Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 7. október 9.. Mennyi maradékot ad 76-tal osztva 799 8?. Egy n egész szám 5-szöröse -zel nagyobb maradékot ad 344-gyel osztva, mint maga az n szám. Milyen maradékot adhat n 344-gyel osztva? 3. Tartalmazza-e az R(; 3; 4) pontot az a sík, amelyet a P (; 7; ) és a Q(; 9; 5) pontokat összeköt egyenes a P -ben mer legesen döf? 4. Tegyük fel, hogy az (R n -beli) v, v,..., v vektorok lineárisan összefügg k, de közülük bármely 9-et kiválasztva lineárisan független vektorrendszert kapunk. Mutassuk meg, hogy a v, v,..., v vektorok bármely -t adó lineáris kombinációjában vagy mindegyik együttható vagy egyik együttható sem. (Azaz: mutassuk meg, hogy λ v +λ v +...+λ v = esetén λ = λ =... = λ = vagy λ λ... λ teljesül.) 5. Határozzuk meg az alábbi, R 3 -beli vektorok generált alterét. Amennyiben ez az altér egyenes vagy sík, adjuk meg az egyenletét vagy egyenletrendszerét. 4 5 3 a = 3, b =, c = 5 6*. Létezik-e páros Carmichael-szám? A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következ adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezet neve. Minden feladat pontot ér, a munkaid 9 perc. Az aláírás feltétele: a két zárthelyin átlagosan legalább 4 pont és mindkét zárthelyin külön-külön legalább 8 pont elérése. A %-os eredményhez elegend 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Bevezetés a számításelméletbe I.. zárthelyi 7. november 3.. Tudjuk, hogy az a, b, c, d vektorok bázist alkotnak R 4 -ben. Határozzuk meg az a + b, c + d, a + c, b + d vektorok által generált altér dimenzióját.. Döntsük el, hogy a p valós paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset. x + 3x + 5x 3 = 7 x + 9x + 6x 3 = 7 x + p x + p x 3 = 5 3. Számítsuk ki az alábbi determináns értékét a determináns definíciója szerint. (A megoldásban tehát ne használjunk semmilyen, a determinánsra vonatkozó tételt vagy azonosságot, pusztán a definícióra alapozva határozzuk meg az értékét.) 5 3 5 9 8 6 5 3 7 4 4. a) Határozzuk meg azon p valós értékeket, melyekre az alábbi mátrixnak van inverze. b) p = 3 esetén adjuk meg az inverz mátrix bal felső elemét. 4 3 6 p 6 3 5. Határozzuk meg az alábbi mátrix rangját minden x, y R értékre. x x y y 6*. Egy 5 5-ös A mátrixnak pontosan hat olyan 3 3-as részmátrixa van, ami invertálható. Mutassuk meg, hogy A nem invertálható. A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következő adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezető neve. Minden feladat pontot ér, a munkaidő 9 perc. A %-os eredményhez elegendő 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok az ELSŽ zárthelyi pótlására 7. december.. Adjuk meg az összes olyan négyjegy pozitív egész számot, amelyre teljesül, hogy 5-gyel osztva 3 maradékot ad, továbbá a szám 7-szeresének utolsó két számjegye 5.. Milyen maradékot ad 8-cal osztva 73 37 + 37 73? 3. Az el adáson tanult megfelel algoritmus alkalmazásával határozzuk meg 5 85 -nek a 55-tel vett osztási maradékát. 4. Van-e az A( ; ; ), B(3; ; 3) és C(7; 6; 3) pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az y-tengelyre esik? Ha igen, melyik? 5. Legyen R 4 -ben u =, v = 5 és w = Határozzuk meg az u, v, w generált alteret. (A generált altér meghatározása alatt azt értjük, hogy készítünk egy olyan gyorstesztet, amellyel egy tetsz leges R 4 -beli vektorról egyszer en megmondható, hogy a generált altérhez tartozik-e.) 4. 6*. Tegyük fel, hogy a v, v,..., v, w R n vektorokra teljesül, hogy a v, v,..., v rendszer lineárisan független, a v, v,..., v, w rendszer viszont lineárisan összefügg és w. Mutassuk meg, hogy létezik olyan i és olyan α skalár, hogy a v, v,..., v i, v i + α w, v i+,..., v rendszer lineárisan összefügg. A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következ adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezet neve. Minden feladat pontot ér, a munkaid 9 perc. Az aláírás feltétele: a két zárthelyin átlagosan legalább 4 pont és mindkét zárthelyin külön-külön legalább 8 pont elérése. A %-os eredményhez elegend 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok a MÁSODIK zárthelyi pótlására 7. december.. Legyen V azon altere R 4 -nek, melyet azok a vektorok alkotnak, melyek x, x, x 3, x 4 koordinátáira teljesül, hogy x 4 = x + x 3x 3. Adjunk meg V -ben egy olyan bázist, mely tartalmazza a jobbra látható v vektort.. Számítsuk ki a jobbra látható determináns értékét minden p valós szám esetén. v = p 3 7 p 8 8 3 p p 3. Döntsük el, hogy a p valós paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset. x + 3x + 6x 3 + x 4 = 5 x + 5x + 8x 3 + 4x 4 = 7 x + 6x + (p + ) x 3 + (p + 5) x 4 = 4. Legyen A a jobbra látható mátrix. Adjunk meg egy olyan B mátrixot, melyre AB a -es egységmátrix. 5. Határozzuk meg a jobbra látható mátrix rangját minden x R értékre. ( ) 4 7 A = 3 7 3 6 9 4 x 3x 5 6 9 6*. Egy egyenletb l álló, ismeretlenes lineáris egyenletrendszer a kib vített együtthatómátrixával van megadva. Tudjuk, hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. a) Igaz-e, hogy minden esetben elérhet a kib vített együtthatómátrix egy elemének megváltoztatásával, hogy az egyenletrendszernek egyértelm megoldása legyen? b) Igaz-e, hogy minden esetben elérhet a kib vített együtthatómátrix egy elemének megváltoztatásával, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása? A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következ adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezet neve. Minden feladat pontot ér, a munkaid 9 perc. Az aláírás feltétele: a két zárthelyin átlagosan legalább 4 pont és mindkét zárthelyin külön-külön legalább 8 pont elérése. A %-os eredményhez elegend 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok az ELSŐ zárthelyi pótlására 7. december 8.. Hány olyan x egész szám létezik és 7 között, amelyre teljesül, hogy 9x x-szel azonos maradékot ad 399-cel osztva?. Legyen p egy 3-tól különböző, pozitív prímszám, a pedig egy olyan egész szám, amely sem 3-mal, sem p-vel nem osztható. Mutassuk meg, hogy ekkor a 6p 6 (mod 9p). 