1 Kiegészítés a merőleges axonometriához Időnként találunk egy szép és könnyebben érthető levezetést, magyarázó ábrát, amit érdemesnek gondolunk a megosztásra. Most is ez történt, az [ 1 ] és [ 3 ] művek kapcsán. Bevezetésképpen tekintsük az 1. ábrát [ 1 ]! 1. ábra Itt egy P térbeli pont merőleges axonometrikus képének keletkezését szemlélhetjük. Az 1. ábra bal oldali részén a térbeli Oxyz koordináta - rendszer xy síkja, valamint a képsík élből látszanak; utóbbi itt egy függőleges egyenesként jelenik meg. A jobb oldali ábrarészen az Oz fél tengely képsíkra vett vetülete függőleges, rá merő - leges a nyomháromszög vízszintes oldala. Az axonometrikus tengelykereszt másik két tengelyének állása felvehető, pl. a vízszintes nyomháromszög - oldal egyeneséhez képest. A tetszőleges térbeli P pont axonometrikus képsíkra vett vetülete, illetve ennek az axonometrikus tengelykereszt koordináta - rendszerében értelmezett koordinátá - inak megkeresése a feladat, leginkább. Ennek részletes tárgyalása megtalálható korábbi dolgozatainkban is, így itt nem ezzel foglalkozunk. Itt az ún. rövidülési háromszöggel ismerkedünk meg. Az 1. ábrát azért tettük ide, mert segíthet a későbbiek értelmezésében. Előtte azonban átismételjük a középiskolai geometriai tananyagnak egy az ellipszisre vonatkozó fontos részét, a [ 2 ] munka alapján. Először tekintsük a 2. ábrát! Ez annak igazolásához készült, hogy a kör vetülete ellipszis. Itt rajzoltak egy a sugarú kört, majd azt rávetítették egy a kör síkjával szöget bezáró síkra. A két sík metszésvonalán vették fel az x, x 0 tengelyeket, erre merőlegesen az O pontból indítva az y és y 0 tengelyeket.
2 2. ábra [ 2 ] A kör tetszőleges P( x, y ) pontjának merőleges vetülete a P 0 ( x 0, y 0 ) pont, ahol ( a ) A P pont rajta van az ( b ) egyenletű körön, így ( a ) és ( b ) - vel: osztással: ( c ) bevezetve a ( d ) jelölést, ( c ) és ( d ) szerint kapjuk, hogy ( e )
3 Ez egy olyan ellipszis egyenlete, melynek fél nagytengelye a - val ( a kör sugarával ) egyenlő, fél kistengelye pedig ( d ) szerinti. Ezek szerint a kör vetületi pontjai valóban egy ellipszisen helyezkednek el. Most hajtsuk egybe a kör és a vetületeként kapott ellipszis síkját 3. ábra! 3. ábra [ 2 ] Figyeljük meg a kör és az ellipszis kölcsönös helyzetét! Azt látjuk, hogy az ellipszis pontjai úgy jönnek létre, hogy a kör AB átmérőjére merőleges félhúrjait arányban zsugorítjuk, vagyis a körre ún. merőleges affin zsugorítást alkalmazunk; ez azt jelenti, hogy minden körpontnak az AB átmérőtől mért távolságát - ad részére csök - kentjük. Ezután térjünk vissza merőleges axonometriai témánkhoz! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra
4 Itt az axonometrikus képsíkon felvett axonometrikus tengelykeresztet látjuk, ~ a felvett α és β szögekkel, valamint ~ a térbeli Ox, Oy és Oz tengelyeken felvett e = 1 hosszúságú szakasz u, v, w merőleges vetületi hosszaival; ezekre fennáll, hogy ( 1 ) ahol a tengely menti rövidülési együtthatók. Ezután tekintsük az 5. ábrát! 5. ábra [ 1 ] Itt azt látjuk, hogy felvettük a képsík és az Oxy sík szögét, majd az Oz tengely körüli elforgatás szögét is. Az 5. ábra alapján rögtön írhatjuk, hogy ( 2 ) vagyis a merőleges affinitás λ tényezőjére írhatjuk, hogy ( 3 ) Az 5. ábra bal oldali része és Pitagorász tétele alapján írhatjuk, hogy: ( 4 ) majd ( 3 ) és ( 4 ) szerint: ( 5 )
5 Most határozzuk meg az u, v és w szakaszok hossza négyzetének arányát! Az 5. ábra jobb oldali része alapján írhatjuk [ 1 ], hogy: ( 6 ) ( 7 ) majd ( 5 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) Hasonlóképpen: ( 9 ) ( 10 ) Ezután képezzük, ( 6 ), ( 7 ), ( 9 ), ( 10 ) - zel is: innen: Innen egyfelől ( 1 ) - gyel is : ( 11 ) ( 12 ) máshonnan is ismert összefüggés adódik, másfelől ( 11 ) - ből: ( 13 ) Ezen előkészítő kitérő után folytatva: tehát: ( 14 ) Továbbá: ( 15 ) Hasonlóan:
6 ( 16 ) ( 15 ) és ( 16 ) összehasonlításából: ( 17 ) Most vessünk egy pillantást a 4. ábra alsó segédháromszögére! Erre írhatjuk, hogy és ( f ) ( g ) Az ( f ) és ( g ), valamint a ( 17 ) és ( 14 ) képletek analógiája miatt írhatjuk, hogy ( 18 ) Most tekintsük a 6. ábrát, ahol sraffozott háromszög megfelel a ( 14 ) és ( 17 ) össze - függéseknek! 6. ábra [ 3 ] Itt a sraffozott háromszög: a rövidülési háromszög. Látjuk, hogy ez a háromszög közvetlen összefüggéseket tartalmaz a rövidülések négyzeteivel arányos skálaegységek négyzetei és a tengelykereszt tengelyeinek helyzetére jellemző szögek között. A 6. ábráról két alapfeladat megoldása is leolvasható [ 3 ]. 1. Feladat: Adottak a ) tengely menti rövidülési együtthatók, ezzel együtt ( 1 ) szerint az ( u, v, w ) axonometrikus tengelyek skálaegységei is. Meghatározandó a hozzá tartozó axonometrikus tengelykereszt.
7 Megoldás: Egy h vízszintesre felhordjuk u 2, w 2 és v 2 értékét, ebben a sorrendben, majd w 2 szakaszá - nak végpontjaiból körzőzünk u 2 és v 2 sugárral. Metszéspontjuk kiadja az axonometrikus tengelykereszt kezdőpontját, amit - sal és - sal összekötve adódik és, míg - t az - on áthaladó, h - ra merőleges egyenes adja. 2. Feladat: Adott az axonometrikus tengelykereszt, keresettek a rövidülések. Megoldás: Felvesszük a h egyenest, a 6. ábra szerint, amely a két tengelyt az A és B pontokban metszi. Megszerkesztjük az és szakaszok felező merőlegeseit, melyek a h egye - nest három részre osztják, illetve amelyekkel a sraffozott háromszög is megszerkeszthető. A háromszög oldalai a rövidülések négyzetével arányos hosszúságúak, így négyzetgyö - kük a rövidülésekkel arányosak. Megjegyzések: M1. Korábbi dolgozatainkban mindkét alapfeladat számításos megoldását megadtuk. Ezek az alábbiak. 1. Feladat: illetve: 2. Feladat: ( G I. ) ( G II. ) M2. Kicsit zavar minket az ( u, v, w ) axonometrikus egységekkel való munka. Ezzel kapcsolatban idézünk [ 4 ] - ből, ahol e x, e y, e z jelöléseket használnak. Ha a tengelyek irányába eső sok távolság képhosszát kell megszerkeszteni, akkor célszerű lehet elkészíteni a tengelyek megrövidülési léptékeit (skáláit); ezeket úgy nyerjük,
8 hogy egy - egy egyenesre többször egymás után felmérjük az e mértékegység e x, e y, illetőleg e z képhosszát. ld. 7. ábra. 7. ábra [ 4 ] Most gondoljuk meg: egy P( x, y z ) térbeli pont ábrázolásához tartozó axonometrikus koordináták: ( * ) Itt M a rajzi méretarány. A koordinátákra, mint hosszmértékegységgel bíró mennyiségek - re: ( ** ) ahol pl. az x koordináta mérőszámát jelenti. A koordináta a mérőszám és a mérték - egység szorzata, és minden koordinátának ugyanaz a mértékegysége pl.: mm. Majd ( * ), ( ** ) és ( 1 ) szerint írhatjuk, hogy Ezek szerint a skálaegységek valójában: Tehát minden rajzhoz a rajzi mértékegység(ek), az alkalmazott méretarány(ok) és a választott axonometriai rövidülési alaphelyzet(ek) / tengelykereszt(ek) figyelembe vételével külön el kellene készíteni a tényleges skálákat. ( A többes számok arra utalnak, hogy egy rajzon belül is változhatnak a mondott mennyiségek. ) A számítógépesítés ezt ma már szükségtelenné teszi.
9 M3. Az 5. ábráról közvetlenül leolvashatóan: ( 19 ) majd ezzel és ( 5 ) - tel a merőleges affinitás tényezőjére: ( 20 ) M4. Most vezessük le, illetve igazoljuk az M1. - ben közölt képleteket! A kiindulás: Innen, ( 1 / 1 ) - gyel is: ( 6 ) ( 7 ) ( 21 ) ( 22 ) Most ( 21 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Hasonlóan folytatva: Innen, ( 1 / 2 ) - vel is: ( 9 ) ( 10 / 1 ) ( 24 ) ( 25 ) Most ( 24 ) és ( 25 ) - tel: ( 26 ) Majd ( 23 ) és ( 26 ) - ból: innen pedig: ( 27 )
10 Ezután ( 26 ) és ( 27 ) szerint: tehát: ( 28 ) Most ( 20 ) - szal, ( 27 ) szerint: innen: ( 29 ) Ez megegyezik ( G II. / 3 ) - mal. Most ( 21 ) - gyel, ( 28 ) - cal és átalakításokkal: tehát: ( 30 ) Ez megegyezik ( G II. / 1 ) - gyel. Majd ( 24 ) - gyel, ( 28 ) - cal és átalakításokkal: tehát:. ( 31 ) Ez megegyezik ( G II. / 2 ) - vel.
11 A ( G I. ) képleteket úgy igazoljuk, hogy a végeredmény jobb oldalából indulunk ki, majd ( G II. ) eredményeinket felhasználva a végeredmény bal oldalához jutunk. ( G I. / 1 ) - ből: ( 32 ) most ( 29 ), ( 30 ) és ( 32 ) jobb oldala szerint: tehát Most olvassuk visszafelé az utóbbi számítást! Ekkor ( 32 ) - re jutunk, vagyis igazoltuk azt. Hasonlóképpen ( G I. / 2 ) - ből: ( 33 ) most ( 29 ), ( 31 ) és ( 33 ) jobb oldala szerint:
12 tehát: Most olvassuk visszafelé az utóbbi számítást! Ekkor ( 33 ) - ra jutunk, vagyis igazoltuk azt. Áttérve a szögekre, mondhatjuk, hogy igazoltuk az ( G I. ) összefüggéseket is. Ezek használata zsebszámológéppel is egyszerűen megoldható. M5. A ( 3 ) és a ( 27 ) képletekkel:. ( 34 ) Majd ( 28 ) szerint: ( 35 ) Fentiek alapján megállapítható, hogy a merőleges axonometria minden fontos adatát kifejezhetjük az ábrázolás paramétereivel, melyeket a képsíkon veszünk fel. M6. Az 1. és az 5. ábra összehasonlításából látjuk, hogy a két képsík nem ugyanott van, hanem csak párhuzamosak egymással. Ez a merőleges axonometria szempontjából lé - nyegtelen körülmény. M7. Térjünk vissza az 1. ábrához! Nem árt felhívni a figyelmet arra a körülményre, hogy a bal oldali felvételből a jobb oldali eredmény csak a nem jelölt szögparaméte - rek, valamint a pont vízszintes vetítőegyenesén való felvétele után áll elő. M8. Korábbi dolgozatainkban az ( u, v, w ) betűhármast a képsík tengelymetszeteinek jelölésére használtuk; itt az axonometrikus tengelyek skálaegységeit jelölik, mivel megtartottuk a felhasznált szakirodalom jelöléseit. Ügyeljünk erre is!
13 M9. Korábbi dolgozatainkban már szóba hoztuk azt a tényt, hogy kis hazánkban nemigen lehetett korábban találkozni a fentiekhez hasonló számításokkal, illetve képletekkel. Kivételként említettük az [ 5 ] munkát, ahol irodalmi forrásként a [ 6 ] tankönyvet jelölték meg. Mondtuk már, hogy [ 6 ] - ban semmi olyan képlet nem szerepel, mint amiket [ 5 ] - ben közöltek, levezetés nélkül, ráadásul sajtóhibákkal terhelve. Ez vagy azt jelenti, hogy nem [ 6 ] volt az igazi forrás, vagy azt, hogy a [ 6 ] alapján végzett számítás eredményeit adták meg. Ez már inkább elképzelhető, mert [ 6 ] - ban valóban szerepel egy az 5. ábrá - hoz nagyon hasonlító ábra, továbbá a fentebb levezetett ( 27 ) és ( 28 ) képleteket is közlik [ 5 ] - ben, még ha más írásjelekkel és az egyiket hibásan is. Szóval, [ 5 ] valamennyire mégis csak jogosan jelölhette meg forrásként [ 6 ] - ot. Ennyit a történeti kép alakulásáról. Irodalom: [ 1 ] Roland Staerk: Darstellende Geometrie Ferdinand Schöningh, Paderborn, 1978. [ 2 ] Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, 2011. [ 3 ] Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie 2. Auflage, Springer Basel AG, 1971. [ 4 ] Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. [ 5 ] Sors László: Zsebszámológép - programok Műanyagalakító szerszámok tervezése Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 6 ] Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria Tankönyvkiadó, Budapest, 1957. Sződliget, 2014. 11. 14. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár