MTA KRTK KTI, BCE BME Optimalizálás szeminárium Budapest 2013 november 14.

Átírás

1 Egészértékű programozási modellek központi párosító programokban Biró Péter MTA KRTK KTI, BCE BME Optimalizálás szeminárium Budapest 203 november 4.

2

3

4 Stabil házasítás probléma Gale, Shapley [962]: College admission and the stability of marriage A B C D E F G Minden fiú és lány szigorú rangsort álĺıt fel a lehetséges partnerei között.

5 Stabil házasítás probléma Gale, Shapley [962]: College admission and the stability of marriage A B C D E F G Minden fiú és lány szigorú rangsort álĺıt fel a lehetséges partnerei között. Egy házasítás stabil, ha nem létezik blokkoló pár : egy olyan fiú és lány, akik jobban kedvelik egymást, mint jelenlegi házastársaikat. A B C D E F G (C,F) blokkoló pár nem stabil

6 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa A B C D E F G

7 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. A B C D E F G

8 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. - Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót, a többieket pedig utasítsa vissza. A B C D E F G

9 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. - Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót, a többieket pedig utasítsa vissza. További körök: - A visszautasított fiúk ajánlatot tesznek a listájuk szerinti következő lehetséges partnernek. A B C D E F G

10 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. - Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót, a többieket pedig utasítsa vissza. További körök: - A visszautasított fiúk ajánlatot tesznek a listájuk szerinti következő lehetséges partnernek. -Minden lány tartsa meg a legjobb kérőjét, a többieket pedig utasítsa vissza. A B C D E F G

11 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. - Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót, a többieket pedig utasítsa vissza. További körök: - A visszautasított fiúk ajánlatot tesznek a listájuk szerinti következő lehetséges partnernek. -Minden lány tartsa meg a legjobb kérőjét, a többieket pedig utasítsa vissza. A B C D E F G A kapott párosítás stabil mert egy (m, w) pár nem lehet blokkoló, w miatt, ha ezt a kapcsolatot ő utasította vissza, m miatt, ha m sohasem udvarolt w-nek.

12 Gale és Shapley lánykérő algoritmusa - Minden fiú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsző lánynak. - Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót, a többieket pedig utasítsa vissza. További körök: - A visszautasított fiúk ajánlatot tesznek a listájuk szerinti következő lehetséges partnernek. -Minden lány tartsa meg a legjobb kérőjét, a többieket pedig utasítsa vissza. A B C D E F G A kapott párosítás stabil mert egy (m, w) pár nem lehet blokkoló, w miatt, ha ezt a kapcsolatot ő utasította vissza, m miatt, ha m sohasem udvarolt w-nek. Sőt, a kapott házasítás fiú-optimális. Vagyis semelyik fiú nem kaphat jobb feleséget semilyen stabil párosításban.

13 Egyetemi felvételi rendszer: stabil házasság bigámiával Minden szaknak van egy kvótája, pl. S szaknak b(s). párosítás: egyik szakra sem vehetnek fel több jelentkezőt a szak kvótájánál.

14 Egyetemi felvételi rendszer: stabil házasság bigámiával Minden szaknak van egy kvótája, pl. S szaknak b(s). párosítás: egyik szakra sem vehetnek fel több jelentkezőt a szak kvótájánál. a párosítás stabilitása: Ha egy a i jeletkezőt nem vettek fel az S szakra, akkor vagy a i lett felvéve egy jobb szakra vagy S töltötte fel a kvótáját a i -nél jobb jelentkezőkkel.

15 Egyetemi felvételi rendszer: stabil házasság bigámiával Minden szaknak van egy kvótája, pl. S szaknak b(s). párosítás: egyik szakra sem vehetnek fel több jelentkezőt a szak kvótájánál. a párosítás stabilitása: Ha egy a i jeletkezőt nem vettek fel az S szakra, akkor vagy a i lett felvéve egy jobb szakra vagy S töltötte fel a kvótáját a i -nél jobb jelentkezőkkel. Az egyetemek felől futtatott Gale-Shapley algoritmus: minden S szak ajánlatot tesz a legjobb b(s) jelentkezőjének minden jeletkező, aki egynél több ajánlatot kap, a legjobbat elfogadja, a többit visszautasítja...

16 Egyetemi felvételi rendszer: stabil házasság bigámiával Minden szaknak van egy kvótája, pl. S szaknak b(s). párosítás: egyik szakra sem vehetnek fel több jelentkezőt a szak kvótájánál. a párosítás stabilitása: Ha egy a i jeletkezőt nem vettek fel az S szakra, akkor vagy a i lett felvéve egy jobb szakra vagy S töltötte fel a kvótáját a i -nél jobb jelentkezőkkel. Az egyetemek felől futtatott Gale-Shapley algoritmus: minden S szak ajánlatot tesz a legjobb b(s) jelentkezőjének minden jeletkező, aki egynél több ajánlatot kap, a legjobbat elfogadja, a többit visszautasítja... A jelentkezők felől futtatott Gale-Shapley algoritmus: minden jelentkező ajánlatot tesz az első szaknak a ransorában minden S szakon megtartják a legjobb b(s) jelentkezőt, a többieket pedig visszautasítják...

17 Megéri-e taktikázni? Egy eljárás stratégiailag biztos, ha egyik résztvevő sem érhet el jobb megoldást, ha nem a valódi preferenciája szerint cselekszik.

18 Megéri-e taktikázni? Egy eljárás stratégiailag biztos, ha egyik résztvevő sem érhet el jobb megoldást, ha nem a valódi preferenciája szerint cselekszik. Dubins-Freedman (98), Roth (982): A jelentkezőknek nem éri meg taktikázni a felőlük futtatot Gale-Shapley algoritmusban.

19 Megéri-e taktikázni? Egy eljárás stratégiailag biztos, ha egyik résztvevő sem érhet el jobb megoldást, ha nem a valódi preferenciája szerint cselekszik. Dubins-Freedman (98), Roth (982): A jelentkezőknek nem éri meg taktikázni a felőlük futtatot Gale-Shapley algoritmusban. De a másik oldalon lévő játékosok javíthatnak a helyzetükön, ha taktikáznak: A B C D E F G

20 Megéri-e taktikázni? Egy eljárás stratégiailag biztos, ha egyik résztvevő sem érhet el jobb megoldást, ha nem a valódi preferenciája szerint cselekszik. Dubins-Freedman (98), Roth (982): A jelentkezőknek nem éri meg taktikázni a felőlük futtatot Gale-Shapley algoritmusban. De a másik oldalon lévő játékosok javíthatnak a helyzetükön, ha taktikáznak: A B C D E F G Azonban kellő információ hiányában vagy túl nagy piac esetén a csalás túl rizikós.

21 Egyetemi felvételi, ahogy Gale and Shapley elképzelte A Gale-Shapley eljárással kapott megoldás igazságos: egy jelentkezés csak akkor kerül elutasításra, ha az adott szak helyeit jobb diákok töltötték be diák-optimális: egyik diák sem kerülhet be jobb szakra egy másik igazságos megoldásban

22 Egyetemi felvételi, ahogy Gale and Shapley elképzelte A Gale-Shapley eljárással kapott megoldás igazságos: egy jelentkezés csak akkor kerül elutasításra, ha az adott szak helyeit jobb diákok töltötték be diák-optimális: egyik diák sem kerülhet be jobb szakra egy másik igazságos megoldásban A Gale-Shapley algoritmuson alapuló felvételi eljárás gyors: a futásidő a jelentkezések számával arányos 0 másodperc Magyarországon, az Egyesült Királyságban kb perc lenne és kb 30 perc Kínában stratégiailag biztos: egyik diák se juthat be jobb helyre taktikázással

23 A Gale Shapley algoritmus a gyakorlatban Kórházi gyakornokok allokálása: National Resident Matching Program (USA) 952 óta! és sok hasonló eljárás más országokban is... (pl. Scottish Foundation Allocation Scheme SFAS)

24 A Gale Shapley algoritmus a gyakorlatban Kórházi gyakornokok allokálása: National Resident Matching Program (USA) 952 óta! és sok hasonló eljárás más országokban is... (pl. Scottish Foundation Allocation Scheme SFAS) Felvételi eljárások az oktatásban: New York-i középiskolák 2004 óta, Boston-i középiskolák 2005 óta Spanyol felsőoktatási felvételi (998) Magyar felsőoktatási felvételi 985 óta Magyar középiskolai felvételi 2000 óta (eredeti Gale Shapley modell és algoritmus!)

25 Alap IP az egyetemi felvételi problémára Lehetségességi feltételek: Stabilitási feltételek: j:(a i,c j ) E i:(a i,c j ) E x ij minden a i A () x ij u j minden c j C (2) x ik u j + x hj u j minden (a i, c j ) E k:r ik r ij h:(a h,c j ) E,s hj >s ij (3) Ahol x ij bináris változó, amely az (a i, c j ) jelentkezéshez tartozik, r ij jelöli c j szak helyét a i jelentkező listájában, és s ij jelöli a i pontszámát a c j szakon.

26 Magyar felsőoktatási felvételi eljárás Speciális elemek:. holtversenyek pontegyezések miatt 2. alsó kvóták a szakokra 3. közös kvóták egyetemi és országos szinten 4. szakpárokra történő jelentkezések (200-től ismét) 5. korlátos hosszú listák (203-tól hatályban) Elméleti tények: A elemek mindegyike NP-nehézzé teszi a feladatot, ezért mindenképpen heurisztikát kell alkalmaznunk. Továbbá az. és 5. elem is taktikázásra késztetheti a diákokat...

27 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A B Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre 2 K L P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

30 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

31 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) B. (2007): Az általánosított GS algoritmus diák / egyetem felől futtatott verziója a diákoknak legjobb / legrosszabb ponthatárokat adja. P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

32 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) B. (2007): Az általánosított GS algoritmus diák / egyetem felől futtatott verziója a diákoknak legjobb / legrosszabb ponthatárokat adja. Magyarországon az egyetemek felől futtatott verziót a diákok felől futtatott verzió váltotta fel 2007-ben. P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

33 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) B. (2007): Az általánosított GS algoritmus diák / egyetem felől futtatott verziója a diákoknak legjobb / legrosszabb ponthatárokat adja. Magyarországon az egyetemek felől futtatott verziót a diákok felől futtatott verzió váltotta fel 2007-ben. Ezek az algoritmusok nem stratégiailag biztosak! P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

34 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) B. (2007): Az általánosított GS algoritmus diák / egyetem felől futtatott verziója a diákoknak legjobb / legrosszabb ponthatárokat adja. Magyarországon az egyetemek felől futtatott verziót a diákok felől futtatott verzió váltotta fel 2007-ben. Ezek az algoritmusok nem stratégiailag biztosak! P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

35 . speciális elem: holtversenyek és egyenlő elbírálás A K B 2 2 L Azonos pontszámú jelentkezők egy szakon Vagy mindegyikük vagy egyikük se kerül felvételre Stabil ponthatár: egyik ponthatár sem csökkenthető a kvóta túllépése nélkül. (Tehát az utolsó csoport vissza lesz utasítva!) B. (2007): Az általánosított GS algoritmus diák / egyetem felől futtatott verziója a diákoknak legjobb / legrosszabb ponthatárokat adja. Magyarországon az egyetemek felől futtatott verziót a diákok felől futtatott verzió váltotta fel 2007-ben. Ezek az algoritmusok nem stratégiailag biztosak! P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203.

36 IP a stabil ponthatárokra pontegyezések esetén A lehetségességi feltételek (), (2) mellett, bevezetjük a ponthatár változókat 0 t j s minden c j szakra, a következő feltételekkel: and s ij + t j + t j ( x ij ) s + s ij minden (a i, c j ) E (4) k:r ik r ij x ik ( s + ) minden (a i, c j ) E (5) ahol a célfüggvény: min j=...m t j (6)

37 Score-limits in Spain

38 Score-limits in Spain

39 Score-limits in Ireland

43 2. speciális elem: alsó kvóták Szakok: Szaxofon Trombita alsó és felső kvóták 2 2. jelentkező: Ádám Ádám 2. jelentkező: Béla Béla Ádám listája: Trombita, Szaxofon Béla listája: Szaxofon, Trombita P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200).

50 2. speciális elem: alsó kvóták Szakok: Szaxofon Trombita alsó és felső kvóták 2 2. jelentkező: Ádám Ádám 2. jelentkező: Béla Béla Ádám listája: Trombita, Szaxofon Béla listája: Szaxofon, Trombita B.-Fleiner-Irving-Manlove (200): Stabil megoldás nem mindig létezik, a kapcsolódó probléma NP-teljes. P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200).

51 2. speciális elem: alsó kvóták Szakok: Szaxofon Trombita alsó és felső kvóták 2 2. jelentkező: Ádám Ádám 2. jelentkező: Béla Béla Ádám listája: Trombita, Szaxofon Béla listája: Szaxofon, Trombita B.-Fleiner-Irving-Manlove (200): Stabil megoldás nem mindig létezik, a kapcsolódó probléma NP-teljes. Egy természetes heurisztikát alkalmaznak a gyakorlatban. P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200).

52 IP alsó kvótákra o j {0, } indikátor változó, amely jelzi, hogy c j nyitva van-e. Új lehetségességi feltételek: Stabilitás: k:r ik r ij x ik i:(a i,c j ) E o j l j u j + i:(a i,c j ) E k:r ik <r ij x ik x ij o j u j minden c j C (7) h:(a h,c j ) E,s hj >s ij x hj o j u j minden (a i, c j ) E (8) ( o j ) (l j )+o j n minden c j C (9)

53 3. speciális elem: közös kvóták Szakok: k.info BME á.info BME... á.info GD... közös kvóta: Info országos keret: 3000 kvóták: : 49 (78p) 474 (3p) (74p) : 5 (90p) 423 (26p) (77p) : 4 (80p) 443 (25p) (78p) : 5 (00p) 478 (20p) (79p)...

54 3. speciális elem: közös kvóták Szakok: k.info BME á.info BME... á.info GD... közös kvóta: Info országos keret: 3000 kvóták: : 49 (78p) 474 (3p) (74p) : 5 (90p) 423 (26p) (77p) : 4 (80p) 443 (25p) (78p) : 5 (00p) 478 (20p) (79p)... Szakok: k.info BME á.info BME... á.info GD... közös kvóta: Info országos keret: 3000 közös kvóta: kari kvóta: : 8 (365p) 493 (366p) (60p) : 6 (365p) 583 (373p) (224p) : 23 (384p) 572 (370p) (206p)... 20: 24 (372p) 573 (370p) (200p) : 35 (396p) 578 (370p) (240p) : 42 (382p) 59 (370p) (240p)...

55 Egyetemi felvételi közös kvótákkal: elmélet B.-Fleiner-Irving-Manlove (200): Egymásba ágyazott halmazrendszer esetén stabil párosítás mindig létezik és a Gale-Shapley algoritmus általánosításával hatékonyan megtalálható. Sőt, a jelentkezők / egyetemek felől futtatott algoritmus a diákok számára a legjobb / legrosszabb megoldást adja. Ha viszont a halmazoknak lehet igazi metszete, akkor stabil párosítás nem mindig létezik és a probléma NP-teljes. P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200).

56 Egyetemi felvételi közös kvótákkal: elmélet B.-Fleiner-Irving-Manlove (200): Egymásba ágyazott halmazrendszer esetén stabil párosítás mindig létezik és a Gale-Shapley algoritmus általánosításával hatékonyan megtalálható. Sőt, a jelentkezők / egyetemek felől futtatott algoritmus a diákok számára a legjobb / legrosszabb megoldást adja. Ha viszont a halmazoknak lehet igazi metszete, akkor stabil párosítás nem mindig létezik és a probléma NP-teljes. Magyarországon a halmazrendszer egymásba ágyazott volt 2007-ig, utána ez megszűnt és a közös kvótájú halmazoknak már lehetett igazi metszete. 203-től még nem tudni milyen lesz... P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200).

57 IP közös kvótákra Legyen u p egy közös kvóta C p szakpárokra és t p a hozzá tartozó ponthatár. További lehetségességi feltételek: i:(a i,c j ) E,c j C p x ij u p minden C p C (0) Stabilitás: t p ( x ij ) s + s ij minden (a i, c j ) E és c j C p () és s ij + t p + x ik + y p i ( s + ) minden (a i, c j ) E és c j C p k:r ik r ij melyre ahol y p i (2) p:c j C p y p i = q j minden (a i, c j ) E (3) {0, } és q j a halmazok száma, melyben c j szerepel.

58 4. speciális elem: szakpárokra történő jelentkezés A diákok szakpárokra is jelentkezhetnek tanári szakok esetén 200 óta ismét. Pl. 200-ben 5578 diák jelentkezett tanári szakokra és közülük 209 listája tartalmazott szakpárokat is. Ez pont olyan feladat, mint a házastársak párosítása rezidensek esetén! Ronn (990): Stabil megoldás nem mindig létezik, a kapcsolódó probléma NP-teljes.

59 4. speciális elem: szakpárokra történő jelentkezés A diákok szakpárokra is jelentkezhetnek tanári szakok esetén 200 óta ismét. Pl. 200-ben 5578 diák jelentkezett tanári szakokra és közülük 209 listája tartalmazott szakpárokat is. Ez pont olyan feladat, mint a házastársak párosítása rezidensek esetén! Ronn (990): Stabil megoldás nem mindig létezik, a kapcsolódó probléma NP-teljes. IP: Visszavezethető a közös kvótás esetre. Tekintsük a szakpárokat alapvető jelentkezési helyeknek és a szakok pedig közös kvótával rendelkező szakpár-halmazok legyenek.

60 5. speciális elem: korlátos listák A jelentkezési lapon korlátos számú szak jelölhető meg (5). Ez természetes módon taktikázásra késztetheti azokat a diákokat, akiknek 5-nél több lenne az elfogadható szakok száma (tipikusan az utolsó helyen egy biztos szakot írnak be, stb). L. Á. Kóczy. A magyarországi felvételi rendszerek sajátosságai. Közgazdasági Szemle 57:(2) pp (200). P. Pathak and Tayfun Sönmez. School Admissions Reform in Chicago and England: Comparing Mechanisms by their Vulnerability to Manipulation. American Economic Review 03(): (203)

61 5. speciális elem: korlátos listák A jelentkezési lapon korlátos számú szak jelölhető meg (5). Ez természetes módon taktikázásra késztetheti azokat a diákokat, akiknek 5-nél több lenne az elfogadható szakok száma (tipikusan az utolsó helyen egy biztos szakot írnak be, stb). A kínai egyetemi felvételi eljárás még ennél is rosszabb a taktikázást tekintve, mert ott csak az első jelentkezések számítanak az első körben, és ha egy egyetemen az összes hely elkelt az első körben, akkor további jelentkezéseket már nem fogadnak... Ugyanez történt Bostonban a középiskolai felvételinél is, amíg 2004-ben Al Roth-ék meg nem reformálták. L. Á. Kóczy. A magyarországi felvételi rendszerek sajátosságai. Közgazdasági Szemle 57:(2) pp (200). P. Pathak and Tayfun Sönmez. School Admissions Reform in Chicago and England: Comparing Mechanisms by their Vulnerability to Manipulation. American Economic Review 03(): (203)

62 Vesecsere programok Veseelégtelenség esetén a beteg választása a következő lehet: diaĺızis (-) transzplantáció (+) ami lehet kadaver (halottból), de hosszúak a várólisták élődonoros

63 Vesecsere programok Veseelégtelenség esetén a beteg választása a következő lehet: diaĺızis (-) transzplantáció (+) ami lehet kadaver (halottból), de hosszúak a várólisták élődonoros De mit tehetünk, ha jelentkező donor inkompatibilis a beteggel? Esetleg cserélhetnek donort másokkal! Vesecsere-programok világszerte (Ausztrália, Kanada, Hollandia, Dél-Korea, Spanyolország, Egyesült Királyság, USA...)

64

65

66

67 Korlátos hosszú cserék problémája átültetésre szoruló betegek elcserélhetik inkompatibilis donorjaikat Az átültetések várható sikere meghatározható immunológiai adatokból

68 Korlátos hosszú cserék problémája átültetésre szoruló betegek elcserélhetik inkompatibilis donorjaikat Az átültetések várható sikere meghatározható immunológiai adatokból körpakolás probléma

69 Korlátos hosszú cserék problémája átültetésre szoruló betegek elcserélhetik inkompatibilis donorjaikat Az átültetések várható sikere meghatározható immunológiai adatokból körpakolás probléma hosszú cserék párosítás egy irányítatlan gráfon

72 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = c s = [ ] ha max méret 2, x = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 és

73 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = 2, x = és c s = [ ] ha max méret max c s x = 5

74 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = c w = [ ] ha max súly 2, x = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 és

75 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = 2,x = és c w = [ ] ha max súly max c w x =

76 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = c o = c s M + c w ha max súly max méret 2, x = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 és

77 Megoldás IP-feladatként kör-változókkal max cx f.h. Ax b és x i {0, } ahol A = , b = 2,x = és c o = c s M + c w ha max súly max méret max c o x = 5M + 8

78 Játékelmélet kutatócsoport az MTA KRTK KTI-ben

79 COST Action on Computational Social Choice

80 Summer School on Matchings

81 Summer School on Matchings

82 European research network on Matching in Practice

85 BCE játékelmélet szemináriuma

86 Referenciák Felvételi: P. Biró. Student Admissions in Hungary as Gale and Shapley Envisaged. Technical Report, University of Glasgow, TR P. Biró, T.Fleiner, R.W. Irving and D.F. Manlove. The College Admissions problem with lower and common quotas. Theoretical Computer Science 4, (200). L.Á. Kóczy. A magyarországi felvételi rendszerek sajátosságai. Közgazdasági Szemle 57:(2) pp (200). P. Biró and S. Kiselgof. College admissions with stable score-limits. To appear in Central European Journal of Operations Research, 203. P. Biró and I. McBride. Integer programming methods for special college admissions problems. Working paper, 203. Vesecsere: P. Biró, D.F. Manlove and Romeo Rizzi. Maximum weight cycle packing in directed graphs, with application to kidney exchange programs. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, (4): pp , D.F. Manlove and G. O Malley. Paired and altruistic kidney donation in the UK: Algorithms and experimentation. In Proceedings of SEA 202, vol of LNCS, pp