. osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből I. feladatlap.) Mi lesz [-;] intervallumon értelmezett f()= - függvény értékkészlete, minimumhelye és értéke! Tanulni -es könyvből a definíciókat: 8.o a függvény, az értelmezési tartomány, az értékkészlet -6.o zérushely, növekvő(csökkenő)függvény, szélsőértékek 8.o páros- páratlan- periodikus függvény 9-es könyvben kidolgozott feladatok: 0/ és 0/ Értékkészlet: y ;8 minimumának helye 0 minimumának értéke y g függvényt! gyakorlás: ábrázold és jellemezd a kidolgozott feladat: függvény grafikon felrajzolása és teljes függvényvizsgálat=függvényjellemzés Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán a f : sin függvényt! grafikon felrajzolása: sin sin(- ) sin(- sin(- ) )+ függvényvizsgálat ÉT ÉK 0; 6 zérushely k k Z ma hely k, ma értéke y 6 ; min hely k, min értéke y 0 szig mon nő 0 ; k szig mon csökk ; k periodikus függvény, periódusa páros függvény, mert szimmetrikus az y tengelyre nem páratlan függvény, mert nem szimmetrikus az origóra
.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 0 0 9-es könyvben tanulni zöld keretest 78.o, kidolgozott feladat 78/ és 79/, gyakorolni 8/,. - ebben a feladatban kikötéseket kell tenni: gyökjel alatt nem állhat negatív szám, azaz esetén teljesülni kell, hogy 0 0 0 ez az első kikötés. - egy tört nagyobb, mint nulla azaz pozitív, ha számlálójának és nevezőjének előjele megegyezik vagy 0 - egy tört kisebb, mint nulla azaz negatív, ha számlálójának és nevezőjének az előjele ellentétes vagy 0 - a feladatban 0 a számlálóban 0 0 0 pozitív szám áll, tehát az első szabály szerint a nevező is pozitív kell legyen 0 0 0 0 0 ez a második kikötés. - az első és a második kikötés közös része 0 így ez a végleges kikötés. - -es könyvben kidolgozott feladatok 87/8, 88/9 - Gyakorlásnak 8 0 0 és 0 8.). Adott két halmaz: A={egyjegyű pozitív páros számok} ; B={;;6;7}. Sorolja fel az A B és az A/B elemeit! Tanulni -es könyvben 6. oldalon részhalmaz, 9.oldalon komplementer, unió, metszet 9-es könyvben.o részhalmaz, 7.o komplementer, metszet, unió, 8,o különbség, gyakorlás 0/. A={; ; 6; 8} A B-(A metszet B) elemei, amelyek mindkettőben benne vannak: A B={;;6}. A/B-(A különbség B) elemei, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nincsenek: A/B={8}.. A B {;;;;;6}, A \ B {;} és A B {;}. Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! Venn-diagramban középen a metszetben {;}, metszeten kívül csak A-ban {;}, ezért az A B {;;;;;6}-ből a metszeten kívül csak B-ben {;6} maradt. Az ábráról leolvasva A {;;;} és B {;;;6} Gyakorlásnak: Legyen A és B halmaz elemei A,0,,9,,6 B,0,,9,6,7, Sorold fel A B és A B és A/ B és B/ A halmazok elemeit!.). Öt szám átlaga 6. Az öt szám közül négyet ismerünk, ezek a, a 7, a 8, és a 0. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! 0-es könyv 9. oldalon számtani és mértani közép, kidolgozott 9/, gyakorlás 98/,,. a b c d e öt szám átlaga, helyettesítsük be az ismert számot és az ismert átlagot, 7 8 0 az ismeretlen szám legyen az a : 6 a az egyenletből kiszámítjuk a -t 7 6 a / 0 a 7 / 7 7 8 0 0 a ellenőrzés: 6. Számold ki a 8 a 7 és a számok mértani közepét! a a... a n számok mértani közepe n a a a n, ebbe behelyettesítve 8 7 7000 0
. Zsuzsa egyik testvére hét évvel idősebb a másik testvérénél. A két testvér életkorának mértani közepe. Hány éves Zsuzsa két testvére? A egyik testvér életkora legyen, ekkor a másik életkora lesz. Ezek mértani közepe 7 mindkét oldalt négyzerte emelve 7 zárójelet felbontva és 0-ra rendezve 7 0 7 a másodfokú egyenlet megoldó képletébe behelyettesítve 6 ez nem lehet életkor, 9 a testvérek 9 és évesek. Gyakorlásnak: Hat szám átlaga 0. A hat szám közül ötöt ismerünk, ezek a,, 8, 7, 9. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! 9 7 6.). Írja fel annak a p egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P0(-;) ponton, és párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel! Tanulni -es könyvben 7-7.o (normálvektor, irányvektor, egyenes normálvektoros egyenlete) -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6 egyenes egyenletéhez kell a) egy pont, ami rajta van az egyenesen b) egy normálvektor, ami merőleges az egyenesre a egyenes a) egy pontja a n A; B, mert a feladat szerint átmegy a P0(-;) ponton b) mivel párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel, normálvektoraik megegyeznek. p Ha egy egyenes normálvektora n A; B, az egyenes egy pontja P0 ; y akkor az egyenes normálvektoros egyenletének képlete A By A 0 By0 ebből leolvasható az + y = 0 egyenletű egyenes normálvektora: n A ; B, ezért ez lesz a P0(-;) ponton átmenő p egyenesre merőleges normálvektor is. a keresett egyenes normálvektora A ; B P 0 ; y behelyettesítve az egyenes normálvektoros egyenletének A By A 0 By ) képletébe p y a keresett. A ; 7 B; ;8 C egy háromszög csúcsai n, az egyenes egy pontja p ( 0 egyenes egyenlete y -es könyvben tanulni 98-99, 0 Kidolgozott feladatok: 98/, 0/ Gyakorolni: 0/,,,8. Számold ki AC oldal harmadolópontjainak koordinátáit! A -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H A H A a c C -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H c a a c ; c a ; 7 8 ; C H C 8 7 ; 0 0 ; ; 0 0 -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6. Írd fel BC oldalegyenes egyenletét! BC egyenessel párhuzamos BC irányvektor: BC c b ; c b v ; 8 v; 9 v 90 -os elforgatásával az egyenes normálvektorát kapjuk: n 9;, az egyene s egy pontja B ; Az egyenes normálvektoros egyenlete: P az egyenesen rajta levő pont, A B 0 0 ; y0 A By A 0 By 0 ebbe behelyettesítve n 9; és ; n ; az egyenesre merőleges vektor, az egyenes egyenlete: B koordinátáit BC oldalegyenes egyenlete 9 y 9 -es könyvben tanulni 9 Kidolgozott feladatok: 9/, Gyakorolni: 97/,,. Számold ki AC oldal hosszát! AC oldal hossza megegyezik AC vektor hosszával:
AC ; 8 7 7;, ennek hossza: AC AC AC 7 0 7, 07. Írd fel AB oldalfelező merőlegesének egyenletét! AB F AB oldalfelező merőleges egyenese átmegy AB felezőpontján: a b a ; b 7 ; F ; rajta van az egyenesen és merőleges AB oldalra, ezért AB vektor normálvektora lesz az egyenesnek: AB n ; 7 n6 ; 8 A By A 0 By az egyenes egyenlete: 0 n 6; 8 ; ebbe behelyettesítve és F merőleges az egyenesre koordinátáit AB oldalfelező merőlegesének egyenlete 6 8y 0 -es könyvben tanulni, Kidolgozott feladatok: /6/ Gyakorolni: /,. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja B, sugara egység hosszú! K u ; v középpontú r sugarú kör egyenlete u y v r behelyettesítve és -t a kör egyenlete: y y 9 B ; r 6. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek egyik átmérője az AB szakasz! átmérő felezőpontja a kör középpontja K F; a kör sugara az AF szakasz hossza, ami az AF vektor AB ; 7 a kör egyenlete: y y -es könyvben tanulni 9-0, Kidolgozott feladatok: 9/ Gyakorolni: / 7. Számítsd ki az e : y és g : y 7 hossza egyenes metszéspontjának koordinátáit! kétismeretlenes egyenletrendszert írunk fel e és g egyenletével egyenes egyenletéből kifejezzük y g -et behelyettesítés e -et: 7 y 7 y 9y y egyenes egyenletébe zárójel felbontása y M ; r AF 6.). Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögek nagyságát, amelyekre igaz, hogy sin = -es könyvben kidolgozott feladat 0/6, 0/7 -es könyvben kidolgozott feladat 6/, gyakorolni 6/bc http://zanza.tv/matematika/geometria/trigonometrikus-egyenletek-megoldasa sin = 0, 866 keressük vissza a számológépen, hogy a 0,866 szám milyen fokú szög sinusa (beírod a 0,866-ot és sin -t ütsz be, ez kiadja a szöget fokban. Tehát sin 0,866 60 ) De egy számhoz, itt most a 0,866-hoz két szög tartozik, a géppel viszont csak egyet lehet kiszámolni, az egyik az előbb a géppel kiszámolt 60, a másik kiszámolásának szabálya sinus szögfüggvény esetén 80 80 60 0 Tehát a keresett két szög 60 és 0.!. Mekkora valós szám, ha cos 0,? 60 60 valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k 60 60 valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k. Mekkora, ha
sin 0,866 cos, 707 60 60 cos k 80 60 0 60 nincs mego k tg ctg,? ctg, tg 60 k80 tg 0,,8 k80 A -es könyv nagyon szűkszavú és nehéz feladatokat hoz, magam írok könnyebbeket gyakorolni: Mekkora valós szám, ha sin 0, 707? Mekkora, ha cos 0, 866 sin, 707 tg, ctg 7.). Oldja meg az alábbi egyenletet! 8 -es könyvben tanulni 66.o hatványozás azonosságait alkalmazva minden átírunk -es alapú hatványokra / baloldalon összevonunk az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával mivel az eponenciális függvény szig. mon. nő, ezért az alapokat elhagyhatom /, -es könyvben kidolgozott feladat 97/9 -es könyvben kidolgozott feladat 8/,, gyakorlás 9/abde. Oldd meg az eponenciális és logaritmusos egyenleteket! a) b) c) 9 8 9 0 d) 8 e) log f) lg lg 6 g, log log g) a) 8 7,, mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom b) 6 mivel ep fv szig mon
6 / 6 6 6 6 0 0,6 6 -es könyvben tanulni 66.o és 8/, kidolgozott feladat, gyakorlás 9/abde 9 8 9 c) 0 8 9 0 y behelyettesítve y 8 y 9 0 y, 8 y 9 6 mivel ep fv szig mon 9 8 6 6 8 0 ellenőrzés: 9 8 9 8 89 9 8 7 9 0 y y 9 y pozitív szám hatványa mindig pozitív, ezért nincs megoldás -es könyvben tanulni 87/ kidolgozott feladat d) / 8 / 7 kiemelése mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom ellenőrzés: egyenlet bal oldala 8 -es könyvben tanulni 86/ kidolgozott feladat. Hasonló feladatok a -es könyvben 9/ log -es könyvben tanulni logaritmus azonosságai 0-0.o 0/, kidolgozott feladat, gyakorolni 06/, kikötés 0 76 Ellenőrzés Hasonló feladatok a -es könyvben 07/ kidolgozott feladat és /ab e) kikötés: 0 és 6 0 a közös rész lesz a kikötés: 0 lg 6 g, f) lg lg 6 g, lg lg 6 lg0lg, 0 lg lg mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton nő, az lg-t elhagyhatom
0 0 8 0 a ; b 0; c 8, 0 0 8 0 00 6 0 6 0 6 és, összevetés a kikötéssel: nem lehet megoldás megoldás lg lg 6 lg lg lg lg egyenlet jobb oldala tehát jó megoldás ellenőrzés: egyenlet bal oldala g) log lg log kikötés: 0 és 0, log log a közös rész lesz a kikötés:, mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, az lg-t elhagyhatom 6 ellenőrzés log log log log 0 Hasonló feladatok a -es könyvben 08/ és 09/ kidolgozott feladatok és /c-h cd cd 8.) Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd -es könyv 78.o a ba b, a b, a b 9-es könyv 60.o a b, b a b a b 66.o szorzattá alakítás: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok.kidolgozott feladatok: 68/,, alakítsuk szorzattá a számlálót úgy, hogy emeljük ki az összeg mindkét tagjából cd -t a zárójel elé: cd cd cd d (már látszik, hogy cd -vel leegyszerűsíthetek) d. cd cd feladatok megoldással a -es könyvben: 79/,, 80/, Gyakorlás:-es könyv 8/ 9-es könyv 7/. cd cd Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd 9.) Egy mértani sorozat harmadik eleme 6, hetedik eleme. Mekkora a sorozat hányadosa? Tanulni -es könyvben és 6.oldalon a definíciók és képletek a q a7 ebbe behelyettesítve 6 q / 6 ebből q -t kifejezzük q /, az eredmények q és q 6 Hasonló feladatok megoldással a -es könyvben: 7/6. és 8/7. Gyakorló feladatok -es könyvben: 60/,,,. a, q, a? S? a 6, q, a? a, q, a? S? 0 8 a és 6.o 6 7 0.). Szóbeli érettségi vizsgára az osztály 0 tanulója közül az első csoportba négyen kerülnek. Hányféleképpen lehet a 0 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,. http://www.ementor.hu/?q=node/76 -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a -es csoporton belül a sorrend nem számít, ezért ez egy kombináció.
n n! Az alkalmazandó szabály: k k! n k! 0 0! 0 9 8 7 a feladatban és 8 féleképp lehet kiválasztani.! 6! Számológéppel egyszerűbb: beütöd a 0-at, aztán az (ncr) gombot /általában a gombok felett a második sorban szerepel/, majd beütöd a -et.. ;;6;7;8; 9 n 0 k 0 ncr 0 számkártyákkal hány hatjegyű páratlan szám van, hogy minden kártya csak egyszer használható? (ismétlés nélküli permutáció) külön vesszük az 7 és 9 végződést: végű: ****=96db 7 végű: ****=96db 9 végű: ****=96db összesen: *96 = 88 db. ;;6;7;8; 9 0 számkártyákkal hány olyan háromjegyű szám van, hogy a kártyák ismétlődhetnek? (ismétléses variáció) *6*6=80db. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót? (ismétlés nélküli permutáció) Az első helyre színből választhatunk, a másodikra a maradék -ből, a harmadikra a maradék - ből stb., azaz összesen n!-ba behelyettesítve! =0 lehetőség van.. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót? (ismétléses permutáció) Ha mind a 6 golyó különböző színű lenne, akkor n! 6! = 6 =70 lehetőségünk volna. A két zöld golyót =, a három kéket pedig =6-féleképpen lehet sorba rakni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 70 lehetőséget -vel, ill. 6-tal el kell osztani, n! 70 azaz -ba behelyettesítve összesen 60 lehetőség van. p! p!! 6 p 6. Egy csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? (ismétlés nélküli variáció) Az első helyre a csapatból bármelyik kerülhet, a második helyre a maradék -ből, a harmadikra a maradék 0-ből választhatunk, azaz összesen 0=0-féle sorrend lehetséges. 7. Egy házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha -féle festékünk van? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) (ismétléses variáció) Mind az házhoz használhatjuk bármelyiket a -féle festék közül, azaz összesen =0 lehetőség van. 8. 0 gyerek közül 7 mehet kirándulni. Hányféleképp választhatod ki a 7 gyereket? (ismétlés nélküli kombináció) A kiválasztottak sorrendje nem számít, ezért kombinációval számolunk: n n! 0 -ba behelyettesítve 770 Számológéppel: 0 ncr 7 k k! n k! 7 9. Egy 0 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik? (ismétlés nélküli kombináció)
. megoldás: az első ember 9 másikkal fog kezet, a második 8 emberrel (az elsővel való kézfogását az első embernél már beszámítottuk), a harmadik 7 emberrel stb., azaz összesen 9+8+7+6+++++= kézfogás történik.. megoldás: minden ember 9 másikkal fog kezet, ez összesen 9 0=90. Így azonban minden kézfogást duplán számolunk (mindkét "kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztani, azaz összesen 90/= kézfogás történik.. megoldás: annyi kézfogás történik, ahányféleképpen kiválaszthatunk embert a 0-ből. Azaz 0 0!/(! 8!)=. megoldás: felrajzolod a gráfot, megszámolod az éleit. 0. Laci, Emőke, Pisti, Éva, Ica és Béla versenyeznek. Mennyi a valószínűsége, hogy Pisti nyer, és egy lány lesz a harmadik? kedvező esetek száma: 7 összes eset száma: 6! 70 kedvező/összes = 7/70 = 0, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 II. feladatlap (Az alábbi három feladat közül a pótvizsgán csak kettőt kell kiválasztani és megoldani!).) Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a an a Tanulni -es könyvben 8-9.oldal a n a n n d d Sn n S n a.) Hány méter utat aszfaltoznak le a -dik munkanapon? - Ez a szöveges példa egy számtani sorozatot ad meg: 0 - ezért a -dik munkanapon leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz a n a n - a szükséges képlet: d - a 0, d behelyettesítésével a 0 0 0 90 00 - a. munkanapon 00 méter utat aszfaltoztak le. Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/,. és 0/. Gyakorló feladatok -es könyvben: /,,,8,9. Gyakorlásra:.) a, d 8, a?.) a 98, d 6, a? b.) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában, km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? -, km = 00 m, ennyit aszfaltoztak le összesen S 00, tehát az összegképlettel a n d S n n kell kiszámolni n -et. - Sn 00 a 0, d behelyettesítésével 0 n 00 n / 800 0 n n 800 n n 800 n n / n a. n
másodfokú egyenlet, ezért 0-ra rendezzük: 60 n n / 60 megoldóképlet: n, 0 n n 60 b b ac itt a, b, c 60 a 60 809 9,7 behelyettesítve n, n, a. munkanapon lesznek kész n 67, a napok száma nem lehet negatív, nem megoldás Gyakorlásra:.) a, d 8, S?.) a, a6 0, S? c.) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? - az utolsónap a. nap, a leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz - a szükséges képlet: a n d a 0, a n - a 0 0 0 0 - a -dik utolsó munkanapon 0 méter utat aszfaltoztak le. d behelyettesítésével 0 a.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 0 cm, palástjának területe (az oldallapok területösszege) ötszöröse az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? Tanulni -es könyvben 9.o téglatest és kocka térfogata és felszíne, 9.o hasáb térfogata és felszíne a b sin - a háromszög területének képlete, ahol a és b oldalak által bezárt szög T - az alaplap szabályos háromszög, mindhárom oldala 0 cm és minden belső szöge, ezt 0 0 sin 60 behelyettesítve a képletbe T háromszög, cm az alapháromszög területe. - a palást db egybevágó téglalap, melynek egyik oldala a 0 cm-es háromszög alapéle, másik oldala a hasáb magassága - ezért a palást területe az oldallapok területösszege, azaz a egybevágó téglalap területösszege T palást 0 m 0 m (m) - a feladat szerint a palást területe ( T palást 0m ) ötszöröse az egyik alaplap területének ( T háromszög, ), egyenletben felírva Tpalást Tháromszög, behelyettesítve 0m, - ebből a test magasságát kifejezzük 0m, / 0 m 7, cm - ezt behelyettesítve a palást területe T palást - a hasáb felszínének képletébe behelyettesítve A T T, 6,6 0, cm. hasáb alaplap palást - a hasáb térfogatának képletébe behelyettesítve V 0m 0 7, 6,6 cm hasáb T alaplap. 60 m, 7,,6 cm Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/, 9/, 96/. Gyakorló feladatok -es könyvben: 97-6. Gyakorlásra:.) Egy kúp alapkörének sugara 6 cm, magassága cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy négyzet alapú gúla alapéle 0 cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy csonkakúp alapkörének sugara 0 cm, fedőkörének sugara cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy szellemi vetélkedő döntőjébe versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és három további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak. Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,.
http://www.ementor.hu/?q=node/76 -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a.) Az hat rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet. Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak? - mind a hatan egyforma jegyet kapnak, sorrend nem számít, ez kombináció 0 9 8 7 76 vagy géppel,ncr,6 6 6 Gyakorlásnak: Az 90 számból húzott ötös lottón hányféleképp húzhatják ki az öt számot! A számból húzott hatos lottón hányféleképp húzhatják ki a hat számot! b.) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet, a harmadik egy mozijegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? - mind a hat díj különbözik, (ismétlés nélküli variáció) ezért az első díjra -ből, a másodikra - ből, a harmadikra 0-ból, a negyedikre 9-ből, az ötödikre 8-ból, a hatodikra végül 7 gyerekből választhatok 0 9 8 7 760 Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű? c.) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul hat különböző verseskötetet? - első könyv 6, második, harmadik, negyedik, ötödik, hatodik gyereké lehet, ez 6! 6 70 féleképp lehetséges. Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle 8 jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes 6 betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű?