Portfólió. Készítette: Dukán András Ferenc. tanári mesterszak (matematika-történelem) 5 féléves képzés, 40 kredites pedagógia-pszichológia modul

Átírás

1 Portfólió Készítette: Dukán András Ferenc tanári mesterszak (matematika-történelem) 5 féléves képzés, 40 kredites pedagógia-pszichológia modul Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, 2013.

2 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék 2. Bevezetés 2.1 Általános gondolatok 2.2 "Használati utasítás a portfólióhoz 2.3 Kompetenciatáblázat 3. Szakmódszertan 3.1 Reflexió 3.2 Tétel bizonyítása (matematika szakmódszertan) 3.3 A matematika alapjai a közoktatásban (matematika szakmódszertan) 3.4 Óraterv a bethleni konszolidációról (történelem szakmódszertan) 4. Pedagógia 4.1 Reflexió 4.2 Tanulási terv 5. Pszichológia 5.1 Reflexió 5.2 Szociometria vizsgálat egy végzős osztályban (részben CD-n) 5.3 Kinga ( Gyerektanulmány ) 5.4 Tanári stílus és diákok motiválásának összefüggéseinek vizsgálata 6. Tanítás, az iskola világa 6.1 Reflexió 6.2 Pedagógiai Program 6.3 A középiskolai oktatás szabályzatai (CD-n) 6.4 Interaktív tábla a matematikatanításban (CD-n) 6.5 Prezentációk történelemórán (CD-n) 6.6 Dolgozatok 6.7 Mini-kvíz 6.8 Ütemterv, óraterv 6.9 Értékelőlapok 7. Az iskola mint szervezet 8. Záró gondolatok 9. CD melléklet

3 2. Bevezetés

4 2.1 Általános gondolatok A portfólió összeállítása sokkal komolyabb feladat volt, mint azt először gondoltam volna. A legnehezebb része azon munkák kiválasztása volt, amelyek végül belekerültek. Szerencsére elvárás volt, hogy személyes legyen, így nem kellett titkolnom, hogy sokszor szubjektív szempontok is közrejátszottak. Ezek véleményem szerint nagyon fontosak a tanári fejlődésben. A reflexiók megírása volt a legnehezebb feladat, hiszen itt be kellett látnom korábbi hibáimat, illetve fel kellett ismernem az igazán fontos erényeket. Ezek megírásánál ráadásul ügyelnem kellett arra, hogy beleférjek a 3-10 oldalas összkeretbe. A formai szépség miatt a végleges formátumban ugyan kicsit túlnyúltak a reflexiók ezen, ezt a tanításkísérő szemináriumomat vezető tanárom súgása alapján tettem. Szintén az ő segítségével készült a két alfejezettel későbbi kompetencia-táblázat. Ezt egy rövid elemzéssel, illetve a készülés menetével vezetem be. Következő nehéz feladat volt, hogy kitaláljam, milyen szerkezetben tudnám átláthatóvá tenni e dokumentumot. Mivel a portfólióban szereplő beadandó dolgozatok egy része nem most került kinyomtatásra, illetve általában se tartottam elengedhetetlennek, nem készültek oldalszámok, csak fejezetekre és alfejezetekre bontottam munkám. A portfólió felépítéséről a következő alfejezetben írom le az általam fontosnak tartott tudnivalókat. Végig kellett gondolnom, hogy miképpen ismertem meg az iskolá(ka)t mint szervezet(ek)et. Ez egy nagyon kellemes munka volt, hiszen itt az élmények jóval frissebbek, mint a többi munkám, amire reflektáltam. Igyekeztem tömör lenni, hiszen az volt a célom, hogy olyan munkát kapjak, amit később is át tudok tekinteni, különösebb nehézség nélkül. Így nem is írok részletesen minden iskoláról, amivel kapcsolatba kerültem, csak arról a kettőről, ahol jelenleg is tanítok. Erre a fejezetre is igaz, hogy az, hogy mit írtam le, minden esetben a szakmai szempontok és a személyes élményeim vegyítéséből alakult ki. Az iskolai élet során keletkezett dokumentumok válogatása egy kellemes feladat volt, ugyanakkor számomra nagyon nehéz. Ennek oka, hogy a dokumentumaim túlnyomó többségét elektronikusan kezelem. Általában az előadásokon is számítógépen jegyzeteltem. Ezek között azonban volt pár olya, ami csak papírosan állt rendelkezésre. Másik nehézség az

5 volt, hogy rossz szokásom, hogy minden egyetemen kapott vagy készített és a magánéletben keletkezett papírt és fájlt elraktam az évek során, ugyanakkor rendszerezésükre nem fordítottam eddig elegendő időt. Így egy hatalmas anyagból kellett kiválogatnom először azokat, amelyek a tanításhoz kapcsolódnak, utána pedig azt a néhányat, amivel a lehető leghatékonyabban le tudom fedni a tanári fejlődésem lehető legtöbb területét. Ez azonban még inkább motivált arra, hogy a lehető legjobban megszűrjem a dokumentumokat és minimalizáljam számukat, hiszen ettől saját jellemem is fejlődik érzésem szerint. Köszönöm a segítséget és a rugalmasságot a tanításkísérő szeminárium-vezetőmnek, Seresné Busi Etelkának. Az ő meglátásai nélkül mind én, mind a portfólióm szegényebb lenne.

6 2.2 Használati utasítás a portfólióhoz Ezt az alfejezetet az értékelőnek, a későbbi önmagamnak, illetve bárki másnak írom, aki ezt olvassa. Ez a munka, ahogy az előző fejezetben leírtam az általam legfontosabbnak tartott eddigi munkáim összegyűjtése. Nyilvánvaló cél, ha az ebben leírtakat komolyan veszem, hogy ezt a későbbiek során bővítsem. Ehhez, illetve a könnyű áttekintéshez azonban elengedhetetlen, hogy leírjam, hogy miként is épül fel a portfólió. A portfólióba külön tokokban találhatóak meg az egyes területekhez tartozó munkák. Ezek alkotják a 3-6. fejezetet. Minden esetben egy ezekre írt reflexióval kezdődnek. Több szempont miatt is fontosnak tartottam a reflexióval kezdeni, holott időrendben nyilvánvalóan az keletkezett később. Egyrészt áttekinthetőbbé teszi az egészét, hiszen ebben felsorolásra kerülnek azok a dokumentumok, amelyek belekerültek a portfóliómba. Másrészt az összeválogatott munkák nem önmagukért értékesek, hanem azért, amit most jelentenek számomra. Így értő olvasásukhoz el kell olvasni, hogy mit gondolok róluk most. Az esetleges későbbi munkák megjegyzésekkel együtt ilyen rendszerben bekerülhetnek bármikor az egyes témakörökhöz. Vannak olyan munkáim, amelyeket értékesebbnek (vagy diasorok esetében látványosabbnak és környezettudatosabbnak) láttam CD-n csatolni. Ez szintén a reflexió szövegéből derül ki. A CD a portfólió végén került elhelyezésre, annak mappaszerkezete igazodik a fejezetek szerkezetéhez, így az is (pontosabban annak számítógépen megtalálható eredetije) könnyen bővíthető. A reflexiók is azonos szerkezetben készültek. Először pár általános gondolatot (néhol személyeset, néhol tárgyilagosat) tartalmaznak. Ebben a részben kerül kifejtésre, hogy miért pont azokat a munkáimat válogattam be. Ezt láttam a legjobb módjának, hogy a portfólió készítése során megfogalmazott elvárást az átgondolt válogatást a lehető legjobban be tudjam mutatni. Ez ugyanis számomra rendkívül sok időt vett igénybe. Az egyes munkák önálló reflexiói következnek ezután. Végül a reflexió alfejezetet minden esetben egy cselekvési terv, további célok és a felhasználható irodalom zárja le. Az előbbiben, amennyiben fontosnak láttam, törekedtem nem csak a kiválasztott munkák, hanem a terület egészével kapcsolatos gondolatokat megfogalmazni. Az ajánlott irodalom nem tartalmaz

7 pontos bibliográfiai megjelöléseket, hiszen nem tartottam fontosnak, hogy éppen melyik kiadás alapján dolgoztam most vagy akkor, amikor ezeket a munkákat olvastam. Itt mindössze egyértelműen beazonosíthatóan felsorolok 1-2 olyan szakirodalmat, ami segített a portfólió megírásában, vagy amivel találkoztam az egyetemi éveim alatt és relevánsnak tartom a téma tekintetében. Azt sejtem ugyanis, hogy most még ugyan emlékszem szakirodalmakra, de évek múltán ezek az emlékek megkopnak és ez egy segítség lehet későbbi önmagamnak. (Most is volt már olyan, hogy egy mű pontos címét vagy szerzőjét az internet segítségével kellett megkeresnem.) A portfólió vége felé, a 7. fejezetben azoknak az iskoláknak a megismerési folyamatáról írtam, amelyeknek az életébe szerencsém volt bepillantást nyerni. Itt először bemutatom az iskolákat, kicsi személyes töltetet is adva ennek. Ezután következik azon tevékenységeknek az ismertetése, amelyeket ezekben az iskolákban végeztem, de nem tanórai keretek között. Végül pár gondolatot írok az iskolák életét meghatározó szabályzatokról. A záró gondolatok közé olyan dolgok kerülnek, amiket a portfólió összeállítása után fontosnak tartok még leírni. Mint a legtöbb ilyen munka, ennek az elkészítési sorrendje se egyezik meg a fejezetek sorrendjével. Ugyanakkor a záró gondolatok megírásánál fontosnak látom, hogy azok valóban a portfóliót összerendezése után készüljenek. Remélem, hogy sikerült olyan leírást adnom, ami alapján bárki bármikor (ideértve későbbi önmagamat) kezébe veszi ezt a munkát könnyen át tudja látni, hogy miként épül fel, miként találhatja meg benne a számára éppen fontos információt.

8 2.3 Kompetenciatáblázat A kompetenciatáblázat készítésénél általánosan igyekeztem összegyűjteni azokat ismereteket, kipróbált képességeket és kialakított attitűdöket,amelyek a tanári tanulmányaim végeztével jellemeznek engem. Módszeremet szemináriumvezetőmmel közösen alakítottam ki. Először kitöltöttem az üres táblázatot, illetve annak első három oszlopát. Ezután elolvastam Képzési- és Kimeneti Követelményekről szóló kormányrendelet ide vonatkozó részét és kiegészítettem gondolataimat. Ez általában csak azt jelentette, hogy volt még olyan területe tanulmányaimnak, tapasztalataimnak, amely a 9 kompetencia valamelyikéhez tartozik, de nem jutott eszembe. Ezekben az esetekben a kipróbált területeket is tudtam bővíteni. Néhány esetben azonban ráébredten, hogy a gyakorlatban még nem próbáltam ki olyan dolgokat, amiket pedagógusként használnom kell. Ez esetben csak az ismereteket és az attitűdöket gyarapítottam. Szerencsére olyan dologgal nem találkoztam, amiről úgy éreztem, hogy ismeretlen lenne. Az újonnan beírt gondolatokat zöld színnel jelöltem. A további célokat már a teljesen kitöltött táblázat ismeretében fogalmaztam meg, ezekben reflektálva a hiányosságaimra is. Remélem, a mindennapi élet során nem sikkadnak el ezek a célok és sikerül őket a lehető legjobban megvalósítani.

9 Mit tudok róla (ismeret) Tevékenység, amelyben kipróbálhattam (képesség) Mi változott, milyen irányban (nézet, attitűd) További célok A tanulói személyiség fejlesztése - egyéni igények - korcsoportra jellemző sajátosságok - demokratikus, nemzeti és európai értékek átadása nélkülözhetetlen - óratartási szituációk - MüPa látogatás - interjúk, beszélgetések diákokkal - tanulók véleményének megkérdezése - történelem tanítása során dilemmák megbeszélése - diákcsoport nagyon plurális - a személyiség fejlesztése nem oldható meg kizárólag szaktárgyi keretek között - a diákok nem mindig tudnak maguktól ráérezni a véleményformálás kulturált módjára - a diákok folyamatos nevelése a kulturált véleményformálásra - a diákok véleményére mindig figyelemmel lenni - korcsoportoknak megfelelő differenciált tanítási módok megismerése Tanulói csoportok, közösségek alakulásának segítése, fejlesztése - összetett kapcsolati hálók - dinamikusan változnak a közösségek - osztályfőnöki munka fontos - csapatépítés nem csak órai keretek között zajlik - a csoportmunka közösségépítő erővel bír - Jedlik Napok felkészítés - szociometria készítése - csoportmunka készítése és végrehajtása - diákok közötti viták lecsendesítése - diákok egyéni teljesítményének nyilvános dicsérete - a tanulói közösség meghatározza a tantárgyhoz való hozzáállást is - a diákok partnerként való kezelése bizonyos korosztályoknál, csoportoknál nehéz, de fontos - csoportmunkában a csoportszervezés némely esetben jobb, ha tudatos - nagyobb hangsúly fektetése a csoportmunkára - konfliktuskezelés hatékony módjainak megismerése és alkalmazása - hallgatók különbségeinek, egyéni értékeinek folyamatos szem előtt tartása és közösség felé való kommunikálása - a tudatos konfliktuskezelés a tanár feladata - a diákok konfliktusait sok esetben hosszas munka megoldani - nem órai közösségi programok szervezése diákoknak - az egyéni különbségek a közösség érdekeit szolgálhatják A pedagógiai folyamat tervezése - tudatos folyamat hatékonyabb eredményre vezet - a pedagógiai folyamat nem pusztán az órai munkából áll - a tervezésnek nem szabad túlzottan merevnek lennie - a tervezés nem lehet túlságosan elnagyolt - tervezet végrehajtására fontos a reflektálás - óratervek készítése - tanmenet készítése - dolgozatok, számonkérések módjának és idejének megbeszélése diákokkal - nem órarendi foglalkozások megtervezése - órák megbeszélése vezetőtanárral és órát látogató egyéb vendégekkel - szaktárgyanként eltérő a tervezés folyamata - a tervezés elengedhetetlen a tantárgyi keretek megtartásához - a tervezet betartásának legnagyobb nehézsége az idő helyes beosztása - átgondolt, megszervezett órák tartása - készülési rutin kialakítása - rugalmasan szervezett, de időkereteket tiszteletben tartó órák tartása - folyamatos önreflexió a saját pedagógiai munkámra

10 A szaktudományi tudás felhasználásával a tanulók műveltségének, készségeinek és képességeinek fejlesztése - biztos szaktárgyi tudás szükséges az oktatáshoz - a szaktudományi tudás helyes és hatékony felhasználása a szakmódszertan - a kerettanterv(ek) támpontot adnak az egyes tantárgyaknál és azon belül tananyagrészeknél fejlesztendő területekről - az egészségvédelem minden szaktárgy esetében meg kell, hogy jelenjen - az összefüggésekre rá kell mutatni és képessé kell tenni a diákokat, hogy maguk is megtehessék ezt - óralátogatások - tanítási gyakorlat - egyetemi gyakorlatvezetés - tehetséggondozás fakultációs kereteken belül - szakkör-tartás - egészségvédelmet érintő matematikai feladatok készítése - a szaktudomány önmagában kevés, legtöbb esetben a szakmódszertan fontos - helyes módszerek megválasztása nagyon fontos - a készségek és képességek fejlesztése az alapja a műveltség fejlesztésének - a diákok öntudata nem irányul automatikusan az egészséges életmódra - a tanári példamutatás elengedhetetlen - egészségvédelmi oktatás beleszövése a szakórákba - tantárgyon belüli és tantárgyak közötti összefüggések keresése és diákok számára prezentálása - tantervek módosulásainak folyamatos figyelemmel kísérése - példamutató tanári magatartás, mind tudás, mind életmód tekintetében Az egész életen át tartó tanulást megalapozó kompetenciák hatékony fejlesztése - a gyorsuló világban elengedhetetlen az egész életen át tartó tanulás - a tanulás megszerettetése és a tanulás tanítása a fontos - fel kell hívni a figyelmet a tanultak mindennapi életben történő felhasználási módjaira - a szövegértés és a szöveg elemzése nem csak a magyar- és idegen nyelv tantárgyak feladata - kitekintések a tananyagon túlra - saját példák átadása - a tanultak felhasználási lehetőségeinek felhasználása - szöveges feladatok feladása - forrásközpontú történelemfeladatok - a tanulásra való igényt kell felkelteni - a tanítási módszereken változtatni kell a korábbi időszakokéhoz képest, mert az új kor új kihívásokkal jár - a diákokat képessé kell tenni az iskolában tanultak mindennapi hasznának felismerésére - szöveges feladatokra, forráselemzésre nagy hangsúly fektetése - a mindennapi élet és a tantárgyak összefüggéseinek keresése és tudatos beépítése az órába - tanulástámogató órák tartása, a tanulás megtanításának és megszerettetésének érdekében A tanulási folyamat szervezésére és irányítása - az órai munkát a tanárnak kell koordinálnia - az otthoni munka ki kell, hogy egészítse az órán tanultakat - a pedagógus feladata a tanulás támogatása - információs technológiai eszközök bemutatása és használata a tanulásban nélkülözhetetlen - óratervek készítése - házi feladatok válogatása - tanulási terv készítése - számítógéppel, internet segítségével megoldható feladatok kitűzése - az otthoni munkára nehéz rávenni a diákokat - a változatos tanulásszervezés a kulcs, hogy mindenki megtalálja a számára leginkább támogató tanulási formát - a tanárnak nem szabad elutasítóan hozzáállni az új technológiák alkalmazásához - folyamatos továbbképzés az információs technológiai eszközök terén - a modern eszközök lehető legjobb kihasználása a tanítás során - a tanulási segédeszközök használatának megismertetése a diákokkal

11 A pedagógiai értékelés változatos eszközeinek alkalmazása - különböző személyiségű diákok miatt fontos a számonkérések módjának diverzifikálása - nem csak dolgozattal és feleléssel lehet számonkérni az anyagot - diákokat képessé kell tenni az önértékelésre - feleltetés - dolgozatíratás - projektmunkák feladása - órai munka értékelése - szorgalmi feladatok kitűzése - diák megkérdezése saját munkájának értékéről - a diákokat motiválja a számonkérés - fontos a pozitív megerősítés szempontjából a folyamatos értékelés - a diákok (főleg kisebb korban) nem látják reálisan a saját munkájuk értékét - diákok önértékelésének beépítése az osztályozási, értékelési folyamatba - változatos jegyszerzési lehetőségek - szöveges és szóbeli visszacsatolások - gyakori értékelése a diákok munkájának Szakmai együttműködés és kommunikáció - az iskolán belüli tananyagot össze kel hangolni, mindenkinek tartania kell magát a helyi tantervhez - a munkaközösség együttműködéséből a diákok is profitálnak - nem csak pedagógusokkal kell együttműködni - a szaktárgyak közötti interdiszciplinaritáshoz szükséges más szakos tanárokkal is együttműködni - a tanár a szülőkkel együtt tud hatékonyan nevelni - helyettesítés - tanterv-készítés - egymás dolgozatainak véleményezése - beszélgetés az iskolapszichológussal, pszichológiai stúdiumok - szituációs játékok - más szakos tanárok és a tantestület tagjainak megismerése - idősebb kollégáktól segítségkérés - fogadóóra tartása - nem mindig pótolható tanulással a tapasztaltabb kollégák véleménye, segítsége - az interdiszciplináris oktatás elengedhetetlen egy modern iskolában - nem szabad csak a saját szaktárgyakra koncentrálni - a többi tantárgyat is tisztelni kell - a szülőkkel szemben együttműködő hozzáállást kell kialakítani - nyitott hozzáállás kialakítása a tantestület tagjaival és az iskola dolgozóival - a lehető legtöbb kolléga megismerése leendő munkahelyemen - szülőkkel szembeni nyitott hozzáállás, közös nevelés fontosságára figyelem felhívása - interdiszciplinaritás érdekében folyamatos együttműködés más szakos kollégákkal - tapasztaltabb és fiatalabb kollégákkal folyamatos egyeztetés, tapasztalatcsere Szakmai fejlődésben elkötelezettsége, önművelés - továbbképzéseken való részvétel fontos, a pedagógusnak is aktívan részt kell vennie az életen át tartó tanulásban - a szakma sok esetben dinamikusan változik, figyelemmel kell kísérni - saját munka folyamatos monitoringozása fontos, különösen az új kutatások eredményeit figyelembe véve - új NAT áttekintése - problémák, élethelyzetek megbeszélése szaktársakkal. - kerettantervek, helyi tantervek kritikus, átgondolt olvasása - önreflexió - a tantervek megvalósításához nem elég az átfogó ismeretük - építeni csak biztos alapokra lehet - folyamatos továbbképzésre való igényt kell kialakítani magunkban - a pedagógus nem engedheti meg magának, hogy a tudását kompaktnak tekintse - pedagógiai és szakmódszertani továbbképzéseken való részvétel - folyamatos kapcsolattartás az egyetemmel - saját munka felülvizsgálata folyamatosan, a legfrissebb tudományos eredmények érdekében - szakmai folyóiratok olvasása

12 3. Szakmódszertan

13 3.1 Reflexió 1. Bevezetés, kiválasztás szempontjai Szakmódszertani munkáim közül hármat emelnék ki. Természetesen tucatnyi ilyen beadandót készítettem és kerestem elő jelen portfólióm készítéséhez, ezek azonban kiemelkednek a többi közül a szakmai fejlődés tekintetében. Mivel szeretnék minél teljesebb képet adni az eddigi tanulmányaimról ezért mind a két modulomról választottam beadandót. Matematikai témában jóval többet készítettem, illetve jelenleg is főleg matematikával foglalkozom, ezért végül onnan kettőt, történelem szakmódszertanból egy munkám választottam ki. A tétel bizonyításáról írt, Kömal feladat köré szerveződött munkámat azért tartom nagyon fontosnak, mert több hasonló munkát készítettem az elmúlt években. Olyannyira, hogy szakdolgozatom tanulmány részében is felhasználtam az itt szerzett ismereteimet, különösen a feladatok készítésével kapcsolatban. A másik matematikai dolgozatom pedig szakmai orientációm szempontjából volt fontos. Ebbe a témakörbe történő elmélyülés vezetett végül ahhoz, hogy további tanulmányokat kezdjek meg egy másik (logika és tudományelmélet) mesterszakon. Történelemből beadott dolgozatom nagyon emlékezetes maradt számomra. Ez volt ugyanis az első óraterv, amit elkészítettem ebből a tantárgyból, a szaktárgyi tanítási gyakorlatra csak több, mint egy év múlva került sor a beadandó készítéséhez képest. Azóta számos ilyen született, de ez is segít abban, hogy minél jobban elemezni tudjam ezt a művemet. 2. Tétel bizonyítása Ez a munka a mesterszak első félévében készült. A címválasztás visszatekintve nem annyira szerencsés, hiszen nem utal a valódi tartalmára, jelesül, hogy milyen tételt bizonyítok benne, sőt valójában ez alapvetően egy elemző munka, nem történik benne konkrét tétel-bizonyítás. Akkor ez nem tűnt fontos szempontnak, most azonban, immár számos beadandó és egyetemi munka közül válogatva ráébredtem, hogy a címadás milyen fontos. A feladat kiválasztása visszatekintve is jó döntés volt. A KöMaL egy matematikai (illetve fizikai és informatikai) folyóirat, mégpedig az országban a legrégebb óta rendszeresen megjelenő. A B típusú feladatok nem a legnehezebbek. Ugyanakkor a nem matematika

