A sztereografikus vetület és magyarországi alkalmazása Perspektív síkvetületek A perspektív síkvetületek a gömb alapfelületet síkra képezik le középpontos geometriai vetítéssel. A vetítés Q középpontja szimmetria okokból a gömbközépponton átmenő, a képsíkra merőleges egyenesen (a képsík forgástengelyén, az ún. vetítési fősugáron) helyezkedik el. Jelöljük a Q vetítési középpont és az O gömbközéppont távolságát f-fel, a vetítési középpont és a képsík távolságát c-vel (???ábra). (Az f távolságot abban a gyakorlatilag figyelmen kívül hagyható esetben negatívnak tekintjük, ha a Q vetítési középpont a képsík és a gömbközéppont között helyezkedik el.) Ekkor az alapfelületi P pont képe a QP vetítősugár P döféspontja lesz a képsíkon. A vetítési fősugárnak a K döféspontját a képsíkon vetületi kezdőpontnak nevezzük. A perspektív síkvetület tulajdonságait lényegében az szabja meg, hogy milyen a vetítési középpontnak az alapfelülethez és a képsíkhoz való viszonya. Világos, hogy önmagában a c változtatása a képsík hasonlósági transzformációját eredményezi, tehát a vetületi torzulások eloszlását elsősorban az f nagysága befolyásolja. Helyezkedjen el a képsík a gömb forgástengelyére merőlegesen (vagyis essen egybe a vetítési fősugár a forgástengellyel) ez az ún. normális vagy poláris helyzet. Ha a P pont egy parallelkörön megy körbe, akkor a rajta áthaladó vetítősugarak egy forgáskúp palástját írják le, amelynek forgástengelye egybeesik a vetítési fősugárral, így a képsíkot egy K középpontú körben metszi. A parallelkörök képei ezért koncentrikus körök lesznek. Ha a P pont egy meridiánon halad végig, akkor a vetítősugarak a meridián (mint gömbi főkör) síkjában maradnak, ezért a meridián e síknak a képsíkkal alkotott metszésvonalára, a K pontba futó egyenesre képeződik le. A körsereg az egyenes-sereget mindenütt merőlegesen metszi, tehát a normális perspektív síkvetület térképi fokhálózata ortogonális. A képsík merőleges a meridiánsíkokra, emiatt a meridiánok szöge (a meridiánsíkok által bezárt szög) megegyezik a térképi meridiánképek (a meridiánsíkoknak a képsíkkal alkotott metszésvonalai) által bezárt szöggel. Ezt a tulajdonságot nevezzük azimutálisság-nak. A térképi síkkoordináta-rendszer origója a K vetületi kezdőpontba kerül, az x-szel jelölt ordinátatengely negatív fele a kezdőmeridián képével esik egybe (ábra???). Jelöljük -val a pólustávolságú ( =90 szélességű) parallelkör KP térképi sugarát. A ( ) függvényt sugárfüggvénynek nevezzük. A, földrajzi koordinátájú pont térképi x,y síkkoordinátáit ekkor az vetületi egyenletek adják meg. Ezek után a perspektív síkvetületek megadásához elegendő a ( ) sugárfüggvényt megadni. A térképi fokhálózat ortogonalitása miatt a fokhálózati vonalak vetületi főirányok, amelyek irányában fellépő hossztorzulások megadják az a maximális és a b minimális hossztorzulást. A fokhálózat menti hossztorzulásokat az???ábra alapján kapjuk meg. A parallelkör menti h hossztorzulás: A meridián menti k hossztorzulás: Ezek alapján lehet az adott sugárfüggvényű perspektív vetületek torzulásait meghatározni.
A sztereografikus síkvetület Érintse a képsík a gömböt az N pólusban, és kerüljön a Q vetítési középpont az ezzel átellenes pontba, a másik pólusba. A P pont pólustávolsága az NP körívhez tartozó középponti szög. Ugyanehhez a körívhez tartozik a PQN kerületi szög, amely az ismert geometriai tétel miatt fele akkora, mint a megfelelő középponti szög. A képsík érintőleges volta miatt N K; a P KQ derékszögű háromszögben tehát, ahonnan megkapjuk a sugárfüggvényt: A fokhálózat menti hossztorzulások: és. Ezek egyenlősége miatt tehát a vetület szögtartó. A területtorzulási modulus: A vetületi kezdőpontban nincs torzulás, ettől távolodva a hossz- és területtorzulások eleinte lassan, majd gyorsulva növekednek (???ábra). A Q vetítési középpont környéke már nem ábrázolható. Az egyenlítőn ( =90 ) azl=h=k hossztorzulás kétszeres, a területtorzulás négyszeres. A geokartográfiában emiatt félgömbnél nagyobb területet ebben a vetületben nem szoktak ábrázolni. A hossztorzulás a topográfiai térképek használata szempontjából kedvezőtlen l=h=k=1.0001 értéket az egyenlet megoldása alapján a =1.1459 távolságon éri el, ami a pólus körüli 127.4 km sugarú körnek felel meg. A szögtartás mellett a vetület másik fontos tulajdonsága a körtartás: minden alapfelületi körív képe a térképen is körív lesz (kivéve az egyenesre leképeződő meridiánokat). A körtartás a fokhálózat szerkesztésétmegkönnyíti; ennek főleg transzverzális és ferdetengelyű elhelyezésnél van illetve volt a számítógépes rajzoltatás elterjedése előtt jelentősége. Ferdetengelyű sztereografikus vetület Érintse most a képsík a gömböt egy, a pólustól különböző, de nem az egyenlítőn fekvő pontban. Ezt a pontot jelöljünk N*-gal, és tekintsük egy segédföldrajzi koordinátarendszer segédpólusának. Legyen a Q vetítési középpont a gömbfelület N*-gal átellenes pontjában (???ábra). Az így keletkezett perspektív vetületet ferdetengelyű sztereografikus síkvetületnek nevezzük. A P pont * segédpólustávolsága az N*P körívhez tartozó középponti szög; a PQ N* szög pedig az ugyanezen körívhez tartozó kerületi szög, amelynek nagysága az imént idézett geometriai tétel szerint */2. Legyen a képsíkon P a leképezett
pont; jelölje ugyanott K N* az érintési pontot (a vetületi kezdőpontot) és P K a sugárfüggvényt. A P KQ derékszögű háromszögből Az N*N kezdő-segédmeridián (egyben meridián) képe egyenes, ezt választjuk az x ordinátatengely negatív felének. Ez az irány a P N segédmeridián-kép irányával az azimutálisság miatt * szöget zár be; a vetületi egyenletek tehát: (Ez egy DNy-i tájolású koordinátarendszer: a D-i irányba mutató tengelyt jelöljük x-szel, a Ny-it y-nal.) Alakítsuk át x-ben és y-ban a sugárfüggvényt: Visszahelyettesítve: A megfelelő gömbháromszögtani tételek segítségével az x, y síkkoordinátákat a, (illetve a, ) földrajzi koordináták függvényeként írjuk fel. Tekintsük ehhez az N*PN polárgömbháromszöget (???ábra). A gömbháromszögtani oldal-cosinus-tételből: A sinus-tételből: Ezt átrendezve: Végül a második alapformából kapjuk, hogy: Szorozzuk ezt végig sin -val: (Ismét felhasználtuk a fenti sinus-tételt, majd egyszerűsítettünk sin -val.) Innen kifejezhető sin * cos *: Ezeket behelyettesítve a vetületi egyenletekbe és figyelembe véve, hogy * és ellenkező előjelűek: Itt 0, 0 (illetve 0, 0 ) jelöli a vetületi kezdőpont szerepét játszó segédpólus földrajzi koordinátáit, = 0 pedig a segédpóluson átmenő középmeridiántól mért hosszúságkülönbséget. Ha az x,y síkkoordinátákból a, (illetve a, ) földrajzi koordinátákat akarjuk kiszámítani, akkor kiindulhatunk a sugárfüggvényre vonatkozó Pythagoras-tételből:
Innen kifejezhető *:, a vetületi egyenletekből pedig *: A segédföldrajzi koordinátákból a földrajzi koordinátákat a fenti polárgömbháromszögből számolhatjuk ki oldal-cosinus- illetve sinus-tétellel: majd vagy Innen kapjuk a hosszúságot: A ferdetengelyű sztereografikus síkvetület inverz vetületi egyenletei explicit alakban is felírhatók. Ezek meghatározásához szintén a síkkoordináták négyzetösszegéből induljunk ki: A 4 R 2 -tel való átosztás után vezessük be az alábbi jelölést: Ekkor az átszorzás után az egyenlet alakja: Innen kifejezhető cos cos : Helyettesítsük most a fenti x vetületi egyenletbe a cos cos kifejezését: A jobb oldal nevezőjével átszorozva és közös nevezőre hozva: Elvégezve a kijelölt műveleteket: Összevonások után kifejezzük sin -t: Végül Hasonlóan helyettesítsük az y vetületi egyenletbe a fenti cos cos -t, miután a számlálót cos -val bővítettük:
Átszorzás és közös nevezőre hozás után: A kijelölt műveletek elvégzése és sin imént kapott képletének behelyettesítése után: Ebből kapjuk a szöget: A ferdetengelyű sztereografikus vetület magyarországi alkalmazása a topokartográfiában Lényegében ezt a vetületet használta a magyarországi felsőrendű háromszögelés 1857-től, majd erre tért át az országos felmérés 1863-tól. A felmérés alapfelülete a Bessel-ellipszoid volt. Erről az ún. kettős vetítéssel tértek át a síkra. Az első leképezésben a Bessel-ellipszoidi koordinátákhoz a Gauss féle szögtartó gömbvetülettel rendelték hozzá a gömbi koordinátákat. A képfelület itt az ún. első magyarországi Gauss-simulógömb (R=6378512.966m) volt. A leképezés paraméterei: n= 1.000 751 489 594 = 1.003 016 135 133 Használjuk még a számolásokhoz a Bessel-ellipszoid első excentricitását: e= 0.081 696 683 121 57 A második lépésben történt a képsíkra vetítés ferdetengelyű sztereografikus vetülettel. Az akkori országterületen a hossztorzulások csökkentése érdekében két képsíkot vettek fel. Az ún. budapesti rendszer vetületi kezdőpontja (és egyben a DNy-i tájolású síkkoordinátarendszer origója) a gellérthegyi pont gömbi képébe ( 0 =47 6 21.1372 ; 0 = +0 0 0.00 ) került. (Ezt a pontot az utóbb, az 1848-49-es szabadságharc során megsemmisült egykori gellérthegyi csillagda keleti tornyánál létesítették, és azóta is fontos szerepet játszik a magyarországi felmérésekben.) A Királyhágón túli területek felmérésére szolgáló marosvásárhelyi rendszer vetületi kezdőpontját a Marosvásárhelytől ÉNy-ra fekvő Kesztejhegyi pont gömbi képében ( 0 = 46 30 22.9804 ; 0 = + 5 20 41,8290 a gellérthegyi meridiántól K-re) vették fel. A katonai térképezés 1927-ben tért át a budapesti sztereografikus rendszer alkalmazására. 1936-tól vezették be az ún. katonai sztereografikus rendszert: a budapesti rendszerben felmért területeken az origót eltolták a gellérthegyi pontból Ny-ra és D-re 500-500 km-rel, és a koordinátatengelyek irányának megfordításával a tájolását ÉK-ivé tették. A gellérthegyi pont koordinátái tehát e koordinátarendszerben (500 km; 500 km). A marosvásárhelyi rendszer területén szintén ÉK-i tájolás mellett a Kesztej-hegyi pont koordinátáit (600 km; 600 km)- ben állapították meg. A magyar katonai térképészet a II. világháború során érvényben volt országhatárokon belüli területekre e vetületekben készítette el 1941-től kezdve néhány év
alatt az 1:50 000 méretarányú ún. egységes csapattérképet. A II. világháború után a katonai sztereografikus vetületet polgári célú térképekhez alkalmazták.