Fizikai olimpiász. 51. évfolyam. 2009/2010-es tanév. E kategória. A házi forduló feladatainak megoldása

Átírás

1 Fizikai olimpiász 5. évfolyam 009/00-es tanév E kategória A házi forduló feladatainak megoldása 009 novemberében jelentek meg a fizikai olimpiász es id szakának feladatai, amelyek alkalmasak a fizikai olimpiász résztvev inek felkészítésére: az E, F és alapiskolák számára a G kategória feladatai:.zaujímavé ÚLOHY Z FYZIKY, az A és D kategória feladatai középiskolák számára: FYZIKA V ZAUJÍMAVÝCH ÚLOHÁCH A feladatgy jtemény megjelent könyv formájában (a feladatok szövegezése) és CD-n (a feladatok, megoldásaikkal együtt). A részletek megtalálhatók a honlapon.

2 . Az autóbusz és a vonat Amikor a vonat és az autóbusz egy irányba mozognak, az autóbusz vonathoz viszonyított sebessége v r = v u. Ilyen relatív sebességgel az autóbusz t id alatt teszi meg a vonat hosszának megfelel távolságot, ezért d = v r t = (v u) t Amikor egymással szemben mozognak, az autóbusz vonathoz viszonyított sebessége v r = v + u. Ezzel a relatív sebességgel az autóbusz t id alatt halad el a vonat mellett, tehát d = v r t = (v + u) t. Ezekb l a képletekb l rendezés után megkapjuk a vonat sebességét t t u = v 33 km/h. 5 pont t + t a) A vonat hosszát az u sebesség behelyettesítésével kapjuk meg a képletek egyikéb l t t d = v 9 m. 5 pont t + t. Téglák Tételezzük fel, hogy a téglák a földön feküdtek. Amikor Jancsi a téglákat egymásra rakta, növelte a helyzeti energiájukat. A hasznosan végzett W munka egyenl a helyzeti energia E p megnövekedésével. b) A helyzeti energia megváltozását kiszámíthatjuk fokozatosan, kiszámítva az egyes téglák helyzeti energiájának megváltozását. Jancsi az els téglát a palettára helyezve a téglát d - vel magasabbra helyezi, mint volt. A második téglát d+c magasságba emeli, és ráhelyezi az els téglára. A harmadik téglát d+c magasságba a negyediket d+3c stb. magasságba emeli. A helyzeti energia teljes megnövekedése E pa = W a = mgd + mg(d+c) + mg(d+c) mg(d+5c) = (6d + 5c) mg = 75 J. A gravitációs gyorsulás itt használt értéke g = 0 m/s. bármilyen helyes eljárásra 6 pont Egy másik eljárás is használható. A téglák közös súlypontja h = c/ magasságban van. Miután Jancsi egymásra rakja ket, a súlypont magassága h = d + 6c/. A potenciális energia megnövekedése tehát E pa = 6m g (h h ) = 6mg(d + 3c c/) = (6d + 5c) mg. c) Azonos eljárással 0 téglára azt kapjuk, hogy E pb = W b = 0m g (h b h ) = 0 mg (d + 5c c/) = (0d + 45c) mg = 77 J. pont pont Megjegyzés: A megoldás abból indul ki, hogy a téglák az elején mind a földön fekszenek, és ez a nulla magasság. Helyesnek kell elfogadni azt a megoldást is, ahol a tanuló feltételezi, hogy Jancsi a téglákat (6-ot vagy 0-et) a földön rakja egymásra, és mint egy egészet emeli a palettára, esetleg egyenként helyezi ket át a palettára. Helyes bármilyen, más, jól megindokolt eljárás. Megjegyzés: Valójában Jancsi jóval nagyobb munkát végzett, mert az általa elvégzett munka egy része a fiú mozgására használódott fel. A kiszámított munka csak az elvégzett munka azon része, amely a téglák helyzeti energiáját növelte.

3 3. Három ég a) A kapcsolási sémát az ábra mutatja R U 0 R R 3 pont b) Két párhuzamosan csatlakoztatot ég ellenállása R = R/. Az ég k teljes rendszerének ellenálllása R c = R + R = (3/) R. Az áramforrás által szolgáltatott áram nagysága I = U 0 /R c. A feszültség az els (sorosan csatlakoztatott) ég n U = R I = (/3) U 0. A két párhuzamosan csatlakoztatott ég n lev feszültség U = R I = (/3) U 0. (együtt 3 pont) c) Az els ég által felvett teljesítmény P = U I = U / R = (4 / 9) U 0 / R. A párhuzamosan csatlakoztatott k mindegyike által felvett teljesítmény P = U / R = (/ 9) U 0 / R. Az eredményb l nyilvánvaló, hogy a sorosan csatlakoztatott ég által felvett teljesítmény a legnagyobb. (együtt 4 pont) Megjegyzés: Az egyszer ség kedvéért feltételezzük, hogy az áramforráshoz csatlakoztatott egyforma ég knek az ellenállása egyforma. Valójában a sorosan csatlakoztatott ég n kétszer nagyobb áram folyik át, mint a párhuzamosan csatlakoztatott ég kön, és fényesebben világít, magasabb a h mérséklete. Mivel az ég k ellenállása növekv h mérséklettel n, üzemeltetés közben a sorosan csatlakoztatott ég ellenállása nagyobb lesz, mint a párhuzamosan csatlakoztatott ég ké. A valóságban tehát az ég kön kisebb feszültség lesz U < U a U < U. 4. Motoros szán a) A V térfogatú és m = ρ V tömeg üzemanyag elégetéséb l felszabaduló h Q = m H. Ebb l a h b l a munka formájában hasznosított energia W = η Q. Ennek a munka mennyiségének a nagysága W = P t függ a motor teljesítményét l és a motor üzemeltetésének idejét l. A megadott képletek felhasználásával megkapjuk az elégetett benzin V térfogatát m Q W P t V = = = =, ρ ρ H η ρ H η ρ H így a motor óra alatt V,4 liter benzint éget el. 5 pont b) Ha a motoros szán a megadott módon halad, a motor m ködési ideje t b = s / v. Az el z pontban kapott eredményt felhasználva az adott térfogatú üzemanyagra megkapjuk a t b id t és innen a megtett távolságot η ρ H v s = V 76 km. 5 pont P

4 5. Brigádosok A x F F O d F G d x B a) A két végén alátámasztott rúd, amelyre az O pontban nehezéket függesztettek, nyugalomban van ez azt jelenti, hogy a rúdra ható ered er nulla, és nulla a rá ható forgónyomaték is (bármelyik ponthoz viszonyítva számítjuk is azt). Az er k egyensúlyát a következ képlet adja meg F + F = F G, () ahol F és F azoknak az er knek a nagysága, amelyekkel a brigádosok hatnak a rúdra és amelyekkel a rúd is hat a brigádosok vállára. F G = m g az er, amellyel a nehezék hat a rúdra az O felfüggesztési pontban. A forgónyomatékot az O pontra számítva azt kapjuk, hogy F x = F (d x). () Az () és () képlet segítségével kiszámíthatjuk az er k nagyságát, és azt kapjuk, hogy x d x F + F = FG, F + F = FG, d x x ahonnan x F = m g 8 N. összesen, bármilyen helyes eljárásra 5 pont d Az itt használt gravitációs gyorsulás értéke g 0 N/kg. Megjegyzés: Az eredményeket egyszer bben úgy kaphatjuk meg, ha a forgatónyomatékot az alátámasztási pontokhoz (brigádosok vállához) viszonyítva számítjuk ki. Az A ponthoz viszonyítva: F G x = F d, a B ponthoz viszonyítva: F G (d x) = F d Ezekb l az egyenletekb l az eredményeket azonnal megkapjuk, anélkül, hogy egyenletrendszert kéne megoldanunk. b) Ha feltételezzük, hogy a rúd homogén és a súlypontja a rúd közepén van, a rúd súlya egyenletesen oszlik meg a két brigádos vállán. A vállukra ható teljes er tehát d x mg F = mg + 68 N d x m g F = m g + 38 N. együtt 5 pont d 6. Csövek szállítása A cs akkor fog úszni a vízen, ha víz alá merülve a rá ható felhajtóer nagyobb, mint a cs súlya. A cs re ható felhajtóer ekkor D Fv = ρ V g = ρ l g, 4 ahol D a cs küls átmér je. Határesetben a felhajtóer és a s súlya megeggyezik, és ekkor

5 ahonnan ρ D 4 l g = m g 4 m D = 64 cm. 5 pont ρ l Ha a cs D küls átmér je nagyobb, mint ez a határérték, a cs a vízbe esés után úszni fog a víz felszínén. A csövet elképzelhetjük mint egy acéllemezt, amelyet összetekertek. Az acéllemez hossza l, a szélessége (D + d)/ és a vastagsága c = (D d)/, ahol d a cs bels átmér je. A cs tömege ekkor D + d D + d D d D d m = ρ l c = ρ l = ρ l, 4 ahonnan 4 m 4 m d = D = 60 cm. 5 pont ρ l l ρ ρ Az adott tömeg és hosszúságú cs úszni fog a vízen, ha a bels átmér je nagyobb mint 60 cm. Megjegyzés: A számításoknál nem vettük figyelembe a cs két végén lev pléh zárófedelet, amelyet ráhegesztenek feltételezzük, hogy ezek tömege elhanyagolhatóan kicsi a cs tömegéhez képest. Az érdekesség kedvéért hozzátesszük, hogy az adott cs falvastagsága D d m c = =, cm. l ρ ρ ρ 7. Az érme fajlagos h kapacitása kísérleti feladat Az adott segédeszközökkel a következ eljárás a legegyszer bb: a) A termoszba m tömeg t h mérséklet meleg vizet öntünk. A víz tömegét úgy a legegyszer bb megmérni, ha megmérjük az üres termosz és a vízzel teli termosz tömegét (a víz tömege a két tömeg különbözete). b) Egy másik edénybe hideg vizet engedünk (legjobb ha állott víz, amely felvette a helység h mérsékletét). Veszünk N érmét és meghatározzuk az érmék m = N m m össztömegét (mindegyik érme tömege m m ), majd beletesszük az érméket a hideg (állott) vízbe. Megvárjuk, míg az érmék és a víz h mérséklete kiegyenlít dik (a fémek jó h vezet k, az érmék és víz közötti kontaktus közvetlen, így ez gyors folyamat), majd megmérjük a víz t h mérsékletét, amely így a helység és az érmék h mérséklete is (így er sen korlátoztuk az érmék áthelyezésekor lejátszódó h cserét az érmék és a leveg között). Közönséges h mér vel nem lehet közvetlenül megmérni az érmék h mérsékletét, mivel az érmével való kis érintkezési felület miatt a környez leveg h mérséklete er sen befolyásolhatja a mérés eredményét, ha a leveg és érme h mérséklete eltér egymástól (a leveg kis s r sége miatt az érmék a leveg n jóval lassabban vennék fel a helység h mérsékletét, mint az állott vízben). c) Az érméket gyorsan kivesszük a vízb l, papír zsebkend vel óvatosan letöröljük a vízcseppeket róluk, majd beletesszük az érméket a termoszba. Az érméket csipesszel ragadjuk meg, hogy a kezünkkel ne melegítsük fel ket. d) Miután a termoszban lev víz h mérséklete állandósult, megmérjük a víz t 3 h mérsékletét. Az érmék Q = m c m (t 3 t ) h t vettek fel, ahol c m az érmék anyagának fajlagos h kapacitása.

6 A termoszban lev víz és termosz is h t ad le. A víz által leadott h Q = m c v (t t 3 ), a termosz által leadott h Q T = C T (t t 3 ). Itt c v = 4, kj/(kg C) a víz fajlagos h kapacitása, C T pedig a termosz h kapacitása. A leadott és felvett h egyenl sége az energia megmaradása m c m (t 3 t ) = m c v (t t 3 ) + C T (t t 3 ), ahonnan ( m cv + CT ) ( t t3 ) cm =. m ( t3 t ) A kiértékeléshez már csak meg kell mérni a termosz h kapacitását. e) A mérést megismételjük azzal a különbséggel, hogy érmék helyett hideg vizet öntünk a termoszban lev meleg vízhez. A kezdetén a termoszban t 4 h mérséklet m 4 tömeg víz van. f) Megmérjük a hideg víz h mérsékletét, majd beleöntjük a termoszba. A termosz tömegének megmérésével( a hidegvíz hozzáöntése el tt és után) meghatározzuk a hidegvíz m 5 tömegét. g) Megmérjük a termoszban állandósult t 6 h mérsékletet. A h cserére szintén fennáll az energia megmaradása, tehát m 5 c v (t 6 t 5 ) = m 4 c v (t 5 t 4 ) + C T (t 5 t 4 ). A termosz h kapacitására azt kapjuk, hogy m5 cv ( t6 t5 ) CT = m4 cv. t5 t 4 Megjegyzés: Az érmék tulajdonságait a következ honlapon találhatjuk meg: Az érme tömege 7,5 g, összetétele 75% Cu, 0% Zn, 5% Ni. Táblázatokban megtalálhatjuk az egyes fémek fajlagos h kapacitását c Cu = 0,38 kj/(kg. C), c Ni = 0,44 kj/(kg. C), c Zn = 0,39 kj/(kg. C), így meghatározhatjuk, hogy az érme átlagos fajlagos h kapacitása c E 0,39 kj/(kg. C).. Hasonlítsák össze ezt az értéket a mért eredménnyel! Megjegyzés: A nagyobb pontosság érdekében a termoszt félig töltjük meleg vízzel mind a két mérésnél. A lehet legtöbb érmét használunk (a legjobb az lenne, ha az érmék teljes h kapacitása azonos lenne a meleg víz h kapacitásával 00 ml víz esetén ez kb. 40 érmét jelent). Ez sok érme, de ennek ellenére valóban a lehet legtöbb érmét használjunk, pl. 50 érmét. A termosz h kapacitásának mérésekor, nagyjából annyi hideg vizet öntsenek a termoszba, amekkora az érmék térfogata, hogy a víz és termosz közötti h átadás azonos feltételek mellett menjen végbe, mint az érmék esetében! Megjegyzés: Elfogadható olyan eljárás is, amely nem veszi figyelembe a termosz h kapacitását. Ebben az esetben az eredmény azonban pontatlanabb lesz, Fizikai Olimpiász 5. évfolyam az E kategória. forduló feladatainak megoldása A feladatok szerz i: Bírálat: Szerkeszt : ubomír Konrád Margita Brezinová, Ivo áp, Daniel Kluvanec ubomír Konrád Slovenský komisia Fyzikálnej olympiády, 00 Translation Teleki Aba; 00