14 tagozatos iskolák tanulói számára már valódi kihívást jelentenek, jóval túlmutatnak a középszintű, sőt sok esetben az emelt szintű tananyagon is. A megoldás felvezetése alapos és átgondolt. Azóta tanítottam már ezt a témakört középiskolában és az akkor elméletben született elképzeléseim jól megállták a helyüket a gyakorlatban. Ugyanakkor a feladatok szövegének megfogalmazása sok esetben kicsit nehézkes. Ezt a problémát már akkor is felfedeztem, igyekeztem fejlődni ezen a téren, úgy érzem sikerült is, a tanulmányomban található feladatok sokkal érthetőbben, egyértelműbben vannak megfogalmazva. Gondolok itt pl. a jelen beadandómban megtalálható Mivel egyenlő? sokféleképpen értelmezhető megfogalmazásra vagy a matematikailag nem precíz rendezd zárt alakra felszólításra. A témakör felhasználása különböző korcsoportokban szintén átgondolt és megfelelő, ugyanakkor mindenképp érdemes összevetni az új tantervekkel. Különösen kiemelném, hogy ekkor nem ügyeltem a különböző iskolatípusokra, ami későbbi témaválasztásom (szakiskolai matematikatanítás) tekintetében nagy hiányosság. A beadandó nagy értéke, hogy IKT módszerekkel történő megadást is megmutat, ami a jelen korban elengedhetetlen. (Vagy legalábbis az lenne, hiszen számos iskolai óra ezek hiányában zajlik.) 3. A matematika alapjai a közoktatásban A mesterszak első évének, sőt talán egészének legmeghatározóbb beadandó dolgozata ez. A Matematikatanítás és szakmódszertan 2. óra keretében olyan új ismeretek jutottak el hozzám, amik megváltoztatták az életemet. Talán kicsit túlzásnak hangozhat ez a kijelentés, de a mai napig is járok arra a mesterszakra, amit eredetileg csak azért jelöltem meg, mert nem akartam veszni hagyni két megjelölhető helyet. Ez a félév és ez a beadandó volt az, ami miatt ráébredtem, hogy a matematikai logika milyen különös helyet foglal el a középiskolában és az általános iskolában. Ez vezetett ahhoz, hogy végül sorrendet módosítottam a jelentkezésnél és fájó szívvel ugyan, de a multikulturális nevelés helyett ebbe a területbe mélyedtem el. (A reményt azért nem adtam fel, hogy valamikor azon a területen is több ismeretet szerezhetek.) Azóta sokkal mélyebben is elmélyültem ebben a területben, így számos megjegyzéssel ki tudnám egészíteni a leírtakat. Többek között ma már tisztában vagyok vele, hogy miképpen

15 került be a közoktatásba a logika és a halmazelmélet, mi a közöttük levő kapcsolat és, hogy milyen nehéz a matematika legformalizáltabb területét középiskolások számára tanítani. Nem változott sokat az aktualitása ennek a munkának. Azóta magam is tanítottam az elemzett könyvek némelyikéből és láthattam, hogy a gyakorlatban hogyan adható ez a tudás át. Sajnos meg kell vallanom, hogy a bennem levő átlagosnál jóval mélyebb tudás ellenére sem sikerült még igazán a szakmódszertani, pedagógiai hátterét igazán kidolgoznom ennek a témának. 4. Óraterv a bethleni konszolidációról Ahogy a bevezetésben is írtam, ez az óraterv úgy készült, hogy nem tartottam, sőt gyakorlatilag nem is látogattam még történelemórát. Épp ezért az előző két beadandóval ellentétben számos ponton módosítanám (leginkább kiegészíteném) mai fejjel. Először is sokkal szerencsésebb egy óratervet úgy elkészíteni, hogy nem az adott tananyagrészre fordított időt adom meg hozzá, hanem, hogy mettől meddig szeretnék az órában ezzel foglalkozni. Ez segít a gyors tájékozódásban az óra menetében. A csoportmunkára szánt idő kevés, hiszen a csoportok kialakítása is időt vesz el a gyakorlatban, még akkor is, ha csak 1-2 percről van szó. Erre legalább 15 perc szükséges lenne. Az óratervben szerencsésebb lenne megjeleníteni egy-két gondolatot, amik orientálják a megbeszélést. Pl. Miért volt rongyos gárda? Mik voltak Horthy Kormányzóvá választásának okai? A csoportok beosztását megpróbálhatjuk adaptív tanulásszervezés keretében is. Ehhez az kell, hogy a diákok maguk dönthessék el, hogy melyik témával és kikkel szeretnének tevékenykedni, illetve biztosítjuk számukra a kompetencia érzését azzal, hogy többféle forrást biztosítunk ugyanahhoz a témához, remélve, hogy így mindenki talál olyat, amit tud értelmezni. Ezzel szemben a frontális előadások kevesebb időbe is beleférnének. Pozitívum, hogy itt megjelenik pár kulcsfogalom, sőt ami még fontosabb évszám az óravázlatban. Azóta elmondhatom, hogy az a gyakorlati tapasztalatom, hogy ez magabiztosságot ad. Azt tanultam a történelem konzulensemtől, hogy nem jó, ha egy történelemtanár fejből tart tanórát. (Ezt egy olyan óra után mondta, amit segédanyag nélkül tartottam.) Ezt az óratervet kiemelésekkel lehetne olyanná tenni, ami segíti a tanárt, de mégse kelti azt a benyomást, hogy csak felolvassa a tananyagot. Pl. ki lehetne emelni félkövérrel az évszámokat. A frontális részeknél érdemes megjelennie az óravázlatban azoknak a segédanyagoknak (pl. vetített képeknek),

16 amik az adott témához kapcsolódnak. Az a tapasztalatom, hogy ha ezt nem jegyzem fel, könnyen úgy járok, hogy csak az óra végén jut eszembe, hogy mit akartam megmutatni. Bethlen bukásának okait lehetne közös megbeszéléssel is átvenni. Ennek a résznek a tanítási módszere kimaradt ugyan a vázlatból, de láthatóan itt is frontális előadásra gondolhattam annak idején. Amennyiben nem, akkor is ki kell egészíteni olyan kérdésekkel, amik segíthetik a közös megbeszélést és a tanulókat rávezeti az okokra. A differenciált oktatást segíti, ha több érzékszervre is hatok egyszerre. Ezért hasznos lehet a frontális előadásoknál pl. diashow használata. 5. Cselekvési terv, további célok A szakmódszertani képzés jó alapokat adott a szaktárgyak tanításához. Ugyanakkor ennek folyamatos fejlesztése elengedhetetlen, különös tekintettel a modern technikák alkalmazása szempontjából. Épp ezért a folyamatos önképzést mindenképpen szeretném megvalósítani. Nagyon rossz, amikor a tanár és a diákok közötti szakadékot a tanár technikai hátránya jelenti. Ezt viszonylag könnyen el lehet kerülni, de nekem erre nagyon kell ügyelnem és ezt folyamatosan tudatosítani magamban, mert sajnos hajlamos vagyok arra, hogy ne érdekeljenek az ilyen jellegű újítások. Az óratervek készítését a történelem esetében elengedhetetlennek tartom, ahogy ezt már kifejtettem. Szeretném elérni azt, hogy rutin segítségével olyan biztos tudást szerezzek, ami élvezetesebbé teszi az előadásomat. A frontális módszerek eddig túlnyomó többségben voltak eddigi óráim során. A csoportmunka és más modern tanítási módszerek ugyanakkor nagyon szimpatikusak számomra. Itt leginkább bátorságra és eltökéltségre van szükség ahhoz, hogy ezeket merjem alkalmazni. Bízom benne, hogy a diploma megszerzése ebben adni fog egy lökést, amit utána tudatos tervezéssel ki tudok használni. A matematikai bizonyítások és a bonyolult feladatok nagyon hasonlóak szakmódszertani szempontból. Legalábbis, ha onnan nézzük, hogy mind a kettőnél az alapok megteremtése a cél. Ezért is gondolom, hogy két beválogatott munkám remekül összefoglalja azt, amit fontosnak tartok a matematika szakmódszertan esetében. Stabil alapokat szeretnék biztosítani, gyakorlati megközelítéssel. Ehhez szeretném befejezni a korábban már említett másik mesterszakomat, remélve, hogy az ott megírt szakdolgozatom és az addig megszerezendő új tudásanyag is ezt a célt fogja szolgálni.

17 6. Felhasználható irodalom Tankönyvek tanári kézikönyvei Szabolcs Ottó Katona András: Történelem Pólya György: A problémamegoldás iskolája Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába Vass Vilmos: A tantárgyköziség pedagógiai megközelítései.

18 Tétel bizonyítása Készítette: Dukán András Ferenc Kurzus: Elemi matematika 4. Oktató: Maus Pál ELTE TTK Matemtaikatanítási és Módszertani Központ

19 1. CÉL 2 1. Cél A cél, hogy megmutassuk a nevezetes szorzási azonosságokat és ezzel párhuzamosan a segítségükkel megoldható, 2-nél nagyobb fokú egyenletek megoldásának módszerét ismertessük. Ez, egy a most leírt ismeretek birtokában megoldható, KöMaL feladat segítségével kerül bemutatásra. 2. Feladat KöMaL május: B Oldjuk meg a következő egyenletet: x 6 x 3 2x 2 1 = 2(x x 3 + 1) x. Megoldás: Írjunk x helyébe a-t: a 12 a 6 2a 4 1 = 2a 3 2a 7 + 2a. Ezután rendezzük nullára az egyenletet: a 12 a 6 2a 4 1 2a 3 + 2a 7 2a. Válasszuk külön a 3-mal osztható és nem osztható hatványait a-nak: a 12 a 6 2a (2a 7 2a 4 2a) = 0 Nevezetes azonosságokból tudjuk, hogy a 12 a 6 2a 3 1 = (a 6 a 3 1)(a 6 + a 3 + 1). Hiszen (x + y)(x y) = x 2 y 2, itt x = a 6 és y = a A 3-mal nem osztható kitevőjű részből kiemelhetünk 2a-t: (2a 7 2a 4 2a) = 2a(a 6 a 3 1). Tehát (a 6 a 3 1) kiemelhető az egészből: (a 6 a 3 1)(a 6 + a a) = 0. A második tényező mindenképpen pozitív, tehát csak azt kell megnéznünk, hogy a 6 a 3 1 = 0 egyenlőségnek mi(k) a gyökei. Legyen b = a 3, ebből: b 2 b 1 = 0, vagyis b 1,2 = 1±

20 3. SZÜKSÉGES ELŐZMÉNYEK 3 Negatív nem lehet b, mert akkor a is negatív lesz, viszont a = x definíciónk szerint, ami 0 vagy pozitív. Tehát b = , amiből a = ( ) 1 3. Vagyis x = ( ) Szükséges előzmények - Nevezetes azonosságok ismerete - Nevezetes azonosságok begyakorlása készségszerű használat szintjére - másodfokú egyenlet megoldóképlete - zárt alakra rendezés - 2n fokú egyenletek megoldása behelyettesítéssel 4. Rávezető, gyakorló feladatok 4.1. Nevezetes azonosságok Mivel egyenlő? a) (a + b) 2 b) (a b) 2 c) (a + b)(a b) d) (a + b)(a 2 ab + b 2 ) e) (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Megoldás: Mindenhol triviális. Fel kell bontani a zárójeleket, majd összevonni. a) a 2 + 2ab + b 2 b) a 2 2ab + b 2 c) a 2 b 2 d) a 3 + b 3 e) a 3 b 3

21 4. RÁVEZETŐ, GYAKORLÓ FELADATOK 4 Mivel egyenlő? a) (x 3 y 4 ) 2 b) (x 2 + x)(x 4 x 3 + x 3 ) c) (x 2 y 1)(x 2 + y + 1) Megoldások: Feleltessük meg az előző feladatban szereplő nevezetes azonosságainak az itteni változókat. a) Az előző b) feladatban a = x 3 és b = y 4. Ez alapján: (x 3 ) 2 2x 3 y 4 + (y 4 ) 2 = x 6 2x 3 y 4 + y 8. b) Az előző d) feladatban a = x 2 és b = x. Ez alapján: (x 2 ) 3 + x 3 = x 6 + x 3. c) Az előző c) feladatban a = x 2 és b = y + 1. Ez alapján: (x 2 ) 2 (y +1) 2, (y +1) 2 számolható az előző a) feladat alapján, tehát: (x 2 y 1)(x 2 + y + 1) = x 4 y 2 2y Kiemelés gyakorlása Rendezd zárt alakra következő kifejezéseket! a) x 5 + 2x 3 + 3x b) x 5 + 3x 4 + x 3 + 4x x + 4 c) 2x 9 + 5x 7 + 2x 6 2x 5 5x 3 2x 2 d) x 8 x 6 4x 3 4 Megoldások: a) x 5 és x 3 kitevője közt ugyanannyi a különbség, mint x 2 és x 0 kitevője között, ráadásul a hozzájuk tartozó együtthatók is 1:2 arányban állnak mind a két helyen. Tehát érdemes megpróbálni ezek szerint kettéválasztani az egyenletet és x 5 + 2x 3 -ből kiemelni x 3 -öt, ami x 3 (x 2 + 2). Így kiemelhetünk x t az egész formulából, ami zárt alakot eredményez: (x 2 + 2)(x 3 + 3).

22 4. RÁVEZETŐ, GYAKORLÓ FELADATOK 5 b) A 6 tag közül 3-nak osztható 4-gyel az együtthatója, tehát kiemelek ezekből 4-et: 4(x 2 + 3x + 1). A zárójeles kifejezés együtthatói megegyeznek a 4-gyel nem osztható együtthatós kifejezésekével. (1, 3, 1) Ráadásul a kitevők közti különbségek is egyeznek, így érdemes kiemelni x 3 -öt: x 3 (x 2 + 3x + 1). Tehát x 2 + 3x + 1 kiemelhető az egész kifejezésből. A zárt alak: (x 2 + 3x + 1)(x 3 + 4). c) Az első három tag együtthatói rendre: 2, 5, 2, a második három tagé pedig ezek ellentettje, rendre: -2, -5, -2. Tehát úgy kéne kiemelnünk valamit, az első három tagból, hogy a maradék osztója legyen a 2. három tagnak. A kitevők közti különbség alapján x 4 -t érdemes kiemelni: 2x 9 + 5x 7 + 2x 6 = x 4 (2x 5 + 5x 3 + 2x 2 ). A zárójeles rész a második 3 tag ellentettje, tehát kiemelhetjük belőle, így a zárt alak: (2x 5 + 5x 3 + 2x 2 )(x 4 1). d) Egy kis gyakorlottsággal észrevehetjük, hogy az utolsó három tag előjele negatív, tehát nem más a kifejezés, mint x 8 (x 6 + 4x 3 + 4), amiben a zárójeles rész négyzetszám. Pontosan az x négyzete. Az x 8 pedig (x 4 ) 2. Két négyzetszám különbségét már ismerjük. (ld c) feladat) Tehát ez felírható ebben az alakban is: (x 4 + x 3 + 2)(x 4 x 3 2).

23 4. RÁVEZETŐ, GYAKORLÓ FELADATOK Nem másodfokú egyenletek megoldása Add meg az alábbi egyenletek gyökeit! a) x 4 6x = 0 b) x 6 = x c) x 7 6 = 2x 3 3x 4 d) x 3 + x 2 = 6x Megoldások: a) Vezessünk be egy új változót: y = x 2. Így az egyenletünk a következőképpen néz ki: y 2 6y + 3 = 0. Ez egy teljesen hagyományos másodfokú egyenlet, amre a megoldóképlettel eredményt kaphatunk: y 1,2 = 6± = 3 ± 6. A negatív megoldás természetesen nem lesz megfelelő, hiszen y ebben az esetben egy négyzetszám. Vagyis x 2 = Ebből x = ± b) Az egyenletet először rendezzük 0-ra: x 6 x 3 2 = 0. Ezután az előző feladathoz hasonló módon vezessünk be egy új változót. Ezúttal legyen y = x 3. Az új egyenletünk így néz ki: y 2 y 2 = 0, ez már megoldható a szokásos módszerrel. y 1,2 = 1± 1+8 = 1± Ebből y-ra két érték adódik: 2 és -1. Az előző esettel szemben most nem baj, ha y negatív, hiszen egy köbös kifejezést takar. Ezek alapján x értéke: és 1, hiszen 1 harmadik hatványa is 1. c) Először itt is egy oldalra rendezzók az egyenletet: x 7 6 2x 3 + 3x 4 = 0. Ezúttal nem tudunk új változót bevezetni, hiszen több, mint 2 különböző hatványon szerepel a feladatban az ismeretlen. Viszont észrevehetjük a 4.2. feladatokhoz hasonlóan, hgoy az x 7 és a x 3 együtt-

24 4. RÁVEZETŐ, GYAKORLÓ FELADATOK 7 hatói 1 : 2 arányban állnak és kitevőik között 4 a különbség. Ugyanezt elmondhatjuk az x 6 és a 6 (x 0 ) párosára is. Tehát megpróbálhatunk kiemelni x 7 2x 3 -ból x 3 -t: x 3 (x 4 2). A másik párosból 3-t kell kiemelni, hogy szintén x 4 2-t kapjunk. Tehát az egyenlet átírható ilyen formában: (x 4 2)(x 3 + 3) = 0. Egy szorzat akkor lesz 0, ha valamelyik tényezője 0. Először vizsgáljuk az első tényezőt: x 4 2 = 0, vagyis x 4 = 2, azaz x = ± A második tényező esetén x 3 = 3 hasonló módon. Itt csak egy megoldásunk lesz, hiszen x kitevője páratlan: x = Tehát az egyenletnek három gyöke van: 2 1 4, és d) Kezdésként természetesen itt is 0-ra kell rendezni az egyenletet: x 3 + x 2 6x = 0. Itt nem tudjuk a tagokat párokba rendezni úgy, hogy valamit kiemelve belőlük, közös részt találjunk, szemben az eddigiekkel. Viszont minden tagban szerepel az x, így azt kiemelhetjük: x(x 2 + x 6) = 0. Az előzőekhez hasonlóan akkor lesz a szorzat értéke 0, ha valamelyik tényező 0. Ebből az x = 0 megoldás rögtön adódik. Az x 2 + x 6 = 0 pedig egy egyszerű másodfokú egyenlet, aminek a gyökeit a megoldóképletből megkaphatjuk: x 1,2 = 1± 1+24 = 1± Ebből tehát a két újabb gyök: 2 és 3. Az egyenletnek tehát 3 gyöke van: 2, 0 és 3. Megjegyzés: természetesen az x 2 +x 6-ot is fel lehetett volna bontani két tényezőre, ha megsejtjük, hogy az x szétbontható 3x 2x-re, ugyanerre az eredményre jutottunk volna. Sőt Viéte-formulákat is alkalmazhattunk volna.

25 5. A TANULT FOGALMAK TANÍTÁSA/FELHASZNÁLÁSA KÜLÖNBÖZŐ SZINTEKEN8 5. A tanult fogalmak tanítása/felhasználása különböző szinteken osztály Az 5-8.-os korosztálynak inkább a "kiemeléses" feladatok valók. Itt számos lehetőségünk van, ilyen példát rendkívül könnyű generálni. Bármely két (vagy több) polinomot felírhatunk és ezeket összeszorozva olyan kifejezést kapunk, amely előáll ezek szorzataként, tehát bármelyik "kiemelhető" belőle. Az 5-8.-os korosztály számára fontos az alapok rögzítése, ezért sokkal több gyakorlást és kevesebb elméletet érdemes nekik tanítani. Ezzel együtt természetesen a nevezetes azonosságok már akkor is taníthatók osztály A kiválasztott KöMaL feladatot kis segítséggel meg tudja oldani ez a korosztály, ha megkapja hozzá az itt leírt elméleti alapozást. Természetesen fontos ennek a megfelelő felépítése. Szerintem érdemes az általam leírt sorrendben haladni, illetve időt hagyni a gyakorlásra, hogy a tanuló készségszinten tudja hasznosítani az ismereteket. A nevezetes azonosságokkal kapcsolatban meg lehet már tanítani az (a + b) n -t is, hiszen eddigre a binomiális tételt is tudhatják már. Ennek segítségével összetettebb, érdekesebb példákat generálhatunk. Az egyenletek megoldása kiemelt témakör az érettségiben is, akár közép, akár emelt szintről van szó, így bár lehet már több elméletet tanítani, a gyakorlatnak itt is komoly hangsúlyt kell kapnia. Tagozatos oszályban mélyebbre is lehet ásni. Akár ki lehet tekinteni az egyetemi anyag, a komplex számok felé. Feladatként gyakorlásnak az analízissel való összekötés okán, hogy a gyakorlati jelentőségét is lássák fel lehet adni függvények zérushelyeinek a kereséséhez is ilyen jellegű feladatot.

26 6. ÖSSZEGZÉS 9 Például: Hol vannak a 2x 9 + 5x 7 + 2x 6 2x 5 5x 3 2x 2 zérushelyei. Ez látszólag igen bonyolult feladat, hiszen a polinomunk hosszú, ráadásul 9-edfokú. Épp ezért egy ilyen feladat megoldása motiválólag hathat a diákra Egyetemi kitekintés Az egyetemi algebra kiemelt témaköre a komplex számok. Ezeket később természetesen minden más matematikai terület is alkalmazza. Az eddig tárgyalt egyenletek majdnem mindegyikének vannak nem valós gyökei. Ezek megkeresése nem igényel különösebb pusz feladatot. Annyit kell tennünk, hogy ahol eddig kijelentettük, hogy nem lehet valami gyök, mert negatív és négyzetszámnak (vagy páros kitevőjű hatványnak) kell lennie, ott a komplexek segítségével meg kell keresni, hogy melyik számnak a hatványa. Ha komplex számok fogalmát valaki elsajátította, akkor ez nem nehéz feladat. Például vegyük az eredeti feladatban szereplő függvényt: x 6 x 3 2x 2 1 = 2(x x 3 + 1) x A különbség onnantól kezdve van, hogy eljutunk a zárt alakhoz. Ekkor a a 6 + a a kifejezésre kapott negatív megoldások is jók lesznek, mert az a most már értelmezhető akkor is,ha negatív szám. Ezen kívül b = is jó megoldás lesz. x = ( ) 2 3 is gyöke lesz az egyenletnek. 6. Összegzés Az egyenletek megoldása végigível a matematikai tanulmányokon az általános iskolától az egyetemig. A választott feladat alapvetően nem nehéz, de rutin nélkül nem könnyű megoldani. Természetesen a mai korban talán érdemes megemlíteni, hogy ezek a feladatokra könnyű eredményt kapni, főleg egyetemi szinten (hiszen ott már ismert ezeknek a kezelése), különböző programokkal is. Ilyen program a MatLab, a Maple vagy akár a Mathematica (akár az alapján készült Wolfram Alfa). Véleményem szerint ezek használatáról lehet szót ejteni a középiskolában is, de

27 6. ÖSSZEGZÉS 10 hangsúlyozni kell, hogy ez nem pótolja a felkészülést, ha nem rögzül a tudás, nem lehet rá építkezni. Példaként a központi KöMaL-feladat Wolframos megoldását közlöm:

28 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE): A matematika alapjai a közoktatásban 2010/2011 tavaszi félév Matematikatanítás és szakmódszertan 2. m2mn2mtb/2 kedd 10:00 13:00 ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ Vancsó Ödön - 1 -

29 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) Bevezető Jelen dolgozatomban azt szeretném megvizsgálni, hogy a matematika megalapozása hogyan jelenik meg a középiskolai matematika tanításban. Ehhez természetesen meg kell vizsgálni azt is, hogy ennek milyen előzményei vannak 5-8. osztályban. A dolgozat végén pedig konkrét tanítási tervre is kitérek, ami 12. osztályos tanulók számára van kidolgozva a matematika alapjairól. A dolgozat megírásához alapvetően matematika tankönyveket, a Nemzeti Alaptantervet (243/2003. (XII. 17.) Korm. rendelet) és egyetemen szerzett ismereteimet használtam. Nemzeti Alaptanterv A matematikai kompetenciáról szóló rövid szakaszban megtaláljuk a logika szerepét a matematikatanításon belül. A NAT szerint a matematika terén a pozitív attitűd az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok logikus okát és érvényességét keressük. E mögött a megfogalmazás mögött, úgy tűnik, az a szándék van, hogy a matematikát azért kell tanítani, a matematikai kompetenciát azért kell fejleszteni, mert a matematika az igazság lehető legjobb esszenciája, ami a közoktatásban megjelenhet. A matematika alapelveinek és céljainak ismertetésénél hasonló szellemben írja a NAT, hogy az iskolai matematikatanítás célja, hogy a megfelelő nevelő, orientáló és irányító funkciók ellátásával lehetőleg hiteles - ezért egységes, összefüggő - képet nyújtson a matematikáról mint kész tudásrendszerről. Itt is azt láthatjuk, hogy a NAT valamiféle tökéletes tudományként gondol a matematikára, ami kompakt és tökéletes. Ennek megjelenését talán a 2.4. és 2.5. pontban láthatjuk megjelenni, ami a Gondolkodás, illetve Ismeretek rendszerezése. A 2.4. pontban megjelennek olyan dolgok, mint például az összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés; különbözőségek, azonosságok tudatosítása, megállapítása (1-6. osztályban) vagy a matematikai logika nyelvének fokozatos megismerése, tudatosítása; a köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése; a matematikai logika nyelvi sajátosságainak elfogadtatása (5-12. osztályban). A 2.5. pont pedig említi a matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítását (példaként hozva többek között a halmazműveletek és a nyelv logikai elemei közti kapcsolatot)

30 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) A 7. pont, A matematika épülésének elvei gyakorlatilag minden elsajátítandó témakört osztályra helyez. (Egy kivétel a 7-8. osztályra helyezett témakörök összekapcsolásának intuitív módon történő megértése.) Összességében ezek alapján egy olyan matematikatanítás képe rajzolódik ki a magyar oktatásban, amiben a logika és a matematika axiomatikus felépítése már a kezdetektől jelen van, de inkább csak alapozásként, felkészítésként arra, hogy a középiskolában megérthesse a diák, hogyan épül fel a matematika. Ez számomra némileg ellentmondásban áll azzal a matematika-képpel, ami a fentebb leírt egységes, tökéletes egészként állítja a diákok elé e tudományt. Itt nem elsősorban a megismerhetőség problémakörére gondolok, hanem arra, hogy vajon, tud-e a diák egészként tekinteni olyanra, aminek a felépítését csak a tanulmányainak legvégére érti meg és akkor is természetesen csak erősen leegyszerűsített módon. Elérheti-e ez az empirikus megismerésre alapozott tanterv a fent leírt magasztos célokat? Felső tagozat A kérdés megválaszolásához vagy legalábbis a válasz kereséséhez a legjobb módszer véleményem szerint, ha minél gyakorlatiasabban próbáljuk megvizsgálni a tanítást. Ezért döntöttem úgy, hogy a tananyag egyik legkézzelfoghatóbb formáját veszem górcső alá és iskolai matematikatankönyveken keresztül próbálom meg felmérni, hogy a gyakorlatban, hogy adja vissza a tanítás a rendeletben leírt célokat. Az eddigiekből is látszik, hogy alsó tagozatos diákoknál nincs értelme matematika megalapozásáról beszélni, hiszen a műveleti jelek és pár másik operátor bevezetésén kívül semmit nem tanulnak a diákok. A számfogalom és más hasonló bonyolult dolgok mindvégig intuitív módon kerülnek bevezetésre, a gyerekek matematikai érzékére bízva a sikert. Ezt nem érzem azért végletes hibának, hiszen a közoktatás kezdetekor (sőt még talán a középiskolában se) nincs még egy ember azon a kognitív szinten, hogy meg tudja alapozni a matematikát. Erre jó bizonyíték az is, hogy matematika az axiomatizált rendszer előtt is fejlődött és ma is meghaladhatatlan eredményeket ért el az évszázadok során. A felső tagozattal is csak érintőlegesen szándékozom foglalkozni, tekintve, hogy a matematika alapjainak lényegi elsajátítása csak osztályban jelenik meg. A felső tagozatos ismeretekről jó összefoglalót találtam a Műszaki Kiadó tankönyvsorozatának 9. osztályos - 3 -

31 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) könyvének első fejezetében 1. E szerint a középiskola megkezdéséig a diákok halmazokkal, illetve halmazműveletekkel találkoznak felső tagozatban. 9. osztály előtt tudniuk kell, hogy mi az alaphalmaz, komplementer, metszet, unió, különbség, részhalmaz, valódi részhalmaz, mikor egyenlő két halmaz, mi az üres halmaz, sőt még a direkt összeget is. Már találkoznak felsőben az axióma (alapfogalom) fogalmával is. Adott könyv a halmazt, az elemet és az univerzumot (vagy más szóval alaphalmazt) tekinti a halmazelmélet 3 axiómájának. Kimondja, hogy az axiómákból épülnek fel az előbb említett definíciók. Cantor nevét érdekességként említi a könyv. Leírja, hogy az ő általa kidolgozott elmélet a naiv halmazelmélet, melyben a halmaz fogalma is definiálva volt, viszont ellentmondásokhoz vezetett. (Erre még maga Cantor jött rá egy 1895-ös cikke kapcsán.) A Russel-paradoxont is leírja (bár nem nevezi nevén). Az ellentmondások kiküszöbölése megtörtént, axiomatikus felépítés segítségével. Ennek megértését azonban olyan dolognak tartja, amire nincs szükség a középiskolai anyaghoz. Ennek hatékonyságáról felületes pedagógia-pszichológiai és matematikadidaktikai ismereteim miatt nem mernék egyértelműen állást foglalni. Mégis az az érzésem, hogy egy kilencedikeseknek íródott tankönyv esetén, a középiskolai matematikatanulmányok megkezdésekor, az elmúlt időszak összefoglalásakor egy ilyen kijelentés demotiváló lehet és nem áll összhangban a NAT-ban leírt célokkal. A definíciók axiomatikus bevezetése viszont mindenképpen ennek az írásnak egy nagyon pozitív vonzata, bár kétséges, hogy egy 14 éves diák kognitív szintjéhez igazodik-e. Az összefoglaló halmazműveleti tulajdonságokról szóló részében halmazábrák segítségével több tulajdonságot is bizonyít a könyv. Ezek az indempotencia, illetve a metszet, az unió és a szimmetrikus differencia esetében a kommutativitás és az asszociativitás. Az unió disztributivitása a metszetre nézve, illetve ennek fordítottja szintén itt szerepel. A matematika egzaktságával és a halmazelmélet axiomatizmusával mindenképpen ellentétben érzem azt, hogy Venn-diagramok színezésével bizonyítunk halmazelméleti tulajdonságokat. Összességében elmondhatjuk az ismétlő fejezetet végigolvasva, hogy a matematika megalapozásával felső tagozatban csak a halmazelméleten keresztül találkoznak a diákok, és ebben 1 Matematika 9., szerk.:hajdu Sándor, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Továbbiakban HAJDU

32 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) az esetben se történik semmi utalás arra, hogy ezeknek a dolgoknak mi a hasznossága a matematikában. 9. osztály A HAJDU 9. az előbb részletesen ismertetett összefoglaláson kívül nem foglalkozik a halmazelmélettel. Ezzel szemben a Sokszínű matematika tankönyvcsalád 9. osztályosoknak írt kötetében az első fejezete a Kombinatorika, amiben elsőre talán némileg meglepő módon, ott találljuk a Halmazok, a Halmazműveletek, illetve a Halmazok elemszáma, logikai szita alfejezeteket. 2 Tüzetesebb vizsgálat után rájöhetünk, hogy nem véletlenül került ebbe a fejezetbe az általunk vizsgált témakör. A matematika megalapozásáról ugyanis itt sem esik szó, amikor halmazokról beszélünk. Rögtön az elején a halmaz, mint alapfogalom kerül bemutatásra. Ezután definíciók következnek arról, hogy mi a véges halmaz, az üres halmaz, illetve a természetes számok példáján keresztül a végtelen halmaz. Érdekességként megemlítésre kerül Cantor, illetve rövid életrajzi kivonat szerepel róla. Ami jelentősen különbözik a HAJDU 9.-ben található összefoglalástól, az a klasszikus példa a szállodáról, ahol végtelen sok lakosztály van ám, mindegyik foglalt. (Hogy lehet elhelyezni egy új vendéget, illetve végtelen sok új vendéget?) Számomra meglepő, hogy ezt a komoly matematikai absztrakciós készséget igénylő feladatot a középiskolai tanulmányok elejére ágyazza be e tankönyv. A Sokszínű 9. részletesen kitér arra is, hogy miképpen lehet megadni halmazokat. Itt a definiáló tulajdonság vagy elemek beválogatási tulajdonságát említi meg a halmaz elemeinek megadásával szemben. Az A=B definíció szintén itt szerepel, sőt formálisan is kimondásra kerül. (A=B x A x B) A Venn-diagram bemutatása után (rövid kitérő Eulerről, aki először használt köröket halmazok szemléltetésére) rátér a részhalmaz és a valódi részhalmaz fogalmára. Kimondja, hogy egy halmaz mindig részhalmaza önmagának, illetve hogy az üres halmaz, minden halmaznak 2 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István: Matematika 9., Mozaik Kiadó, Szeged, Továbbiakban Sokszínű

33 Dukán András Ferenc (DUAPAAT.ELTE) részhalmaza. Sőt bebizonyítja, hogy minden 3 elemű halmaznak 2 3 =8 részhalmaza van. Itt újra úgy érzem, hogy olyan információkat közöl a diákkal a könyv, amiben önmagában nem lehet mit kezdeni. Végül a halmazműveletekről esik szó. Először is definícióként kimondja az alaphalmazt. (vö.: HAJDU 9. axiomaként kezelte!) Ezután definiálja a komplementerképzést, majd az unió és a metszet műveleteket. Diszjunktságot, különbséget, illetve a disztributivitást szintén itt vezeti be. A fejezet végén a De Morgan azonosságok vannak, természetesen bizonyítás nélkül. Egy számomra a témától teljesen idegen, geometriai probléma, hogy hány részre oszt 3 halmaz egy alaphalmazt. (Vagyis 3 egymást metsző kör, hány részre osztja a síkot.) A halmazok elemszámával és a logikai szitával egy külön alfejezet foglalkozik. 2 és 3 halmaz esetére a logikai szita formálisan is leírásra került. Ennek, illetve a Sokszínű 9. halmazokról szóló részének eddig említett csapongásainak, kitérőinek magyarázatát abban látom, hogy a könyv szakítani próbál az axiomatikus halmazelmélettel. A halmazokkal, mint matematika egyik átlagos területével foglalkozik csak. A halmazok a könyv szemléletében egyszerűen csak szemléltetnek más problémákat. A kombináció és a variáció felvezetése a cél a bevezetésükkel. Ez a gondolat nem áll messze a NAT azon törekvésével, hogy az empirikus megismerés után csak a tanulmányok végén történjen meg a matematika elméleti megalapozása, amennyiben úgy tekintjük, hogy a középiskola még nem jelenti a tanulmányok végét, csak az érettségi előtti közvetlen időszak. Kognitív szempontból itt se merek pálcát törni ezen szemlélet felett osztály A HAJDU és semmilyen matematika alapjaival foglalkozó fejezetet nem tartalmaz. Legalábbis az eddig vizsgált esetekhez hasonlóan direkt módon. A Sokszínű matematika sorozat 10. osztályosoknak szóló kötetében 5 azonban az első fejezet a Gondolkodási módszerek. Ebben a fejezetben először egy állítás szükségessége és elégségessége közötti különbség 3 Matematika 10., szerk.:hajdu Sándor, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Matematika 11., szerk.:hajdu Sándor, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István: Matematika 10., Mozaik Kiadó, Szeged, Továbbiakban Sokszínű