Absztrakt adattípus - algebrai specifikáció - Lists (paraméteres) module imports end exports parameters variables sorts operations equations
|
|
- Ágoston Vass
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Absztrakt adattípus -algebrai specifikáció -Lists (paraméteres) module Lists imports Booleans, Naturals parameters Items sorts Item operations erroritem : Item eq? : Item, Item Boolean variables a, b, c : Item equations eq? (a,a) = true when a erroritem eq? (a,b) = eq? (b,a) implies (and (eq? (a,b), eq? (b,c)), eq? (a,c)) = true when a erroritem, b erroritem, c erroritem end Items exports sorts List operations null : List errorlist: List cons( _, _ ) : Item, List List concat( _, _ ) : List, List List equal? ( _, _ ) : List, List Boolean length( _ ) : List Natural mklist( _ ) : Item List end exports variables i, i1, i2 : Item s, s1, s2 : List equations [S1] concat(null, s) = s [S2] concat(cons(i, s1), s2) = cons(i, concat(s1, s2)) [S3] equal? (null, null) = true [S4] equal? (null, cons (i, s)) = false when s errorlist, i erroritem [S5] equal? (cons (i, s), null) = false when s errorlist, i erroritem [S6] equal? (cons(i1, s1), cons(i2, s2)) = and (eq? (i1, i2), equal? (s1, s2)) [S7] length(null) = 0 [S8] length (cons (i, s)) = succ(length (s)) when i erroritem [S9] mklist(i) = cons (i, null) end Lists 1
2 module Lists imports Booleans, Naturals parameters Items sorts Item operations erroritem: Item eq? : Item, Item Boolean variables a, b, c : Item equations eq? (a,a) = true when a erroritem eq? (a,b) = eq? (b,a) implies (and (eq? (a,b), eq? (b,c)), eq? (a,c)) = true end Items exports sorts List operations null : List errorlist: List when a erroritem, b erroritem, c erroritem cons( _, _ ) : Item, List List a listába fűzhető elemek egyelőre ismeretlen halmazát Item-nekhívják, ennek lennie kell egy erroritemértékének és egy eq? egyenlőség műveletének az eq? egyenlőség művelet igazi egyenlőség az axiómák alapján 2
3 implies (and (eq? (a,b), eq? (b,c)), eq? (a,c)) = true end Items exports sorts List operations null : List errorlist: List when a erroritem, b erroritem, c erroritem cons( _, _ ) : Item, List List concat( _, _ ) : List, List List equal? ( _, _ ) : List, List Boolean length ( _ ) : List Natural mklist( _ ) : Item List end exports variables i, i1, i2 : Item s, s1, s2 : List equations [S1] concat(null, s) = s [S2] concat(cons(i, s1), s2) = cons(i, concat(s1, s2)) [S3] equal? (null, null) = true kívülről látható a most definiált List szortés annak összes művelete a List szortelemeit a null és a consműveletekkel lehet előállítani, az ezen műveletekkel előállított struktúrák alkotják a List szort értékeit a mklist kényelmi művelet, mert cons(item,null) művelettel is meg lehet oldani 3
4 end exports variables i, i1, i2 : Item s, s1, s2 : List equations [S1] concat(null, s) = s [S2] concat(cons(i, s1), s2) = cons(i, concat(s1, s2)) [S3] equal? (null, null) = true [S4] equal? (null, cons (i, s)) = false when s errorlist, i erroritem [S5] equal? (cons (i, s), null) = false when s errorlist, i erroritem [S6] equal? (cons(i1, s1), cons(i2, s2)) = [S7] length(null) = 0 and (eq? (i1, i2), equal? (s1, s2)) [S8] length (cons (i, s)) = succ(length (s)) when i erroritem [S9] mklist(i) = cons (i, null) end Lists cons műveletnek nincs axiómája, a cons művelettel előállított struktúrák a List szortelemei, ezért a cons (char-a, cons (char-b, nullstring)) reprezentálja az ab stringet rekurzív definíció 4
5 Absztrakt adattípus -algebrai specifikáció -Lists használata module Files imports Booleans, Naturals, instantiation of Lists bind Items using Natural for Item using errornatural for erroritem using eq? foreq? rename using File for List using emptyfile for null using mkfile for mklist using errorfile for errorlist exports sorts File operations empty? ( _ ) : File Boolean end exports variables f : File equations [F1] empty? (f) = equal? (f, emptyfile) end Files a Filesmodul a Lists felhasználásával modellezi a file inputoutput kezelést 5
6 module Files imports Booleans, Naturals, instantiation of Lists bind Items using Natural for Item using errornatural for erroritem usingeq? foreq? rename using File for List using emptyfile for null using mkfile for mklist using errorfile for errorlist exports sorts File operations empty? (_): File Boolean end exports variables f : File equations [F1] empty? (f) = equal? (f, emptyfile) end Files ez az a specifikáció morfizmus, ami a paraméterek specifikációját az export specifikációjára képezi le szortokés műveletek átnevezése, a többi művelet változatlan, ezért a File konstruktora a cons a Files exportálja az átnevezetteket és a Lists export szekcióját új exportált művelet bevezetése 6
7 Absztrakt adattípus -algebrai specifikáció -modulok most már tudjuk, hogy mi az algebrai specifikáció mi a modulokra bontott specifikáció, import, export, paraméterek, rejtett rész mi a paraméter felhasználása 7
8 Típusmodellek 6. Algebrai specifikáció jelentése 8
9 Algebrai specifikáció jelentése volt absztrakt adattípus, absztrakt algebrai specifikáció, modulokra bontás (paraméter, import, export, rejtett rész), példa modulok, paraméteres példa, C most jön absztrakt algebrai specifikáció jelentése (mi tartozik a specifikált adatok közé) specifikált adatok egyenlősége specifikáció teljessége és konzisztens volta C 9
10 Algebrai specifikáció jelentése megjegyzés: amikről most szó lesz, azt a könyvben a következő részeknél kell keresni: típusosztály specifikációjának elemzése, egyenlőség axióma, C 10
11 Algebrai specifikáció jelentése - termek a korábbi specifikációkban mondtuk, hogy a specifikált adattípus elemeit a műveletek ismétlésével nyert kifejezések (termek) reprezentálják a Naturalszort hordozó halmazának elemei például: 0, succ(0), succ(succ(0), succ(succ(succ(0))),... és errornatural ezek olyan kifejezések, amikben nincsenek változók (bázis termek, ground terms) 11
12 bázis termek a Σ= (S, OP) szignatúra s szortjához tartozó bázis termek halmaza legyen T Σ, aminek induktív definíciója: az s szort konstans műveletei az s szortbázis termei f:s 1,C,s n s OP esetén, ahol s 1,C,s n s S, ha t 1,C,t n a megfelelő s 1,C,s n szortokbázis termei, akkor f(t 1,C,t n ) az s szortbázis terme 12
13 bázis termek a korábbi Booleans modul Boolean szortjának bázis termei például a true és falsekonstansok, true, not(true), not(not(true)), not(not(not(true))),... false, not(false), not(not(false)), not(not(not(false))), C. végtelen sokan vannak a specifikáció egyenlőségei nélkül mindet különbözőnek tekintjük, ezért a specifikáció egyenlőségei nélkül nem tudjuk, hogy not(true) ugyanaz, mint false 13
14 bázis termek a korábbi Naturals modul Natural szortjának bázis termei például 0, succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))), C add(0,0), add(0,succ(0)), add(0,succ(succ((0))),... add(succ(0),0), add(succ(succ(0)),0), C. végtelen sokan vannak a specifikáció egyenlőségei nélkül nem tudjuk, hogy például add(succ(0),succ(0)) ugyanaz, mint succ(succ(0)) 14
15 termalgebra szignatúrához tartozik a szignatúra algebra: hordozó halmaz + műveletek értelmezése, ezért most a szignatúrához konstruálunk egy szignatúra algebrát a szignatúrához tartozó bázis termekből, amit term algebrának hívunk, jelölése szintén T Σ 15
16 termalgebra -hordozó halmaz a Σ= (S, OP) szignatúra s szortjához tartozó hordozó halmazt az (s) jelöli, ahol (s) induktív Σ Σ definíciója: az s szort c konstans műveletéhez a c konstans tartozik az (s) hordozó halmazban Σ f:s 1,C,s n s OP esetén, ahol s 1,C,s n s S, ha t 1 (s 1 ),C,t n (s n ), akkor f(t 1,C,t n ) az Σ Σ (s) hordozó halmaz eleme Σ 16
17 termalgebra -művelet a Σ= (S, OP) szignatúra OP művelet halmazához tartozó művelet halmazt az OP jelöli, ahol OP elemei: Σ f:s 1,C,s n s OP esetén, ahol s 1,C,s n s Sés t 1 (s 1 ),C,t n (s n ) Σ az f művelethez tartozó f művelet Σ értelmezése f (t 1,C,t n )= f(t 1,C,t n ) Σ, Σ Σ 17
18 termalgebra -szimbolikus vagyis a T Σ term algebra hordozó halmazainak elemei a konstans és művelet szimbólumokból, valamint a (, a ) és a, karakterekből összeállított stringek, amik bázis termek a T Σ term algebra műveletei ezen bázis termeket reprezentáló stringekközötti leképzések az eredeti műveleteknek megfelelően 18
19 termalgebra -szimbolikus a Booleans modul Boolean szortjához a term algebrában (Boolean) hordozó halmaz Σ tartozik, amiben például a következő stringek vannak: true, not(true), not(not(true)),... false, not(false), not(not(false)),... a not művelethez tartozó not művelet a Σ true stringeta not(true) stringreképezi le, amit a not(not(true)) stringreképezi le, stb. 19
20 termalgebra ez a T Σ term algebra nyilvánvalóan nem a Booleanszándékolt jelentését tükrözi, mert a hordozó halmaz végtelen és a benne lévő stringekre false not(true) ez azért van, mert a term algebrában még nem vettük figyelembe a specifikáció egyenleteit, és hogy azok milyen megkötéseket tesznek az eredeti szignatúra algebrára 20
21 termalgebra -kiértékelő függv. a Σ= (S, OP) szignatúrához tartozó A szignatúra algebra és T Σ term algebra eval A :T Σ A kiértékelő függvénye a bázis termekhez A beli értékeket rendel a következők szerint: eval A ( c )=c A a konstansokra, és eval A ( f(t 1,C,t n ) )=f A (eval A (t 1 ),C,eval A (t n )), ahol f:s 1,C,s n s OP művelet és t i s i 21
22 termalgebra -kongruencia a kiértékelő függvény megmutatta, hogy egy bázis term milyen A beli értékhez tartozik az azonos A beliértékhez tartozó termek helyettesíthetők egymással, egyenértékűek, azaz kongruensek a kongruencia relációt a specifikáció egyenletei határozzák meg a következőekben definiáltak szerint 22
23 termalgebra -kongruencia adott a (Σ,E) specifikáció, az E egyenletek által a T Σ term algebrán meghatározott E kongruencia reláció a legszűkebb olyan reláció, ami teljesíti a következőket: változó helyettesítés: ha az E specifikáció lhs=rhs egyenlete tartalmazza a v 1,C,v n változókat és t 1,C,t n T Σ ugyanazon indexű változók szortjába tartozó bázis termek, akkor lhs[t 1 v 1,C,t n v n ] E rhs[t 1 v 1,C,t n v n ] ahol t i v i jelöli, hogy v i helyére t i termet helyettesítjük (ha feltételes, akkor a feltételekben is) reflexivitás: t T Σ bázis termekre: t E t 23
24 változó helyettesítés: ha az E specifikáció lhs=rhs egyenlete tartalmazza a v 1,C,v n változókat és t 1,C,t n T Σ ugyanazon szortokbatartozó bázis termek, akkor lhs[t 1 v 1,C,t n v n ] E rhs[t 1 v 1,C,t n v n ] ahol t i v i jelöli, hogy v i helyére t i termet helyettesítjük (ha feltételes, akkor a feltételekben is) reflexivitás: t T Σ bázis termekre: t E t szimmetria: t 1,t 2 T Σ bázis termekre: t 1 E t 2 t 2 E t 1 tranzitivitás: t 1,t 2,t 3 T Σ bázis termekre: (t 1 E t 2 t 2 E t 3 ) t 1 E t 3 helyettesíthetőség: ha t 1 E t 1,C,t n E t n és f:s 1,C,s n s OP művelet, akkor f(t 1,C,t n ) E f(t 1,C,t n ) 24
25 termalgebra -kongruencia a kongruencia osztályok generálásának módja: változó nélküli egyenletekből, majd deriválás a reflexív, szimmetrikus és tranzitív tulajdonságokkal, majd kihasználva, hogy a művelet szimbólumok megőrzik a kongruenciát, ha bázis termekké alakítjuk őket 25
26 termalgebra -kongruencia nézzük például a Booleansmodul következő egyszerűsített specifikációját: module Bools exports sorts Boolean operations true: Boolean false: Boolean not( _): Boolean Boolean end exports equations [B1] not(true) = false [B2] not(false) = true end Bools 26
27 termalgebra -kongruencia az egyszerűsített Bools modul Boolean szortjábana következő bázis termek kongruensek a true és false értékekkel: true E not(false) E not(not(true)) E not(not(not(false))) E... false E not(true) E not(not(false)) E not(not(not(true))) E... ezeket könnyű belátni, mert az egyenletek nem tartalmaznak változókat 27
28 termalgebra -kongruencia a korábbi Naturals modul Natural szortjában a bázis termek kongruensek az errornaturals, 0, succ(0), succ(succ(0)) stb. értékekkel például a következő négy bázis term kongruens: succ(succ(0)) E add(0,succ(succ(0)) E add(succ(succ(0)),0) E add(succ(0),succ(0)) ezeket bizonyítani kell, mert az egyenletek változókat tartalmaznak 28
29 termalgebra -kongruencia bebizonyítjuk, hogy add(succ(0),succ(0)) E succ(succ(0)) add(succ(0),succ(0)) E succ(add(succ(0),0)) mert [N4] add (m, succ (n)) = succ (add (m, n))szabályban [m succ(0),n 0] változó helyettesítést alkalmazunk succ(add(succ(0),0)) E succ(succ(0)) mert [N3] add (m, 0) = mszabályban [m succ(0)] változó helyettesítést alkalmazunk 29
30 specifikáció modellje a (Σ,E) specifikációnak az A szignatúra algebra a modellje, ha t 1,t 2 T Σ bázis termekre t 1 E t 2 eval A (t 1 ) = eval A (t 2 ) vagyis az egy kongruencia osztályba tartozó bázis termek az A szignatúra algebrának ugyanarra az elemére értékelődnek ki 30
31 specifikáció modellje nézzük például a Booleansmodul következő egyszerűsített specifikációját: module Bools exports sorts Boolean operations true: Boolean false: Boolean not( _): Boolean Boolean end exports equations [B1] not(true) = false [B2] not(false) = true end Bools ezt a Bools-tmodellezi a következő A szignatúra algebra: A = <{off, on}, {off, on, switch}>szignatúra switch(off) = on és switch(on) = off egyenletek 31
32 specifikáció modellje a modell megfeleltetései: a Boolean = {false, true} szortnak megfelelő hordozó halmaz a Boolean A = {off, on} S műveletei true : Boolean false : Boolean not : Boolean Boolean A műveletei true A = on : Boolean A false A = off : Boolean A not A = switch : Boolean A Boolean A 32
33 specifikáció modellje egy esetben bizonyítjuk, hogy ez a megfeleltetés teljesíti a modell definícióját: t 1,t 2 T Σ amire t 1 E t 2 : Bools esetén not(true) E false be kell látni, hogy eval A (t 1 ) = eval A (t 2 ): eval A (not(true)) = not A (eval A (true)) = not A (true A ) = switch(on) = off eval A (false) = off tehát eval A (not(true)) = eval A (false) eval definíciójából: eval A ( f(t 1,C,t n ) )= f A (eval A (t 1 ),C,eval A (t n )) eval definíciójából konstans behelyetesítés 33
34 specifikáció modellje egy specifikációnak sok modellje lehet a bázis termekből álló T Σ initial(kezdeti) algebra egy modell, ami biztosan létezik a kezdeti algebrából megkonstruálható a faktor algebra, ami a modellek azonosságra lezárt osztálya (lásd következő lapon) a specifikáció jelentésének a faktor algebrát tekintjük 34
35 specifikáció modellje Megjegyzés: ahogy az absztrakt algebra a szignatúra algebrák izomorfizmusra zárt osztálya, ugyanúgy a specifikáció jelentése a modellek azonosságra zárt osztálya 35
36 faktor algebra (Q, quotient) legyen (Σ,E) specifikáció, Σ = (S, OP), a t T Σ bázis term kongruencia osztálya [t]={t t E t }, vagyis [t]=[t ] t E t, ekkor a faktor algebra így áll elő: a faktor algebra szortjaia bázis termek kongruencia osztályai: {(s) s S} a c konstans művelet megfelelője a faktor algebrában a [c] kongruencia osztály a faktor algebra f Q műveleteinek előállítása: f Q ([t 1 ],C,[t n ])=[f(t 1,C,t n )], ahol f:s 1,C,s n s OP és t i bázis termaz s i hordozó halmazból Σ 36
37 faktor algebra a faktor algebra f Q műveletei jól definiáltak, mert a kongruencia definíciójában szereplő helyettesítési tulajdonság miatt ha t 1 E t 1,C,t n E t n, akkor f Q (t 1,C,t n ) E f Q (t 1,C,t n ) vagyis a kongruens termek ugyanolyan paraméterként viselkednek és az f Q művelet ugyanarra a kongruens osztályra képezi le őket 37
38 faktor algebra -példa nézzük újra a Booleansmodul egyszerűsített specifikációját: module Bools exports sorts Boolean operations true: Boolean false: Boolean not( _): Boolean Boolean end exports equations [B1] not(true) = false [B2] not(false) = true end Bools 38
39 faktor algebra -példa két kongruencia osztály van [true], aminek elemei true, not(false), not(not(true)), not(not(not(false))),... [false], aminek elemei false, not(true), not(not(false)), not(not(not(true))),... a not Q művelet a következő: not Q ([false]) = [not(false)] = [true] és not Q ([true]) = [not(true)] = [false] 39
S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet)
S0-02 Típusmodellek (Programozás elmélet) Tartalom 1. Absztrakt adattípus 2. Adattípus specifikációja 3. Adattípus osztály 4. Paraméterátadás 5. Reprezentációs függvény 6. Öröklődés és polimorfizmus 7.
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenKomputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenKiterjesztések sek szemantikája
Kiterjesztések sek szemantikája Példa D Integer = {..., -1,0,1,... }; D Boolean = { true, false } D T1... T n T = D T 1... D Tn D T Az összes függvf ggvény halmaza, amelyek a D T1,..., D Tn halmazokból
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenFormális szemantika. Kifejezések szemantikája. Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar
Formális szemantika Kifejezések szemantikája Horpácsi Dániel ELTE Informatikai Kar 2016-2017-2 Az előadás témája Egyszerű kifejezések formális szemantikája Az első lépés a programozási nyelvek szemantikájának
RészletesebbenRelációs algebra 1.rész alapok
Relációs algebra 1.rész alapok Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 Lekérdezések a relációs modellben 2.4. Egy algebrai lekérdező nyelv, relációs
RészletesebbenProgramozás alapjai. 5. előadás
5. előadás Wagner György Általános Informatikai Tanszék Cserélve kiválasztásos rendezés (1) A minimum-maximum keresés elvére épül. Ismétlés: minimum keresés A halmazból egy tetszőleges elemet kinevezünk
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenBOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja
Részletesebben5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmizálás és adatmodellezés tanítása 1. előadás
Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása 1. előadás Algoritmus-leíró eszközök Folyamatábra Irányított gráf, amely csomópontokból és őket összekötő élekből áll, egyetlen induló és befejező éle van, az
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenProgramok értelmezése
Programok értelmezése Kód visszafejtés. Izsó Tamás 2016. szeptember 22. Izsó Tamás Programok értelmezése/ 1 Section 1 Programok értelmezése Izsó Tamás Programok értelmezése/ 2 programok szemantika értelmezése
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot oldottuk meg korábban,
Részletesebben1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenAlap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap
Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté 2016. szeptember 14. Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenInformatika terméktervezőknek
Informatika terméktervezőknek C# alapok Névterület (namespace) using Osztály (class) és Obejtumok Metódus (function, procedure, method) main() static void string[] arg Szintaxis // /* */ \n \t Névadások
RészletesebbenJava II. I A Java programozási nyelv alapelemei
Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2008. 02. 19. Java II.: Alapelemek JAVA2 / 1 A Java formalizmusa A C, illetve az annak
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenBASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek
06 BASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek Emlékeztető Jelölésbeli különbség van parancs végrehajtása és a parancs kimenetére való hivatkozás között PARANCS $(PARANCS) Jelölésbeli különbség van
RészletesebbenNAGYPONTOSSÁGÚ EGÉSZ-ARITMETIKA TARTALOM
NAGYPONTOSSÁGÚ EGÉSZ-ARITMETIKA TARTALOM 0. A feladat... 2 1. Az Egész számok ábrázolásai... 2 2. A műveletek szignatúrája... 3 3. A keretprogram... 4 4. Technikai tanácsok... 7 5. Elegancianövelő lehetőségek
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3
RészletesebbenAlapok. tisztán funkcionális nyelv, minden függvény (a konstansok is) nincsenek hagyományos változók, az első értékadás után nem módosíthatók
Haskell 1. Alapok tisztán funkcionális nyelv, minden függvény (a konstansok is) nincsenek hagyományos változók, az első értékadás után nem módosíthatók elég jól elkerülhetők így a mellékhatások könnyebben
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenMatematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
RészletesebbenÁltalános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel
1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,
RészletesebbenElsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1
Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Részletesebben5.3. Logika a relációkhoz
236 5. Algebrai és logikai lekérdező nyelvek! 5.2.3. feladat. Az egyik dolog, amit az eredeti 2.4.5. alfejezetben definiált vetítési művelettel szemben elérhetünk a kiterjesztett vetítési művelet segítségével,
RészletesebbenFUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS
FUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS A funkcionális programozás néhány jellemzője Funkcionális programozás 1-2 Funkcionális, más néven applikatív programozás Funkcionális = függvényalapú, függvényközpontú Applikatív
RészletesebbenOBJEKTUM ORIENTÁLT PROGRAMOZÁS JAVA NYELVEN. vizsgatételek
OBJEKTUM ORIENTÁLT PROGRAMOZÁS JAVA NYELVEN vizsgatételek 1. Az objektumorientált programozás szemlélete, az objektum fogalma 2. Az objektumorientált programozás alapelvei 3. A Java nyelv története, alapvető
RészletesebbenKaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.
Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenI. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI
I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.
RészletesebbenJava II. I A Java programozási nyelv alapelemei
Java2 / 1 Java II. I A Java programozási nyelv alapelemei Miskolci Egyetem Általános Informatikai Tanszék Utolsó módosítás: 2009. 02. 09. Java II.: Alapelemek JAVA2 / 1 A Java formalizmusa A C, illetve
RészletesebbenOOP: Java 8.Gy: Abstract osztályok, interfészek
OOP: Java 8.Gy: Abstract osztályok, interfészek 26/1 B ITv: MAN 2019.04.03 Abszrakt metódus és absztrakt osztály. Gyakran előfordul a tervezés során, hogy egy osztály szintjén tudjuk, hogy valamilyen metódus
Részletesebbenködös határ (félreértés, hiba)
probléma formálisan specifikált: valós világ (domain) (hibás eredmény) ködös határ (félreértés, hiba) formális világ (megoldás) A szoftver fejlesztőnek meg kell értenie a felhasználó problémáját. A specifikáció
RészletesebbenC++ programozási nyelv Konstruktorok-destruktorok
C++ programozási nyelv Konstruktorok-destruktorok Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar Informatikai Intézet Soós Sándor 2004. szeptember A C++ programozási nyelv Soós Sándor 1/20 Tartalomjegyzék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben2019/02/11 10:01 1/10 Logika
2019/02/11 10:01 1/10 Logika < Számítástechnika Logika Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2012, 2015 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu Boole-algebra A Boole-algebrát
RészletesebbenHALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.
HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x
RészletesebbenTulajdonságalapú tesztelés
Tulajdonságalapú tesztelés QuickCheck A QuickCheck Haskell programok automatikus, tulajdonságalapú tesztelésére használható. Programspecifikáció: program által teljesítendő tulajdonságok Nagy számú, a
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenMatematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s
Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenÁllapot minimalizálás
Állapot minimalizálás Benesóczky Zoltán 2004 A jegyzetet a szerzői jog védi. Azt a BME hallgatói használhatják, nyomtathatják tanulás céljából. Minden egyéb felhasználáshoz a szerző belegyezése szükséges.
RészletesebbenSZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
RészletesebbenSzkriptnyelvek. 1. UNIX shell
Szkriptnyelvek 1. UNIX shell Szkriptek futtatása Parancsértelmez ő shell script neve paraméterek shell script neve paraméterek Ebben az esetben a szkript tartalmazza a parancsértelmezőt: #!/bin/bash Szkriptek
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 8. Előadás: Függvények 2.
Bevezetés a programozásba 8. Előadás: Függvények 2. ISMÉTLÉS Helló #include using namespace std; int main() cout
Részletesebben5. SOR. Üres: S Sorba: S E S Sorból: S S E Első: S E
5. SOR A sor adatszerkezet is ismerős a mindennapokból, például a várakozási sornak számos előfordulásával van dolgunk, akár emberekről akár tárgyakról (pl. munkadarabokról) legyen szó. A sor adattípus
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Részletesebben2019, Funkcionális programozás. 4. el adás. MÁRTON Gyöngyvér
Funkcionális programozás 4. el adás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2019, tavaszi félév Mir l volt szó? GHC parancsok fenntartott szavak
RészletesebbenHardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések
Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések 1. Az informatikai rendszereknél mit ellenőriznek validációnál és mit verifikációnál? 2. A szoftver verifikációs technikák
RészletesebbenProgramozás C- és Matlab nyelven C programozás kurzus BMEKOKAM603 Előfeldolgozó rendszer Tömbök. Dr. Bécsi Tamás 4. Előadás
Programozás C- és Matlab nyelven C programozás kurzus BMEKOKAM603 Előfeldolgozó rendszer Tömbök Dr. Bécsi Tamás 4. Előadás A?: operátor Nézzük meg a következő kifejezést: if (a>b) z=a; else z=b; Ez felírható
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Relációalgebra, 5NF
ADATBÁZIS-KEZELÉS Relációalgebra, 5NF ABSZTRAKT LEKÉRDEZŐ NYELVEK relációalgebra relációkalkulus rekord alapú tartomány alapú Relációalgebra a matematikai halmazelméleten alapuló lekérdező nyelv a lekérdezés
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenProgramozás II. 2. Dr. Iványi Péter
Programozás II. 2. Dr. Iványi Péter 1 C++ Bjarne Stroustrup, Bell Laboratórium Első implementáció, 1983 Kezdetben csak precompiler volt C++ konstrukciót C-re fordította A kiterjesztés alapján ismerte fel:.cpp.cc.c
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenKarakterkészlet. A kis- és nagybetűk nem különböznek, a sztringliterálok belsejét leszámítva!
A PL/SQL alapelemei Karakterkészlet Az angol ABC kis- és nagybetűi: a-z, A-Z Számjegyek: 0-9 Egyéb karakterek: ( ) + - * / < > =! ~ ^ ; :. ' @ %, " # $ & _ { }? [ ] Szóköz, tabulátor, kocsivissza A kis-
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenPython tanfolyam Python bevezető I. rész
Python tanfolyam Python bevezető I. rész Mai tematika Amiről szó lesz (most): Interpretált vs. fordított nyelvek, GC Szintakszis Alaptípusok Control flow: szekvencia, szelekció, iteráció... Függvények
RészletesebbenRelációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.
RészletesebbenProgramozási nyelvek (ADA)
Programozási nyelvek (ADA) Kozsik Tamás előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Hasznos weboldal http://kto.web.elte.hu Program felépítése Programegységek (program unit) eljárások (procedure)
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenProgramozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás
Programozás BMEKOKAA146 Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Szintaktikai alapok Alapvető típusok, ismétlés C# típus.net típus Méret (byte) Leírás byte System.Byte 1Előjel nélküli 8 bites egész szám (0..255) char
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenAz F# nyelv erőforrásanalízise
Az F# nyelv erőforrásanalízise Góbi Attila Eötvös Loránd Tudományegyetem Támogatta a KMOP-1.1.2-08/1-2008-0002 és az Európai Regionális Fejlesztési Alap. 2012. Június 19. Góbi Attila (ELTE) Az F# nyelv
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenFUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS ELŐADÁS JEGYZET
FUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS ELŐADÁS JEGYZET Szerkesztette: Balogh Tamás 2013. május 30. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Részletesebben2016, Funkcionális programozás
Funkcionális programozás 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, tavaszi félév Miről volt szó? Programozási paradigmák: imperatív,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben