SZEMANTIKUS WEB, ONTOLÓGIÁK 4. Előadás. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
|
|
- Vince Magyar
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 SZEMANTIKUS WEB, ONTOLÓGIÁK 4. Előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék 1
2 Szintakitikus web [Hendler & Miller 02] 2
3 Szemantikus web 3
4 Szemantikus web új felhasználók SZW építése Szerzők Szemantikus web Felhasználók alkalmazások ágensek Szemanti kus web Szemantikus annotációk Ontológiák Logikai támogatás Nyelvek Eszközök Alkalmazások szolgáltatások WWW Szerzők Felhasználók Web tartalom 4
5 A szemantikus web koncepció "The Semantic Web is an extension of the current web in which information is given well-defined meaning, better enabling computers and people to work in cooperation." -- Tim Berners-Lee 5
6
7 DBPedia: Wikipedia dbpedia dbterm < dbpedia:amsterdam dbterm:officialname Amsterdam ; dbterm:longd 4 ; dbterm:longm 53 ; dbterm:longs 32 ;... dbterm:leadertitle Mayor ; dbterm:leadername dbpedia:job_cohen ;... dbterm:areatotalkm 219 ;... dbpedia:abn_amro dbterm:location dbpedia:amsterdam ;...
8 Automatikus, felderíthető kapcsolatok < owl:sameas < ; owl:sameas < ;... < owl:sameas < wgs84_pos:lat ; wgs84_pos:long ; geo:incountry < ;... Szolgáltatások maguk döntik el honnan gyűjtenek információt
9 SKOS Core és az OWL OWL egy W3C ajánlás Logika orientát Erős következteés pontos szemantika SKOS Nyelv orientált Egyszerűbb következtetés Rugalmas szemantika
10 SKOS alapvető elemei Fogalom sémák Preferált címkék, leírások (labels) Fogalom Alternatív címkék Szemantikus kapcsolat Fogalom Leírás (Note) Pl. definíció, szkóp, háttér információk
11 Ontológiák, az OWL nyelv
12 OWL logika igény példa Állatok két csoportja: Male (hím) és Female (nőstény). <rdfs:class rdf:id="male"> <rdfs:subclassof rdf:resource="#animal"/> </rdfs:class> A subclassof kifejezés felhasználásával definiálhatjuk, hogy a #Male osztály alosztálya az #Animal osztálynak <rdfs:class rdf:id="female"> <rdfs:subclassof rdf:resource="#animal"/> <owl:disjointwith rdf:resource="#male"/> </rdfs:class> Nőstény állatok és alosztályát alkotják az állatok osztálynak, de tudjuk hogy nincs közös elem a hím osztállyal (disjointwith elem használata). 12
13 OWL elemek, példák Osztályok Person superclass Man, Woman subclasses Tulajdonságok (egyedi) iswifeof, ishusbandof Tulajdonság jellemzők, korlátok inverseof domain range Cardinality Osztályok közti relációk disjointwith 13
14 OWL Example in Protégé (2) 14
15 OWL Example in Protégé (3) 15
16 Ontológiák RDFS hasznos, de nem ad megoldást az elvárásokra, a szemantika pontos leírására. Összetett alkalmazások további igényei: Tulajdonságok leírása, jellemzése Különböző URI val rendelkező objektumok azonosságának leírása (ekvivalencia) Osztályok diszjunkt vagy éppen ekvivalens jellege Osztályok konstruálása (nemcsak megnevezése) Következtetési igények támogatása: Pl.: Ha két «Person» erőforrás «A» és «B» azonos «foaf: » tulajdonsággal rendelkeznek, akkor «A» és «B» identikus.
17 Ontológiák Az SZW világban az ontológiákat a következő értelemben használjuk: Fogalmak és ezek relációnak definiálása egy adott tudásterület leírása céljából. Az RDFS is tekinthető egy egyszerű ontológia nyelvnek Nyelvek definiálása mindig egyfajta kompromisszum - gazdag szemantika tudás gazdag alkalmazásokhoz - ésszerűség (fizibilitás, megvalósíthatóság (fordító, következtető)
18 Web Ontology Language = OWL OWL az SZW struktúrába egy újabb réteg, az RDFS bővítése Saját névterek, saját elemek, kifejezések RDFS re épül (tartalmazza) Önálló SZW ajánlás OWL óta gyakorlatilag csak ezt használjuk Akit a részletek érdekelnek: overview/
19 Ekvivalencia relációk Osztályokra: owl:equivalentclass: két osztálynak azonosak az elemei owl:disjointwith: nincs közös elemük Tulajdonságokra: owl:equivalentproperty Példa: a:author vs. f:auteur owl:propertydisjointwith Egyedekre: owl:sameas: két URI ugyanazt a fogalmat vagy egyedet reprezentálja owl:differentfrom: negált kifejezése az owl:sameas kifejezésnek
20
21 Használat: owl:sameas Utazási példából, Amsterdam leírása két forrásban:(dbpedia és Geonames): < owl:sameas <
22 Példa logikai kapcsolatra Ha egy tulajdonság inverse-functional nak lett definiálva, akkor, akkor a tulajdonság tárgya egyértelműen meghatározza a tulajdonság alanyát. Ha a következő igaz két állításra: : rdf:type owl:inversefunctionalproperty. <A> : "mailto:a@b.c". <B> : "mailto:a@b.c". Akkor ebből levezethető: <A> owl:sameas <B>. Így új relációkhoz jutunk (RDFS-ben erre nem volt lehetőség)
23 Osztályok az OWL ben RDFS: létező osztályokat alosztály struktúrába rendezhettük osztályhierarchia építése, semmi több OWL osztályok konstruálhatók más osztályok vagy példányok alapjám, : Elemek felsorolásával Osztályok relációinak alkalmazásával: intersection, union, complement, stb.
24 Osztályok OWL Osztályok, egyedek (classes, individuals) Önálló owl:class osztály van definiálva (az rdfs:class specializációjaként) Egyedek (individuals) definiálása külön osztályban történik: owl:thing Pl. egy pontos definicióra: ex:person rdf:type owl:class. <uri-for-amitav-ghosh> rdf:type owl:thing; rdf:type owl:person. : rdf:type owl:thing. : rdf:type owl:thing. :$ rdf:type owl:thing. :Currency rdf:type owl:class; owl:oneof (: : :$).
25 Unió :Novel rdf:type owl:class. :Short_Story rdf:type owl:class. :Poetry rdf:type owl:class. :Literature rdf:type owl:class; owl:unionof (:Novel :Short_Story :Poetry). További lehetőségek: complementof, intersectionof,
26 Példa Ha: :Novel rdf:type owl:class. :Short_Story rdf:type owl:class. :Poetry rdf:type owl:class. :Literature rdf:type owl:class; owl:unionof (:Novel :Short_Story :Poetry). <mywork> rdf:type :Novel. akkor <mywork> rdf:type :Literature.
27 Eddig OWL: erős leíró elemeket definiáltunk pl., adatbázisok összeköthetőek owl:sameas, vagy inverse functional tulajdonságokkal. Számos kapcsolatot felderíthetünk hagyományos következtetési eljárásokkal
28 Korltázások formálisan is Létezik owl:restriction osztály Hivatkozva a korlátozandó tulajdonságokat Megadva a korlátozás tartalmát Példa: subclass :Listed_Price rdfs:subclassof [ rdf:type owl:restriction; owl:onproperty p:currency; owl:allvaluesfrom :Currency. ].
29 Lehetséges felhasználás Ha: :Listed_Price rdfs:subclassof [ rdf:type owl:restriction; owl:onproperty p:currency; owl:allvaluesfrom :Currency. ]. :price rdf:type :Listed_Price. :price p:currency <something>. Akkor a következő állítás igaz: <something> rdf:type :Currency.
30 További korlátozások allvaluesfrom helyettesíthető: somevaluesfrom Példa: valamelyik devizában fejezzük ki az árfolyamto (legalább egyben) hasvalue, legalább egy értéke kell, hogy létezzen Számosság korlátozások (értékvizsgálat helyett) Pl. legalább egyszer elő kell, hogy forduljon egy elem egy kategóriában
31 OWL 2 Korlátozások definiáltak classes, individuals, object, datatype properties megkötésekkel object properties csak individuals re datatype property nincs tovább specifikálva Hatékony következtető algoritmus létezik!
