1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül bármely két mutató, amelyik egyikén ő volt, akkor minden esetben átugrik a másikra. Hányszor utazott körbe az óra számlapján egy óra alatt? (10 pont) :00:00-kor ugrik rá az óra másodperc mutatójára, és megtesz egy teljes kört :01:00-ig (1. kör 1. perc) A kismutató egy perc alatt fél fokot tesz meg, míg a nagymutató 6 fokot. Ebből adódóan :01:00-kor az óramutató járásával megegyezően a sorrend: másodperc mutató (mpm), kismutató (óramutató óm), és nagymutató (percmutató pm). Ez a sorrend minden egész percben fennáll. A bolha a mpm-en áll és halad tovább, majd elhalad az óm felett. Ekkor átugrik rá, és a mpm megy tovább. [Eltelik az 1. perc.] A mpm elhalad óm felett és a bolha átugrik rá, majd amikor mpm utoléri a pm-et, a bolha átugrik rá. Így a bolha pm-en lesz és a mpm megint megtesz egy kört. [Eltelik a. perc.] A mpm következő körben az óm után elhalad a pm felett és a bolha ráugrik, és megteszik a következő egész kört. [Eltelik a 3. perc.] Innentől fogva minden 3 percben megtesz egy teljes kört. Ezt táblázatban foglalva: perc 1 4 7 10 13 16 19 8 31 34 37 40 43 46 49 8 kör 1 3 4 6 7 8 9 10 11 13 14 1 16 17 18 19 0 A fenti logikát követve az 8. perc után 61. percben tenné meg a következő kört, de mégsem. :8:00 perckor a mutatók sorrendje déli órától az óramutató járásával megegyezően: mpm, óm, pm. A bolha a mpm-en áll. A mpm elhalad az óm felett, a bolha ráugrik, a mpm megtesz egy kört. :9:00, az óra utolsó perce jön. A mpm elhalad az óm felett, a bolha ráugrik és szépen utazik rajta addig, amíg el nem éri a pm-et. Ekkor átugrik rá, viszont a pm, mivel eltelik egy óra, szépen bemegy a óra irányába. Így a bolha megteszi az újabb egy kört. Tehát 1 kört tesz meg a bolha.
. Mennyi lesz: a. az együtthatók összege a b. az (a) feladat: 3 n kifejezésben, ha az 3 n esetében elvégezzük a hatványozást és a szükséges összevonásokat? Mennyi lesz, ha n 014? Válaszát indokolja! 1 n kifejezésben az a szükséges összevonásokat az n esetén? (6 pont) -en együtthatója, ha elvégezzük a hatványozást és (6 pont) A feladat megoldása azon alapszik, hogy ha a polinomban a változók helyére 1-et helyettesítünk, akkor az együtthatók összegét kapjuk. Tekintve, hogy a zárójelben levő kifejezés 1 helyettesítés esetén 1-et ad, ezért mindkét esetben n, és n 014 kitevők esetén az együtthatók összege 1 lesz, hiszen 1 014 és 1 is 1. (Ezen megállapításért a versenyző kapja meg a maimális pontszámot.) (6 pont) Ha nincs meg ez az ötletünk, akkor az n esetében végezzük el a hatványozást, minden tagot minden taggal összeszorozva, és elvégezve a szükséges összevonásokat, a következő polinomot kapjuk: Ebben az együtthatók összege: 1. (Ha a versenyzőnek van egy sejtése, hogy n 014 esetében is 1 lesz egy együtthatók összege, akkor adjunk pontot érte.)
(b) feladat: Ha az n esetet nézzük, akkor a hatványozás definíciója szerint a következőt kapjuk: 1 1 1 1 1 1 A jobb oldalon most el kellene végezni a zárójelek felbontását és minden tagot minden taggal összeszorozni, majd elvégezni a szükséges összevonásokat. Az (a) feladatrésztől eltérően itt ez rengeteg számolással jár. Inkább vizsgáljuk meg, hogy mikor kaphatunk mi Mivel és relatív prímek egymáshoz, ezért valamilyen sorrendben -t szorozzuk önmagával majd Ehhez az kell, hogy valamelyik két zárójelből zárójeles tényezőből pedig a zárójelben lévő 1-es tagot. tényezőből 10 féleképpen tudunk két -t választani, amit 3 féleképpen tehetünk meg. Így az csak úgy állhat elő -nal. Azaz és -t! tagok szorzataként, ha. -t válasszunk, majd a maradékból -t. A többi -t választani. Ehhez kell még a maradék 3 tagból egy -nek az együtthatója 30. (Ha a versenyző a hatványozás során számolási hiba nélkül megkapja az alábbi polinomot, amiből leolvassa az együtthatóját, akkor kapja meg a maimális 6 pontot.)
3. A hatos lottón 6 db számot húznak ki visszatevés nélkül 1-től 4-ig. A sorsolás végén a kihúzott számokat sorrendbe teszik. Hány esetben fordul elő, hogy minden szám ugyanannyival nagyobb az előzőnél? (10 pont) Jelölje a a legkisebb kihúzott számot, d pedig a szomszédos számok különbségét. Ebben az esetben d értékét úgy kell megválasztani, hogy ha a -hoz még -ször hozzáadjuk, azaz megkapjuk a hatodik számot, az ne legyen nagyobb mint 4. Ebből adódóan d értéke legfeljebb csak 4 a lehet, ahol jelölés az egészrészt jelenti. Az a lehetséges értékei, és a hozzá tartozó d értékek. a 1 3 4 6 7 8 9 10 11 3 36 37 38 39 40 d 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 6 1 1 1 1 1 Mivel 40 osztható -tel és egy adott szám -tel vett osztási maradéka csak öt féle lehet, ezért 40-ig minden lehetséges d érték ötször szerepel. A megoldás, a lehetséges d -k összege: 8 8 8 8 8 7 1 8 7 6 4 3 1 36 180 Tehát 180 féle esetben fordul elő.
4. Egy téglalap alakú sportpálya négy szögletét jelöljük A, B, C, D pontokkal. Egy lámpa pontosan az A pont felett van, jelöljük E -vel. Milyen magasan van a lámpa, ha tudjuk, hogy a DC távolság 7 m, a BCE ábrát! o 60, a ADE o 4 -os? Az feladat megoldásához készítsen (1 pont) Készítsünk ábrát a feladathoz! A feladat szövege szerint az E-vel jelölt lámpa pont az A pont felett van, így az EA merőleges az ABCD síkra, valamint AD-re és AB-re. A sportpálya téglalap alakú, ezért AD párhuzamos és egyenlő BC-vel, valamint BC is merőleges lesz AB-re. A feladat szövege szerint EDA szárú derékszögű háromszög. Így AD=EA. 0 4 -os és fenti gondolatmenet alapján EDA háromszög egyenlő EA=AD=BC. Tehát a BC hossz éppen EA. Mivel BC párhuzamos volt AD-vel, így a BC merőleges lesz EAB síkra is. Így CBE háromszög derékszögű és a C-nél lévő szöge oldala előbbi gondolatmenet alapján EA. 0 60. Így EB oldal egy szabályos háromszög magassága, aminek az
Szabályos háromszög magassága az alap ismeretében a Pitagorasz tétel alapján: EB EA EA 3EA 3EA Az EAB derékszögű háromszögből fenti érvelésünk alapján, aminek AB oldala 7 m (mivel a téglalap alakú sportpálya vele párhuzamos DC oldalát ismertük), tudjuk, hogy EB 3EA Ismét a Pitagorasz tételt alkalmazva: EA AB EB EA 49 3EA EA 49 EA 49 4,9 Tehát a lámpa 4,9 m magasan van.
. Build Kft-nél pénzjutalmakat osztanak ki az alkalmazottak és a vezetők között. A teljes összeg 40%-át az alkalmazottak kapták, átlagosan 80000 Ft-ot, a többi 60%-ot a vezetők kapták meg átlagosan 180000 Ft-ot. Mekkora jutalmat kaptak átlagosan a vállalat dolgozói? (1 pont) A teljes jutalomösszeg legyen Ft. Az alkalmazottak száma a, a vezetőké pedig v. A keresett átlag: a v Ft/fő. A feladat szövege alapján tudjuk, hogy az alkalmazottak a teljes összeg 40%-át kapták, azaz 0,4 -et. Ők fejenként 80000 Ft-ot kaptak. Azaz 0,4 0,4 80000, amiből: a fő. a 80000 Hasonló gondolatmenet alapján: 0,6 v fő. 180000 A keresett átlag: a v, amit ha egyszerűsítünk -szel, azt kapjuk, hogy: 0,4 0,6 80000 180000 1 1 1 0, 4 0, 6 0, 00000 0, 0000033 0, 0000083 80000 180000 0481 Ft. Tehát a vállalat dolgozói átlagosan 0 481 Ft-ot kaptak.
6. Negyven méter magasról kilövünk egy jelzőrakétát, ami egy másodfokú függvény pályáján halad. A rakéta 10 másodperc múlva újra eléri a 40 méteres magasságot, majd másodperc múlva becsapódik. Milyen magasra repült fel a rakéta? (0 pont) A másodfokú függvényt ábrázoljuk egy olyan derékszögű koordináta rendszerben, amelyben az tengely az eltelt időt, az y tengely pedig a rakéta magasságát mutatja. Legyen a t idő függvényében a másodfokú függvényünk f t at bt c. A kilövés pillanatában az idő t 0, a magasság pedig 40 m. Így 40 f 0 a 0 b 0 c, amiből már tudjuk, hogy c 40. 10 másodperc múlva éri el újra a 40 méteres magasságot, majd a kilövéstől számítva 1 másodperc múlva becsapódik. Azaz a magassága 0. 40 f 10 a 10 b 10 40, valamint 0 f 1 a 1 b 1 40. Ebből egy két ismeretlenes elsőfokú egyenletrendszert kapunk. 40 100a 10b 40 0 a 1b 40 Ennek megoldásai: 8 a, 1 16 b. 3 (4 pont) Ezek ismeretében a másodfokú egyenletünk: 8 16 1 3 f t t t 40 Ennek kell meghatározni a maimumát. Ezt legkönnyebben úgy tehetjük meg, hogy teljes négyzetté alakítjuk: 8 16 8 8 8 40 10 7 7 100 1 3 1 1 1 (4 pont) f t t t t t t t
f t t 8 160 1 3 Tehát a rakéta 160 3,33 3 méter magasra repül.