3. gyakorlat 3.. Feladat: (HN 27A-2) Becsüljük meg azt a legnagyo potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömöt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő dielektromos átütési szilárdságát. Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgöm felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjáan lenne: E(R) K Q R 2 (3..) Φ(R) K Q R E(R) R (3..2) A száraz levegő dielektromos átütési szilárdsága E 0 3 0 6 V m. Innen Φ(R) E 0 R 3 0 6 0, 05, 5 0 5 V. 3.2. Feladat: (HN 27B-20) Egy 0, µf kapacitású síkkondenzátor lemezei 0,75 m 2 területűek, a szigetelő réteg dielektromos állandója 2,5. A kondenzátort 600 V-os feszültségre töltjük fel. (a) Számítsuk ki a lemezek töltését. () Számítsuk ki a szigetelő réteg felületén indukált töltéssűrűséget. (c) Számítsuk ki a szigetelő rétegen az elektromos térerősséget. Megoldás: Adatok: C 0, µf; A 0,75 m 2 ; ε r 2,5; U 600 V. (a) A kondenzátor töltése Q CU 6 0 5 C. (3.2.) () A szaad töltések sűrűsége: a töltéssűrűség által létrehozott elektromos térerősség Q A 8 0 5 C m 2, (3.2.2) E ε 0. (3.2.3) Jelölje az indukált töltéssűrűséget. Az ezáltal keletkezett az őt létrehozó térrel ellentétes elektromos tér E ε 0. (3.2.4) E kettő összege adja a dielektrikumeli teret, amellyel a E + E ε 0 + ε 0 6 ε 0 ε r E r (3.2.5)
egyenlet írható fel. Eől az indukált töltéssűrűség εr C 4, 8 0 5 2. εr m (3.2.6) V 3, 64 06. ε0 εr m (3.2.7) (c) A lemezek közötti térerősség Er 3.3. Feladat: (HN 27-3p) A hengerkondenzátor két koaxiális vezető hengeről áll (ld. ára). A első hengeres vezető külső sugara a, a külső vezető első sugara. Tételezzük fel, hogy a vezetők L hossza nagyon nagy a sugarakhoz képest, igy a végeken történő szórt tér hatása elhanyagolható. Legyen a első hengeres vezetőn + töltéssűrűség. A Gauss-törvény segítségével határozzuk meg a. ára. A 27-3p feladathoz (a) a kondenzátoron elüli elektromos térerősséget, ha vákuum tölti ki a teret, illetve ha ϵr dielektromos állandójú szigetelő, () a kondenzátor fegyverzetei közötti elektromos feszültséget, (c) a kondenzátor kapacitását. Megoldás: (a) Tekintsünk az a és sugarak közötti r sugarú koncentrikus kört és ezen számoljuk ki a térerősséget. A Gauss-törvény alakja vákuum esetén EdA da, (3.3.) ε0 A A 7
amely a mostani feladatan az alakan írható. A jooldalon lévő E(r) 2rπL ε 0 2aπL (3.3.2) Q 2aπL (3.3.3) a hengerkondenzátoron lévő elektromos töltés. Behelyettesítés után elektromos térerősség E(r) a ε 0 r. (3.3.4) Az ϵ r dielektromos állandójú szigetelő ϵ r arányan csökkenti az eredő elektromos teret (elektromos feszültséget). Een az eseten a szigetelőeli térerősség E(r) ε 0 ε r a r. (3.3.5) () Az a és hengeres vezetők közötti elektromos potenciálkülönség rögtön a szigetelővel kitöltött tartományra a U U a U (c) A hengerkondenzátor kapacitását a a E(r)dr ε 0 ε r a r dr ε 0 ε r a ln a. (3.3.6) Q CU (3.3.7) összefüggés segítségével számolhatjuak ki. Behelyettesítés után a C 2πε 0ε r L ln a (3.3.8) kapacitás adódik. 3.4. Feladat: (HN 27B-2) Tekintsünk egy hengeres kondenzátort, melyen a első és külső hengerek között két réteg szigetelő anyag van (lásd 2 ára). Elhanyagolva a szélek hatását, határozzuk meg, hogy C kapacitása miként függ az árán megadott paraméterektől. Megoldás: A megoldás során használjuk fel az előző feladatan kapott eredményeket. (Az 2 ára adatait jelöljük át: κ ε ill. κ 2 ε 2.) Az elektromos tér eredője az egyes tartományokan E (r) a (a < r < ), (3.4.) ε 0 ε r 8
2. ára. illetve a ( < r < c). ε0 ε2 r A potenciálkülönség a fegyverzetek között (3.4.2) E2 (r) a U Ua Uc (Ua U ) + (U Uc ) E (r)dr a a dr ε0 ε r E2 (r)dr c a c dr a ln + a ln. ε0 ε2 r ε0 ε a ε0 ε2 (3.4.3) c A hengerkondenzátoron lévő elektromos töltés Q 2aπL. (3.4.4) A kifejezéseket összevetve kondenzátor kapacitására C 2πε0 L ε ε2. + ε2 ln a ε ln c (3.4.5) 3.5. Feladat: (HN 27C-36) Egy κ dielektromos állandójú szigetelő réteg egy sikkondenzátor lemezei közötti teret a 3 árán vázolt módon csak félig tölt ki. Adjuk meg, hogy a teljes energia hányadrésze tárolódik a szigetelő rétegen. Megoldás: Két megoldást is adunk: ) Ez az elrendezés két párhuzamosan kapcsolt kondenzátornak felel meg. Ezek kapacitásai: A A C2 κεo, C εo, 2d 2d ahol A a kondenzátor lemezeinek felülete és d a lemezek távolsága. Így C 2 κ C 9
3. ára. 27C-36 feladathoz A kondenzátorok párhuzamosan vannak kapcsolva ezért a rajtuk levő feszültség ugyanakkora, a ennük tárolt energia pedig E 2 C U 2, ill. 2 C 2 U 2 Az összenergia e két energia összege, ezért a szigetelőt tartalmazó kondenzátor energiájának (a szigetelően tárolt energiának) γ aránya az összenergiához képest: γ C 2 2 U 2 C 2 U 2 + C 2 2 U 2 C 2 C + C 2 κ + κ (3.5.) 2) Az elektrosztatikus téren tárolt energia sűrűségét az w 2 κε 0 E 2 képlet adja meg. Az ára szerinti elrendezésen az elektródák ekvipotenciális felületek, a töltéssűrűség konstans. A térerősség merőleges a kondenzátor lemezeire és párhuzamos a etolt szigetelő hasá oldalával, ezért az anyagan és a vákuuman ugyanakkora. Tehát az egyes tartományokan az energiasűrűség: w v 2 ε 0 E 2 w a 2 κε 0 E 2 κ w v Mivel a kondenzátor lemezek közötti tér fele van anyaggal kitöltve a tárolt energiák aránya megegyezik az energiasűrűségek arányával, tehát γ w a w a + w v κ + κ. (3.5.2) 20
4. ára. 28C-4 feladathoz 3.6. Feladat: (HN 28C-4) A 4 árán két, azonos anyagól gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták e. Tételezzük fel, hogy az ellenállások elsejéen az áramsűrűség ármely, a tengelyre merőleges síkmetszet mentén állandó nagyságú. Mutassuk meg, ogy a két ellenállás azonos nagyságú, ha a henger r sugara egyenlő a csonkakúp r, és r 2 sugarának mértani közepével, azaz r r r 2. Útmutatás: a R ellenállás nagyságának kiszámításakor számítsuk ki a tengelyszimmetrikus, dx vastagságú, r(x) r + (r 2 r ) x/l sugarú vékony körlemezek átellenes lapjai közötti dr ellenállást. A teljes ellenállást ezen elemi ellenállások segítségével, integrálassal kaphatjuk meg.) Megoldás: Osszuk fel a csonkakúp alakú ellenállást párhuzamos dx vastagságú rétegekre! Egy ilyen, az r sugarú, a fedőlaptól x távolságra levő korong sugara, felülete, illetve ellenállása r(x) r + (r 2 r ) x L A(x) r 2 (x) π dr(x) dx ρ A(x) ρ dx r 2 (x)π (3.6.) A teljes ellenállás ezért L dx R ρ (3.6.2) 0 r 2 (x) A legegyszerűen akkor járunk el, ha az x szerinti integrálásról áttérünk az r(x) szerinti integrálásra. (3.6.) alapján ( dr d r + (r 2 r ) x L ezért ) r 2 r L R ρ L r2 π (r 2 r ) r [ ρ L π (r 2 r ) r ρ L π (r 2 r ) ρ L π (r 2 r ) dr r 2 ] r2 dx dx L r 2 r dr r ( ) r r 2 ( ) r 2 r r r 2 ρ L π r 2 r (3.6.3) 2
Ez viszont valóan megegyezik egy olyan egyenes henger alakú rúd ellenállásával, amelynek sugara r r r 2. 3.7. Feladat: (HN 29C-62) Tekintsük a 3 áramkört. Kezdeten a kondenzátoron nincs töltés; a t 0 időponthan az S kapcsolót zárjuk. (a) Készítsünk tálázatot, amely az egyes áramköri elemeken folyó áramerősségek (i 2, i 5 és i c ) és a rajtuk létrejövô feszültségesések (u 2, u 5, és u c ) kezdeti (közvetlenül t 0 utáni) értékét foglalja össze. () Készítsünk egy másik tálázatot is, a fenti mennyiségek stacionárius értékeivel. Megoldás: (a) Mielőtt a kapcsolót zárnánk a kondenzátoron nem volt feszültség. A kapcsoló zárásakor a kondenzátor feszültsége nem változhat meg ugrásszerűen, ezért továra is 0 marad, vagyis olyan a helyzet, mintha a kondenzátor helyett egy rövidzár lenne. Ezért a kapcsolás een a pillanatan ekvivalens a 5 a) áráján láthatóval. Ennek az áram- 5. ára. Helyettesítő kapcsolások a 5 feladathoz 22
körnek az ellenállása R(t 0) R + R 2 R 3 R 2 + R 3 4, 5 kω Az R ellenálláson átfolyik a teljes áram, ezért i 2 U i R R(t 0) 9 V 4.5 kω 6, 207 0 4 A (3.7.) u 2 u R R i R 7.448 V (3.7.2) u 5 u R2 u R3 U u R.552 V (3.7.3) i 5 i R2 u R 2 R 2.035 0 4 A (3.7.4) u c 0 V (3.7.5) i c i R3 u R 3 R 3 u R 2 R 3 5.72 0 4 A (3.7.6) () Stacionárius állapotan a kondenzátort tartalmazó ágan nem folyik áram és a kondenzátor teljesen fel van töltve, ezért a kondenzátor feszültsége megegyezik az R 2 ellenálláson eső feszültséggel (tehát az R 3 ellenállás sarkai között nincs potenciálkülönség.) Ld. 5 ) ára. A kören folyó áram viszont lecsökken, mert az eredő ellenállás most R stac R + R 2 27 kω és csak ezen a két ellenálláson folyik át áram. i 2 i R U R(stac) R +R 2 3, 333 0 4 A (3.7.7) u 2 u R R i R 4 V (3.7.8) u 5 u R2 U u R 5 V (3.7.9) i 5 i R2 i R 3, 333 0 4 A (3.7.0) Házi feladat (gyakorlásra): 27/ 3, 7, 8, 9, 2, 24, 27, 33, 37, 4 28/ 3, 4, 6, 45, 46 29/ 34, 36, 37, 42, 63 u c u 5 6 V (3.7.) i c 0 A (3.7.2) 23