MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK

Matematika A 10. évfolyam 1. modul Logika TOTÓ KÉRDÉS 1. Szépen süt a nap. 1: ez egy kijelentés 2: ez nem kijelentés X: nem lehet eldönteni 2. Havazik. 1: ez egy kijelentés 2: ez nem kijelentés X: nem lehet eldönteni 3. 5 5 1: ez egy kijelentés 2: ez nem kijelentés X: nem lehet eldönteni 4. 1: ez egy igaz kijelentés; 2: ez nem kijelentés; X: ez egy hamis kijelentés 5. Minden háromszögre igaz, hogy köré írt körének középpontja a háromszögön belülre esik. 1: ez egy igaz kijelentés 2: ez nem kijelentés X: ez egy hamis kijelentés 6. Egy 25 fős osztályban 6 tanuló kosarazik, 11 focizik, 4 tanuló mindkét sportot űzi. 8 tanuló se nem focizik, se nem kosarazik. 1: ez egy igaz kijelentés; 2: ez nem kijelentés; X: ez egy hamis kijelentés 7. Elmegyek, vagy veszek mozijegyet. Ez az állítás hamis, ha 1: veszek mozijegyet; 2.: elmegyek, de nem veszek X: nem megyek el, és nem mozijegyet is veszek mozijegyet 8. A paralelogramma átlói felezik a szögeket, vagy merőlegesen metszik egymást tagadása: 1: A paralelogramma átlói 2: A paralelogramma átlói X: A paralelogramma átlói nem felezik a szögeket, felezik a szögeket, vagy nem felezik a szögeket, és vagy nem merőlegesen nem merőlegesen metszik nem merőlegesen metszik metszik egymást. egymást. egymást. 9. A rakodópart alsó kövén ültem, néztem, hogy úszik el a dinnyehéj tagadása: 1: Nem a rakodópart alsó kövén ültem, és néztem, hogy úszik el a dinnyehéj. 2: Nem ültem a rakodópart alsó kövén, vagy nem néztem, hogy úszik el a dinnyehéj. 10. Álmodom, vagy nem a fülemüle dalol tagadása: 1: Nem álmodom, és a fülemüle dalol. 2: Nem álmodom, vagy a fülemüle dalol. 11. Minden fekete autó metál fényezésű tagadása: 1: Van olyan fekete autó, amelyik metál fényezésű. 2: Nincs fekete autó, amelyik metál fényezésű. X: Nem ültem a rakodópart alsó kövén, és nem néztem, hogy úszik el a dinnyehéj. X: Álmodom, és a fülemüle dalol. X: Van olyan fekete autó, amelyik nem metál fényezésű. 12. Nem figyel és nem is ír tagadása: 1: Nem figyel, de ír. 2: Figyel és ír. X: Figyel vagy ír. 13. A költségeket kifizetik, vagy egy részét természetben térítik tagadása: 1: A költségeket nem fizetik ki, de egy részét természetben térítik. 2: A költségeket nem fizetik ki, és nem térítik természetben. X: A költségeket kifizetik, és egy részét természetben térítik. +1 Amit most mondok, az nem igaz. 1: ez egy igaz kijelentés 2: ez egy hamis kijelentés X: nem lehet eldönteni TIPP

Matematika A 10. évfolyam 1. modul Implikáció feladatlap 1. Helyes következtetéseket fogalmaznak-e meg a következő implikációk? a) Ha elmegyünk a butikba, vehetünk zöldséget. b) Ha egy trapéz tengelyesen szimmetrikus, akkor kör írható köré. 2. Határozd meg, hogy az alábbi implikációk esetén mi a feltétel, és mi a következmény. Fordítsd meg a feltételt és a következményt, és írd le a megfordított implikációt! Fogalmazd át az implikációkat! a) Ha fúj a szél, akkor hajladoznak a virágok. b) A deltoid átlói merőlegesek egymásra. c) Egy szám 15-tel is osztható, amennyiben 3-mal és 5-tel is. 3. Keress összetartozó feltétel következmény párosokat, és írd le az implikációkat. Több feltételt és következményt is összekapcsolhatsz ÉS és VAGY kapcsolattal is. Feltételek egy szám osztható 3-mal és 2-vel egy szám 0-ra végződik egy páros szám számjegyeinek összege 3n (n N+) alakban írható fel egy szám osztható 30-cal egy szám páros négyzetszám Következmények a szám osztható 2-vel és 5-tel a szám osztható 3-mal a szám osztható 6-tal a szám osztható 4-gyel a szám osztható 100-zal 4. Keress következményt az alábbi feltételekhez! a) Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, b) Ha egy négyszögnek egyenlők az átlói, akkor c) Ha egy négyszög deltoid, d) Ha egy egyenes egyenlete y = 3x 2, akkor 5. Elemezd a következő mondatok feltételét és következményét, majd mondatonként válaszd ki a három megfelelő kategóriát! Előtag Utótag Kapcsolat az előtag és az utótag között a. igaz hamis igaz hamis van nincs b. igaz hamis igaz hamis van nincs a) A háromlábú szék sohasem billeg, mert a térben három pont egyértelműen meghatároz egy síkot. b) A tengelyes tükrözés szimmetriát eredményez, ezért a szabályos ötszög tengelyesen szimmetrikus.

