DEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS TECHNOLÓGIAI KAR. Lóki József Demeter Gábor

Átírás

1 DEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS TECHNOLÓGIAI KAR Lóki József Demeter Gábor

2 Lektorálta: Turjányi Sándor Irták: Lóki József : (., 3 6. fejezet: elmélet és geográfiai alkalmazások, kidolgozott példák és feladatok) Demeter Gábor: (..,., 5.3, 5.4, fejezet: elmélet és geográfiai alkalmazások, példák és feladatok, SPSS alkalmazások) Közremködtek: Buday Tamás (.,.,. fejezetek megírásában, a 3., 5., 7., 8., fejezetek példáinak kidolgozásában) Pénzes János (5.4 fejezet példáinak kidolgozásában) ISBN Kiadta: a Debreceni Egyetem Egyetemi és Nemzeti Könyvtár Kossuth Egyetemi Kiadója Felels Kiadó: Dr. Virágos Márta figazgató Felels szerkeszt: Bálint Ágnes Készült: a DE sokszorosítóüzemében, 009-ben Terjedelem: A/5 ív..

3 Tartalom Elszó. Sík- és térkoordináta rendszerek. Trigonometriai függvények geográfiai 7 alkalmazásai. Nevezetes vonalak, távolságok és felületek.. Kétdimenziós koordináta rendszerek 7.. Háromszögdiagram.3. Háromdimenziós koordináta rendszerek 6.4. Trigonometria 9.5. Nevezetes vonalak 3. Gömbháromszögtani tételek és alkalmazásuk. Távolság és terület 35 mérésének lehetségei, számítási feladatok.. Gömbi geometria 35.. Gömbháromszögtani tételek A differenciál- és integrálszámítás alapjai Differenciálszámítás Integrálszámítás Földi pontok koordinátáinak átszámítási lehetségei. Vetületi 53 transzformációk. Mérések, számítások pontosságának vizsgálata 4.. Transzformációk Koordináta transzformációk Magasabbrend transzformációk Hazai térképvetületek transzformációja Adatok, adattípusok, adatgyjtés (minta, mintavételezés, és szabályai). 67 Régi mértékegységek és átszámításuk 5.. Adatok, adattípusok Adatgyjtés, adatnyerési eljárások, adatforrások Mintavételezés Mveletek adatokkal Mértékegységek és átszámításuk Mátrixok. Mátrixmveletek és tulajdonságaik Mveletek mátrixokkal Mátrixmveletek tulajdonságai Halmazok, halmazmveletek és tulajdonságaik A halmaz fogalma Halmazmveletek és tulajdonságaik Valószínségszámítás A valószínségszámítás alapjai Mveletek eseményekkel A valószínség fogalma Geometriai valószínség Feltételes valószínség Valószínségek szorzási szabálya A teljes valószínség tétele Események függetlensége 00 3

4 9. Folytonos valószínségi változók eloszlásai Egyenletes eloszlás Normális eloszlás Lognormális eloszlás Exponenciális eloszlás n szabadságfokú -eloszlás 9.6. Student- vagy t-eloszlás 9.7. Binomiális eloszlás 9.8. Hipergeometrikus eloszlás Poisson eloszlás 5 0. Matematikai statisztika hipotézisvizsgálat illeszkedésvizsgálat Hipotézisvizsgálat Az egymintás t- (Student) próba 0.3. A kétmintás t próba A χ próba Illeszkedésvizsgálat 6. A becslés 33.. A pontbecslés 33.. Az intervallumbecslés A legkisebb négyzetek elve A középérték becslése A szórás becslése A konfidencia-intervallum fogalma Az adatok súlyozása 36. Dinamikus fizikai földrajz Korreláció- és regressziószámítás Az SPSS szoftver fbb jellemzi Korrelációszámítás Regressziószámítás A korrelációs együttható szignifikancia vizsgálata A regresszió becslés pontossága Idsorok elemzése A trendszámítás módszerei SPSS alkalmazások Faktoranalízis, fkomponens-analízis Faktoranalízis Faktoranalízis az SPSS-ben Fkomponens-analízis 5 5. Klaszteranalízis A klaszterelemzés fajtái Klaszteralízis az SPSS-ben Diszkriminancia-analízis Diszkriminancia-analízis az SPSS-ben 39 Felhasznált irodalom 43 Mellékletek 45 4

5 Elszó A Geomatematika tantárgy a bolognai rendszer keretében került bevezetésre, s egyike azon szerencsés lépéseknek, melyek valóban reformnak tekinthetk. A matematika oktatása korábban nem került középpontba a debreceni földrajzi és földtudományi képzés keretein belül, a matematika-földrajz, vagy fizikaföldrajz szakon végzettek száma elenyész volt. A régi képzésben a matematika önálló tárgyként nem jelent meg, míg most a geomatematika a BSc és MSc képzésben egyaránt végigvonul, rangot kölcsönözve a tárgynak, új koncepciót tükrözve. Az új felsoktatási rendszerben a földtudomány BSc szakos hallgatóknak tanított matematika nélkülözi a földtudomány és földrajz szellemiségét, óraszáma nem elegend arra, hogy szilárd elméleti alapokat adjon, sem arra, hogy feladattípusokat gyakoroltasson be. A földrajz BSc szakos hallgatók matemaikai felkészültsége változó, s még az elbb említett alapozó képzésben sem részesülnek az els évben. E jegyzet megírásával a hiánypótlás volt cél, ennek megfelelen az elméleti anyagrész alárendelt (a hagyományos tétel - bizonyítás sorrendbl a bizonyítás hiányzik), a gyakorlati alkalmazásokon van a hangsúly: az információs társadalom számára nélkülözhetetlen adatnyerési és kiértékelési módokat is bemutatjuk az SPSS használatán keresztül, lehetvé téve nagy adatmennyiség gyors feldolgozását, ezzel megkönnyítve az elemz munkáját. E jegyzet elssorban a földrajz szakos hallgatóknak íródott, de hasznosan forgathatják a földtudomány szakosok is. Terjedelme jól tükrözi a dilemmát: kiindulva az igényekbl, a BSc képzés jellegébl és a hallgatók elzetes matematikai tudásából, e jegyzet inkább széles tudásterületet ölel fel, mintsem mélyen foglalkozik egy-egy témakörrel. (Maradtak ki így is fontos területek, mint pl. a gráfelmélet). Azonban az itt összegyjtött ismeretanyag elsajátítására egy félév még így sem elegend. Ebbl következen más tárgyak (Bevezetés a földrajzi adatbáziskezelésbe, Földrajzi helymeghatározás), illetve az MSc-képzés keretein belül is visszatéren hasznosítható e jegyzet: a benne lév ismeretanyag közel három félévet tölt ki, noha az egyes speciális alkalmazásokat (regionális elemzési módszerek, dinamikus földrajz) csak érintlegesen tárgyalja. A földrajz sokszínségébl ereden e jegyzet igyekszik nemcsak a matematika mindazon témaköreire kitérni röviden, amelyet egy földrajzos hasznosan alkalmazhat (és jó eséllyel meg is ért), hanem a különböz alkalmazási területek (társadalomföldrajz, természetföldrajz, geológia, meteorológia) is megjelennek. Kifejezetten geomatematikai tárgyú jegyzet ugyan született nemrégiben Geiger János tollából, de túlságosan magas szint (és geológiai szemlélet) ahhoz, hogy a biztos alapokat nélkülöz BSc-képzésben részt vev els évfolyam tananyagául szolgáljon. Más munkák (pl. a Regionális elemzési módszerek c. könyv) túl specifikusak egy alapképzésben részt vev számára. E jegyzet számos kidolgozott 5

6 példát tár az olvasó elé, végigvezetve a számolást, illetve illusztrálva a szoftverhasználatot, talán ebbl a szempontból jelent nagyobb segítséget azon hallgatók számára, akik matematikai tudása nem nyugszik stabil alapokon, vagy éppen a gyakorlatorientáltságot hiányolják. Köszönet illeti a lektort, Turjányi Sándort, az Algebra és Számelmélet Tanszék adjunktusát a kézirat ellenrzéséért, pontos és gyors munkájáért. Debrecen, a szerzk 6

7 . Sík- és térkoordináta rendszerek. Trigonometriai függvények geográfiai alkalmazásai. Nevezetes vonalak, távolságok és felületek... Kétdimenziós koordináta rendszerek A Descartes-féle koordináta-rendszer Vegyünk fel a síkon két egymásra merleges számegyenest, amelyeknek a nulla pontja közös. Ez a pont a koordinátarendszer origója, a számegyeneseket pedig tengelyeknek nevezzük. Az els az abszcissza tengely és a neve legyen x. A másik számegyenes az ordináta tengely és nevezzük y-nak. (A tengelyeket más betkkel is megnevezhetjük.) A két tengely a síkot négy síknegyedre osztja. Geometriai szemléltetésben a két tengely egységét általában egyenlnek vesszük, de ha a két tengelyre két különböz jelleg mennyiséget mérünk föl, akkor ennek nincs jelentsége. (pl. a szedimentológiában az x tengelyen logaritmikus skálát alkalmazunk) A pontok helyét a koordinátatengelyek síkjában a tengelyekhez viszonyított helyzete határozza meg. Vegyünk fel egy P pontot a síkon és illesszünk rá a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket. Az y tengellyel párhuzamos egyenesnek az x tengellyel alkotott metszéspontja legyen x (a számegyenesen lev valós szám), az x tengellyel párhuzamos egyenes és az y tengely metszéspontja pedig legyen y. A P pont koordinátái x és y, amelyeket ebben a sorrendben, úgynevezett rendezett pár formájában rendelünk egy ponthoz. A sík pontjai és a rendezett valós számpárok között kölcsönösen egyértelm kapcsolat van. Jelölés: P(x, y) A négy síknegyed pontjait egyértelmen meg lehet különböztetni a koordináták eljele alapján. 7

8 Polár síkkoordináta-rendszer P (α, d) (Erre késbb visszatérünk.) Jelöljünk ki egy pontot a síkon (origó), s egy kezdirányt a kezdpontból kiindulva (origótól). A sík egy pontjának meghatározásához ebben a koordináta rendszerben is két koordináta értékre van szükség. Az egyik koordinátát a pontnak az origótól mért távolsága (d), a másik koordinátát a kezd irányhoz képest elforgatott szög (α) adja. Jelölés: P(α, α,d) A földrajzban a rögzített irány az észak, és a szöget tle az óramutató járásának megfelelen mérjük. (A csillagászatban a rögzített irány a dél!) A matematikában a pozitív irányú elfordulás az óramutató járásával ellentétes irányú. Tájékozódásnál a tájoló használatakor csak irányszöget mérünk, a d-t elhagyjuk. A polárkoordinátákból képezhetünk Descartes-féle koordinátákat szögfüggvények segítségével. Geográfiai alkalmazások A Descartes-féle koordináta-rendszert számos területen használjuk, hiszen egyfell térbeli jelenségek ábrázolására alkalmas, ami a földrajz számára elnyös, másrészt a két- és háromváltozós pontdiagramok (lásd excel) is ezen alapulnak. A földrajzi tájékozódásnál gyakran adódik olyan feladat, hogy egy adott, ismert koordinátájú pont helyét be kell jelölnünk topográfiai térképen, illetve a térkép segítségével meg kell határoznunk egy tereptárgy koordinátáit. A térképtanból ismert EOTR (Egységes Országos Térkép Rendszer) térképek egy olyan derékszög koordinátarendszernek tekinthetk, amelynek kezdpontját 00 km-re D-re, illetve 650 km-re Ny-ra tolták el a henger és a felszín érintési pontjától. Az EOV vetületi rendszerben készült térképek vízszintes tengelye az y, a függleges tengelye pedig az x jelet kapta. Ennek megfelelen a pont koordinátáinak általános jelölése P (y, x). Például a P ( , ) koordinátájú pont a kezdponttól m-re (800 km) K-re és m-re (50 km) É-ra helyezkedik el. A polár sík kordináta-rendszert általában akkor használjuk, ha térkép és irányt segítségével tájékozódunk. Egy kiindulási helyrl elre adott irányba, 8

9 megadott távolságra kell eljutnunk, vagy a két objektum egymáshoz viszonyított helyzetét kell meghatároznunk távolság és irány (azimut) megadásával. Alkalmazási területei: a, vetülettan (a koordináta-rendszerek közötti szoftveres átszámításokkal külön foglalkozunk) b, társadalomföldrajz (ide tartoznak egyrészt a súlypont meghatározási és súlypont-eltolódási példák, melyek egyben átvezetnek bennünket a statisztikai paraméterek alkalmazásának fontosságához is pl. súlyozott átlagok megjelenítése a térben, másrészt pl. népesedési és migrációs egyenleg vizsgálatához is használható) c, a talajvíz-áramlási irány meghatározása (ez átvezet bennünket a szögfüggvények használatához) d, geológiában a dlés és áldlés elkülönítése: erre a talajvíz-áramlás irányának analógiájára látunk majd példát e, disztancia-vizsgálatok (különbség-értékek térbeli megjelenítése) f, két és háromváltozós pontdiagramok (a két utóbbival az SPSS alapjainak megismerése után foglalkozunk) a, Vetülettani alkalmazások Mivel térbeli jelenségek ábrázolására alkalmas, nem véletlen, hogy pl. az EOV és a sztereografikus koordináta rendszerek is a Descartes-féle szisztémán alapulnak (lásd részletesen a vetületi átszámítások gyakorlásánál). Más vetületi rendszerek polárkoordináta rendszereket használnak. A szoftverek többsége x, y, z koordinátákat kér, tehát az EOV-koordinátákat át kell váltani! A sztereografikus koordinátáknál ne feledjük, hogy a pozitív és negatív irányok felcseréldnek, tehát a jobb fels síknegyed rendelkezik mindkét tengelyen negatív értékekkel, míg a bal alsó lesz a pozitív síknegyed. Az általunk használt vetület.exe nevezet program mm élesen kéri a pontokat, ezért pl. a EOV koordinátát ként kell megadni. A sztereografikus rendszernél ne feledjük a negatív jelet kitenni, ha a papír alapú koordináta értékeink is ezt jelzik. Példa: Egy P pont koordinátái Descartes-féle derékszög koordinátarendszerben P(3;4;). Határozzuk meg a pont koordinátáit hengerkoordinátákban, a függleges tengelyek beosztása egyezzen meg. Az áttérés a x = rcos, y = rcos, z = z egyenletek átrendezésével r = 5, =53,3, z = 9

10 Feladatok, Számolja át a következ EOV koordinátákat a vetület.exe segítségével WGS84 be: 98450; , z = 40,34 m (azt, hogy melyik koordináta az EOV X, szándékosan nem adjuk meg, ugyanis ezt az értékek alapján tudni kell térképészetbl)., Számolja át a következ WGS84 koordinátákat EOV ba a vetület.exe segítségével: északi szélesség: 47 o 34 és keleti hosszúság: 0,33 o, magasság 3,5 m. (Figyelem! Az adatok két eltér mértékegységgel vannak kifejezve, átváltás szükséges, annak megfelelen, hogy a vetület.exe hogyan kéri betáplálni az adatokat!) 3, Számolja át a következ budapesti sztereografikus koordinátákat a vetület.exe segítségével EOV be és WGS84-be: northing: 5365 és easting: 875 (a northing (É) és easting (K) angolszász kifejezést a geoinformatikai szoftverek gyakran használják). b, Társadalomföldrajzi alkalmazások A súlypontszámításnál a Descartes-féle koordináta rendszerrel valódi földrajzi elterjedéseket vizsgálhatunk. A súlypontszámítási metódus lényege, hogy ha a mintavételi pontokat egy síkbeli pontrendszerben (ez lehet az EOV vetületi rendszer, illetve tetszlegesen alkotott koordináta rendszer) elhelyezzük, a települések alappontjaihoz harmadik dimenzióként egy egy súly (tömeg) rendelhet mely lehet a népességszám, foglalkoztatottak száma, távbeszél fvonalak száma, összes tke, stb. amelybl egy súlyozott átlag számításával megkapjuk a vizsgált jelenség súlypontjának x és y koordinátáját az adott területi egységen belül (megye, statisztikai kistérség, kistáj). x n i= = n i= f i f x i i n i= = n i= Ez a módszer alkalmas statikus és dinamikus vizsgálatokra. A statikus vizsgálatokhoz tartozik: egy változó súlypontjának összevetése a regionális/a geometriai központ/lakossági súlypont elhelyezkedésével, y f i f y i i 0

11 több változó súlypontjának összevetése a regionális központ (geometriai központ) helyével, több változó esetén a változók egymástól való távolsága (koncentráltság). A dinamikus vizsgálatokhoz tartozik: egy változó súlypontjának mozgása az id folyamán, több változó súlypontjának mozgása az id folyamán, a regionális vagy geometriai centrumtól való távolság módosulásának mérése (koncentráció-dekoncentráció vizsgálata). A vizsgált jelenség legyen az a lélekszám, a GDP, vagy a tercier szektor súlypontja, - súlypontjának távolsága a valódi vagy ideális centrumtól (geometriai középpont) meghatározható. A vizsgálat lehet statikus és dinamikus, azaz a súlypont-eltolódás irányát és nagyságát is mérhetjük, hiszen vektorok keletkeznek. A mérés során a kezdpont és végpont koordinátáit kivonjuk egymásból, majd a Pithagorasz tétel felhasználásával a vektorok kiszámíthatók. Tehát AB szakasz hossza, mely A (x, y) és B(x, y ) koordinátákkal jellemezhet: AB = (x x) +(y y) Egyszerre több, egymással összefüggésben lév jelenség is ábrázolható: a munkanélküliség súlypontjának eltolódása esetén például arra számíthatunk, hogy mozgása ellentétes lesz a jövedelem, vagy a külföldi tke, vagy akár a lakásárak súlypontjának mozgásával. A munkanélküliség súlypontjának és a lakosságszám súlypontjának együttmozgása esetén arra következtethetünk, hogy a nagy népességszaporulattal rendelkez szegregálódó térségekben a munkanélküliség is nagy. Egy id után viszont a gazdasági kényszerrel magyarázható migrációs folyamatok miatt megindul a lakosság elvándorlása, amelyet a munkanélküliség súlypontja ugyan követhet, de csak bizonyos késéssel. A következ ábráról leolvasható, hogy erteljes centralizáció játszódik le a régióban. A tke és a lakosság súlypontja a közigazgatási centrum felé tolódott 0 év alatt, míg a munkanélküliség a centrumtól távolodva a perifériába került át. Ugyanez a súlypontszámítási módszer használható a klimatológiában (pl. a szárazsággal jellemezhet területek súlypontjának eltolódása is mérhet ezzel ekkor a súlyfaktor a csapadék, a napsütéses órák száma stb.).

12 Példa: Súlyponteltolódás és a centrumoktól mért távolság A Líbiai sivatagban négy mérállomás mérte között a csapadékot. Ghat állomás koordinátái: K.h.0 o, É.sz. 5 o, a csapadék 70 mm, Ghadamesé K.h.0 o, É.sz.30 o és 85 mm, Murzuké K.h.4 o, É.sz. 6 o, 00 mm, Bengházié K.h. 0 o, É.sz. 33 o és 300 mm. 000-re a csapadék rendre 50 mm, 80 mm 0 mm és 300 mm. Hová helyezdött át a területen a csapadék súlypontja? (A Föld felszínének görbületét a példában mellzzük). A számítás menete: súlyozott átlagot számítunk 950 re, majd 000 re külön külön az x és y koordinátára. A súlyozó faktor a csapadék. x (950) = ( ) / ( ) = 8950 / 555 = 6, y (950) = ( ) / 555 = 30 x (000) = ( ) / ( ) = 8980 / 550 = 6,3 y (000) = ( ) / 550 = 30,3 Az elmozdulás nagysága v = (30,3 30) +(6,3 6,) = 0,3, v=0,36 o ( o =,3 km) A vonzáskörzet meghatározásának legegyszerbb módszerénél az elzhöz hasonlóan járunk el. A két mintavételi pont közötti távolságot a súlyfaktorok arányában osztjuk fel, a pontos koordinátákat az elzek alapján számoljuk. A

13 terület meghatározása csak azon települések esetében lehetséges, amelyek összeköttetésben vannak. (Tehát, ha A és C városok közé beékeldik B város, akkor A vonzáskörzete nem terjedhet túl rajta C irányába). Hasonló elv alapján interpolál/extrapolál a Surfer szoftver is. Fizikai analógiákat felhasználva e módszer alkalmas települések (v. bármely két pont) közötti vonzó/taszítóer megmérésre. A vonzó hatás a tömeggel (lásd az elz feladatokban szerepl súlyozó tényezk, pl. lakosságszám, összes tke, kórházi ágyak száma stb.) egyenesen, a távolság négyzetével (esetenként nagyobb kitev is használható) pedig fordítottan arányos. (m.m )/r = G Ha koordinátarendszerben lév pontokról van szó, a közöttük lév távolság mérhet (pl. EOVx, EOVy vagy és ). A légvonalban mért távolság helyett életszerbb a közúton v. vasúton mért távolságokkal, még helyesebb az elérési idvel számolni, különösen ott, ahol terepakadály gyengíti a vonzó hatást (hegység, folyó, stb.). A gravitációs modell felhasználható: a, települések közötti vonzóer meghatározására (pl. A és B között nagyobb a vonzer, vagy a A és C, avagy B és C között), b, az adott pontra ható összes vonzóer kiszámítására - ekkor az adott A pontra B, C, és D pontok által gyakorolt vonzó hatás összeadódik. c, ekvipotenciális vonal/felület kijelölésére - ebben az esetben azt vizsgáljuk, hogy két vagy több központi település esetében hol húzható meg a vonal, ahol gravitációs potenciáljuk egyenl, azaz hogyan osztoznak meg a többi településen (ponton). Több település esetén vizsgálható a másodlagos szívó hatás is. 3

14 A kitev értékének növelésével az ekvipotenciális vonal futása is változik: azt a kitevt célszer választani a vizsgálatban, amely már csak minimálisan változtatja meg a határokat. Az eredményeket mindig diszkutálni kell a helyes interpetáció érdekében. Példa: A városban a boltok száma 00, B városban 00, C városban 300. A és B távolsága 00 km, A és C távolsága 00 km, B és C távolsága 70 km. Határozzuk meg a vonzert az egyes városok között és a potenciáltér nagyságát minden egyes városban (r -tel számolva). G AB = /00 = P A = +0,75=,75 G AC = /00 = 0,75 P B = +,= 4, G BC = /70 =, P C =0,75+,=,95 Ha pl. B és C centrumoknak tekinthetk, akkor A pont B vonzásterébe tartozik, mert C hatása rá G=0,75, míg B-é G=. A népességszám-változás és migrációs mérleg meghatározására is használható a Descartes féle koordináta rendszer, amely itt fiktív térként szerepel. Az egyik tengelyen a természetes szaporodás és fogyás, a másik tengelyen a bevándorlási nyereség és veszteség szerepel, mint a szaporulatot meghatározó tényezk. Ennek köszönheten a települések besorolhatók a létrejött négy síknegyedbe úgy, mint természetes szaporulattal és vándorlási nyereséggel rendelkez, természetes szaporulattal és vándorlási veszteséggel rendelkez, természetes fogyással és vándorlási nyereséggel rendelkez, ill. természetes fogyással és vándorlási veszteséggel bíró települések. A település lélekszámának növekedését vagy csökkenését a migráció és a természetes szaporulat alakulásának függvényében pedig az x + y = 0 egyenlettel leírható egyenes jelzi, végeredményben 6 népesedési típust bemutatva. Ezt szemlélteti a következ ábra. 4

15 Települések csoportosítása népesedési jellemzk alapján koordináta-rendszerben (Szerk.: Süli-Zakar I.) Feladatok, A város (koordinátái: 6, 6) ipari munkássága 0000 f, B városé (3, ) 000 f, C városé (9, 7) 000 f, D városé (0,) 4000 f 990 ben ben az adatok rendre A : 8000, B : 4000, C : 7000, D : 0. Hol volt a régióban az iparban foglalkoztatottak súlypontja és hová tolódott el 000-re? Ha között megduplázódik minden település ipari népessége, hová tolódik el a súlypont? Ha a 4 város lakossága elször rendre 9 ezer, 3 ezer, ezer és 8 ezer f volt, majd 0 év múlva 6 ezer, 0 ezer, 4 ezer és 3 ezer, akkor az ipari népesség súlypontja közelebb került a lakosság súlypontjához, vagy sem? Mire következtethetünk ebbl?, 990-ben A városba (koord., ) befektetett tke 000 millió fabatka, B városé (3, ) 000, C városé (9, 4) 000, D városé (0,) ben az adatok rendre A: 8000, B: 4000, C: 7000, D: 0. Hol volt a régióban a tke súlypontja és hová tolódott el 000-re? A munkanélküliség ugyanakkor rendre (ABCD): 000, 000, 3000, 000 f 990 ben, 000 ben pedig (ABCD sorrendben): 000, 3000, 0, 4000 f. Merre tolódott el a munkanélküliség centruma a kistérségben? Van e kapcsolat a munkanélküliség súlypontjának 5

16 és a tke súlypontjának elmozdulása között? Mire következtethetünk ebbl? Ha C város a közigazgatási központ, akkor a súlypontok koncentrációja v. dekonctrációja zajlott le? 3, Helyezze el a koordináta-rendszerben a következ településeket népesedési adataik alapján: Halomhegy (természetes szaporulat = 300 f, vándorlási egyenleg = +00 f), Sárfüred (természetes szaporulat = +36, vándorlási egyenleg 56), Gyopároskedd (természetes szaporulat = +03, vándorlási egyenleg = ) 4, A városban (koordinátái: 6, 6) naponta a vidékrl bejáró ipari munkásság létszáma 0000 f, B városé (3, ) 000 f, C városé (9, 7) 000 f, D városé (0,) 4000 f 990 ben. Határozza meg gravitációs modell alapján a települések vonzáskörzetét! 000 ben az adatok rendre A : 8000, B : 4000, C : 7000, D : 000. Hogyan változott a vonzáskörzet nagysága (egyenletes településsrséggel számolva, a települések közti távolságot a súlyfaktorok értékeinek arányában felosztva)? 5. A város (koordinátái: 6, 6) ipari munkássága 0000 f, B városé (3, ) 000 f, C városé (9, 7) 000 f, D városé (0,) 4000 f 990 ben. Határozza meg a városok közötti (ipari) vonzer nagyságát! Ha A és D a központi település, hogyan osztoznak meg a téren (B és C melyik vonzáskörzetébe tartozik?) 6. Helyezze el a koordináta-rendszerben a következ településeket népesedési adataik alapján: Kisvásárhely (természetes szaporulat éves átlaga között = +3%, vándorlási egyenleg = +%, között ez rendre +% és 0% ), Pénzpatak (természetes szaporulat éves átlaga között = +%, vándorlási egyenleg = 8% között 6% és +%), Virágosrét (természetes szaporulat között = 5%, vándorlási egyenleg = %, között % és +%). Számolja ki, hol a legnagyobb a változás/elmozdulás az es periódushoz képest! 7. Az alábbi táblázat adatai alapján határozza meg Bécs, Budapest, Belgrád és Bukarest vonzásának határait 850-ben és 94-ben. Számolja ki az összpotenciált a vizsgálati területen! (A táblázatot követ ábrák a megoldást mutatják be, a távolság légvonalban térképen mérve, egy egység 7 km) 6

17 lakosság (000 f) x y Budapest távolsága Bukarest távolsága Prága távolsága Bécs távolsága Belgrád távolsága Trieszt ,50 45,50 7,90 53,40 87,0 Zágráb ,50 45,50 48,50 4,70 60,00 Graz ,00 46,50 45,00 5,70 0,64 Bécs ,00 48,00 33,60 40,30,00 Pozsony ,50 48,00 3,60 47,40 0,40 Brno ,00 49,00 4,00 7,90 7,30 Plzen ,50 49,50 76,80,0 44,50 Budejovice ,50 49,00 6,00 4,40 7,40 Prága ,50 50,00 7,30,00 40,30 Eger ,00 50,00 90,30,54 57,90 Ostrava ,00 49,50 40,30 4,40 34,90 Krakkó ,00 50,00 45,0 64,60 53,80 Lvov ,50 49,50 7,70 97,40 4,70 96,50 Csernovci ,00 48,00 85,60 68,80 5,60 Kolozsvár ,50 46,50 59,0 5,30 9,70 Temesvár ,00 45,00 4,70 66,8 74,50,40 Budapest ,50 47,00,00 07,60 7,30 33,60 5,70 Debrecen ,50 47,00 3,60 80,0 64,40 Szeged ,50 46,00 6,50 93,50 57,70 8,40 Szabadka ,00 46,00 9,30 86,80 57,80 3,70 Belgrád ,00 44,50 5,70 74,00 79,70,00 Szófia ,50 4,50 03,80 48,00 33,60 53,80 Bukarest ,00 44,00 07,00,00 40,30 74,70 Galati ,50 45,00 8,70 8,80 54,50 Iasi ,00 47,00 05,60 49,80 37,90 Chisinau ,00 47,00,60 57,40 55,60 Pécs ,50 46,00 8,0 43,50 37,0 Újvidék ,00 45,00 40,90 84,80 65,80 3,40 Zombor ,50 45,50 30,80 93,70 54,0 5,00 Kassa ,50 48,00 34,50 59,30 Nagyvárad ,00 46,50 39,70 69,80 73,0 Arad ,50 45,50 38,00 68,50 7,00 8,90 Brassó ,50 45,00 86,80 9,30 0,00 Szeben ,00 45,00 70,70 37,00 04,00 Nis ,00 43,00 8,30 59,90 09,00 3,00 7

18 Budapest és környez fvárosok vonzástere 850-ben (vékony fekete), 90-ben (vastag fekete), 940-ben (szürke) lakosságszám alapján és kapcsolatuk a tényleges határokkal. A sraffozás az átmeneti zónát jelzi, ha r helyett r 3 -t választunk Eger Plzen Trieszt Praha Budejovice Graz Zágráb Brno Wien Bratislava Pécs Ostrava Kraków Budapest Zombor Szabadka Szeged Újvidék Kassa Debrecen Temesvár Arad Beograd Lwów Kolozsvár Nagyvárad Szatmárnémeti Csernovci Marosvásárhely Szeben Brassó Bukarest Iasi Galati Chisinau A fvárosok vonzáskörzetének határa és az összpotenciál 850-ben koordinátarendszerben (szélességek és hosszúságok) ábrázolva Nis Sofija 8

19 c-d, Talajvíz-áramlási irány és a dlésirány meghatározása Az egyszerbb, grafikus módszer esetében a vizsgálat elvégzéséhez legalább 3 pontra (észlelkútra) van szükség, melyek koordinátái egy általános háromszöget határoznak meg. Ha adott a terepszint magassága és ismert a talajvízállás, akkor a talajvízszint tszf.-i magassága is kiszámítható. Ezt követen ott, ahol a legnagyobb a talajvíznívó dlése tehát a legmagasabb és legalacsonyabb vízállással bíró oldalon bejelöljük a harmadik oldalhoz tartozó vízállást. Ha esetünkben a legmagasabb vízállás 56 m, a legalacsonyabb 53 m, azaz a szintkülönbség 3 m, a harmadik csúcsban pedig a vízszint 54 m, úgy a 54 m-es magasságot jelöl pont : arányban osztja fel az elz szakaszt (tehát a talajvízállás értékét súlyfaktorként használjuk). Ezt a pontot összekötjük a 54 m-es csúccsal, majd az így keletkezett szakaszra merlegest állítunk a 56 m-es csúcsból. Ez utóbbi lesz az áramlás iránya, mely tehát merleges az elbb meghatározott 54 m-es izovonalra (a lejtés merleges a szintvonalakra). Az áramlás addig tart, míg a vízszintkülönbség ki nem egyenlítdik, az áramlás sebessége tehát csökken, akárcsak a nívó lejtése. Ha ismeretesek az áramlási irányt reprezentáló vektor kezd és végpontjának koordinátái, akkor meghatározható a megtett út (s), és az áramlás (v. szenynyezés terjedésének) kezdeti sebessége: v = a s, ahol a (gyorsulás) = g. sin α. A kezdeti lejtés (α) kiszámolható, ha ismeretes a vektor kezd- és végpontjánál pontjánál a talajvízszint tszf.-i magassága. A gyorsulás és az eltelt id ismeretében az áramlás (szennyezés) terjedése (s) megadható: s = a t A D C 56 (3;6; 58, -) B 54 (5;3; 56, -) 53 (;; 54, -) A felszín lejtésirányának (szaggatott) és a talajvíz-áramlás irányának (folytonos) meghatározása 3 észlelkút alapján (x, y, z koordináták és a felszíntl mért talajvíz-mélység). 9

20 Elfordulhat, hogy a vektor kívül esik a háromszögön, de ez nem ad rossz eredményt. Amennyiben háromnál több kutunk van, úgy az irányt minden kúthármasnál meg kell adni, majd a vektorokat összegezni.(ugyanezt automatizáltan végzi el a Surfer program). Mivel nem a felszínt, hanem a vízszintet vizsgáljuk, a z koordináták értékeibl a talajvízállást mélysége kivonandó. A felszíni értékekre elvégzett hasonló vizsgálat a felszín dlésének irányát adja meg. A következ ábrán érintkez keresztszelvényekben, valamint kibukkanó rétegfelszínen valódi és áldlés látható. Felszíni réteg áldlése és valódi dlésiránya Keresztszelvényben látható réteg dlésének meghatározása A rétegfelszínek dlésének kijelölése nehéz, hiszen a legmagasabb és legalacsonyabb pont összekötése sokszor nem a valódi, hanem az áldlést adja meg. A dlésirányt terepen a legegyszerbben úgy állapíthatjuk meg, hogy vizet csepegtetünk a felületre. Amerre a víz fut, arra van a valódi dlésirány. Ezt követen bányászkompasszal a dlés azimutja és az irány meghatározható polárkoordinátarendszerben. Hasonlóan kell eljárni, ha két rétegtant bemutató keresztszelvényünk van, melyek egy közös ponton érintik/metszik egymást és egy fedvel és feküvel is rendelkez (tehát terepen nem látható) réteg valódi dlését kívánjuk megállapítani. Mind a talajvíz áramlási irány, mind a rétegdlés kiszámítható vektorokkal, megadhatók a pontos koordináták is, de mivel ezt szoftverek (pl. a Surfer) is elvégzik, ezekkel itt nem foglalkozunk. 0

21 Feladatok, Egy talajvízkútban (EOV , 78650, 99) a vízállás,5 méter, egy másikban (833590, 78600, 0), méter, egy harmadikban (8350, 78940, 97) pedig 3 méter. Határozza meg a talajvízáramlás irányát grafikusan, a nívó kezdeti dlésszögét és az áramlás kezdeti sebességét., Egy talajvízkútban (99 m) a vízállás,5 méter, a tle 500 méterre lév 00m tszf. magasságú kútban,m. Mennyi a talajvíz várható magassága a, félúton b, az els kúttól 350 méterre? 3, Egy mészkréteg tetejének EOV koordinátái egy geológiai rétegszelvényben: kezdpont (834440, 78650, 79), végpontjáé: (833590, 78600, 44). A vele érintkez másik szelvényben e réteg koordinátái a következk (83500, 78000, 05) és (833590, 78600, 44). Számolja ki a rétegek dlését mindkét szelvényben, áldlését a vízszintes síkhoz képest, és határozza meg a rétegek valódi dlését és csapását (a három pont által meghatározott síkon). 4, Határozza meg a talajvízáramlás irányát és kezdeti áramlási sebességét a következ koordináták alapján: A (x,y,z, h):,, 7, ; B (x,y,z, h): 8, 4, 66, ; C (x, y, z, h): 3, 8, 70, -! 5, Határozza meg a valódi dlés irányát a következ koordináták alapján: A (x, y, z):,, 7, B (x, y, z): 8, 4, 69, C (x, y, z, h): 3, 8, 70! 6, Számolja ki a két, a fenti ábrán látható, nem feltáruló réteg valódi dlésének szögét!.. Háromszögdiagram A háromszögdiagram a földtudományok több területén (társadalomföldrajz, szedimentológia, ásványtan, stb.) alkalmazott speciális koordinátarendszer. Segítségével három adat ábrázolható, ha azok összege egy adott érték. Ez leggyakrabban úgy érhet el, hogy az adatokat az összegükkel elosztjuk (normáljuk, azaz százalékot képzünk) vagy eleve százalékos formában fogalmazzuk meg. Erre vonatkozó klasszikus alkalmazás a munkaer szektorok szerinti megoszlása (mezgazdaság + ipar + tercier és kvaternél =00%), a fbb szemcsefrakciók megoszlása (homok + iszap + agyagtartalom =00%), az ásványtanban a földpátok minsítésére használt Niggli féle diagram, a bauxitok minsítésére használt diagram (agyagásványok, Fe ásványok, Al Ti ásványok), a Selley féle homokkosztályzási diagram (agyag, földpát, kvarc): gyakran alkalmazzák kémiai összetétel ábrázolására is.

22 Nagy elnye, hogy a három adat síkban ábrázolható. Ennek oka, hogy a három adat egymástól nem független, azaz valójában két független változónk van. Használatával csakúgy, mint a kétváltozós diagramok esetében lehetség nyílik a, csoportalkotásra és b, idbeli változások követésére. A csoportalkotás során két eljárást különíthetünk el. Az egyik, hogy saját adataink elhelyezkedése alapján a vizsgált paraméterek szerint saját magunk különítünk el csoportokat, és keressük az azonos csoportba tartozás földtudományi okát. Bizonyos háromszögdiagramokban a szakirodalom által meghatározott határok különítik el az egyes kategóriákat, azaz adatainkat ezekbe elhelyezve megállapítható, hogy melyik kategóriába tartozik egy-egy adatsorunk (klasszifikációs-diagramok). A csoportalkotásra példa az USDA textúrán alapuló talajosztályozási rendszere, a keverék törmelékes üledékes kzeteket besoroló diagram, a Streckeisen diagram, vagy az egyes országok fejlettség szerinti elkülönítése a foglalkoztatottak/tke/termelt GDP szektorok közötti megoszlása esetén. A klasszifikáció példáját elször a Strackeisen-diagramon mutatjuk be. Ebben az esetben a kzetminta adatai az alkotó ásványcsoportok %-os arányai. A diagram azonban csak három (négy) csoport tagjait tartalmazza: a kvarc, az alkáliföldpátok és plagioklászok, valamint az ún. földpátpótlók arányát. A kvarc és a földpátpótlók együtt nem fordulhatnak el, így valójában egyszerre mindig csak három adat szerepel egy-egy minta adatainak ábrázolásában. A vizsgált kzet ásványos alkotói közül ki kell választani az ábrázolandókat, és ezek összegét (amely a legtöbb kzet esetében kisebb lesz a 00 %-nál) vissza kell normálni 00 %-ra. Ez azt jelenti, hogy a kijelölt alkotók százalékos értékét osztjuk az öszszegszázalékkal, majd szorozzuk százzal, így újra százalékos érték lesz. Figyelni kell tehát arra, hogy itt a százalékokból lesznek újra százalékok! Ezután a kzetminta összetételét reprezentáló pontot elhelyezzük a diagramba, és leolvassuk, hogy ez alapján melyik kzettípusba tartozik a mintánk (eltte ellenrizve, hogy az adott típusú kzethez használhatunk-e egyáltalán ilyen módszert). A diagram érdekessége, hogy két háromszögbl áll, melyeket a kvarc és földpátpótlók 0 %- os vonala mentén fordítanak egybe. Ha egy háromszögdiagramban egy adott minta több idpontban vizsgált értékeit ábrázoljuk, akkor az ábrázolásmód alkalmas idbeli folyamatok elemzésére is. Példa erre az egyes országok foglalkoztatottsági szerkezetének vagy a szektorok által termelt GDP-nek idbeli módosulása. A háromszögdiagramban történ adatábrázolás kissé eltér a szokásos kétdimenziós ábrázolásmódoktól, ugyanis a két független adattengely nem merleges, nem a zérushelyen metszi egymás, és nem is látszódik az ábrán (azaz nem Descartes-féle koordinátarendszert használunk). Egy-egy tengely a háromszög

23 egyik oldalfelezpontjától a szemben lev csúcsig tart, a beosztása a következ: 0 % a háromszög oldalánál, 00 % a háromszög csúcsánál, az osztás egyenköz. Így egy adott százalékos érték az erre a tengelyre merleges, a tengelyt a megfelel értéknél metsz egyenesen található. Ha a három adatból kettnek megkeressük az ilyen módon definiált egyenesét, akkor a két egyenes metszéspontja megadja az adatpont helyét a háromszögdiagramban. A könnyebb ábrázolás és kiolvasás végett gyakran a legfontosabb százalékos értékek vonalait be is szokták húzni a diagramba (ezek általában 5 %- onként vagy 0 %-onként behúzott szakaszok). Mivel ezek a szakaszok elérik a diagram szélét, így a hozzájuk tartozó értékek a háromszög szélén feltüntethetk. Mivel egy-egy ilyen pontba két szakasz is befut, melyek eltér paraméterhez tartoznak és eltér százalékos értéket jelentenek, így ezek a felírások néha zavaróak is lehetnek. Ennek elkerülése végett általában azt a módszert szokták alkalmazni, hogy egy-egy oldalon csak egy paraméter szakaszainak értékét írják ki, általában egységesen a pozitív vagy negatív irányba haladva. Néha azonban ennek kivitelezése akadályokba ütközhet. E beosztásnak köszönheten egy másik ábrázolási gyakorlat szerint a háromszög oldalain jelölt skála és az oldalakkal párhuzamos segédvonalak metszéspontja alapján is ábrázolható a minta. Több változó esetén (amennyiben összegük továbbra is állandó) többféleképpen járhatunk el. Az egyik, hogy térbeli tetraéder-diagramot használunk az elemzésekhez, de ennek megjelenítési lehetségei korlátozottak. Másik lehetség, hogy több változót összevonnak (tercier és kvaternel aránya, Na + és K + -ionok összevonása a vízminták összetételének egyenértékszázalékos vizsgálatánál), esetleg adatredukcióval, változók összevonásával (lásd faktoranalízis). A háromszögdiagramban a fenti összevonásokon túl egyéb összetett vagy származtatott értékek így változók szorzatai, hányadosai is elfordulhatnak. Ebben az esetben azonban fokozottabban kell figyelni, hogy a százalékképzés elvégezhet legyen (ennek egyik feltétele az azonos mértékegység). Azokban az esetekben, ahol a három adat jelentsen eltér nagyságrend, vagy a csoportképzés szükségessé teszi, a tényleges adatok helyett azok többszörösét vagy hányadosát hasonlítjuk össze a többi adattal. A háromszögdiagram Excelben is megszerkeszthet, jóllehet az alapfunkciók között nem szerepel. Mivel azonban a háromszögdiagram pontjai is értelmezhetk x;y koordinátaként, így a két rendszer között van átszámítási lehetség: b b x = a + és y = 3, ahol x és y a Descartes-féle koordináta-értékek, a és b pedig a háromszögdiagram két változója. 3

24 Példa idbeli változások (trendek) bemutatására háromszögdiagramban Példa csoportalkotásra háromszögdiagramban (% agyagfrakció, 35% homok, 43% iszap) 4

25 Streckeisen-diagram Feladatok, Határozza meg a két, körrel jelölt ország foglalkoztatási szerkezetét és helyezze el a mezgazdaság=0%, ipar=40%, tercier=50% értékkel jellemezhet C országot a diagramon!, A fejlett országokra jellemz, hogy a mezgazdaságban foglalkoztatottak aránya 0% alatti, a szolgáltató szektorban dolgozóké 50% feletti, míg a fejld országokra éppen a fordítottja jellemz. A volt szocialista országokra, illetve az ipari forradalom fázisában járó országokra jellemz, hogy az iparban dolgozók aránya nagyobb, mint 50%. Az említett adatok alapján rajzolja be a határvonalakat és alkoss csoportokat! 3, Piripócson a fiatalkorúak (0 8) aránya 970-ben 40%-volt, a felntt korúak (8 65) aránya 35%, a nyugdíjasoké (>65) értelemszeren 5%. 980-ban ez rendre 30%, 40% és 30% volt, majd 990-re az értékek rendre 0%-ra, 40%- ra és 40%-ra változtak. 00-ben viszont a fiatalkorúak aránya 9%-ra, a fel- 5

26 ntteké 38%-ra a nyugdíjasoké 33%-ra ntt. Ábrázolja háromszögdiagramon a változás irányát és adjon lehetséges magyarázatot a változás mögött álló társadalmi-gazdasági folyamatokra! 4, Egy talajminta 35%-os homok, 4%-os agyag és 4%-os iszaptartalommal rendelkezik. Minsítse a mintát az USDA rendszere alapján. IPAR MEZGAZD. TERCIER 5, Határozza meg a háromszög-diagramon feltüntetett minták szemcseeloszlását, majd helyezd el a diagramon agyag=0%, iszap=30%, homok=50% mintát! 6, Egy talajminta 9% iszap, 33% agyag és 5%-os homoktartalommal bír. Ábrázolható-e ez a pont háromszögdiagramon? 7, QAPF- (Streckeisen-) diagramon ábrázolja és minsítse a következ értékekkel rendelkez mintát: kvarc (Q) 5%, ortoklász és mikroklin (A), 8%, plagioklászok (P) 0%, f=0% (F és Q kizárják egymást!) Ekkor a Q+A+P=75 v%, amit tekintsünk 00%- nak és arányosan számoljuk vissza a %-értékeket Q-ra, A-ra, P-re.. 3. Háromdimenziós koordináta rendszerek A Descartes-féle koordináta-rendszer Vegyünk fel a síkon egy derékszög Descartes-féle koordináta rendszert, majd a rendszer kezdpontjában állítsunk merleges számegyenest a síkra. Így lehetség adódik arra, hogy a térben kiválasztott pont helyét a három tengelytl mért merleges távolsággal megadjuk. 6

27 A térbeli P (x; y; z) pont koordinátáinak meghatározásánál elször a pontnak a síkra es merleges vetületére az elzekben már megismert módon meghatározzuk a pont x és y koordinátáit a síkon. A harmadik koordinátát (z) a z tengelyen mérjük a síktól mért távolsággal. Ennek megfelelen a pontot három számértékkel adhatjuk meg. A tér pontjai és a rendezett valós számhármas között kölcsönös és egyértelm kapcsolat van. A pont jelölése: P (x, y, z) Polár térkoordináta-rendszer Vegyünk fel a síkon az álláspon-tunkban egy alapsíkra merleges tengelyt és válasszunk ki a síkon egy alapirányt. A térbeli pont helyzetét egyértelmen két szög- és egy távolság-értékkel adhatjuk meg. A C pont koordinátáinak meghatározásánál elször lemérjük az alapsíkon az alapiránytól a C pont merleges vetületéig a szöget (α), majd az OC és a merleges vetülete által bezárt szöget (β) és végül meghatározzuk az OC távolságot. A pont jelölése: C (α, β, d) Geográfiai alkalmazások A térbeli koordinátarendszereket elssorban az égbolti tájékozódásnál használjuk. Ezeknek a rendszereknek az alapja a polár koordináta rendszer. Arra azonban ügyelnünk kell, hogy a csillagászatban az alapirány a dél és a szög mérését a különböz koordináta rendszerekben eltér módon végezzük: 7

28 A horizont égi koordináta rendszerben az alapsíkon (a horizonton) az azimut (a) szöget a déli iránytól az óramutató járásával megegyezen a horizontális talppontig, majd a magassági szöget (m) a horizontális talpponttól a zenit irányába a csillagig mérjük. Az éggömbön a csillag helyének a kijelöléséhez ez a két koordináta elegend, ugyanis a harmadik koordinátát (a csillag távolságát) itt nem vesszük figyelembe (a Földtl eltér távolságra lév csillagokat egy éggömbre vetítjük). Az égi egyenlíti rendszerben az alapsík az égi egyenlít, a csillag helyét meghatározó egyik koordináta az óraszög (t), a másik pedig a csillag deklinációja (δ). A harmadik koordinátával itt sem számolunk. Az óraszöget az égi egyenlít és a meridián metszéspontjától (Q) a csillag egyenlíti talppontjáig mérjük az óramutató járásával megegyezen. A deklinációt pedig az egyenlíti talpponttól a csillagig. A deklináció értéke lehet pozitív, vagy negatív attól függen, hogy a csillag az északi, vagy a déli félgömbön található. Az égi egyenlíti rendszerben arra is lehetség van, hogy az óraszög helyett a csillag rektaszcenzióját (α) adjuk meg koordinátaként, akkor arra kell ügyelni, hogy a rektaszcenziót a tavaszponttól (ν) a csillag egyenlíti talppontjáig az óramutató járásával ellentétesen kell felmérnünk. Ha a polár térkoordináta-rendszert a földgömbön egy pont meghatározására akarjuk használni, akkor alapsíkul az egyenlítt, alapiránynak pedig a meg- 8

29 állapodásnak megfelelen a Greenwichen áthaladó meridián (0 o ) és az egyenlít metszéspontját választjuk. Az egyik koordináta a Föld középpontjából az adott felszíni ponthoz húzott sugár és az egyenlít síkja által bezárt szög (szélességi szög = φ), a másik koordinátát pedig a kezd meridiántól az adott pont egyenlíti vetületéig mérjük (földrajzi hosszúság = λ). A földrajzi szélesség értéke számítási feladatoknál lehet pozitív, vagy negatív attól függen, hogy a felszíni pont az egyenlíttl északra, vagy délre található. Egyébként a pontok koordinátáinak jelölésénél az égtáj (É, D) megjelölését használjuk. A hosszúsági értékeket a kezd meridiántól keletre és nyugatra o - ig mérjük, és számítási feladatoknál itt is pozitív negatív eljelet használunk, a koordináták jelölése az égtájak (K, Ny) megadásával történik.. 4. Trigonometria B a tg α = b b tg β = a a sin α = c b cos α = c a β c b ctg α = a a ctg β = b C b α A α és β pótszögek (α+β=90 o ) Egy szög szögfüggvényének értéke egyenl pótszögének pótfüggvény-értékével! {sin (x)-nek cos (x), cos (x)-nek sin (x), tg (x)-nek ctg (x) és ctg (x)-nek tg (x)} cos (90 o α) = cos β = sin α sin (90 o α) = sin β = cos α tg (90 o α) = tg β = ctg α ctg (90 o α) = ctg β = tg α sin (80 o α) = sin α cos (80 o α) = cos α α sin α cos α tg α sinα tg α = sin α + cos α = cosα 9

30 Most már a szögfüggvények ismeretében a síkbeli polárkoordináták átszámíthatók Descartes derékszög koordinátákra: x = d. cos α, illetve y = d. sin α Geográfiai alkalmazások Sík terepen a mérhet (megközelíthet) távolságban elhelyezked tereptárgyak (fa, épület, feltárás, stb.) magassága a távolság és a magassági szög ismeretében meghatározhatók. m m = d. tg α d α Domb- és hegyvidéki területen a terepi felméréseknél használt képleteket használjuk. x j m d d α M d = d. cos α d = 00. l a d távolság kiszámításánál 00 a mszer szorzószáma, l pedig merleges rálátás esetén a mszer szálkeresztjének alsó fels jelénél a lécrl leolvasható értékek különbsége. Mivel a rálátás ferdeszög, ezért a lécrl leolvasott értékek különbségét cos α val szorozni kell: l = l. cos α Ennek megfelelen d = 00. l. cos α d = 00. l. cos α. cos α d = 00. l. cos α 30

31 x tg α = x = d. tg α ; m = x J + M d m = d. tg α j + M; m = 00. l. cos α. tg α j + M depressziós szög esetén: m = 00. l. cos α. tg α + j - M M α d d m j. 5. Nevezetes vonalak Kör i r α d Körszelet - ívhossz: I K = rπ T = r π Körcikk rπ K = r+i i = α o 360 r π T = o α o i r vagy T = 360 o r π α r α π o = területe: T = ( sinα ) o o Kúpszeletek 3

32 a, Ellipszis b, Parabola c, Hiperbola Egyenletük x y x y ellipszis: + = parabola: y = a x +b hiperbola: = b a a b kör: x + y = egyenes: y = m x + b Ellipszis kerülete: Ortodróma b a a + b a + b K = π ( + ) Területe: T= a. b. π ahol az a és b az ellipszis féltengelyei. A legnagyobb gömbi fköröket ortodrómának nevezzük. Középpontjuk a gömb középpontja. Az ortodróma két pontja a kört két részre (ívdarabra) bontja. Ezek közül a rövidebb a gömbön a két pont között a legrövidebb távolságot adja. 3

33 Loxodróma Az a ferde futású gömbfelületi görbe vonal, amely a tengely végpontjain áthaladó ortodrómákat mindig ugyanakkora szögek (α) alatt metszi. φ r R R Geográfiai alkalmazások A szélességi kör hosszának meghatározása K = rπ r = R. cos φ, ahol r a szélességi kör R pedig a Föld sugara K= Rπ cos φ Feladatok, Ábrázoljuk térbeli polár koordináta rendszerben azt a nyugvó csillagot, amelynek koordinátái: azimut = 50 o, magasság = 30 o!, Határozzuk meg annak az egyedülálló fának a magasságát, amelyet 0 méter távolságból 30 o os magassági szög alatt látunk! 3, Milyen magas az a kunhalom, amely mérésénél a következ adatokat kaptuk: M =,5 m; l = 0,4 m; j =,80m; α = 30 o? 4, Egy település mvelésági megoszlását 5 cm sugarú kördiagramon ábrázoljuk. Mekkora lesz a körcikkek szöge és területe, ha a szántó 70%, a kert+gyümölcsös 5%, a rét+legel 5%, és az egyéb területek 0%-ban részesülnek? 5, Mekkora annak az ellipszis alakú parknak a területe, amelynek a hossza 80m, szélessége 5m? 6, Határozza meg Debrecen szélességén egy földrajzi fok hosszúságát! 33

34 7, Milyen távol van a Földön az a két hely, amelynek koordinátái: P (É.sz.3 ο ; K.h. ο 40 ) az egyik, és P (É.sz.3 ο ; K.h. 6 ο 0 ); P (É.sz.3 ο ; K.h. ο 40 ) az egyik, és P (É.sz.3 ο ; Ny.h. 7 ο 0 )? 8, Milyen távol van a Földön az a két hely, amelynek koordinátái: P (É.sz.3 ο 40 ; K.h. 8 ο ) az egyik, és P (É.sz.3 ο 0 ; K.h. 8 ο ); P (É.sz.3 ο 40 ; K.h. 8 ο ) az egyik, és P (D.sz. 7 ο 0 ; K.h. 8 ο )? 9, A 60. szélességi kör hossza hány %-a az Egyenlítnek? 0, Határozzuk meg földrajzi fok hosszúságát egy adott szélességi körön! Rπ cosφ fok = o 360, Határozzuk meg két olyan hely távolságát a Földön, amelyek azonos szélességi körön helyezkednek el! P (φ ; λ ) az egyik, P (φ ; λ ) a másik hely koordinátái, akkor a távolság fokban: λ ± λ (ha az egyik pont a kezdmeridiántól Ny-ra a másik pedig K-re van, akkor kell az összeadást alkalmazni!) Rπ cosφ távolság = ( λ ± λ ) o 360, Határozzuk meg két olyan hely távolságát a Földön, amelyek azonos hosszúsági körön helyezkednek el! P (φ ; λ ) az egyik, P (φ ; λ ) a másik hely koordinátái, akkor a távolság fokban: φ ± φ (ha az egyik pont az egyenlíttl É-ra a másik pedig D-re van, akkor kell az összeadást alkalmazni!) Rπ Rπ fok =, távolság = ( φ ) o ± φ o , Mekkora a felderít (A) által rajzolt térképvázlat méretaránya, ha a vázlaton látható 0 m magas torony csúcsa 0 fokos szög alatt látszik (szintvonalak 0 m-enként)? Mekkora a valós távolság A és B pontok között és mekkora a térszín átlagos lejtése? 34

35 . Gömbháromszögtani tételek és alkalmazásuk. Távolság és terület mérésének lehetségei, számítási feladatok... Gömbi geometria Gömb A gömb olyan pontok mértani helye a térben, amelyek egy ponttól, a gömb középpontjától egyenl távolságra vannak. Ha egy félkört a végpontjait összeköt szakasz (átmér) körül forgatunk, akkor egy oly felületet kapunk, amelynek minden pontja az átmér felez pontjától egyenl távolságra van. A távolság a gömb sugara (R). 4R 3 π Felszíne: F = 4R π Térfogata: V = 3 Egy sík a gömböt két gömbszeletre bontja. A gömb középpontján áthaladó sík és a gömbfelület metszetét fkörnek (ortodrómának) nevezzük. A fkörív a fkör egy szakasza. A fkörív középponti szöge a fkörív két végpontjából húzott gömbi sugarak által bezárt radiánban mért szög. (360 o = π radian) R A fkörív hossza (két pont távolsága) a pontokon áthaladó fkör rövidebb ívének hossza (Két pont között a legrövidebb út.). A fkörívek által bezárt szöget a síkjaik hajlásszögével mérünk. A gömbkétszög két gömbi fkör által határolt terület. Két fkör a gömböt négy gömbkétszögre osztja. Felszíne F = R α (a két fkör szöge radiánban egyértelmen meghatározza). (A teljes gömbfelszín 4R π.) Gömbszelet M φ r R R a gömb, r a gömbszelet alapkörének a sugara Felszín: A = T kör +Palást A = r π + Rπ M, ahol φ M = R R sinφ = R ( sinφ) A = r π + R π ( sin φ ) 35

36 Gömböv (gömbréteg) M M Térfogat: V = π M ( R ) = π ( M + 3r ) 3 6 M r φ R φ r R φ R a gömb, r és r a gömböv köreinek a sugara Felszín: A = T kör + T kör +Palást T kör = r π, T kör = r π P = RπM M = R sin φ Rsin φ = R. (sin φ -sin φ ) P = R π. (sin φ -sin φ ) Térfogat: ( M + 3r 3r ) M V = π + 6 A gömbháromszög a gömbfelület három pontját összeköt, π-nél rövidebb három fkörív által határolt terület. Szögei kisebbek π- nél, szögeinek összege viszont nagyobb π- nél. Felszíne: F = R (α + β + γ π)... Gömbháromszögtani tételek A gömbháromszög oldalait és szögeit a cosinus- és sinus tételekkel határozhatjuk meg. 36

37 Cosinus-tétel: Egy gömbháromszög oldalának cosinusat megkapjuk, ha a másik két oldal cosinusának szorzatához hozzáadjuk e két oldal sinusának és a közbezárt szög cosinusanak szorzatát. Képlet formában: cosa=cosb. cosc + sinb. sinc. cosα cosb=cosa. cosc + sina. sinc. cosβ cosc=cosa. cosb + sina. sinb. cosγ Sinus-tétel: Egy gömbháromszögben két oldal sinusának aránya egyenl az oldalakkal szemben fekv szögek sinusának arányával. Képlet formában: sin a sin b = sinα sin β sin b = sin c sin β sinγ sin a sin c = sinα sinγ Geográfiai alkalmazások A gömbháromszögekre levezetett cosinus- és sinus-tétel jól alkalmazható az éggömbi (csillagászati) feladatok megoldásánál. Abban az esetben, ha mszerekkel meghatározzuk egy égi objektum (pl. csillag) horizont koordináta rendszerben mérhet adatait, akkor az alábbi képletekkel az objektum egyenlíti rendszerbeli koordinátái kiszámíthatók. A csillagászati háromszög cosinus tételének képlete: cos(90 o -δ) = cos(90 o -m). cos(90 o -φ) + sin(90 o -m). sin(90 o -φ). cos(80 o -a) sin(δ) = sin(m). sin(φ) - cos(m). cos(φ). cos(a), ahol (δ) : a csillag deklinációja, (m): a csillag magassága a horizont felett, (a): a csillag azimut értéke, amelyet a délponttól mérünk a csillag horizontális talppontjáig és (φ) : az adott hely földrajzi szélessége. m = 0 feltételt alkalmazva kiszámítható a kel és nyugvó égitest azimutja (a déli kezdirányhoz képest): cos(a) = - sin(δ) / cos(φ) A csillagászati háromszög sinus tételének képlete: sin (90 o -δ) : sin (90 o -m) = sin (80 o -a) : sin t cos δ : cos m = sin a : sin t sin a cosm sint =, ahol t a csillagid. cosδ 37