Oktatási Hivatal A 06/07. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató. feladat. M = kg tömegű, L =, m hosszú, könnyen gördülő kiskocsi közepére m = 7,5 kg tömegű, R = 0, m sugarú tömör korongot helyeztünk az ábra szerint. A korong és a kocsi közötti súrlódás együtthatója = 0,4. A korong peremére csévélt vékony fonál két álló és egy mozgó csigán van átvetve, a másik vége az ábrán látható módon könnyű kengyellel a korong tengelyéhez csatlakozik. A mozgó csigán m = 5 kg tömegű nehezék függ. A kezdetben nyugvó rendszert magára hagyjuk. (A csigák tömege elhanyagolható.) a) Mennyi idő múlva ér a kocsi végére a korong? b) Oldjuk meg a feladatot úgy is, ha a korongot ugyanakkora tömegű és sugarú vékonyfalú csőre cseréljük ( = mr )! Megoldás. Először rögzítsük a kiskocsit, hogy meghatározzuk a súrlódási erő irányát általános esetben tetszőleges hengerszimmetrikus testre! (Tekintsük az ábrát!) OKTV 06/07. forduló
Ekkor a mozgásegyenletek: a nehezékre: m g K ma, () a hengerszimmetrikus test haladására: K S ma () a hengerszimmetrikus test forgására: (K + S)R = β () feltételezve, hogy nem csúszik meg a korong ( tisztán gördül ): a R (4) a kényszerfeltétel (fonál nyújthatatlansága): (4)-et ()-ba beírva: () és (6) összege: Innen Ezt beírva ()-be: a a. (5) K + S = R a (6) K = (m + R ) a. K = (m + R ) a. S = K ma = (m + R ) a ma (7) a) Tömör korong esetében = mr, amit a (7) egyenletbe behelyettesítve meggyőződhetünk arról, hogy S = 0! Ez azt jelenti, hogy a kocsi és a korong között nem hat súrlódási erő, a korong mindenkori legalsó pontja akkor sem csúszik meg, ha nincs súrlódás ( = 0 is lehet). Így, ha a kocsit elengedjük, az ennek ellenére is nyugalomban marad! Új, egyszerűsülő egyenleteink ekkor: m g K m a ( ) = () K ma ( ) KR mr ( ) a R (4 ) = (4) a a (5 ) = (5) () és (4)-ből mg K ma, ( ) beírásával: mg ma ma m m rendezve: mg ma ma a, ahonnan a korong közepének a gyorsulására: m a g.= g m m =, m s. A korongnak a kocsi végére gördülésének ideje meghatározható: OKTV 06/07. forduló
t s L, ahol, tehát a s a t t s L m m L m m, m 7,5 5 kg m m g mg 5 kg 0 s 0,6 s. b) Vékonyfalú cső esetében = mr, amit a (7) egyenletbe behelyettesítve megállapíthatjuk, hogy S = ma > 0, ami azt jelenti, hogy ebben az esetben a csőre ható súrlódási erő forgatónyomatéka növeli a cső szöggyorsulását, illetve ennek ellenereje, a kocsira ható súrlódási erő a kiskocsit jobbra gyorsítja. Ezek után oldjuk fel a kiskocsi rögzítését, és írjuk fel dinamikai egyenleteket és a kényszerfeltételeket feltételezve, hogy a cső nem csúszik meg a kiskocsin: m g K m a ( ) K S ma ( ) (K + S)R = mr β ( ) S = Ma, (4 ) ahol a a kiskocsi gyorsulása. A kényszerfeltételek: a = a Rβ (5 ) a = a + Rβ. (6 ) Hat egyenletünk van hat ismeretlennel. Az (5 ) és (6 ) összefüggésekben szereplő gyorsulásokat írjuk be rendre az ( ) és (4 ) egyenletekbe, ahonnan kifejezhetjük a K és S erőket: K = m g m a = m Rβ g m a m S = Ma MRβ. Ha ezeket beírjuk ( )-be és ( )-be, akkor már csak két ismeretlenünk marad (a és β). A tömegközéppont a gyorsulását úgy kapjuk meg, ha mondjuk Rβ-t kifejezzük az egyik egyenletből, majd beírjuk a másikba: (4m m + 6Mm )g a = 4m = 0g + 9m M + 8mM + 5m m 6,5 =,7 m s. A kiskocsi gyorsulása: m 7,5 m m a a,7,. M m 7,5 s s A kiskocsi gyorsulásának iránya megegyezik a vékonyfalú cső mozgásirányával, ezért a a cső relatív gyorsulása: m m m arel a a,7,,7. s s s A cső kocsi végére gördülésének ideje a koronghoz hasonló módon határozható meg: OKTV 06/07. forduló
s L rel, ahol, tehát arel s a t t s L, m t 0,74 s. a m rel,7 s Ellenőrzés (hogy a cső nem csúszik meg): Visszahelyettesítve ki tudjuk számítani a cső kerületi gyorsulását: M m m R a arel,7, M m s majd a cső tömegközépponti és kerületi gyorsulásából megkaphatjuk a súrlódási erőt: S = Ma = =,4 N, ami megnyugtató módon kisebb a tapadási súrlódási erő maximumánál: S max = μmg = 0 N, tehát a cső nem csúszik meg a kiskocsin.. feladat. Egy lezárt üvegedényben, melynek térfogata liter, a hőmérséklet hosszabb ideje 90 C. Ekkor 50 ml folyadék állapotú víz van benne. Az üvegedényre csatlakoztatott légnyomásmérő 60 kpa-t mutat. a) Mekkora tömegű víz van ekkor folyadékállapotban az üvegben? b) Az üvegben a hőmérsékletet lassan 5 C-ra növeljük. Most mekkora tömegű víz van folyadékállapotban az edényben? c) Mennyit mutat ekkor a nyomásmérő? d) Ezután az edény nyakán lévő szelepet megnyitjuk. Adjunk becslést arra, hogy mennyi víz fog elforrni az üvegből! A külső nyomás 0, kpa, a víz fajhője 00 C-on 40 J/(kg C), 5 C-on 460 J/(kg C), a további szükséges adatokat a Függvénytáblázatban találhatjuk meg. Az üveg hőkapacitásától és hőtágulásától eltekinthetünk. A számolás során alkalmazzunk ésszerű kerekítéseket! Megoldás. A Függvénytáblázat adatait fogjuk felhasználni: A 90 C-os víz sűrűsége f = 965 kg/m. A 90 C vízgőz sűrűsége g= 0,44 kg/m, és nyomása 70, kpa. A 5 C vízgőz sűrűsége g = 99 kg/m, és nyomása kpa. A víz párolgási hője 00 C-on 56 kj/kg, 5 C-on 87 kj/kg. a) A 90 C-os víz sűrűsége 965 kg/m. Az 50 ml 90 C-os víz tömege: m f = ρ f V = (965 kg m ) (5 0 5 m ) 48, g. b) Amikor a palack 90 C-os, a benne lévő telített vízgőz tömege: m g = ρ g V g = (0,44 kg m ) (9,5 0 4 m ) 0, 4 g. OKTV 06/07 4. forduló
A 5 C-os víz sűrűsége 99 kg/m, a telített vízgőzé, kg/m. Az edény V0 térfogata nem változott, azt egyrészt víz, másrészt vízgőz (+ levegő) tölti ki. A víz + vízgőz össztömege sem változhatott meg, ezt kihasználva így írhatjuk fel az edény térfogatát: m f m f mg m f V0. Az egyenlet megoldása: V 0 m f + m g ρ g m f = ( ρ 47, 5 g. f ρ ) g Tehát 5 C-on 47,5 g víz és, g gőz van az edényben (az össztömeg 48,7 g). f c) A nyomásmérő a telített vízgőz nyomásának és az edényben lévő levegő nyomásának összegét mutatja (hiszen a részleges, idegen szóval parciális nyomások összeadódnak). A 5 C-os telített vízgőz nyomása kpa. A levegő térfogata: V = V 0 m f ρ f 9,49 0 4 m. Alkalmazzuk az egyesített gáztörvényt a gőztérben lévő levegőre: g p V T Használjuk fel, hogy a levegő kezdeti térfogata p V T. V = 9,5. 0-4 m, nyomása p = 60 kpa 70, kpa = 89,9 kpa. p = V T p V T 99 kpa. A nyomásmérő által mutatott érték: kpa + 99 kpa = kpa. d) A szelepen át távozó gőz és levegő miatt a palackban hamar lecsökken a nyomás a 0, kpa külső nyomás értékre. Ilyen külső nyomás mellett viszont a 5 C-os víz túlhevítettnek tekinthető, így heves forrás jön létre. Felső becslést kaphatunk az elforrt víz mennyiségére, ha a 5 C-hoz tartozó fajhővel és párolgási hővel számolunk, valamint úgy tekintjük, hogy a forráshoz szükséges hő a teljes vízmennyiséget hűti: c 5 m f T = L 5 m felső A behelyettesítés után m felső, g. Alsó becslést úgy kaphatunk az elforrt víz mennyiségére, ha a 00 C-hoz tartozó párolgási hővel és fajhővel számolunk, továbbá úgy tekintjük, hogy a forráshoz szükséges hő csak a megmaradó vízmennyiséget hűti: c 00 (m f m alsó ) T = L 00 m alsó Ebben az esetben m alsó, g. Láthatjuk, hogy az alsó és a felső korlátos becslések igen közel vannak egymáshoz. Megállapíthatjuk, hogy valamivel több mint gramm víz forr el, ami a teljes vízmennyiség közel 5%-a. Megjegyzés: A d) kérdés esetében bármilyen helyes becslésre a maximális pontszám megadható. OKTV 06/07 5. forduló
. feladat. Egy vékony optikai gyűjtőlencse mindkét oldala azonos R görbületi sugarú, a lencse anyagának törésmutatója n. Ha a lencsétől méterre helyezünk el egy tárgyat, akkor a keletkező valódi kép mérete a tárgy negyedrésze lesz. Ha ugyanezzel a lencsével a leképezést nem levegőben, hanem vízben végezzük el, akkor az méterre lévő tárgyról a lencse négyszeres nagyítású valódi képet állít elő. (A víz abszolút törésmutatója 4/ értékűnek, a levegőé -nek tekinthető.) a) Mekkora a lencse anyagának n törésmutatója és mekkora az R görbületi sugár? Ezután párhuzamos fénynyalábokkal olyan vizsgálatokat végzünk, hogy a lencse egyik oldalán víz, a másik oldalán pedig levegő van. b) Mekkora a lencse levegőbeli és vízbeli fókusztávolsága, ha az optikai tengellyel párhuzamos fénynyaláb rendre vízből, illetve levegőből érkezik? Végezetül megvizsgáljuk a lencse képalkotását úgy is, hogy a lencse egyik oldalán víz, a másik oldalán pedig levegő van, miközben megtartjuk az méteres tárgytávolságot. c) Szerkesszük meg a képet először úgy, amikor a (tetszőleges magasságú) tárgy vízben van, majd úgy is, amikor a tárgy levegőben van, és a kép vízben keletkezik! d) Mekkora a kép tárgyhoz viszonyított mérete levegőben és vízben, ha a tárgy rendre vízben, illetve levegőben van? Útmutatás:. Lencsék levegőbeli leképezési törvényét a következő összefüggés segítségével általánosíthatjuk: n t + n k = n n + n n, R R ahol t a tárgytávolság az n törésmutatójú közegben, k a képtávolság az n törésmutatójú közegben, illetve n a lencse anyagának törésmutatója, továbbá R és R a lencse két oldalának görbületi sugara. Az összefüggésben szereplő R és R görbületi sugarak előjeles mennyiségek, melyek domború lencsék esetében pozitívak, ha a lencse anyagának abszolút törésmutatója nagyobb, mint a vele érintkező közegeké.. A feladatbeli leképezéseket létrehozó fénysugarak a szokásos tárgyalásnak megfelelően az optikai tengely irányától csak kismértékben eltérő, úgynevezett paraxiális sugarak. Megoldás: a) Ha a leképezés levegőben történik, akkor a leképezési törvény szerint: t + t/4 = 0 cm = (n ) R. Ha ugyanez vízben történik, akkor az üveg abszolút törésmutatója helyett az n/nvíz relatív törésmutatót kell használni: t + 4t = 80 cm = ( n ) n víz R = (n 4 ) R. A két fenti egyenletből: n = n üveg = / és R = 0 cm. Megjegyzés: Ugyanezeket az egyenleteket kapjuk akkor is, ha a feladat Útmutatásában megadott egyenletbe a lencse n, a víz nvíz és a levegő nlevegő = értékű abszolút törésmutatóját helyettesítjük be. b) A feladat Útmutatásában megadott általános képletből úgy tudjuk kiolvasni a fókusztávolságot, hogy a tárgyat a végtelenbe helyezzük (t = ), mert ekkor kapunk róla párhuzamos fénynyalábot, és ilyenkor a kép a fókuszban jelenik meg (k = f). Ennek alapján a vízből levegőbe érkező párhuzamos fénynyalábra a következő összefüggést írhatjuk fel: OKTV 06/07 6. forduló
n víz + f víz levegő = = n n víz + n f víz levegő R R = 4 0 cm + 0 cm = 0 cm, amiből f víz levegő = 0 cm. Ha a levegőből vízbe érkező párhuzamos fénynyalábra írjuk fel az Útmutatásban megadott összefüggést, akkor ezt kapjuk: + n víz f levegő víz = amiből f levegő víz = 40 cm. n víz = n f levegő víz R + n n víz = R 0 cm + 4 0 cm = 0 cm, Megjegyzés: Vegyük észre, hogy bár a fenti két egyenletsor jobb oldala megegyezik, a kétoldali fókusztávolságok különbözőek. c) A szerkesztések a következő pontban láthatóak. d) Először alkalmazzuk a megadott általános leképezési törvényt abban az