32 OWL 2 Korlátozások betartásával nagy méretű ontológiák építhetők, és alkalmazhatóak pl. orvosi, robotika, biológia tárgyterületeken OWL 2 lett a formális ontológiák nyelve Nem feltétlenül a weben használjuk
33 Ontológiák építése Technológia adott, feladat ontológiák létrehozása Szükséges a tárgyterület alapos ismerete, rendszerezési képesség Vannak közösségek, ahol jelentős tapasztalatok vannak (pl. könyvtárosok, orvosi tudományok) Az OWL csak egy eszköz az ontológiák formalizálására Nagy méretű ontológiák építése gyakran történik elosztott, közösségi módszerekkel Ontológiák létrehozásának elsődleges célja a megosztás, az újrafelhasználhatóság biztosítása névtér mechanizmusok által explicit import után
34 Ontológiák alkalmazása Nem kizárólag nagy méretű ontológiák építése célszerű Számos alkalmazás RDFS t használ és néhány kiegészítést OWL ből
35 Adatbázis analógia Ontológia axiómák analóg elemek az adatbázis sémákkal Séma definiálja a struktúrát és a megkötéseket Ontológia példányok analóg elemek adatbázis tartalommal De vannak különbségek
36 Adatbázis vs Ontológia Adatbázis: Zárt világ feltételezés (CWA) Hiányzó információ hamis értéket képvisel Egyedi megnevezés (unique name assumption, UNA) Minden egyed neve különböző Séma kényszerekként értelmezhető Ontológia: Nyílt világ feltételezés(owa) Hiányzó információ nem ismertnek feltételezett Nincs UNA Ontológiai axiómák implikációkként értelmezehetőek (következtetési szabályok alkalmazhatóak) Maga után vonzás alkalmazása
37 Adatbázis vs Ontológia Ugyanaz a példa: Individual: HarryPotter Facts: hasfriend RonWeasley hasfriend HermioneGranger haspet Hedwig Individual: Draco Malfoy Lekérdezés: Draco Malfoy barátja e HarryPotternek? Adatbázis: Nem Ontológia: Nem tudjuk OWA (nem levezethető hogy nem létezik a kérdezett reláció)
38 Adatbázis vs Ontológia Például, ha adottak tények/adatok: Individual: HarryPotter Facts: hasfriend RonWeasley hasfriend HermioneGranger haspet Hedwig Individual: Draco Malfoy Lekérdezés: Hány barátja van HarryPotternek? Adatbázis: 2 Ontológia: Legalább 1 Nincs UNA: Ron és Hermione lehet akár ugyanaz a személy
39 Adatbázis vs Ontológia Például, ha adottak tények/adatok: Individual: HarryPotter Facts: hasfriend RonWeasley hasfriend HermioneGranger haspet Hedwig Individual: Draco Malfoy DifferentIndividuals: RonWeasley HermioneGranger Lekérdezés: Hány barátja van HarryPotternek? Adatbázis: 2 Ontológia: Legalább 2 OWA: Nem tudjuk, hogy van e még több itt meg nem nevezett barátja
40 Adatbázis vs Ontológia Például, ha adottak tények/adatok: Individual: HarryPotter Facts: hasfriend RonWeasley hasfriend HermioneGranger haspet Hedwig Types: hasfriend only RonWeasley or HermioneGranger Individual: Draco Malfoy DifferentIndividuals: RonWeasley HermioneGranger Lekérdezés: Hány barátja van HarryPotternek? Adatbázis: 2 Ontológia: 2!
41 Adatbázis vs Ontológia Adjunk új tényeket a modellünkhöz: Individual: Dumbledore Individual: Fawkes Types: Phoenix Facts: ispetof Dumbledore Adatbázis válasza? A beillesztést visszautasítja, a megadott kényszerek alapján: A haspet értékkészlete személy (individual); Dumbledore viszont egy varázsló (CWA) Ontológia következtetés válasza? Levezeti, hogy Dumbledore személy (értékkészlet korlátozás) Szintén levezeti, hogy Dumbledore egy varázsló (csak varázslónak lehet Phoenix típusú állata)
42 Adatbázis lekérdezés végrehajtása A séma nem határozza meg az eredményt Az adatoknak a sémán értelmezett kényszereknek kell megfelelniük A lekérdezés megválaszolása modell ellenőrzési feladat Adat megfelelések ellenőrzése Hatékonyan implementálható
43 Ontológia lekérdezés végrehajtása Ontológia axiómák meghatározó szerepet játszanak A válasz tartalmazhat implicit levezethető tényeket Megválaszolhatók koncepcionális és extenzionális kérdések is: Például lehet e egy muglinak egy Phoenix a háziállata? A lekérdezés megválaszolása tétel bizonyítási feladat Pl. logikai vonzatok levezetése Akár NP teljes is lehet a kiértékelés Praktikus implementációk ennél azért jobban teljesítenek
