12. osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből

Hasonló dokumentumok
1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI február 21. KÖZÉPSZINT I.

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

10. Koordinátageometria

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

Gyakorló feladatsor a matematika érettségire

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Függvények Megoldások

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA május 5.

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f l 2 f 2 + l 2

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 16. KÖZÉPSZINT I.

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

Harmadikos vizsga Név: osztály:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

Próba érettségi feladatsor április I. RÉSZ

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Vektorok és koordinátageometria

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

5. feladatsor megoldása

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

1. Feladatsor. I. rész

2009. májusi matematika érettségi közép szint

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 21. EMELT SZINT

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Számelmélet Megoldások

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

VI. Felkészítő feladatsor

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

2017/2018. Matematika 9.K

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

Koordinátageometria Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 06. KÖZÉPSZINT I.

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Átírás:

. osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből I. feladatlap.) Mi lesz [-;] intervallumon értelmezett f()= - függvény értékkészlete, minimumhelye és értéke! Tanulni -es könyvből a definíciókat: 8.o a függvény, az értelmezési tartomány, az értékkészlet -6.o zérushely, növekvő(csökkenő)függvény, szélsőértékek 8.o páros- páratlan- periodikus függvény 9-es könyvben kidolgozott feladatok: 0/ és 0/ Értékkészlet: y ;8 minimumának helye 0 minimumának értéke y g függvényt! gyakorlás: ábrázold és jellemezd a kidolgozott feladat: függvény grafikon felrajzolása és teljes függvényvizsgálat=függvényjellemzés Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán a f : sin függvényt! grafikon felrajzolása: sin sin(- ) sin(- sin(- ) )+ függvényvizsgálat ÉT ÉK 0; 6 zérushely k k Z ma hely k, ma értéke y 6 ; min hely k, min értéke y 0 szig mon nő 0 ; k szig mon csökk ; k periodikus függvény, periódusa páros függvény, mert szimmetrikus az y tengelyre nem páratlan függvény, mert nem szimmetrikus az origóra

.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 0 0 9-es könyvben tanulni zöld keretest 78.o, kidolgozott feladat 78/ és 79/, gyakorolni 8/,. - ebben a feladatban kikötéseket kell tenni: gyökjel alatt nem állhat negatív szám, azaz esetén teljesülni kell, hogy 0 0 0 ez az első kikötés. - egy tört nagyobb, mint nulla azaz pozitív, ha számlálójának és nevezőjének előjele megegyezik vagy 0 - egy tört kisebb, mint nulla azaz negatív, ha számlálójának és nevezőjének az előjele ellentétes vagy 0 - a feladatban 0 a számlálóban 0 0 0 pozitív szám áll, tehát az első szabály szerint a nevező is pozitív kell legyen 0 0 0 0 0 ez a második kikötés. - az első és a második kikötés közös része 0 így ez a végleges kikötés. - -es könyvben kidolgozott feladatok 87/8, 88/9 - Gyakorlásnak 8 0 0 és 0 8.). Adott két halmaz: A={egyjegyű pozitív páros számok} ; B={;;6;7}. Sorolja fel az A B és az A/B elemeit! Tanulni -es könyvben 6. oldalon részhalmaz, 9.oldalon komplementer, unió, metszet 9-es könyvben.o részhalmaz, 7.o komplementer, metszet, unió, 8,o különbség, gyakorlás 0/. A={; ; 6; 8} A B-(A metszet B) elemei, amelyek mindkettőben benne vannak: A B={;;6}. A/B-(A különbség B) elemei, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nincsenek: A/B={8}.. A B {;;;;;6}, A \ B {;} és A B {;}. Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! Venn-diagramban középen a metszetben {;}, metszeten kívül csak A-ban {;}, ezért az A B {;;;;;6}-ből a metszeten kívül csak B-ben {;6} maradt. Az ábráról leolvasva A {;;;} és B {;;;6} Gyakorlásnak: Legyen A és B halmaz elemei A,0,,9,,6 B,0,,9,6,7, Sorold fel A B és A B és A/ B és B/ A halmazok elemeit!.). Öt szám átlaga 6. Az öt szám közül négyet ismerünk, ezek a, a 7, a 8, és a 0. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! 0-es könyv 9. oldalon számtani és mértani közép, kidolgozott 9/, gyakorlás 98/,,. a b c d e öt szám átlaga, helyettesítsük be az ismert számot és az ismert átlagot, 7 8 0 az ismeretlen szám legyen az a : 6 a az egyenletből kiszámítjuk a -t 7 6 a / 0 a 7 / 7 7 8 0 0 a ellenőrzés: 6. Számold ki a 8 a 7 és a számok mértani közepét! a a... a n számok mértani közepe n a a a n, ebbe behelyettesítve 8 7 7000 0

. Zsuzsa egyik testvére hét évvel idősebb a másik testvérénél. A két testvér életkorának mértani közepe. Hány éves Zsuzsa két testvére? A egyik testvér életkora legyen, ekkor a másik életkora lesz. Ezek mértani közepe 7 mindkét oldalt négyzerte emelve 7 zárójelet felbontva és 0-ra rendezve 7 0 7 a másodfokú egyenlet megoldó képletébe behelyettesítve 6 ez nem lehet életkor, 9 a testvérek 9 és évesek. Gyakorlásnak: Hat szám átlaga 0. A hat szám közül ötöt ismerünk, ezek a,, 8, 7, 9. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! 9 7 6.). Írja fel annak a p egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P0(-;) ponton, és párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel! Tanulni -es könyvben 7-7.o (normálvektor, irányvektor, egyenes normálvektoros egyenlete) -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6 egyenes egyenletéhez kell a) egy pont, ami rajta van az egyenesen b) egy normálvektor, ami merőleges az egyenesre a egyenes a) egy pontja a n A; B, mert a feladat szerint átmegy a P0(-;) ponton b) mivel párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel, normálvektoraik megegyeznek. p Ha egy egyenes normálvektora n A; B, az egyenes egy pontja P0 ; y akkor az egyenes normálvektoros egyenletének képlete A By A 0 By0 ebből leolvasható az + y = 0 egyenletű egyenes normálvektora: n A ; B, ezért ez lesz a P0(-;) ponton átmenő p egyenesre merőleges normálvektor is. a keresett egyenes normálvektora A ; B P 0 ; y behelyettesítve az egyenes normálvektoros egyenletének A By A 0 By ) képletébe p y a keresett. A ; 7 B; ;8 C egy háromszög csúcsai n, az egyenes egy pontja p ( 0 egyenes egyenlete y -es könyvben tanulni 98-99, 0 Kidolgozott feladatok: 98/, 0/ Gyakorolni: 0/,,,8. Számold ki AC oldal harmadolópontjainak koordinátáit! A -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H A H A a c C -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H c a a c ; c a ; 7 8 ; C H C 8 7 ; 0 0 ; ; 0 0 -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6. Írd fel BC oldalegyenes egyenletét! BC egyenessel párhuzamos BC irányvektor: BC c b ; c b v ; 8 v; 9 v 90 -os elforgatásával az egyenes normálvektorát kapjuk: n 9;, az egyene s egy pontja B ; Az egyenes normálvektoros egyenlete: P az egyenesen rajta levő pont, A B 0 0 ; y0 A By A 0 By 0 ebbe behelyettesítve n 9; és ; n ; az egyenesre merőleges vektor, az egyenes egyenlete: B koordinátáit BC oldalegyenes egyenlete 9 y 9 -es könyvben tanulni 9 Kidolgozott feladatok: 9/, Gyakorolni: 97/,,. Számold ki AC oldal hosszát! AC oldal hossza megegyezik AC vektor hosszával:

AC ; 8 7 7;, ennek hossza: AC AC AC 7 0 7, 07. Írd fel AB oldalfelező merőlegesének egyenletét! AB F AB oldalfelező merőleges egyenese átmegy AB felezőpontján: a b a ; b 7 ; F ; rajta van az egyenesen és merőleges AB oldalra, ezért AB vektor normálvektora lesz az egyenesnek: AB n ; 7 n6 ; 8 A By A 0 By az egyenes egyenlete: 0 n 6; 8 ; ebbe behelyettesítve és F merőleges az egyenesre koordinátáit AB oldalfelező merőlegesének egyenlete 6 8y 0 -es könyvben tanulni, Kidolgozott feladatok: /6/ Gyakorolni: /,. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja B, sugara egység hosszú! K u ; v középpontú r sugarú kör egyenlete u y v r behelyettesítve és -t a kör egyenlete: y y 9 B ; r 6. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek egyik átmérője az AB szakasz! átmérő felezőpontja a kör középpontja K F; a kör sugara az AF szakasz hossza, ami az AF vektor AB ; 7 a kör egyenlete: y y -es könyvben tanulni 9-0, Kidolgozott feladatok: 9/ Gyakorolni: / 7. Számítsd ki az e : y és g : y 7 hossza egyenes metszéspontjának koordinátáit! kétismeretlenes egyenletrendszert írunk fel e és g egyenletével egyenes egyenletéből kifejezzük y g -et behelyettesítés e -et: 7 y 7 y 9y y egyenes egyenletébe zárójel felbontása y M ; r AF 6.). Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögek nagyságát, amelyekre igaz, hogy sin = -es könyvben kidolgozott feladat 0/6, 0/7 -es könyvben kidolgozott feladat 6/, gyakorolni 6/bc http://zanza.tv/matematika/geometria/trigonometrikus-egyenletek-megoldasa sin = 0, 866 keressük vissza a számológépen, hogy a 0,866 szám milyen fokú szög sinusa (beírod a 0,866-ot és sin -t ütsz be, ez kiadja a szöget fokban. Tehát sin 0,866 60 ) De egy számhoz, itt most a 0,866-hoz két szög tartozik, a géppel viszont csak egyet lehet kiszámolni, az egyik az előbb a géppel kiszámolt 60, a másik kiszámolásának szabálya sinus szögfüggvény esetén 80 80 60 0 Tehát a keresett két szög 60 és 0.!. Mekkora valós szám, ha cos 0,? 60 60 valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k 60 60 valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k. Mekkora, ha

sin 0,866 cos, 707 60 60 cos k 80 60 0 60 nincs mego k tg ctg,? ctg, tg 60 k80 tg 0,,8 k80 A -es könyv nagyon szűkszavú és nehéz feladatokat hoz, magam írok könnyebbeket gyakorolni: Mekkora valós szám, ha sin 0, 707? Mekkora, ha cos 0, 866 sin, 707 tg, ctg 7.). Oldja meg az alábbi egyenletet! 8 -es könyvben tanulni 66.o hatványozás azonosságait alkalmazva minden átírunk -es alapú hatványokra / baloldalon összevonunk az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával mivel az eponenciális függvény szig. mon. nő, ezért az alapokat elhagyhatom /, -es könyvben kidolgozott feladat 97/9 -es könyvben kidolgozott feladat 8/,, gyakorlás 9/abde. Oldd meg az eponenciális és logaritmusos egyenleteket! a) b) c) 9 8 9 0 d) 8 e) log f) lg lg 6 g, log log g) a) 8 7,, mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom b) 6 mivel ep fv szig mon

6 / 6 6 6 6 0 0,6 6 -es könyvben tanulni 66.o és 8/, kidolgozott feladat, gyakorlás 9/abde 9 8 9 c) 0 8 9 0 y behelyettesítve y 8 y 9 0 y, 8 y 9 6 mivel ep fv szig mon 9 8 6 6 8 0 ellenőrzés: 9 8 9 8 89 9 8 7 9 0 y y 9 y pozitív szám hatványa mindig pozitív, ezért nincs megoldás -es könyvben tanulni 87/ kidolgozott feladat d) / 8 / 7 kiemelése mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom ellenőrzés: egyenlet bal oldala 8 -es könyvben tanulni 86/ kidolgozott feladat. Hasonló feladatok a -es könyvben 9/ log -es könyvben tanulni logaritmus azonosságai 0-0.o 0/, kidolgozott feladat, gyakorolni 06/, kikötés 0 76 Ellenőrzés Hasonló feladatok a -es könyvben 07/ kidolgozott feladat és /ab e) kikötés: 0 és 6 0 a közös rész lesz a kikötés: 0 lg 6 g, f) lg lg 6 g, lg lg 6 lg0lg, 0 lg lg mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton nő, az lg-t elhagyhatom

0 0 8 0 a ; b 0; c 8, 0 0 8 0 00 6 0 6 0 6 és, összevetés a kikötéssel: nem lehet megoldás megoldás lg lg 6 lg lg lg lg egyenlet jobb oldala tehát jó megoldás ellenőrzés: egyenlet bal oldala g) log lg log kikötés: 0 és 0, log log a közös rész lesz a kikötés:, mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, az lg-t elhagyhatom 6 ellenőrzés log log log log 0 Hasonló feladatok a -es könyvben 08/ és 09/ kidolgozott feladatok és /c-h cd cd 8.) Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd -es könyv 78.o a ba b, a b, a b 9-es könyv 60.o a b, b a b a b 66.o szorzattá alakítás: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok.kidolgozott feladatok: 68/,, alakítsuk szorzattá a számlálót úgy, hogy emeljük ki az összeg mindkét tagjából cd -t a zárójel elé: cd cd cd d (már látszik, hogy cd -vel leegyszerűsíthetek) d. cd cd feladatok megoldással a -es könyvben: 79/,, 80/, Gyakorlás:-es könyv 8/ 9-es könyv 7/. cd cd Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd 9.) Egy mértani sorozat harmadik eleme 6, hetedik eleme. Mekkora a sorozat hányadosa? Tanulni -es könyvben és 6.oldalon a definíciók és képletek a q a7 ebbe behelyettesítve 6 q / 6 ebből q -t kifejezzük q /, az eredmények q és q 6 Hasonló feladatok megoldással a -es könyvben: 7/6. és 8/7. Gyakorló feladatok -es könyvben: 60/,,,. a, q, a? S? a 6, q, a? a, q, a? S? 0 8 a és 6.o 6 7 0.). Szóbeli érettségi vizsgára az osztály 0 tanulója közül az első csoportba négyen kerülnek. Hányféleképpen lehet a 0 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,. http://www.ementor.hu/?q=node/76 -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a -es csoporton belül a sorrend nem számít, ezért ez egy kombináció.

n n! Az alkalmazandó szabály: k k! n k! 0 0! 0 9 8 7 a feladatban és 8 féleképp lehet kiválasztani.! 6! Számológéppel egyszerűbb: beütöd a 0-at, aztán az (ncr) gombot /általában a gombok felett a második sorban szerepel/, majd beütöd a -et.. ;;6;7;8; 9 n 0 k 0 ncr 0 számkártyákkal hány hatjegyű páratlan szám van, hogy minden kártya csak egyszer használható? (ismétlés nélküli permutáció) külön vesszük az 7 és 9 végződést: végű: ****=96db 7 végű: ****=96db 9 végű: ****=96db összesen: *96 = 88 db. ;;6;7;8; 9 0 számkártyákkal hány olyan háromjegyű szám van, hogy a kártyák ismétlődhetnek? (ismétléses variáció) *6*6=80db. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót? (ismétlés nélküli permutáció) Az első helyre színből választhatunk, a másodikra a maradék -ből, a harmadikra a maradék - ből stb., azaz összesen n!-ba behelyettesítve! =0 lehetőség van.. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót? (ismétléses permutáció) Ha mind a 6 golyó különböző színű lenne, akkor n! 6! = 6 =70 lehetőségünk volna. A két zöld golyót =, a három kéket pedig =6-féleképpen lehet sorba rakni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 70 lehetőséget -vel, ill. 6-tal el kell osztani, n! 70 azaz -ba behelyettesítve összesen 60 lehetőség van. p! p!! 6 p 6. Egy csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? (ismétlés nélküli variáció) Az első helyre a csapatból bármelyik kerülhet, a második helyre a maradék -ből, a harmadikra a maradék 0-ből választhatunk, azaz összesen 0=0-féle sorrend lehetséges. 7. Egy házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha -féle festékünk van? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) (ismétléses variáció) Mind az házhoz használhatjuk bármelyiket a -féle festék közül, azaz összesen =0 lehetőség van. 8. 0 gyerek közül 7 mehet kirándulni. Hányféleképp választhatod ki a 7 gyereket? (ismétlés nélküli kombináció) A kiválasztottak sorrendje nem számít, ezért kombinációval számolunk: n n! 0 -ba behelyettesítve 770 Számológéppel: 0 ncr 7 k k! n k! 7 9. Egy 0 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik? (ismétlés nélküli kombináció)

. megoldás: az első ember 9 másikkal fog kezet, a második 8 emberrel (az elsővel való kézfogását az első embernél már beszámítottuk), a harmadik 7 emberrel stb., azaz összesen 9+8+7+6+++++= kézfogás történik.. megoldás: minden ember 9 másikkal fog kezet, ez összesen 9 0=90. Így azonban minden kézfogást duplán számolunk (mindkét "kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztani, azaz összesen 90/= kézfogás történik.. megoldás: annyi kézfogás történik, ahányféleképpen kiválaszthatunk embert a 0-ből. Azaz 0 0!/(! 8!)=. megoldás: felrajzolod a gráfot, megszámolod az éleit. 0. Laci, Emőke, Pisti, Éva, Ica és Béla versenyeznek. Mennyi a valószínűsége, hogy Pisti nyer, és egy lány lesz a harmadik? kedvező esetek száma: 7 összes eset száma: 6! 70 kedvező/összes = 7/70 = 0, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 II. feladatlap (Az alábbi három feladat közül a pótvizsgán csak kettőt kell kiválasztani és megoldani!).) Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a an a Tanulni -es könyvben 8-9.oldal a n a n n d d Sn n S n a.) Hány méter utat aszfaltoznak le a -dik munkanapon? - Ez a szöveges példa egy számtani sorozatot ad meg: 0 - ezért a -dik munkanapon leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz a n a n - a szükséges képlet: d - a 0, d behelyettesítésével a 0 0 0 90 00 - a. munkanapon 00 méter utat aszfaltoztak le. Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/,. és 0/. Gyakorló feladatok -es könyvben: /,,,8,9. Gyakorlásra:.) a, d 8, a?.) a 98, d 6, a? b.) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában, km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? -, km = 00 m, ennyit aszfaltoztak le összesen S 00, tehát az összegképlettel a n d S n n kell kiszámolni n -et. - Sn 00 a 0, d behelyettesítésével 0 n 00 n / 800 0 n n 800 n n 800 n n / n a. n

másodfokú egyenlet, ezért 0-ra rendezzük: 60 n n / 60 megoldóképlet: n, 0 n n 60 b b ac itt a, b, c 60 a 60 809 9,7 behelyettesítve n, n, a. munkanapon lesznek kész n 67, a napok száma nem lehet negatív, nem megoldás Gyakorlásra:.) a, d 8, S?.) a, a6 0, S? c.) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? - az utolsónap a. nap, a leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz - a szükséges képlet: a n d a 0, a n - a 0 0 0 0 - a -dik utolsó munkanapon 0 méter utat aszfaltoztak le. d behelyettesítésével 0 a.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 0 cm, palástjának területe (az oldallapok területösszege) ötszöröse az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? Tanulni -es könyvben 9.o téglatest és kocka térfogata és felszíne, 9.o hasáb térfogata és felszíne a b sin - a háromszög területének képlete, ahol a és b oldalak által bezárt szög T - az alaplap szabályos háromszög, mindhárom oldala 0 cm és minden belső szöge, ezt 0 0 sin 60 behelyettesítve a képletbe T háromszög, cm az alapháromszög területe. - a palást db egybevágó téglalap, melynek egyik oldala a 0 cm-es háromszög alapéle, másik oldala a hasáb magassága - ezért a palást területe az oldallapok területösszege, azaz a egybevágó téglalap területösszege T palást 0 m 0 m (m) - a feladat szerint a palást területe ( T palást 0m ) ötszöröse az egyik alaplap területének ( T háromszög, ), egyenletben felírva Tpalást Tháromszög, behelyettesítve 0m, - ebből a test magasságát kifejezzük 0m, / 0 m 7, cm - ezt behelyettesítve a palást területe T palást - a hasáb felszínének képletébe behelyettesítve A T T, 6,6 0, cm. hasáb alaplap palást - a hasáb térfogatának képletébe behelyettesítve V 0m 0 7, 6,6 cm hasáb T alaplap. 60 m, 7,,6 cm Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/, 9/, 96/. Gyakorló feladatok -es könyvben: 97-6. Gyakorlásra:.) Egy kúp alapkörének sugara 6 cm, magassága cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy négyzet alapú gúla alapéle 0 cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy csonkakúp alapkörének sugara 0 cm, fedőkörének sugara cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy szellemi vetélkedő döntőjébe versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és három további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak. Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,.

http://www.ementor.hu/?q=node/76 -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a.) Az hat rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet. Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak? - mind a hatan egyforma jegyet kapnak, sorrend nem számít, ez kombináció 0 9 8 7 76 vagy géppel,ncr,6 6 6 Gyakorlásnak: Az 90 számból húzott ötös lottón hányféleképp húzhatják ki az öt számot! A számból húzott hatos lottón hányféleképp húzhatják ki a hat számot! b.) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet, a harmadik egy mozijegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? - mind a hat díj különbözik, (ismétlés nélküli variáció) ezért az első díjra -ből, a másodikra - ből, a harmadikra 0-ból, a negyedikre 9-ből, az ötödikre 8-ból, a hatodikra végül 7 gyerekből választhatok 0 9 8 7 760 Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű? c.) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul hat különböző verseskötetet? - első könyv 6, második, harmadik, negyedik, ötödik, hatodik gyereké lehet, ez 6! 6 70 féleképp lehetséges. Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle 8 jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes 6 betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű?