Hibrid rendszerek stabilitásvizsgálata és irányítása PhD tézis Írta: Rozgonyi Szabolcs Témavezet : Prof. Hangos Katalin Pannon Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskola 2011
1. Motiváció és eredmények Fizikai rendszerek modellezése fontos feladat mind az elméleti tudomány, mind az ipari alkalmazásokon dolgozó kutatók számára. Rendszermodelleket többnyire vagy analízis vagy szintézis (kontrollertervezés) céljából készítünk mérnöki elvek alapján ([1]). Ezek a rendszerek különböz (lineáris, nemlineáris) eszközökkel írhatók le, melyek között is az egyik legfontosabb mód a közönséges dierenciál-egyenletekkel való leírás. Sok alkalmazás megköveteli (a legtöbb ipari alkalmazás ilyen), hogy képesek legyünk leírni egyfajta diszkrét kapcsolású vagy hibrid viselkedést is. Hibrid rendszereknek azokat a dinamikai rendszereket nevezzük, melyek folytonos és diszkrét viselkedést egyaránt mutatnak. Hibrid rendszerek egy nagy osztálya leírható ún. kapcsolt rendszerként, vagyis amikor bizonyos nem sima változókat beágyazunk folytonos részrendszerekbe (lásd [2]), tehát mikor a dinamika leírható szakaszonként (vagy tartományonként) különböz függvényekkel, melyek folytonosak, de nem feltétlenül dierenciálhatók a dinamikák határain. Fontos probléma a hibrid rendszerek stabilitásának vizsgálata. Léteznek eljárások, melyekkel eldönthet, hogy egy adott folytonos vagy diszkrét rendszer stabil-e, de hibrid rendszerek vonzási tartományát nem könny megtalálni. Bonyolult esetekben sokszor csak szimulációval térképezhet fel egy adott egyensúlyi pont valamely környezete. A jelen disszertációban nemlineáris autonóm rendszerek vonzási tartományának (DOA, Domain of Attraction) becslésére adok módszert. A bemutatott módszer Vanelli és Vidyasagar eljárásának (lásd [3]) javítása. A módszer egy speciális Ljapunov-függvénynek (ún. maximális Ljapunovfüggvénynek) a becslésén alapszik. Továbbá a Paksi Atomer m reaktormodelljének vonzási tartományát is megbecsültem két különböz m ködési módban, mely során kiderült, hogy a tekintett részrendszer a vonzási tartományon belül üzemel. Szakaszonként vagy tartományonként deniált folytonos rendszerekre is kiterjesztettem a javított Vanelli-Vidyasagar-féle módszert, valamint tisztán analitikai eszközökkel meghatároztam a Paksi Atomer m hibrid reaktor-modelljének vonzási tartományát. Másik fontos feladat a hibrid rendszerek irányítása. Jelen disszertációban egy esettanulmányt mutatok egy egyszer hibrid rendszermodellhez való kontroller tervezésére többparaméteres programozási technika alkalmazásával (lásd [4]). A különböz kontrollertervezési paraméterek hatását is megvizsgáltam mind a komplexitásra, mind a teljesít képességre vonatkozóan. A tekintett rendszer a hibrid rendszerek egy részosztályából való, amikor a bemeneti változók értékkészlete egy véges halmaz. 1.1. Jelölések A szövegben használt jelöléseket és rövidítéseket az 1. és a 2. táblázatban foglaltuk össze. 2. A DOA becslése nemlineáris autonóm rendszerekre A következ kben közönséges dierenciál-egyenletek alábbi alakját tekintjük: ẋ = f (x), (1) ahol f : R n R n folytonos. Továbbá feltesszük, hogy minden x R n esetén létezik egy egyértelm megoldás φ (t, x), melyre igaz, hogy φ (0, x) = x. Ekkor a megoldás egyértelm ségéb l következik, hogy φ (t 1, φ (t 2, x)) = φ (t 1 + t 2, x) bármely t 1, t 2 R esetén, ahol φ : R R n R n mindkét argumentumában folytonos függvény (lásd [5]). Megjegyezzük, hogy a φ (t, x)-re említett feltételek igazak, ha f Lipschitz-folytonos, azaz létezik egy olyan pozitív k, hogy f (x) f (y) k x y (lásd [6]). 1. Deníció. Az origó vonzási tartományán (DOA) az alábbi halmazt értjük: A = { x 0 : x (t, x 0 ) 0, t }, (2) ahol x(t, x 0 ) jelöli (1) megoldását az x(0) = x 0 kezdeti feltétellel. 3
Jelölés - Jelentés A - mátrix vagy halmaz A - az A mátrix transzponáltja A 0 - az A mátrix pozitív szemi-denit A 0 - az A mátrix pozitív denit I - egységmátrix c - c vektor transzponáltja u (t), or u - a rendszer bemenete y (t), or y - a rendszer kimenete ẋ = dx dt - az x változó id szerint deriváltja f(x) x i - az f(x) i-edik parciális deriváltja x - az x gradiensvektora P (A) - az A halmaz hatványhalmaza I (A) - az A halmaz belseje Ā - az A halmaz lezártja A - az A halmaz határa x l - az x vektorl-normája, ahol l lehet 1, 2 vagy R + 0 - nemnegatív valós számok N - természetes számok halmaza (a 0-t is beleértve) 1. táblázat. A felhasznált jelölések és jelentéseik rövidítés jelentés ODE - közönséges dierenciál-egyenlet (ordinary dierential equation) PWA - szakaszonként an (piecewise ane) DOA - vonzási tartomány (domain of attraction) MPT - többparaméteres programozási technika (multi-parametric programming technique CFTOC - megszorított véges idej optimális vezérlés (constrained nite time optimal control) 2. táblázat. Rövidítések és jelentéseik 4
2. Deníció. Azt mondjuk, hogy a V pozitív denit függvény az origó egy U környezetében Ljapunov-függvény az (1) rendszerhez, ha V (x) = ( V (x)) f (x) = f (x) f (x) cos (θ) 0 bármely x U \ {0} esetén, ahol θ az f (x) és V (x) vektorok által bezárt szög. Ha V (x) < 0 az összes x U \ {0} pontra, akkor a V függvényt szigorú értelemben vett Ljapunov-függvénynek nevezzük. Ismert tény, hogy ha létezik is Ljapunov-függvény egy autonóm ODE esetén, akkor az nem egyértelm. A következ kben bevezetjük az A halmazon értelmezett, ún. maximális Ljapunovfüggvény fogalmát, ahol A jelöli az aszimptotikusan stabil origó vonzási tartományát. 3. Deníció. Azt mondjuk, hogy a V M : R n R + 0 (1) rendszernek, ha függvény maximális Ljapunov-függvénye az V M (0) = 0, V M (x) > 0, x A\ {0} V M (x) < pontosan akkor, ha x A V M negatív denit az A halmazon és V M (x) as x A és/vagy x, ahol A jelöli az (1) rendszer aszimptotikusan stabil origójának a DOA-ját. A következ tétel (lásd [3]) alapozza meg a DOA-becsl algoritmust. 4. Tétel. Tegyük fel, hogy található egy olyan B R n halmaz, melynek az origó bels pontja, valamint egy olyan folytonos V : B R + 0 és egy pozitív denit ψ : Rn R + 0 függvény úgy, hogy V (0) = 0 és V (x) > 0 az összes x B\ {0} esetén, V (φ(t,x0)) V (x0) t a V (x 0 ) = lim t 0 + függvény jól deniált az összes x B pontra, valamint igaz, hogy V (x) = ψ (x), x B és V (x) ha x B és/vagy x. Ekkor B = A. Tegyük fel, hogy az f függvény kifejezhet Taylor-sor alakban, azaz ẋ = f (x) = F i (x), (3) ahol az F i, i 1 függvények i-edfokú homogén függvények (pl. monomiálisok). Legyen F 1 (x) = Φx, Φ R n n, ahol Φ az f Jacobi-mátrixa az x = 0 helyen. Továbbá a kés bbi kifejezések rövidítése kedvéért legyen F i (x) = 0, ha i 0. A maximális Ljapunov-függvény tulajdonságait alapul véve keresünk egy olyan V M függvényt és egy pozitív denit ψ függvényt, hogy V M (0) = 0 igaz, valamint i=1 V M (x) = ψ (x) (4) is teljesül az origó valamely környezetében úgy, hogy a A halmaz deniált a V M (x) reláció által. A Ljapunov-jelölt függvénynek tehát minden határon túl kell n nie, ahogy x egyre közelebb kerül az A halmaz határához vagy ahogy x. Ha lehetséges lenne felírni a V M (x) = N(x) D(x) alakot, ahol N (x) és D (x) polinomok, akkor A adott lenne a D (x) = 0 relációval. Ez a konstrukció a következ alul-határozott lineáris egyenlet-rendszerhez vezet: E m y = b m, (5) ahol E m -ek megfelel méret mátrixok, az y vektor pedig a homogén R i és Q i függvények együtthatóiból adódik. 5
Keressünk tehát olyan R m és Q m 2 homogén függvényeket (ahol m 3), hogy az R i és Q i együtthatói a V m -ben oldják meg a következ, (5)-b l adódó minimalizálási problémát: min e m (y) úgy, hogy E m (y) = b m, (6) ahol e m (y) a V m -ben lév, m + 1-nél nagyobb fokszámú tagok együtthatóinak euklideszi normája. LaSalle invariáns halmazokról szóló tétele ([7]) alapján választható egy olyan legnagyobb (és pozitív) C, hogy a következ A becslés szinthalmaz A becslés = { x : V m (x) < C } (7) benne van az Ω halmazban, ahol Ω = { x : V } m (x) 0. (8) Amint a kívánt pontosságot elértük (e m (y ) = 0 adott y -ra) vagy pedig a hiba elkezd n ni, az iterációs lépésekben meg kell állni. Ha valamely y és m esetén e m (y ) = 0, akkor a vonzási tartomány határa pontosan meghatározott a D (x) = 0 relációval, azaz A = { x : m 2 i=1 Q i (x) > 1 }. (9) Az algoritmus el nye, hogy a felhasználónak nem kell ismernie a rendszer megoldásait különböz kezdeti értékekre, elég egy lineáris programozási feladatot megoldani minden lépésben. Továbbá az eljárás sokkal szélesebb rendszerosztályra is alkalmazható, mint a rendelkezésre álló egyéb módszerek többsége (melyek f leg polinomiális rendszerekre vonatkoznak). 3. Nemlineáris hibrid rendszerek DOA-ja Tekintsük a következ alakban tartományonként deniált hibrid rendszereket: x i = f i (x), (10) ahol f i R n R n deniálja a rendszert az állapottér véges számú különböz tartományán úgy, hogy egy pont sem tartozik több tartományba, azaz f (x) = f i (x), x X i dom (f i ), i m = {1, 2,..., m} és i m X i = X úgy, hogy X i X j =, i j m. A különböz dinamikatartományok (X i, i m) határát B I -vel jelöljük, ahol B I = { X i X j, i j I }, ahol { i 1, i 2,..., i l } = I P ( m) jelöli a kérdéses tartományok indexeit. Ezek alapján az összes tartomány határa a következ módon adott: B = B m. 3.1. A Vanelli-Vidyasagar-algoritmus kiterjesztése szakaszonként deniált hibrid rendszerekre Jelölje az ẋ = f i (x) részrendszer origójának DOA-ját A i. Megjegyzend, hogy A i -t nem sz kítettük X i -re, tehát arra a tartományra, ahol az adott részrendszer aktív, azaz igaz, hogy A i dom (f i ). Ahhoz, hogy megkeressük a rendszer A DOA-ját, f-nek a következ feltételeket kell kielégítenie: 1. Legyen f folytonos, 2. legyen f i (0) = 0 i m, vagyis az összes részrendszer esetén az origó egyensúlyi pont, 3. legyen 0 I ( i m A i ), 4. legyen f Lipschitz-folytonos, ami a Lagrange-tétel következtében mindig igaz, ha f i folytonos X i -n bármely i m esetén (valamint folytonosak az 1. pont miatt). 6
5. Ahhoz, hogy a Mathematica-ban implementált algoritmust közvetlenül alkalmazhassuk, f- nek dierenciálhatónak kell lennie az origó valamely környezetében. Az (1)-(5) feltételekb l látható, hogy ha f folytonosan dierenciálható az origó egy környezetében, vagy az origó eleme a I ( i m X i ) halmaznak, akkor a javított Vanelli-Vidyasagar-algoritmus (és annak Mathematica-beli implementációja) alkalmazható az f által meghatározott rendszerre. A következ tétel alapján módszert kapunk, hogy hogyan becsüljük meg a legnagyobb szinthalmazt (lásd a (7)-es egyenletet). 5. Állítás. Tekintsük az ẋ = f i (x) részrendszert az origóval, mint egyensúlyi ponttal. Legyen ɛ i > 0 úgy, hogy az S [ɛ i ] gömbkörnyezet kompakt részhalmaza I (A i )-nak és deniáljuk továbbá a h i (ɛ) = min { V i (x) : x H (ɛ) } függvényt, ahol V i a V M lesz kítése X i -re. Tehát igaz, hogy 0 < h i (ɛ i ). Ha választunk egy olyan α i -t, hogy 0 < α i < h i (ɛ i ), akkor P αi = K αi S [ɛ i ] kompakt és pozitív invariáns részhalmaza A i -nek, ahol K αi = { x A i : V i (x) α i } az α i -hez tartozó szinthalmaza a V i Ljapunov-függvénynek. A fenti állítást felhasználva a következ módon keressük a legnagyobb szinthalmazt: 6. Algoritmus. Válasszunk az origónak egy olyan H (r) környezetét, melynek van nem üres metszete A-val. El ször válasszuk ki azt a legnagyobb r > 0 értéket úgy, hogy (H (r) B) ( i m A i B), ami lehetséges, mivel X lokálisan kompakt halmaz. Következ lépésként keressük a maximális C i értéket V i -hez a A i X i S[r] halmazon (ez a C i lesz C a (7) egyenletben), így tehát megkonstruáltuk az i m { x A i X i : V i (x) C i } A halmazt. A fenti algoritmus megalkot egy közös Ljapunov-függvényt a rész-dinamikák egyedi Ljapunovfüggvényeib l, valamint konzervatív (u.i. az algoritmus csak gömbkörnyezeteket tekint), de jól algoritmizálható módon módszert ad a DOA megbecslésére. 3.2. A hibrid reaktor-modell DOA-jának meghatározása Egy másik megközelítést alkalmazva, tisztán analitikai eszközökkel határoztam meg a DOA-ját egy fontos és létez ipari rendszernek, a Paksi Atomer m primer körének. Az 1. ábra mutatja az er m különböz egységeit és azok összeköttetéseit, melyek az egyszer - sített modellben szerepet játszanak. A kényelmesebb jelölésmód kedvéért a változókat a következ rövidítéseknek megfelel en indexeljük: R reaktor PC primer kör PR nyomáskiegyenlít tartály SG g zfejleszt 3.2.1. Megmaradási egyenletek Az els dinamikai egyenlet a primer köri folyadék h mérsékletét írja le: dt P C dt = W R 6KSG T (T P C TSG ) W P loss C M P C c p, (11) P C ahol TSG a g zfejleszt konstans nominális értéke, W R a reaktor teljesítménye, KSG T a primer kör és a g zfejleszt közötti h átbocsátási tényez, WP loss C a primer köri h veszteség, M P C a primer köri folyadék tömege, c p P C a fajh je 282 C-on. A második egyenlet a nyomáskiegyenlít h mérsékletének dinamikáját írja le: dt P R dt = h (W R) WP loss R + W P heat R cp P R m P R (W R ) T P R M P R c p P R, (12) ahol WP loss heat R a h veszteség, WP R a f t teljesítmény, cp P R a víz fajh je 282 C-on és h (W R ) pedig a hibrid viselkedést leíró egyenlet (lásd a (17)-es egyenletet lentebb), ami a ki/bementi tömegáramtól (m P R (W R )) függ. 7
1. ábra. Az egyszer sített reaktor-modell szerkezete 8
3.2.2. Algebrai kiegészít egyenletek A reaktor W R teljesítménye arányos az N neutron-uxussal: ahol c ψ egy adott konstans. A PR-beli folyadék tömege a következ : M P R = M P C V 0 P C W R (v) = c ψ N (v) (13) ( c ϕ0 + c ϕ1 TP C + c ϕ2 TP C 2 ), (14) ahol M P C a PC-beli víz tömege, V 0 P C a nominális térfogata, TP C a h mérséklete Celsiusban, c ϕ0, c ϕ1 és c ϕ2 pedig konstansok. A PR f t teljesítményének irányítását egy P-szabályzó végzi, melynek er sítési tényez je K P R : W heat P R = W loss P R K P R (T P R T P R), (15) ahol TP R a referencia-h mérséklet PR-ben. A ki/bemeneti tömegáram az M P R id beli deriváltjaként számolódik: m P R (W R ) = VP 0 C (c ϕ1 + 2T P C c ϕ2 ) dt P C, (16) dt ahol c ϕ1 és c ϕ2 konstansok (lásd [8]). A hibrid viselkedést a W R -t l való függés okozza a következ módon: { c p P C h(w R ) = m P R (W R ) T hotleg P C for m P R (W R ) > 0 c p P R m P R (W R ) T P R otherwise (17) ahol T hotleg P C = T P C + 15 a forró ágbeli víz h mérséklete. A DOA-analízis céljára való kétváltozós autonóm hibrid rendszer megalkotását a DOA tisztán analitikai módszerekkel való meghatározása követte. Megmutattam, hogy a szabályozott (visszacsatolt) rendszer m ködési tartománya bármely pozitív visszacsatolási értékre részhalmaza a DOA-nak. Továbbá megmutattam azt is, hogy ezen tényez értéke milyen hatással van a rendszer dinamikájára, majd ezt felhasználva meghatároztam a gyakorlatban alkalmazható visszacsatolási tényez k értékeit. 