12. osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "12. osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből"

Átírás

1 . osztályos pótvizsgára gyakorló feladatsor megoldással és felkészülési útmutató a Mozaik kiadó könyvéből I. feladatlap.) Mi lesz [-;] intervallumon értelmezett f()= - függvény értékkészlete, minimumhelye és értéke! Tanulni -es könyvből a definíciókat: 8.o a függvény, az értelmezési tartomány, az értékkészlet -6.o zérushely, növekvő(csökkenő)függvény, szélsőértékek 8.o páros- páratlan- periodikus függvény 9-es könyvben kidolgozott feladatok: 0/ és 0/ Értékkészlet: y ;8 minimumának helye 0 minimumának értéke y g függvényt! gyakorlás: ábrázold és jellemezd a kidolgozott feladat: függvény grafikon felrajzolása és teljes függvényvizsgálat=függvényjellemzés Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán a f : sin függvényt! grafikon felrajzolása: sin sin(- ) sin(- sin(- ) )+ függvényvizsgálat ÉT ÉK 0; 6 zérushely k k Z ma hely k, ma értéke y 6 ; min hely k, min értéke y 0 szig mon nő 0 ; k szig mon csökk ; k periodikus függvény, periódusa páros függvény, mert szimmetrikus az y tengelyre nem páratlan függvény, mert nem szimmetrikus az origóra

2 .) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? es könyvben tanulni zöld keretest 78.o, kidolgozott feladat 78/ és 79/, gyakorolni 8/,. - ebben a feladatban kikötéseket kell tenni: gyökjel alatt nem állhat negatív szám, azaz esetén teljesülni kell, hogy ez az első kikötés. - egy tört nagyobb, mint nulla azaz pozitív, ha számlálójának és nevezőjének előjele megegyezik vagy 0 - egy tört kisebb, mint nulla azaz negatív, ha számlálójának és nevezőjének az előjele ellentétes vagy 0 - a feladatban 0 a számlálóban pozitív szám áll, tehát az első szabály szerint a nevező is pozitív kell legyen ez a második kikötés. - az első és a második kikötés közös része 0 így ez a végleges kikötés. - -es könyvben kidolgozott feladatok 87/8, 88/9 - Gyakorlásnak és 0 8.). Adott két halmaz: A={egyjegyű pozitív páros számok} ; B={;;6;7}. Sorolja fel az A B és az A/B elemeit! Tanulni -es könyvben 6. oldalon részhalmaz, 9.oldalon komplementer, unió, metszet 9-es könyvben.o részhalmaz, 7.o komplementer, metszet, unió, 8,o különbség, gyakorlás 0/. A={; ; 6; 8} A B-(A metszet B) elemei, amelyek mindkettőben benne vannak: A B={;;6}. A/B-(A különbség B) elemei, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nincsenek: A/B={8}.. A B {;;;;;6}, A \ B {;} és A B {;}. Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! Venn-diagramban középen a metszetben {;}, metszeten kívül csak A-ban {;}, ezért az A B {;;;;;6}-ből a metszeten kívül csak B-ben {;6} maradt. Az ábráról leolvasva A {;;;} és B {;;;6} Gyakorlásnak: Legyen A és B halmaz elemei A,0,,9,,6 B,0,,9,6,7, Sorold fel A B és A B és A/ B és B/ A halmazok elemeit!.). Öt szám átlaga 6. Az öt szám közül négyet ismerünk, ezek a, a 7, a 8, és a 0. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! 0-es könyv 9. oldalon számtani és mértani közép, kidolgozott 9/, gyakorlás 98/,,. a b c d e öt szám átlaga, helyettesítsük be az ismert számot és az ismert átlagot, az ismeretlen szám legyen az a : 6 a az egyenletből kiszámítjuk a -t 7 6 a / 0 a 7 / a ellenőrzés: 6. Számold ki a 8 a 7 és a számok mértani közepét! a a... a n számok mértani közepe n a a a n, ebbe behelyettesítve

3 . Zsuzsa egyik testvére hét évvel idősebb a másik testvérénél. A két testvér életkorának mértani közepe. Hány éves Zsuzsa két testvére? A egyik testvér életkora legyen, ekkor a másik életkora lesz. Ezek mértani közepe 7 mindkét oldalt négyzerte emelve 7 zárójelet felbontva és 0-ra rendezve a másodfokú egyenlet megoldó képletébe behelyettesítve 6 ez nem lehet életkor, 9 a testvérek 9 és évesek. Gyakorlásnak: Hat szám átlaga 0. A hat szám közül ötöt ismerünk, ezek a,, 8, 7, 9. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! ). Írja fel annak a p egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P0(-;) ponton, és párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel! Tanulni -es könyvben 7-7.o (normálvektor, irányvektor, egyenes normálvektoros egyenlete) -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6 egyenes egyenletéhez kell a) egy pont, ami rajta van az egyenesen b) egy normálvektor, ami merőleges az egyenesre a egyenes a) egy pontja a n A; B, mert a feladat szerint átmegy a P0(-;) ponton b) mivel párhuzamos az + y = 0 egyenletű egyenessel, normálvektoraik megegyeznek. p Ha egy egyenes normálvektora n A; B, az egyenes egy pontja P0 ; y akkor az egyenes normálvektoros egyenletének képlete A By A 0 By0 ebből leolvasható az + y = 0 egyenletű egyenes normálvektora: n A ; B, ezért ez lesz a P0(-;) ponton átmenő p egyenesre merőleges normálvektor is. a keresett egyenes normálvektora A ; B P 0 ; y behelyettesítve az egyenes normálvektoros egyenletének A By A 0 By ) képletébe p y a keresett. A ; 7 B; ;8 C egy háromszög csúcsai n, az egyenes egy pontja p ( 0 egyenes egyenlete y -es könyvben tanulni 98-99, 0 Kidolgozott feladatok: 98/, 0/ Gyakorolni: 0/,,,8. Számold ki AC oldal harmadolópontjainak koordinátáit! A -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H A H A a c C -hoz közelebbi harmadolópont koordinátái: H c a a c ; c a ; 7 8 ; C H C 8 7 ; 0 0 ; ; 0 0 -es könyvben tanulni 0, 06, Kidolgozott feladatok: 0/, 07/, /,, /, / Gyakorolni: 8/,,,6. Írd fel BC oldalegyenes egyenletét! BC egyenessel párhuzamos BC irányvektor: BC c b ; c b v ; 8 v; 9 v 90 -os elforgatásával az egyenes normálvektorát kapjuk: n 9;, az egyene s egy pontja B ; Az egyenes normálvektoros egyenlete: P az egyenesen rajta levő pont, A B 0 0 ; y0 A By A 0 By 0 ebbe behelyettesítve n 9; és ; n ; az egyenesre merőleges vektor, az egyenes egyenlete: B koordinátáit BC oldalegyenes egyenlete 9 y 9 -es könyvben tanulni 9 Kidolgozott feladatok: 9/, Gyakorolni: 97/,,. Számold ki AC oldal hosszát! AC oldal hossza megegyezik AC vektor hosszával:

4 AC ; 8 7 7;, ennek hossza: AC AC AC 7 0 7, 07. Írd fel AB oldalfelező merőlegesének egyenletét! AB F AB oldalfelező merőleges egyenese átmegy AB felezőpontján: a b a ; b 7 ; F ; rajta van az egyenesen és merőleges AB oldalra, ezért AB vektor normálvektora lesz az egyenesnek: AB n ; 7 n6 ; 8 A By A 0 By az egyenes egyenlete: 0 n 6; 8 ; ebbe behelyettesítve és F merőleges az egyenesre koordinátáit AB oldalfelező merőlegesének egyenlete 6 8y 0 -es könyvben tanulni, Kidolgozott feladatok: /6/ Gyakorolni: /,. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja B, sugara egység hosszú! K u ; v középpontú r sugarú kör egyenlete u y v r behelyettesítve és -t a kör egyenlete: y y 9 B ; r 6. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek egyik átmérője az AB szakasz! átmérő felezőpontja a kör középpontja K F; a kör sugara az AF szakasz hossza, ami az AF vektor AB ; 7 a kör egyenlete: y y -es könyvben tanulni 9-0, Kidolgozott feladatok: 9/ Gyakorolni: / 7. Számítsd ki az e : y és g : y 7 hossza egyenes metszéspontjának koordinátáit! kétismeretlenes egyenletrendszert írunk fel e és g egyenletével egyenes egyenletéből kifejezzük y g -et behelyettesítés e -et: 7 y 7 y 9y y egyenes egyenletébe zárójel felbontása y M ; r AF 6.). Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögek nagyságát, amelyekre igaz, hogy sin = -es könyvben kidolgozott feladat 0/6, 0/7 -es könyvben kidolgozott feladat 6/, gyakorolni 6/bc sin = 0, 866 keressük vissza a számológépen, hogy a 0,866 szám milyen fokú szög sinusa (beírod a 0,866-ot és sin -t ütsz be, ez kiadja a szöget fokban. Tehát sin 0, ) De egy számhoz, itt most a 0,866-hoz két szög tartozik, a géppel viszont csak egyet lehet kiszámolni, az egyik az előbb a géppel kiszámolt 60, a másik kiszámolásának szabálya sinus szögfüggvény esetén Tehát a keresett két szög 60 és 0.!. Mekkora valós szám, ha cos 0,? valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k valós számra ( -re) átszámítás 60, 80,0 k k. Mekkora, ha

5 sin 0,866 cos, cos k nincs mego k tg ctg,? ctg, tg 60 k80 tg 0,,8 k80 A -es könyv nagyon szűkszavú és nehéz feladatokat hoz, magam írok könnyebbeket gyakorolni: Mekkora valós szám, ha sin 0, 707? Mekkora, ha cos 0, 866 sin, 707 tg, ctg 7.). Oldja meg az alábbi egyenletet! 8 -es könyvben tanulni 66.o hatványozás azonosságait alkalmazva minden átírunk -es alapú hatványokra / baloldalon összevonunk az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával mivel az eponenciális függvény szig. mon. nő, ezért az alapokat elhagyhatom /, -es könyvben kidolgozott feladat 97/9 -es könyvben kidolgozott feladat 8/,, gyakorlás 9/abde. Oldd meg az eponenciális és logaritmusos egyenleteket! a) b) c) d) 8 e) log f) lg lg 6 g, log log g) a) 8 7,, mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom b) 6 mivel ep fv szig mon

6 6 / ,6 6 -es könyvben tanulni 66.o és 8/, kidolgozott feladat, gyakorlás 9/abde c) y behelyettesítve y 8 y 9 0 y, 8 y 9 6 mivel ep fv szig mon ellenőrzés: y y 9 y pozitív szám hatványa mindig pozitív, ezért nincs megoldás -es könyvben tanulni 87/ kidolgozott feladat d) / 8 / 7 kiemelése mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton nő, az alapot elhagyhatom ellenőrzés: egyenlet bal oldala 8 -es könyvben tanulni 86/ kidolgozott feladat. Hasonló feladatok a -es könyvben 9/ log -es könyvben tanulni logaritmus azonosságai 0-0.o 0/, kidolgozott feladat, gyakorolni 06/, kikötés 0 76 Ellenőrzés Hasonló feladatok a -es könyvben 07/ kidolgozott feladat és /ab e) kikötés: 0 és 6 0 a közös rész lesz a kikötés: 0 lg 6 g, f) lg lg 6 g, lg lg 6 lg0lg, 0 lg lg mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton nő, az lg-t elhagyhatom

7 a ; b 0; c 8, és, összevetés a kikötéssel: nem lehet megoldás megoldás lg lg 6 lg lg lg lg egyenlet jobb oldala tehát jó megoldás ellenőrzés: egyenlet bal oldala g) log lg log kikötés: 0 és 0, log log a közös rész lesz a kikötés:, mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, az lg-t elhagyhatom 6 ellenőrzés log log log log 0 Hasonló feladatok a -es könyvben 08/ és 09/ kidolgozott feladatok és /c-h cd cd 8.) Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd -es könyv 78.o a ba b, a b, a b 9-es könyv 60.o a b, b a b a b 66.o szorzattá alakítás: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok.kidolgozott feladatok: 68/,, alakítsuk szorzattá a számlálót úgy, hogy emeljük ki az összeg mindkét tagjából cd -t a zárójel elé: cd cd cd d (már látszik, hogy cd -vel leegyszerűsíthetek) d. cd cd feladatok megoldással a -es könyvben: 79/,, 80/, Gyakorlás:-es könyv 8/ 9-es könyv 7/. cd cd Egyszerűsítse a törtet! ( c és d valós számok, cd 0 )! cd 9.) Egy mértani sorozat harmadik eleme 6, hetedik eleme. Mekkora a sorozat hányadosa? Tanulni -es könyvben és 6.oldalon a definíciók és képletek a q a7 ebbe behelyettesítve 6 q / 6 ebből q -t kifejezzük q /, az eredmények q és q 6 Hasonló feladatok megoldással a -es könyvben: 7/6. és 8/7. Gyakorló feladatok -es könyvben: 60/,,,. a, q, a? S? a 6, q, a? a, q, a? S? 0 8 a és 6.o ). Szóbeli érettségi vizsgára az osztály 0 tanulója közül az első csoportba négyen kerülnek. Hányféleképpen lehet a 0 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,. -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a -es csoporton belül a sorrend nem számít, ezért ez egy kombináció.

8 n n! Az alkalmazandó szabály: k k! n k! 0 0! a feladatban és 8 féleképp lehet kiválasztani.! 6! Számológéppel egyszerűbb: beütöd a 0-at, aztán az (ncr) gombot /általában a gombok felett a második sorban szerepel/, majd beütöd a -et.. ;;6;7;8; 9 n 0 k 0 ncr 0 számkártyákkal hány hatjegyű páratlan szám van, hogy minden kártya csak egyszer használható? (ismétlés nélküli permutáció) külön vesszük az 7 és 9 végződést: végű: ****=96db 7 végű: ****=96db 9 végű: ****=96db összesen: *96 = 88 db. ;;6;7;8; 9 0 számkártyákkal hány olyan háromjegyű szám van, hogy a kártyák ismétlődhetnek? (ismétléses variáció) *6*6=80db. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót? (ismétlés nélküli permutáció) Az első helyre színből választhatunk, a másodikra a maradék -ből, a harmadikra a maradék - ből stb., azaz összesen n!-ba behelyettesítve! =0 lehetőség van.. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót? (ismétléses permutáció) Ha mind a 6 golyó különböző színű lenne, akkor n! 6! = 6 =70 lehetőségünk volna. A két zöld golyót =, a három kéket pedig =6-féleképpen lehet sorba rakni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 70 lehetőséget -vel, ill. 6-tal el kell osztani, n! 70 azaz -ba behelyettesítve összesen 60 lehetőség van. p! p!! 6 p 6. Egy csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? (ismétlés nélküli variáció) Az első helyre a csapatból bármelyik kerülhet, a második helyre a maradék -ből, a harmadikra a maradék 0-ből választhatunk, azaz összesen 0=0-féle sorrend lehetséges. 7. Egy házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha -féle festékünk van? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) (ismétléses variáció) Mind az házhoz használhatjuk bármelyiket a -féle festék közül, azaz összesen =0 lehetőség van gyerek közül 7 mehet kirándulni. Hányféleképp választhatod ki a 7 gyereket? (ismétlés nélküli kombináció) A kiválasztottak sorrendje nem számít, ezért kombinációval számolunk: n n! 0 -ba behelyettesítve 770 Számológéppel: 0 ncr 7 k k! n k! 7 9. Egy 0 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik? (ismétlés nélküli kombináció)

9 . megoldás: az első ember 9 másikkal fog kezet, a második 8 emberrel (az elsővel való kézfogását az első embernél már beszámítottuk), a harmadik 7 emberrel stb., azaz összesen = kézfogás történik.. megoldás: minden ember 9 másikkal fog kezet, ez összesen 9 0=90. Így azonban minden kézfogást duplán számolunk (mindkét "kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztani, azaz összesen 90/= kézfogás történik.. megoldás: annyi kézfogás történik, ahányféleképpen kiválaszthatunk embert a 0-ből. Azaz 0 0!/(! 8!)=. megoldás: felrajzolod a gráfot, megszámolod az éleit. 0. Laci, Emőke, Pisti, Éva, Ica és Béla versenyeznek. Mennyi a valószínűsége, hogy Pisti nyer, és egy lány lesz a harmadik? kedvező esetek száma: 7 összes eset száma: 6! 70 kedvező/összes = 7/70 = 0, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 II. feladatlap (Az alábbi három feladat közül a pótvizsgán csak kettőt kell kiválasztani és megoldani!).) Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a an a Tanulni -es könyvben 8-9.oldal a n a n n d d Sn n S n a.) Hány méter utat aszfaltoznak le a -dik munkanapon? - Ez a szöveges példa egy számtani sorozatot ad meg: 0 - ezért a -dik munkanapon leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz a n a n - a szükséges képlet: d - a 0, d behelyettesítésével a a. munkanapon 00 méter utat aszfaltoztak le. Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/,. és 0/. Gyakorló feladatok -es könyvben: /,,,8,9. Gyakorlásra:.) a, d 8, a?.) a 98, d 6, a? b.) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában, km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? -, km = 00 m, ennyit aszfaltoztak le összesen S 00, tehát az összegképlettel a n d S n n kell kiszámolni n -et. - Sn 00 a 0, d behelyettesítésével 0 n 00 n / n n 800 n n 800 n n / n a. n

10 másodfokú egyenlet, ezért 0-ra rendezzük: 60 n n / 60 megoldóképlet: n, 0 n n 60 b b ac itt a, b, c 60 a ,7 behelyettesítve n, n, a. munkanapon lesznek kész n 67, a napok száma nem lehet negatív, nem megoldás Gyakorlásra:.) a, d 8, S?.) a, a6 0, S? c.) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? - az utolsónap a. nap, a leaszfaltozott út hossza a sorozat -dik eleme lesz - a szükséges képlet: a n d a 0, a n - a a -dik utolsó munkanapon 0 méter utat aszfaltoztak le. d behelyettesítésével 0 a.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 0 cm, palástjának területe (az oldallapok területösszege) ötszöröse az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? Tanulni -es könyvben 9.o téglatest és kocka térfogata és felszíne, 9.o hasáb térfogata és felszíne a b sin - a háromszög területének képlete, ahol a és b oldalak által bezárt szög T - az alaplap szabályos háromszög, mindhárom oldala 0 cm és minden belső szöge, ezt 0 0 sin 60 behelyettesítve a képletbe T háromszög, cm az alapháromszög területe. - a palást db egybevágó téglalap, melynek egyik oldala a 0 cm-es háromszög alapéle, másik oldala a hasáb magassága - ezért a palást területe az oldallapok területösszege, azaz a egybevágó téglalap területösszege T palást 0 m 0 m (m) - a feladat szerint a palást területe ( T palást 0m ) ötszöröse az egyik alaplap területének ( T háromszög, ), egyenletben felírva Tpalást Tháromszög, behelyettesítve 0m, - ebből a test magasságát kifejezzük 0m, / 0 m 7, cm - ezt behelyettesítve a palást területe T palást - a hasáb felszínének képletébe behelyettesítve A T T, 6,6 0, cm. hasáb alaplap palást - a hasáb térfogatának képletébe behelyettesítve V 0m 0 7, 6,6 cm hasáb T alaplap. 60 m, 7,,6 cm Hasonló feladatok megoldással -es könyvben: 9/, 9/, 96/. Gyakorló feladatok -es könyvben: Gyakorlásra:.) Egy kúp alapkörének sugara 6 cm, magassága cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy négyzet alapú gúla alapéle 0 cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy csonkakúp alapkörének sugara 0 cm, fedőkörének sugara cm, magassága 0 cm, mekkora a térfogata és felszíne?.) Egy szellemi vetélkedő döntőjébe versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és három további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak. Tanulni -es könyvben -.o tételek és definíciók, kidolgozottak -8/-8. gyakorlás 9/,.

11 -es könyvben tanulni -.oldal definícióit és tételeit Kidolgozott feladatok a -es könyvben: /, /, 7/, 8/6, 0/, /, Hasonló feladatok a -es könyvben 8/,,,, és 6/,,,6,8 a.) Az hat rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet. Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak? - mind a hatan egyforma jegyet kapnak, sorrend nem számít, ez kombináció vagy géppel,ncr,6 6 6 Gyakorlásnak: Az 90 számból húzott ötös lottón hányféleképp húzhatják ki az öt számot! A számból húzott hatos lottón hányféleképp húzhatják ki a hat számot! b.) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet, a harmadik egy mozijegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? - mind a hat díj különbözik, (ismétlés nélküli variáció) ezért az első díjra -ből, a másodikra - ből, a harmadikra 0-ból, a negyedikre 9-ből, az ötödikre 8-ból, a hatodikra végül 7 gyerekből választhatok Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű? c.) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul hat különböző verseskötetet? - első könyv 6, második, harmadik, negyedik, ötödik, hatodik gyereké lehet, ez 6! 6 70 féleképp lehetséges. Gyakorlásnak:.),,,,,6,7,8 számjegyekből hányféle 8 jegyű számot lehet felírni úgy, hogy a felírt számokban nem lehet azonos számjegy? És úgy, hogy lehet benne azonos számjegy?.) a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p betűkből hányféle nem feltétlenül értelmes 6 betűs szó írható fel úgy, hogy a felírt szavakban nem lehet azonos betű? És úgy, hogy lehet benne azonos betű?

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

Gyakorló feladatsor a matematika érettségire

Gyakorló feladatsor a matematika érettségire Gyakorló feladatsor a matematika érettségire 1. Definiálja két halmaz unióját és metszetét!. Mit értünk mértani sorozaton? Adja meg egy tetszőleges mértani sorozat első öt elemét! 3. Mondja ki Pitagorasz-tételét!

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont 1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I. ) Az a n sorozat tagját! MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0 október KÖZÉPSZINT I számtani sorozat első tagja és differenciája is 4 Adja meg a a 04 ) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy AB ; ; ; 4; ;, A\ ; AB ; A ;

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK TÉMAKÖRÖK: 1. Kombinatorika 2. Valószínűség számítás 3. Gráfelmélet és Logika. Egyenletek 5. Egyenlőtlenségek 6. Algebrai azonosságok 7. Függvények 8. Halmazok 9. Trigonometria 10. Síkgeometria 11. Térgeometria

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Harmadikos vizsga Név: osztály:

Harmadikos vizsga Név: osztály: . a) b) c) Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! log 6 log log 49 4 7 d) log log 6 log 8 feladat pontszáma: p. Döntsd el az alábbi öt állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A pontozott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor április I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2007 április 17-18 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény. 1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény

Részletesebben

5. feladatsor megoldása

5. feladatsor megoldása megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

2009. májusi matematika érettségi közép szint

2009. májusi matematika érettségi közép szint I 1.feladat Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 x 2 +13x +24=0 2.feladat Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét! 3.feladat Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. október 5. EMELT SZINT 1) Egy háromszög két csúcsa A B I. 8; ; 1;5 a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y 6x 4y 1 0. a) Adja meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)

Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció) Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

VI. Felkészítő feladatsor

VI. Felkészítő feladatsor VI. Felkészítő feladatsor I. 1. Egyszerűsítse az y 3 y 2 y 1 törtet, ha y 1. 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 450X szám 6-tal osztható? 3. Minden utca zajos. Válassza ki az alábbiak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben