TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA

PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi Kar Dr. Kotek László TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Feladatgyűjtemény Pécs, 2005

Lektorálta: Dr. Hraskó Péter

ELŐSZÓ A feladatgyűjtemény a Pécsi Tudományegyetem Fizikai Intézetében, az alapozó fizika keretében, Hőtan néven oktatott program támogatását szolgálja. Ennek megfelelően a feldolgozás sorrendjében teljes mértékben igazodik az elméleti anyaghoz, szerves egységet alkotva azzal. A 7 fejezetből álló, 320 feladatot tartalmazó monográfia egyes fejezeteinek összeállítása során törekedtünk arra, hogy a bevezető, egyszerűbb feladatok után összetettebb, az elméleti anyag finomságainak ismeretét igénylő feladatok következzenek. Így a feladatok megoldása, diszkussziója elősegíti a termodinamika és molekuláris fizika megértését, rávilágít a szakmai háttérre, megmutatja az elmélet korlátait, kreatív gondolkodást is igényelve előkészít a tanári, kutató munkára. A feladatgyűjtemény megoldásokat nem tartalmaz, a II. fejezetben a feladatok paraméteres, illetve numerikus végeredménye olvasható. Az összetettebb feladatok paraméteres alakban megadott végeredményei a megoldást és ellenőrzést nagyban elősegítik. A feladatgyűjtemény főiskolai, egyetemi hallgatók számára készült, de olyan céllal, hogy a témában feladatgyűjteményként szolgáljon későbbi munkájuk során is. Emiatt hasznosan forgathatják gyakorló tanárok és a fizika iránt komolyabban érdeklődő középiskolai tanulók is. Kívánom, hogy a feladatok megoldása olyan szellemi élményt jelentsen minden megoldónak, mint a szerzőnek a feladatok írása, válogatása és megoldása. Pécs, 2005. szeptember A szerző

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 1. Mennyi a hőmérséklete a 2 g tömegű nitrogénnek, ha térfogata 820 cm 3, nyomása pedig 202,6 kpa? 2. Mennyi a széndioxid sűrűsége 20 C hőmérsékleten és 100 kpa nyomáson? 3. Határozzuk meg annak a gáznak a moláris tömegét, amelynek sűrűsége 10 C hőmérsékleten és 2 10 5 Pa nyomáson 3,4 10-4 g/cm 3! 4. 400 K hőmérsékletű, 10 5 Pa nyomású, 2 dm 3 térfogatú gázt állandó hőmérsékleten összenyomunk 2 térfogatra, majd az elért állandó nyomáson 200 K hőmérsékletre lehűtjük. égül 200 K állandó hőmérsékleten 1 dm 3 térfogatra tágítjuk. Határozzuk meg a gáz nyomását a végállapotban! 5. Határozzuk meg a normálállapotú hélium sűrűségét! 6. Bizonyítsuk be, hogy a Boyle Mariotte-törvény a két Gay-Lussac-törvényből levezethető! 7. Mindkét végén nyitott, 1 m hosszú üvegcsövet félig higanyba nyomunk. Ezután a csövet, miután a felső végét ujjunkkal bezártuk, kiemeljük a higanyból. Milyen hosszú higanyoszlop marad a csőben, ha a külső levegő nyomása 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos? 8. U alakú csőben a higany mindkét szárban egyenlő magasan áll. A bal oldali szárban a higany felett 28,5 cm magasságban levő dugattyút lassan 28,5 cm-rel mélyebbre nyomjuk. A folyamat során a bezárt levegő hőmérséklete nem változik, a külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Milyen magasan áll most a higany a jobb oldali ágban? 9. Egy zárt tartályban 10 kg tömegű, 10 5 Pa nyomású ideális gáz található. Mekkora tömegű gázt kell kiengedni a tartályból állandó hőmérsékleten, hogy a gáz nyomása 2,5 10 4 Pa-ra csökkenjen?

6 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 10. Egy 2 dm 3 térfogatú edényben 96 kpa nyomású ideális gáz van. Mekkora volt eredetileg a gáz sűrűsége, ha változatlan hőmérséklet mellett 2 g tömegű gázt eltávolítva a gáz nyomása 6 kpa lesz? 11. A gázpalackban 4053 kpa nyomású, 27 C hőmérsékletű ideális gáz van. Mekkora lesz a palackban a gáz nyomása, ha a gáz tömegének 25%-át kiengedve, a hőmérséklet 7 C-ra csökken? 12. Egy 20 dm 3 térfogatú palackban 10132,5 kpa nyomású, 0 C hőmérsékletű oxigén van. Az oxigénből kiengedünk 0,86 kg-ot. a) Mekkora lesz a nyomás, ha a hőmérséklet ismét 0 C? b) Mekkora hőmérsékletre kell felmelegítenünk az oxigént, hogy nyomása újból az eredeti értékű legyen? 13. Két különböző, de állandó térfogatú edény ugyanazon gáz egyenlő tömegű mennyiségeit tartalmazza. Ábrázoljuk a nyomást, mint a hőmérséklet függvényét! 14. Az ábrán két azonos tömegű és hőmérsékletű, de különböző minőségű ideális gázok izotermáit látjuk. Határozzuk meg, melyik ideális gáz moláris tömege nagyobb! p 2. 1. 15. Alul zárt, A keresztmetszetű, függőleges hengerben m tömegű dugattyú levegőt zár el. Kezdetben a dugattyún egy nehezék van, a külső légnyomás p 0. A nehezéket a dugattyúról levesszük. A kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz térfogata kétszerese, a Kelvin-skálán mért hőmérséklete pedig fele az eredeti értéknek. Határozzuk meg a nehezék tömegét! 16. ízszintes, egyik végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó, 1 dm 2 keresztmetszetű dugattyú 10 5 Pa nyomású, 1 dm 3 térfogatú, 300 K hőmérsékletű levegőt zár el. A külső légnyomás ugyancsak 10 5 Pa. A dugattyút az ábra szerint olyan rugó köti össze a függőleges fallal, amelynek 0,1 cm-rel való megnyújtásához 10 N erő szükséges. Mekkora lesz a nyomás, ha a hengerben levő levegőt 600 K hőmérsékletre melegítjük?

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 7 17. Két edény közül az egyik térfogata 3 dm 3, a benne levő gáz nyomása 2 10 5 Pa. A másik edény térfogata 5 dm 3, benne a gáz nyomása 10 5 Pa. A gázok hőmérséklete és anyagi minősége azonos. Mennyi lesz a közös nyomás, ha a két edényt összekötő vékony csövön levő csapot kinyitjuk? 18. Két azonos térfogatú edényt csappal ellátott vékony cső köt össze. Egyikben p 1, T 1, a másikban p 2, T 2 állapotjelzőkkel meghatározott, azonos minőségű gáz található. Mekkora lesz a nyomás a csap kinyitása után, ha a közös hőmérséklet T? 19. 1 = 7 dm 3 és 2 = 12 dm 3 térfogatú tartályokat vékony cső köti össze. A tartályokban levő gáz hőmérséklete 0 C. A 1 térfogatú tartályban levő gáz hőmérsékletét állandóan 0 C-on tartjuk. Mekkora hőmérsékletre kell felmelegíteni a 2 tartályban levő gázt, hogy ebben a tartályban a rendszerben levő gáz tömegének harmadrésze legyen? 1 2 20. Az ábrákon ideális gázok állapotváltozásait látjuk T, illetve p T diagramon. Ábrázoljuk ezeket p diagramon! 3. 2. p 2. 1. 1. 3. T T

8 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 21. Ábrázoljuk a bizonyos mennyiségű ideális gáz egymás után következő folyamatait p, illetve p T diagramokon! 4. 2. 3. 1. T 22. Az ábrán bizonyos tömegű ideális gáz egymás után következő állapotváltozásait látjuk. A gáz Kelvin skálán mért hőmérséklete az 1. állapotban T 1, a 2. állapotban pedig T 2. p 2. 3. a) Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét a 3. állapotban! b) Ábrázoljuk a folyamatokat p T diagramon! 1. 23. Bizonyos mennyiségű ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy azt T diagramon ábrázolva kört kapunk. Határozzuk meg, hogy melyik állapotban a legnagyobb, illetve a legkisebb a gáz nyomása! T 24. Az ábrán bizonyos mennyiségű ideális gáz egymás után következő állapotváltozásait látjuk. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T 0, a 2. állapotban 3T 0. p 3. a) Mennyi a gáz hőmérséklete a 3. és 4. állapotban? b) Ábrázoljuk a folyamatokat p T diagramon! 2. 4. 1.

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 9 25. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi. 6 0 a) Határozzuk meg a nyomást a térfogat függvényében! b) Ábrázoljuk a folyamatot p diagramon! 2 0 1. T 0 2. 6T 0 T 26. ízszintes, mindkét végén zárt henger terét egy könnyen mozgó, termikus kölcsönhatást megengedő dugattyú két részre osztja. Az egyik térrészben m tömegű, a másikban 2m tömegű azonos minőségű gáz található. Az egész henger térfogatának hányad részét foglalja el a nagyobb tömegű gáz, ha a dugattyú egyensúlyban van? 27. ízszintes, mindkét végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó dugattyú található. A kezdő állapotban a bal oldali térben 8 dm 3 térfogatú, normálállapotú gáz, a jobb oldali térben 5 dm 3 térfogatú, normálállapotú gáz helyezkedik el. A jobb oldali gázt ezután 100 C-ra melegítjük, miközben a dugattyútól balra levő gázt továbbra is 0 C hőmérsékleten tartjuk. A henger és a dugattyú hőszigetelőnek tekinthető! a) Mekkora lesz az egyik, illetve a másik oldalon a nyomás, ha a dugattyú melegítés közben nem mozdulhat el? b) Mekkora lesz az egyik, illetve a másik oldalon a nyomás és térfogat, ha a dugattyú a melegítés során elmozdulhat? 28. ízszintes, zárt hengert egy súrlódásmentesen mozgó fal egy 5 dm 3 és egy 3 dm 3 térfogatú részre oszt fel. A hengerben a környezet hőmérsékletével azonos hőmérsékletű, de a külső levegő nyomásánál megfelelően nagyobb nyomású gáz van. A mozgó fal és a henger fala jó hővezető. A henger keresztmetszete 1 dm 3. A bal oldali részből kiengedjük a gáz tömegének 2/5-öd részét. Hol állapodik meg a fal, miután a szerkezet minden része felvette a környezet hőmérsékletét? 29. ízszintes, mindkét végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó dugattyú két oldalán azonos térfogatú, és azonos T 0 = 120 K hőmérsékletű hidrogén és hélium található. A dugattyút a henger végeivel azonos rugóállandójú, nyújtatlan rugók kötik össze. Ha a hidrogént T 1 = 480 K hőmérsékletre felmelegítjük, akkor elfoglalja a henger 3/4-ed részét. Milyen hőmérsékletre kell felmelegíteni a hidrogént, hogy az a henger 7/8- ad részét foglalja el, miközben a hélium hőmérséklete végig állandó marad?

10 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA T 0 T 0 H 2 H e 30. Két különböző keresztmetszetű, mindkét végén zárt hengerben két dugattyú azonos hőmérsékletű ideális gázokat zár el. A dugattyúkat merev rúd köti össze, és köztük vákuum van. A dugattyúk egyensúlyban vannak, és a hengerek végeitől egyenlő távolságra helyezkednek el. A gázok hőmérsékleteit megváltoztatjuk, aminek következtében a dugattyúk elmozdulnak. Határozzuk meg a gázok Kelvin-skálán mért hőmérsékleteinek arányát, ha a változtatások következtében a bal oldali gáz térfogata felére csökken! 31. Az ábrán látható 1 cm 2 keresztmetszetű cső egyik vége be van forrasztva, a másik hosszabbik vége nyitott. A 30 cm hosszúságú térrészbe bezárt levegő hőmérséklete 18 C. A nyitott oldal feletti levegő hőmérséklete ugyancsak 18 C, nyomása 101,3 kpa. A levegő sűrűsége 0 C hőmérsékleten, 101,3 kpa nyomáson 1,29 kg/m 3, a higany sűrűsége 18 C-on 13,6 kg/dm 3. a) Határozzuk meg a zárt térben levő levegő tömegét! b) Hány kg tömegű higanyt kell a nyitott végén át a csőbe tölteni, ha azt akarjuk, hogy a zárt térrészben levő levegő térfogata a felére csökkenjen? 32. Egy állandó keresztmetszetű U alakú cső egyik szára nyitott, a másik zárt. A benne levő higany felszíne a két szárban azonos magasságban van. Ekkor a zárt szárban a higanyoszlop feletti levegőoszlop magassága 10 cm. A külső levegő nyomása 101,3 kpa, a higany sűrűsége 13 600 kg/m 3. Hányszorosára nő a levegő térfogata, ha annyi levegőt viszünk állandó hőmérsékleten a higanyszint feletti zárt térrészbe, hogy a levegő tömege éppen megkétszereződik?

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 11 33. Mindkét végén zárt, vékony csőben középütt L cm hosszúságú higanyszál van. ízszintes helyzetben a csőben levő, a higanyoszlop által elválasztott gázok térfogata egyenlő, nyomásuk pedig akkora, mint az L cm magas higanyoszlop nyomása. Mekkora lesz a gázok nyomása a cső függőleges helyzetében, ha a gázok hőmérséklete állandó marad? L 34. Egyik végén zárt, keskeny hengeres cső a külső levegőtől higanycseppel elválasztott levegőt tartalmaz. Ha a csövet zárt végével fordítjuk felfelé, a benne levő levegőoszlop hossza L cm. Amikor a csövet nyitott végével fordítjuk felfelé, akkor a benne levő levegőoszlop hossza L cm. A higanycsepp hossza h cm. Határozzuk meg a külső levegő nyomását! 35. U alakú csőben alul higany helyezkedik el úgy, hogy a higany felszínétől a cső vége h cm-re van. A cső egyik ágát felül lezárjuk. A külső levegő H cm magas higanyoszlop nyomásával azonos nyomású. Mekkora legyen h értéke, ha azt akarjuk elérni, hogy a melegítés során a bezárt levegőoszlop nyomása arányos legyen a térfogatával? 36. Egy 97 cm hosszúságú, vékony üvegcső vízszintesen helyezkedik el, és a benne levő 20-20 cm hosszúságú légoszlopokat 20-20 cm hosszúságú higanyoszlopok választják el. A külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Meddig lehet a cső nyitott végét lesüllyeszteni anélkül, hogy a higany kifolyna a csőből? 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 37. ízszintesen tartott, mindkét végén beforrasztott, egyenletes keresztmetszetű, 1 m hosszú csőbe p 0 nyomású gáz van bezárva úgy, hogy a cső közepén egy 20 cm hosszúságú higanyoszlop helyezkedik el. A csövet függőleges helyzetbe fordítva, a gázok Kelvin-skálán mért hőmérsékletét háromszorosára növelve a higanyoszlop 10 cm-rel lejjebb csúszik.

12 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Határozzuk meg az eredeti p 0 nyomást! 20 cm 38. Függőleges, alul zárt, vékony csőben 15 cm hosszúságú higanyoszlop 30 cm hosszúságú levegőoszlopot zár el. A külső levegő nyomása 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A csövet a cső bezárt végén átmenő vízszintes tengely körül függőleges síkban lassan körbeforgatjuk. Milyen görbén mozog az a pont, ahol a higanyszál érintkezik a bezárt levegőoszloppal? 39. Egy vízszintes, mindkét végén zárt, A keresztmetszetű vékony üvegcsőben az m tömegű higanyoszlop a bezárt gázok térfogatát 2:1 arányban osztja. A gázok nyomása p, hőmérsékletük megegyezik. Mekkora gyorsulással kell a csövet a cső irányába mozgatni, hogy a térfogatok aránya felcserélődjön, ha az összenyomott gáz Kelvin-skálán mért hőmérséklete kétszeresére növekszik, míg a másik gáz hőmérséklete nem változik? 40. Mindkét végén zárt, vékony függőleges csőben két azonos hosszúságú higanyoszlop három azonos hosszúságú térrészt zár el. Az alsó két térrészben levegő, a felsőben vákuum van. A levegőoszlopok hosszúsága megegyezik a higanyoszlopok hosszúságával, az alsó térrészben a levegő nyomása 6 10 4 Pa. A csövet függőleges helyzetéből a másik függőleges helyzetébe átfordítjuk, miközben a hőmérséklet állandó. Mekkora lesz a levegőoszlopok nyomása a cső átfordítása után? h h h h h 41. Az ábrán látható, egyik végén zárt, derékszögben meghajlított, vékony cső vízszintes részében L hosszúságú levegőoszlopot 3L hosszúságú higanyoszlop zár el. A csövet függőleges tengely körül forgatni kezdjük. Ismert, hogy a felpörgetés során a levegő tömegének 1/4-ed része eltávozott a csőből, abszolút hőmérséklete pedig 4/5-szeresére változott. L = 0,5 m, a külső levegő nyomása pedig 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Mekkora szögsebességgel kell forgatni a csövet, hogy a vízszintes csőben a levegőoszlop és higanyoszlop aránya felcserélődjön.

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 13 L 3L 42. Két edényt, amelyek egyike 3-szor nagyobb térfogatú, mint a másik, vékony cső köt össze. Az edényekben 15 C hőmérsékletű, 101,3 kpa nyomású levegő van. A nagyobb edényt 100 C hőmérsékletre felmelegítjük, a kisebbet pedig 15 C hőmérsékleten tartjuk. a) A végállapotban hányszor nagyobb tömegű levegő lesz a nagyobb edényben, mint a kisebbikben? b) Mekkora lesz az edényekben a levegő nyomása? 43. 200 cm 3, illetve 100 cm 3 térfogatú edényeket rövid, vékony cső köt össze, amelyben félig áteresztő anyag van. Ez lehetővé teszi a nyomás-kiegyenlítődést, de a hőmérséklet-kiegyenlítődést nem. Amikor a rendszer 27 C hőmérsékletű, 101,3 kpa nyomású oxigént tartalmaz, lezárjuk. Ezután a kisebb edényt 0 C hőmérsékletű jégfürdőbe, a nagyobbat pedig 100 C hőmérsékletű gőzfürdőbe helyezzük. Mekkora lesz a végső nyomás a rendszer belsejében? 44. Egy 50 dm 3 térfogatú és egy 15 dm 3 térfogatú tartályt nyomáskiegyenlítő szeleppel ellátott vékony cső köti össze. A szelep csak akkor teszi lehetővé, hogy a gáz a nagyobb tartályból a kisebbe áramoljon, ha a nagyobb tartályban a nyomás 117,2 kpa-lal nagyobb, mint a kisebb tartályban. 17 C hőmérsékleten a nagyobb tartály 101,3 kpa nyomású gázt tartalmaz, a kiseb-ben pedig légüres tér van. Mekkora a nyomás a kisebb tartályban, ha mindkét tartály hőmérséklete egyaránt 162 C? 45. Három egyenlő térfogatú edényt vékony, hőszigetelő csövekkel összekapcsolunk, és a rendszert megtöltjük bizonyos mennyiségű, T 0 hőmérsékletű ideális gázzal. Hogyan változik a rendszerben a nyomás, ha az egyik edény hőmérsékletét 3T 0 -ra, a másikét 6T 0 -ra változtatjuk, miközben a harmadik edény hőmérséklete nem változik?

14 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 3T 0 6T 0 T 0 46. Az ábrán látható módon, közlekedőedény azonos keresztmetszetű ágaiban κ sűrűségű folyadék található. A folyadékoszlopok magassága megegyezik. A folyadékfelszín felett h magasságban mindkét ágban dugattyú helyezkedik el. A jobb oldali dugattyú rögzített, a bal oldali mozgatható. A bezárt levegő nyomása mindkét ágban p. Mennyivel kell elmozdítani a dugattyút a bal oldali ágban felfelé, hogy a folyadékfelszínek távolsága h legyen? h h 47. Zárt henger csappal ellátott csővel egy térfogatú edénnyel van összekapcsolva, amelyben vákuum van. A hengerben rugón felfüggesztve súrlódásmentesen mozgó, súlytalan dugattyú található, amely akkor feszítetlen, ha a henger alján van. A dugattyú alatti térbe a csap zárás során bizonyos mennyiségű levegő szökött, amely a dugattyút h magasságig emelte fel, miközben a dugattyú feletti térben vákuum van. A henger keresztmetszete A, a hőmérséklet állandó. Milyen h 1 magasságban állapodik meg a dugattyú, ha a csapot kinyitjuk? 48. Egy függőleges hengerben, amelynek mindkét vége zárt, súrlódásmentesen mozgó dugattyú található. A dugattyú alatt és felett azonos tömegű és minőségű, 15 C hőmérsékletű ideális gáz van. A dugattyú súlya miatt a felső rész térfogata háromszorosa az alsó rész térfogatának. Mekkora hőmérsékletre kell lehűteni a rendszert, hogy az alsó rész térfogata a felére csökkenjen? h

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 15 49. Függőleges, mindkét végén zárt hengerben levő, hőszigetelő anyagból készült, nem elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú a henger térfogatát két egyenlő térfogatú részre osztja. A felső térrészben p 0 nyomás, T 0 hőmérsékletű hidrogén, az alsó térrészben 2T 0 hőmérsékletű oxigén található. A hengert 180 -kal elfordítjuk. Azt akarjuk elérni, hogy a gázok térfogata ne változzon. Ennek érdekében az oxigént T 0 /2 hőmérsékletre le kell hűteni, miközben a hidrogén hőmérséklete nem változik. Határozzuk meg az oxigén nyomását az első, illetve a második helyzetben! 50. Függőleges, alul zárt hengerben levő dugattyú m tömegű, M moláris tömegű ideális gázt zár el. A dugattyút a henger aljával D rugóállandójú rugó köti össze. T 1 hőmérsékleten a dugattyú távolsága a henger aljától h. Milyen hőmérsékletre kell felmelegíteni a gázt, hogy ez a távolság H legyen? m M T 1 D h 51. Mindkét végén zárt, függőleges hengerben súrlódásmentesen mozgó dugatytyú található. A dugattyú alatt és felett azonos tömegű és minőségű, 300 K hőmérsékletű gáz van. A dugattyú súlya miatt a felső részben levő gáz térfogata háromszorosa az alsó részben levő gáz térfogatának. Adjuk meg a térfogatok arányát, ha a hőmérséklet 400 K-re emelkedik! 52. Függőleges, mindkét végén nyitott, különböző keresztmetszetű hengerben két súrlódásmentesen mozgó dugattyú helyezkedik el, amelyek nyújthatatlan, megfeszített fonállal vannak összekapcsolva. A felső dugattyú keresztmetszete ΔA = 10 cm 2 -rel nagyobb az alsónál. A dugattyúk között 1 mol anyagmennyiségű ideális gáz van. Mindkét dugattyú tömege m = 5 kg, a külső légnyomás p 0 = 10 5 Pa. Mennyivel kell megnövelni a dugattyúk közti gáz hőmérsékletét, hogy a dugattyúk b = 5 cm-rel elmozduljanak? 53. Azonos keresztmetszetű, rögzített, függőleges hengerekben levő súlytalan dugattyúk azonos minőségű, térfogatú és hőmérsékletű ideális gázokat zárnak el. A dugattyúkat elhanyagolható tömegű, merev rudakkal összekapcsoltuk. A bal oldali hengerben levő gáz tömege 2-szerese a másikénak. A külső nyomást egy adott pillanatban 4-szeresére növeljük. A gázok térfogatát állandó értéken szeretnénk tartani. Hányszorosára kell növelni a bal oldali hengerben levő gáz Kelvin-skálán mért hőmérsékletét, ha a jobb oldali hőmérsékletét 3-szorosára növeltük?

16 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 54. Egy hengerben levő, 10 g tömegű oxigén olyan egyensúlyi állapotokon keresztüli folyamatot végez, hogy a hőmérséklet és a térfogat összefüggését a T = 10 4 (4,8 K/m 3 120 K/m 6 ) összefüggés írja le. Határozzuk meg a maximális hőmérsékletű állapotban az oxigén térfogatát, hőmérsékletét és nyomását! 55. 0,5 kg tömegű levegő olyan egyensúlyi állapotokon keresztüli folyamatokat végez, hogy a nyomás és térfogat összefüggését a p = 2 10 6 Pa/m 3 2 10 6 Pa/m 6 2 formula írja le. A levegő moláris tömege 29 10-3 kg/mol. Határozzuk meg a folyamat során a levegő maximális nyomását és maximális hőmérsékletét! 56. Egy termodinamikai folyamat során bizonyos mennyiségű ideális gáz állapotjelzői az ábrán látható módon változnak. A gáz hőmérséklete az A. állapotban 360 K. a) Határozzuk meg, hogy a folyamat során a gáz melyik állapotában maximális a gáz hőmérséklete! b) Mekkora ez a maximális érték? p 4p 0 p 0 A 0 B 6 57. Függőleges, alul zárt, 1 cm 2 keresztmetszetű, 152 cm hosszúságú csőben 76 cm hosszú higanyoszlop 76 cm hosszúságú ideális gázoszlopot zár el. A gáz hőmérséklete 400 K, a külső légnyomás 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A gázt nagyon lassan melegítjük. a) Ábrázoljuk a gáz hőmérsékletét a térfogat függvényében! b) Mekkora maximális hőmérséklet érhető el a melegítés során? 76 cm 76 cm 58. Egy 2,24 10-2 m 3 térfogatú tartályban 0,7 kg tömegű, 273 K

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 17 hőmérsékletű nitrogén van. A nitrogén van der Waals-állandói: a = 169,9 Pa m 6 /kg 2, b = 1,42 10-3 m 3 /kg. Határozzuk meg a valódi gáznak tekinthető nitrogén nyomását! 59. Tartályban levő, bizonyos mennyiségű oxigén nyomása 7 10 6 Pa, sűrűsége 100 kg/m 3. Az oxigén van der Waals-állandói: a = 133,8 Pa m 6 /kg 2, b = 9,38 10-4 m 3 /kg. Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét! Tekintsük az oxigént: a) valódi gáznak, b) ideális gáznak! 60. A van der Waals-állandók meghatározása céljából bizonyos mennyiségű, p 1 = 10 7 Pa nyomású, 1 = 6,79 10-4 m 3 térfogatú, T 1 = 300 K hőmérsékletű szénmonoxid gázt állandó hőmérsékleten 2 = 4 10-4 m 3 térfogatra összenyomunk, aminek eredményeként a gáz nyomása p 2 = 1,65 10 7 Pa-ra nő. égül a gáz hőmérsékletét állandó térfogaton T 2 = 200 K-re csökkentjük, aminek következtében a gáz nyomása p 3 = 0,819 10 7 Pa-ra változik. Határozzuk meg a gáz van der Waals-állandóit! 61. Állandó, 0,5 m 3 térfogatú tartályban 600 mol széndioxid található 3 10 6 Pa nyomáson. Ebben az állapotban a széndioxid állapotjelzői a van der Waalsegyenletet elégítik ki. A gáz van der Waals-állandói: a = 188 Pa m 6 /kg 2, b = 9,7 10-4 m 3 /kg. Hányszorosára kell növelni a gáz hőmérsékletét, hogy nyomása kétszeresére növekedjék? 62. 5 dm 3 térfogatú, merev falú tartályban 4 mol széndioxid van 10 6 Pa nyomáson. Állandó hőmérsékleten a gáz tömegének felét a tartályból kiengedjük. Tekintsük a széndioxidot valós gáznak! A van der Waals-állandók: a = 188 Pa m 6 /kg 2, b = 9,7 10-4 m 3 /kg. Határozzuk meg a gáz nyomását a végállapotban! 63. A gőzmozdony kerekének sugara T 0 = 0 C hőmérsékleten r 0 = 1 m. Határozzuk meg a 100 km úton bekövetkező fordulatszám-különbséget, ha első esetben nyáron, T 1 = 25 C hőmérsékleten, második esetben télen, T 2 = 25 C hőmérsékleten teszi meg a kérdéses utat. A kerék anyagának lineáris hőtágulási együtthatója: α = 1,2 10-5 1/ C. 64. Egy óra bizonyos hosszúságú, matematikai ingának tekinthető ingája szobahőmérsékleten pontosan jár. Az inga szála anyagának lineáris hőtágulási együtthatója 1,85 10-5 1/ C. Mennyit késik vagy siet az óra 24 óra alatt, ha a szoba hőmérséklete 10 Ckal megnövekszik?

18 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 65. Két különböző anyagú, vékony huzalból egy bizonyos hőmérsékleten fizikai eszközt készítünk. Milyen hosszúságú huzalokat válasszunk, ha azt akarjuk, hogy a hosszúságkülönbség minden hőmérsékleten d legyen? Az anyagok lineáris hőtágulási együtthatói α 1 és α 2, továbbá α 2 > α 1. 66. T 1 = 20 C hőmérsékleten vas és bronz lemezekből bimetállemezt készítünk. Az azonos hosszúságú, szélességű és d = 0,2 mm vastagságú lemezeket összeszegecseljük. A vas lineáris hőtágulási együtthatója α 1 = 1,1 10-5 1/ C, a bronzé α 2 = 2 10-5 1/ C. Mekkora lesz a bimetállemez görbületi sugara T 2 = 100 C hőmérsékleten? 67. Korong alakú, T 0 hőmérsékletű test függőleges tengely körül ω 0 szögsebességgel forog. A korong anyagának lineáris hőtágulási együtthatója α. Határozzuk meg a korong szögsebességét, ha a környezet hőmérséklete T 0 -ról T 1 -re növekszik! 68. Higanyos barométer rézből készült skáláját 0 C hőmérsékleten hitelesítették. 18 C hőmérsékleten a barométer 760 mm magas higanyoszlop nyomásával azonos értéket mutat. A réz lineáris hőtágulási együtthatója 1,9 10-5 1/ C, a higany térfogati hőtágulási együtthatója pedig 1,8 10-4 1/ C. Mekkora nyomást jelezne a barométer 0 C hőmérsékleten? 69. Mekkora erőt kell kifejteni az egyik végén befogott, 1 cm 2 keresztmetszetű homogén acélrúd másik végére, ha annak hőmérsékletét 1 C-kal növeljük és azt akarjuk elérni, hogy hosszúsága ne változzon? α = 1,2 10-5 1/ C, E = 2,1 10 11 N/m 2. 70. Két fal között levő, L hosszúságú, A keresztmetszetű, T 1 hőmérsékletű vékony rúd két egyenlő hosszúságú, de különböző anyagú részből áll. Az egyik anyag lineáris hőtágulási együtthatója α 1, Young-modulusza E 1, a másik anyagé pedig a 2 és E 2. A rudat T 2 hőmérsékletre melegítjük. A rúd oldalirányú deformációjától eltekintünk. a) Mekkora erővel nyomja a rúd a falakat? b) Mennyivel mozdul el a két különböző anyagú rész találkozási pontja? E 1 α 1 E 2 α 2

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 19 71. β térfogati hőtágulási együtthatójú, T 1 hőmérsékletű üveggolyót elhanyagolható tömegű fonállal rugós erőmérőre akasztunk. Az erőmérő F nagyságú erőt jelez. Ha az üveggolyót T 1, illetve T 2 hőmérsékletű folyadékba merítjük, akkor az erőmérő F 1, illetve F 2 nagyságú erőket jelez. Határozzuk meg a folyadék térfogati hőtágulási együtthatóját! 72. A folyadékok térfogati hőtágulási együtthatójának mérésekor tartó üvegedény tágulásából adódó hibát úgy kompenzáljuk, hogy az edénybe bizonyos térfogatú, β 1 = 8 10-5 1/ C térfogati hőtágulási együtthatójú ötvözetet helyezünk. Az üveg térfogati hőtágulási együtthatója β 2 = 3 10-5 1/ C. Az edény térfogatának hányad részét kell az ötvözettel megtölteni, hogy a kompenzáció teljes legyen? 73. Laboratóriumi körülmények között a higany térfogati hőtágulási együtthatóját tömegmódszerrel határozták meg. Egy vékony csőben végződő üvegedényt a csövön levő jelzésig higannyal töltöttek meg. Az edényben ekkor 32 g higany volt, a hőmérséklet pedig 0 C. A higany és üvegedény alkotta rendszer hőmérsékletét 100 C-ra növelték, és a csövön levő jelzés feletti higanyt eltávolították az edényből. Ekkor a higany tömege 31,5 g maradt. Az üveg térfogati hőtágulási együtthatója 2,7 10-5 1/ C. Határozzuk meg ezekből az adatokból a higany térfogati hőtágulási együtthatóját! 74. Bizonyítsuk be, hogy ha a p,, T állapotjelzők közötti kapcsolat megadható az f(p,,t) = 0 állapotegyenlettel, akkor igaz a következő összefüggés: p T = 1. T p T 75. Bizonyítsuk be, hogy a homogén, izotóp testek esetén a β izobár térfogati hőtágulási együttható, a K izotermikus kompresszibilitási együttható és az α termikus nyomási együttható kielégítik a K α p 0 = =1 β összefüggést, ahol p 0 a nyomás 0 C hőmérsékleten! 76. A higany térfogati hőtágulási együtthatója 0 C hőmérsékleten és 10 5 Pa nyomáson 1,8 10-4 1/ C, az izotermikus kompresszibilitási együtthatója 3,9 10-11 1/ C. Határozzuk meg a higany termikus nyomási együtthatóját! p

20 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 77. Az előző feladatban hányszorosára kell megnövelni a külső nyomást, hogy 10 C hőmérséklet-növekedés esetén a higany térfogata ne változzon? 78. Határozzuk meg az ideális gáz, illetve a van der Waals-gáz izotermikus kompresszibilitási együtthatóját!

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 79. Számítsuk ki az O 2 molekula tömegét! 80. Mennyi a térfogata annak a vízmennyiségnek, amelyben 6,02 10 23 vízmolekula van? 81. A vízmolekulákat gömb alakúnak tekintve határozzuk meg átmérőjüket! 82. Egy neonatom tömege 3,35 10-26 kg. Mennyi a normál állapotú neongáz sűrűsége? 83. Határozzuk meg a normál állapotú ideális gáz molekuláinak átlagos távolságát! 84. A szőlőcukor 6 kg/m 3 koncentrációjú vizes oldatának ozmotikus nyomása 27 C hőmérsékleten 83,12 kpa. Mekkora a szőlőcukor moláris tömege? 85. 27 C hőmérsékletű oldat ozmotikus nyomásának növelése céljából az oldat koncentrációját 1,3-szeresére növeltük. Milyen hőmérsékletre kell melegíteni az oldatot, hogy az eredeti koncentrációt megtartva az ozmotikus nyomás ugyanúgy változzon, mint a koncentráció növelése esetén? 86. 1dm 3 térfogatú, 30 C hőmérsékletű oldatban 3 g tömegű konyhasó (NaCl) található. Az oldat ozmotikus nyomása 1,7 10 5 Pa. Milyen mértékben disszociáltak a konyhasó molekulái? 87. Féligáteresztő anyagból készült, 1 dm 3 térfogatú edény felül vékony, függőleges csőben folytatódik. Az edényben levő 1 dm 3 térfogatú, 27 C hőmérsékletű víz 0,2 g tömegű konyhasót tartalmaz, a konyhasó molekulái disszociáltak. Milyen magasra emelkedik a függőleges csőben a víz, ha az oldatot tartalmazó edényt vízbe helyezzük?

22 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 88. Határozzuk meg az ideális gáz nyomását molekulárisan! KRÖNIG nyomán a számítás egyszerűsítése végett tegyük fel, hogy a térfogatú, téglatest alakú edényben minden m* tömegű részecske azonos v 0 sebességgel mozog, és az N db részecske 1/6-od része mozog egy-egy fal irányába, a falra merőlegesen! 89. Egy vékony fémlap két oldalát irányított, a fémlapra merőleges irányú gázrészecskenyaláb bombázza. A gázrészecskék tömege m*, sebessége v 0. A nyalábokban a részecskekoncentráció n, a nyalábok keresztmetszete A. A gázrészecskék fémlappal való ütközését tekintsük tökéletesen rugalmasnak! Mekkora erővel mozgathatjuk u állandó sebességgel a fémlapot a nyalábok irányába, ha v 0 > u? v 0 v 0 u 90. R sugarú gömbben N db m* tömegű molekula található. Tegyük fel, hogy a molekulák azonos, v 0 nagyságú sebességgel mozognak a gömbben és az edény falával rugalmasan ütköznek! a) Számítsuk ki a gömb belső felületére gyakorolt nyomóerőt! b) Határozzuk meg a gáz nyomását! 91. Gázrészecskék azonos sebességgel nyalábban haladva rugalmasan falnak ütköznek. A részecskék sebességének iránya a fal normálisával α szöget zár be. Adott a részecskék m* tömege, v 0 sebessége, a térfogategységben levő részecskék n száma. Határozzuk meg a falra kifejtett nyomást, ha a) a fal áll, b) a fal normálisának irányába állandó u sebességgel mozog! 92. Egy r sugarú, h magasságú egyenes hengerben az alaplappal párhuzamos N db különböző síkban egy-egy m* tömegű, v 0 sebességű gázrészecske pattog. Az ütközések rugalmasak. Milyen összefüggés áll fenn a gáz nyomása és térfogata között? 93. ízszintes, hőszigetelő anyagból készült hengerben levő dugattyú egyatomos ideális gázt zár el. Az ugyancsak hőszigetelő anyagból készült dugattyút u állandó sebességgel mozgatni kezdjük, ahol u << v. Igazoljuk a kinetikus gázelmélet alapján, hogy a dugattyú mozgatása során a gáz állapotjelzői kielégítik a

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 23 összefüggést! p 5 3 = állandó u 94. Hány db molekula ütközik 1 másodperc alatt annak a gáztartálynak az 1 m 2 területű oldallapjához, amelyben 101,3 kpa nyomású, 20 C hőmérsékletű nitrogén található? 95. Ismerve az ideális gáz κ sűrűségét és M moláris tömegét, határozzuk meg az egységnyi térfogatban levő részecskék n számát! 96. Az oxigénmolekula átmérője 2,9 10-10 m. Milyen hosszú láncot alkotna annyi részecske, amennyi a 0,5 cm 3 térfogatú normálállapotú oxigénben található, ha azokat egymás mellé tennénk? 97. Határozzuk meg a valódi gáz részecskéinek r sugara és a b van der Waalsállandó közti összefüggést, ha a gáz moláris tömege M! 98. Határozzuk meg az argonmolekula átmérőjét, ha ismert a van der Waalsegyenletben szereplő b = 7,5 10-4 m 3 /kg állandó értéke! 99. Egy tartály, melynek térfogata 0,25 m 3, 327 C hőmérsékletű gázkeveréket tartalmaz. A gázkeverék 6,6 10 21 db széndioxid és 9 10 20 db vízgőzmolekulából áll. Határozzuk meg a gázkeverék nyomását és átlagos moláris tömegét! 100. Hélium és argon keverékből álló gáz sűrűsége 1,5 10 5 Pa nyomáson, 300 K hőmérsékleten 2 kg/m 3. Hány héliumatom található 1 cm 3 térfogatú gázkeverékben? 101. Egy zárt edény bizonyos mennyiségű hidrogént tartalmaz, amelynek hőmérséklete 200 K, nyomása 400 Pa. A gázt 10 000 K hőmérsékletre melegítjük, amely során a hidrogénmolekulák atomokra esnek szét. Mekkora lesz a gáz nyomása, ha az edény térfogata változatlan? 102. Egy 2,55 dm 3 térfogatú edény 2500 C hőmérsékletű, 1,5 10-2 g tömegű hidrogént tartalmaz. Ezen a hőmérsékleten a hidrogénmolekulák 0,25-öd része már atomokra esik szét. Határozzuk meg a hidrogén nyomását!

24 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 103. Egy zárt edényben hidrogén-nitrogén gázkeverék van. T hőmérsékleten, amikor a nitrogénmolekulák már atomokra esnek szét, de a hidrogén még nem disszociált, az edényben a gázkeverék nyomása p. 2T hőmérsékleten, amikor mindkét gáz atomokra esett szét, a gázkeverék nyomása 3p. Határozzuk meg a nitrogén- és hidrogénatomok arányát a 2T hőmérsékletű gázkeverékben! 104. Zárt edényben n 0 = 1 mol kéntrioxidot T 1 = 1000 K hőmérsékletre melegítve az részlegesen disszociál (2SO 3 = 2SO 2 + O 2 ). A disszociáció mértéke α 1 = 0,2. Egy másik kísérlet során, amikor n 2 = 0,4 mol kéntrioxidot használtunk fel, T 2 = 2000 K hőmérsékletre kellett a gázt melegíteni, hogy a T 1 hőmérséklethez tartozó nyomást elérjük. Határozzuk meg a T 2 hőmérsékleten bekövetkező disszociáció mértékét! 105. Mekkora a héliumatom átlagos mozgási energiája 300 K hőmérsékleten? 106. Határozzuk meg kétatomos gáz molekuláinak haladó és forgó mozgásából származó átlagos kinetikai energiáját, ha a hőmérséklet 4500 K! 107. Egy 5 dm 3 térfogatú edényben 3 10 5 Pa nyomású ideális gáz van. Mekkora részecskéinek összes mozgási energiája és a gáz belső energiája, ha a) a gáz egyatomos, b) a gáz kétatomos? 108. Egy zárt edényben 5 10 25 db oxigénmolekula van, amelyek hőmérsékletét 20 C-ról 100 C-ra növeljük. Mennyivel változik a rendszer belső energiája? 109. A 2 10 5 Pa nyomású egyatomos ideális gáz részecskéinek átlagos mozgási energiája 6 10-21 J. Határozzuk meg, hány db részecske található az edény 2 m 3 térfogatú részében! 110. Az 1000 K hőmérsékletű, négyatomos gáz termikusan gerjeszthető szabadsági fokai kiolvadtak. a) Határozzuk meg az 1 mol mennyiségű gáz belső energiáját! b) A teljes energia hányadrésze kapcsolatos a haladó mozgással?

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 25 111. Egy zárt, állandó térfogatú tartályban kétatomos ideális gáz található. A gáz Kelvin-skálán mért hőmérsékletét 10-szeresére növelve a molekulák 20%-a atomokra esik szét. a) Hányszorosára nőtt a gáz nyomása? b) Hogyan változott a gáz belső energiája? 112. Egy zárt, állandó térfogatú tartályban egyatomos és kétatomos ideális gázból álló gázkeverék van. A gázmolekulák (kétatomos) száma 10 23. A gázkeverék Kelvin-skálán mért hőmérsékletét 13-szorosára növelve a molekulák egy része atomokra esik szét, aminek következtében a gáz nyomása 52/3- szorosára, belső energiája 14-szeresére nő. a) Hány db egyatomos gázrészecskét tartalmaz az eredeti gázkeverék? b) A gázmolekulák hányad része esett szét atomokra? 113. Mekkora hőmérsékleten egyezik meg az oxigénmolekulák közös sebessége (a sebességnégyzet átlagának négyzetgyöke) a 273 K hőmérsékletű hidrogén molekuláinak közös sebességével? 114. Mekkora hőmérsékleten egyezik meg az oxigénmolekulák közös sebessége a második kozmikus sebességgel (11,2 km/s)? 115. Határozzuk meg azon gáz részecskéinek közös sebességét, amely sűrűsége 1,8 kg/m 3, nyomása pedig 1,5 10 5 Pa! 116. Zárt edényben levő, 7,2 kg tömegű acetilén (C 2 H 2 ) molekuláinak közös sebessége 500 m/s, sűrűsége 18 kg/m 3. a) Határozzuk meg a gáz nyomását! b) Számítsuk ki az egy molekula haladó mozgásához tartozó átlagos energiát! 117. A Nap felszíni rétegének (fotoszféra) hőmérséklete körülbelül 6000 K. A Nap tömege 2 10 30 kg, sugara 7 10 8 m. Miért nem repülnek le a Nap felszíni rétegéből az ott levő hidrogénatomok? 118. Két azonos térfogatú, hőszigetelő anyagból készült tartályt csappal ellátott vékony cső köt össze. A tartályokban azonos tömegű és minőségű, egyatomos ideális gázok találhatók. A bal oldali tartályban a részecskék közös sebessége v 01, a jobb oldaliban pedig v 02. Határozzuk meg a gázrészecskék közös sebességét a csap kinyitása után bekövetkező egyensúlyi állapotban!

26 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA v 01 v 02 119. Nitrogénnel töltött, hőszigetelt edény 86 m/s sebességgel mozog, a nitrogén hőmérséklete 273 K. Mekkora lesz a gázrészecskék haladó mozgásából származó átlagos energia, ha az edényt hirtelen megállítjuk? 120. Bizonyos mennyiségű gázt tartalmazó edényt állandó v sebességgel mozgatunk, majd hirtelen megállítunk. Határozzuk meg a gáz hőmérséklet-változását és a részecskék sebességnégyzet átlagának megváltozását, ha a) a gáz egyatomos és moláris tömege M 1, b) a gáz kétatomos és moláris tömege M 2! 121. Fejezzük ki az ideális gáz molekuláinak átlagos szabad úthosszát a p nyomás, a T abszolút hőmérséklet és az r molekulasugár függvényeként! 122. Ritkított hidrogéngáz nyomása 0,1 Pa, hőmérséklete 100 K, a hidrogénmolekulák átmérője 2,3 10-10 m. Határozzuk meg a hidrogénmolekulák átlagos szabad úthosszát! 123. Bizonyos állapotban levő héliumatomok átlagos távolsága 4 10-9 m. A héliumatomok átmérője 1,9 10-10 m. Határozzuk meg a héliumatomok átlagos szabad úthosszát! 124. Ritkított hidrogéngáz molekuláinak átlagos szabad úthossza 1 cm. A hidrogénmolekulák átmérője 2,3 10-10 m. Határozzuk meg a gáz sűrűségét! 125. A normál állapotú hidrogén molekuláinak átlagos szabad úthossza 1,12 10-7 m. Határozzuk meg az ütközési számot! 126. Egy 0,4 m átmérőjű, gömb alakú edényben 20 C hőmérsékletű nitrogén található. A nitrogénmolekulák átmérője 3,1 10-10 m. Mekkora legyen az edényben a nitrogén nyomása, hogy a nitrogénmolekulák gyakorlatilag ne ütközzenek?

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 27 127. Határozzuk meg a normálállapotú oxigén diffúziós együtthatóját, ha az oxigénmolekula átmérője 2,9 10 m -10! 128. Hogyan változik a kétatomos gáz diffúziós együtthatója, ha a gáz nyomása állandó hőmérsékleten felére csökken? 129. Határozzuk meg a 10 5 Pa nyomású, 7 C hőmérsékletű nitrogén viszkozitását, ha a nitrogénmolekula átmérője 3,1 10-10 m? 130. 0,5 mm átmérőjű golyó azonos nyomású és hőmérsékletű hidrogén, illetve nitrogéngázban szabadon esik. A hidrogénmolekula átmérője 2,3 10-10 m, a nitrogénmolekuláé pedig 3,1 10-10 m. Határozzuk meg az esési sebességek arányát! 131. Hogyan változik egy hengerben a henger adott felületdarabjához egy adott idő alatt nekiütköző részecskék száma, ha a gáz nyomása 4-szeresére növekszik a) állandó hőmérsékleten, b) állandó térfogaton? 132. Két, egymástól porózus fallal elválasztott tartályban azonos anyagi minőségű gáz van. Az egyik tartályban levő gáz nyomása p 1, hőmérséklete T 1, a másik tartályban levő gáz megfelelő paraméterei pedig p 2 és T 2. Milyen feltétel teljesülése esetén nem történik anyagáramlás a két tartály között? p 1 p 2 T 1 T 2 133. Zárt edényben oxigénből és héliumból álló gázkeveréket készítünk, majd kinyitjuk az edény falán levő, nagyon kis keresztmetszetű csapot. Milyen összetételű lesz a kiáramló gázsugár, ha a csap kinyitása előtt a tartályban a) a gázok koncentrációi megegyeztek, b) a gázok tömegei megegyeztek? 134. Mindkét végén zárt hengerben levő féligáteresztő fal a hengert két egyenlő térfogatú részre osztja. A bal oldali térrészben 1,5 10 5 Pa nyomású argonhidrogén keverék van, a jobb oldali térrészben pedig vákuum. A rögzített féligáteresztő falon csak a hidrogén tud átdiffundálni, a folyamat során a hőmérséklet állandó. A dinamikus egyensúly kialakulása után a bal oldali térrészben a nyomás 10 5 Pa.

28 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Határozzuk meg az argon és hidrogén tömegének arányát az eredeti gázkeverékben! H 2 Ar 135. Azonos tömegű hidrogénből és héliumból álló gázkeverék egy olyan 1 térfogatú edényben van, amely egy rögzített féligáteresztő falon keresztül 2 térfogatú edényhez kapcsolódik. A 2 térfogatú edényben kezdetben vákuum van. A féligáteresztő falon csak a hidrogén tud áthaladni. Az állandó hőmérsékleten lezajló kiegyenlítődési folyamat során a 1 térfogatú edényben a gázkeverék nyomása felére csökken. Határozzuk meg a 2 / 1 arányt! 136. ákuumban levő, zárt edényben p nyomású ritkított gáz található. Az edény egyik falán olyan, A területű nyílást készítünk, amelynek méretei kicsik a gázmolekulák átlagos szabad úthosszához képest. Határozzuk meg azt az erőt, amit a vákuumba kiáramló gáz kifejt az edényre a kiáramlás kezdetén! 137. ékony falú, térfogatú tartályban M moláris tömegű, T 0 hőmérsékletű, n 0 koncentrációjú ritkított ideális gáz van. A tartály vákuumban van. A tartályon egy nagyon kicsi, A keresztmetszetű nyílást készítünk, és a gáz hőmérsékletét állandó T 0 értéken tartjuk. a) Határozzuk meg a tartályban levő koncentrációját az idő függvényében! b) Mennyi idő eltelte után csökken a koncentráció az eredeti érték felére? 138. Hőszigetelt üreg két azonos, kis keresztmetszetű nyílással másik két üreghez kapcsolódik, amelyek állandó nyomáson és hőmérsékleten tartott, ritkított héliumgázt tartalmaznak. A bal oldali üregben a hélium nyomása p, hőmérséklete T, a jobb oldaliban a nyomás p, a hőmérséklet pedig 2T. Határozzuk meg a középső üregben levő hélium nyomását és hőmérsékletét! p T p x T x p 2T

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 29

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 139. 5 kg tömegű, 300 K hőmérsékletű oxigén térfogata 10 m 3. Mennyi munkát kell végezni, ha az oxigén térfogatát felére akarjuk csökkenteni a) állandó nyomáson, b) állandó hőmérsékleten? 140. Egyik végén zárt, függőleges helyzetű U alakú üvegcsőben alul higany helyezkedik el, mindkét ágban egyenlő magasan. A bezárt levegőoszlop térfogatát melegítéssel 100 cm 3 -ről 120 cm 3 -re növeljük. Az üvegcső keresztmetszete 5 cm 3, a külső légnyomás 101,3 kpa, a higany sűrűsége 13,6 kg/dm 3. Számítsuk ki a bezárt levegőoszlop által végzett munkát! 141. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. Határozzuk meg a körfolyamat során a gáz által végzett munkát! 2 3. 2. 1 1. 142. Bizonyos mennyiségű ideális gáz olyan kvázisztatikus folyamatot végez, hogy a nyomás és térfogat kapcsolatát a következő függvény írja le: p = p0 exp( α ( 0 )), ahol p 0 = 6 10 5 Pa, α = 0,2 m -3, 0 = 2 m 3. Határozzuk meg a gáz által végzett munkát, ha a 1 = 3 m 3 térfogatról 2 = 4 m 3 térfogatra tágul! 143. n = 0,4 mol anyagmennyiségű ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi, ahol 1 = 5 dm3, T 1 = 300 K, 2 = 8 dm 3 2 2., T 2 = 600 K. Mennyi munkát végez a táguló gáz? 1. 1 T 1 T 2 T T T 1 T 2

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 31 144. együk fel p diagramon n = 2 mol anyagmennyiségű ideális gáz T 1 = 200 K, illetve p T 2 = 800 K hőmérsékletekhez tartozó izotermáit! A Húzzunk tetszőleges helyen a p tengellyel B párhuzamos egyenest, amely messe az izotermákat a C, illetve A pontokban! Kössük össze T 2 D a C és A pontokat az origóval! Ezen egyenesek C T 1 messék az izotermákat az újabb B, illetve D pontokban! Rajzoljuk meg az ABCD négyszöget! Az ideális gáz végezze az egyenes szakaszokból álló ABCD körfolyamatot! a) Bizonyítsuk be, hogy az AC szakasz merőleges a BD szakaszra! b) Határozzuk meg az egy ciklus alatt nyert hasznos munkát! c) Igazoljuk, hogy a hasznos munka független attól, hogy milyen térfogatértéknél húztuk meg a p tengellyel párhuzamos egyenest! 145. Két azonos melegítő berendezéssel edényekben lévő folyadékokat melegítünk azonos ideig. A K 1 hőkapacitású edényben lévő, c 1 fajhőjű, m 1 tömegű folyadék T 0 hőmérsékletről T 1 hőmérsékletre melegedett fel, míg a K 2 hőkapacitású edényben levő, m 2 tömegű, T 0 hőmérsékletű folyadék T 2 hőmérsékletű lett. Határozzuk meg a második edényben levő folyadék fajhőjét! 146. Kemence T 1 hőmérsékletének meghatározása céljából a benne felmelegített m 1 = 0,3 kg tömegű vashengert m 2 = 1,27 kg tömegű, T 2 = 15 C hőmér-sékletű vizet tartalmazó, m 3 = 0,2 kg tömegű rézedénybe helyezzük. A ki-alakuló közös hőmérséklet T k = 32 C. A vas fajhője c 1 = 465 J/kg C, a víz fajhője c 2 = 4,2 kj/kg C, a réz fajhője c 3 = 385,2 J/kg C. Milyen hőmérsékletű a kemence? 147. Milyen magasra lehetne felemelni egy 1 t tömegű testet, azon energia árán, amely 1 dm 3 térfogatú, 100 C hőmérsékletű víz 20 C hőmérsékletre való lehűlése során felszabadul, ha a víz fajhője 4,2 kj/kg C. 148. n db különböző, hőszigetelt edényben rendre 1, 2,..., n kg tömegű víz van. Az edényekben a víz hőmérséklete szintén rendre 1, 2,..., n C. Az n db edény tartalmát egy hőszigetelt edénybe összeöntjük, az energiaveszteségektől eltekintünk. Mekkora lesz a kialakuló közös hőmérséklet, ha a) n = 4, b) n = 10, c) n = 25?

32 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 149. Rézhengerre, melynek keresztmetszete A = 12 cm 2, M = 4,92 N m állandó forgatónyomaték kifejtésével h = 0,75 mm menetemelkedésű menetet vágunk. A réz fajhője c = 385,2 J/kg C, sűrűsége κ = 8900 kg/m 3. Mennyivel változik meg az állandó tömegűnek tekinthető rézhenger hőmérséklete, ha feltesszük, hogy a végzett munka teljes egészében a rézhenger belső energiájának növelésére fordítódik? 150. ízszintes lapon m 1 tömegű vaskocka és m 2 tömegű rézkocka áll. A vas hőtágulási együtthatója α 1, sűrűsége κ 1. A vízszintes lap hőkapacitásától eltekintünk. Mennyivel változik meg a rendszer hőkapacitása, ha a rézkockát a vaskockára helyezzük? 151. m tömegű, fémből készült test fajhője a c = a + b T összefüggés szerint függ a hőmérséklettől, ahol a és b ismert állandók. Mennyi energiát kell közölni a testtel, hogy hőmérséklete T 1 -ről T 2 -re emelkedjen? 152. Lehetséges-e 1 kg tömegű, 100 C hőmérsékletű víz felhasználásával 60 C-ra melegíteni 1 kg tömegű, 0 C hőmérsékletű vizet? A hidegebb víz belső energiájának növekedése kizárólag a melegebb víz belső energiájának csökkenése árán történhet. Az energiaveszteségektől tekintsünk el! Mekkora a maximális elérhető hőmérséklet? 153. Igazoljuk a 1 U cp c = + p m T T p összefüggés felhasználásával Robert MAYER egyenletét! Cm, p Cm, 154. Határozzuk meg a van der Waals gázra nézve a különbséget! 155. Adiabatikusan izolált, 1 mol anyagmennyiségű nitrogén vákuumba tágul, aminek következtében térfogata 1 dm 3 -ről 10 dm 3 -re növekszik. A gáz van der Waals-állandói: a =169,6 Pa m 6 /kg 2, b = 1,42 10-3 m 3 /kg. Határozzuk meg a hőmérséklet megváltozását! 156. 4 g tömegű hidrogén vákuumba tágul, térfogata 2 dm 3 -ről 10 dm 3 -re növekszik. A gáz van der Waals-állandói: a = 6000 Pa m 6 /kg 2, b = 1,35 10-2 m 3 /kg. Mennyi energiát kell termikus módon közölni a gázzal, hogy hőmérséklete ne változzon?

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 33 157. Hidrogéngázzal Joule Thomson-kísérletet végzünk. A gáz kezdeti hőmérséklete 200 K. A hidrogén van der Waals-állandói: a = 6000 Pa m 6 /kg 2, b = 1,35 10-2 m 3 /kg. Felmelegszik vagy lehűl a gáz a kísérlet során? 158. Hidrogéngázzal végzett Joule Thomson-kísérlet során a gáz kezdeti nyomása p 1 = 10 6 Pa. A gáz kezdeti hőmérsékletét a következő módon választották: a) T 1 = 273 K, b) T 1 = 210,5 K, c) T 1 = 173 K. A megfelelő 1 értékeket határozzuk meg az ideális gázok termikus állapotegyenletéből! A gáz van der Waals-állandói: a = 6000 Pa m 6 /kg 2, b = 1,35 10-2 m 3 /kg. Határozzuk meg a három különböző esetben bekövetkező hőmérsékletváltozást! 159. 2 dm 3 térfogatú normálállapotú hélium izotermikusan kitágul úgy, hogy térfogata 4 dm 3 lesz. Számítsuk ki a gáz által végzett munkát és a termikus módon felvett energiát! 160. 64,15 g tömegű oxigént 4 10 5 Pa állandó nyomáson 27 C-ról olyan hőmérsékletre melegítünk, melyen térfogata 25 dm 3 lesz. Az oxigén állandó nyomáson vett fajhője c p = 916,9 J/kg K. a) Mennyi energiát kell termikus módon közölni a rendszerrel? b) Mennyivel változik a gáz belső energiája? c) Mekkora a gáz által végzett munka? d) Mennyivel változik a rendszer entalpiája? 161. Kétatomos ideális gáz kétféle úton juthat az 1. állapotból a 3. állapotba. Az 1. 2. 3. úton a gáz 3p 0 által termikus módon felvett energia Q 1 = 1220 J. Határozzuk meg az 1. 4. 3. úton termikus p 0 módon felvett energiát! p 4. 3. 1. 2. 0 4 0 162. Könnyen mozgó, súlytalan dugattyúval elzárt hengerben 300 K hőmérsékletű, 0,5 mol anyagmennyiségű kétatomos gáz van. A gázzal 1,32 10 4 J energiát közlünk termikus módon. Hányszorosára nő a gáz térfogata?

34 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 163. Bizonyos mennyiségű, adiabatikusan izolált, egyatomos ideális gázt összenyomunk úgy, hogy nyomása a kezdeti érték 10-szeresére nő. Ezután a gáz izotermikusan kitágul a kezdeti térfogatra. Határozzuk meg hányszorosára nőtt a gáz nyomása a kezdő állapothoz viszonyítva! 164. 0 C hőmérsékletű levegőt (κ = 1,4) adiabatikusan összenyomunk, aminek következtében a levegő felmelegszik. Mekkora lesz a levegő hőmérséklete a végállapotban, ha az összenyomás során a levegő a) térfogata 20-ad részére csökken, b) nyomása 20-szorosára nő? 165. n mol egyatomos, T hőmérsékletű ideális gáz izobár módon kitágul, majd állandó térfogaton lehűl addig, hogy a folyamatot p diagramon ábrázolva, a kezdő- és a végállapotot ábrázoló pontok azonos adiabatán helyezkednek el, továbbá 1 / 2 = 2. Határozzuk meg a belső energia megváltozását! p 1. 3. 1 2 166. Normálállapotú, 28 g tömegű nitrogén adiabatikusan (κ =1,4) 0 térfogatról 5 0 térfogatra tágul. Számítsuk ki a végzett munkát és a belső energia megváltozását! 167. p 0 = 10 5 Pa nyomású, 0 = 20 dm 3 térfogatú háromatomos ideális gáz olyan állapotba jut, hogy nyomása 3-szorosára, térfogata 2-szeresére változik. Határozzuk meg a belső energia megváltozását, a gáz által végzett munkát, a hőmennyiséget, ha az átmenet a) 1. 3. 2. úton, b) 1. 2. úton, c) 1. 4. 2. úton történt! 3p 0 p 0 p 3. 1. 0 2. 4. 2 0 168. Bizonyos mennyiségű, kétatomos ideális gáz izobár tágulása során 7000 J energiát vesz fel termikus módon.

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 35 Határozzuk meg a rendszer által végzett munkát és a belső energia megváltozását! 169. 1 kmol anyagmennyiségű ideális gázt izobár módon felmelegítünk 20 C hőmérsékletről 600 C hőmérsékletre. A folyamat során a gáz 1,2 10 7 J energiát vesz fel termikus módon. Határozzuk meg a) a gázrészecskék szabadsági fokát, b) a gáz belső energiájának megváltozását, c) a gáz által végzett munkát! 170. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz hőmérséklete a T = b 2 összefüggés szerint változik, ahol b pozitív állandó. a) Határozzuk meg a gáz által végzett munkát, ha térfogata 1 -ről 2 -re növekszik! b) Milyen előjelű a környezettel történő energiacsere? 171. n mol anyagmennyiségű ideális gáz izobár módon kitágul, majd izochor módon lehűl a kezdeti hőmérsékletre. A gáz által végzett munka W, a kezdő- és végállapothoz tartozó nyomások aránya p 1 /p 3 = a. Határozzuk meg a gáz eredeti hőmérsékletét! p p 1 p 3 1. 2. 3. 172. 1 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz 300 K hőmérsékletről izochor módon lehűl, aminek következtében nyomása felére csökken. Ezután izobár módon kitágul úgy, hogy hőmérséklete ismét a kezdeti érték lesz. Határozzuk meg a folyamat során a) a belső energia megváltozását, b) a gáz által végzett munkát, c) a termikus módon felvett energiát! 173. Bizonyos állapotban levő, kétatomos gázt úgy nyomunk össze, hogy térfogata 1/10-ed részére csökken. Az összenyomás egyik esetben izotermikusan, a másik esetben adiabatikusan történt. a) Melyik esetben nagyobb a végzett munka és hányszoros? b) Melyik folyamat során nőtt jobban a belső energia és hányszorosára? 174. ízszintes, egyik végén zárt, rögzített hengerben levő, súrlódásmentesen mozgó, m tömegű dugattyú bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gázt zár

36 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA el. A dugattyú rögzített, a külső légnyomás elhanyagolható! A dugattyú rögzítését megszüntetjük és a gázt úgy melegítjük, hogy a dugattyú állandó gyorsulással mozogjon. Mennyi energiát kell a gázzal közölni termikus módon, hogy a dugattyú v sebességre felgyorsuljon? 175. Függőleges, alul zárt hengerben levő, m tömegű dugattyú fonálon függ. A dugattyú alatt n mol anyagmennyiségű, p 0 nyomású, T 0 hőmérsékletű kétatomos ideális gáz van, melynek nyomása megegyezik a külső légnyomással. A dugattyú kezdetben a henger alja felett h magasságban helyezkedik el. A henger és dugattyú hőkapacitásától eltekintünk. Mennyi energiát kell közölni a gázzal termikus módon, hogy a dugattyú 2h magasságra emelkedjen? 176. Egy térfogatú tartályban, melynek egyik falán kis lyuk van, p 0 nyomású, T 0 hőmérsékletű, M moláris tömegű, cp állandó nyomáson vett fajhőjű ideális gáz van. A külső légnyomás p 0, a tartály hőkapacitásától eltekintünk. Mennyi energiát kell termikus módon közölnünk, hogy a tartályban a gáz hőmérséklete T 0 -ról T 1 -re növekedjen? Cm, p Cm, 177. Számítsuk ki a hányadost 3 mol anyagmennyiségű argon és 5 mol anyagmennyiségű oxigén keverékére! 178. Bizonyos mennyiségű, kétatomos, ideális gáz α -ad része felmelegítés során atomokra esett szét. Határozzuk meg a gáz állandó térfogaton vett mólhőjét az új állapotban! 179. Hányatomos molekulákból áll az a gáz, melynek κ = c p c hányadosa (adiabatikus kitevő) a rezgési szabadsági fokainak befagyása esetén 1,2- szeresére növekszik? 180. Egyatomos és kétatomos gázrészecskéket tartalmazó ideális gázkeverék állandó nyomáson tágul. A rendszer belső energiájának növekedése 1,8-szorosa a gázkeverék által végzett munkának. A kétatomos gáz moláris tömege 2-szerese az egyatomosénak. Határozzuk meg a rendszerben levő kétatomos és egyatomos gázrészecskék össztömegeinek arányát!

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 37 181. m tömegű, M moláris tömegű, T 0 hőmérsékletű, a és b van der Waals-állandókkal jellemzett valódi gáz állandó hőmérsékleten 1 térfogatról 2 térfogatra tágul. Határozzuk meg a) a gáz által végzett munkát, b) a belső energia megváltozását, c) a termikus módon közölt energiát! 182. Adiabatikusan és kvázisztatikusan működő kétlépcsős kompresszor összenyom bizonyos mennyiségű, p 0 nyomású, 0 térfogatú, κ adiabatikus kitevőjű ideális gázt egy közbenső térfogatig. Ezután állandó térfogaton a gáz lehűl a kezdeti hőmérsékletre, majd a kompresszor összenyomja a végső, 2 térfogatra. a) A közbenső térfogat milyen értéke esetén kell a kompresszornak a legkisebb munkát végezni? b) Mekkora ez a legkisebb munka? 183. Mindkét végén zárt, hőszigetelő anyagból készült, vízszintes hengerben súrlódásmentesen mozgatható dugattyú található. Kezdetben a dugattyú a hengert két egyenlő, 0 térfogatú részre osztja. Mindkét részben azonos minőségű, p 0 nyomású, egyatomos ideális gáz van. A dugattyú hőszigetelő anyagból készült. Mekkora munkát kell végeznünk, ha a dugattyút lassan mozgatva az egyik oldalon levő gázt 0 /2 térfogatra nyomjuk össze? 184. Határozzuk meg az előző feladat feltételei esetén a dugattyú rezgőmozgásának periódusidejét, ha kissé kimozdítjuk kezdeti egyensúlyi helyzetéből! A dugattyú tömege m, területe A. 185. ékony, mindkét végén nyitott, A keresztmetszetű, U alakú csőben κ sűrűségű higany van. A higany szintjét kitérítve, az súrlódásmentesen mozogva T 1 periódusidejű harmonikus rezgőmozgást végez. Csatlakoztassunk az U alakú cső két nyitott végéhez azonos, 0 térfogatú, hőszigetelt gömböket, melyekben p 0 nyomású ideális gáz van! Ebben az esetben a higany kis kitérések esetén T 2 periódusidővel végez rezgőmozgást. Határozzuk meg a gáz adiabatikus kitevőjét! 0 0

38 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 186. Hőszigetelt edényben levő, rögzített hőszigetelő fal két oldalán azonos minőségű ideális gázok vannak eltérő termodinamikai állapotban. A bal oldali térrészben levő gáz paraméterei: p 1, 1, T 1, m 1, a jobb oldaliban levőé pedig: p 2, 2, T 2, m 2. Mekkora lesz az eredő nyomás és hőmérséklet, ha a hőszigetelő falat kivesszük? 187. Két hőszigetelt, 1 = 1 dm 3 és 2 = 3 dm 3 térfogatú edényt vékony, csappal ellátott cső köt össze. A 1 térfogatú edényben p 1 = 0,5 10 5 Pa nyomású, T 1 = 273 K hőmérsékletű kétatomos, a 2 térfogatú edényben p 2 =1,5 10 5 Pa nyomású, T 2 = 373 K hőmérsékletű egyatomos ideális gáz van. Mekkora lesz a gázok hőmérséklete és nyomása a csap kinyitása után, ha elegendő ideig várunk? 188. 0 térfogatú szobában p 0 nyomású, T 0 hőmérsékletű levegő van. Befűtünk a szobába, és ennek következtében a levegő hőmérséklete T 1 -re növekszik, de a nyomás változatlan marad. Mennyivel növekszik a szoba levegőjének belső energiája? 189. Ha egy termodinamikai rendszert az ábrán látható p A 1. módon, az 1. úton viszünk az A állapotból a B állapotba, akkor 200 J energia áramlik a 3. rendszerbe, és a rendszer 60 J munkát végez. 2. B a) Mennyi energiát vesz fel a rendszer termikus módon az A és B állapotok közti 2. úton, ha közben 20 J munkát végez? b) Mennyi energiát ad le a rendszer termikus módon a 3. úton, ha a rendszert 40 J munka árán vihetjük B-ből A-ba? 190. ákuumban levő, vízszintes, mindkét végén nyitott, hőszigetelő anyagból készült hengerben két, m = 8,31 kg tömegű dugattyú 1 mol anyagmennyiségű, T = 300 K hőmérsékletű, egyatomos ideális gázt zár el. Egy adott pillanatban a dugattyúkat azonos irányba v = 9 m/s, illetve 3v sebességgel elindítjuk. A súrlódás, a dugattyúk hőkapacitása és a gáz tömege a dugattyúk tömegéhez viszonyítva elhanyagolhatók. Milyen maximális hőmérsékletre melegszik fel a gáz? 191. 1 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz politrop módon (n = 1,5) kitágul, miközben hőmérséklete 1 K-nel csökken. Határozzuk meg a) a gáz mólhőjét erre a folyamatra,

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 39 b) a gáz által termikus módon felvett energiát, c) a gáz által végzett munkát! 1 2 192. Egyatomos ideális gáz a = a p összefüggés szerint tágul, ahol a ismert állandó. a) Felmelegszik vagy lehűl a gáz a tágulás során? b) Mekkora a gáz mólhője erre a folyamatra? 193. Egyatomos ideális gáz politrop folyamatot végez. A gáz állapotjelzői a kezdő állapotban p 1 = p 0, 1 = 2 0, a végállapotban p 2 = 5p 0, 2 = 0. a) Határozzuk meg a politrop kitevőt! b) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? 194. Ábrázoljuk az egyatomos ideális gáz mólhőjét a politrop kitevő függvényében! 195. Bizonyos mennyiségű, p 1 nyomású, 1 térfogatú, egyatomos ideális gáz a p 3 = állandó összefüggés szerint kitágul úgy, hogy 2 = 2 1. a) Mi történik a gázzal hőmérséklet szempontjából? b) Határozzuk meg a belső energia megváltozását, a gáz által végzett munkát, a termikus módon felvett energiát! 196. M moláris tömegű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható módon jut az A állapotból a B állapotba. a) Mennyi a folyamat során termikus módon felvett energia? b) Határozzuk meg a gáz fajhőjét erre a folyamatra! p 7p 0 3p 0 A B 0 3 0 197. m tömegű, M moláris tömegű, κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi. a) Mennyi a folyamat során elérhető maximális hőmérséklet? b) Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra! c) Mekkora a mólhő a maximális hőmérséklethez tartozó állapotban? p p 0 0

40 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 198. ízszintes, mindkét végén zárt hengert súrlódásmentesen mozgó dugattyú oszt ketté. A bal oldali részben kétatomos ideális gáz, a jobb oldali részben vákuum van. A dugattyút a henger jobb oldali végével rugó köti össze, melynek nyújtatlan hossza a henger hosszával egyenlő. A gázt melegítjük, a henger, a dugattyú, a rugó hőkapacitásától eltekintünk. Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra! 199. Egy h = 76 cm hosszú, vékony, felül zárt üvegcső alsó vége higanyba merül. A cső részben higanyt tartalmaz, a felette levő elzárt térben 2 10-3 mol anyagmennyiségű levegő van. A külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A levegő állandó térfogaton vett mólhője = 20,5 J/mol K. C m, Mennyi energiát ad le termikus módon a csőbe zárt levegő, amikor hőmérséklete 10 C-kal csökken? h 200. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a C m mólhő a folyamat során állandó. A folyamat során a gáz kitágul és 175 J térfogati munkát végez. A tágulás befejeződése után állandó térfogaton felmelegítjük a kiindulási állapothoz tartozó hőmérsékletre. Ehhez 125 J energia közlésére van szükség. a) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? b) Határozzuk meg a nyomás és térfogat összefüggését a tágulási folyamatra! 201. Bizonyos mennyiségű és minőségű ideális gázzal az ábrán látható módon különböző folyamatokat végeztetünk. Az A állapotból a B állapotba vezető folyamat esetén 3600 J energiát, az A állapotból a C állapotba vezető folyamat esetén 560 J energiát kell termikus módon közölni. Mennyi energiát kell termikus módon közölni a gázzal a C állapotból a B állapotba vezető átmenet során? p A 0 B C 3 0 4 0

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 41 202. m tömegű, M moláris tömegű, κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a hőmérséklet és nyomás összefüggését a T = b p 2 öszszefüggés írja le, ahol b adott állandó. A folyamat során a gáz nyomása p 1 -ről p 2 -re növekszik. a) Határozzuk meg a gáz által végzett munkát! b) Mennyi energiát kell ehhez termikus módon közölni a gázzal? 203. Dugattyúval elzárt hengerben levő, n mol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a környezetének termikus módon leadott energia megegyezik a gáz belső energiájának növekedésével. A gáz hőmérséklete a kezdő állapotban T 0. a) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? b) Mennyi munkát kell végezni a külső erőknek ahhoz, hogy a gáz térfogata a felére csökkenjen? 204. Bizonyos mennyiségű, adiabatikus kitevőjű ideális gáz olyan folyamatot végez, amely során a mólhő a C m = b T 2 összefüggés szerint függ a hőmérséklettől, ahol b ismert állandó. Határozzuk meg a térfogat és hőmérséklet összefüggését a folyamat során! 205. κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz mólhője egy bizonyos folyamat során a C m = b/t összefüggés szerint változik, ahol b adott állandó. a) Határozzuk meg az 1 mol anyagmennyiségű gáz által végzett munkát, ha hőmérsékletét T 1 -ről 2T 1 -re növeljük! b) Milyen összefüggés áll fenn a folyamat során a nyomás és a térfogat között? 206. Ideális gáz olyan folyamatot végez, ahol a nyomás a p = p 0 e a összefüggés szerint változik, p 0 és a ismert állandók. A gáz állandó térfogaton vett mólhője C m,. Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra! 207. Egyik végén zárt, hőszigetelt hengerben levő, rögzített, hővezető anyagból készült válaszfal 1 mol anyagmennyiségű hidrogént zár el. A válaszfal jobb oldalán 1 mol anyagmennyiségű hélium található, amelyet hőszigetelő anyagból készült, könnyen mozgó dugattyú zár el. Kezdetben a gázok nyomása p 0, hőmérséklete T 0. A dugattyút kvázisztatikusan mozgatni kezdjük, aminek következtében a hélium térfogata 2-szeresére növekszik. Határozzuk meg a gázok hőmérsékletét és nyomását a hélium tágulásának befejeződése után!

42 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA H 2 H e p 0 T 0 p 0 T 0 208. Elasztikus burokban levő, κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz p 1 nyomású környezetben van, ekkor a gáz nyomása p 1, hőmérséklete T 1. a) Határozzuk meg a gáz T 2 hőmérsékletét, ha a környezet nyomása hirtelen p 2 -re csökken! b) Mekkora lenne T 2 értéke, ha a gáz adiabatikus kvázisztatikus folyamattal jutna a p 2 nyomású állapotba? c) Hasonlítsuk össze a két eredményt! 209. ízszintes, mindkét végén zárt, hőszigetelt hengerben levő rögzített dugatytyútól balra bizonyos mennyiségű, egyatomos gáz található. A henger jobb oldali részében levő vákuumban a dugattyú és a henger vége között megfeszítetlen rugó van elhelyezve. A dugattyú rögzítésének megszüntetése után beálló egyensúly esetén a gáz térfogata 2-szeresére növekszik. A henger, a dugattyú és a rugó hőkapacitásától eltekintünk. Hogyan változik a gáz nyomása és hőmérséklete? 210. Függőleges, hőszigetelt hengerben bizonyos tömegű dugattyú mozoghat, amely kezdetben rögzített. A dugattyú alatt kétatomos gáz, felette pedig vákuum van. Egy adott pillanatban a dugattyú rögzítését megszüntetjük. A kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz térfogata fele az eredeti értéknek. A henger és a dugattyú hőkapacitásától eltekintünk. Hányszorosára változott a gáz hőmérséklete?

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 43 211. Függőleges, A keresztmetszetű hengerben levő m tömegű dugattyú n mol anyagmennyiségű, T 0 hőmérsékletű, 0 térfogatú, egyatomos ideális gázt zár el. A dugattyú kezdetben rögzített, a külső légnyomás p 0. Az egész rendszer hőszigetelt, a henger és a dugattyú hőkapacitása elhanyagolható. A dugattyú rögzítését megszüntetjük. Határozzuk meg a kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz hőmérsékletét és térfogatát! 0 p 0 m n T 0 212. Egyik végén zárt, adiabatikusan izolált hengerben levő, elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú T 1 hőmérsékletű egyatomos ideális gázt zár el. A dugattyú anyaga is hőszigetelő, a külső nyomás kezdetben p 1. Egy adott pillanatban a külső nyomást hirtelen p 2 -re növeljük, majd a kialakuló egyensúlyi állapot bekövetkezése után hirtelen ismét p 1 -re csökkentjük. a) Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét a két adiabatikus folyamat lezajlása után! b) Bizonyítsuk be, hogy ez mindig nagyobb, mint T 1! p 1 T 1 213. Az ábrán látható 2L hosszúságú, A keresztmetszetű, tökéletesen hőszigetelt tartály T 0 hőmérsékletű, p 0 nyomású egyatomos ideális gázt tartalmaz. A henger közepén elhanyagolható hőkapacitású, vékony, hővezető, m tömegű dugattyút rögzítettünk. A dugattyú rögzítését megszüntetjük. Adatok: p 0 = 1000 Pa, T 0 = 300 K, L = 50 cm, m = 1 kg, A = 2 dm 2. a) Az egyensúlyi helyzet beállta után hol helyezkedik el a dugattyú? b) Mekkora lesz a gáz hőmérséklete a végállapotban? L T p 0 0 m L p T 0 0 214. Reverzibilis Carnot-körfolyamatot végző hőerőgép minden periódusában Q 1 = 2500 J energiát vesz fel termikus módon a magasabb hőmérsékletű tartálytól, melynek hőmérséklete T 1 = 400 K. A hűtő hőmérséklete T 2 = 300 K. Számítsuk ki az egy periódusban végzett munkát (W ) és a hűtőnek leadott energiát ( Q )! 2

44 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 215. Mikor nő jobban a megfordítható Carnot-körfolyamatot végző hőerőgép hatásfoka, ha a felső energiatartály hőmérsékletét 1 C-kal növeljük, vagy az alsó energiatartály hőmérsékletét 1 C-kal csökkentjük? 216. Bizonyos mennyiségű, kétatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T 1 = T 0, a 3. állapotban T 3 = 4T 0, a 2. és 4. pontok pedig közös izotermán helyezkednek el. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! p 2. 3. 1. 4. 217. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! p 2. 1. 3. 218. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható módon körfolyamatot végez. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T 1 = 300 2. állapotban T 2 = 960 K. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! p 2. 1. 0 3 0 3. 219. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A gáz Kelvinskálán mért hőmérséklete az 1. állapotban T 1, a 2. állapotban T 2 = 2T 1. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! p 2. 1. 3. 4.

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 45 220. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A 2. állapotból a 3. állapotba vezető folyamatot a következő függvény írja le: 3 2 = állandó T. 1. 3. 2. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! T 0 4T 0 T 221. 2 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan körfolyamatot végez, amely egy izotermából, izobárból és izochorból áll. Az izotermikus szakasz a körfolyamat során elért maximális 400 K hőmérsékleten történik. Ismert továbbá, hogy a körfolyamat során a maximális és minimális térfogatok aránya: max / min = 2. Számítsuk ki a körfolyamat hatásfokát! 222. A p diagramon m tömegű, M moláris tömegű, p T 2 egyatomos ideális gáz T 1 és T 2 hőmérsékletekhez B C tartozó izotermáit látjuk. Ha az origóból két tetszőleges egyenest húzunk, ezek az A, A és C, T 1 C pontokban metszik az izotermákat. Ezeken a A D pontokon a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket B húztunk. A a) Igazoljuk, hogy az így kialakított téglalapok területe egyenlő! b) Mekkorák a kérdéses területek? c) Bizonyítsuk be, hogy a két körfolyamat hatásfoka egyenlő! C D 223. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz nyomása a kezdő állapotban p 1, térfogata 1. Az ideális gázzal a következő körfolyamatot végeztetjük: izobár módon összenyomjuk 2 = 1 /4 térfogatra, majd politrop módon a p 3 = 8p 1, 3 = 1 /8 állapotjelzőkkel megadott állapotba juttatjuk. Ezután izobár módon kitágítjuk 4 = 1 /4 térfogatra, végül politrop módon visszajut a kezdő állapotba. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

46 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 224. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! 2p 0 p 2. p 0 1. 3. 0 2 0 225. Hányszorosára kell növelni a 4 mol anyagmennyiségű ideális gáz térfogatát állandó hőmérsékleten, hogy entrópiája 23 J/K-nel növekedjen? 226. 2 mol anyagmennyiségű ideális gázt izochor módon lehűtünk úgy, hogy nyomása 10/3-ad részére csökken, majd izobár módon kitágítjuk addig, hogy hőmérséklete ismét a kezdeti értékkel lesz azonos. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 227. 3,2 kg tömegű oxigén Kelvin-skálán mért hőmérséklete T 0 -ról 4T 0 -ra változik, miközben térfogata 0 -ról 2 0 -ra növekszik. Az oxigén állandó térfogaton vett fajhője c = 653,1 J/kg K. Számítsuk ki az entrópia megváltozását! 228. m tömegű, M moláris tömegű, egyatomos ideális gáz politrop folyamatot végez, miközben hőmérséklete T 1 -ről T 2 -re változik. A politrop kitevő n. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 229. m tömegű, M moláris tömegű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi. Határozzuk meg az entrópia megváltozását az 1. állapotból a 2. állapotba való átmenet során! p 4p 0 p 0 1. 2. 230. Ideális gáz az ábrán látható módon kétféleképpen jut el kvázisztatikus folyamatokkal az A állapotból a B állapotba. A gáz kétatomos, tömege m, moláris tömege M. Igazoljuk számítással, hogy az entrópiaváltozás mindkét esetben azonos! p izoterma 1. B 2. A 3 0 5 0 0 0 3 0

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 47 231. m tömegű, M moláris tömegű, kétatomos ideális gáz kvázisztatikus folyamatokkal kétféleképpen jut el az A állapotból a B állapotba. Számítással igazoljuk, hogy az entrópiaváltozás mindkét esetben azonos! 2 0 0 B 1. 2. A T 0 4T 0 12T 0 T 232. Ideális gáz, melynek adiabatikus kitevője κ, a p = p 0 b összefüggéssel leírt folyamatot végzi, ahol p 0 és b ismert pozitív állandók. Mekkora térfogatnál legnagyobb a gáz entrópiája? 233. ízszintes, hőszigetelt, mindkét végén zárt hengert elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú két egyenlő térfogatú részre oszt fel. A jobb oldali térrészben 1 mol anyagmennyiségű, T 0 = 400 K hőmérsékletű, kétatomos ideális gáz van. A bal oldali térrészben vákuum van és a dugattyú kezdetben rögzített. A dugattyú rögzítését megszüntetjük, majd a kialakuló egyensúlyi állapot beállta után a dugattyút nagyon lassan eredeti helyére, a henger közepéig toljuk vissza. a) Határozzuk meg a gáz belső energiájának megváltozását! b) Mennyi munkát végeztünk a gáz összenyomása során? c) Mennyivel változott a kezdő állapothoz képest a gáz entrópiája? T 0 234. Mindkét végén zárt, adiabatikusan izolált hengerben levő, hőszigetelő fal azonos tömegű és anyagi minőségű, egyatomos ideális gázokat választ el. A gázok nyomása azonos, tömegük m, moláris tömegük M, de hőmérsékletük különböző, T 1, illetve T 2. A gázokat elválasztó falakat eltávolítjuk. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 235. Oldjuk meg az előző feladatot abban az esetben, ha a hőmérsékletek egyeznek meg, a nyomások viszont különböznek egymástól, p 1, illetve p 2!

48 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA 236. Két szomszédos, hőszigetelt tartályban különböző anyagi minőségű, n 1, illetve n 2 mol anyagmennyiségű ideális gáz van. Mindkét rendszer nyomása és hőmérséklete azonos. A két tartályt egyesítjük. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 237. Határozzuk meg n mol anyagmennyiségű, a és b van der Waals állandójú, állandó térfogaton vett mólhőjű, M moláris tömegű valódi gáz esetén az C m, S(T,) entrópiafüggvényt! C m, 238. n mol anyagmennyiségű, M moláris tömegű, a és b van der Waals állandójú, állandó térfogaton vett mólhőjű, 1 térfogatú, T 1 hőmérsékletű, adiabatikusan izolált valódi gáz vákuumba tágul. A gáz térfogata a végállapotban 2. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 239. m tömegű, M moláris tömegű, c állandó térfogaton vett fajhőjű, a és b van der Waals-állandókkal jellemzett valódi gáz a 1 térfogatú, T 1 hőmérsékletű állapotából átmegy a 2 térfogatú állapotba. Mennyit változott a gáz entrópiája? 240. Adiabatikusan izolált edényekben levő, 1 kg tömegű, 20 C hőmérsékletű, illetve 2 kg tömegű, 65 C hőmérsékletű vizeket egy hőszigetelt edénybe töltjük. A víz fajhője 4,2 kj/kg C. Számítsuk ki az entrópia megváltozását! 241. A réz mólhője a 300 K hőmérséklet feletti tartományban a következő módon függ a hőmérséklettől: C m = 23,11 J/mol K + 5,68 10-3 J/(mol K 2 ) T. A réz moláris tömege 63,54 10-3 kg/mol. Határozzuk meg, hogy mennyivel nő az 1 kg tömegű réztárgy entrópiája, ha hőmérsékletét 300 K-ről 1200 K-re növeljük! 242. Egy 3 dm 3 térfogatú tartályban 0,5 mol anyagmennyiségű oxigén, egy 2 dm 3 térfogatúban pedig szintén 0,5 mol anyagmennyiségű nitrogén található. Az ideálisnak tekinthető gázok hőmérséklete 300 K. Határozzuk meg azt a maximális munkát, amit a két edény összekapcsolása esetén nyerhetünk, ha a) a keveredési folyamat izotermikus, b) a keveredési folyamat adiabatikus! 243. Tetszőleges termodinamikai rendszer kvázisztatikus módon kétféleképpen jut el az 1. állapotból a 2. állapotba. Az első esetben állandó T 0 hőmérsékleten

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 49 eljut egy közbenső állapotba, miközben energiát vesz fel, majd adiabatikusan lehűl és így jut a 2. állapotba. A második esetben az átmenet tetszőleges úton történik, de végig energiafelvétel történik, és a hőmérséklet végig kisebb T 0 - nál. Mutassuk meg, hogy az első esetben a rendszer termikus módon több energiát vesz fel! 244. Igazoljuk a Clausius-egyenlőség alapján, hogy az ábrán látható körfolyamathoz tartozó hőmérsékletekre, bármely anyagra nézve, amely rendelkezik állandó c és c p értékekkel, igaz a T 1 T 3 = T 2 T 4 összefüggés! p 1. 4. T 1 T 4 T 2 T 3 2. 3. 245. Egy hőerőgépet azonos m tömegű, c fajhőjű energiatartályok közé kapcsolunk, amelyek hőmérséklete kezdetben T 2, illetve T 1, ahol T 2 > T 1. A hőerőgép addig működik, míg a tartályok hőmérséklete meg nem egyezik. a) Mekkora ez a közös hőmérséklet? b) Maximálisan mennyi munkát végezhet a hőerőgép? 246. 1 mol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy entrópiája az S = a/t függvény szerint függ a hőmérséklettől, ahol a ismert állandó. A gáz hőmérséklete T 1 -ről T 2 -re változik. a) Mennyi energiát kell ehhez termikus módon közölni a gázzal? b) Mennyi munkát végez a táguló gáz? c) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? 247. Tetszőleges munkaanyagú hőerőgép az ábrán látható megfordítható körfolyamatot végzi. A körfolyamatokat alkotó nyílt folyamatok politropok, T 2 = 2T 1. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! T T2 2. T 1 1. 3. S 248. Tetszőleges munkaanyagú hőerőgépek az ábrán látható reverzibilis körfolyamatot végzik. A körfolyamatok során a maximális hőmérséklet T 1, a minimális hőmérséklet T 2.

50 TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Határozzuk meg a körfolyamatok hatásfokát! T T 1 1. a) T T 1 1. b) 2. 1. T 2 3. 2. T 2 3. S S