FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL"

Átírás

1 TÁMOP F-13/ FEJEZETEK A FIZIKÁBÓL (Tömegpont mechanikájának alapjai) Kiemelt tématerületek a hallgatói felkészülés támogatására Összeállította: Dr. Majár János Gépészmérnöki és Informatikai Kar Fizikai Intézet MISKOLCI EGYETEM 014

2 TÁMOP F-13/ TARTALOM 1 A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák... 3 Általános feladat-megoldási tanácsok, javaslatok Feladat-megoldási eszközök Vektor-nem vektor Mértékegységek Kinematika I. a mozgások leírása általában Elméleti alapok Elmozdulás, sebesség, gyorsulás Állandó sebességű eset, az Egyenes vonalú egyenletes mozgás Állandó gyorsulású eset Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Bevezető elemi feladatok Kidolgozott mintafeladat(ok) Példák, ajánlott feladatok Kinematika II. hajítások Elméleti alapok Bevezető elemi feladatok Kidolgozott mintafeladat(ok) Példák, ajánlott feladatok Dinamika I. Newton-törvények Elméleti alapok Bevezető elemi feladatok Kidolgozott mintafeladat(ok) Példák, ajánlott feladatok Dinamika II. kötelek, lejtők, csigák Elméleti alapok Az ideális kötél működése Az ideális (álló?)csiga működése

3 TÁMOP F-13/ Lejtőn mozgó test dinamikájának leírása Bevezető elemi feladatok Kidolgozott mintafeladat(ok) Példák, ajánlott feladatok Dinamika III. megmaradó mennyiségek Elméleti alapok Lendület (impulzus), Impulzus-tétel Munka, mozgási energia, munkatétel Konzervatív erőterek, potenciális energia, mechanikai energia-megmaradás Teljesítmény, teljesítmény-tétel Bevezető elemi feladatok Kidolgozott mintafeladat(ok) Példák, ajánlott feladatok Irodalom Köszönetnyilvánítás... 44

4 TÁMOP F-13/ A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák A jelen munkafüzet egy rövid, praktikus szemlélettel készült segédanyag a Fizika tárgy kezdeti óráinak megértéséhez, a gyakorlatokon megoldandó feladatok alapjainak megtanulásához. A fő cél, hogy az elméleti megközelítésből kiindulva, példákon keresztül jusson el a hallgató a legegyszerűbb feladatoktól az egyetemi anyagban szereplő feladatok szintjéig, és sikerrel kezdhessen hozzá a gyakorlatok hallgatásához. A munkafüzet egyéni felkészüléshez készült segédanyag, megfogalmazásai, a feladatok sorának felépítése egy biztos alapokra épülő tudás kialakítását célozza, ami az egyes fejezetek végére stabil, vállalható kezdő tudással vértezi fel az olvasót az egyetemi tanulmányai során. Bár maga a segédanyag nem erre épít, mégis bizonyos feladatok megoldásához szükség van a Matematika tárgy oktatásain elsajátított módszerekre (vektorokkal végzett műveletek, koordináta-geometria és differenciálszámítás). Bár a feladat-megoldások terén óvatosan kell bánni a standard módszerek alkalmazásával, az összetettebb feladatok esetében igyekeztünk olyan feladat-megoldási utakat, eljárásokat javasolni, amelyek a jellemző típus-példák megoldásakor biztosan alkalmazhatóak, és könnyedén megtanulhatóak. Lévén munkafüzet, ez az anyag nem tartalmaz részletes elméleti fejtegetéseket, és nem célja a választott tématerületek mélyebb kérdéseinek tisztázása. Az elsődleges az elméleti anyag alapjainak megértetése, a feladat-megoldási készségek és módszerek fejlesztése, egy minimálisan elvárható gyakorlottság kialakítása. A választott témák azokat a területeket ölelik át, amelyekkel a hallgatók a Fizika, vagy Fizika I. kurzusok során először találkoznak. A fő tématerület a tömegpont mechanikája, azon belül kinematika, dinamika, illetve ezek alkalmazása néhány speciális mozgás esetére (hajítások, körmozgás, rezgések). Felépítését tekintve a munkafüzet minden fejezete egy témakört ölel fel. Az elméleti leírásokat néhány nagyon egyszerű, majd kissé összetettebb példa követi kidolgozva. A Kidolgozott mintafeladat(ok) fejezete egy, vagy két olyan összetett feladattal zárul, amelyet a hallgatónak magának kell megoldania, de hogy a megoldást leellenőrizhesse, egyfajta megoldási utat is bemutatunk. Végül további feladatok segítik az egyéni felkészülést, amelyeknél a végeredmények is megtalálhatóak (de a számolási folyamat részletei nem), ha azok röviden közölhetőek. Ezek között *-gal jelöljük azokat, amelyek egyértelműen túlmutatnak a munkafüzetben tárgyalt feladatok nehézségi szintjén. A segédanyag felhasználható Fizikai Intézet által oktatott Általános Fizika I. és Fizika I. tárgyak oktatásának kiegészítésére a Gépészmérnöki és Informatikai Kar szakjain (Gépészmérnök, Mechatronikai mérnök alapszak, Villamosmérnöki alapszak, Mérnök informatikus alapszak, Műszaki menedzser alapszak), és átoktatásban a Műszaki Anyagtudományi Karon (Anyagmérnöki alapszak), illetve a Műszaki Földtudományi Karon (Műszaki Földtudományi alapszak és Környezetmérnöki alapszak). 3

5 TÁMOP F-13/ Általános feladat-megoldási tanácsok, javaslatok A Fizika tárgyakon az oktatás során a fő célkitűzés, hogy sztenderd módon megoldható feladatokkal találkozzanak a hallgatók. Ezeket természetesen kiegészítjük érdekesebb, izgalmas, vagy éppen trükkösen megoldható feladatokkal is, ezeknek a megoldása gyakran eltér a sztenderdtől. Ennek ellenére vannak olyan általános megoldási módszerek (vagy azok tipikus lépései), vagy ellenőrzési módok, amelyek jól alkalmazhatóak majdnem minden feladattípus esetén. Ezen alfejezetben ezeket a módszereket és nézőpontokat igyekeztünk összeszedni. Ki kell emelni azonban, hogy nagyon fontos, hogy a hallgató a részletek tekintetében a tapasztalataira hagyatkozva kialakítsa saját feladat-megoldási szokásait, eszközeit (ezek természetesen nem lehetnek inkorrektek)..1 Feladat-megoldási eszközök Egy fizika feladat esetében több olyan eszköz is rendelkezésre áll, amely megkönnyíti a feladat megoldását. Ha tipizálni szeretnénk egy feladat megoldását, akkor arra jutnánk, hogy az alábbi utat követjük: - Feladat értelmezése, adatok felírása. - Releváns egyenletek felírása, származtatása. - Az egyenlet, vagy egyenletrendszer megoldása. - A megoldások ellenőrzése. - A végeredmények összegzése, kiértékelése, értelmezése. Ezen útvonalon (ami erőteljesen leegyszerűsített) több olyan eszköz is rendelkezésre áll, ami megkönnyíti a megoldást: - Ábra készítése a feladat értelmezéséhez, az adatok felírásához. - Néha az adatokat érdemes táblázatos formában felírni, vagy a feladat részeredményeit abban vezetni a megoldás során. - Megfelelő koordináta-rendszer megválasztása az egyenletek felírásakor, vagy megoldásakor. - A formális levezetések és a behelyettesítések közötti egyensúly megtalálása. - Megfelelő számológép (vagy helyettesítője) megfelelő használata. - Az eredmények kiértékeléséhez, értelmezéséhez újabb ábrák, grafikonok készítése. - Végezetül fontos készség annak átlátása, hogy mikor érdemes egy feladatot több, egymásra épülő részfeladatként kezelni és lineárisan megoldani.. Vektor-nem vektor A feladatmegoldás során több lehetőség is van, ami segít legalább nagyjából ellenőrizni, hogy súlyos hibát vétettünk-e a megoldási folyamatban. Ennek egyik módja annak ellenőrzése, hogy a skalárokat, vektorokat, tenzorokat megfelelően kezeljük-e a levezetések során. Ennek van egy egyszerű szabálya (ezért is fontos tudni minden fizikai mennyiségről, hogy milyen jellegű): skalárt csak skalárral lehet összeadni, vagy egyenlővé tenni; és ugyanez igaz vektorok és tenzorok esetében is. 4

6 TÁMOP F-13/ Mértékegységek Egy másik eszköz a folyamatos ellenőrzésre a mértékegységek megfelelő kezelése. Erre ugyanolyan szabály vonatkozik, mint a skalár-vektor-tenzor kérdéskörben, vagyis csak ugyanolyan mértékegységgel rendelkező fizikai mennyiségek adhatóak össze, vagy tehetőek egyenlővé egymással. Ehhez természetesen az úgynevezett prefixumok ismerete is fontos (kilo-, mega-, milli-, mikro-, stb.). Az alábbiakban összefoglaltuk az ezen munkafüzetben megtalálható fizikai mennyiségek mértékegységét: - elmozdulás, út: m (méter) megjegyzés: 1m=100cm, 1km=1000m - idő: s (szekundum) megjegyzés: 1h=3600s - sebesség: m/s megjegyzés: 1m/s=3,6 km/h - gyorsulás: m/s - a szögeket általában radiánban mérjük, de jelen munkafüzetben elegendő fokokban - tömeg: kg (kilogramm) - erő: N (Newton) megjegyzés: 1N=1kg m/s - súrlódási együttható: nincs mértékegysége - rugóállandó: N/m - sűrűség: kg/m 3 megjegyzés: 1 kg/dm 3 =1000 kg/m 3 - töltés: C (Coulomb) - energia, munka: J (Joule) megjegyzés: 1J=1kg m /s, 1kWh=3, J - teljesítmény: W (Watt) megjegyzés: 1W=1kg m /s 3 5

7 TÁMOP F-13/ Kinematika I. a mozgások leírása általában A Kinematika a mozgások leírásával foglalkozik, nem firtatja a mozgások (és azok tulajdonságainak) miért-jeit. Ebben a fejezetben a Klasszikus Fizika általános kinematikai fogalmait mutatjuk be, és illusztráljuk azokat a legegyszerűbb mozgások leírásával. 3.1 Elméleti alapok A jegyzetben a továbbiakban mindenhol csak tömegpont mozgásáról lesz szó, vagyis elhanyagoljuk a vizsgált fizikai rendszer kiterjedését, és ezzel együtt természetesen annak forgó mozgása, vagy alakváltozása sem értelmezhető Elmozdulás, sebesség, gyorsulás Egy test egy mozgását egy r(t) vektor jellemzi, amely minden egyes t időpontban megadja a tömegpont helyzetét. Azonban mivel a helyvektor csak adott koordinátarendszerben értelmezhető, szükségünk van egy koordináta-rendszer választástól független, vagyis mérhető fizikai mennyiségre. Ez az elmozdulás vektor, amely megmondja, hogy a test a t 1 és t időpontok között hogyan mozdul el a pályáján: r r(t ) r(t ). (3.1.) 1, 1 Az elmozdulás-vektort elosztva az idővel (vagyis bevezetve az időegység alatt bekövetkező elmozdulás fogalmát) megkapjuk a sebességvektort. Ez azonban csak akkor lehet pontos, ha az időtartamot egészen kicsinek választjuk, így megkapjuk a sebességvektort bármely időpontban, vagyis r(t ) r(t 1) dr(t 1) v(t 1) lim. (3..) tt1 t t dt 1 Hasonlóan vezethető be a pillanatnyi gyorsulás vektora is, amely a sebesség időbeli megváltozását írja le, vagyis v(t ) v(t 1) dv(t 1) d r(t 1) a(t 1) lim. (3.3.) t t1 t t dt dt 1 Tovább nem érdemes ezen a gondolati szálon haladni, a dinamika mozgásegyenletei a gyorsulás-vektort határozzák meg, abból kell kiszámolnunk a tömegpont pályáját. Visszafelé haladva a differenciál-számítás helyett integrálnunk kell, vagyis ha adott a gyorsulás a(t) időfüggése, abból a sebességvektort az alábbi integrálással számolhatjuk ki: t v(t) a(t')dt' v0, (3.4.) t 0 ahol v 0 -val jelöltük a sebességvektor t 0 -ban felvett értékét. 6

8 TÁMOP F-13/ Hasonlóan, ha a sebességvektor időfüggése ismert, abból kiszámolható a helyvektor adott koordinátarendszerben: t r(t) v(t')dt' r0 t 0, (3.5.) ahol r0 -val jelöltük a helyvektor t0 -ban felvett értékét. Amennyiben a fenti integrálások elvégezhetőek, a mozgásegyenletekből származtatott gyorsulásvektorokból a mozgás minden fontos tulajdonsága kiszámolható. Fontos még az általános elméleti bevezetőben foglalkozni az átlagsebesség fogalmával, ami a vizsgált időtartam alatt megtett út és az idő hányadosa, vagyis nem az elmozdulással áll kapcsolatban. s1, v t t, (3.6.) 1 ahol a két időpont között megtett út s 1, t t v(t) dt. (3.7.) Állandó sebességű eset, az Egyenes vonalú egyenletes mozgás A fenti általános összefüggések első, legegyszerűbb alkalmazása az Egyenes vonalú, egyenletes mozgás, amelynek definíciója, hogy a sebességvektor állandó (iránya és hossza is) v(t) v0. Ezt kiintegrálva lehet leírni a mozgást, vagyis r(t) v0 t r0. (3.8.) Mivel az egyenes vonalú mozgás leírása egyetlen koordinátatengely mentén is lehetséges, egy megfelelően választott koordinátarendszerben, ha a mozgás az x tengely mentén történik, a fenti egyenlet az alábbi lesz: x(t) v0t x0. (3.9.) Fontos kiemelni, hogy ha több, nem ugyanabba az irányba haladó mozgást egyszerre szeretnék leírni, valamilyen koordinátarendszer bevezetésére szükség van, és akkor a korábbi egyenletek érvényesek mindegyik egyenes vonalú egyenletes mozgást végző tömegpontra Állandó gyorsulású eset Hasonlóan kiszámolhatóak az állandó gyorsulású a(t) a0 sebességvektor mozgás egyenletei is, ahol a v(t) a0t v0, (3.10.) 7

9 TÁMOP F-13/ az elmozdulás-vektor pedig a 0 r(t) t v0 t r0 lesz. (3.11.) Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Az állandó gyorsulású mozgások egyik speciális esete az egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás, amely abban különbözik a fenti, általánosabb esettől, hogy az a 0 gyorsulás és a v 0 kezdeti sebességek párhuzamosak. Ebben az esetben, ha csak egyetlen tömegpont mozgását vizsgáljuk, ismét elegendő egyetlen koordinátatengely bevezetése a mozgás leírására, ez ismét legyen az x tengely. Ekkor a sebesség v(t) x a0t v0 (3.1.) lesz, a koordináta pedig a. (3.13.) 0 x(t) t v0 t x0 3. Bevezető elemi feladatok 1. feladat Egy egyenletesen mozgó autó sebessége 7 km/h. Mennyi utat tesz meg 10 s alatt? Megoldás: - Adatok: v=7 km/h, Δt=10 s. - Az autó sebességének átváltása m/s-ra: 7 km/h = 7/3,6 m/s = 0 m/s. - Az út kiszámítása: s = v Δt = 00 m. feladat Egy farkas üldözőbe vesz egy őzgidát. Tegyük fel, hogy mindketten ugyanazon egyenes mentén mozognak, a farkas sebessége 36 km/h, a gidáé 1,6 km/h, és utóbbinak 100m előnye van. Mennyi idő múlva éri utol a farkas és mennyit kell futnia? Megoldás: - Adatok: v f = 36 km/h=10 m/s, v g =1,6 km/h=6 m/s, Δs=100m. - Az egyenes vonalú mozgások leírása: s f = v f Δt; s g = v g Δt. - A megoldandó egyenlet: s f = s g + Δs. s 100m - Az idő kiszámítása: vf t vgts t 5s vf vg 10m/s6m/s - A farkas által megtett út kiszámítása: sf vf t 10m/s5s 50m.. 8

10 TÁMOP F-13/ feladat Egy kerékpáros sebessége 5 s alatt 7 m/s-ról egyenletesen 1 m/s-ra növekszik. Mekkora a gyorsulása? Mennyi utat tesz meg a gyorsuló szakaszon? Megoldás: - Adatok: v 0 =7 m/s, v 1 =1 m/s, Δt=5 s. v1 v0 1m / s 7m / s m - Az autó gyorsulásának kiszámítása: a 1. t 5s s a 1m/s - A megtett út kiszámítása: s t v0 t (5s) 5m/s5s 37,5m 4. feladat Egy hajó északra halad 0km/h sebességgel, egy másik keletre 15km/h-val. Milyen távol lesznek egymástól 4 óra múlva? Megoldás: - Adatok: v 1 =0 km/h, v =15 km/h, Δt=4 h. - A megtett utak kiszámítása: s 1 = v 1 Δt = 80 km; s = v Δt = 60 km. - A hajók távolsága, mivel egymásra merőlegesen haladnak, a Pitagorasz-tétel segítségével számolható ki, vagyis s s s 100km feladat Egy hajó v h =0km/h sebességgel halad kelet felé. A raktérben egy patkány a hajóhoz képest északkeleti irányban szalad v p =15km/h sebességgel. Mekkora a patkány sebessége a Földhöz képest és milyen szöget zár be a keleti iránnyal? Megoldás: - Adatok: v h =0km/h, v p =15km/h, a patkány sebessége a keleti irányhoz képest α=45. - Koordinátarendszer választása: x tengely a keleti irányba, y tengely az északi irányba mutasson. - Vektorkomponensek: v hx =0km/h; v hy =0km/h v px =v p cos α=10,61 km/h; v py =v p sin α=10,61 km/h - A partról nézve a két sebességvektor összegét lehet látni, vagyis v vh vp. km km km 0 10,61 30,61 h h h A vektor koordinátái: v vh vp. km km km 0 10,61 10,61 h h h - A sebességvektor hossza: v vx vy 3,39km / h. - A sebességvektor iránya, vagyis a keleti iránnyal bezárt β szöge: vy tg 0,347 19,1. v x 9

11 TÁMOP F-13/ Kidolgozott mintafeladat(ok) 1. feladat Egy tömegpont mozgása koordinátáinak időfüggését az alábbi egyenletek írják t le: x(t) Acos( t); y(t) Be ; z(t) Ct Dt E, ahol A=m, B=-1m, ω=s -1, α=0,3 s -1, C=-0,5m/s, D=5m/s, és E=6m. a) Határozza meg a sebesség- és gyorsulásvektorok komponenseit! b) Számolja ki a sebesség és a gyorsulásvektor hosszát 6s-nál! 10

12 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: A=m, B=-1m, ω=s -1, α=0,3 s -1, C=-0,5m/s, D=5m/s, E=6m, t=6s. - A helyvektor koordinátákkal történő felírása: r(t) Acos( t) t Be C t D t E a) A sebességvektor a fenti vektor első deriváltja, a gyorsulásvektor a második derivált, vagyis Asin( t) dr t v(t) B e dt Ct D dv t a(t) B e dt C A cos( t) b) A fenti két vektor a konkrét értékek behelyettesítése után v(t 6s) 1m 0,3s e 0,3m / s e 0,05m / s 1m/s 6s 5m/s 1m/s 1m/s 1 1 m s sin(s 6s) 4m / s sin(1),146m / s 1 1 0,3s 6s 1,8 1 m 4s cos(s 6s) 8m / s cos(1) 6,751m / s 1 0,3s 6s 1,8 a(t 6s) 1m 0,3 s e 0,09m / s e 0,015m / s 1m / s 1m / s 1m / s A komponensekből a vektorok hossza az alábbi módon számolható ki: m v vx vy vz,368 s m a a x a y a z 6,85 s. 11

13 TÁMOP F-13/ feladat Két villamosmegálló között 760m a távolság. A kocsi egyenletesen gyorsul, aztán 7 km/h sebességgel egyenletesen mozog, majd állandó lassulással lefékez. A gyorsítás ideje 30s, a fékezésé 0s. Mennyi idő alatt ér a villamos az egyik megállóból a másikba? 1

14 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: s=760m, v vég =7 km/h=7,5m/s, t 1 =30s, t 3 =0s. - A megoldás logikája: - A mozgás teljes ideje a három szakasz idejének összege, vagyis t = t 1 + t + t 3. - Ezekből a második szakasz időtartama ismeretlen, lényegében ennek meghatározása a cél. Ennek kulcsa a második szakaszban megtett út kiszámítása. - Első megoldás: az egyenletrendszer felírásával. 1. szakasz gyorsuló szakasz v a t a1 s1 t1 vég 1 1. szakasz állandó sebesség s vvég t 3. szakasz lassulás továbbá 0a t v 3 3 vég a s t v t vég 3 s s s s 1 3 t t t t 1 3 Ezen egyenletekből folyamatában kiszámolhatóak az egyes mennyiségek: először a gyorsulások, azok segítségével az első és utolsó szakasz során megtett utak, abból a második szakasz során megtett út, végül annak az időtartama. - Második megoldás: grafikusan, felrajzoljuk a sebesség-idő diagramot v v vég s 1 s s 3 t t 1 t t 3 Figyelembe véve, hogy az egyes szakaszokon megtett út megegyezik a függvény alatti területtel, geometriai alapon könnyedén kiszámolhatóak az utak, abból az s, annak felhasználásával pedig a hiányzó időadat. - Eredmények: a 1 =0,5 m/s, ebből s 1 =11,5 m. a 3 =0,375 m/s, ebből s 3 =75 m. s =57,5 m, ebből t =76,33 s t=16,33s 13

15 TÁMOP F-13/ Példák, ajánlott feladatok 1. feladat Egy test t=0-ban a Descartes-koordináta rendszer (3m, m, 1m) pontjában volt, t=3-ban pedig az (5m,5m,-1m) pontban, ahová egyenes vonalban mozgott. Mekkora az átlagsebessége? (1,37m/s). feladat Két hegyi falu közötti autóbuszjáraton a buszok átlagsebessége egyik irányban 30 km/óra, a másik irányban 60 km/óra. Mekkora az átlagsebesség egy teljes fordulót figyelembe véve? Mi lenne akkor az átlagsebesség, ha a busz egy órán át menne 30, egy órán át pedig 60km/h sebességgel? (40 km/h és 45 km/h) 3. feladat* Egy test egydimenziós mozgást végez, a gyorsulás-idő függvény az ábrán látható, v 0 =0. Mekkora az átlagsebesség? (5,33 m/s) a t 4. feladat* Egy motorkerékpáros az ábra szerinti A pontból a C pontba kíván eljutni. Sebessége az úton (A és D között) 50 km/h, a mezőn 5 km/h. Melyik B pontnál kell letérnie a műútról, hogy A-ból C-be a legrövidebb idő alatt érjen? (Legyen x az A és a B távolsága, d=4 km pedig az A és a D távolsága, h=3 km.) (x=,68 km) C h A B D 5. feladat* Az xy síkban mozgó tömegpont koordinátái a következőképpen változnak: x=c 1 t, y=c -c 3 t, ahol c 1 =15m/s, c =4m, c 3 =0m/s. Határozzuk meg a tömegpont pályáját, pályasebességét és tangenciális gyorsulását. Mennyi idő alatt futja be a tömegpont pályájának a koordinátatengelyek közé eső szakaszát? 14

16 TÁMOP F-13/ Kinematika II. hajítások A hajítások az állandó gyorsulású mozgások közé tartoznak, a Nem jó számfejezetben leírtak jelentik a jelen fejezet kiindulópontját. 4.1 Elméleti alapok A hajítások olyan speciális, állandó gyorsulású mozgások, amelyeknek a gyorsulása megegyezik a gravitációs gyorsulással, vagyis a 0 g, ami egy mindig függőlegesen lefelé m mutató, g 9,81 hosszúságú vektor. s Megjegyzés: a feladatok megoldásakor itt elegendő a g10m/s közelítő értékkel számolni. Fontos kiemelni, hogy a hajításokkal kapcsolatos feladatoknál általában elhanyagoljuk a légellenállás hatását, az nagyban megnehezítené a számolásokat, lásd ballisztikus pályák. A hajításokat három különböző típusba sorolhatjuk: 1. A függőleges hajítások esetén a gyorsulás és a kezdeti sebességvektor párhuzamosak (vagyis a kezdősebesség is függőleges). Ennek speciális esete a szabadesés, amelynél a kezdősebesség nagysága zérus.. A vízszintes hajítások esetén a kezdeti sebesség merőleges a gyorsulásra, vagyis vízszintes. 3. Minden más esetet ferde hajításnak nevezünk. A hajítások lévén két dimenziós (vagy egyenes vonalú) mozgások kiértékelésénél elegendő két dimenziós koordinátarendszerben végezni a leírást (a három dimenziós koordinátarendszert úgy forgatjuk el, és az origó helyét úgy választjuk, hogy az egyik irányban minden vektor-komponens zérus legyen). Az általános konvenció szerint a függőleges komponensek a z tengelyen lesznek felvéve, a vízszintesek az x tengelyen. A hajításokkal kapcsolatos feladatokat az alábbi általános menetrend segítségével lehet szisztematikusan felírni: 1. lépés: javasolt a feladat megoldását ábra rajzolásával kezdeni.. lépés: a koordinátarendszer megválasztása, vagyis az origó helyének kiválasztása, a tengelyek irányának meghatározása. Javasolt az egyik (x) tengelyt vízszintesen, a másikat függőlegesen felvenni. 3. lépés: az állandó gyorsulású mozgásokra vonatkozó általános egyenletek komponenseinek felírása a koordinátarendszerben. 4. lépés: az egyenletrendszer megoldása a megadott adatok alapján. 5. a feladat megoldásának kiértékelése, a nem fizikai megoldások kiszűrése. 15

17 TÁMOP F-13/ Bevezető elemi feladatok 1. feladat Mekkora távolságot tesz meg a nyugalmi helyzetből induló, és szabadon eső test a t 1 = 6s és t = 8s közötti időközben? Megoldás: - Adatok: g=10m/s, v 0 =0m/s, t 1 =6s, t =8s. - A test lefelé halad, ennek megfelelően vesszük fel a koordináta-tengely irányát. - A megtett út kiszámítása a két időpontig: g g s1 t1 180m, s t 30m - A két út különbsége, vagyis az az út, amit a két időpont között tesz meg a test s s s 140m. 1. feladat Egy testet 10 m/s kezdősebességgel felfelé hajítunk. Milyen magasra jut a test? Mennyi idő alatt ér vissza a kezünkbe? Milyen sebességgel csapódik a kezünkbe? Megoldás: - Adatok: g=10m/s, v 0 =10m/s - A koordinátarendszert az alábbiakban úgy vesszük fel, hogy a tengely függőlegesen felfelé mutat, nulla pontja a hajítás kezdőpontja. - A mozgás egyenletei a választott koordinátarendszerben v(t) gt v0 g z(t) t v0 t - A pálya tetőpontján a sebesség nullává válik, vagyis a csúcsra érés ideje v0 v(t tető ) 0 g ttető v0 ttető 1s g - Az eközben megtett út g ztető ttető v0ttető 5m - A visszaérkezésről azt tudjuk, hogy akkor a z koordináta értéke újra zérus, vagyis az idő g v0 z(t vissza ) 0 tvissza v0 tvissza tvissza s g Megjegyzendő, hogy a fenti egyenlet másik megoldása a t=0s, ami a mozgás kezdőpontja, ez ellenőrzésnél fontos, de új eredményt nem szolgáltat. - A visszaérkezés sebessége pedig m, v(t vissza ) g tvissza v0 10 s vagyis ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányú sebességgel érkezik vissza. 16

18 TÁMOP F-13/ Kidolgozott mintafeladat(ok) 1. feladat Egy 0 m magasan nyíló ablakból egy, a talajon, a fal tövétől 14 m-re lévő dobozba köveket hajigálunk. Mekkora vízszintes sebességgel kell elhajítanunk a köveket, hogy beletaláljunk a dobozba? 17

19 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: az ablak h=0m magasan van, a fal tövétől a doboz k=14m távolságban található. - Ábra és koordináta-rendszer választás x h z k Megjegyzés: a koodinátarendszer-választás lehet ennél szokványosabb is, ettől a végeredmény nem függ(het). Talán a fenti koordinátarendszer adaptálható legjobban a feladathoz, viszont vigyázni kell az irányokkal, előjelekkel (például a mozgás végpontjának függőleges komponense nem -0m, hanem 0m!). - Ebben a koordinátarendszerben a mozgás egyenletei az alábbiak: v(t) z gt g z(t) t x(t) v t 0 - A végpontra (x=k, z=h) vonatkozó egyenletek az alábbiak: g h t k v t vég 0 vég - Az első egyenletből meghatározható a hajítás időtartama, a másodikból ennek segítségével a vízszintes irányú kezdősebesség nagysága. h k g m tvég s v0 k 7 g t h s vég - Megjegyzendő, hogy ha a koordinátarendszer origóját a fal tövéhez választanánk, akkor a z tengely függőlegesen felfelé mutatna, a z(t) kifejezése más lenne, de a végpontra vonatkozó egyenlet eredménye ugyanaz lenne: g g h z(t) t h z(t vég ) 0 tvég h tvég. g 18

20 TÁMOP F-13/ feladat Egy testet 5m/s nagyságú, a vízszintessel 60 o os szöget bezáró kezdeti sebességgel elhajítunk. Mikor és hol ér pályája tetőpontjára? Milyen magasra jut? Hol és mikor ér újra földet a test? 19

21 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: v 0 =5m/s, α=60. - Ábra és koordináta-rendszer választás z z z t v 0 v z =v 0 sinα v 0 α - Ebben a koordinátarendszerben a releváns egyenletek a következők: v(t) z gt v0z gt v0sin g g z(t) t v0z t t v0 sin t x(t) v t v cost 0x 0 x t x v x v x =v 0 cosα ahol a kezdeti sebességvektor komponensekre bontását a jobb oldali ábra segítségével elvégeztük. - A pálya tetőpontjára az jellemző, hogy ott a függőleges sebességkomponens nullává válik, vagyis v z (t tető )=0m/s. Ebből a tetőpontra érkezés ideje kiszámolható, abból pedig a csúcspont koordinátái is: v0 sin v(t z tető ) 0gt tető v0sin ttető,165s g g zt z(t tető ) ttető v0sinttető 3,44m v0 sincos x t x(t tető ) v0cos t tető 7,06m g - A pálya végpontjának jellemzője, hogy ott a z komponens értéke újra nulla lesz, vagyis z(t vég )=0. Ebből az idő meghatározása után (a zérus megoldást ismét nem vesszük figyelembe) a hajítás távolsága is kiszámítható: g v0 sin z(t vég ) 0 tvég v0 sin tvég tvég 4,33s g v0 sin cos xv x(t vég ) v0 costvég 54,1m g - Megjegyzés: jól látható, hogy a mozgás a csúcspont körül szimmetrikus, a végpont ideje és x koordinátája is éppen duplája a csúcsponthoz tartozó értékeknek. Ez azonban csak a közegellenállás elhanyagolása miatt lehetséges. α x 0

22 TÁMOP F-13/ Példák, ajánlott feladatok 1. feladat Egy követ 15m magasról kezdősebesség nélkül leejtünk. Ezután 1s-mal később utána dobunk egy másik követ, függőlegesen lefelé irányuló v o kezdősebességgel. Mekkora legyen v o, hogy pontosan egyszerre érjenek földet? (11,5 m/s). feladat Egy testet egy 15m magas toronyból 0m/s nagyságú, a vízszintessel 30 os szöget bezáró, ferdén lefelé mutató kezdősebességgel eldobunk. Mennyi idő múlva ér földet a test és a torony tövétől milyen távol? (1s, 17,3m) 3. feladat Rögzített nagyságú kezdősebesség esetén a vízszinteshez képest milyen szögben kell eldobnunk egy testet, hogy a lehető legmesszebb essen le, ha a közegellenállást elhanyagoljuk? (45 ) 4. feladat A vízszintes sík terepen milyen szögben kell kilőni az 500 m/s kezdősebességű lövedéket, hogy az a kilövés helyétől 5 km-re fekvő célba csapódjon? (5,77 vagy 84,3 ) 5. feladat A várat ostromló hadsereg a 35 méter magas várfaltól 80 méterre felállít egy katapultot, amellyel lángoló lövedékeket szeretnének behajítani a várba. A katapult 5 méter magasról engedi el a lövedéket, melynek kezdeti sebessége a vízszintessel 60º-os szöget zár be és a sebesség nagysága 40 m/s. Sikerül-e áthajítaniuk a tűzgolyót a várfal fölött? Mekkora és milyen irányú a sebesség, amikor a lövedék a várfalhoz ér (becsapódik vagy elhalad fölötte)? (z fal =63,56m, v=0,71m/s, 15 o kal a vízszintes alatt) 1

23 TÁMOP F-13/ Dinamika I. Newton-törvények A testek mozgásának miért-jeire a Dinamika ad választ. Ennek első szakasza a Newtontörvényeket, és az ahhoz kapcsolódó erő-törvényeket tartalmazza, és a test mozgásegyenleteinek származtatása a cél. Az egyenletek megoldása már a kinematika tárgykörébe tartozik. 5.1 Elméleti alapok A Newton-törvények: 1. Minden test megőrzi egyenes vonalú egyenletes mozgását, vagy nyugalmi állapotát addig, amíg annak megváltoztatására egy másik test nem kényszeríti. - Megjegyzés: a feladatmegoldásokban ez úgy jelenik meg, hogy ha egy tömegpontra ható erők eredője zérus (ebbe beleértendő az is, ha nem hat rá erő), akkor nem gyorsul, vagyis a sebessége állandó. - Megjegyzés: a fenti Newton-törvény modernebb változata az úgynevezett kiválasztási axióma, viszont a munkafüzetben található feladatok megoldásához arra nincs szükség.. A test gyorsulása és a rá ható erő arányos, vagyis szabatosabban: F ma, (5.1.) ahol az arányossági tényező a tehetetlen tömeg, mértékegysége a kg. 3. Ha egy A test egy B testre F AB erőt fejt ki, akkor a B test is erőt fejt ki az A-ra. Ezen F BA erő azonos nagyságú, de ellentétes irányú az eredeti F AB erővel, vagyis: FBA FAB (5..) Ezt nevezik erő-ellenerő, vagy hatás-ellenhatás törvényének is. 4. Ha egy tömegpontra egyidejűleg több erő is hat, akkor együttes hatásuk helyettesíthető egy úgynevezett eredő erővel. Az eredő erő az egyes erők vektori összege: n F e = å F i i= 1 (5.3.) A második és negyedik törvény összevetésének segítségével adhatjuk meg a tömegpont mozgásegyenletét n d r å Fi = ma= m dt, (5.4.) i= 1 amelynek rt () megoldásait nevezzük mozgástörvénynek; a megoldáshoz természetesen szükség van a vt ( 0) és rt ( 0) kezdeti feltételekre is.

24 TÁMOP F-13/ A mozgásegyenletek konkrét felírásához azonban szükség van bizonyos erőtörvényekre, amelyek a tömegpont helyétől, sebességétől, az időtől, anyagi és geometriai paraméterektől függően kiszámíthatóvá teszik az erővektorokat. A feladatmegoldások során használandó erőtörvények az alábbiak: - Súlyerő: Gm g, ahol g a gravitációs gyorsulás, az erő mindig függőleges. - Csúszási súrlódási erő: FS Fny, ahol μ a csúszási súrlódási együttható, F ny a két felület közötti nyomóerő. Az erőhatás mindig a felületekkel párhuzamos. - Rugóerő: F x D x, ahol D a rugóra jellemző direkciós állandó, x a kitérés. - Kényszererők, mint a kötélerő (a kötél végén ébredő erő), vagy a tartóerő (a testet tartó felületre merőleges erőhatás). A feladatmegoldások tekintetében az alábbi pontok végrehajtása javasolt: 1. Javasolt egy megfelelő minőségű ábra elkészítése.. Az ábrán jelölni kell a fellépő erőket. Általános szabály a mechanikában, hogy az hat erővel egy testre, ami hozzáér, kivéve a gravitációt (és persze az ebből származó súlyerőt). Ezen pontnál fontos kiemelni, hogy az erők figyelembe vételekor számot kell tudni adni minden erő ellenerejéről is. Ezek között lesznek elhanyagolható hatásúak (például a test tömegvonzását, ami a Földre hat vissza, elhanyagolhatjuk, ahogy a rögzített felület tartóerejének ellenerejét is, stb.), de érdemes mindegyiket beazonosítani. 3. Az erők berajzolásának elvei (bár ezek némelyike a tömegpont modell esetén nem igazán lényeges): a. A súlyerőt a tömegközéppontból indítjuk lefelé. b. A tartóerőt az azt kifejtő felületre, a felületből indítva vesszük fel. c. A kötélerő (lásd később) mindig kötélirányú. d. A csúszási súrlódási erő (lásd később) a két felület határán, a mozgás feltételezett irányával ellentétes irányba mutat. e. A csúszási súrlódási erő esetén, ha az egyik felület tartóereje hat a másik (jellemzően a mozgó) testre, akkor a súrlódási erő kifejezésében szereplő nyomóerő megegyezik ezzel a tartóerővel. 4. Választani kell egy megfelelő koordinátarendszert, amelyben az erővektorok összeadhatóak, ezzel az eredő erő meghatározható. Javasolt már ekkor figyelembe venni, hogy milyen koordinátarendszer-választás a legmegfelelőbb a gyorsulásvektor tekintetében. 5. Az egyes testekre külön-külön felírjuk a mozgásegyenleteket az alábbi módon. 6. A választott koordinátarendszerben (ez leggyakrabban derékszögű Descarteskoordinátarendszer) össze kell adni (illetve összegezni kell) az erővektorokat, meghatározva az eredő erő vektorának komponenseit. 7. Ezt behelyettesítjük a mozgásegyenletbe, és meghatározzuk a gyorsulásvektor komponenseit. 8. A mozgástörvény meghatározása a kinematika feladatkörébe tartozik, az ott leírt módszerek alkalmazhatóak. 3

25 TÁMOP F-13/ Bevezető elemi feladatok 1. feladat Mekkora az emelődaru kötelében fellépő F h húzóerő egy 100 kg tömegű gépalkatrész süllyesztésekor, illetőleg emelésekor, ha a gyorsulás nagysága mindkét esetben m/s? A kötél és a végén levő horogszerkezet súlya elhanyagolható. Megoldás: - Adatok: m=100kg, a= m/ s. - Mozgásegyenlet, és annak megoldása, amikor lefelé mozog: GFh ma Fh mgma 800N. - Mozgásegyenlet, és annak megoldása, amikor felfelé mozog: F G m a F m g m a 100N. h h. feladat Egy m=4kg-os testre a súlyán kívül egy vízszintes, 30N nagyságú erő hat. Mekkora a test gyorsulása? Megoldás: - Adatok: m=4kg, F=30N. - A két erőhatás (súlyerő és F) merőleges egymásra, így a kettő eredőjének nagyságát a Pitagorasz-tétellel lehet kiszámolni: F eredő (mg) F 50N. 3. feladat Egy fél mázsás zsák vízszintes, súrlódásmentes talajon hever. Egy munkás elkezdi húzni a vízszintessel 40 -os szöget bezáró, 400N nagyságú erő-vel. Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása? Megoldás: - Adatok: m=50 kg, F h =400N, =40 - Ábra, előkészítve a húzóerő komponensekre bontását: T F h G - Mivel a húzóerő 400N, a test súlya pedig G=mg=500N, még ha függőlegesen felfelé is húzzuk, nem emelkedik el a talajról a test. Ezért rajzoltuk be a tartóerőt is az ábrán. - Függőlegesen a tartóerő, a húzóerő függőleges komponense és a súly kiegyenlítik egymást. A gyorsulást a mozgásegyenlet vízszintes komponenséből lehet kiszámolni: Fcos h m Fcos h ma a 6,13. m s 4

26 TÁMOP F-13/ feladat Egy m=50kg-os zsákot vízszintesen húzunk F=300N erővel, így a gyorsulása a=1m/s. Mekkora a súrlódási együttható a talaj és a zsák között? Megoldás: - Adatok: m=50kg, F=300N, a=1m/s. - Ábra, feltűntetve a gyorsulás irányát is: S T G a F - A függőleges irányú mozgási egyenlet komponens, lévén függőlegesen a test nem gyorsul, az alábbi: TG0 Tm g. - A vízszintes komponensre vonatkozó egyenlet pedig: FSma FT m a. - A fenti egyenletek alapján a megoldás: Fma 0,5. mg 5. feladat Egy rugóra felakasztunk egy dm 3 térfogatú, 5kg/dm 3 sűrűségű testet, így a rugó cm-t nyúlik meg. Mekkora a rugóállandó? Megoldás: - Adatok: V=dm 3, ρ=5kg/dm 3, Δx=cm=0,0m. - A test tömegének meghatározása: m V 10kg. - A test mozgásegyenlete egyensúlyi helyzetben (a pozitív irány függőlegesen felfelé mutat): Dxmg 0. - Ebből a megoldás: mg N D x m 5

27 TÁMOP F-13/ Kidolgozott mintafeladat(ok) 1. feladat Egy M=10kg tömegű, téglatest alakú ládát leteszünk a padlóra, függőleges oldalára helyezünk egy m=kg tömegű kis dobozt. A doboz és a láda között mind a csúszási, mind a tapadási súrlódási együttható 1 =0,, a láda és a padló között pedig mindkettő =0,5. a) Legalább mekkora legyen a láda gyorsulása, hogy a doboz ne essen le? b) Mekkora vízszintes F erővel kell ehhez a ládára hatni? F M m 6

28 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: M=10kg, m=kg, μ 1 =0,, μ =0,5. - Ábra az erőhatások berajzolásával (külön figyelni kell az ellenerőkre): S 1 a F T M T m Tm S 1 G m S G M Megjegyzés: az ábrán azokat az ellenerőket, amelyek relevánsak, ábrázolni kell! A számolások megkönnyítése érdekében az egyes erőket úgy ábrázoltuk, hogy jól látható legyen, mely testekre hatnak (még ha ezzel az ábra kevésbé is lesz pontos). - Bár a két test nincs rögzítve, jól láthatóan azonos gyorsulással kell rendelkezniük. Az M gyorsulása nem lehet nagyobb, mint m-é, különben a doboz belenyomódna a ládába. Ha pedig a doboz gyorsulása lenne nagyobb, leesne (megszűnne az őt fent tartó tapadási súrlódás). - A koordinátarendszer-választás ebben az esetben egyszerű, az erőhatások függőleges és vízszintes komponenseit számoljuk ki. - A doboz mozgásegyenletének komponensei (először a függőleges, majd a vízszintes): S1Gm 0 1Tm mg0 T ma. m - A láda mozgásegyenletének komponensei (először a függőleges, majd a vízszintes): TM GM S1 0 TM Mg1Tm 0 FT S Ma FT T Ma. m m M - Az első kérdésre a választ a doboz mozgásegyenleteiből lehet kiszámolni. Ahhoz, hogy a test ne csússzon le, ahhoz a függőleges gyorsulásnak kell nullának lennie, vagyis az első egyenletnek kell teljesülnie: g m 1Tm mg 0 1mamg 0 a s - A gyorsulás ismeretében az F erő nagysága a láda mozgásegyenleteiből számolható ki: FTm TM Ma FT m (Mg 1T) m Ma F m a (M g m a) M a 660N 1 7

29 TÁMOP F-13/ Példák, ajánlott feladatok 1. feladat Egy m = 8 kg tömegű pontszerű testre a súlyán kívül még két, F 1 = F =60N nagyságú erő hat, mindkettő = 30 o -os szöget zár be a vízszintessel, és e két utóbbi erő a súlyerővel egy síkban van. Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása? (,5m/s, lefelé) F 1 F. feladat Egy négyzet csúcsaiban azonos Q töltésű pontszerű testek vannak. Mekkora a négyzet középpontjában elhelyezkedő ötödik részecske töltése, ha a rendszer egyensúlyban van? (-0,957Q) Megjegyzés: az utóbbi feladat megoldásához szükség van a Coulomb-erő nagyságának kifejezésére, ami két, Q 1 és Q ponttöltések között ható erő, amikor r távolságra vannak egymástól: QQ 1 9 Nm FC k, ahol k r C 3. feladat* Egy G =50N súlyú testet a padlóra helyezünk, és a vízszintessel α szöget bezáró rögzített F=5N nagyságú erővel húzni kezdjük. Mekkora α esetén maximális a test gyorsulása, ha a test és talaj közti súrlódási együttható =0,? (11,3 ) 8

30 TÁMOP F-13/ Dinamika II. kötelek, lejtők, csigák A konkrét feladatok megoldásakor a Fizika oktatásában külön fontossága van a kötelek, lejtők és csigák egyszerűsített leírásának. Ezzel nyílik lehetőség összetettebb mechanikai rendszerek vizsgálatára anélkül, hogy bonyolult rugalmasságtani, vagy a merev testek dinamikájára vonatkozó feladatokat kellene megoldani. 6.1 Elméleti alapok Az ideális kötél működése Az ideális kötélnek két alapvető tulajdonsága van: 1. Nyújthatatlan.. A tömege zérus. Ennek következményei az alkalmazások tekintetében az alábbiak: 1. Ha a kötél nem feszül meg, olyan, mintha ott sem lenne.. A kötél mozgásegyenlete nem jelenik meg külön egyenletként, a kötélerők nagyságának és irányának a meghatározásakor kell figyelembe venni őket. 3. A kötél két végén ébredő erő nagysága ugyanakkora, és mindig párhuzamos a kötél irányával. 4. A kötél nyújthatatlanságának is vannak hatásai, amikor a kötél megfeszül, de ezek feladatról feladatra változhatnak. Van, ahol az összekötött testek távolsága állandó (például körmozgásnál, vagy ha a két test egy irányba mozog); van, ahol a két test gyorsulásának nagysága ugyanakkora (például amikor mindkét test a kötéllel párhuzamos irányban mozog) Az ideális csiga működése A csigák idealizált modelljében az alábbi tulajdonságokat vesszük figyelembe: 1. Az ideális csiga tömege, ezzel együtt tehetetlenségi nyomatéka zérus.. Az ideális csiga súrlódásmentesen forog rögzített tengelye körül. Ennek következményei az alkalmazások tekintetében az alábbiak: 1. A csiga forgó mozgása nem jelenik meg külön mozgásegyenletként.. A csiga a rajta átvetett ideális kötél végén ébredő erőknek a nagyságát nem, csak az irányát változtatja meg. Praktikusan az ideális csiga, és a rajta átvetett kötél figyelembe vétele a feladatok megoldásában a következőképpen zajlik: 1. A kötélerő nagysága a kötél két végén ugyanakkora, az erő párhuzamos a kötéllel.. A kötelet, ha átvetjük egy ideális csigán, a csiga két oldalán a kötél vonalának az iránya között eltérés lehet, de ez a fenti két ponton nem változtat Lejtőn mozgó test dinamikájának leírása A lejtőn mozgó tömegpont leírásának konkrét részletei a bevezető elemi feladatok között lesznek megtalálhatóak. Általánosságban az alábbiakat kell tudni a rögzített lejtőn történő mozgásról: 1. A lejtőn mozgó testre mindenképpen hat a súlyerő függőlegesen lefelé, illetve a lejtő 9

31 TÁMOP F-13/ tartóereje a lejtőre merőlegesen.. A súlyerő és a lejtőre merőleges irány ugyanakkora szöget zár be egymással, mint a lejtő a vízszintes síkkal (merőleges szárú szögek). 3. A nem túl bonyolult esetek tárgyalásánál érdemes nem a szokásos vízszintesfüggőleges irányokra építő koordinátarendszert választani, hanem a lejtővel párhuzamos, és arra merőleges irányokhoz rögzíteni a koordinátatengelyeket. Megjegyzés: ennek fő oka az, hogy bár az erővektorok összeadásakor lehet az eredeti irányválasztás jobb, a javasolt esetben a gyorsulásvektornak csak egy nem nulla komponense lesz, mégpedig a lejtővel párhuzamos (ez a legtöbb esetben így van, de természetesen lehetnek kivételek). 4. A feladatok megoldását érdemes annak tisztázásával kezdeni, hogy a lejtőn csúszó test egyáltalán milyen irányban mozoghat. Amennyiben ugyanis súrlódás is fellép, akkor a végeredmény csalóka lehet, például, ha a súlyerőn, a tartóerőn és a súrlódáson kívül nem hat más erő, és a számolás eredménye matematikailag az, hogy a test felfelé gyorsul, az fizikailag nyilván azt jelenti, hogy a test a nagy súrlódás miatt nem mozdul meg. 6. Bevezető elemi feladatok 1. feladat Az ábra szerint összekapcsolt m 1 =kg és m =8kg tömegű testeket F=0N erő gyorsítja. Mekkora lesz a közös gyorsulás, és erő hat a kötélben, ha nincs súrlódás? m 1 m F Megoldás: - Adatok: m 1 =kg, m =8kg, F=0N. - Ábra az erőhatások berajzolásával (a betűk a vektor hosszát jelölik, az irányokat az ábra tisztázza), felvéve a feltételezett pozitív gyorsulásirányt is: T 1 K K T F a G 1 G - A választott koordinátarendszer: az egyik tengely függőleges, felfelé mutat a pozitív irány, a másik tengely vízszintes, a gyorsulás irányába mutat. - A mozgásegyenletek függőleges irányban (a testek ebben az irányban nem gyorsulnak): T1G1 0, T G 0, ezek azonban a gyorsulás kiszámításában nem számítanak, mivel nincs súrlódás. - A mozgásegyenletek vízszintes irányban: K m a, FK m a, de a két test ideális kötéllel van összekötve, vagyis a két 1 1 gyorsulás egyenlő egymással. Ebből a megoldás: F m a. m m s 1 30

32 TÁMOP F-13/ feladat Elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen forgó csigán átvetett kötél egyik vége m=5kg tömegű, a másik vége egy vízszintes síkon mozgó M=0kg tömegű testhez kapcsolódik. Mekkora a rendszer gyorsulása, ha elhanyagoljuk a súrlódást, ill. ha = 0,1? Megoldás: - Adatok: m=5kg, M=0kg, = 0,1. - Ábra az erőhatások berajzolásával, felvéve a feltételezett pozitív gyorsulásirányt is (itt természetesen nem egy irányról van szó, hanem egy körüljárási irányról, a két test gyorsulásának iránya különböző, de a gyorsulások nagysága azonos): a K T M K G M S G m - A M tömegű test mozgásegyenletei (függőleges, majd vízszintes irány): TM GM 0, TM Mg KSMa, KFny Ma, KTM Ma. - A m tömegű test mozgásegyenlete (csak függőleges irány): Gm Kma mg Kma. - Az egyenletrendszer megoldása (KMg) (mgk) Mama (Mm)a mgm g, vagyis súrlódásmentes esetben a=m/s, súrlódásos esetben a=1,m/s. 3. feladat Írja fel egy α szögű lejtőn súrlódva lecsúszó m tömegű test mozgásegyenleteit! Megoldás: - Ábra az erőhatások berajzolásával, felvéve a feltételezett pozitív gyorsulásirányt is: S T a m α α G - A koordinátarendszert most nem függőleges-vízszintes, hanem lejtőirányú és lejtőre merőleges tengelyekkel vesszük fel. Ebben a két mozgásegyenlet-komponens: TGcos 0, T mgcos GsinSma, mgsint ma. - Ennek megoldása a g (sincos ). Ha ez az érték negatív, akkor tapadási súrlódás áll fenn, a test nem mozdul, gyorsulása valójában nulla (a fenti esetben felfelé nem gyorsulhat). 31

33 TÁMOP F-13/ Kidolgozott mintafeladat(ok) 1. feladat Az ábrán látható elrendezésben a lejtők szöge α=30 és β=45, a (pontszerűnek tekinthető) testek tömege sorrendben m 1 =4kg, m =5kg, m 3 =1kg, mindkét csiga könnyű és szabadon foroghat. A súrlódási együttható mindenütt 0,1. Mekkora lesz a testek gyorsulása a lejtőhöz képest? 1 3 α β 3

34 TÁMOP F-13/ feladat megoldása - Adatok: m 1 =4kg, m =5kg, m 3 =1kg, α=30, β=45, μ=0,1. - A megfelelő mozgási irány kiválasztásához megvizsgáljuk, hogy egyáltalán milyen irányban mozoghatnak a testek. Ehhez a súrlódásmentes esetet vizsgáljuk meg: - Az 1. testet a rá ható súlyerő lejtővel párhuzamos komponense fogja balra gyorsítani, ez F 1 m 1 gsin 0N. - A. testet csak a kötélerők fogják mozgatni, az irány eldöntésében nincsen szerepe. - A 3. testet a rá ható súlyerő lejtővel párhuzamos komponense fogja jobbra gyorsítani, ez F3 m3g sin 7, 07N. - Ebből látszik, hogy a rendszer balra mozog(ezt az alábbi ábrán is berajzoljuk), ez a súrlódási erők irányát is meghatározza. - Ha a számolás végeredménye negatív lesz, akkor a rendszer nyugalomban van. - Ábra az erőhatások berajzolásával (előkészítve a súlyerők komponensekre bontását is): a T T 1 K 1 α α S 1 K 1 K K G S β β S 3 T 3 G 1 G 3 - Mindegyik test esetén más koordinátarendszert fogunk használni, mindenhol a lejtőre merőleges és az azzal párhuzamos komponenseket fogjuk felírni külön-külön. Mivel az ábra alapján az irányokat helyesen vettük fel, és mivel az egész rendszer az ideális kötelek miatt ugyanakkora gyorsulással fog mozogni, ez megtehető. - Az m 1 tömegű test mozgásegyenletei (merőleges, majd párhuzamos komponens): T1G1cos0 T1 m1gcos, G sink S m a m gsink m gcosm a Az m tömegű test mozgásegyenletei (merőleges, majd párhuzamos komponens): T G 0 T mg, K K S m a K K m g m a Az m 3 tömegű test mozgásegyenletei (merőleges, majd párhuzamos komponens): T3G3cos0 T3 m3gcos, K G sins m a K m gsinm gcosm a Az egyenletrendszer megoldása: m sin m sin (m cos m m cos ) m. m m m s a g 0,

35 TÁMOP F-13/ Példák, ajánlott feladatok 1. feladat Az ábra szerint összekapcsolt m 1 =3kg, m =5kg, m 3 =kg tömegű testeket F=40N erő gyorsítja. Mekkora lesz a közös gyorsulás, és mekkora erők hatnak a kötelekben, ha nincs súrlódás, ill. ha a súrlódási együttható = 0,? (4 és m/s, 1N és 3N) m 1 m m 3 F. feladat Egy h = 3m magas, vízszintesen b = 4m hosszú lejtő tetejéről v 0 = 4m/s kezdősebességgel elindítunk lefelé egy testet. A lejtő és a test közötti súrlódási együttható 1 = 0,5, a lejtő utáni vízszintes talaj és a test között = 0,8. Mekkora utat tesz meg a test a megállásig, miután elhagyta a lejtőt? (10m) 3. feladat Az alábbi bal oldali ábrán látható testek tömege M=5kg, m 1 =kg, m =3kg, a rugó, a csiga és a kötelek tömege, valamint a súrlódás elhanyagolható. Tudjuk, hogy mindhárom testnek ugyanakkora a=0,5m/s a gyorsulása. Mekkora a lejtő α szöge és mennyi a rugó megnyúlása, ha a rugóállandó D=0N/cm? (64, o, 1,95cm) M m 1 β α m α 4. feladat Egy üres doboz tetejére könnyű fonállal kis testet kötünk, majd a dobozt egy α=30 o szögű lejtőre tesszük, ahol a doboz (és vele a kis test) a gyorsulással gyorsulni kezd (lásd a fenti jobb oldali ábrát). Milyen szöget zár be a fonál a függőlegessel, ha a) a lejtő súrlódásmentes, b) a súrlódási együttható μ=0,? (30 o és 18,7 o ) 5. feladat* Egy vízszintesen rögzített, b kiterjedésű súrlódásmentes lejtő milyen szöget zárjon be a vízszintessel ahhoz, hogy a lehető leghamarabb csússzon le róla egy test. (45 o ) b 34

36 TÁMOP F-13/ Dinamika III. megmaradó mennyiségek A fizikában fontosak az úgynevezett megmaradó mennyiségek, amelyek fontos alapvető elvekből határozhatóak meg. Az alkalmazások tekintetében ezen mennyiségeknek kettős a haszna. Egyrészt vannak olyan mérnöki kérdések, amelyek egyértelműen a megmaradó mennyiségekre, vagy a kapcsolódó fogalmakra vonatkoznak (például egy rendszer hatásfoka, vagy a működéshez szükséges teljesítmény, befektetendő energia, stb.). Másrészt bizonyos dinamikai feladatok a segítségükkel sokkal könnyebben megoldhatóak. 7.1 Elméleti alapok Lendület (impulzus), Impulzus-tétel A lendület, vagy más néven impulzus meghatározása: I mv, (7.1.) és az erre vonatkozó tétel az úgynevezett impulzus-tétel d I = å F dt (7..) amelyből állandó tömegű esetben levezethető Newton. törvénye. Azon túl, hogy bizonyos feladatok értelmezésében és megoldásában alkalmazható a tétel, van egy fontos következménye. Ha a testre ható erők eredője zérus, akkor a test impulzusa állandó (nagyság és irány is), vagyis ebben az esetben az impulzus megmarad Munka, mozgási energia, munkatétel Egy adott tömegpontra ható erőhatás, ha a tömegpont r 1 pontból r pontba mozog, az alábbi munkát végzi a testen W 1, r Fdr. (7.3.) r 1 Ennek az összefüggésnek azonban egy egyszerűsített alakját szoktuk használni az elemi feladatoknál. Amennyiben az erőtér homogén, vagyis minden pontban ugyanolyan nagyságú és irányú, illetve a test elmozdulása egyenes mentén történik, a munkavégzés W Fr Frcos (7.4.) lesz, ahol a második egyenlőségben kifejtettük a skaláris szorzatot. Erre a fogalomra épül a munkatétel. Ennek kimondásához szükségünk van egy mennyiség bevezetésére, mégpedig a kinetikus (vagy mozgási) energiára, amely E 1 k mv (7.5.) 35

37 TÁMOP F-13/ alakú. Ezzel a munkatétel W= E k, (7.6.) vagyis a mechanikában a tömegpontra ható erők eredője által végzett munka a test mozgási energiájának megváltozását okozza Konzervatív erőterek, potenciális energia, mechanikai energia-megmaradás Az erőtereknek van egy speciális típusa, amely fontos a feladatok megoldása tekintetében, ezek a konzervatív erőterek. Ezek fontosságát egyrészt az adja, hogy a Fizika oktatásában megjelenő legelemibb kölcsönhatások (gravitáció, elektrosztatikus vonzás/taszítás) ilyen erőterek, másrészt ezekhez az erőterekhez rendelhetünk egy potenciális energiát, amely nagyban megkönnyít(het)i a feladatmegoldást. Konzervatív erőtérnek azt nevezzük, amely erőtér munkavégzése szempontjából irreleváns, hogy a test milyen úton halad egyik pontból a másikba. Másképpen megfogalmazva, a munkavégzés csak a mozgás két végpontjától függ, vagyis ha a test A pontból halad B pontba, akkor a munkavégzés B W F dr E (A) E (B), (7.7.) AB P P A ahol bevezettük az E P potenciális energiát. Az alábbi feladatokban a súlyerő potenciális energiája fog szerepelni, amely E=mgh, p (7.8.) amelyet helyzeti energiának is nevezünk. Fontos azonban tisztázni, hogy önmagában a h nem meghatározott, a mozgás két pontjának magassága közötti különbség lesz jól meghatározott. Ezért amikor egy időpontban a test helyzeti energiáját meg akarjuk határozni, valamilyen nulla-szintet választanunk kell a potenciális energiának, vagyis meg kell mondanunk, hogy a h=0 hely hol található. Konzervatív erőterek esetén származtatható a munkatételből az úgynevezett mechanikai energia-megmaradás, amely szerint egy test mozgási és potenciális energiájának összege (ezt az összeget nevezzük mechanikai energiának) állandó a mozgás során, vagyis a mozgás bármely két A és B pontjára felírva: E k(a)+e p(a)=e k(b)+e p(b). (7.9.) A fentiekhez fontos kiegészítés, hogy a rugóerő is konzervatív erőtérként viselkedik, így ahhoz is definiálható potenciális energia, amely a következő alakú: E 1 rugó Dx. (7.10.) Teljesítmény, teljesítmény-tétel A munkavégzéshez, illetve az energiához kapcsolódó fontos fogalom a teljesítmény, ami az időegység alatt befektetett munka / befektetett energia / hasznosuló energia, stb., vagyis 36

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

Testek mozgása. Készítette: Kós Réka

Testek mozgása. Készítette: Kós Réka Testek mozgása Készítette: Kós Réka Fizikai mennyiségek, átváltások ismétlése az általános iskolából, SI Nemzetközi Mértékegység Rendszer 1. óra Mérés A mérés a fizikus alapvető módszere. Mérőeszközre,

Részletesebben

Gyakorló feladatok Tömegpont kinematikája

Gyakorló feladatok Tömegpont kinematikája Gyakorló feladatok Tömegpont kinematikája 2.3.1. Feladat Egy részecske helyzetének időfüggését az x ( t) = 3t 3 [m], t[s] pályagörbe írja le, amint a = indulva a pozitív x -tengely mentén mozog. Határozza

Részletesebben

Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása

Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása Fizika 1i (keresztfélév) vizsgakérdések kidolgozása Készítette: Hornich Gergely, 2013.12.31. Kiegészítette: Mosonyi Máté (10., 32. feladatok), 2015.01.21. (Talapa Viktor 2013.01.15.-i feladatgyűjteménye

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához HURO/1001/138/.3.1 THNB FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához Készült A tehetség nem ismer határokat HURO/1001/138/.3.1 című projekt keretén belül, melynek finanszírozása a Magyarország-Románia

Részletesebben

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I.

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I. Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika 1.5. Mennyi ideig esik le egy tárgy 10 cm magasról, és mekkora lesz a végsebessége?

Részletesebben

Alkalmazott fizika Babák, György

Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév

Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Köszönetnyilvánítás: Az órai példák kidolgozásáért, és az otthoni példákkal kapcsolatos kérdések készséges megválaszolásáért köszönet illeti

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 9. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Az egyenletes mozgás vizsgálata... 3 2. Az egyenes vonalú

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat

NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat NT-17105 Fizika 9. (Fedezd fel a világot!) Tanmenetjavaslat A fizika tankönyvcsalád és a tankönyv célja A Fedezd fel a világot! című természettudományos tankönyvcsalád fizika sorozatának első köteteként

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

NEM A MEGADOTT FORMÁBAN ELKÉSZÍTETT DOLGOZATRA 0 PONTOT ADUNK!

NEM A MEGADOTT FORMÁBAN ELKÉSZÍTETT DOLGOZATRA 0 PONTOT ADUNK! Villamosmérnök alapszak Fizika 1 NÉV: Csintalan Jakab 2011 tavasz Dátum: Neptuntalan kód: ROSSZ1 NagyZH Jelölje a helyes választ a táblázat megfelelő helyére írt X-el. Kérdésenként csak egy válasz helyes.

Részletesebben

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN A statika a fizikának, mint a legszélesebb körű természettudománynak a része. A klasszikus értelemben vett fizika azokkal a természeti törvényekkel, illetve az anyagoknak

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Egyenes vonalú mozgások..... 3 2. Periodikus

Részletesebben

Sebesség A mozgás gyorsaságát sebességgel jellemezzük. Annak a testnek nagyobb a sebessége, amelyik ugyanannyi idő alatt több utat tesz meg, vagy

Sebesség A mozgás gyorsaságát sebességgel jellemezzük. Annak a testnek nagyobb a sebessége, amelyik ugyanannyi idő alatt több utat tesz meg, vagy Haladó mozgások Alapfogalmak: Pálya: Az a vonal, amelyen a tárgy, test a mozgás során végighalad. Megtett út : A pályának az a szakasza, amelyet a mozgó tárgy, test megtesz. Elmozdulás: A kezdőpont és

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 04/05. tanév I. forduló 04. december. . A világ leghosszabb nyílegyenes vasútvonala (Trans- Australian Railway) az ausztráliai Nullarbor sivatagon át halad Kalgoorlie

Részletesebben

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása Póda László Urbán ános: Fizika. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-75) feladatainak megoldása R. sz.: RE75 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest Tartalom. lecke Az elektromos állapot.... lecke

Részletesebben

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/ Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a

Részletesebben

Méréssel kapcsolt 3. számpélda

Méréssel kapcsolt 3. számpélda Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat

Részletesebben

Az erő legyen velünk!

Az erő legyen velünk! A közlekedés dinamikai problémái 8. Az erő legyen velünk! Utazási szokásainkat jelentősen meghatározza az üzemanyag ára. Ezért ha lehet, gyalog, kerékpárral vagy tömegközlekedési eszközökkel utazzunk!

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 4. FIZ4 modul. Elektromosságtan

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 4. FIZ4 modul. Elektromosságtan Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 4 FIZ4 modul Elektromosságtan SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 9. évfolyam Tanári segédanyag. Szemes Péter

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 9. évfolyam Tanári segédanyag. Szemes Péter FELADATLAPOK FIZIKA 9. évfolyam Tanári segédanyag Szemes Péter ajánlott korosztály: 9. évfolyam! 1. HOGYAN VADÁSZIK A DENEVÉR? fizika-9- BALESETVÉDELEM, BETARTANDÓ SZABÁLYOK, AJÁNLÁSOK A kísérlet során

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

TestLine - Fizika 7. osztály Minta feladatsor

TestLine - Fizika 7. osztály Minta feladatsor Fizika 7. osztály Tiszakécske Egészítsd ki a mondatot! 1. 1:21 Könnyű Mágnes ellentétes pólusai között ( vonzás / taszítás ) tapasztalható, míg az azonos pólusok ( vonzzák / taszítják ) egymást. metró

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék.

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék. Anyagmozgatás és gépei tantárgy 3. témakör Egyetemi szintű gépészmérnöki szak 3-4. II. félé MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék - 1 - Graitációs szállítás Jellemzője: hajtóerő nélküli,

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

1. mérés. Egyenes vonalú egyenletes mozgás vizsgálata

1. mérés. Egyenes vonalú egyenletes mozgás vizsgálata 1. mérés Egyenes vonalú egyenletes mozgás vizsgálata Emlékeztető Az egyenes vonalú egyenletes mozgás a mozgásfajták közül a legegyszerűbben írható le. Ha a mozgó test egyenes pályán mindig egy irányban

Részletesebben

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. D kategória

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. D kategória Fizikai olimpiász 52. évfolyam 2010/2011-es tanév D kategória Az iskolai forduló feladatai (további információk a http://fpv.uniza.sk/fo vagy www.olympiady.sk honlapokon) A D kategória 52. évfolyamához

Részletesebben

FIZIKA NYEK reál (gimnázium, 2 + 2 + 2+2 óra)

FIZIKA NYEK reál (gimnázium, 2 + 2 + 2+2 óra) FIZIKA NYEK reál (gimnázium, 2 + 2 + 2+2 óra) Tantárgyi struktúra és óraszámok Óraterv a kerettantervekhez gimnázium Tantárgyak 9. évf. 10. évf. 11. évf. 12. évf. Fizika 2 2 2 2 1 9. osztály B változat

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Kinematika 2016. február 12.

Kinematika 2016. február 12. Kinematika 2016. február 12. Kinematika feladatokat oldunk me, szamárháromszö helyett füvényvizsálattal. A szamárháromszöel az a baj, hoy a feladat meértése helyett valami szabály formális használatára

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006. Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.

Részletesebben

4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE. Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat

4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE. Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat 4. A FORGÁCSOLÁS ELMÉLETE Az anyagleválasztás a munkadarab és szerszám viszonylagos elmozdulása révén valósul meg. A forgácsolási folyamat M(W) - a munka tárgya, u. n. munkadarab, E - a munkaeszközök,

Részletesebben

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL 7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL Számos technológiai folyamat, kémiai reakció színtere gáz, vagy folyékony közeg (fluid közeg). Gondoljunk csak a fémek előállításakor

Részletesebben

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19.

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi

Részletesebben

Általános mérnöki ismeretek

Általános mérnöki ismeretek Általános mérnöki ismeretek 3. gyakorlat A mechanikai munka, a teljesítmény, az energiakonverzió és a hőtan fogalmával kapcsolatos számítási példák gyakorlása 1. példa Egy (felsőgépházas) felvonó járószékének

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő. A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére

Részletesebben

Ember és természet. műveltségterület. Fizika. 7-8. évfolyam

Ember és természet. műveltségterület. Fizika. 7-8. évfolyam Ember és természet műveltségterület Fizika 7-8. évfolyam Szandaszőlősi Általános és Alapfokú Művészeti Iskola 2013 Ajánlás A fizika tanterv a Mozaik Kiadó kerettantervének kiegészített változata. Az átdolgozásnál

Részletesebben

Newton törvények, erők

Newton törvények, erők Newton törvények, erők Newton I. törvénye: Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását (állandó sebességét), amíg a környezete ezt meg nem változtatja (amíg külső

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 19. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra)

Tartalomjegyzék. Tanmenetek és szakmódszertani felvetések. 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) Tartalomjegyzék ek és szakmódszertani felvetések 1. Szakmódszertani felvetések, javaslatok! 2 2. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 2 óra) 5 3. Fizika tanmenet 9. osztály (heti 1,5 óra) 18 1 Bevezetô szakmódszertani

Részletesebben

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Tető nem állandó hajlású szarufákkal 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és

Részletesebben

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez.

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez. 1. A transzformátor működési elve, felépítése, helyettesítő kapcsolása (működési elv, indukált feszültség, áttétel, felépítés, vasmag, tekercsek, helyettesítő kapcsolás és származtatása) (1. és 2. kérdéshez

Részletesebben

HUMÁN TÉRBEN TAPASZTALHATÓ SUGÁRZÁSOK ÉS ENERGIASKÁLÁK RADIATIONS IN HUMAN SPACE AND ENERGY SCALES

HUMÁN TÉRBEN TAPASZTALHATÓ SUGÁRZÁSOK ÉS ENERGIASKÁLÁK RADIATIONS IN HUMAN SPACE AND ENERGY SCALES HUMÁN TÉRBEN TAPASZTALHATÓ SUGÁRZÁSOK ÉS ENERGIASKÁLÁK RADIATIONS IN HUMAN SPACE AND ENERGY SCALES Garamhegyi Gábor Isaszegi Gábor Dénes Gimnázium és Szakközépiskola az ELTE Fizika Tanítása doktori program

Részletesebben

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei.

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. A vezetékméretezés során, mint minden műszaki berendezés tervezésénél

Részletesebben

Fizika vetélkedő 7.o 2013

Fizika vetélkedő 7.o 2013 Fizika vetélkedő 7.o 2013 Osztályz«grade» Tárgy:«subject» at: Dátum:«date» 1 Hány Celsius fokot mutat a hőmérő? 2 Melyik állítás hamis? A Ez egy termikus kölcsönhatás. B A hőmérsékletek egy pár perc múlva

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség

Részletesebben

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját!

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját! Csavarkötés egy külső ( orsó ) és egy belső ( anya ) csavarmenet kapcsolódását jelenti. A következő képek a motor forgattyúsházában a főcsapágycsavarokat és a hajtókarcsavarokat mutatják. 1. Kötőcsavarok

Részletesebben

Matematikai modellalkotás

Matematikai modellalkotás Konferencia A Korszerű Oktatásért Almássy Téri Szabadidőközpont, 2004. november 22. Matematikai modellalkotás (ötletek, javaslatok) Kosztolányi József I. Elméleti kitekintés oktatási koncepciók 1. Realisztikus

Részletesebben

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek 1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

Fizika 2. Feladatsor

Fizika 2. Feladatsor Fizika 2. Felaatsor 1. Egy Q1 és egy Q2 =4Q1 töltésű részecske egymástól 1m-re van rögzítve. Hol vannak azok a pontok amelyekben a két töltéstől származó ereő térerősség nulla? ( Q 1 töltéstől 1/3 méterre

Részletesebben

Az ablakos problémához

Az ablakos problémához 1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot

Részletesebben

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése 1 blende 1 és 2 rés 2 összekötő vezeték Előkészület: A kísérleti lámpát teljes egészében egy ív papírlapra helyezzük. A négyzetes fénynyílást széttartó fényként használjuk

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

Fizika 9. osztály. 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás... 2. 2. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás vizsgálata lejtőn...

Fizika 9. osztály. 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás... 2. 2. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás vizsgálata lejtőn... Fizika 9. osztály 1 Fizika 9. osztály Tartalom 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás............................................. 2 2. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás vizsgálata lejtőn....................

Részletesebben

A projekt eredetileg kért időtartama: 2002 február 1. 2004. december 31. Az időtartam meghosszabbításra került 2005. december 31-ig.

A projekt eredetileg kért időtartama: 2002 február 1. 2004. december 31. Az időtartam meghosszabbításra került 2005. december 31-ig. Szakmai zárójelentés az Ultrarövid infravörös és távoli infravörös (THz-es) fényimpulzusok előállítása és alkalmazása című, T 38372 számú OTKA projekthez A projekt eredetileg kért időtartama: 22 február

Részletesebben

Jelenségközpontú, kísérletekkel támogatott feladatmegoldás, mint a szemléletformálás hatékony módszere

Jelenségközpontú, kísérletekkel támogatott feladatmegoldás, mint a szemléletformálás hatékony módszere Jelenségközpontú, kísérletekkel támogatott feladatmegoldás, mint a szemléletformálás hatékony módszere Juhász András (ELTE, Fizikai Intézet) 1. Bevezetés A feladatmegoldás a fizikatanítás egyik legfontosabb

Részletesebben

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008 Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008 Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 49. évfolyam, 2007/2008-as tanév Az FO versenyzıinek

Részletesebben

ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS

ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS Miskolci Egyetem Bányászati és Geotechnikai Intézet Bányászati és Geotechnikai Intézeti Tanszék ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS Oktatási segédlet Szerző: Dr. Somosvári Zsolt DSc professzor emeritus Szerkesztette:

Részletesebben

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A FENNAKADÁS KÉT TÍPUSA Galgóczi Gyula Hajdu Endre Az alábbiakban a kézi eszközökkel végzett fakitermelés egyik balesetveszélyes mozzanatáról lesz szó. Arról a folyamatról,

Részletesebben

1687: Newton, Principiamathematica

1687: Newton, Principiamathematica 1687: Newton, Principiamathematica Ismétlés 0. Statika súly -> erő: erők felbontása, összeadása merev test: -> erőrendszer redukciója erőcsavarra nyugalom feltételei, súlypont 1. Kinematika Pillanatnyi

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

7 10. 7.o.: 1 50. feladat 8. o.: 26 75. feladat 9 10. o.: 50 100. feladat

7 10. 7.o.: 1 50. feladat 8. o.: 26 75. feladat 9 10. o.: 50 100. feladat -1- Fizikaiskola 2012 FELADATGYŰJTEMÉNY a 7 10. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 7.o.: 1 50. feladat 8. o.: 26 75. feladat 9 10. o.: 50 100. feladat Szerkesztette: Jármezei Tamás (1 75. feladat)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés. Bártfai Zoltán.

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés. Bártfai Zoltán. SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL Doktori értekezés Bártfai Zoltán Gödöllő 001 A doktori program címe: Agrárenergetika és Környezetgazdálkodás

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése: Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 28. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 28. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz VIZSGA_FIZIKA II (VHNB062/210/V/4) A MŰSZAKI INFORMATIKA SZAK Név:...EHA kód:... 2007. tavasz 1. Egy 20 g tömegű testet 8 m/s sebességgel függőlegesen felfelé dobunk. Határozza meg, milyen magasra repül,

Részletesebben

Elektromágneses hullámok, a fény

Elektromágneses hullámok, a fény Elektromágneses hullámok, a fény Az elektromos töltéssel rendelkező testeknek a töltésük miatt fellépő kölcsönhatását az elektromos és mágneses tér segítségével írhatjuk le. A kölcsönhatás úgy működik,

Részletesebben

Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja. ρ = m V.

Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja. ρ = m V. mérés Faminták sűrűségének meghatározása meg: Homogén anyageloszlású testek sűrűségét m tömegük és V térfogatuk hányadosa adja ρ = m V Az inhomogén szerkezetű faanyagok esetén ez az összefüggés az átlagsűrűséget

Részletesebben