Kolozsvár, 000. június 3. V. osztály. Határozd meg az 999 99...9 szorzás eredményében a számjegyek összegét! 999 db 9 es. Egy kerek asztal köré 6 széket helyeztünk el. Számozd meg a székeket a 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 0,,, 3, 4, 5, és 6 számokkal úgy, hogy bármely két szomszédos székre írt szám összege teljes négyzet legyen! 3. Egy kocka lapjait a 0,, 4, 5, 6, és 8 számokkal jelöltük meg. rajzon a kockát három különböző helyzetben látod. 5 8 0 0 6 4 5 Minden helyzet esetén határozd meg, hogy milyen szám áll az egyes lapokon különkülön! 4. Egy 3m 3m és egy 4m 4m nagyságú sakktáblamintás szőnyeg (lásd a mellékelt ábrát) segítségével egy 5m 5m nagyságú négyzet alakú területet kell lefödni. Mindkét szőnyeget legfeljebb két darabra vághatjuk és a mintát alkotó mezőket nem szabad kettévágni. Tervezz egy ilyen szétvágást és lefödést!
Kolozsvár, 000. június 3. VI. osztály. Határozd meg a legnagyobb olyan n természetes számot, amelynek számjegyei páronként relatív prímek, minden számjegye a {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból van és minden számjegy osztója n-nek!. Jelöljük S-sel az (,00 S ) 00 -t! + + + +... + 3 3 5 5 7 7 9 999 00 összeget. Számítsd ki 3. Egy hegyesszögű és nem egyenlő szárú háromszög alakú papír darabot szét lehet-e vágni a) három egyenlő szárú háromszög alakú papírdarabra? b) négy egyenlő szárú háromszög alakú papírdarabra? c) 000 darab egyenlő szárú háromszög alakú papírdarabra? 4. Egy sakkbajnokságra hat résztvevő jelentkezett (, B, C, a, b, és c). bajnokságon minden résztvevő kell játsszon minden más résztvevővel, és minden résztvevő egy nap csak egy játszmát játszhat. Szervezd meg a játszmákat úgy, hogy a bajnokság öt nap alatt véget érjen! Segítségképpen az első nap játszmáit bejelöltük az alábbi táblázatban: B C a b c I. B I. C I. a b c (az első nap játszik a-val, B játszik b-vel és C játszik c-vel)
Kolozsvár, 000. június 3. VII. osztály. z egész számok halmazában oldd meg a + ( y ) + ( z ) = egyenletet! 3. z, és B(n, 0) pontok közti távolság milyen n értékekre racionális? 3. z BC derékszögű háromszög B és C befogóira (kifele) megszerkesztjük az BMN és CPQ négyzeteket. z B MC, C BP, DE MB és DE CP metszéspontokat jelöljük rendre D, E, F, és G-vel. Bizonyítsd be hogy: a) DE MP ; b) MP = FG + DE ; c) az MC és BP egyenesek metszéspontja a háromszög -hoz tartozó magasságán van. 4. z BCD egységnyi oldalú négyzetet felosztjuk az K, BM, CN és DL szakaszokkal négy háromszögre és öt négyszögre úgy, hogy a befestett négyszög területe egyenlő legyen a befestett háromszögek területének összegével (lásd az. ábrát). Bizonyítsd be, hogy L + BK + CM + DN =. 5. Régi ismerősöm, Münchausen báró, a következő sztorit mesélte: Egy n n-es sakktábla bal alsó sarkában levő -es négyzet minden mezőjére egy-egy bábut állítottam. Ez után a bábukat azon szabály szerint mozgattam, hogy bármely bábu átugorhat egy másik B bábut, és ekkor az bábu új helyét a B szerinti szimmetriával kapjuk meg (a. ábrán egy 88-as táblán mutattunk egy ilyen lépést). Persze csak akkor léphet ide az bábu, ha ez a mező még nem foglalt. báró büszkén újságolta: Ilyen módon az összes bábut a jobb felső sarok -es négyzetébe vezettem. Okvetlenkedő kérdésemre: S mi van akkor, ha a tábla n nes és a bal alsó sarkában levő 3 3-as négyzet minden mezőjére állítunk egy-egy bábut? azt válaszolta, hogy Természetesen akkor is felvezethetjük a bábukat a jobb felső 3 3-as sarokba. Igazat mondott-e a báró? D M C. ábra. ábra N L K B B C
Kolozsvár, 000. június 3. VIII. osztály. z f m :, f m () = 3m m függvény grafikonja az O tengelyt m -ben az Oy tengelyt B m -ben metszi. a) Határozd meg azokat az m * számokat, amelyekre az m pont abszcisszája természetes szám! b) Bizonyítsd be, hogy O m + OB m 4 m *.. Bizonyítsd be, hogy ha az a, b és c szigorúan pozitív valós számok összege, akkor a b b c c a + + = 0. c + ab a + bc b + ca 3. Bizonyítsd be, hogy ha a és b pozitív valós számok, akkor ( a + b) a + b + a b + b a. 4 4. z BCD tetraéderben B = CD = a, C = BD = b, BC = d és D = c. a) Határozd meg azt az M 0 BC pontot, amelyre M + MD M 0 + M 0 D bármely M BC esetén! b) Bizonyítsd be, hogy az (M 0 D) sík felezi az BD és CD háromszögek síkjai által meghatározott lapszöget! a + b c d c) Bizonyítsd be, hogy az D és BC egyenesek távolsága. 4 5. Egy 3 3 3-as kockát 7 darab azonos méretű kiskockából ragasztottunk össze. Egy rágcsáló az egyik kis sarokkocka középpontjából indul, és minden kiskockát pontosan egyszer érintve az ellentétes sarokkockába szeretne jutni (a rágcsáló a szomszédos kiskockák középpontjait összekötő szakaszok mentén haladhat). a) Sikerülhet-e a rágcsáló terve? b) Hát akkor, ha a középső kiskockát nem szabad érintenie, de az összes többit továbbra is pontosan egyszer kell érintenie?
Kolozsvár, 000. június 3. IX. osztály. Bizonyítsd be, hogy 4 sin 0 = o o o cos 0 3 sin 50.. Oldd meg és tárgyald a + + + = m, ( ) egyenletet az m valós paraméter függvényében. 3. z BC háromszög (BC), (C) és (B) oldalain felvesszük az M, N és P pontokat BM CN P úgy, hogy = = = k. MC N PB a) Bizonyítsd be, hogy az M, BN és CP szakaszokkal szerkeszthető egy Η háromszög! b) Számítsd ki a Η és az BC háromszögek területének arányát k függvényében! 4. Bizonyítsd be, hogy ha az a és b szigorúan pozitív valós számok összege, akkor a + b + + 3. a b 5. Egy szigeten barna, zöld és szürke kaméleonok élnek. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, mindkettő a harmadik színre változtatja a bőrét, míg egyéb körülmények között nem változtatják a színüket. a) Valaki feljegyezte, hogy egy nap alatt -szer találkozott barna kaméleon zölddel, y-szor zöld szürkével és z-szer szürke barnával. E találkozások után hány darab zöld, barna illetve szürke kaméleon van a szigeten ha a feljegyzések elkezdésének pillanatában 6 barna, 8 zöld és 0 szürke kaméleon volt? b) Lehetséges-e, hogy egy idő után minden kaméleon ugyanolyan színű legyen?
Kolozsvár, 000. június 3. X. osztály. Oldd meg az ( + ) = ( + ) egyenletet a valós számok halmazában!. P polinom együtthatói valós számok és fokszáma legfeljebb n (n * ). Bizonyítsd be, hogy ha a 0, ( P ( X ) a) ( X + a) n és ( P ( X ) + a)(x a) n, akkor P( X ) X. 3. z BC hegyesszögű háromszög oldalaira (kifele) megszerkesztjük az CM és BN egyenlő szárú háromszögeket úgy, hogy [M] [MC], [B] [NB], m ( MC) = 60 és m ( BN ) = 0. a) Határozd meg az M és N pontok affiumát az, B és C pont affiumának függvényében. b) Számítsd ki a BPC mértékét, ha P az [MN] szakasz felezőpontja és m BC < 60. 4. Egy egységnyi átmérőjű egyenes körhengert metszünk egy olyan α síkkal, amely a henger szimmetriatengelyével 45 -os szöget zár be, majd a henger palástját kiterítjük a síkra úgy, hogy az O pont az origóba és az O körív az O tengelyre kerüljön (lásd a mellékelt ábrát). Ily módon a henger és az α sík metszetének a kiterítés után egy síkgörbe felel meg. Milyen függvény grafikonja ez a síkgörbe? O O 5. Egy asztalon n darab pohár áll. Egy lépésben megfordítunk n 3 poharat. Elérhetjük-e, hogy az eredeti helyzetéhez viszonyítva minden pohár fordítva álljon, ha n 3 és n 6?
Kolozsvár, 000. június 3. XI. osztály. z ( ) * racionális számsorozat tagjai teljesítik a n( n + ) = n n. n N n+ n ( n ) = valamint =. összefüggést minden n -re és a) Határozd meg a sorozat általános tagjának képletét! n b) Tanulmányozd az ( ) * sorozat korlátosságát! c) Számítsd ki a 3 lim n n+ z p + q = 0 (p, q a 3 3 n N n n+... n határértéket! ) egyenlet gyökeit jelöljük, és 3 -mal. Számítsd ki = determináns értékét p és q függvényében! 3 Tekintsük az n + = 0 egyenletet. a) Bizonyítsd be, hogy ha n 4, akkor a fenti egyenletnek pontosan egy gyöke van a (0, ] intervallumban és pontosan egy gyöke az [, ) intervallumban. Jelöljük ezeket a gyököket n illetve y n -el. b) Bizonyítsd be, hogy lim = 0 és lim y =. n n n n c) Bizonyítsd be, hogy létezik olyan n o N * szám, amelyre y n < + n n n o. * 4. Bizonyítsd be, hogy ha, y R + és y valamint [n] [ny] n *, akkor, y és y. 5. Egy kerek asztal körül n lovag ül (n 3). Minden percben egy tetszőlegesen választott lovag két közvetlen szomszédja helyet cserélhet egymással. Lehetséges-e, hogy egy idő után minden lovag jobboldali szomszédja éppen az, aki eredetileg a baloldali szomszédja volt? n