Matematika A 10. évfolyam 1. modul Tapasztalatszerzés, skatulkya-elv Gondold át az A és a B esetet: A: Van 15 gyufaszálam és 10 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. B: Van 10 gyufaszálam és 15 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom. Válaszd ki, hogy melyik állítás biztosan igaz, melyik hamis, és melyik lehet igaz is és hamis is! A B 1. Minden dobozba kerül gyufaszál. 2. Minden gyufa egy dobozba kerül. 3. Pontosan egy üres gyufásdoboz van. 4. Biztosan van olyan doboz, amiben pont egy gyufa van. 5. Biztosan van olyan doboz, amibe legalább egy gyufa kerül. 6. Biztosan van olyan doboz, amibe legfeljebb egy gyufa kerül. 7. Biztosan van olyan doboz, amibe kettő gyufa kerül. 8. Biztosan van olyan doboz, amibe egynél több gyufa kerül. 9. Biztosan van legalább egy üres doboz. 10. Két üres gyufásdoboz van. 11. Legalább két üres doboz van. 12. Legfeljebb két üres doboz van. 13. Biztosan van 3 üres gyufásdoboz. 14. Biztosan van legalább két olyan gyufásdoboz, amibe több gyufa kerül. Milyen biztosan teljesülő kijelentéseket tudnál megfogalmazni a) ha több gyufaszál van, mint doboz, illetve b) ha több doboz van, mint gyufaszál?

Matematika A 10. évfolyam 1. modul Skatulya-elv mintapéldák 1. Egy kalapban van 5 piros, 5 fehér, 5 sárga és 5 kék golyó. Legalább mennyit kell kihúzni becsukott szemmel, hogy biztosan legyen közöttük mind a négy színű golyóból? Megoldás: Legrosszabb esetben kihúzok egymás után 5 5 5 azonos színűt, tehát legalább 16 golyót kell kihúznom. (Legszerencsésebb esetben az első 4 húzásra 4 különböző színűt húzok, de azt nem mondhatom, hogy biztosan elég 4 húzás; mindig a legrosszabb esetre kell gondolni). 2. Adott 1 és 10 között 6 egész szám. Igazoljuk, hogy van köztük legalább két olyan, amelyek összege páratlan. Megoldás: 1-től 10-ig 5 páros, és 5 páratlan szám van. A 6 egész szám között biztosan van 2 olyan, aminek a paritása eltérő, így azok összege páratlan. 3. Egy 10 cm oldalú, négyzet alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk 26 lövedéket. Igaz-e, hogy van közöttük legalább 2, amelyek távolsága legfeljebb 3 cm? Megoldás: A 10x10-es tábla felbontható 25 darab, 2 2 cm-es kis négyzetre. A 26 lövedék között biztosan van 2 olyan, amelyik azonos négyzetbe csapódik be, és ezek maximális távolsága a négyzet átlója: 2 2 2,83. Ennél a 3 nagyobb, ezért van két olyan lövedék, amelynek a távolsága legfeljebb 3. 4. Igazoljuk, hogy egy 22 fős osztályban van legalább 4 tanuló, akik a hétnek ugyanazon a napján születtek! Megoldás: A skatulyaelv szerint a hét minden napjára elhelyezve 22 tanulót lesz legalább egy nap, amelyre 4 kerül. A legrosszabb eset elve szerint: ha minden napra 3 tanuló jutna, akkor 21 tanuló járna az osztályba, tehát a 22-ediknek valamelyik naphoz kell kapcsolódnia, negyedikként.

Matematika A 10. évfolyam 2. modul kártyakészlet 1. 50 2 9 50 20 2 ( 32 8 ) 81 9 2 49 100 50 2 5 4 5 3 a 900 ( 6 + 24) 2 27 3 2 3 9 100 6 8 36 64

Matematika A 10. évfolyam 2. modul kártyakészlet 1. 7 5 6 + 24 8 18 1000 64 16 3 + 12 3 6 + 24 18 + 2 72 2 3 + 6 5 3 5 3

Matematika A 10. évfolyam 2. modul kártyakészlet 2. I. csoport 32 4 2 2 5 4 5 1 2 2 2 II. csoport 72 6 2 13 2 13 26 1 2 5 5 10

Matematika A 10. évfolyam 2. modul kártyakészlet 2. III. csoport 2 3 75 5 3 3 4 3 5 3 5 3 3 IV. csoport 20 2 5 2 5 8 5 2 5 3 2 5 6 2

Matematika A 10. évfolyam 2. modul dominó 4 9 16 2 2 a 2 a 2 400 20 a 6 a ( 3) 6 3 3 49 8 3 2 6 5 4 25 10000 a 25 5 ( 8) 2 a 3 5 2 5 25 9

Matematika A 10. évfolyam 2. modul dominó 7 16 9 24 3 a 12 100 1 64 1 8 11 12 8 a 4 a 6 64 9 5 3 ( a) 2 121 144 2 3

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 1. 3 x x 5 x 5 x 3 x 3 (x+3) 2 (x+3)(x+3) x 2 +6x+9 x 3 3 x (x 3)(x+3) x 5 x 2 9 x 5 (x+5) 2 (x+5)(x+5) (x 5) 2 (x 5)(x 5) x 2 10x+25 x 2 +10x+25 x 3

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 1. x 4 x 3 5 x (x+5)(x 5) x 2 25 x 5 5 x x 5 x (x 3) 2 3 x 4 (x 4) 2 (x 4)(x 4) x 2 8x+16 (x 3)(x 3) x 2 6x+9

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 2. memóriajátékhoz (2a+1) 2 4a 2 +4a+1 (3a a) 2 4a 2 (a+3) 2 (3a 1) 2 a 2 +6a+9 9a 2 6a+1 1 2 a+ a (a+3) 3 a 2 1 + +2 a 2 a 3 +9a 2 +27a+27 (2 3a) 2 9a 2 12a+4 (a 3) 3 a 3 9a 2 +27a 27

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 2. memóriajátékhoz 24 16 384 37 43 1591 (2a+1) 3 8a 3 +12a 2 +6a+1 (a 2) 3 a 3 6a 2 +12a 8 (a+2) 3 a 3 +6a 2 +12a+8 (2 3a) 3 27a 3 +54a 2 36a+8

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 3. triminó ( x 2)(x +3)=0 x 1 =2; x 2 = 3 (2x 1)(x +4)=0 2 x 2 +7x 4=0 (6x 2)(x +5)=0 1 3 x 1 = ; x 2= 5 ( x 7)(x 1)=0 (3x +1)(x +5)=0 (2x +3)(x 5)=0 2 x 2 7x 15=0 x 1 = 1 ; x 2 = 5 3 x 2 8x +7=0 x 1 = ; x 2=3 (3x 4)(2x 6)=0 4 3 x 2 +2x +3=0 2 x 2 +5x +10=0

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 4. memóriajátékhoz x 2 +5x+6=0 (x+2)(x+3)=0 x 1 = 2; x 2 = 3 (2x+3) 2 +9= (x+3)(x+4)+2x 2 2x 2 5x 3=0 (2x+1)(x 3)=0 x 1 =3; x 2 = 1 2 (3x+4)(2x 1) 25= (4x+5)(x 5)+24 21x 2 +64x+44=0 (21x+22)(x+2)=0 x 1 = 2; x 2 = 22 21 (5x+4) 2 +64= (2x 6) 2 7x 2 +33x+38=0 (7x+19)(x+2)=0 x 1 = 2; x 2 = 19 7 (x+3) 3 1= (x+2)(x 2 6)

Matematika A 10. évfolyam 3. modul kártyakészlet 4. memóriajátékhoz 5x 2 +23x 10=0 (5x 2)(x+5)=0 x 1 = 5; x 2 = 2 5 (3x 1) 2 = (x+4) 2 +3

Matematika A 10. évfolyam 4. modul triminó 3ϖ 4 135 1 radián 57 ϖ 6 +k 2ϖ; k=4 1470 150 210 ϖ ϖ 3 +k 2 ; k= 3 5ϖ 6 +k ϖ ; k=7 6 255 2ϖ 3 570 +k ϖ ; k=4 2 5ϖ 4 225 98 1,5 radián ϖ 4

Matematika A 10. évfolyam 4. modul körrel kapcsolatos fogalmak Térkép a Mintapélda6-hoz

Matematika A 10. évfolyam 4. modul körrel kapcsolatos fogalmak Mintapélda7 Az ábrán egy sajtszelet képe látható, felülről és oldalról körberajzolva eredeti nagyságában. a) Mekkorák az egész sajt henger alakú dobozának méretei (átmérő, magasság, térfogat)? A csomagolópapír vastagsága elhanyagolható, a méreteket méréssel határozzuk meg. b) Mekkora a szelet oldalát határoló csomagolópapír területe? c) 2x3x5 doboz sajtot egy kartonba csomagolunk (5 réteg egymás tetején). Mekkorák a karton belső méretei, és a karton térfogatának hány százalékát nem tölti ki a sajt? Mintapélda8 Egy pizzériában 3-féle pizza kapható: családi (41 cm átmérőjű, 1500 peták), nagy (32 cm átmérőjű, 1100 peták) és szelet (a nagy nyolcada, 190 peták). a) Keressünk olyan mennyiséget, amelyből kiderül, hogy melyik pizzát éri meg megvenni a legjobban (mennyiségtől függetlenül)! b) Egy 33 fős rendezvényre nagytételben rendeltünk. Ekkor a pizzéria 7 %-ot engedett a családi, 11%-ot a nagy és 20%-ot a szelet árából. Hogyan vásároljunk, ha a lehető legkevesebbet akarjuk költeni, és a következőket tudjuk: egy ember a kis szeletből 5 darabot eszik meg, a nagy pizzából 3 ember fogyaszt el kettőt, a családiból pedig 5 embernek 2 pizza is elég. Mennyibe fog kerülni a pizza összesen? Mintapélda9 Mekkora az ábrán látható kék rész területe, ha a körök sugara egyaránt 5 cm?

Matematika A 10. évfolyam 4. modul húrnégyszögek, érintőnégyszögek tétele 1. A következő ábrán négy érintőnégyszöget látsz. Mérd meg az oldalait, és az eredményeket foglald táblázatba! Próbálj meg szabályt találni az oldalak hosszával kapcsolatban! 2. Mekkora az érintőnégyszög d oldala, ha a) a = 6 cm, b = 10 cm c = 8 cm ; b) a = 1,6 cm, b = 2,9 cm, c = 3,2 cm? 3. Döntsd el, hogy az alábbi kijelentések közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold is a döntésedet! a) Minden deltoid érintőnégyszög. b) Minden paralelogramma érintőnégyszög. c) Minden rombusz érintőnégyszög. 4. O az ABCD érintőnégyszögbe írható kör középpontja. Az O ponton keresztül haladó, AB oldallal párhuzamos egyenes a BC oldalt a P, az AD oldalt az R pontban metszi. Határozd meg az ABCD és a CPRD négyszögek kerületeinek arányát, ha AB=12 cm, BC=8 cm, CD=7 cm. 5. Az ACB háromszög köré írt körének A-beli érintőjével párhuzamos egyenes az AC oldalt a P, az AB oldalt az R pontban metszi. Igazold, hogy BCPR húrnégyszög! 6. Milyen négyszög az ábrán látható ABCD négyszög?

Matematika A 10. évfolyam 4. modul körök Körök a Mintapélda11-hez

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 1. és 2. kártyakészlet I. kártyakészlet II. kártyakészlet 1 a(x)= x 2 b(x)=3 c(x)= 10 d(x)=3x 3 1 e(x)= 2x+5 f(x)= x 7 g(x)= x+2 h(x)=5x 5 4 2 1 a(x)= x+4 2 7 2 b(x)= x 8 c(x)= 3x+11 d(x)= x 2 2 5 3 e(x)= x+2 f(x)=2x+3 g(x)=2 h(x)= x 7 5

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 3. kártyakészlet a(x)=15x b(x)=36x c(x)=82 6x d(x)=56 8x 1. É.T.: R+; 0<x 4 2. É.K.: R+; ]0;60] 3. zérushely: x=0 4. szig. mon. nő 1. É.T.: N; x 20 2. É.K.: N; b(x) 720 3. zérushely: x=0 4. szig. mon. nő 1. É.T.: R+; x 7 2. É.K.: ]40; 82] 3. zérushely: nincs 4. szig. mon. csökk. 1. É.T.: N; 6 x 13 2. É.K.: N; [0; 56] 3. zérushely: x=7 4. szig. mon. csökk. Jancsi 1 óra alatt 15 km-t tesz meg, és folyamatosan 4 órát kerékpározik. Kati füzeteket vásárol a boltban 36 Ft-os egységáron maximum 720 Ft értékben. Egy tányér kb. 82 C -os leves percenként 6 C -kot hűl. Amikor kb. 40 C -ossá válik, akkor ehető hőmérsékletű. Egy kisközért reggel 6-kor nyit. A tulajdonos nyitásra 56 kg kenyeret rendel. Óránként átlagosan 8 kg kenyeret vásárolnak tőle.

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 4. kártyakészlet

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 7. kártyakészlet ÉS VAGY y < y > y y

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 10. kártyakészlet f(x)= x+6 g(x)=2 x 2 h(x)= x 5 3 k(x)= 1 3 x+3 1. x tengely menti eltolás; 2. tükrözés x tengelyre 1. y tengely menti nyújtás; 2. y tengely menti eltolás 1. x tengely menti eltolás; 2. y tengely menti eltolás 1. x tengely menti eltolás; 2. y tengely menti zsugorítás É.T.: x 6 É.T.: x 0 É.T.: x 5 É.T.: x 3

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 1. ablak szigorúan monoton növekvő átmegy az origón elsőfokú függvények konstans függvény szigorúan monoton csökkenő

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 2. ablak illeszkedik az S(5; 4) pontra illeszkedik a P(3;2) pontra egyik pontra sem illeszkedik illeszkedik az R( 2; 1) pontra illeszkedik a Q( 4; 6) pontra

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 3. ablak két zérushelye van maximuma van egy zérushelye van minimuma van nincs zérushelye

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 4. ablak vagy az f vagy a g függvény grafikonján található az f függvény és a g függvény grafikonja felett található egyik függvény grafikonjára sem illeszkedik az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található az f függvény grafikonja felett de a g függvény grafikonja alatt található

Matematika A 10. évfolyam 5. modul 5. ablak az i(x)= x+2 2 függvény grafikonjára illeszkedik az f(x)= x+1 függvény grafikonjára illeszkedik egyik függvény grafikonjára sem illeszkedik az h(x)= x+2 2 függvény grafikonjára illeszkedik z g(x)=2 x 2 függvény grafikonjára illeszkedik

10. évfolyam 6. modul 1. melléklet kártyakészlet x 1 = 3 x 2 = 1 2 D = 49 (2x 1)(x+3)=0 2x 2 +5x 3=0 2 x 1 = x 2 = 1 3 D = 25 (3x+2)(x 1)=0 3x 2 x 2=0 x 1 = 5 x 2 = 4 D = 1 (x+5)(x+4)=0 x 2 +9x+20=0 x 1 = 3 x 2 = 7 D = 16 (x 7)(x 3)=0 x 2 10x+21=0

Matematika A 10. évfolyam 6. modul 1. melléklet kártyakészlet x 1 = 2 x 2 = 1 D = 36 2(x 1)(x+2)=0 x 2 +2x 4=0 x 1 = 2 x 2 = 1 D = 81 3(x+2)(x 1)=0 3x 2 +3x 6=0 x 1 = 8 x 2 = 6 D = 196 (x 6)(x+8)=0 x 2 +2x 48=0

Matematika A 10. évfolyam 6. modul 2. melléklet kártyakészlet x 4 +2x 2 3=0 x 6 1=0 x 4 +4x 2 5=0 2x 4 +x 2 3=0 x 4 2x 2 8=0 x 6 =64 x 4 +x 2 20=0 2x 4 5x 2 12=0 x 4 7x 2 18=0 x 6 729=0 x 4 4x 2 45=0 3x 4 26x 2 9=0 x 4 15x 2 16=0 x 6 4096=0 x 4 14x 2 32=0 2x 4 31x 2 16=0

Matematika A 10. évfolyam 6. modul 3. melléklet kártyakészlet x 4x+8=40 +1=2,5 10=5x 25 + =3 2 3x 5 6 5 3x 2 12 x 2 1 x+2 1 x+2 2x 4 x 2 5x 9 x 2 3x 5 x 2 =15 x+ =3+ +x= =4 1 x 1 x x+2 x 5 x x(x+2) x x 3 x +x= +3 = =5 =0 x 2 +2x=5x x 2 3x=0 x(x+2) 2 =5x(x+2) x 3 3x 2 =0

Matematika A 10. évfolyam 6. modul 3. melléklet kártyakészlet (x 2)(x 3)=0 5(x 2)=x 2 4 x 2 5x+6=0 2x=10x 12

Matematika A 10. évfolyam 7. modul triminó x +2 + 1 3x = 0 nincs megoldás 13 3 x = 4 10 x = x 10 10 x 2 16 = x 4 x + 1 = x+7 4 2 2x+5 = 4 5,5 nincs megoldás x+16 + x + 4 = 3 x + 1 + 2x 4 = 0 nincs megoldás 5 x = x 2,5