esetben, amikor a tárgy a vízben van, és a kép a levegőben jön létre: n víz t + 4 k = 00 cm + k = n n víz + n R R = 0 cm, amiből k = 50 cm adódik. A képalkotást szerkesztéssel is meg kell határozni. Figyelembe kell vennünk, hogy a fókusztávolság a levegőben 0 cm, míg vízben 40 cm: Vegyük észre, hogy α < β, vagyis a vékony lencse optikai középpontján áthaladó fénysugár megtörik, hiszen az üveg két oldalán két különböző közeg található. Alkalmazzuk a Snellius Descartes-törvényt: amiből kiszámíthatjuk a nagyítást: n víz = N = K T = n víz sin β tan β sin α tan α = K k T t k t = 4 50 00 =. Ugyanilyen módon kaphatjuk meg a nagyítást akkor, ha a tárgy levegőben van, a kép pedig vízben keletkezik. Először írjuk fel az algebrai egyenletet (a leképezési törvényt): t + n 4 víz k = 00 cm + k = n R + n n víz = R 0 cm,, OKTV 06/07 7. forduló
aminek a megoldása: k = 400 cm 57,4 cm. Az előző esethez hasonlóan végezhetjük el a kép 7 megszerkesztését: A lencse optikai középpontján most is megtörik a fénysugár, azonban ebben az esetben α > β, tehát a Snellius Descartes-törvényt így írhatjuk fel: T sin α tan α n víz = sin β tan β = t, K k amiből a nagyítás: N = K T = k n víz t = 400 4 7 00 = 7. Megjegyzések:. A feladat a) részének megoldásából azonnal látszik, hogy f levegő levegő = 0 cm, illetve f víz víz = 80 cm.. A feladatban szereplő összes esetben a 0 cm-es görbületi sugár előjele pozitív.. A feladat megoldásában a szokatlan az, hogy a nagyítás kiszámításakor nem alkalmazhatjuk a jól ismert N = k/t összefüggést. OKTV 06/07 8. forduló
. feladat. Értékelési útmutató a) A mozgásegyenletek helyes felírása 4 pont A súrlódási együttható zérus voltának igazolása A korong tömegközéppontja gyorsulásának meghatározása pont Az idő helyes meghatározása b) A mozgásegyenletek helyes felírása 4 pont A kényszerfeltételek helyes felírása 4 pont A cső tömegközéppontja és a kocsi gyorsulásának meghatározása pont Az idő helyes meghatározása pont összesen : 0 pont. feladat. a)a 90 C-os víz tömegének helyes kiszámolása b)a 90 C-os levegőben lévő telített vízgőz tömegének helyes kiszámolása Annak megfogalmazása, hogy a folyadék, illetve gőz állapotú víz össztömege nem változik. A fenti gondolatnak megfelelő egyenlet felírása Az egyenlet helyes megoldása c)a levegő térfogatának helyes megállapítása 5 C-on A levegő térfogatának helyes megállapítása 90 C-on A levegő nyomásának helyes megállapítása 90 C-on Az egyesített gáztörvény felírása a két állapotra A fenti egyenlet rendezésével a levegő nyomásának helyes megállapítása 5 C-on pont pont pont pont d) Plauzibilis becslésre vonatkozó egyenlet helyes felírása 4 pont Az egyenlet helyes megoldása pont összesen : 0 pont. feladat. a) A leképezési törvény felírása az üveg törésmutatójával és a görbületi sugárral levegő-levegőre A leképezési törvény felírása az üveg és a víz törésmutatójával és a görbületi sugárral víz-vízre A kérdéses törésmutató és görbületi sugár számszerű meghatározása pont b) A víz-lencse-levegő rendszer fókusztávolsága pont A levegő-lencse-víz rendszer fókusztávolsága pont c) A szerkesztések helyes elvégzése (- pont) 4 pont d) A vízben lévő tárgy képének relatív mérete levegőben 4 pont A levegőben lévő tárgy képének relatív mérete vízben 4 pont (Ha a versenyző az N = k/t összefüggést alkalmazza, illetve nem veszi észre, hogy a lencse optikai középpontján áthaladó fénysugár megtörik, akkor a c) és d) kérdésre adott válaszára nem kaphat pontot.) összesen: 0 pont A megoldásban vázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. OKTV 06/07 9. forduló