3. Legyen n = 3456. Az előadáson tanult megfelelő algoritmus alkalmazásával határozzuk meg n + 6 és 9n + 4 legnagyobb közös osztóját. 4. Legyen R 3 -ben a = 4, b = és c =. a) Generátorrendszert alkotnak-e R 3 -ben az a, b, c vektorok? b) Generátorrendszert alkotnak-e R 3 -ben az a, 3a + b, 6a + b + c vektorok? 5. Lineárisan függetlenek-e az alábbi, R 4 -beli vektorok? u = 4 3 8, v = 4, w = 6*. Határozzuk meg a térben az x+3 5 = y+ 9 = z egyenletrendszerű e és az x 4 = y+8 6, z = 7 egyenletrendszerű f egyenesek normáltranszverzálisának az egyenletrendszerét vagyis azét az n egyenesét, amely e-t és f-et is merőlegesen metszi. 3 5 6. A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következő adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezető neve. Minden feladat pontot ér, a munkaidő 9 perc. Az aláírás feltétele: a két zárthelyin átlagosan legalább 4 pont és mindkét zárthelyin külön-külön legalább 8 pont elérése. A %-os eredményhez elegendő 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok a MÁSODIK zárthelyi pótlására 7. december 8.. Az R 4 egy V alteréről annyit tudunk, hogy tartalmazza a jobbra látható vektorok mindegyikét. Meg lehet-e határozni ez alapján V dimenzióját? (Válaszunkat természetesen indokoljuk is.). Számítsuk ki a jobbra látható determináns értékét minden p valós szám esetén.,,, p p p 3p 3 9 3 6 7 3 7 8 4 3. Döntsük el, hogy a p valós paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset. px + px + px 3 = 3p 3x + 9x + 3x 3 = 6 x + x + 7x 3 = 3x + 7x + (p + 5)x 3 = 4 4. Legyen A a jobbra látható mátrix. Létezik-e olyan B mátrix, melyre BA a 3 3-as egységmátrix? 5. Határozzuk meg a jobbra látható mátrix rangját minden x R értékre. A = 4 6 3 7 3 6 9 4 x 5 x 6 x 6*. Nevezzünk egy 4 4-es mátrixot szépen kiegészíthetőnek, ha ki tudjuk egészíteni (egy-egy plusz sorral és oszloppal) 5 5-ös invertálható mátrixszá. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak-e. a) Ha egy 4 4-es mátrix szépen kiegészíthető, akkor a rangja legalább 3. b) Ha egy 4 4-es mátrix rangja legalább 3, akkor a mátrix szépen kiegészíthető. A dolgozatra kérjük jól olvashatóan felírni a következő adatokat: név, Neptun-kód, Neptun szerinti gyakorlatvezető neve. Minden feladat pontot ér, a munkaidő 9 perc. Az aláírás feltétele: a két zárthelyin átlagosan legalább 4 pont és mindkét zárthelyin külön-külön legalább 8 pont elérése. A %-os eredményhez elegendő 5 pontot elérni a 6-ból, az összpontszám 5 pont feletti részét IMSc pontként könyveljük el. A feladatok megoldását indokolni kell, puszta eredményközlésért nem jár pont. A dolgozat megírása közben számológép (vagy más segédeszköz) nem használható.
Általános alapelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok pontozási útmutató 7. október 9. A pontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért az útmutató minden feladat (legalább egy lehetséges) megoldásának f bb gondolatait és az ezekhez rendelt részpontszámokat közli. Az útmutatónak nem célja a feladatok teljes érték megoldásának részletes leírása; a leírt lépések egy maximális pontszámot ér megoldás vázlatának tekinthet k. Az útmutatóban feltüntetett részpontszámok csak akkor járnak a megoldónak, ha a kapcsolódó gondolat egy áttekinthet, világosan leírt és megindokolt megoldás egy lépéseként szerepel a dolgozatban. Így például az anyagban szerepl ismeretek, deníciók, tételek puszta leírása azok alkalmazása nélkül nem ér pontot (még akkor sem, ha egyébként valamelyik leírt tény a megoldásban valóban szerephez jut). Annak mérlegelése, hogy az útmutatóban feltüntetett pontszám a fentiek gyelembevételével a megoldónak (részben vagy egészében) jár-e, teljes mértékben a javító hatásköre. Részpontszám jár minden olyan ötletért, részmegoldásért, amelyb l a dolgozatban leírt gondolatmenet alkalmas kiegészítésével a feladat hibátlan megoldása volna kapható. Ha egy megoldó egy feladatra több, egymástól lényegesen különböz megoldást is elkezd, akkor legföljebb az egyikre adható pontszám. Ha mindegyik leírt megoldás vagy megoldásrészlet helyes vagy helyessé kiegészíthet, akkor a legtöbb részpontot ér megoldáskezdeményt értékeljük. Ha azonban több megoldási kísérlet között van helyes és (lényeges) hibát tartalmazó is, továbbá a dolgozatból nem derül ki, hogy a megoldó melyiket tartotta helyesnek, akkor a kevesebb pontot ér megoldáskezdeményt értékeljük (akkor is, ha ez a pontszám ). Az útmutatóban szerepl részpontszámok szükség esetén tovább is oszthatók. Az útmutatóban leírttól eltér jó megoldás természetesen maximális pontot ér.. Mennyi maradékot ad 76-tal osztva 799 8? 76 prímtényez s felbontása: 76 = 4. Ezért a tanult képlet szerint ϕ(76) = ( 4 3 )( ) = 8. Mivel (799, 76) = (hiszen 799 sem -vel, sem -gyel nem osztható), ezért az Euler-Fermat tételb l 799 8 (mod 76) következik. Mindkét oldalt a -edik hatványra emelve: 799 8 = (mod 76). Mindkét oldalt 799-cel szorozva: 799 8 799 95 (mod 76). Így 799 8 95 maradékot ad 76-tal osztva. Ha valaki az utolsó lépésben 799-nek a 76-os maradékát már nem számítja ki (és ezért 799-et ad végeredménynek), az ezért pontot veszítsen. A feladat elvileg megoldható az ismételt négyzetre emelések módszerével is, de az (számológép nélkül) sokkal kellemetlenebb és hosszabb megoldásra vezet; ha egy hallgató ilyen megoldással próbálkozik (és az ahhoz szükséges számításokat legalább elkezdi), akkor legföljebb pontot kaphat annak felismeréséért, hogy ez az algoritmus elvileg alkalmas a kérdés megválaszolására. További 8 pontot kaphat a helyes számításokért: a 799 k hatványok 76-os maradékai a k =,..., 9 értékekre (ezek sorra : 95, 49, 3, 97, 8, 49, 3, 97, 8, 49) darabonként fél-fél pontot érjenek, a 8 felírása -es számrendszerben (8 = + 5 + 8 + 9 ) pontot, majd a 799, 799 33, 799 89, 799 8 hatványok maradékai (ezek sorra: 95, 79, 63, 95) ismét darabonként fél-fél pontot érjenek.. Egy n egész szám 5-szöröse -zel nagyobb maradékot ad 344-gyel osztva, mint maga az n szám. Milyen maradékot adhat n 344-gyel osztva?
Els megoldás. A feladat szövege szerint 5n n + (mod 344). Mindkét oldalból n-et levonva a 4n (mod 344) lineáris kongruenciát kapjuk. Mindkét oldalt -vel osztva: 57n 55 (mod 7), ahol a modulust (, 344) = miatt kellett -vel elosztani. Mindkét oldalt 3-mal szorozva: 7n 65 (mod 7), vagyis n 7 (mod 7). Mindkét oldalt ( )-vel szorozva: n 7 (mod 7). Minden megtett lépés ekvivalens lépés volt beleértve a 3-mal való szorzást is, (3, 7) = miatt. Ezért az n 7 (mod 7) feltételt kielégít n-ek valóban megoldásai a lineáris kongruenciának. (3 pont) Ebb l n 7 (mod 344) vagy n 7 + 7 = 79 (mod 344), vagyis az n egész 7 vagy 79 maradékot adhat 344-gyel osztva. A lépések ekvivalenciája helyett hivatkozhatunk arra is, hogy (4, 344) = miatt két megoldás kell legyen modulo 344, vagy akár ellen rizhetjük is a kapott eredményeket. (Viszont a három érv közül valamelyikre szükség van annak annak kizárásához, hogy a kapott eredmények között hamis gyök lehessen.) Ha egy megoldó csak azt ellen rzi, hogy (4, 344) =, így a lineáris kongruenciának két megoldása van modulo 344, de ezeket kiszámolni nem tudja, az (az átrendezéssel együtt) összesen 3 pontot kapjon. Számolási hibákért - pont vonandó le, de a maradék pontszám csak akkor jár, ha a hiba miatt a feladat nem lett lényegesen könnyebb. Ha valaki a szöveget félreértelmezi és a 5n + n (mod 344) feladatot oldja meg, az ezért pontot veszítsen. Második megoldás. A feladat szövege szerint 5n n + (mod 344). Mindkét oldalból n-et levonva a 4n (mod 344) lineáris kongruenciát kapjuk. Ezt az el adáson tanult (euklideszi) algoritmussal oldjuk meg. Ehhez el ször 4 és 344 legnagyobb közös osztóját kell meghatározni; mivel (4, 344) =, ezért lesz megoldás (mégpedig darab modulo 344) és az algoritmust -vel való osztással kell kezdenünk hogy az n együtthatója és a modulus relatív prímek legyenek. -vel osztva: 57n 55 (mod 7), ahol a modulust (, 344) = miatt kellett -vel elosztani. Most a 7n (mod 7) kongruenciából ki kell vonnunk a 57n 55 (mod 7) kongruencia 3-szorosát: n 65 7 (mod 7). Ezzel az algoritmus futása máris véget ért. (3 pont) Ebb l n 7 (mod 344) vagy n 7 + 7 = 79 (mod 344), vagyis az n egész 7 vagy 79 maradékot adhat 344-gyel osztva. Ha egy megoldó (4, 344) meghatározása és -vel osztás helyett rögtön a 4n (mod 344) lineáris kongruenciára kezdi futtatni az algoritmust és így (annak a 3-szorosát a 344n (mod 344) kongruenciából kivonva) egy lépésben a n 4 (mod 344) kongruenciához jut, majd ebb l -vel osztás után jut a végeredményhez, akkor a teljes érték megoldáshoz indokolnia kell, hogy a kapott eredmények tényleg helyesek. (Ugyanis az a megoldó, aki így jár el, nem az el adáson tanult módszert követi, ezért nem is hagyatkozhat annak az el adáson bizonyított helyességére.) Ez az indoklás történhet az eredmények ellen rzésével vagy arra hivatkozva, hogy (4, 344) = miatt két megoldásnak kell lennie modulo 344, ezért a kapott eredmények között nem lehet hamis gyök. Ha egy megoldó ezt az indoklást elmulasztja, ezért 3 pontot veszítsen. 3. Tartalmazza-e az R(; 3; 4) pontot az a sík, amelyet a P (; 7; ) és a Q(; 9; 5) pontokat összeköt egyenes a P -ben mer legesen döf? A keresett síkra mer leges a P -t és Q-t összeköt egyenes, ezért P Q normálvektora a síknak. (3 pont) P Q = q p = (; 9; 5) (; 7; ) = (; ; 4), ahol p és q a megfelel pontokba mutató helyvektorokat jelöli. P Q helyett használhatjuk annak a felét, az n = (5; ; ) vektort is normálvektornak. A síkra illeszked P pont és n ismeretében már felírható a sík egyenlete: 5x + y z = 5 + 7 + ( ) ( ) = 4. (3 pont) Behelyettesítve az R pont koordinátáit az egyenlet nem teljesül, így a sík nem tartalmazza R-et.
4. Tegyük fel, hogy az (R n -beli) v, v,..., v vektorok lineárisan összefügg k, de közülük bármely 9-et kiválasztva lineárisan független vektorrendszert kapunk. Mutassuk meg, hogy a v, v,..., v vektorok bármely -t adó lineáris kombinációjában vagy mindegyik együttható vagy egyik együttható sem. (Azaz: mutassuk meg, hogy λ v + λ v +... + λ v = esetén λ = λ =... = λ = vagy λ λ... λ teljesül.) Tegyük fel indirekt, hogy a feladat állítása hamis: léteznek a λ, λ,..., λ együtthatók úgy, hogy ezek nem mindegyike, de van köztük és λ v + λ v +... + λ v =. Mivel a v i -k (és ezekkel együtt a λ i -k) számozása érdektelen, feltehetjük, hogy például λ =. Ekkor a λ v + λ v +... + λ 9 v 9 = összefüggést kapjuk, ahol a λ, λ,..., λ 9 együtthatók nem mindegyike (hiszen λ, λ,..., λ között volt -tól különböz ). Ebb l a tanultak szerint következik, hogy a v, v,..., v 9 vektorok lineárisan összefügg k. (4 pont) Ez pedig ellentmond a feladat állításának (miszerint v, v,..., v közül bármelyik 9 lineárisan független), amivel tehát az állítást beláttuk. 5. Határozzuk meg az alábbi, R 3 -beli vektorok generált alterét. Amennyiben ez az altér egyenes vagy sík, adjuk meg az egyenletét vagy egyenletrendszerét. ( ) ( ) ( ) 4 5 3 a = 3, b =, c = 5 Els megoldás. Mivel a és b nem párhuzamosak (mert nem skalárszorosai egymásnak), ezért az a, b generált altér (vagyis az a-ból és b-b l lineáris kombinációval kifejezhet vektorok halmaza) az a és b (origóba tolt, vagyis helyvektor példányai) által kifeszített, origón átmen S sík vektoraiból áll. S-nek normálvektora bármilyen n vektor, ami a-ra és b-re is mer leges. Az n = (a, b, c) vektor pontosan akkor ilyen, ha az n a és az n b skaláris szorzatok értéke. A skaláris szorzat képletéb l: 4a + 3b = és 5a + b + c =. Például a b = 4 választással a = 3 és c = 7 adódik, vagyis n = (3; 4; 7) jó normálvektor. Ebb l tehát S egyenlete: 3x 4y 7z =. A c koordinátái kielégítik ezt az egyenletet, így c (origóba tolt példánya) is S-ben fekszik (hiszen a C(3; ; 5) pont S-en van és c az origóból C-be mutat). Ezért az a, b, c generált altér is csak az S vektoraiból áll (hiszen S-beli vektorok lineáris kombinációja is S-beli kell legyen). ) } Így tehát a, b, c = {( x y z : 3x 4y 7z =. A fenti megoldásban az utolsó 3 pontnak megfelel rész helyett az alábbi is jó: Mivel c = 3a + 5b, ezért minden a-ból, b-b l és c-b l lineáris kombinációval kifejezhet vektor már a-ból és b-b l is kifejezhet ; vagyis a, b, c = a, b. ( ) x Második megoldás. A v = y vektor pontosan akkor van az a, b, c generált altérben, ha v z kifejezhet a-ból, b-b l és c-b l lineáris kombinációval; vagyis ha léteznek olyan α, β, γ együtthatók, hogy α a + β b + γ c = v. Behelyettesítve a, b, c konkrét értékét és elvégezve a m veleteket a következ lineáris egyenletrendszerre jutunk: 3
4α + 5β + 3γ = x 3α + β + γ = y β + 5γ = z Az utolsó egyenletb l β = z 5γ. Ezt az els két egyenletbe helyettesítve: 4α γ = x 5z, 3α 9γ = y z. Vagyis átrendezés után: α 3γ = x 5z, illetve α 3γ = y z. 4 3 Ebb l már látszik, hogy az egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha x 5z = y z. Valóban: 4 3 ez a feltétel egyrészt nyilván szükséges a megoldhatósághoz (az utóbbi két egyenlet miatt). Másrészt elégséges is: ha x 5z és y z közös értékét t jelöli, akkor például α = t, β = z, γ = nyilván 4 3 megoldása az egyenletrendszernek. ) } {( x A kapott feltételt átrendezve: 3x 4y 7z =. Így a, b, c = y : 3x 4y 7z =. z Ez pedig a tanultak szerint egy sík egyenlete (mégpedig az origón átmen, n = (3; 4; 7) normálvektorú síké). A teljes érték megoldáshoz nem szükséges megadni a sík normálvektorát, sem azt, hogy az origón megy át. Ha valaki az els megoldás után írtak szerint el ször belátja, hogy a, b, c = a, b és ezután a fentihez hasonló módon az a, b generált alteret hatátozza meg, akkor a, b, c = a, b megmutatásáért pontot kapjon, viszont az (ebben az esetben csak két változós) lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele a fentiek szerinti 4(= + + ) pont helyett csak pontot érjen. 6*. Létezik-e páros Carmichael-szám? Legyen n > tetsz leges páros egész. Megmutatjuk, hogy n nem Carmichael-szám vagyis a kérdésre a válasz nemleges. (Az n = esettel nem kell foglalkoznunk, mert a Carmichael-számok deníció szerint nem lehetnek prímek.) Ehhez a Carmichael-szám deníciója szerint be kell látnunk, hogy létezik olyan a egész, amelyre az a n, (a, n) = és a n (mod n) feltételek teljesülnek (vagyis a árulója n-nek).(4 pont) Állítjuk, hogy az a = n választás megfelel ezeknek a feltételeknek. Valóban, egyrészt (a, n) = (n, n) =, mert ha egy d egészre d n és d n, akkor d n (n ) = is fennáll, így n és n közös osztói csak a ±. Másrészt a = n (mod n) miatt a n ( ) n = (mod n), ahol ( ) n = azért igaz, mert n páratlan (4 pont) (és (mod n) pedig azért, mert n > ). Így a = n valóban árulója n-nek, amivel az állítást beláttuk. 4
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok pontozási útmutató 7. november 3. Általános alapelvek. A pontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért az útmutató minden feladat (legalább egy lehetséges) megoldásának f bb gondolatait és az ezekhez rendelt részpontszámokat közli. Az útmutatónak nem célja a feladatok teljes érték megoldásának részletes leírása; a leírt lépések egy maximális pontszámot ér megoldás vázlatának tekinthet k. Az útmutatóban feltüntetett részpontszámok csak akkor járnak a megoldónak, ha a kapcsolódó gondolat egy áttekinthet, világosan leírt és megindokolt megoldás egy lépéseként szerepel a dolgozatban. Így például az anyagban szerepl ismeretek, deníciók, tételek puszta leírása azok alkalmazása nélkül nem ér pontot (még akkor sem, ha egyébként valamelyik leírt tény a megoldásban valóban szerephez jut). Annak mérlegelése, hogy az útmutatóban feltüntetett pontszám a fentiek gyelembevételével a megoldónak (részben vagy egészében) jár-e, teljes mértékben a javító hatásköre. Részpontszám jár minden olyan ötletért, részmegoldásért, amelyb l a dolgozatban leírt gondolatmenet alkalmas kiegészítésével a feladat hibátlan megoldása volna kapható. Ha egy megoldó egy feladatra több, egymástól lényegesen különböz megoldást is elkezd, akkor legföljebb az egyikre adható pontszám. Ha mindegyik leírt megoldás vagy megoldásrészlet helyes vagy helyessé kiegészíthet, akkor a legtöbb részpontot ér megoldáskezdeményt értékeljük. Ha azonban több megoldási kísérlet között van helyes és (lényeges) hibát tartalmazó is, továbbá a dolgozatból nem derül ki, hogy a megoldó melyiket tartotta helyesnek, akkor a kevesebb pontot ér megoldáskezdeményt értékeljük (akkor is, ha ez a pontszám ). Az útmutatóban szerepl részpontszámok szükség esetén tovább is oszthatók. Az útmutatóban leírttól eltér jó megoldás természetesen maximális pontot ér.. Tudjuk, hogy az a, b, c, d vektorok bázist alkotnak R 4 -ben. Határozzuk meg az a+b, c+d, a+c, b+d vektorok által generált altér dimenzióját. Belátjuk, hogy az a+b, c+d, a+c vektorrendszer a szóban forgó altér (nevezzük V -nek) bázisa, amib l következik, hogy V dimenziója 3, hiszen van 3 elem bázisa. El ször belátjuk, hogy az a + b, c + d, a + c vektorok függetlenek. Írjuk fel a a + b, c + d, a + c vektorok egy lineáris kombinációját az α, β, γ együtthatókkal és vizsgáljuk meg, hogy ez mikor lehet. Az α(a + b) + β(c + d) + γ(a + c) = egyenl ségben a zárójeleket felbontva, majd átrendezve (α + γ)a + αb + (β + γ)c + βd = adódik. Mivel az a, b, c, d vektorok lineárisan függetlenek (hiszen bázist alkotnak R 4 -ben), ez csak akkor lehetséges, ha α + γ =, α =, β + γ =, β =. Ebb l persze γ = is adódik, így a kérdéses vektorok egy lineáris kombinációja csak akkor lehet a nullvektor, ha mindhárom együttható, így az el adáson tanult tétel szerint a vektorok függetlenek. Most belátjuk, hogy a + b, c + d, a + c generálja V -t. Ehhez elég belátni, hogy a + b, c + d, a + c egy alkalmas lineáris kombinációja el állítja a b + d vektort, hiszen ekkor minden olyan vektor is el áll a lineáris kombinációjukként, ami V -ben van. Mivel b + d = (a + b) + (c + d) (a + c), a bizonyítást befejeztük.
. Döntsük el, hogy a p valós paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset. x + 3x + 5x 3 = 7 x + 9x + 6x 3 = 7 x + p x + p x 3 = 5 Gauss-eliminációval az egyenletrendszert az 3 5 7 p p alakra hozzuk. Ha p, akkor a harmadik sort ( p)-vel osztva folytatjuk az eliminációt, melynek végén az 5 redukált lépcs s alakhoz jutunk. Innen a megoldás x = 5, x =, x 3 =. Ha p =, akkor a harmadik sor csupa sor, így töröljük, majd az eliminációt folytatva az ( ) 4 redukált lépcs s alakhoz jutunk. Innen a megoldás x 3 = a R, x = 4 + a, x = a. (3 pont) Számolási hibákért darabonként pontot vonjunk le, elírásokért (ha nem lett könnyebb t lük a feladat) nem muszáj pontot levonni. 5 3. Számítsuk ki az alábbi determináns értékét a determináns deníciója szerint. 3 5 9 8 (A megoldásban tehát ne használjunk semmilyen, a determinánsra vonatkozó té- 6 telt vagy azonosságot, pusztán a denícióra alapozva határozzuk meg az értékét.) 5 3 7 4 Megmutatjuk, hogy a determináns deníciójában szerepl, el jelesen összeadandó szorzatok között egyetlen nemnulla szorzat szerepel. Ha ugyanis nemnulla szorzatot szeretnénk kiválasztani, akkor a harmadik sorból csak a 6-ot választhatjuk, így az ötödik sorból a -t már nem, csak az -et választhatjuk (mert a harmadik oszlopból már vettünk elemet). Hasonlóan folytatva, az els sorból csak az -et, ezért a másodikból csak a 3-at, végül a negyedikb l csak a 3-at választhatjuk, így csakugyan egyetlen nemnulla szorzatot kapunk, a 6 3 3-at. (3 pont) Ehhez az egyetlen nemnulla szorzathoz tartozó permutáció a 4,,3,,5 (hiszen az els sorból a negyedik elemet vettük, a másodikból az els t, stb). Ennek a permutációnak az inverziószáma 4 (hiszen 4 inverzióban álló pár van: (4, ), (4, 3), (4, ), (3, )). Mivel az inverziószám páros, ezért a szorzathoz tartozó el jel: +, a determináns értéke tehát 54. 4. a) Határozzuk meg azon p valós értékeket, melyekre az alábbi mátrixnak van inverze. b) p = 3 esetén adjuk meg az inverz mátrix bal fels elemét.
4 3 6 p 6 3 a) Gauss-eliminációval, kifejtési tétellel vagy akár a deníció alapján gyorsan kideríthet, hogy a mátrix determinánsa p, erre pontot adjunk, ha minden helyes. Ismert, hogy inverz akkor és csak akkor létezik, ha a determináns nem, így az a) feladatra a válasz az, hogy pontosan p esetén létezik az inverz, erre pontot adjunk. b) Gauss-eliminációval a 4 3 6 3 6 3 kib vített együtthatómátrixot az 3 3 lépcs s alakra hozzuk, majd az eliminációt folytatva az 3 5 3 3 redukált lépcs s alakot kapjuk, ahonnan az inverz 3 5 3 3 a keresett bal fels elem pedig., (3 pont) (3 pont) ( pont) Az a) feladatnál el fog fordulni, hogy valaki az inverz keresése közben, a p = esetben csupa sort talál a mátrix eliminálásakor, az el adáson tanultak szerint ekkor kijelentheti, hogy nincs inverz. Ha valaki az inverz megadásával fejezi be a feladatot és nem adja meg a bal fels elemet (de az persze a megadott inverzb l leolvasható), akkor a pontozásnak megfelel en nem kell pontot levonni. Természetesen a feladat megoldásához nem kell a teljes inverzet kiszámítani, elég annak az els oszlopát megállapítani, vagyis a leírt Gauss-eliminációk utolsó két oszlopára nincs szükség. Ha valaki így jár el, akkor ezen eljárás helyességét nem kell külön indokolnia, hiszen ez szerepelt az el adáson. Számolási hibákért darabonként pontot vonjunk le (akkor is, ha az érdektelen részben vannak, kivéve ha a hallgató ezen rész lényegtelen voltára kitér), elírásokért, ha attól a feladat nem lett könnyebb, nem muszáj levonni. 5. Határozzuk meg az alábbi mátrix rangját minden x, y R értékre. x x y y Els megoldás. A rang azonos a lineárisan független sorok maximális számával. Az els két sor független, hiszen az utolsó két koordináta mutatja, hogy egyik sem számszorosa a másiknak. 3
A rang megállapításához az újonnan érkez vektor lemmája miatt most már elég azt vizsgálni, hogy a harmadik sor el áll-e az els kett lineáris kombinációjaként. Ha x =, akkor a harmadik sor nem lehet az els kett lineáris kombinációja, az els koordináták miatt. Ha x, akkor az els koordináták vizsgálatából az derül ki, hogy alkalmas lineáris kombinációhoz az els sort -szer kell venni, x ahonnan a harmadik koordinátákat vizsgálva y = kell legyen. x Ekkor a harmadik sor épp az els -szerese, vagyis ilyenkor a sorok nem függetlenek. x Ezek alapján: x = esetén a rang 3, x, y esetén a rang szintén 3, végül x, y = esetén x x (vagyis amikor xy = ) a rang. Összefoglalva: az derült ki, hogy ha xy =, akkor a rang, különben pedig 3. ( pont) Második megoldás. A rangot Gauss-eliminációval állapítjuk meg: az nem lesz más, mint a lépcs s alakban a vezéregyesek száma. Ha x =, akkor az els és a harmadik sor cseréje után el is állt a lépcs s alak 3 vezéregyessel. Ha x, akkor osztunk x-szel, majd az els sort levonjuk a harmadikból. (+ pont) Ekkor a mátrix x x y x y x alakú, vagyis megvan a második vezéregyes is, a harmadikat pedig pontosan akkor tudjuk létrehozni, ha y. x Vagyis x esetén a rang 3, ha y és, ha y =. x x Összefoglalva: az derült ki, hogy ha xy =, akkor a rang, különben pedig 3. ( pont) Harmadik megoldás. Ismét Gauss-eliminációt használunk, de el tte felcseréljük az els és a harmadik sort, ez a rangot (a sorrang deníciója miatt, amiben a sorok sorrendje lényegtelen) nem változtatja meg. (Ha valaki a Gauss-elimináció keretében cseréli ki ezt a két sort, akkor elvileg indokolnia kéne, hogy a rang miért nem változik hiszen nem pontosan a tanult algoritmust követi, de ennek hiányáért nem muszáj pontot levonni.) A lépcs s alakban keressük a vezéregyesek számát, ehhez az els sor x-szeresét levonjuk a harmadik sorból. Ekkor a mátrix y y xy xy alakú, vagyis megvan a második vezéregyes is, a harmadikat pedig pontosan akkor tudjuk létrehozni, ha xy. Mindezek alapján ha xy =, akkor a rang, különben pedig 3. 6*. Egy 5 5-ös A mátrixnak pontosan hat olyan 3 3-as részmátrixa van, ami invertálható. Mutassuk meg, hogy A nem invertálható. Els megoldás. A akkor és csak akkor invertálható, ha az oszlopai függetlenek (hiszen mindkét állítás azzal ekvivalens, hogy A determinánsa nem ). Ekkor akárhogy választunk az oszlopok közül hármat, azok is függetlenek lesznek, 4
vagyis az általuk meghatározott 5 3-as részmátrixok rangja 3. Ezekben a mátrixokban tehát a rangfogalmak egyenl sége miatt létezik nem determinánsú 3 3-as részmátrix. Ezek a 3 3-as részmátrixok különböz k lesznek, ha különböz 3 5-ös részmátrixokból választjuk ket. Mivel 3 5-ös részmátrixot -féleképp tudunk kiválasztani (két oszlopot kell elhagyni, az els t 5-, a másodikat 4-féleképp választhatjuk, de így minden párt kétszer számoltunk), ha A invertálható lenne, akkor lenne legalább nem determinánsú (vagyis invertálható) 3 3-as részmátrixa, amivel a bizonyítást befejeztük. Második megoldás. A kifejtési tétel segítségével megmutatjuk, hogy A determinánsa, amib l az állítás következik. Tegyük fel, hogy a determináns nem és fejtsük azt ki az utolsó sor szerint. A kapott el jeles aldeterminánsok közt nyilván kell legyen -tól különböz, tartozzon ez a B 4 4-es részmátrixhoz. B determinánsát az., a., a 3. és a 4. sora szerint kifejtve is kell hogy kapjunk olyan 3 3-as el jeles aldeterminánsokat, amik nem -k. Ezek mind különböz invertálható részmátrixokhoz tartoznak, melyek egy kivétellel mind tartalmaznak elemeket az. sorból. (+ pont) Fejtsük most ki A determinánsát az els sor szerint. A fentiekhez hasonlóan kell kapnunk egy C 4 4-es részmátrixot, melynek determinánsa nem, és itt is kapunk 4 különböz invertálható 3 3-as részmátrixot. Ezek közül azonban egyik sem tartalmaz elemeket az. sorból, így már 7 különböz nem determinánsú 3 3-as részmátrixot találtunk, ami ellentmondás. 5
Általános alapelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok az ELSŽ zárthelyi pótlására pontozási útmutató 7. december. A pontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért az útmutató minden feladat (legalább egy lehetséges) megoldásának f bb gondolatait és az ezekhez rendelt részpontszámokat közli. Az útmutatónak nem célja a feladatok teljes érték megoldásának részletes leírása; a leírt lépések egy maximális pontszámot ér megoldás vázlatának tekinthet k. Az útmutatóban feltüntetett részpontszámok csak akkor járnak a megoldónak, ha a kapcsolódó gondolat egy áttekinthet, világosan leírt és megindokolt megoldás egy lépéseként szerepel a dolgozatban. Így például az anyagban szerepl ismeretek, deníciók, tételek puszta leírása azok alkalmazása nélkül nem ér pontot (még akkor sem, ha egyébként valamelyik leírt tény a megoldásban valóban szerephez jut). Annak mérlegelése, hogy az útmutatóban feltüntetett pontszám a fentiek gyelembevételével a megoldónak (részben vagy egészében) jár-e, teljes mértékben a javító hatásköre. Részpontszám jár minden olyan ötletért, részmegoldásért, amelyb l a dolgozatban leírt gondolatmenet alkalmas kiegészítésével a feladat hibátlan megoldása volna kapható. Ha egy megoldó egy feladatra több, egymástól lényegesen különböz megoldást is elkezd, akkor legföljebb az egyikre adható pontszám. Ha mindegyik leírt megoldás vagy megoldásrészlet helyes vagy helyessé kiegészíthet, akkor a legtöbb részpontot ér megoldáskezdeményt értékeljük. Ha azonban több megoldási kísérlet között van helyes és (lényeges) hibát tartalmazó is, továbbá a dolgozatból nem derül ki, hogy a megoldó melyiket tartotta helyesnek, akkor a kevesebb pontot ér megoldáskezdeményt értékeljük (akkor is, ha ez a pontszám ). Az útmutatóban szerepl részpontszámok szükség esetén tovább is oszthatók. Az útmutatóban leírttól eltér jó megoldás természetesen maximális pontot ér.. Adjuk meg az összes olyan négyjegy pozitív egész számot, amelyre teljesül, hogy 5-gyel osztva 3 maradékot ad, továbbá a szám 7-szeresének utolsó két számjegye 5. A keresett számot n-nel jelölve a feladat feltételei: n 3 (mod 5) és 7n 5 (mod ). Az utóbbi feltétel egy lineáris kongruencia, ezt a tanult módszerekkel oldjuk meg. Mindkét oldalt 6-tal szorozva: n 9 (mod ), vagyis n 9 (mod ). Mindkét oldalt -vel osztva: n 45 (mod 5), ahol a modulust (, ) = miatt osztottuk -vel. Ebb l n 45 (mod ) vagy n 95 (mod ). Ellen rzéssel azt kapjuk, hogy a két megoldás közül az els hamis gyök (ami a 6-tal szorzás miatt jött be, hiszen (6, ) ), a második viszont helyes. Azokat az n-eket keressük tehát, amik kielégítik az n 95 (mod ) és az n 3 (mod 5) feltételeket. Ez egy kongruenciarendszer, amit a tanult módszerrel oldunk meg. Az els feltételb l: n = k + 95 valamely k egészre. Ezt a másodikba helyettesítve: k + 95 3 (mod 5). Mindkét oldalból 95-öt levonva a k 9 (mod 5) lineáris kongruenciát kapjuk. (mod 5) miatt ez a k 9 (mod 5) alakba írható. ( )-vel osztva: k 46 (mod 5), ahol a modulus (, 5) = miatt nem változott. Mivel mindkét megtett lépésünk ekvivalens átalakítás volt, ezzel valóban a lineáris kongruencia megoldását kaptuk. Ebb l tehát k = 5l+46 valamely l egészre. Ezt visszahelyettesítve: n = k +95 = (5l+46)+95 = 5l + 4695. Így a feladat feltételeit az n 4695 (mod 5) feltételt kielégít n egészek teljesítik. Ezek közül a 4695 és a 9795 négyjegy pozitív egészek, így a feladatnak ez a két megoldása van. A feladat rövidebben is megoldható, ha az n 3 (mod 5) feltételb l kapott n = 5k + 3 alakot helyettesítjük az n helyére a 7n 5 (mod ) kongruenciában. A megoldás során el kerül lineáris kongruenciák az Euklideszi algoritmussal is megoldhatók. (Ez mindegyik esetben közvetlenül alkalmazható, mert az ismeretlen együtthatója a modulushoz relatív prím.) Aki a fent leírthoz hasonló utat választ, annak az els esetben a két ellen rzés közül az egyik, a második esetben a lépések ekvivalenciájára való hivatkozás kiváltható azzal, hogy a megoldások száma mindkét esetben el re tudhatóan lesz, mert az ismeretlen együtthatója a modulushoz relatív prím.
. Milyen maradékot ad 8-cal osztva 73 37 + 37 73? 8 prímtényez s felbontása: 8 = 3 3. Ezért a tanult képlet szerint ϕ(8) = ( )(3 3 3 ) = 36. Mivel (73, 8) =, ezért az Euler-Fermat tételb l 73 36 (mod 8) következik. Mindkét oldalt 73-mal szorozva: 73 37 73 (mod 8). Mivel (37, 8) = is igaz, ezért ismét az Euler-Fermat tételb l 37 36 (mod 8) következik. Mindkét oldalt négyzetre emelve: 37 7 = (mod 8). Mindkét oldalt 37-tel szorozva: 37 73 37 (mod 8). A kapott 73 37 73 (mod 8) és 37 73 37 (mod 8) kongruenciákat a tanult szabály szerint összeadva: 73 37 + 37 73 73 + 37 = (mod 8), vagyis a keresett maradék a. A feladat elvileg megoldható az ismételt négyzetre emelések módszerével is, de az (számológép nélkül) sokkal kellemetlenebb és hosszabb megoldásra vezet; ha egy hallgató ilyen megoldással próbálkozik (és az ahhoz szükséges számításokat legalább elkezdi), akkor legföljebb pontot kaphat pusztán annak felismeréséért, hogy ez az algoritmus elvileg alkalmas a két hatvány 8-as maradékának meghatározására. 3. Az el adáson tanult megfelel algoritmus alkalmazásával határozzuk meg 5 85 -nek a 55-tel vett osztási maradékát. A tanultak szerint ismételt négyzetre emelésekkel és a kapott eredmények 55-ös maradékának meghatározásával kiszámítjuk az 5, 5, 5 4,..., 5 64 hatványok 55-ös maradékát. Ezek sorra: 5, 5, 5 (mert 65 5 (mod 55)), 5, 5, 5 és 5. (4 pont) Mivel 85 = + 4 + 6 + 64, ezért sorra meghatározzuk az 5 5 = 5 5 4, 5 = 5 5 5 6, végül az 5 85 = 5 5 64 hatványok 55-ös maradékait a korábban kiszámolt megfelel maradékokkal való szorzással és a kapott eredmények 55-ös maradékának meghatározásával. Ezek sorra: 5, 5 és 5. (4 pont) Így a keresett maradék: 5. A teljes érték megoldáshoz nem szükséges a fenti részletességgel leírni az elvégzett m veletek mögötti szándékot, elegend a helyes számítások közlése. Nem jelent pontlevonást, ha egy megoldó a végeredményhez el ször 5 8 = 5 64 5 6, majd sorban 5 84 és végül 5 85 maradékait határozza meg a fentihez hasonló módon. Ha viszont egy megoldó a kapott részeredményeit nem helyettesíti azok 55-ös maradékaival és például 5 8 maradékához a 65 négyzetre emelésével próbál eljutni, az lényeges elvi hibának számít, ami az algoritmus ismeretének alapvet hiányát mutatja; egy ilyen megoldó legföljebb 5 pontot kaphat (azt is csak akkor, ha a további számolásai hasznosak és a helyes végeredményt megkapja). 4. Van-e az A( ; ; ), B(3; ; 3) és C(7; 6; 3) pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az y-tengelyre esik? Ha igen, melyik? AB = b a = (3; ; 3) (, ; ) = (4; 3; ) és AC = c a = (7; 6; 3) (, ; ) = (8; 8; ), ahol a, b és c a megfelel pontokba mutató helyvektorokat jelöli. Az A, B és C pontokat tartalmazó S síknak normálvektora lesz az n vektor, ha az mer leges AB-re és AC-re is. Így az n = (p, q, r) pontosan akkor ilyen, ha az n AB és az n AC skaláris szorzatok értéke. A skaláris szorzat képletéb l: 4p + 3q + r = és 8p + 8q + r =. A második egyenlet feléb l az els t kivonva: q r =, vagyis q = r. Ezt bármelyik egyenletbe helyettesítve a 4p + 5r = egyenletet kapjuk. Így például r = 4 választással p = 5 és q = 4 adódik, vagyis n = (5; 4; 4) normálvektora S-nek. Ebb l A, B és C közül bármelyiket használva felírható S egyenlete: 5x 4y 4z =.
A P (x, y, z) pont akkor és csak akkor van az y tengelyen, ha x = z =. Ezt S egyenletébe helyettesítve: 4y =, vagyis y =. Így az S-en az y-tengelynek egyetlen pontja 4 van: a (; ; ). 4 A fenti megoldásban a normálvektor kiszámítására vonatkozó rész helyettesíthet az AB AC vektoriális szorzat meghatározásával is. (Ebb l közvetlenül a ( ; 8; 8) vektor adódik, ami a fent kiszámítottnak a ( )-szerese, így természetesen szintén normálvektora S-nek.) 5. Legyen R 4 -ben u =, v = 5 és w = 4. Határozzuk meg az u, v, w generált alteret. (A generált altér meghatározása alatt azt értjük, hogy készítünk egy olyan gyorstesztet, amellyel egy tetsz leges R 4 -beli vektorról egyszer en megmondható, hogy a generált altérhez tartozik-e.) Az x = (p, q, r, s) T vektor deníció szerint pontosan akkor tartozik az u, v, w generált altérbe, ha léteznek olyan α, β, γ skalárok, amelyekre αu + βv + γw = x. Elvégezve a m veleteket: αu + βv + γw = (γ, β + γ, α + β + 4γ, α + 5β + γ) T. Így x pontosan akkor van a generált altérben, ha léteznek olyan α, β, γ skalárok, amelyekre γ = p, β + γ = q, α + β + 4γ = r és α + 5β + γ = s. (3 pont) Ezekb l az egyenletekb l sorban: γ = p, β = q γ = q p, α = r β 4γ = r (q p) 4p = r q. Ezt a negyedik egyenletbe helyettesítve: (r q) + 5(q p) + p = s, vagyis p + q + r s =. Azt kaptuk tehát, hogy x = (p, q, r, s) T u, v, w pontosan akkor igaz, ha p + q + r s =. 6*. Tegyük fel, hogy a v, v,..., v, w R n vektorokra teljesül, hogy a v, v,..., v rendszer lineárisan független, a v, v,..., v, w rendszer viszont lineárisan összefügg és w. Mutassuk meg, hogy létezik olyan i és olyan α skalár, hogy a v, v,..., v i, v i + α w, v i+,..., v rendszer lineárisan összefügg. A feladat feltételeib l az újonnan érkez vektor lemmája szerint azonnal következik, hogy w v, v,..., v, vagyis léteznek a λ, λ,..., λ skalárok úgy, hogy λ v + λ v +... + λ v = w. Mivel w, ezért a λ,..., λ együtthatók között van nullától különböz. Legyen például λ k. Ekkor a fentib l átrendezéssel: ) λ v +... + λ k v k + λ k (v k + λ k+ v k+ +... + λ v =. (3 pont) λ k w Mivel λ k, ez a tanultak szerint azt jelenti, hogy a v, v,..., v k, v k λ k w, v k+,..., v rendszer lineárisan összefügg. Vagyis a feladat állítása az i = k és α = λ k választással valóban teljesül. (3 pont) 3
Általános alapelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK pótzh pontozási útmutató 7. december. A pontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért az útmutató minden feladat (legalább egy lehetséges) megoldásának f bb gondolatait és az ezekhez rendelt részpontszámokat közli. Az útmutatónak nem célja a feladatok teljes érték megoldásának részletes leírása; a leírt lépések egy maximális pontszámot ér megoldás vázlatának tekinthet k. Az útmutatóban feltüntetett részpontszámok csak akkor járnak a megoldónak, ha a kapcsolódó gondolat egy áttekinthet, világosan leírt és megindokolt megoldás egy lépéseként szerepel a dolgozatban. Így például az anyagban szerepl ismeretek, deníciók, tételek puszta leírása azok alkalmazása nélkül nem ér pontot (még akkor sem, ha egyébként valamelyik leírt tény a megoldásban valóban szerephez jut). Annak mérlegelése, hogy az útmutatóban feltüntetett pontszám a fentiek gyelembevételével a megoldónak (részben vagy egészében) jár-e, teljes mértékben a javító hatásköre. Részpontszám jár minden olyan ötletért, részmegoldásért, amelyb l a dolgozatban leírt gondolatmenet alkalmas kiegészítésével a feladat hibátlan megoldása volna kapható. Ha egy megoldó egy feladatra több, egymástól lényegesen különböz megoldást is elkezd, akkor legföljebb az egyikre adható pontszám. Ha mindegyik leírt megoldás vagy megoldásrészlet helyes vagy helyessé kiegészíthet, akkor a legtöbb részpontot ér megoldáskezdeményt értékeljük. Ha azonban több megoldási kísérlet között van helyes és (lényeges) hibát tartalmazó is, továbbá a dolgozatból nem derül ki, hogy a megoldó melyiket tartotta helyesnek, akkor a kevesebb pontot ér megoldáskezdeményt értékeljük (akkor is, ha ez a pontszám ). Minden feladat pontot ér. Az útmutatóban szerepl részpontszámok szükség esetén tovább is oszthatók. Az útmutatóban leírttól eltér jó megoldás természetesen maximális pontot ér. A megoldás menetét érdemben nem befolyásoló számolási hibákért általában (vagyis ha nincs másképp jelezve) pontot vonjunk le, a megoldás menetét érdemben nem befolyásoló elírásokért (vagyis amikor a hallgató nyilvánvalóan nem azt írta le, amit szeretett volna, pl. feladat adatainak másolásakor, saját részeredményének másolásakor) nem muszáj pontot levonni. Fontos, hogy gy z djünk meg róla, hogy valóban számolási hibáról, illetve elírásról van szó, mivel az elvi hibákért ennél sokkal több pontot kell levonni. Ha egy számolási hiba vagy elírás a megoldás menetét érdemben befolyásolja, akkor csak azokat a részpontokat kaphatja meg a hallgató, amik a feladat eredeti formájának megoldásához is hozzájárulnak.. Legyen V azon altere R 4 -nek, melyet azok a vektorok alkotnak, melyek x, x, x 3, x 4 koordinátáira teljesül, hogy x 4 = x + x 3x 3. Adjunk meg V -ben egy olyan bázist, mely tartalmazza a jobbra látható v vektort. Az el adáson tanult eljárást követjük: egy független rendszert b vítünk egyesével, amíg bázist nem kapunk. A kezdeti független rendszer az vektorból áll, ehhez kell egy további vektort úgy, hogy együtt is függetlenek legyenek. 3 Erre alkalmas pl. a vektor, hiszen ez nem skalárszorosa vagy az újonnan érkez vektor lemmája szerint elegend ). A kapott független rendszert a következ lépésben b víthetjük pl. az v = -nak (ez pedig a tanult eljárás vektorral, hiszen az nem
állhat el az els két vektor lineáris kombinációjaként (ez ismét a tanult eljárás vagy az újonnan érkez vektor lemmája szerint elegend ), mivel a negyedik koordinátája, míg a másik két vektor negyedik koordinátája. Azt állítjuk, hogy a kapott rendszer a kérdéses altér bázisa lesz. Egy 3 dimenziós altérben 3 független vektor a tanultak szerint bázist alkot, ezért elég belátni, hogy a kérdéses altér valóban 3 dimenziós. Az altér az F-G egyenl tlenség miatt 3-nál kevesebb dimenziós nem lehet, mivel van benne 3 független vektor, 4 dimenziós pedig nem lehet, mivel ekkor maga R 4 lenne (hiszen 4 darab R 4 -beli független vektor a tanultak szerint R 4 bázisa lenne), ami nyilván nem áll fenn (hiszen R 4 nem minden vektorára teljesül, hogy x 4 = x + x 3x 3 ). Szigorúan véve azt is be kéne látni, hogy az altér nem 5 vagy több dimenziós, de ennek hiányáért ne vonjunk le pontot. A három vektor megadása után folytathatjuk a megoldást a következ képp is (a megoldás eddigi menete alapján azt már tudjuk, hogy a vektorok függetlenek). Ahhoz, hogy a megadott vektorok bázist alkossanak, azt kell még belátnunk, hogy generálnak minden olyan vektort, ami az altérben van. Legyen x ilyen vektor és legyenek a koordinátái x, x, x 3, x 4. Azt kell megmutatnunk, hogy léteznek a, b, c skalárok, melyekre 3 x a + b + c = x x 3. x 4 Vagyis az 3 x x x 3 x 4 egyenletrendszerr l kell belátnunk, hogy létezik megoldása (az a, b, c változókra). A második és a negyedik sor (egyenlet) alapján a = x, c = x 4, most a harmadik sor alapján b = x 3 a = x 3 x és az így kapott a, b, c értékek nem csak a második, a negyedik és a harmadik egyenletet elégítik ki, hanem az els t is: a + 3b + c = x + 3(x 3 x ) + x 4 = x + 3x 3 + x 4 = x, hiszen tudjuk, hogy x 4 = x + x 3x 3. p 3 7. Számítsuk ki a jobbra látható determináns értékét minden p valós szám esetén. p 8 8 3 p p Jelöljük a keresett determináns értékét D-vel. A kifejtési tételt az els oszlopra alkalmazva: D = p 8 8 p 3 p p 3 7 (3 pont) 3 p p (Itt a -val szorzott tagokat már elhagytuk.) Az els, p-vel szorzott determináns két oszlopa azonos, így az értéke (hiszen az egyikb l a másik sort kivonva csupa oszlopot kapnánk). A második, ( )-gyel szorzott determináns második sorának p-szeresét kivonjuk a harmadik sorából (ez az értékét nem változtatja meg), majd ismét a kifejtési tételt alkalmazzuk, az utolsó sora szerint: 3 7 D = = (3 p) 3 7 3 p
Innen a -es determinánsok kiszámítására vonatkozó ismert szabállyal fejezhetjük be a megoldást: D = (3 p)( 4) = 4p. Természetesen a determináns értéke sok más úton is megkapható, a leggyorsabban úgy, hogy a 4. oszlopból a 3.-at levonjuk, majd a 4. oszlop szerint fejtjük ki a determinánst. Alkalmazható a Gausselimináció is, de paramétert tartalmazó kifejezéssel leosztva külön kell kezelni azt az esetet, amikor annak az értéke, illetve -tól különböz. Minden, a megoldást érdemben nem befolyásoló számolási hiba pont levonást jelent. A determinánsra vonatkozó egyes alapismeretek teljes vagy részleges hiányából fakadó elvi hibák viszont darabonként 4 pont levonást jelentenek. Ilyenek például: a kifejtési tételben a sakktáblaszabályból származó el jel elhagyása, vagy helytelen megállapítása (kivéve, ha teljes biztonsággal meggy z dtünk róla, hogy elírásról ( pont levonás), illetve számolási hibáról ( pont levonás) van szó); paramétert tartalmazó kifejezéssel való osztás a szükséges esetvizsgálat nélkül; egy sor konstanssal szorzása, vagy sorok cseréje után a determináns értékváltozásának gyelmen kívül hagyása vagy hibás követése. Kétes esetekben elvi hibának tekintend minden olyan hiba, amikor nincs nyoma annak, hogy a megoldó a szóban forgó ismeretet helyesen próbálta alkalmazni. 3. Döntsük el, hogy a p valós paraméter mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset. x + 3x + 6x 3 + x 4 = 5 x + 5x + 8x 3 + 4x 4 = 7 x + 6x + (p + ) x 3 + (p + 5) x 4 = Gauss-eliminációval az egyenletrendszert az 3 6 5 p p + alakra hozzuk. Ha p, akkor a harmadik sort p-vel osztva folytatjuk az eliminációt, melynek végén az 3(p+) p p+ p p+ p redukált lépcs s alakhoz jutunk. Innen a megoldás x 4 = a R, x = + ( + 3(p+) )a, x p = ( p+ p 3 = p+ a. p Ha p =, akkor meg is kaptuk a lépcs s alakot (a 3. vezéregyes a 4. oszlopban van), ahonnan az eliminációt folytatva az 3 redukált lépcs s alakhoz jutunk. Innen a megoldás x 3 = b R, x = 3b, x = b, x 4 =. Számolási hibákért darabonként pontot vonjunk le, elírásokért (ha nem lett könnyebb t lük a feladat) nem muszáj pontot levonni. ( ) 4. Legyen A a jobbra látható mátrix. Adjunk meg egy olyan B mátrixot, 4 7 A = melyre AB a -es egységmátrix. 3 7 Jó eredmény, megfelel indoklással (pl. A és B megfelel sorrend szorzata kiszámolva vagy A bármely -es részmátrixának inverze (pl. Gauss-eliminációval) kiszámolva (mind a három invertálható 3