4. Többparaméteres programozás alkalmazása diszkrét inputhibrid rendszerek szabályozótervezésére Ebben a fejezetben a hibrid rendszerek egy másik aspektusát vizsgálom. A feladat ezúttal nem a DOA meghatározása, hanem kontrollertervezés. A szabályzótervezésre kiválasztott rendszer egy hibrid rendszer, a Paksi Atomer m nyomáskiegyenlít tartályának modellje. A kontroller a tartályban lev nyomást tartja egy konstans értéken úgy, hogy a bemenet lehetséges értékeit egy véges halmazból választja. A vizsgált rendszer a hibrid rendszerek egy speciális részosztályába tartozik: ezen rendszerek állapotváltozói folytonosak, a bemeneti értékei diszkrétek, szakaszonként konstansok és csak véges sok értékük lehet. Azonban lehetséges szabályozót tervezni rájuk többparaméteres programozási feladat (lásd [4] és [9]) megoldásával. Egy esettanulmány keretében bemutatom a szabályozótervezés folyamatát egy egyszer hibrid rendszeren. Az adott feladatra (az er m hibrid részrendszere) alkalmazott eszköz (MPT) felhasználása új volt az eredmények publikálásakor ([10]). 9
4.1. Rendszerleírás Az egyszer sített modell két energia-megmaradási egyenletet tartalmaz, egyiket a víz, másikat a fal térfogatára értelmezve. Víz-energia egyenlet: du dt = c pmt I c p mt + K W (T W T ) + 4 χ i W HEi, (18) ahol U a víz bels energiája, c p a fajh, m a víz tömegárama, T I és T a betáplált és a már bent lév víz h mérséklete, K W a h átbocsátási tényez, T W a fal h mérséklete, W HEi a f t teljesítmény és χ i a karakterisztikus változója az i-edik f t egységnek. Fal-energia egyenlet: du W = K W (T T W ) W loss, (19) dt ahol U W a fal bels energiája, W loss pedig az összes energiaveszteség egységid alatt. A következ egyenletetek kapcsolatot határoznak meg a bels energiák (U és U W ), valamint a megfelel h mérsékletetek (T és T W ) között, valamint megadják a p nyomás vízh mérséklett l való függését: i=1 U = c p MT (20) U W = C pw T W (21) p = p (T ) = e p(t ), (22) ahol p (T ) egy adott harmadrend polinom, M a víz tömege és C pw = c pw M W a fal h kapacitása: p (T ) = 6.5358 10 1 + 4.8902 10 2 T + 9.2658 10 5 T 2 + 7.6835 10 8 T 3. A modellparaméterek becslése nem része a dolgozatnak, részletei megtalálhatók [11]-ben, valamint a 3. táblázatban. Az állapottér-modell minden lehetséges esetre külön tekinthet, ami azt jelenti, hogy a rendszer a H i állapotban van pontosan akkor, amikor i darab f t egység van bekapcsolt állapotban. 4.2. Szabályozótervezés A zikai modell és a szabályozó úgy lettek megalkotva, hogy a tartály bels nyomását (a T h mérsékleten keresztül) egy sz k sávban tartsa a f t egységek ki- és bekapcsolásával. Az MPT nev Matlab-toolboxot (lásd [9]) használtam a szabályozó megtervezéséhez. El ször a folytonos idej modellb l egy diszkrét idej t származtattam: [ ] x1 (k + 1) x 2 (k + 1) = Φ y(k) = C [ ] x1 (k) x 2 (k) [ ] x1 (k), x 2 (k) + Γu (k) + Θ ahol Φ = e Aτ, Γ = ΞB, Θ = Ξf, ahol Ξ = A 1 (Φ I) és τ a mintavételezési id másodpercben. A megtervezett szabályozó végeredményképpen egy poliéderek halmazán értelmezett PWA szabály a következ alakban: U (k) = F r i x (k) + G r i, (24) ahol r jelöli azt az aktív poliédert a { R r } Z r=1 halmazból. Az aktív dinamikát i jelöli, mely a vizsgált rendszer esetén mindvégig konstans 1. Az x (k) állapothoz tartozó J költségfüggvényt a következ formula határozza meg: (23) J = x (k) A r i x (k) + B r i x (k) + C r i, (25) 10
ahol az Fi r, Gr i, Ar i, Br i, Cr i mátrixok és a poliéderek { R r } Z r=1 halmaza a CFTOC-probléma megoldásaként adódnak. Egy rögzített N predikciós távolsághoz tartozó kontroll-probléma megoldása után az (24) szabály kiértékeléseként adódó bemenet minimalizálja J-t. Zárt kör szabályozás esetén u (0)-nak csak ez els elemét alkalmazzuk bemenetként, majd újraszámoljuk a teljes U (k)-t, hogy ismét csak az els elemét alkalmazzuk a kapott vektornak. Ez az ún. hátráló horizont módszer (RHC, Receding Horizon Policy). Normák Diszkrét bemenet rendszerekre a CFTOC-probléma megoldása l = 2 esetén nagyon lassú, továbbá a nyomáskiegyenlít tartály modelljének esetén a szimulációk során még N = 5 predikciós távolság esetén sem sikerült elérni a referencia-pontot a visszacsatolt rendszerrel. Lineáris normák tekintetében a vizsgált rendszer esetén gyakorlatilag lényegtelennek bizonyult, hogy melyiket alkalmazzuk (l = 1 vagy l = ). Mérnöki megfontolásból mégis a -normát választottam, mert a legmagasabb h mérsékletnek van nagyobb jelent sége, mintsem a h mérsékletek összegének. Mintavételezési id A mintavételezési id megválasztásának nagy hatása van a szabályozóra. Minél kisebbre választjuk, a folytonos idej rendszer diszkrét idej vel való közelítése annál pontosabbá válik, másrészt ahogy a az id beli felbontás növekszik, a kontroller összetettsége is növekedési tendenciát mutat. Továbbá a nyomáskiegyenlít re τ kis értékei esetén a kontroller a szimulációk során ugyancsak nem tudta elérni a kívánt referencia-pontot. Tekintettel arra, hogy a rendszer id állandója órás nagyságrendben van, a τ = 60 mérnöki szempontból is megfelel választás és még nem vezet nagy bonyolultságú kontrollerhez. Amennyiben a mintavételezési id kisebb kb. 20-nál, az eredményül adódó kontrollerrel a visszacsatolt rendszer nem képes a referencia-értéket elérni, az összes f t egység kikapcsolt állapotban marad, így végül az egész rendszer kih l a h veszteség miatt. τ = 30 esetén N = 5-tel a kontroller elfogadható módon m ködik, bár eredményül 321 db. poliédert kapunk, mely er forrás-igényessé teszi az alkalmazását. τ = 60 esetén N = 4-gyel a nagyon jó eredményeket kapunk 258 db. poliéderrel. τ = 60 esetén N = 3-mal szintén jó eredményeket kapunk, mindösszesen 41 db. poliéderrel. Ezek alapján a gyakorlati alkalmazáshoz ez a kombináció bizonyult a legmegfelel bbnek. Predikciós távolság A predikciós távolság (mértékegysége egy mintavételezési egység) hosszának nagy hatása van a kapott kontroller bonyolultságára, vagyis az eredményül kapott poliéderek számára (lásd a (2). ábrát), azonban minél hosszabb, annál jobb lesz a kontroll min sége is. Az alábbi táblázat összehasonlítást ad a poliéderek számának függésére a predikciós távolságtól és a mintavételezési id t l (l = esete). N 2 3 4 5 poliéderek száma, τ = 30 6 11 73 321 poliéderek száma, τ = 60 6 41 258 902 poliéderek száma, τ = 120 20 186 754 1924 Megismételve az el z bekezdés megállapításait: N = 3 jó kompromisszum a kontroller követési min sége és a bonyolultság között. 11
(a) Poliéderek száma 1-norma esetén (b) Poliéderek száma -norma esetén 2. ábra. A kontroller poliédereinek száma (Z) különböz τ és N értékekre jelölés érték mértékegység leírás c p 4183.232 J/kg/K víz fajh je ρ 654 kg/m 3 víz s r sége 325 C-on W HEi 90000 W f t egységek teljesítménye M 17004 kg tartályban lev víz tömege C pw 2.5017 10 7 J/K a fal h kapacitása K W 9.1894 10 4 W/K a fal h átbocsátása T I 267 C befolyó víz h mérséklete W loss 1.3231 10 5 W h veszteség 3. táblázat. Modellparaméterek 12
5. Új tudományos eredmények Az új eredményeket a következ tézisekben foglaljuk össze. 1. tézis. DOA becslése nemlineáris autonóm rendszerekre (3. fejezet) ([R2],[R3],[R4]) Nemlineáris autonóm rendszerek aszimptotikusan stabil origójának vonzási tartományára szolgáló Vanelli és Vidyasagar algoritmusát javítottam, majd implementáltam Mathematica-ban. Az algoritmus egy becsült maximális Ljapunov-függvény konstruálásán keresztül ad közelítést a DOA-ra. Az eljárás el nye, hogy a becsléshez nincs szükség a rendszer megoldásainak ismeretére az origó környezetében, hanem elég minimalizálási feladatok egy sorozatát végrehajtani. Az algoritmus tetsz leges (véges) dimenziós rendszeren alkalmazható, amennyiben megfelel a szükséges simasági feltételeknek. A (7)-es egyenletben szerepl C értékének automatikus számítása esetén a DOA az origó egy alkalmasan választott gömb-környezetében lesz, ami az automatikus módszert konzervatívvá teszi. A kidolgozott algoritmust egy iparilag releváns rendszeren alkalmaztam, a Paksi Atomer m két részrendszerén. Az egyik a neutronuxussal (N) visszacsatolt primer kör, a másik a g zfejleszt. Azt találtam, hogy az algoritmussal meghatározott DOA nagy pontossággal egybeesik a szimulációkkal meghatározott DOA-val. 2. tézis. Nemlineáris hibrid rendszerek DOA-jának becslése (4. fejezet) ([R5],[R6],[R7]) Két különböz módon vizsgáltam két különböz hibrid, tartományonként másként deniált rendszer DOA-ját. Az els módszer az els tézisben adott algoritmus felhasználásával képes a tartományonként deniált hibrid rendszerek DOA-jának becslésére, amennyiben a dinamika folytonos a különböz dinamika-tartományok határán. Az eljárás iteratív módon közelít egy közös maximális Ljapunov-függvényt racionális tört-alakban. A módszer része a kifejlesztett Mathematica-csomagnak. A második esetben egy fontos és iparilag releváns hibrid rendszernek, a Paksi Atomer m primer körének DOA-ját határoztam meg tisztán analitikai eszközökkel. Két dimenziós autonóm hibrid dierenciál-egyenlettel leírt modellt fejlesztettem ki az irodalomban megtalálható modell-egyenleteket felhasználva az er m visszacsatolt primer köréhez. A vizsgálat során kiderült, hogy a rendszer DOA-ja magában foglalja a m - ködési tartományt bármely pozitív visszacsatolási értékre. Továbbá megvizsgáltam az er sítési tényez hatását a szabályzott rendszer dinamikájára és ezekre találtam egy, a gyakorlatban is használható értékhalmazt. 3. tézis. Többparaméteres programozás alkalmazása diszkrét input-hibrid rendszerek szabályozótervezéséhez (5. fejezet) ([R4]) Szabályozótervezési céllal alkottam egy egyszer, tartományonként an állapottér-modellt és a feladathoz tartozó CFTOC-probléma Matlab-ban való megoldásával szabályozót terveztem hozzá. Vizsgálat alá kerültek továbbá a szabályozótervezés paraméterei a kész kontroller teljesítménye és komplexitása szempontjából. Egy iparilag releváns esettanulmány keretében egy egyszer sített kétváltozós modellhez terveztem kontrollert. A modell a Paksi Atomer m nyomáskiegyenlít tartályának hibrid modellje, melynek bemenetei csak egy véges halmazból választhatók. A szabályozót a hozzá tartozó CFTOC-probléma megoldásával készítettem többparaméteres programozási technika alkalmazásával. A kontrollertervezési paraméterek vizsgálata során kiderült, hogy a mintavételezési id és a predikciós távolság a két legfontosabb paraméter, melyek közül az el bbib l kívánatos minél hosszabbat választani, az utóbbiból minél rövidebbet. A normák közül a lineáris normák választása bizonyult kielégít nek. 13
6. Publikációk A disszertáció eredményeihez kapcsolódó publikációk listája a következ : [R1] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Hybrid modelling and control of an industrial vaporizer, Proceedings of the 15th International Conference on Process Control, Slovakia, 2005., http://www.kirp.chtf.stuba.sk/pc05/data/index_papers.html#r [R2] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Improved estimation method of region of stability for nonlinear autonomous systems, Proceedings of the 7th International PhD Workshop, Czech Republic, 2006., ISBN:80-903834-1-6, pp. 234-241 [R3] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Estimating the stability region of a controlled pressurized water reactor, Proceedings of the 8th International Conference on The Modern Information Technology in the Innovation Processes of the Industrial Enterprises, Budapest, 2006., pp. 391-396 [R4] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Improved estimation method of region of stability for nonlinear autonomous systems, Research Report, SCL-002/2006, Systems and Control Laboratory, Computer and Automation Research Institute, 2006., http://daedalus.scl.sztaki.hu/pcrg/pcrg_publist_iso.html [R5] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, Estimating the region of stability for a hybrid model, Proceedings of the 16th International Conference on Process Control, Slovakia, 2007. On CD: 012s.pdf [R6] Sz. Rozgonyi, K. M. Hangos, G. Szederkényi, Determining the domain of attraction of hybrid non-linear systems using maximal Lyapunov functions, Kybernetika 46 (1) (2010) 1937, IF:0.461 [R7] Sz. Rozgonyi, K. M Hangos, Domain of attraction analysis of a controlled hybrid reactor model, Annals of Nuclear Energy 38 (5) (2011) 969975, IF:0.710 14
Hivatkozások [1] K. M. Hangos, I. T. Cameron, Process Modelling and Model Analysis, Academic Press, London, 2001. [2] H. Schumacher, A. van der Schaft, An Introduction to Hybrid Dynamical Systems, Springer- Verlag, 1999. [3] A. Vanelli, M. Vidyasagar, Maximal Lyapunov functions and domains of attraction for autonomous nonlinear systems, Automatica 21 (1985) 6980. URL http://citeseer.ist.psu.edu/context/507042/0 [4] F. Borelli, Discrete time constrained optimal control, Ph.D. thesis, Swiss Federal Institite of Technology, Zurich (2002). [5] E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary dierential equations, McGill-Hill Book Company, New York, Toronto, London, 1955. [6] N. P. Bhatia, G. P. Szeg, Stability Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1970. [7] J. P. LaSalle, S. Lefschetz, Stability by Lyapunov's direct method with applications, Academic Press, New York, 1961. [8] C. Fazekas, G. Szederkényi, K. Hangos, A simple dynamic model of the primary circuit in VVER plants for controller design purposes, Nuclear Engineering and Design 237 (2007) 1071 1087. doi:10.1016/j.nucengdes.2006.12.002. [9] M. Kvasnica, P. Grieder, M. Baoti, M. Morari, Multi parametric toolbox (mpt), in: Hybrid Systems: Computation and Control, Vol. 2993 of Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag, Philadelphia, Pennsylvania, USA, 2004, pp. 448462, http://control.ee.ethz.ch/~mpt. [10] S. Rozgonyi, K. M. Hangos, Hybrid modelling and control of an industrial vaporizer, in: Proceedings of the 15th International Conference on Process Control, Slovakia, 2005. [11] K. Hangos, Z. Bordács, Modelling and identication of an industrial pressurized water tank (in hungarian), Tech. rep., Computer and Automation Research Institute, Budapest, Hungary (2004). 15