúcsok száma = élek száma + ); minden konvex poliéderre teljesül. Szabályos poliéder: élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Hasáb: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező bezárt térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasáb: olyan hasáb, amelynél az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Palást: a poliéder oldallapjainak együttese. Gúla: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező bezárt térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága. Csonkagúlát kapunk, ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal.
4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 41 Gyakran előforduló poliéderek térfogata és felszíne: A kocka térfogata: V = a, felszíne A = 6a (a a kocka éle). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei). A hasáb térfogata: V = alapterület testmagasság, felszíne: A = alapterület + a palást területe. A gúla térfogata V összege adja. alapterület magasság =, felszínét a határoló lapok területeinek M A csonkagúla térfogata: V ( T + t T + t) T az alaplap területe. =, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, Hasonló testek: két test hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikhoz rendeli. Hasonló testek esetén fennáll a síkidomokra is érvényes állítás: az egyik alakzat két tetszőleges pontjának egymástól való távolsága s a másik alakzat megfelelő pontjainak egymástól való távolsága között levő arány állandó. Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe.