Probabilisztikus modellek. Nagy Dávid

Átírás

1 Probabilisztikus modellek Nagy Dávid Statisztikai tanulás az idegrendszerben, 2017

2 elméleti Introduction Knowledge representation Probabilistic models Bayesian behaviour Approximate inference I (computer lab) Vision I Approximate inference II: Sampling Measuring priors Neural representation of probabilities Structure learning Vision II Decision making and reinforcement learning

3 valószínűségi kalkulus

4 jelölések

5 jelölések valószínűségi változók megfázás köhögés valószínűség valószínűségi változók lehetséges értékei

6 jelölések M K P

7 jelölések M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k 0.095

8 jelölések M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k P (m ^ k) =P (m, k) = 0.04 P (M,K) =

9 jelölések M K P P (M,K) = m k 0.01 m k 0.04 m k m k P (m ^ k) =P (m, k) = 0.04 P (M = m, K = k) =P (m, k) 6= P (M,K)

10 M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k 0.095

11 P (M,K) m k m k m k m k

12 P (M,K) m k m k m k m k

13 P (M,K) probability mass function az igazságtáblázatot függvényként reprezentáljuk m k m k m k m k

14 valószínűségszámítás ö összegszabály s szorzatszabály

15 összegszabály P (k) =P (k, m)+p (k, m) P( köhögök ) P( köhögök és meg vagyok fázva ) vagy P( köhögök és nem vagyok megfázva ) P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) marginális valószínűség, vagy -szabály

16 összegszabály M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k M P m 0.05 m 0.95

17 szorzatszabály P (m, k) =P (m)p (k m) P( meg vagyok fázva és köhögök ) P( meg vagyok fázva ) és P( köhögök ha meg vagyok fázva ) lánc-szabály, és -szabály

18 szorzatszabály P (m, k) = P (m))p (k m)

19 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m)

20 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m)

21 szorzatszabály P (m, k) P (m) = )P P (k m) M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k } X P ( ) =1 P (m, k)+p (m, k) const =1 const = P (m)

22 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) P (x, y) =P (x y)p (y) feltételes valószínűség Bayes szabály P (x, y) P (y) P (y x)p (x) P (y) = P (x y) = P (x y)

23 valószínűségszámítás P (A, B, C, D, E, F, G, H, I) teljes modell P (D, G H, I) = = P (D, G, H, I) P (H, I) P P A,B,C,E,F A,B,C,E,F,D,G (feltételes valószínűség) P (A, B, C, D, E, F, G, H, I) P (A, B, C, D, E, F, G, H, I)

24 mintavételezés egy adott probabilisztikus modellhez készíthető* mintavételező gép kimenetei (minták) lehetséges világok a lehetséges világok relatív gyakoriságai tartanak a valószínűségeikhez különböző trükökkel lehet mintát venni külön a változókból (marginális eloszlásból) vagy a feltételes eloszlásokból is P (M,K) = M K P m k 0.01 m k 0.04 m k m k nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög nem fázott meg és nem köhög

25

26

27 probléma Mi a valószínűsége hogy egy véletlenszerűen választott ember pontosan 1.7 m magas? P (X =1.7) = 0 P (X = ) = 0 pmf(x) x

28 probléma Mi a valószínűsége hogy egy véletlenszerűen választott ember pontosan 1.7 m magas? P (X =1.7) = 0 P (X = ) = 0 pdf(x) probability density function Z b a pdf(x) dx = P (a <x<b) sűrűségfüggvény x

29 mintavételezés

30 mintavételezés

31 mit jelölünk P-vel? Mindent. pmf pdf pdf(x) = X i pmf(x i ) (x x i )

32 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = X y 0 2Y P (x, y 0 ) P (x, y) =P (x y)p (y)

33 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = Z Y P (x, y) dy P (x, y) =P (x y)p (y) X! Z dy y

34 valószínűségszámítás P (X, Y ) probabilisztikus modell P (x) = Z Y P (x, y) dy P (x, y) =P (x y)p (y) feltételes valószínűség Bayes szabály P (x, y) P (y) P (y x)p (x) P (y) = P (x y) = P (x y)

35 összefoglalás ismerjük a valószínűségi kalkulus két szabályát, a szorzatszabályt és az összegszabályt tudjuk mit jelent mintákat venni egy eloszlásból (sampling) ezeket ki tudjuk terjeszteni folytonosan sok értékű változókra a valószínűségszámításban már mindent* tudunk, most már csak kényelmi** fogalmakat vezetünk be * : azért nem mindent, mert ha (a valós számokhoz hasonlóan) más matematikai objektumokra is ki szeretnénk terjeszteni (pl val. változók amelyeknek a lehetséges értékei is valószínűségi eloszlások vagy végtelen sok val. változó), az nem mindig triviális. mértékelmélet ** : néha a kényelmi megoldások teszik lehetővé hogy praktikusan is ki lehessen számolni valamit, ne csak elméletben (exponenciális komplexitás)

36 függetlenség x? y p(x, y) =p(x)p(y) p(x y) =p(x) ha megtudjuk hogy y, az semmit nem változtat x valószínűségén az előbb 4-est dobtunk. Mit fogunk most dobni? P (d 1 d 2 )P (d 2 )=P (d 1 )P (d 2 ) az előbb 4-es dobtunk, most dobunk mégegyet, mi lesz a kettő összege? P (d 1 + d 2 d 2 )P (d 2 ) 6= P (d 1 + d 2 )P (d 2 )

37 feltételes függetlenség x? y z p(x, y z) =p(x z)p(y z) p(x y, z) =p(x z) ha már tudjuk hogy z, és megtudjuk hogy y, az semmit nem változtat x valószínűségén képeket nézek, a kérdés hogy fogok-e látni snowboardosokat. Számít hogy látok-e sífelvonókat? Ha tudjuk hogy síterepen készült képeket nézünk akkor is számít hogy látok-e sífelvonókat? a függetlenség és a feltételes függetlenség nem implikálják egymást, erre majd látunk több példát

38 irányított grafikus modellek

39 igazságtáblázat joint probability table propozicionális logika i. grafikus modell elsőrendű logika univerzalitás λ-kalkulus UTM probabilisztikus programnyelvek

40 P (X 1,X 2,X 3,X 4 )= lánc-szabály =P (X 1 X 2,X 3,X 4 ) P (X 2 X 3,X 4 ) P (X 3 X 4 ) P (X 4 ) X 1? X 3,X 4 X 2 X 2? X 4 X 3 X 3? X 4 = P (X 1 X 2 ) P (X 2 X 3 )P (X 3 )P (X 4 ) X4 X3 X2 P (X 1,X 2,...,X n )= ny i P (X i P arent(x i )) X1

41 grafikus modellek az eloszlás faktorizálódik a gráf szerint a gráf az eloszlás függetlenségi struktúráját kódolja a függetlenségi relációk leolvashatóak a gráfról hogyan? X4 X3 P (X 1,X 2,X 3,X 4 )= = P (X 1 X 2 ) P (X 2 X 3 )P (X 3 )P (X 4 ) X2 P (X 1,X 2,...,X n )= ny i P (X i P arent(x i )) X1

42 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont ZH jegy

43 hatásterjedés nehez = sample(p(nehez)) intell = sample(p(intell)) pont = sample(p(pont nehez, intell)) felv = sample(p(felv intell)) jegy = sample(p(jegy pont))

44 hatásterjedés Nehéz tud terjedni hatás? ZH pont

45 hatásterjedés Nehéz igen ZH pont

46 hatásterjedés Nehéz ZH pont tud terjedni hatás? ZH jegy

47 hatásterjedés Nehéz ZH pont igen ZH jegy

48 hatásterjedés Nehéz ZH pont tud terjedni hatás? megfigyelt változó ZH jegy

49 hatásterjedés Nehéz ZH pont nem ZH jegy

50 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont tud terjedni hatás? ZH jegy

51 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont igen ZH jegy

52 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont tud terjedni hatás? ZH jegy

53 hatásterjedés Nehéz Intell. ZH pont Felv. pont nem ZH jegy

54 hatásterjedés Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

55 hatásterjedés Nehéz Intell. nem ZH pont Felv. pont ZH jegy

56 hatásterjedés (explaining away) Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

57 hatásterjedés (explaining away) Nehéz Intell. igen ZH pont Felv. pont ZH jegy

58 hatásterjedés Nehéz Intell. tud terjedni hatás? ZH pont Felv. pont ZH jegy

59 hatásterjedés Nehéz Intell. igen ZH pont Felv. pont ZH jegy

60 d-szeparáció tétel az előbbi kis gráfokból összekombinálható az összes lehetséges függőségi reláció azt akarjuk leolvasni hogy u és v változók függetlenek-e különböző m megfigyelések mellett u és v között minden lehetséges útra ellenőrizzük hogy blokkolva van-e, feltéve hogy megfigyeljük m-et ha minden út blokkolva van, akkor függetlenek (feltéve m)

61 v v u v m m m u u u m v d-szeparáció m u v u v m m u v d

62 v m u nem juthat át hatás

63 Markov takaró Y 8Y : X? Y MB(X) szülők X gyerekek gyerekek szülei

64 plate notation

65 grafikus modell építés µ µ int int P (I) =N (I µ int, int) Nehéz Intell. P (N) =N (N µ, ) Z max ZH pont Felv. pont P (Z) = Binomial(Z Z max, sig(i N)) házi feladat ZH jegy

66 I N

67 grafikus modell építés nehez = normal(mu,sigma) intell = normal(mu_i,sigma_i) pont = binomial(z_max,sig(intell-nehez)) felv = binomial(z_max2,sig(intell)) jegy = bin(pont,5)

68

69

70 összefoglalás tudjuk mit jelent a függetlenség probabilisztikus modellekben az irányított grafikus modellek az eloszlás függetlenségi struktúráját jelenítik meg a gráf a teljes eloszlás egy faktorizációját adja meg, amelynek segítségével kevesebb számmal is meg lehet adni az eloszlást ezt kihasználva hatékonyabb inferencia algoritmusokat lehet kitalálni a gráfról a függetlenségi relációkat a d-szeparáció tétel alapján le tudjuk olvasni a grafikus modell abban is segít hogy egy intuitívan ismert rendszerből probabilisztikus modellt tudjunk felírni

71 bayes-i inferencia

72 mi az amit megfigyelünk? inferencia fotonok becsapódása levegő gyors rezgései hőmérséklet ingadozása bizonyos molekulák mire vagyunk kíváncsiak? milyen tárgyak vannak körülöttem milyen messze kik vannak körülöttem mire gondolnak mik a fizika törvényei

73 f

74 f }generatív folyamat

75 f }generatív folyamat f

76 f } generatív folyamat inverz inferencia } f -1

77 P (o h) P (h o)

78 P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o)

79 P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

80 forward probability generatív irány prediktív irány szimulátor P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

81 forward probability generatív irány prediktív irány szimulátor P (o h) ha ilyen lenne a világ akkor mit figyelnénk meg? inverse probability Bayes-i inferencia modell inverzió P (h o) ha ezt figyeljük meg akkor milyen a világ?

82 P (o h) P (h o) = P (o h)p (h) P (o)

83 P (h o) = P (o h)p (h) P (o) } prior

84 P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior

85 }posterior P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior

86 }posterior P (h o) = P (o h)p (h) } } likelihood P (o) prior } evidence

87 }posterior P (h o) = } } likelihood prior P (o h)p (h) R P (o h)p (h)dh

88 posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood

89 megfordítottuk a generatív modellt posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood

90 megfordítottuk a generatív modellt posterior }prior P (h o) / P (o h)p (h) } } likelihood miért kell a prior?

91 betegség f tünet f -1 betegség

92 miért köhögök? P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness)

93 miért köhögök? megfázás tb kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness)

94 megfázás tb kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) megfázás milyen gyakori a tb? kéztörés

95 megfázás tb kéztörés megfázás tb kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) megfázás ha tb kéztörés lenne a betegség attól köhögnék?

96 megfázás tb kéztörés megfázás tb kéztörés megfázás tb kéztörés P (illness symptom) / P (symptom illness)p (illness) valószínűleg megfáztam

97 3D - 2D

98

99

100

101

102

103

104

105 f = b P XY Z Y X

106 f = b P XY nem injektív Z Y X

107 f = b P XY nem injektív f 1 nem egyértelmű Z Y X

108 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz

109 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data hipotézisek amelyekre magas a prior

110 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data hipotézisek amelyekre magas a prior hipotézisek amelyekre nem 0 a likelihood

111 hipotézis tér: minden lehetséges 3D drótváz image data posterior hipotézisek amelyekre magas a prior hipotézisek amelyekre nem 0 a likelihood

112 [Kulkarni et al 2014]

113

114 színek

115 szén v. hó hány foton?

116

117

118 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) spektrális eloszlás

119 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) látósejtek érzékenysége spektrális eloszlás 3 szám

120 megvilágítás elnyelési görbe (anyag) látósejtek érzékenysége spektrális eloszlás 3 szám anyag?

121

122

123

124 beszédfelismerés

125

126 mondatok értelmezése

127 A lány meglátta a fiút a távcsővel

128 A lány meglátta a fiút a távcsővel

129 A lány meglátta a fiút a távcsővel

130 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna.

131 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna. történet 2 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, nagyon elégedett volt vele és mielőtt elhagyta az éttermet nagy borravalót hagyott a pincérnek.

132 történet 1 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, látta hogy szénné van égve. A férfi dühösen kirohant anélkül, hogy fizetett vagy borravalót hagyott volna. történet 2 Egy férfi bement egy étterembe és rendelt egy hamburgert. Mikor a hamburgert kihozták, nagyon elégedett volt vele és mielőtt elhagyta az éttermet nagy borravalót hagyott a pincérnek. Megette a férfi a hamburgert?

133 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze

134 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze - Egy ászból és királyból tud visszaadni?

135 - Elnézést, kártyával lehet fizetni? - Persze - Egy ászból és királyból tud visszaadni? humor = téves inferencia felfedezése? [Hurley et al 2011]

136 a látótér határai nem látszanak csak középen látunk élesen (fovea) vakfolt a szakkádoktól nem rázkódik a világ

137 érzékelés agy környezet cselekvés

138 érzékelés jelenlegi megfigyelésből kikövetkeztetett információ környezet világ tanult szabályosságai múltbeli események döntéshozás cselekvés izomvezérlés

139 érzékelés percepció jelenlegi megfigyelésből kikövetkeztetett információ (észlelés) környezet világ tanult szabályosságai múltbeli események döntéshozás cselekvés izomvezérlés

140 1. házi feladat Készíts generatív valószínűségi modellt, ami autógyártók éves bevételének jóslására használható (más témát is választhatsz). válaszd ki a fontos változókat a változók közötti függetlenségi viszonyok alapján rajzolj grafikus modellt válassz diszkrét vagy folytonos eloszlásokat a szükséges marginálisok és kondicionálisok formájául ( en.wikipedia.org/wiki/list_of_probability_distributions) gondolkodj el rajta, hogy mik azok a feltételezések, amiket beleépítettél a modellbe, de sejthetően nem egyeznek a valósággal

141 2. házi feladat x2 és x5 között terjedhet hatás? hogyan lehetne x1 és x4-et függetlenné tenni?

142 referenciák [Kulkarni et al 2014] Kulkarni, Tejas D., et al. "Inverse graphics with probabilistic CAD models." arxiv preprint arxiv: (2014). [Hurley et al 2011] Hurley, Matthew M., Daniel Clement Dennett, and Reginald B. Adams. Inside jokes: Using humor to reverseengineer the mind. MIT press, McGurk effect (video)