MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 8. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/86-6/009. engedélyszámon 009.06.15. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen. Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadó: Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit Grafika: Pusztai Julianna Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0801 Szerzők: Benyhe László, Lénárt István, Mendelovics Zsuzsa, Orosházi Katalin, Pusztai Julianna, Vépy-Benyhe Judit Educatio Kht. 008. Tömeg: 510 gramm Terjedelem: 6,48 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Tariné Szentes Katalin Tudományos szakmai szakértő: Hajba Tamás Technológiai szakértő: Csonka Vilmosné

tartalom 081. aritmetika és algebra ismétlés 0811. Játékos ismétlő feladatok számokkal és algebrai kifejezésekkel... 5 081. Azonosságok... 11 081. Egyenletek, egyenlőtlenségek... 5 08. Beszorzás, kiemelés 081. Beszorzás és kiemelés, algebrai kifejezések szorzattá alakítása... 08. szöveges feladatok 081. Szöveges feladatok I.... 59 08. Szöveges feladatok II.... 71 084. pitagorasz-tétel, gyökvonás 0841. A négyzetgyök fogalmának bevezetése... 87 084. Pitagorasz-tétel... 99 084. Vegyes gyakorló feladatok... 115 085. geometriai ismétlés 0851. Az alakzatokról tanultak ismétlése... 1 085. Geometriai szerkesztések ismétlése... 19 085. Terület síkon és gömbön... 149 0854. Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése... 161

0811. MODUL ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Játékos ismétlő feladatok számokkal és algebrai kifejezésekkel Készítette: Orosházi Katalin

6 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 1. FELADATLAP 1. Miről szólnak a következő meghatározások? Alkoss hasonlókat! a) A problémamegoldás eszköztára. b) Modern kínzóeszköz irodalmár diákok számára. c) A rejtvényfejtés magasiskolája. d) A lényegre törők nyelve. e) A tanulás rizsamentes övezete; f) A tudományok királynője. g) Olyan magaslat, amelyre nem visz királyi út. e) Zseniképző.. Döntsd el, hogy a matematika mely területeihez kapcsolódnak a következő feladatok! a) A tanulmányi kirándulásra autóbuszt akart bérelni a 8/a osztály. Csak nagyméretű busz állt a rendelkezésükre, így a 5 fős osztálynak és a kísérőnek fejenként 500 Ft-ot kellett volna fizetnie. Mennyit kellene fizetniük fejenként, ha társulnának a 0 fős 8/b-vel, akikkel kísérő utazik? b) Egy rendetlen gyerek zoknis fiókjában összekeveredett 5 pár fehér és 4 pár fekete zokni. Egy pár fehér zokniért megy a szobájába, amikor áramszünet lesz. Hány db zoknit vigyen magával a fürdőszobába ahol egyetlen gyertya pislákol, hogy biztosan legyen köztük legalább egy pár fehér. c) Egy négyzetes hasáb alakú farönkből a lehető legnagyobb hengert akarják kiesztergálni. A faanyag hány százaléka megy veszendőbe? d) Három szomszédos család akiknek házai nem esnek egy egyenesbe közösen akar felállítani egy porolót. Hol helyezzék el, hogy senkinek se kelljen hosszabb úton cipelnie a szőnyegeket, mint a többieknek? e) Az iskolai sportklub 50 tagjából 15-en vívnak, 0-an fociznak és 0-an atletizálnak. Öten mindhárom sportágat űzik, a többi focista csak focizik. Vannak-e olyanok, akik vívnak és atletizálnak, de nem fociznak? Ha igen, hányan? f) Két turista 8 órakor elindul egymás felé 0 km távolságból. Aki a hegytetőről indul, 5 km/h átlagsebességgel halad, a völgyből induló társa 4 km-t tud megtenni óránként. Hány órakor találkoznak, és milyen messze lesznek ekkor a hegytetőtől? g) Egy felvételi vizsga 70 résztvevőjéből 10-nak hármasa, 50-nek ötöse volt matematikából, a többieknek pedig négyesük. Szemléltessük diagramon a felvételizők összetételét matematika osztályzatuk szerint!. FELADATLAP 1. Minden csoportnak van egy száma, ezzel dolgozzatok! a) A saját számotokkal és a legkisebb prímszámmal állítsátok elő a lehető legtöbb különböző számot! Feltétel: mindkét számot fel kell használni, mindkettőt egyszer megoldásonként, és rajtuk kívül csak a matematika jelölései szerepelhetnek. Melyik csoport hány megoldást talált? EMLÉKEZZ Az összeadásnál a tagok és a szorzásnál a tényezők felcserélhetők. Felcserélésüktől az eredmény nem változik.

0811. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Játékos ismétlő feladatok 7 b) Járjatok utána, hogyan befolyásolja a megoldások számát, ha a csoport saját száma mellé párként azt a természetes számot választjátok, amely minden számnak osztója! c) Vizsgáljátok meg, hogyan változik a megoldások száma, ha a saját számotok mellé második számként azt az egyetlen számot választjátok, amely se nem negatív, se nem pozitív! EMLÉKEZZ A 0-val való osztást nem értelmezzük. Bármely 0-tól különböző szám nulladik hatványa 1, a 0 nulladik hatványát pedig nem értelmezzük.. Keressetek egyenlőket! 15 + ( + 6) 15 6 15 ( + 6) 15 ( 6) 15 + 6 15 + + 6 15 6 (15 + ) + 6 (15 ) 6 15 ( 6) (5 + ) (15 6) : 15 : 6 : 5 +. Tegyetek műveleti jeleket és/vagy zárójeleket a nyolcasok közé úgy, hogy az egyenlőségek igazak legyenek! 8 8 8 8 8 8 8 8 1 8 8 8 8 8 8 8 8 10 8 8 8 8 8 8 8 8 100 8 8 8 8 8 8 8 8 1000. FELADATLAP 1. Egynemű algebrai kifejezések Az algebrai kifejezések készletével dolgozunk tovább. Miután kiválogattátok belőle azt a 6 db lapot, amelyeken egytagú kifejezések vannak, írjátok külön sorokba az egynemű kifejezéseket! Tegyétek ki a láthatatlan szorzójeleket! EMLÉKEZZ Két egytagú algebrai kifejezés akkor egynemű, ha bennük ugyanaz a betű ugyanazon a hatványkitevőn szerepel, azaz csak együtthatóikban különbözhetnek. Húzzátok alá az együtthatókat, és karikázzátok be a változókat!

8 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. Válasszátok ki a lapok közül azt, amelyen olyan kétváltozós algebrai kifejezés van, amely nem minden racionális számra értelmezhető! Írjátok be a táblázat első és második sorának elejére a változókat jelölő betűket abc sorrendben, a harmadik sor elejére pedig az algebrai kifejezést! Számítsátok ki a kifejezés helyettesítési értékeit, ha a változók helyébe a táblázat számpárait írjátok!,5 1 1 6 5 7 4 6 4 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Válassz ki egy nullától különböző számot! Növeld meg 7-tel! Amit kaptál, duplázd meg! Az eredményből vonjál ki 4-et! A különbséget felezd meg, majd a hányadoshoz adjál hozzá 5-öt! Végül, amit kaptál, azt oszd el a gondolt számmal. Szerintem 1-et kaptál eredményül. Így van? Miért?. Válassz ki két számot! Az összegüket, valamint a nagyobbik és a kisebbik szám különbségét add össze! Azt a számot, amit kaptál, oszd el a kiválasztott számok közül a nagyobbikkal! Kettőt kaptál, igaz? Vajon miért?. Helyezzetek el műveleti és/vagy zárójeleket az ötösök közé úgy, hogy az egyenlőségek igazak legyenek. Keressetek több megoldást! 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 0,1 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 5 5 100 5 5 5 5 5 5 5 5 1000 4. Számítsátok ki a helyettesítési értékeket a táblázatban megadott számok esetén! a,5 1 1 b 6 5 7 4 6 a b b 5 4

0811. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Játékos ismétlő feladatok 9 5. Egészítsétek ki a táblázatokat! a) a 5 6 5 0 1 1 4 5 a 4 b) b 6 4 1 0 1 4 6 1 b + 1 c) c 8 4 5 4 4 c 0 4 5 1 4 8 6. Írd fel rövidebben, majd írd át színessel az együtthatókat! a) x + x+ x y y y y b) + + + c) a + a + a + a d) ab + ab + ab + ab +ab e) c+ 5c+ 4b 1c+ b 7. Vizsgáld a kifejezések alábbi halmazát! x x x 4x 5 ( ) x x x x + + + 5 5 5 5 x + 5x 7x 4x ( x ) 5 x ( x 5) x + x + x a) Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy egytagúak vagy többtagúak! b) Csoportosítsd a kifejezéseket aszerint, hogy hatványról, szorzatról vagy összegről van szó! c) Keress a kifejezések között azonosan egyenlőket! d) Keress összefüggést az a) és a b) feladatok megoldásai között!

10 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 8. Az egynemű kifejezések összevonásával hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7x 8+ x+ x x+ 88 b) a 5b+ 9 b+ 9b b+ a+ 4a 1 5a c) 1 c c + 1 c + 0,8c 5

081. MODUL ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok Készítette: Orosházi Katalin

1 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 1. FELADATLAP TUDNIVALÓ Azonosságnak nevezzük az olyan egyenleteket, amelyekben a betűk helyére az alaphalmaz bármely elemét is helyettesítjük, az egyenlőség igaz marad. 1. Rakjatok ki minél több azonosságot a lapokon található algebrai kifejezésekből! Írjátok le a kirakott azonosságokat a füzetetekbe!. Fejtsd meg a szereposztást! A főszereplő én vagyok, mindent megalapozok. Kicsi vagyok, sokat mondok, a tényezők számára utalok. Ha ő ő meg 5 Az értékem 5. a) Írd fel a szorzatokat hatványalakban, a hatványokat szorzatalakban, és számítsd ki a hatványértékeket is, majd olvasd össze a betűket a hozzájuk rendelt számok növekvő sorrendjében! Y O ( ) 4 V H ( 10) K 5 5 5 5 Á ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) T 0 0 0 1 1 1 A N 5 006 0 A szó:

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 1 b) Írd fel a következő számokat csökkenő sorban! Írd alájuk a hatvány alakjukat! (Segítségül használhatod a hatványtáblázatot)! 1 4 ; 49; 1; 1 7 ; 4; 1 49 ; 7 4. a) Számítsd ki a hatványok értékét! Írd fel az eredményt hatvány alakban is! 4 5 5 4 5 4 0 4 4 8 10 7 7 7 7 8 5 57 7 4 7 b) Oldd meg a nyitott mondatokat! 5 a 7 8 5 5 5 b 4 c 4 4 8 4 10 EMLÉKEZZ Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot az osztandó (számláló), és az osztó (nevező) kitevőjének különbségére emeljük. Például: 4 + 5 ; 5 n 5 m 5 n+m ; a n a m a n+m 5 és 5 54 5 1 ; 4 m m n 4 a 4m n ; n a am n 5. Hatvány hatványozása Számítsd ki a hatványok értékét! Van-e számítást könnyítő megfigyelésed? ( 10 ) 4 ( ) ( 5 ) (( 1) 5 ) 1 4

14 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET TUDNIVALÓ Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Például: ( ) 6 ; (4 m ) n 4 m n ; (a m ) n a m n 6. Jelöld a táblázat soraiban, hogy melyik állítás igaz! 1 a b a > b a < b a b 1 ( ) ( ) 4 4 5 5 5 5 5 7 ( ) ( ) ( ) 9 4 ( ) 6 ( ) ( 4) ( 4) 5 7 4 5 ( 4) 6 ( 4) 7 Figyeld meg alaposan az egyes példákat, és ha valami számodra meglepőt tapasztalsz, fogalmazd meg, és oszd meg a többiekkel is a megfigyelésedet!

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 15. FELADATLAP 1. Számítsd ki minél gyorsabban, ügyesebben a következő hatvány értékét! 4 16 8 4 006. Tanulmányozzátok azonos kitevőjű hatványok szorzását és osztását! Figyeljétek meg, van-e itt is valamilyen érdekesség, amit a számolás gyorsítására használhatnánk? Írd fel hatványalakban, majd számítsd is ki a következő szorzatok értékét! Használd a hatványtáblázatot! 5 7 10 5 5 7 4 10 5 0 5 5 8 60 8 1 9 1000 9 15 65 65 15 15 Általánosíthatók-e a megfigyeléseid? 7 7 x y 7 x 7 y ÖSSZEGZÉS Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. Például: 5 4 (5 4) 0 ; m m ( ) m ; a m b m (a b) m 7 10 7 5 7 10 5 7 ; n 100 n 5 100 5 n 4 n ; a b m m m a b

16 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. Számítsd ki a hatványértékeket! Használd a hatványtáblázatokat! Megfigyelhető-e számolást gyorsító összefüggés? ( 9) 4 (5 8) 5 ( 7) 6 7 7 6 5 4 5 9 Általánosíthatók-e megfigyeléseid? (x y) 5 5 x y TUDNIVALÓ Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk. Hányadost úgy is hatványozhatunk, hogy az osztandót és az osztót külön-külön hatványozzuk. Például: ( 5) 4 4 5 4 ; (5 7) p 5 p 7 p ; (a b) p a p b p x x y y 4 4 a a ; 5 ; 5 7 x y 7 b b 4. a) Számítsd ki a műveletek eredményét a legcélszerűbb módon, majd állítsd növekvő sorrendbe, és ebben a sorrendben írd le a nekik megfelelő betűket is! Egy ismert fogalomhoz jutsz, ha jól dolgoztál. A 0,5 5 4 7 Á 0,6 5 910 A 5 5 8 M R 7 100 9 8 7 5 4 ( ) 7 5 0 7 14 8 5 15 L 5 4 4 5 006

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 17 K ( ) 5 4 50 L 70 N (( 1) ) O (( 1) 7 ) A növekvő sor: A szó: b) Fejezd ki a lehető legegyszerűbb alakban a következő kifejezéseket! Van-e köztük egyenlő? 6 15 x y x 5 y x 4 y 7 10 9 x y x y ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( x ) y 6 x x y y 14 4 5 x 7 y x 0. FELADATLAP 1. a) Add meg az eredményeket hatványalakban is! Használd a táblázatokat! 5 1 5 5 10 7 4 ( ) 5 ( 59 ) 6 7 4 5 5 5 4,5 4 5 4 15

18 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET b) Párosítsd az alábbi azonosságokat a feliratokkal! Azonos alapú hatványok szorzása: Azonos alapú hatványok osztása: Hatvány hatványozása: Azonos kitevőjű hatványok szorzata: Azonos kitevőjű hatványok hányadosa: Szorzat hatványozása: Hányados hatványozása: a n a m a n+m n a n-m ; m a, a nem 0; (a n ) m a n m ; a n b n (a b) n ; a n n m a a n, b nem 0; (a b) m a m b m m a a ; m b b b b. ÖSSZEGZÉS Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. Azonos kitevőjű hatványokat úgy is eloszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. Szorzat hatványozását úgy is elvégezhetjük, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk. Hányados hatványozását úgy is elvégezhetjük, hogy az osztandót és az osztót külön-külön hatványozzuk. Vigyázat! Hatványok összegére és különbségére nincsenek olyan azonosságok, mint a szorzásukra és az osztásukra! 4. FELADATLAP EMLÉKEZZ Csak egynemű algebrai kifejezések vonhatók össze. Két algebrai kifejezés egynemű, ha legfeljebb együtthatóikban különböznek. A műveletek helyes sorrendje: hatványozás, szorzás-osztás, összeadás-kivonás. Ezt csak a zárójel módosíthatja, amely elsőbbségadás kötelező táblaként működik. 1. Számítsátok ki az algebrai kifejezések helyettesítési értékét a megadott számok esetén! Gondolkozzatok! Hogyan könnyíthetnétek meg a munkát? a a + a a+ 5a 5 a a) ( ) a 1 1 1 a a 8

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 19 b) b b: b 5b ( b ) + + + b1 0 b 1 b. Állapítsd meg: a) Melyik a legnagyobb? 10 7 mm; 10 5 dm; 10 9 cm; 10 m; 10 - km; 10 8 dm b) Melyik a legkisebb? 4,5 10 5 g; 4,5 10 - t; 4,5 10 kg; 4,5 10 1 q 4,5 10 9 mg; 4,5 10 6 dkg 5. FELADATLAP 1. Ismételd át a négy alapműveletben szereplő mennyiségek nevét és a köztük lévő összefüggéseket! 5 + 8 1 a + b c 5 7 18 d e f 9 6 54 g h i 160 : 40 4 j : k l a) Kösd össze a betűket a nekik megfelelő kifejezésekkel! a b c d e f g h i j k l összeadandó kisebbítendő kivonandó szorzó tényező szorzat különbség összeg osztandó hányados osztó b) Fejezd ki a többi betűvel: a b d e g h

0 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET FELADATGYŰJTEMÉNY 1. a) Írd fel az eredményt hatványalakban! 11 11 5 4 5 7 7 a b 4 a 5 0 4 a b b 7 15 5 8 8 5 1 1 17 17 14 1 5 5 7 4 16 5 4 a a 8 4 b) Oldd meg a következő nyitott mondatokat! 7 11 a 11 11 10 b 5 5 5 5 11 11 11 c 11 9 d d 49 8 d e 9 5 9

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 1. Melyik több, mennyivel és hányszor? 7 4 7 4 9 5 10 7 7 1 15 1 15 ( ) ( 1) 15 1 15 ( 1) 0 1 0 ( ) 4 ( 4) ( ) 9 7. Oldd meg a nyitott mondatokat a természetes számok halmazán! 5 9 7 4 a b x x ( 5 ) ( 5 ) 6 5 c 65 d 4 19 10 + e 18 f 7 16805 4. Írd fel hatvány alakban! Írd színessel a kitevőt! Állapítsd meg a hatványértéket! Használd a hatványtáblázatokat! a) 7777 b) ( 5) ( 5) ( 5) 5 5 5 c) 7 7 7 7 7 7 7 7 d) 5 5 5 5 5 5 5 e) 7 7 5. Írd fel szorzatalakban! Állapítsd meg a hatványértéket! 5 a) b) ( ) c) ( ) 4 d) e)

MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 6. Számítsd ki! Használhatod a hatványtáblázatokat! a) 5 b) 5 5 5 ( 5) ( ) 5 4 5 ( ) 5 5 5 5 5 5 5 5 7. Számítsd ki a következő hatványértékeket! Ha ügyesen alkalmazod a hatványazonosságokat, akkor a hatványtáblázat segítségével nagyon gyorsan megoldhatod a feladatokat. 9 a) 7 7 4 9 9 10 7 0 5 0 1 4 0 15 b) 7 :7 0 8 17 8 ( 4) 0 15 4 7 4 5 6 5

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Azonosságok 7 c) ( ) 4 ( ) 7 d) (( ) 7 ) 4 (( ) 5 ) 8 8 5 7 7 4 5 7 5 9 5 1 5 0 4 e) 4 6 11 400 5 7 5 9 7 00 7 40 8. Írd fel normálalakban! a) 1500 b) c) 4,75 d) 6 400 000 e) 0,9 f) 0,05 9. Mely számok normálalakját adtuk meg? a) 1, 10 b) 10, 1 c) 4,75 10 d) e) f) 0 6410, 910 1 510, 10. Melyik több? Mennyivel? Hányszor? a) 10, 10, b) 510 4 510

081. MODUL ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Orosházi Katalin

6 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 1. FELADATLAP 1. Fordítsátok a matematika nyelvére, oldjátok meg és ellenőrizzétek a következő feladatokat! Állapítsátok meg, hogy hány megoldás van! a) Egy a egész szám és a 7 összege nem nagyobb, mint 16. Mi lehet ez a szám? b) Egy b racionális számot keresünk, amelynek a háromszorosánál 5-tel kisebb szám a 16. Mi lehet ez a racionális szám? c) Mi lehet az a c természetes szám, amelyből 5-öt kivonva -nál kisebb számhoz jutunk? d) Melyik az a d szám, amelynek a felénél 9-cel kisebb szám egyenlő a d szám 4-szeresével? e) Ha egy e szám 5-szöröséből elveszünk egy az e számnál 1-gyel kisebb számot, akkor az e szám négyszeresénél nagyobb számhoz jutunk. Mi lehet ez a szám? f) Melyik az az f szám, amelynek a -szorosához 5-öt adva, az f számnál 1-gyel kisebb szám -szorosánál -vel nagyobb számhoz jutunk? g) Páros számot választottam, 17-tel megtoldottam, aztán 10-zel elosztottam, végül 4-gyel megszoroztam. Amit kaptam ezután, nem más, mint a nyolcas szám. Melyik számot választottam?. Oldd meg a feladatokat, és ellenőrizd a megoldások helyességét! a) Gondoltam egy számot. Ha a nála 7-tel kisebb szám négyszereséhez -at adok, 15-öt kapok eredményül. Melyik számra gondoltam? b) Melyik az a természetes szám, amelyhez 7-et adva 5-nél kisebb számhoz jutunk? c) A 15 és egy c szám összegének a fele 5,5. Melyik ez a c szám?. FELADATLAP 1. Mindig az első sorból indulunk ki Adj hozzá mindkét oldalhoz -t! Vonj ki mindkét oldalból 0,5-et! Szorozd meg mindkét oldalt -mal! Oszd el mindkét oldalt -vel! Szorozd meg mindkét oldalt ( )-mal! Oszd el mindkét oldalt ( )-vel! 5 < 7 < 7 < 5 5 5 7 7

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Egyenletek, egyenlőtlenségek 7. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 5 a 4 6 b) 4 b + 9 b 6 c) 7 ( c + 5) 8 c d) (d ) d (4 d) e) 9 + (4 e) (e + 1) 5 (e ) (5 e) f) 8 f 4 f + g) (g 1) (1 g) > g 5 (g 1) (1 + g). a) Az egyenletmegoldás sorai összekeveredtek. Számozd be a sorokat a megoldás sorrendjében, és minden sor mellé írd oda, hogy mi történt! Bal oldal: 4 ( 7) (6 + ) (7 ) 0 15 15 50 4 x 8 6x 1 + x 50 x 5 50 4 (x 7) (6 x + ) (7 x) 50 x Jobb oldal: 50 b) Az egyenlőtlenség megoldásának sorai összekeveredtek. Számozd be a sorokat a megoldás sorrendjében, és írd melléjük, hogy mi történt! 4 x + 0 x 15 x 5 4 x 1 8 x + x 15 7 x + 0 15 4 (x ) 8 (x 4) (x 5) 7 x 5 Végezz ellenőrzést az alábbi táblázat segítségével! Ábrázold az egyenlőtlenség megoldását számegyenesen! x bal oldal jobb oldal bal oldal jobb oldal 5 4 6 1 0 1 4 5 6 7

8 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 4. Oldd meg, és ellenőrizd! a) x 7 + 4 + x x + (x + 1) b) 5 (a 4) ( a) (a + ) (a + 1) + 4 c) + 4 (x + 1) 5 (x 1) 1 5. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 8 x 6 + 4 x 10 9 (x + 4) (4 x) b) 4 (b + ) + (b ) ( b) (b + ) + 5 ( b) + 5 b c) 6 (a ) 5 8 (a + 1) + a. FELADATLAP 1. Oldjátok meg a feladatokat más-más kezdőlépés végrehajtása után! Ne feledkezzetek meg az ellenőrzésről sem! a) Az 1. tanuló Az egyenlet kezdőlépése 4 x + x Mindkét oldalt szorzod -mal 1 5 Mindkét oldalt x + x 6 szorzod 6-tal 4 x 7 + ( ) 5 0 x + Mindkét oldalt szorzod 0-cal b) ( ) c) A. tanuló kezdőlépése Mindkét oldalt szorzod 6-tal Mindkét oldalt szorzod 1-vel Mindkét oldalt szorzod 60-nal A. tanuló kezdőlépése Mindkét oldalt szorzod 9-cel Mindkét oldalt szorzod 0-cal Mindkét oldalt szorzod 90-nel x. Oldd meg, és ellenőrizd! Szükség esetén kérj segítséget a csoport szakértőjétől! Az egyenlőtlenség megoldáshalmazát ábrázold számegyenesen! a) 4 7 5 x x b) x 4 1 ( x + ) c) 5 x ( x 1) 7 6 4 1 d) x + < 1 x + 7 7

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Egyenletek, egyenlőtlenségek 9 FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Ha testvéreim számát megszorzom héttel, és az eredményhez ötöt adok, akkor testvéreim számánál 11-gyel nagyobb számhoz jutok. Fejtsd meg, hány testvérem van!. Egy hatodik osztályban 5-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma 5-tel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők nyolcan vannak. Hányan űzik az egyes sportokat?. Egy hatodik osztályban 5-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma kettővel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők öten vannak. Hányan űzik az egyes sportokat? 4. Janka és Panka testvérek, a húsvéti locsolkodásra készültek. Nagyon sok locsolóra számítottak, ezért már pénteken elkezdték a tojásfestést. Janka naponta 1-gyel több tojást tud megfesteni, mint Panka, de még így sem lettek készen a tervezett harminc tojással a három nap alatt. Hány db tojást festhettek meg naponta? Foglald táblázatba a lehetőségeket! 5. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 5 x + x + 7 6 x 9 (x + ) + b) (x 1) + (4 + x) (x + 5) (x ) 6. Oldd meg, és ellenőrizd! a) (a + ) (6 a) 14 (a + 1) b) (b 5) + (b + 5) (b + 4) ( + b) 7. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 9 + (x ) (x + 1) + x 8 b) 5 (y + ) 8 11 (y + 1) 8. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 4 ( a + ) 4 (a 0,5) b) 4 (b ) 4 b (b ) + 1 9. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 4 5 x c) 6 4 y b) 7 x x 1 d) 1 x 1 x+ 1 4 6 4 4

0 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 10. Oldd meg, és ellenőrizd! a 1 b 4 a) b) 5 c) 4 c + 5 d + 4 7 d) 1 5 11. Oldd meg, és ellenőrizd! x 1 x+ 1 x 1 8x x 4 a) b) ( x + 1) 6 5 c) 5 x x+ x + + d) 7 x 6 5 5 1. Mi(k) lehet(nek) a megoldás(ok)? a) x 0 b) ( x) 100 c) ( x) 100 d) 5 x 45 e) (7 x) 7 f) x 1 g) 8 0 h) (x ) (x + 1) 0 x 1. Ha tudod, oldd meg fejben az alábbi egyenleteket, de feltétlenül ellenőrizd a megoldások helyességét! a) p + 1,5 + q 1 4 b) r 07, s 8 5 1 c) t 7 4 u v d) 11, 9 4 7 1 15 z 5 14. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 7x + 0 5 4y + 9 5 v 5 9 z 6 b) 4 1 5 x 5 9 y 7 7 1 5 7 v + 4 8 + z 5 6 9 15. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 7x 4 19 + x 8x 1 x+ 1+ x 1 b) 5x x + 5 x x 5+ x x 1 c) x + 4+ x x+ 7+ x

081. modul: ARITMETIKA ÉS ALGEBRA ISMÉTLÉS Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 16. Oldd meg, és ellenőrizd! a) ( ) 4x 9 x 5x+ b) 8 ( x+ 4) + ( 4 x) x 7 ( 4 x) + ( x+ 4) c) x ( x 4) + ( 7x ) 6 11+ ( 7x 6) ( x 5) d) x ( x ) ( x) ( x ) ( x ) + 5 + 7 8 + 6 17. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 4 7 7 8 1 x + x x 5 6 15 b) x 5 1 1 ( 1) x x x x + + + 6 1 4 1 4 18. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 7a ( a+ 4) + ( 5 a) 7( a 4) ( 4 a) b) ( ) ( ) ( ) 48 + b b b + 7b+ 1 c) ( ) ( ) ( ) 07, c 1, c 09, c 15, 18, 19. Oldd meg, és ellenőrizd! a) 4, ( x ) + 1 9 ( x+ 1) b) 0, ( y + 4) 5 06, ( y) 1 c) ( v 1) + ( 1 v) 0. Oldd meg, és ellenőrizd! a a a 1 a) + 4 4 5 5 1 b) b b b + + b + 5 5 10

081. MODUL BESZORZÁS, KIEMELÉS Beszorzás és kiemelés, algebrai kifejezések szorzattá alakítása Készítette: Benyhe László

4 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET I. Azonosság és egyenlőség; szorzatalak és összegalak 1. FELADATLAP 1. Azonosság-TOTÓ Töltsd ki a TOTÓ-t az alábbiak szerint! 1 A változók (betűk) helyére bármilyen számot írva az egyenlet igaz. Nincs olyan szám, amelynél igaz az egyenlet! X Az előbbiek egyike sem teljesül, azaz van olyan szám (akár több is), amikor az egyenlet igaz, de nem minden számra. Ha nehéznek gondolod, egyszerű számok behelyettesítésével próbálkozz, hogy megkapd a helyes választ! 1. ( a b) a b. x 4 0. 7,7 x 4, 4. 10 ( y z) 10y 10z 5. 6 k + 6 ( k + ) 6. a + b a 6 6 b 7. d c c ( c d) 8. x + 10 9. ( ) ( y 1) y 10. (m m) ( m) 11. y (x + y) (x y) 1. 10 f ( g + ) f 5 ( g + ) 1. +1. ( 5a ) 5a 1 1 1 x x Emlékeztetőül: az olyan egyenletet, amelyekben a változók (a betűk ) helyére bármilyen megengedett számot írva az egyenlőség igaz marad, azonosságnak nevezzük. TUDNIVALÓ Az azonosság jele: Az egyenlőség jele: A nem-egyenlőség jele: (De nem hiba, ha az azonosságot is csak sima jellel jelöljük.) összeg szorzat összeg szorzat 1 6 k + 18 6 ( k + ) vagy k + 6 ( k + 1 ) 6 tagok tényezők tagok tényezők

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 5 Az Algebrai dominójáték Az asztalra helyezett dominókártyákból mindenki vegyen el magának ugyanannyit (pl. mindenki egyet, vagy mindenki kettőt, ahogy a tanár mondja). A tanár indítja el a játékot úgy, hogy kirakja a nála lévő kártyát a tábla közepére. Figyeljetek, és ha valakinél (valamelyik csoportnál) ott van a folytatás, az rakja ki mellé a táblára a sajátját. Az nyer, akinek (amelyik csoportnak) először elfogynak a kártyái. A pontozást a tanár közli. II. Beszorzás: szorzatból csináljunk összeget! Fejszámolás Figyeljük meg, hogyan számoljuk ki a következő szorzatokat! 67 1 67 (10 + ) 67 10 + 67 670 + 01 871 1 87 (10 + ) 87 10 87 + 87 870 + 174 1044 8 19 8 (0 1) 8 0 8 1 560 8 5 81 99 81 (100 1) 81 100 81 1 8100 81 8019 Találjatok ki ti is hasonlókat, kérdezgessétek egymástól!. FELADATLAP 1. A pincér és a három jó barát Három jóbarát beült egy kis étterembe. Rendeltek a pincértől egy-egy sajtos szendvicset 0 Ft-ért és egy-egy narancsos üdítőt 50 Ft-ért. A pincér felvette a rendelést, majd kihozta az italokat és ételeket. A jóbarátok ezeket elfogyasztották, majd fizetni kívántak. Mindannyian kiszámolták, hogy fejenként hány forintot kell fizetniük, és összedobták a pénzt. Hívták a pincért, aki hozta a számlát, majd a jóbarátok fizettek és távoztak. Hogyan számolták össze, hogy mennyi pénzt kell adniuk a pincérnek? Hogyan számolta össze a pincér, hogy mennyit kell fizetniük a jóbarátoknak? (A borravalót ne vegyük számításba!) A jó barátok: (0 Ft + 50 Ft) 470 Ft 1410 Ft A pincér: 0 Ft + 50 Ft 660 Ft + 750 Ft 1410 Ft Tehát: (0 Ft + 50 Ft) 0 Ft + 50 Ft Mivel bármilyen más árak mellett is igaz az okoskodás, képzeljünk a 0 Ft helyett a betűt, mint változót. A 50Ft helyett b betűt, a helyett c betűt. Így azt a már tanult azonosságot olvashatjuk le, hogy összeget (különbséget) úgy szorozhatunk egy kifejezéssel, hogy az összeg (különbség) minden tagját megszorozzuk az adott kifejezéssel. TUDNIVALÓ a ( b+ c) a b+ a c illetve ( a+ b) c a c+ b c a ( b c) a b a c illetve ( a b) c a c b c

6 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. Téglalapok felbontása Írjátok fel a nagy téglalapok területét az oldalak szorzataként, majd a résztéglalapok területeinek összegeként! a) x b) a b c) 1 x 4 d) x x 5 e) 4 y 6 f) 1, y 0,4 7 z g) a b h) a a 5 5 i) x j) y x x

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 7 Általános formulák A következő téglalap területét írjuk fel többféleképpen! a b c d TUDNIVALÓ ( a+ b) ( c+ d) a ( c+ d) + b ( c+ d) ac + ad + bc + bd vagy ( a+ b) ( c+ d) ( a+ b) c+ ( a+ b) d a c+ b c+ a d + b d Összeget összeggel úgy is szorozhatunk, hogy az egyik tényező minden tagját megszorozzuk a másik tényező minden tagjával, és a kapott szorzatokat összeadjuk. Az előbbi két műveletsorban a kezdeti szorzatokat végül összegekké alakítottuk. Ezt szokás beszorzásnak nevezni. III. Egytagú kifejezés szorzattá bontása Az összetett számok és az egytagú algebrai kifejezések Az egytagú algebrai kifejezések sok mindenben hasonlítanak az összetett számokhoz. Például abban, hogy az összetett számokhoz hasonlóan, szét lehet tényezők szorzatára bontani őket. A természetes számoknál tapasztaltakhoz hasonlóan ezeket a tényezőket az eredeti kifejezés osztóinak nevezhetjük. Például: A 1 osztója az 504-nek, mert megtalálható a 4, amivel a 1 4 504 teljesül. Persze így kiderült, hogy a 4 is osztója az 504-nek. Az abc-nek osztója az ab, mert megtalálható a abc, amivel a ( ab ) ( abc) a b c teljesül. Persze így kiderült, hogy az abc is osztója a abc-nek. A 680-nak osztója a 17, mert 17 40 680. A 17 osztópárja a 40. A 6a -nek osztója a a, mert a a 6a. A a osztópárja a a.

8 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. FELADATLAP 1. Bontsd szorzattá minél többféleképpen! Keresd meg az alábbi számoknak, kifejezéseknek minél több osztóját (osztópárját), írd be ezeket a megfelelő négyzetekbe! a) 7 b) 9 c) 64 d) 101 e) b f) x y g) 4x h) 6a b Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár:. Osztója-e? Ha igen, add meg az osztópárját! a) A 60-nak a 4?... b) A a 4-nek?... c) Az 56 a 78-nak?... d) Az 1001-nek a 11?... e) A f) A b a g) A h) A 6a -nek az a?... b -nek?... 6x -nek a 4a b-nek a x?... ab?.... Add meg a hiányzó kifejezést úgy, hogy A B Cigaz legyen! A a 5rd ab cr h B x 4rd ba b h i C ab 6xy 14b d cdrw ho 16ch4 bit

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 9 Egy kifejezés osztóinak keresése az Algebrai osztókártyás játék segítségével A játék menete: A tanári asztalról mindenki húzzon magának ugyanannyi (amennyit a tanár mond) sárga kártyát. Menjen a helyére, és figyelje a táblát. Ezután a tanár felrakja az esetleges megmaradt sárga kártyákat a tábla egyik szélére. Majd a játék indításaképpen felrak egy piros kártyát a hatból a tábla közepére. Az a gyerek, akinél van ehhez tartozó osztó, az menjen ki a táblához, és az osztály felé fordulva mutassa fel a sárga kártyáját. Ha több kártya is van egy gyereknél, mindegyiket vigye magával, de csak a jót mutassa fel! Pluszpontot kaphat az, aki jó kártyát mutat fel, és ezt meg tudja indokolni a következő mondat alapján: Én osztó vagyok, mert engem -val (szükséges egész kifejezéssel) megszorozva megkapjuk a -t (a piros kártyán levő egész kifejezést). Például, ha éppen a 6a -t ábrázoló piros kártya van a táblán, és valaki a a-t tartalmazó kártyát tartja fel a kezében a táblánál állva, akkor a következő mondattal szerezhet újabb pontokat magának: Én osztó vagyok, mert engem a-val megszorozva megkapjuk a 6a -t. Jó játékot, figyeljetek, mert legfeljebb csak 6 forduló lehetséges! IV. A kiemelés: összegből csináljunk szorzatot! Két kifejezés közös osztóinak keresése az Algebrai osztókártyák segítségével A játék menete: A tanári asztalról minden gyerek húz magának ugyanannyi (amennyit a tanár mond) sárga kártyát. Ezután a tanár felrak egyszerre két piros kártyát a táblára, és akinél van ezekhez tartozó közös osztó, az menjen ki a táblához, és az osztály felé fordulva mutassa fel a sárga kártyáját (illetve kártyáit). A pontozást a tanár közli. 4. FELADATLAP 1. Keress az alábbi számpárokhoz, kifejezéspárokhoz közös osztót! a) 4 és 6... b) 56 és 108... c) 10 és 6... d) 4 és 105... e) 81 és 101... f) 41 és 05... g) 4a 4 b 5 és 6a b... h) 4a 4 b 5 és 6a... i) 4a 4 b 5 és b... j) 4a 4 b 5 és 8ab... k) 4a 4 b 5 és a b...

40 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET l) 6a b és 6a... m) 6a b és b... n) 6a b és 8ab... o) 6a b és a b... p) 6a és b... q) 6a és 8ab... r) 6a és a b... s) b és 8ab... t) b és a b... u) 8ab és a b.... Keress az alábbi kifejezésekhez közös szorzótényezőt! a) x és xy... b) 6x és x... c) x és 6... d) 4x és 16x és 8x... e) 4a b 5 és a 4 b... f) 18 és x y és 1x... g) 18a 4 b 5 és 17x y... h) 6c d és 8c d... A kiemelés Szorzatot már tudunk összeggé alakítani beszorzással: Például: a ( a+ b) a + 6ab vagy: 4 (x ) 8x 1 Most alakítsunk összeget szorzattá a következő recept alapján: Keressünk az összegek tagjaihoz közös osztót! Írjuk fel ennek segítségével a tagokat szorzatokként. Ezután a közös osztót emeljük ki, azaz tegyük közös szorzótényezővé, és a megmaradt tényezőket a köztük lévő eredeti műveletekkel együtt tegyük zárójelbe. Például: a + 6ab a a + a b a ( a + b) röviden: a + 6ab a ( a + b) vagy: 8x 1 4 x + 4 4 (x ) röviden: 8x 1 4 (x )

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 41 Az előbbi műveletsort kiemelésnek nevezzük. Kiemeléskor összeget alakítunk szorzattá. A példák alapján is megfigyelhető, hogy a kiemelés a beszorzás fordítottjának is nevezhető. Kiemeléskor figyelj az előjelek és műveleti jelek helyes használatára! Ha bizonytalan vagy a kiemelés helyességében, akkor ellenőrizd le a kapott szorzat beszorzásával, hogy visszakapod-e az eredeti összeget!. Az alábbi összegeket alakítsd szorzattá! Beszorzással ellenőrizz! a) a + 6... b) x 6... c) 1a+ b... d) 5y 0... e) 5y 5... f) 5y 5x... g) 5y 5xy... h) 5y 5y... i) x + 6x... j) a 5a... k) 4x + 1... l) 4x 1... m) x xy... n) 8 6a... o) 6 x 8x... p) 9a b ba... q) xy y... r) ab a b... s) x + 4x... t) 4x + 16x 8x...

4 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 4. Végezd el a lehetséges összevonásokat, majd a kapott összeget kiemeléssel alakítsd szorzattá! a) a a + a... b) 5 b b + b... c) a 4ab+ a ba... d) abc + cba ab 7bac ba... e) y yx + y xy... f) x + xy + x + 4xy... g) + 5y xy+ 6yx 7 5y... h) 4,5x 1,5 xy 10x 4xy... V. A kiemelés gyakorlati alkalmazásai Kiemelés a fejszámolásban A kiemelés segítségével a mindennap szükséges fejszámolásokat tehetjük gyorsabbá, könnyebbé. Figyeljétek meg az alábbi példákat! 7 4 + 7 6 7 (4 + 6) 7 10 70 4 4 4 (4 ) 4 0 4 80 4 + 6 (4 + 6) 40 90 Találjatok ki ti is hasonlókat, kérdezgessétek egymástól! Egyszerűsítés Törtek egyszerűsítésekor a számlálót és a nevezőt is szorzatként írjuk fel, és ha találunk közös osztót, akkor azzal elosztjuk a számlálót és nevezőt is. Ebben segítségünkre lehetnek az oszthatósági szabályok, a prímtényezős felbontás és a legnagyobb közös osztó megkeresése. 4 4 196 ( ) 6 Például: 1080 5 5 ( ) 5 A zárójelnek ebben a példában csak értelmező szerepe van, matematikailag elhagyható. (Természetesen sok gyakorlás után ezek a lépések egy része, vagy akár mindegyike, fejben is elvégezhető! ) Algebrai kifejezéseknél is hasonlóan járunk el: ha szükséges, akkor kiemeléssel közös szorzótényezőt keresünk, és ha találunk, akkor azzal egyszerűsítünk. De: Vigyáznunk kell arra, hogy a nevező nem lehet nulla! x y x y ( y ) y Például:, de x 0, y 0. 1x y x y (6 x) 6x x 8x 4x (8x ) 8x, de x 0 és x. 8x 1x 4x ( x ) x 6a+ b ( a+ b), de a 0 és a + b 0. a + ab a ( a+ b) a

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 4 5. FELADATLAP 1. Egyszerűsítsd a kifejezéseket! Ha tudod, keresd meg, hogy mely értékeket nem vehetnek fel a változók! a) x x b) a + 6 15 c) 6y + y 4y d) x + x e) ( x + ) x + f) 5a 10ab g) 6 ( k ) 4k 84. Többet ésszel, mint erővel! Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha a 1, és b 10. a) b) c) d) e) f) g) h) 4a 6ab a 5a 6ab 16b 8a 8b 4a 5b + b 10b a,4 b + 0 a+ b 6a+ 4b a+ b a+ b a + a + 5 a (1 a )

44 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET Hiányos, magasabb fokú egyenletek megoldása A következőkben olyan egyenleteket fogunk tudni megoldani a kiemelés segítségével, amelyeket eddig nem tudtunk. Például: x + 6x 0 x ( x+ ) 0 Mivel egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így az egyenletnek két megoldása lesz: x 1 0 és x Még egy példa: 4,6x 4, 6x,, x ( x) 0 x 0,x x 1 0 és x. Hiányos, magasabb fokú egyenletek megoldása kiemeléssel Oldd meg a következő egyenleteket! a) b) c) d) e) f) g) h) a a 0 14,4b 7,b 0 c d e f g c d 4 0 e 0 + f + g 0 0 8h 4h 0 Fejszámolásos trükkök Első trükk: Az 5-re végződő számok négyzete Először nézzünk csak kétjegyű, 5-re végződő számokat: Például: 5 65 5 15 75 565 Próbáljátok kitalálni a szabályt! Próbáljátok a szabályt bebizonyítani, és alkalmazni háromjegyű, 5-re végződő számokra is! Második trükk: Egy adott szám szomszédainak szorzata Figyeljétek meg a következő számpárok szorzatának kiszámolását! 41 9 40 1 1600 1 1599 59 61 60 1 600 1 599 18 0 400 4 96 4 7 40 1600 9 1591 Próbáljátok kitalálni a szabályt! Fogalmazzátok meg írásban! Próbáljátok a szabályt bebizonyítani, és alkalmazni más számpárokra is!

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 45 VI. Rendszerező gyakorlás A Puzzle-játék A játék menete: Alakítsatok legfeljebb 6 csoportot! Minden csoport ugyanolyan, 15 darabos (sárga) téglalapocskákból álló Mozaik-készletet kap. Majd minden csapat kap egy színes téglalapokból álló lapot. (Ezt nem szabad felvágni, és nem szabad rá írni semmit!) Végül kaptok egy Megoldólapot, ami alapján kell majd dolgoznotok. A tanár jelzésére elindul a játék. Ki kell rakni a mozaiklapok segítségével a téglalapokat. Ha egyet kiraktatok, fel kell írni a téglalap területét kétféleképpen is a Megoldólapra. Cél: minél gyorsabban hibátlanul kirakni az összes téglalapot, ami a lapotokon van. Ismétlő kérdések Hogyan írtátok fel a Megoldólap táblázatának bal oszlopainak elemeit? Hogyan írtátok fel a Megoldólap táblázatának jobb oszlopainak elemeit? A bal és a jobb oszlop azonos sorának elemei között egyenlőség van? A táblázat sorai mind-mind azonosságok? Mit is nevezünk azonosságnak? Hogyan nevezzük ezen azonosságoknak azt az alakját, ami a baloldali oszlopban van? Hogyan nevezzük ezen azonosságoknak azt az alakját, ami a baloldali oszlopban van? Milyen művelettel kapható meg egy baloldali elemből a mellette levő jobboldali? Milyen művelettel kapható meg egy jobboldali elemből a mellette levő baloldali? Beszorzással milyen alakú kifejezésből milyen alakút kapunk? Kiemeléssel milyen alakú kifejezésből milyen alakút kapunk? TUDNIVALÓ Beszorzással egy szorzat alakú kifejezést alakíthatunk összeg alakúvá. Kiemeléssel pedig ezt az összeg alakú kifejezést visszaalakíthatjuk szorzat alakúvá. Ezt úgy mondjuk, hogy a Beszorzás és a Kiemelés egymás fordított műveletei. Figyeljétek meg! A vörös négyzet kirakásával bebizonyítható a következő azonosság: ( a+ b) a + ab+ b Keressetek hasonlóan felírható négyzeteket! Rendszerező ismétlés az Algebrai dominójáték segítségével Ezzel a játékkal már foglalkoztunk. A játék lényege ugyanaz, de most minden diáknak, aki a táblához kimegy, meg kell mondania, hogy a táblán levő kártyából a kezében tartott kártya milyen művelettel (beszorzás; kiemelés; négyzetre emelés; összeadás; szorzás átzárójelezhetősége; szorzás felcserélhetősége; stb.) kapható meg? Valamint azt is meg kell tudni mondania, hogy milyen matematikai kapcsolat van a két kártya között: egyenlőség vagy azonosság? Ugyanabból a csapatból csak akkor mehet valaki ki újra, ha már mindenki volt a táblánál! Nézzünk egy példát a jó indoklásra: A táblán levő Algebrai Dominó kártyán levő 6k + 18 kifejezéshez illik a kezemben tartott 6 (k + ) kifejezést tartalmazó kártya, mert a 6k + 18 kifejezésből kiemeléssel megkapjuk a 6 (k + )-t. Ezek a kifejezések között azonosság van, mert k helyére bármilyen számot beírva az egyenlőség igaz marad. Ugye, milyen egyszerű? Élvezetes játékot! A pontozást a tanár közli.

46 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET FELADATGYŰJTEMÉNY I. Azonosság és egyenlőség; szorzatalak és összegalak 1. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti négyzetek fölé sorrendbe írd be a betűket!. Oldd meg az egyenleteket! Válaszd ki közülük az azonosságokat! a) ( a + ) + 1 a + 7 b) b ( 8 + b) 8 c) c ( 4 c) d) ( d + ) 10 d e) e e 5e + 6 f) 1 (14 f ) 7 f g) 5 ( g 1) + h) h + 1, ( h,4), 6. Add meg az egyenlőtlenségek igazsághalmazát a racionális számok halmazán! Válaszd ki közülük az azonos egyenlőtlenségeket! a) ( x ) + ( x 5) x + b) ( y 5) > ( y 5) c) z 6 ( z + 7) < 8 d) (x + 5) < ( x 7) e) y + 1 > 5 f) I. a b A x (x 1) II. 6 k + 18 A ( a b) III. ( 5a) B 5a IV. y E ( ) ( y + 1) V. 100 ( y z) G 10y 10z VI. 5y 5xy L 5y (1 5x) VII. 4x x R 6 ( k + ) z + z 6 4 4 I. II. III. IV. V. VI. VII.

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 47 II. Beszorzás: szorzatból csináljunk összeget! 1. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra! 8 7... 5 6... 7 1... 9 11... 9 9... 15 7... 199 6... 68 5... 741.... Töltsd ki a szorzótáblák üres mezőit! a) a+ b a b 1 a a b) a+ b a b ab a a. Írd fel a téglalap területét többféleképpen! a b c x y Számítsd ki a téglalap területét, ha: 1 7 a cm b cm 6 c 1, 5 cm x cm 4 y cm

48 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 4. Írd fel a szorzatokat összegalakban, majd az egynemű kifejezéseket vond össze! a) ( x ) (1 x) b) ( 5a + b) (b ) c) ( a + b) ( a + b) d) ( a + b) ( a b) e) ( a b) ( a b) f) g) h) i) j) k) l) m) (x y) + ( a b) (a + ) (a ) ( a ) ( a ) + ( 4x 5 y) + ( 0,5a b) + 5 n) a b 7 o) ( y ) ( y + ) p) (x y) (x+ x) q) (0,5a b) (0,5a b) + r) 5 5 a b a+ b 7 7 m a m b 5. Egy téglalap alakú vár oldalainak hossza a, illetve b méter. A vár köré méter széles vizesárkot ástak. a) Fejezd ki a vízfelszín területét a-val és b-vel! Mekkora a vízfelszín területe, ha a 75 m és b 50 m? b) Hány liter vízre van szükség a vizesárok feltöltéséhez, ha az átlagos mélysége méter?

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 49 6. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti négyzetek fölé sorrendbe írd be a betűket! I. ( x y) Á y x II. ( ) ( x y) B x xy III. y ( x ) E x IV. y ( x 1) O x xy V. x( x y) R xy y VI. ( x 1) S x y VII. ( ) ( y x ) S x y VIII. (1 x) Z xy y IX. x( y) Z x 7. Oldd meg az egyenleteket! I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. a) x (4 x) + x + 7 b) ( x + 5)( x ) x 9 c) ( x + )( x ) x 9 d) ( x + 4)(x 1) x(7 + x) 7 e) ( 5 + x )(5 x) + 58 f) ( x )(4 + x) 0 g) x ( x 5)(7 + x) 0 h) ( x )( x + 1) 9 x 8. Add meg az arany téglalap területét többféleképpen! a x y a b x y b 9. Fejezd ki a hatszög (halványkék, megcsonkított négyzet) területét! Mekkora a terület mérőszáma, ha a 6, és b, hosszúságegység?

50 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET 10. Fejezd ki a pávakék kereszt területét! Mekkora a terület mérőszáma, ha x 7 és y 1,5 hosszúságegység? x a x b a y b y 11. Fejezd ki a kis barackszínű négyzet területét! Mekkora a terület mérőszáma, ha a 6,8 és b,7 hosszúságegység? III. Egytagú kifejezés szorzattá bontása 1. Bontsd szorzattá minél többféleképpen! Keresd meg az alábbi számoknak, kifejezéseknek minél több osztóját (osztópárját), írd be ezeket a megfelelő négyzetekbe! i) 167 j) 168 k) 169 l) 170 m) xy n) 6a o) 5x p) 5x q) 7xy r) abc Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár: Osztó: Osztópár:

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 51. Osztója-e? Ha igen, add meg az osztópárját! a) A 4-nek a 7? b) A 15 a 645-nek? c) A 99-nek a 7? d) A 8 a 78-nak? e) A y a f) A g) A 7 a h) A i) A j) A 6a -nek a xy a xy a k) A y a l) A m) A n) A 4x y -nek? b? 7y -nek? xy -nek a 4 5 x y -nek? 4 6x y -nek? xy? 7y -nek? 6a -nek a 4a? x -nek az x? 16a b -nek a a b?. Írd fel az algebra nyelvén: Az A szám -mal osztva 1-et ad maradékul: A B szám 1-vel osztva 7-et ad maradékul: A C szám páros: A D szám páratlan: 4. Gondoltam két számra, az egyik 1-mal osztva 1-t, a másik 1-mal osztva 5 maradékot ad. Írd fel az algebra nyelvén a két számot, összegüket, különbségüket, és szorzatukat is, majd olvasd le, hogy ezek mennyi maradékot adnak 1-mal osztva. 5. Az a szám 1-vel osztva 5-öt ad maradékul. Milyen maradékot ad a b szám 1-vel osztva, ha tudjuk, hogy a) a+ b 1-es maradéka nulla? b) a+ b 1-es maradéka 4? c) ab 1-es maradéka 5? d) ab 1-es maradéka 10?

5 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET IV. A kiemelés: összegből csináljunk szorzatot! 1. Párosítsd össze az azonosakat! A lenti keretekbe írd be a betűket sorrendben! I. x y E x (1 y+ x) II. 8a + ab E ab (4 + a ) III. 8a + a b É a (4 a + b) IV. 8ab + a b I x y (5y x) V. 8a + b K (1 x) VI. x 6xy + x L a (4 + b) VII. 5x y x y M (4 a + b ) VIII. x S ( x y) I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.. Az összegalakú kifejezéseket alakítsd át szorzatalakúvá! Beszorzással ellenőrizz! a) 15x 5x b) xay + yxb c) d) e) f) a a 4 5 7x + x 5ab 10 ab 1 x x. Az összegalakú kifejezéseket alakítsd át szorzat alakúvá! a) ( x+ ) + x ( x+ ) b) 4( x) x ( x) c) x ( x ) ( x ) d) x (1 + x) 5 (1 + x) e) x+ 6 x ( x+ ) f) 5( ) x + x x g) 5x 15+ x x h) 6y + 9xy + 4+ 6x i) x y xy + + x + 6 j) x y xy + x + + 5 15

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 5 4. Alakítsd az összegeket szorzatokká, a szorzatokat összegekké! a) b a a b) ab c a b+ b c c) x + (1 x) d) e) f) g) ( x 1) ( x 1) + ( x + 1) ( x 1) 5 10 x y+ x xy h) 5x 10y+ 4x 8y V. A kiemelés gyakorlati alkalmazásai 1. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra! a) 7 5 + 7 5... b) 4 + 4 1+ 4 46... c) 48 67 67 68 + 40 67... d) 4 7 7 160 + 6 7... e) 11 7 7 98 14 7... f) 78 5 + 47 5 + 75 5.... Először keresd meg, hogy mely értékeket nem vehetnek fel a változók, majd egyszerűsítsd a kifejezéseket! a) b) x + 4 6x x + xy 5(1 + ) y 5x + 10xy c) x d) x + 18 xy 5( x + 9 y) e) 7( x+ x ) x +

54 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. Többet ésszel, mint erővel! Számold ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha a 1, és b 10. a) a + ab a b) 6b 15 c) ( a + ) b 4a + 8b d) 9a+ 6+ 1ab ab e) a b a b f) a b a b g) a b b a h) a b b a 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) ( x 5) 0 b) x ( x+ 7) 0 c) 7 x x 0 8 4 d) x 5x 0 e) x x 0 f) ( x ) ( x+ 7) 0 g) h) i) x ( x+ )( x 5,) x 0 x + x+ 1+ 4x 0 5x 15+ x x 0 5. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra! a) 15 15... b) 5 5... c) 5 5... d) 45 45... e) 55 55... f) 65 65... g) 75 75... h) 85 85...

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 55 i) 95 95... j) 105 105... k) 15 15... l) 195 195... m) 495 495... n) 5 5... 6. Fejben számold ki a következő szorzatokat! A gondolatmenetedet írd a pontozott vonalra! a) 9 41... b) 5 48... c) 7 67... d) 10 98... e) 01 199... f) 6 57... g) 81 79... h) 7 68... VI. Rendszerező gyakorlás 1. Készíts téglalapos rajzot az órán tanultak alapján a szorzatokhoz! Bontsd fel a szorzatokat, és a rajz segítségével igazold az azonosságot! a) a (b + ) b) ( a+ 4) b c) 4( b + ) d) ( a+ b) e) ( a+ b) b f) ( a + 1) ( b + ) g) ( a+ ) ( b+ ) h) ( a+ 4) ( a+ ) i) ( a+ ) ( a+ ) j) ( b+ ) ( b+ ) k) ( a+ + b) l) ( a+ b+ 4) ( a+ ) m) ( + b) ( a+ + b)

56 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET. Fejezd ki a besatírozott téglalap területét szorzatalakkal és összegalakkal is! a) b) y y x x c) d) x x x x. Legyen a 5 és b hosszúságegység! Készíts minden feladathoz a és b oldalakkal téglalapot (röviden a b téglalapot), és satírozd be megadott részt. Bontsd fel a szorzatot, és a rajz segítségével igazold az azonosságot! a) ( a 1) b b) a ( b ) c) ( a 1) ( b 1) d) ( a 1) ( b ) e) ( a ) ( b )

081. modul: BESZORZÁS, KIEMELÉS Algebrai kifejezések szorzattá alakítása 57 4. Algebrai úton a zárójelek felbontásával, és geometriai úton téglalapok segítségével is igazold az alábbi azonosságokat! a) ( a+ b) a + ab+ b b) c) d) e) f) g) h) i) ( a+ 1) a + a+ 1 ( + b) 9 + 6b+ b ( a+ b) a + 4ab+ 4b (a+ ) 9a + 1a+ 4 (a+ b) 4a + 1ab+ 9b ( a 1) a a+ 1 ( a b) a ab+ b ( b ) b 6a+ 9

081. MODUL SZÖVEGES FELADATOK Szöveges feladatok I. Készítette: Mendelovics Zsuzsa

60 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET Százalékszámítás 1. FELADATLAP 1. Keressetek egyenlő kifejezéseket, majd az egyenlőség jelével összekötve írjátok le egymás mellé! a a 0,4a 0,1a az a szám 40%-a 10 5 a 10 a 1 az a szám 10%-a 5 100 10 a a 65 az a szám 75%-a 1,a az a szám 10%-a a 0,75a 4 10 100 a 75 100 a. a) Mennyi 0-nak a 18%-a? b) A 150 hány százaléka a 0-nak? c) Melyik számnak a 4%-a 860? d) Hány százaléka a 50-nek a 180? e) Melyik az a szám, amelyik az 150-nek a 1%-a? f) Melyik az a szám, amelynek 55%-a a 70? g) Hány százaléka 0-nak a 76?. a) Lajosék lakást szeretnének vásárolni. Sok lakást megnéztek már, de egyik sem volt megfelelő. Tegnap végre megtalálták azt a lakást, amelyik a család minden tagjának megnyerte a tetszését. Amikor a foglaló kifizetésére került a sor, a felnőttek vitatkozni kezdtek. (Foglaló: ha valaki nem tudja a megvételkor kifizetni a lakás teljes árát, foglalót helyez el az ügyvédjénél. A foglaló értékét a szokásjog szabályozza.) Az eladó szerint a foglaló a lakás értékének az 5 1 -öd része, Lajos papa úgy tudja, hogy a 0%-a, Lajos 0 mama másoktól azt hallotta, hogy a -ad része. Lajos Józsi (14 éves) zárta le a vitát. 100 Írjátok le, hogy szerintetek mit mondhatott Józsi! b) Pisti anyukája kg cseresznyét vitt haza. Pisti nagyon szereti a cseresznyét, megette a -öd részét. Vera, a testvére a 40%-át. Ki evett kevesebbet? 5 A cseresznye hányad része fogyott el? A cseresznye hány százaléka maradt meg?

081. modul: SZÖVEGES FELADATOK I. 61 c) Kelemenék hitelre vásároltak autót. Ilyenkor előleget kell fizetni. Melyik esetben nagyobb az előleg, ha megegyezik az autó árának -öd részével; 5 60%-ával; 6 -ed részével; 10 60 -ad részével; 100 0,6-szeresével? EMLÉKEZTETŐ A százalékszámítás speciális törtrész számítás. A százalékszámításban szereplő mennyiségek: a százalékalap, a százalékérték és a százalékláb. A százalékalap a számításban szereplő egész mennyiség: 100%, ennek a számításban szereplő törtrészét nevezzük százalékértéknek. A százalékláb a századrészek számát adja meg, ha a százalékérték és az alap arányát századokban számítjuk. Például: valaminek a 40%-a ugyanazt jelenti, mint a 5 -öd része. 4. Mindegyik feladatban húzzátok alá a 100%-ot (az egész részt) Mennyi a 150-nek a %-a? A 15 hány százaléka a 90-nek? Hány százaléka a 0 a 10-nak? Melyik számnak a 16%-a a 800? Mennyi a 0-nak a 4%-a? Melyik számnak a 1%-a a 480? Hány százalékos volt az árleszállítás, ha a negyed kiló kávét 480 Ft helyett 0 Ft-ért vásároltuk? A szabásminta szerint egy szoknyára, méter anyagot kéne vásárolni. Felhajtásra, összevarrásra, beszegésre még 6%-ot számolnak. Hány méter szövetet kell vásárolni? Az egyik autó benzintankja 45 literes. Hány liter benzin fogyott el az úton, ha a mutató szerint 0%-nyi benzin van a tankban? Az utolsó három feladatot oldjátok is meg! 5. A négygyerekes Katona család a tél végi árleszállításkor kabátot és nadrágot vásárol a gyerekeknek. A kabátok árát 0%-kal, a nadrágokét 40%-kal csökkentették. Így egy nadrágért 500 Ft-ot, egy kabátért 6600 Ft-ot fizettek. Hány forintot takarítottak meg? 6. A Fő utcában lévő egyik üzletben fürdőruhákat árulnak. Az üzletet felszámolják, ezért van olyan fürdőruha, amit 0%-kal és van olyan, amit 40%-kal olcsóbban lehet megvásárolni. Hat lánytestvér fürdőruhát vásárol magának. Az utóbbi ára 40Ft, az előbbié 60Ft volt. Melyikből hányat vettek, ha a végén 640Ft-ot fizettek. Mennyit takarított meg a család?