44 Mikor használjunk ontológiát? Ontológia alkalmazása hasznos lehet, ha A séma nagy vagy bonyolult, illetve ha lekérdezési időben szükség van kiértékelésére Következtetés használható a séma ellenőrzésére, kapcsolatok felderítésére Nem lehetséges vagy nem praktikus teljes információs bázis létrehozása Pl. összetett struktúrák vagy folyamatok leírása Megengedhető a hatékonyság csökkentése Adatbázisok alkalmazása hasznos, ha Séma mérete, összetettsége kezelhető, nem vizsgálandó lekérdezési időben (kompromisszum: paraméterezett megoldások) Teljes információ elérhető Pl. könyvelés, pénzügy, árukészletek Teljesítmény garanciák szükségesek
45 OWL2: egy sikeres kompromisszum W3C OWL javaslat: OWL 2 Az OWL egy OWL szabvány néhány hasznos jellemzővel: Jelentős kifejezőerő néhány specifikus elem bevezetésével (pl. tulajdonságok) Támogatás adattípusok és értékhalmazok definiálására Adatbázis típusú kulcsok Gazdag annotációs lehetőség OWL 2 megengedi profilok definiálását Egy profil egy nyelvi részhalmaz (pl. Protege eszköz) Hasznos számítási tulajdonságok Egyszerűbb támogatási lehetőségek
46 Szemantika
ONTOLÓGIÁK, OWL2, DL 7. Előadás. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
ONTOLÓGIÁK, OWL2, DL 7. Előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szintakitikus web [Hendler & Miller 02] 2 Szemantikus web 3 Szemantikus
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB 4. előadás. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04
SZEMANTIKUS WEB 4. előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szintakitikus web [Hendler & Miller 02] 2 Szemantikus web új felhasználók alkalmazások
RészletesebbenSzemantikus Web Semantic Web A szemantikus web alkalmas megközelítés, illetve megfelel nyelvekkel, eszközökkel támogatja az intelligens információs
Szemantikus Web Semantic Web A szemantikus web alkalmas megközelítés, illetve megfelel nyelvekkel, eszközökkel támogatja az intelligens információs rendszerek fejlesztését az elosztott információs környezetben.
RészletesebbenAdatbázisok MSc. 12. téma. Ontológia és SPARQL
Adatbázisok MSc 12. téma Ontológia és SPARQL Igény az automatikus tudáskezelése Az adat és tudáskezelés szintjei adatok összesítő adatok domain leírása következtetések tudás kontexus ismerete RDBMS OLAP
RészletesebbenSzemantikus Web Semantic Web A szemantikus web alkalmas megközelítés, illetve megfelel nyelvekkel, eszközökkel támogatja az intelligens információs
Szemantikus Web Semantic Web A szemantikus web alkalmas megközelítés, illetve megfelel nyelvekkel, eszközökkel támogatja az intelligens információs rendszerek fejlesztését az elosztott információs környezetben.
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB 3. előadás. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04
SZEMANTIKUS WEB 3. előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Zh feladat 1/1
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB 3. előadás. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
SZEMANTIKUS WEB 3. előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Zh feladat 1/1
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
SZEMANTIKUS WEB Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szolgáltatások Forrás leírás Web lapok Strukturált adatok Forrás fúzionálás/ Lekérdezés
RészletesebbenNév: Neptun kód: április
Név: Neptun kód:.. 2019. április 2. 8.15-9.15 Integrációs és ellenőrzési technikák zárthelyi Rendelkezésre álló idő: 60 perc ZH maximális pontszám: 40 + 8 IMSC pont Megfelelt szint: 16 pont Teszt kérdések
RészletesebbenOntológia nyelvek (Szemantikus Világhálótól...)
Ontológia nyelvek (Szemantikus Világhálótól...) XML XML, DTD RDF Tudásreprezentáció Univerzális kifejező erő Szintaktikai interoperabilitás Szemantikai interoperabilitás RDFS DAML+OIL OWL OWL-Lite OWL-DL
RészletesebbenSzemantikus adatbázisok. Nagypál Gábor
Szemantikus adatbázisok Nagypál Gábor nagypal@db.bme.hu BME-TMIT Adatbázisok elmélete 2019 1 / 97 Motiváció BME-TMIT Adatbázisok elmélete 2019 2 / 97 Ismétlés: Adat, Információ, Tudás Adat: a valóság értelmezhető,
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB. Integrációs és ellenőrzési technikák VIMIAC04, tavasz
Integrációs és ellenőrzési technikák VIMIAC04, 2019. tavasz SZEMANTIKUS WEB Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szolgáltatások Forrás leírás
RészletesebbenOntológiák építése. Ontology Engineering
Ontológiák építése Ontology Engineering A Protege OWL eszköz modellezéshez javasolt módszertan és példák áttekintése a labor előtt (forrás: www.protege.stanford.edu) 08:12 Milyen bor illik vadhús hoz?
Részletesebbenmatematikus-informatikus szemével
Ontológiák egy matematikus-informatikus szemével Szeredi Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tanszék ➀ Mi az ontológia, mire jó, hogyan csináljuk?
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
SZEMANTIKUS WEB Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szolgáltatások Forrás leírás Web lapok Strukturált adatok Forrás fúzionálás/ Lekérdezés
RészletesebbenNév: Neptun kód: május 23. Komplex MI alkalmazások vizsga Rendelkezésre álló idő: 75 perc 1. Vizsgálja meg a következő RDF leírást:
1. Vizsgálja meg a következő RDF leírást:
RészletesebbenSteps Towards an Ontology Based Learning Environment. Anita Pintér Corvinno Technologia Transzfer Kft apinter@corvinno.hu
Steps Towards an Ontology Based Learning Environment Anita Pintér Corvinno Technologia Transzfer Kft apinter@corvinno.hu Ontológia alapú elektronikus tanulási környezet megteremtése Anita Pintér Corvinno
RészletesebbenIsmeretalapú modellezés XI. Leíró logikák
XI. Leíró logikák 1 eddig volt nyílt internetes rendszerekben miért van szükség ismeretalapú re ontológia készítés kérdései ontológiák jellemzői milyen ontológiák vannak most jön mai internetes ontológiák
RészletesebbenFülöp Csaba, Kovács László, Micsik András
Rendszerek Osztály Metaadatsémák nyilvántartása szemantikus web alapon Fülöp Csaba, Kovács László, Micsik András MTA SZTAKI Bemutatás A CORES az európai közösség projektje a Szemantikus Web témakörben
RészletesebbenSzemantikus Web: egy rövid bevezetés. 2006. március 18
2006. március 18 Ez az előadás a Magyarországi Web Konferencia keretében hangzik el 2006. március 18-án, Budapesten. A Szemantikus Web felé A jelenlegi Weben az információk különböző formákban állnak rendelkezésre:
RészletesebbenA Szemantikus Web 2. Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0.
Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. A Szemantikus Web 2. Forrás: http://oeg-dev.dia.fi.upm.es/licensius/blog/?q=lodlicenses Alkalmazott Informatikai Intézeti
RészletesebbenSzemantikus világháló a BME-n
Szemantikus világháló a BME-n Lukácsy Gergely Szeredi Péter Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi Egyetem ßÐÙ Ý Þ Ö Ð º Ñ º Ù Számítástudományi és Információelméleti Tanszék ➀ Szemantikus technológiák
RészletesebbenHely- és kontextusfüggő alkalmazások fejlesztését támogató keretrendszer mobil környezetben
Department of Distributed Systems Hely- és kontextusfüggő alkalmazások fejlesztését támogató keretrendszer mobil környezetben MTA SZTAKI Elosztott Rendszerek Osztály - Mátételki Péter matetelki@sztaki.hu
RészletesebbenNév: Neptun kód: május 26., VIMIAC04 Integrációs és ellenőrzési technikák vizsga Rendelkezésre álló idő: 90 perc
Vizsga maximális pontszám: 51 Megfelelt szint: 40% Teszt kérdések (max. 11 pont) Útmutató: Karikázza be a megfelelő választ, minden kérdésnél egy válasz jelölhető meg. A helyes válasz kérdésenként 1 pontot
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenInformáció leíró technológiák, szemantikus web előadás
Információ leíró technológiák, szemantikus web 2018.05.07. előadás Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac02 1 A web napjainkban Résztvevők dokumentumokat,
RészletesebbenCsima Judit október 24.
Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2018. október 24. Csima Judit Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek 1 / 1 Relációs sémák
RészletesebbenSZEMANTIKUS WEB. Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
SZEMANTIKUS WEB Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 Szolgáltatások Forrás leírás Web lapok Strukturált adatok Forrás fúzionálás/ Lekérdezés
RészletesebbenS0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet)
S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet) Tartalom 1. Absztrakt adattípus 2. Adattípus specifikációja 3. Adattípus osztály 4. Paraméterátadás 5. Reprezentációs függvény 6. Öröklődés és polimorfizmus 7.
RészletesebbenWeb 3.0. Szemantikus web
Web 3.0 Szemantikus web Tartalom Web 3.0 szemantikus web 2016. ősz Internet szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA04), BME-TMIT 2 The-name-of-the-game... A szemantika (magyarul jelentéstan, ám ez a terminológia
RészletesebbenFormális szemantika. Kifejezések szemantikája. Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar
Formális szemantika Kifejezések szemantikája Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar 2016-2017-2 Az előadás témája Egyszerű kifejezések formális szemantikája Az első lépés a programozási nyelvek szemantikájának
RészletesebbenEmerald: Integrált jogi modellező keretrendszer
Emerald: Integrált jogi modellező keretrendszer Förhécz András Szőke Ákos Kőrösi Gábor Strausz György Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Multilogic Kft, Budapest Networkshop 2011 2011. április
RészletesebbenAdatbázisok elmélete 12. előadás
Adatbázisok elmélete 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE
RészletesebbenTudásalapú információ integráció
Tudásalapú információ integráció (A Szemantikus Web megközelítés és a másik irány) Tanszéki értekezlet, 2008. május 14. 1 Miért van szükségünk ilyesmire? WWW: (Alkalmazások) Keresés a weben (pl. összehasonlítás
RészletesebbenSemantic Web. Gombos Gergő
Semantic Web Gombos Gergő Áttekintés Semantic Web története Semantic Web nyelvezete XML RDF(S) OWL SPARQL Ontológiák Semantic Web Services Federated queries Semantic Web Alkalmazások 2 The Semantic Web
RészletesebbenOntológiák, 1. Kooperáció és intelligencia, BME-MIT
Ontológiák, 1. Elmélet Mechanizmusfeltáró elmélet prediktív (jósló) modell Tartalomelmélet deskriptív (leíró) modell - ontológia objektumok, objektumok tulajdonságai objektumok közötti relációk Arisztotelész
RészletesebbenSzemantikus Web: egy rövid bevezetés
Szemantikus Web: egy rövid bevezetés Herman Iván World Wide Web Consortium email: ivan@w3.org 1. Bevezetés A Weben lévő információk típusa igen nagy változatosságot mutat. A klasszikus szöveges információk
RészletesebbenWeb 3.0. Szemantikus web
Web 3.0 Szemantikus web Tartalom Web 2.0... Szoftver mint szolgáltatás Web 3.0 szemantikus web 2015. ősz Internet szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA04) - Internet architektúra és szolgáltatások Inf
RészletesebbenPredikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36
1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika
RészletesebbenPozícióinformáció. Sikeres helyfüggő szolgáltatások mobilra
Distributed Systems A hely nem elég MTA SZTAKI Elosztott Rendszerek Osztály - Mátételki Péter matetelki@sztaki.hu Mihez nem elég a hely? Sikeres helyfüggő szolgáltatások mobilra Navigáció (hely + térkép
RészletesebbenSZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
RészletesebbenModell alapú tesztelés mobil környezetben
Modell alapú tesztelés mobil környezetben Micskei Zoltán Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék A terület behatárolása Testing is an activity performed
RészletesebbenÖnálló labor feladatkiírásaim tavasz
Önálló labor feladatkiírásaim 2016. tavasz (ezekhez kapcsolódó saját témával is megkereshetnek) Mészáros Tamás http://www.mit.bme.hu/~meszaros/ Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika
RészletesebbenA szemantikus Web. Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0.
Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. A szemantikus Web Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 1. A hagyományos Web jellemzői
RészletesebbenONTOLÓGIA és TUDÁSREPREZENTÁCIÓ
ONTOLÓGIA és TUDÁSREPREZENTÁCIÓ Szıts Miklós Alkalmazott Logikai Laboratórium szots@all.hu ONTOLÓGIA mi az? a formal specification of a shared conceptualization a logical theory which gives an explicit,
RészletesebbenA szemantikus világháló oktatása
A szemantikus világháló oktatása Szeredi Péter Lukácsy Gergely Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tanszék ➀ A szemantikus világháló... c. tárgy ➁ A tananyag
RészletesebbenKiss Gergő, Kovács László, Micsik András, Moldován István
Rendszerek Osztály HEKTÁR: Hazai elektronikus könyvtári rendszerek összekapcsolása Kiss Gergő, Kovács László, Micsik András, Moldován István MTA SZTAKI A HEKTÁR projektről HEKTÁR: Nyílt archívumi ajánlások
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Relációs modell
ADATBÁZIS-KEZELÉS Relációs modell Relációséma neve attribútumok ORSZÁGOK Azon Ország Terület Lakosság Főváros Földrész 131 Magyarország 93036 10041000 Budapest Európa 3 Algéria 2381740 33769669 Algír Afrika
RészletesebbenProgramfejlesztési Modellek
Programfejlesztési Modellek Programfejlesztési fázisok: Követelmények leírása (megvalósíthatósági tanulmány, funkcionális specifikáció) Specifikáció elkészítése Tervezés (vázlatos és finom) Implementáció
RészletesebbenBevezetés s a szemantikus technológi
Bevezetés s a szemantikus technológi giákba Szemantikus technológi giák Rendszerelemek jelentés logikai formula Elvárások logikai formula Az elvárások megvalósítása sa a rendszerelemek segíts tségével
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenSzámítási intelligencia
Botzheim János Számítási intelligencia Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék Graduate School of System Design, Tokyo Metropolitan University
Részletesebben1. Informatikai trendek, ágensek, többágenses rendszerek. Intelligens Elosztott Rendszerek BME-MIT, 2018
1. Informatikai trendek, ágensek, többágenses rendszerek A számítástechnika történetének 5 nagy trendje mindenütt jelenlévő (ubiquity) összekapcsolt (interconnection) intelligens delegált (delegation)
RészletesebbenSzoftverarchitektúrák 3. előadás (második fele) Fornai Viktor
Szoftverarchitektúrák 3. előadás (második fele) Fornai Viktor A szotverarchitektúra fogalma A szoftverarchitektúra nagyon fiatal diszciplína. A fogalma még nem teljesen kiforrott. Néhány definíció: A szoftverarchitektúra
RészletesebbenTöbbnyelvű tezaurusz építése és szolgáltatása webes környezetben
Többnyelvű tezaurusz építése és szolgáltatása webes környezetben Förhécz András, fand_lev@freemail.hu Mészáros Tamás, meszaros@mit.bme.hu BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Áttekintés
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenEllenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t
Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,
RészletesebbenProgramozás. Bevezetés. Fodor Attila. Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék
Programozás Fodor Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék foa@almos.vein.hu 2010. február 11. Tantárgy célja, szükséges ismeretek Tantárgy célja,
RészletesebbenModellellenőrzés. dr. Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
Modellellenőrzés dr. Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék 1 Mit szeretnénk elérni? Informális vagy félformális tervek Informális követelmények Formális modell: KS, LTS, TA
RészletesebbenOntológiák, 2. Leíró logikák. Kooperáció és intelligencia, DT-MT, BME-MIT
Ontológiák, 2. Leíró logikák Célkitűzés egy jó logikai apparátus kategóriák, nem az a lényeges, hogy objektumokból állnak, amiket változókkal kellene követni (kvantor nem kell) lényeges a hierarchia, öröklődés,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenÍtéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenKogníció, koncepciók, modellek
Kogníció, koncepciók, modellek A szoftver-technológia koncepcionális alapjai Irodalom Pléh Csaba: Bevezetés a megismeréstudományba, Typotex, 1998 Kognitív tudomány, Szerk.: Pléh Csaba, Osiris, 1996 M.
RészletesebbenKaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.
Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás
RészletesebbenUngváry Rudolf: Relex Relációkat és lexikai egységeket kezelő névtérszerkesztő a weben
Ungváry Rudolf: Relex Relációkat és lexikai egységeket kezelő névtérszerkesztő a weben Rendeltetés: Több felhasználó számára hozzáférhető kliens-szerver alkalmazás névterek, tezauruszok, taxonómiák és
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenBevezetés: az SQL-be
Bevezetés: az SQL-be Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.3. Relációsémák definiálása SQL-ben, adattípusok, kulcsok megadása 02B_BevSQLsemak
RészletesebbenUML (Unified Modelling Language)
UML (Unified Modelling Language) UML (+ Object Constraint Language) Az objektum- modellezés egy szabványa (OMG) UML A 80-as, 90-es években egyre inkább terjedő objektum-orientált analízis és tervezés (OOA&D)
Részletesebben1. Melyik szabvány foglalkozik dokumentumok tulajdonságainak megfogalmazásával? a. RDFS b. FOAF c. Dublin Core d. DBPedia
Név: Neptun kód: 2018. június 1., 8.15-9.45. VIMIAC04 Integrációs és ellenőrzési technikák vizsga Rendelkezésre álló idő: 90 perc Vizsga maximális pontszám: 51 Megfelelt szint: 40% Teszt kérdések (max.
RészletesebbenRDFS. (Resource Description Frameworks Schema) Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04
RDFS (Resource Description Frameworks Schema) Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék https://www.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimiac04 1 RDF Eredetileg webes metaadat kezelés javasolt megközelítése
RészletesebbenA Szemantikus világháló alapjai
A Szemantikus világháló alapjai Szeredi Péter Lukácsy Gergely Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tanszék ➀ A szemantikus világhálóról általában ➁ Matematikai
RészletesebbenLogikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.
Logikai ágensek Mesterséges intelligencia 2014. március 21. Bevezetés Eddigi példák tudásra: állapotok halmaza, lehetséges operátorok, ezek költségei, heurisztikák Feltételezés: a világ (lehetséges állapotok
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenHardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések
Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések 1. Az informatikai rendszereknél mit ellenőriznek validációnál és mit verifikációnál? 2. A szoftver verifikációs technikák
Részletesebben1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei
1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Logikai Emberi ágens tudás és problémái gépi reprezentálása Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade
RészletesebbenOOP. Alapelvek Elek Tibor
OOP Alapelvek Elek Tibor OOP szemlélet Az OOP szemlélete szerint: a valóságot objektumok halmazaként tekintjük. Ezen objektumok egymással kapcsolatban vannak és együttműködnek. Program készítés: Absztrakciós
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenGyakorló feladatok: Formális modellek, temporális logikák, modellellenőrzés. Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
Gyakorló feladatok: Formális modellek, temporális logikák, modellellenőrzés Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Formális modellek használata és értelmezése Formális modellek
RészletesebbenÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)
ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Részletesebben1. Történeti vonatkozások - Tudásalapú eszközök piaca. 1. Történeti vonatkozások - MI kutatási területek ter. (folyt) Tudásalapú eszközök piaca
MI kutatási területek ter. Tematika ELTE TTK (visszaidézés) ÁSZT, 2002/2003 tanév 1. Történeti vonatkozások mesterséges élet 2. Elméleti alapok (tudásrepr., bizonytalanságkez.) 3. Ismeretalapú szakértő
RészletesebbenAdatbázisrendszerek 8. előadás: Az Enhanced Entity-Relationship modell március 27.
Adatbázisrendszerek Az Enhanced Entity-Relationship Szuperosztályok, ok, öröklődés, specializáció,, leképezés re 2018. március 27. 2 EER k Egy osztály egyedek egy halmaza vagy kollekciója; magában foglal
RészletesebbenAdattípusok, vezérlési szerkezetek. Informatika Szabó Adrienn szeptember 14.
Informatika 1 2011 Második előadás, vezérlési szerkezetek Szabó Adrienn 2011. szeptember 14. Tartalom Algoritmusok, vezérlési szerkezetek If - else: elágazás While ciklus For ciklus Egyszerű típusok Összetett
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Tudásbázis építése Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A tudásbázis építése
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenFicsor Lajos Általános Informatikai Tanszék Miskolci Egyetem
A Java EE 5 platform Ficsor Lajos Általános Informatikai Tanszék Miskolci Egyetem Utolsó módosítás: 2008. 04. 17. A Java EE 5 platform A Java EE 5 plattform A J2EE 1.4 után következő verzió. Alapvető továbbfejlesztési
RészletesebbenPredikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.
RészletesebbenMATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR
MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenDigitális dokumentumok formátumai és az annotációk. Dr. Kovács László 1 Bednarik László 2. kovacs@iit.uni-miskolc.hu, bednarik1@freemail.
Digitális dokumentumok formátumai és az annotációk Dr. Kovács László 1 Bednarik László 2 1 Miskolci Egyetem, GEIK Általános Informatikai Tanszék, 2 ME CTFK Informatikai Tanszék kovacs@iit.uni-miskolc.hu,
RészletesebbenAdatbányászat és Perszonalizáció architektúra
Adatbányászat és Perszonalizáció architektúra Oracle9i Teljes e-üzleti intelligencia infrastruktúra Oracle9i Database Integrált üzleti intelligencia szerver Data Warehouse ETL OLAP Data Mining M e t a
RészletesebbenIntervenciós röntgen berendezés teljesítményszabályozójának automatizált tesztelése
Intervenciós röntgen berendezés teljesítményszabályozójának automatizált tesztelése Somogyi Ferenc Attila 2016. December 07. Szoftver verifikáció és validáció kiselőadás Forrás Mathijs Schuts and Jozef
RészletesebbenAz UPPAAL egyes modellezési lehetőségeinek összefoglalása. Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
Az UPPAAL egyes modellezési lehetőségeinek összefoglalása Majzik István BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Résztvevők együttműködése (1) Automaták interakciói üzenetküldéssel Szinkron
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebben