Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010. június összeállította: Nagy András

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály 1) A táblázat egy-egy sora egy-egy háromszög adatait tartalmazza a szokásos jelölésekkel (az oldalak mértéke cm). Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b c α β γ a) 14 16 57 b) 11 31 15 73 c) 13,4 11,7 79 d) 5 6 3 e) 9 98 50 ) Egy háromszög leghosszabb oldala 13 cm és a vele szemközti szög 83 -os. A háromszög legkisebb szöge 6 -os. Határozd meg a háromszög hiányzó oldalainak hosszát! 3) Egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 70 -os, a vele szemközti oldal 3,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 10 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 4) Egy háromszög egyik szöge 50 -os, a vele szemközti oldal 3,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 7 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 5) Egy háromszögben a = 55 mm, b = 7 cm és α = 5 30. Mekkorák az ismeretlen szögek és a harmadik oldal? 6) Egy háromszög kerülete 0 cm, szögei 40, 60 és 80. Mekkorák az oldalai? 7) Egy háromszög két oldalának összege 15 cm és e két oldallal szemközti szögek nagysága 49 és 73. Mekkorák a háromszög oldalai? 8) Adott a háromszögben a = 3 m, b = 6 m és α = 30. Határozd meg a háromszög ismeretlen oldalait és szögeit! 9) Szabályos ötszög átlója 8,5 cm. Mekkorák az ötszög oldalai? 10) Egy paralelogramma egyik oldala 13 cm, átlója 0 cm és egyik belső szöge 53. Mekkora a paralelogramma területe? 11) Egy trapéz hosszabbik alapja 1,48 cm, az egyik szára 7,7 cm. Az ismert szár és a hosszabb alap szöge 43. Az alapon fekvő másik szög 65. Mekkorák a trapéz ismeretlen szögei és oldalai? 1) Határozd meg annak az általános négyszögnek az oldalait, melynek BD átlója 0 cm hosszú. Ez az átló a β szöget egy 55 -os és egy 31 -os részre, a δ szöget pedig egy 43 -os

és egy 6 -os részre bontja úgy, hogy az 55 -os és a 43 -os szög az átló azonos oldalán van. 13) Egy torony magasságát kell meghatározni. A torony aljától kiinduló egyenesen, egymástól 50 m távolságra kijelöltünk két pontot. A közelebbi pontból a torony csúcsa 84 -ban látszik, a távolabbi pontból 51 -ban. Milyen magas a torony? 14) A táblázat egy-egy sora egy-egy háromszög adatait tartalmazza a szokásos jelölésekkel (az oldalak mértéke cm). Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b c α β γ a),4 5 4, b) 10 11 67 c) 1 0 9 d) 15 11 111 e) 1 1 60 15) Egy háromszög két oldalának hossza 15 cm és 0 cm, az általuk bezárt szög 4 15. Mekkora a háromszög harmadik oldala? 16) Egy háromszögben az oldalak hossza 10 dm, 4 dm és 5 dm. Mekkorák a háromszög szögei? 17) Egy háromszögben a = 30 cm, b = 4 dm és c = 500 mm. Mekkorák a háromszög szögei? 18) Egy háromszög oldalai 5 cm, 6 cm és 5 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 19) Egy háromszög oldalainak hossza 1000 mm, 000 mm és 3000 mm. Mekkorák a háromszög szögei? 0) Egy háromszögben a:b = 3:4, γ = 78, c = 1 cm. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai? 1) Egy háromszög területe 37 cm. Két oldala 10 cm és 145 mm. Mekkora a háromszög harmadik oldala? ) Egy paralelogramma oldalainak hossza 0 m, 41 m és az egyik átló 37 m hosszú. Milyen hosszú a másik átló? 3) Egy paralelogramma oldalai 10 cm és 1 cm, az egyik szöge 11. Mekkora a rövidebb átlója? 3

4) Egy konvex négyszög oldalainak hossza rendre 5 cm, 55 mm, 8 cm és 0,7 dm, a 8 cm-es és az 55 mm-es oldal szöge 7. Mekkorák a négyszög ismeretlen szögei? 5) Egy szabályos hatszög oldalának hossza 8 cm. Határozd meg az átlóinak hosszát! 6) Egy háromszög két oldala 9 cm és 1 cm, közbezárt szögük 71. Milyen hosszú a 9 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal? 7) Egy repülőtérről két repülőgép száll fel azonos időpontban. Az egyik kelet felé repül km km 750 sebességgel, míg a másik délnyugati irányba repül 680 sebességgel. Milyen h h távol lesznek egymástól 45 perc múlva? 8) Milyen hosszúak az óra mutatói, ha végpontjaik 1 órakor 3,3 cm-re, 9 órakor 7, cm-re vannak egymástól? 9) Egy háromszög két oldala a és b, az általuk bezárt szög γ. Határozd meg a háromszög harmadik oldalának hosszát és a másik két szög nagyságát, ha: a) a = 10 cm, b = 15 cm, γ = 60 ; b) a = 5 cm, b = 8 cm, γ = 135. 30) Az ABC háromszögben a = 6 cm, b = 1 cm és γ = 96,38. Az A B C háromszögben b = 18 cm, c = 1 cm és β = 58,41. Hasonló-e illetve egybevágó-e a két háromszög? 31) Egy háromszög egyik oldala 15 cm, a másik két oldal különbsége cm. A 15 cm-es oldallal szemben lévő szög 139. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 3) Egy háromszögben az egyik oldal hossza 8,4 cm és az oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 68 mm. Az oldal és a súlyvonal szöge 58. Mekkorák a háromszög szögei? 33) Egy trapéz két párhuzamos oldala 48,36 cm és 13,41 cm. Az egyik szár 57,8 cm. Ennek a nagyobbik alappal bezárt szöge 68,3. Határozd meg a trapéz negyedik oldalát és a trapéz ismeretlen szögeit! 34) Egy trapéz keresztmetszetű töltés alul + 5 m, felül m széles, oldalainak hossza m és 3 m. Mekkora a két oldal emelkedési szöge? 35) Egy domb tetején álló kilátó magasságát keressük. A kilátó tövétől induló lejtős úton lefelé haladva 30 métert, a kilátó 44,47 -os szögben látszik. További 50 métert haladva a kilátó 55 alatt látszik. Milyen magas a torony? 36) A pisai ferdetorony csúcsa a torony hajlásának irányában az aljától 0 méterre 73,99 -os emelkedési szögben látszik, az ellenkező irányba 11 métert haladva pedig 75,13 -os szögben látszik. Milyen magasan volt eredetileg a torony csúcsa a talajtól? 4

Megoldások 1) Alkalmazzuk a szinusztételt. A megoldás során vegyük figyelembe: egy háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van és viszont; a háromszög belső szögösszege 180 ; háromszög-egyenlőtlenség tétele. a b c α β γ a) 14 16 18,49 47,1 57 75,79 b) 5,89 10,85 11 31 15 73 75,75 c) 13,4 11,7 sin α >1 79 d) 5 6 c 1 = 9,94 β 3 1 = 7,96 γ 1 = 19,04 c = 1,11 β 1 = 15,04 γ = 4,96 e) 9 16,8 13,01 3 98 50 ) Készítsünk vázlatrajzot és alkalmazzuk az ábra jelöléseit! sin 6 b = b 5,74 cm. sin83 13 γ = 180 (83 + 6 ) = 71. sin 71 c = c 1,38 cm. sin83 13 A háromszög hiányzó oldalainak hossza 5,74 cm és 1,38 cm. 3) A vázlatrajz alapján: sin β 10 = β 3,57. (β 156,43, mert b < a β < α = 70 ). sin 70 3,5 γ 180 (3,57 + 70 ) = 86,43. 5

sin86,43 c c 4,96 cm. sin 70 3,5 A háromszög ismeretlen oldala 4,96 cm, szögei 86,43 és 3,57. 4) Készítsünk ábrát és alkalmazzuk a jelöléseit! sin β 7 = sin β 0,8801 β 1 61,66 illetve β 118,34. sin 50 3,5 γ 1 68,34 illetve γ 11,66. sin 68,34 c1 sin11,66 c = c 1 8,51 cm, illetve = c 6,0 cm. sin 50 3,5 sin 50 3,5 A feladatnak kettő megoldása van: az ismeretlen oldal hossza 8,51 cm, a szögek 61,66 és 68,34 illetve az ismeretlen oldal hossza 6,0 cm, a szögek 118,34 és 11,66. 5) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin β 70 = sin β 1,01 A feladatnak nincs megoldása. sin 5 30' 55 6) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin 40 : sin 60 : sin 80 = a : b : c. sin 40 a = a 0,74b. sin 60 b sin80 c = c 1,137b. sin 60 b A kerületbe visszahelyettesítve: 0,74b + b + 1,137b = 0 b 6,95 cm, a 5,16 cm, c 7,90 cm. A háromszög oldalainak hossza megközelítőleg 6,95 cm, 5,16 cm és 7,90 cm. 6

7) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit, írjuk fel a szinusztételt! sin 49 a = 15 a 8,38 cm, és b 6,6 cm. sin 73 a γ = 180 (73 + 49 ) = 58. sin 58 c = c 7,43 cm. sin 73 8,38 A háromszög oldalainak hossza 8,38 cm, 6,6 cm és 7,43 cm. 8) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin β 6 = β = 90, azaz a háromszög derékszögű. sin 30 3 γ = 90 30 = 60. A hiányzó oldal hosszát Pitagorasz-tétellel vagy szögfüggvénnyel határozzuk meg. Így c = 3 3 cm 5,0 cm. A háromszög ismeretlen oldala 5, cm, szögei 60 és 90. 9) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! A szabályos ötszög átlói egyenlő hosszúságúak. 3 180 ε = = 108. 5 Az ADE háromszög egyenlő szárú, ezért α = δ = sin 36 a = a 5,5 cm. sin108 8,5 Az ötszög oldalának hossza 5,5 cm. 10) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! 180 108 = 36. 7

β = 180 53 = 17. sinδ 13 = δ 31,7. sin17 0 ε 180 (17 + 31,7 ) = 1,73. a e sinε T = T ABC = 96,6 cm. Vagy a b oldalt határozzuk meg szinusztétellel: sin 1,73 b = b 9,7 cm. sin17 0 T = a b sin 53 96,4 cm. A paralelogramma területe megközelítően 96,5 cm. 11) Készítsünk ábrát és alkalmazzuk a jelöléseit! γ = 180 43 = 137, δ = 180 65 = 115. Toljuk el a d szárat a C csúcsba! A C BC háromszögben: sin 43 d = d 5,47 cm. sin 65 7,7 ε = 180 (65 + 43 ) = 7. sin 7 1,48 c = c 4,85 cm. sin 65 7,7 A trapéz ismeretlen szögei 137 és 115, szára 5,47 cm, rövidebb alapja 4,85 cm. 1) Az ábra jelöléseit használva: 8

Az ábra alapján α = 180 (31 + 6 ) = 13 és γ = 180 (55 + 43 ) = 8. sin55 c A BCD háromszögben: = sin8 0 c 16,54 cm. sin 43 b = sin8 0 b 13,77 cm. sin 31 d A BDA háromszögben: = sin13 0 d 1,8 cm. sin 6 a = sin13 0 a 10,45 cm. A négyszög oldalai 10,45 cm, 13,77 cm, 16,54 cm és 1,8 cm. 13) Az ábra alapján ε = 84 51 = 33. x sin 51 Az ABC háromszögben: = x 71,35 m. 50 sin 33 m A TAC háromszögben: sin 84 = m 70, 96 m. 71,35 A torony magassága megközelítőleg 71 méter. 14) Alkalmazzuk a koszinusztételt! A további lépések során alkalmazhatjuk a szinusztételt és a belső szögösszegre vonatkozó összefüggést. A c) esetben határozzuk meg a γ szöget, majd alkalmazzunk szögfüggvényt! A d) feladatnál alkalmazhatjuk a szinusztételt. Az e) feladatnál vegyük észre, hogy a háromszög szabályos! a b c α β γ a),4 5 4, 8,59 94,55 56,86 b) 11,6 10 11 67 5,39 60,61 c) 1 0 9 46,40 43,60 90 d) 6,99 15 11 5,79 111 43,1 e) 1 1 1 60 60 60 9

15) Az ábra alapján íjuk fel a keresett oldalra a koszinusztételt: a = 15 + 0 15 0 cos 4 15 a 13,45 cm. A háromszög harmadik oldala 13,45 cm. 16) Íjuk fel a keresett oldalra a koszinusztételt: Az ábra alapján: 10 = 4 + 5 4 5 cos α α 39,19. sin β 4 β 53,06. sin 39,19 10 γ 180 (39,19 + 53,06 ) = 87,75. A háromszög szögei 39,19, 53,06 és 87,75. 17) Vegyük észre, hogy a háromszög derékszögű (Pitagorasz-tétel). γ = 90. sin α = 5 3 α 36,87, β 90 36,87 = 53,13. A háromszög szögei 36,87, 53,13 és 90. 10

18) A háromszög egyenlő szárú, így alkalmazhatunk szögfüggvényt: 3 cos α = α 53,13 ; 5 β 180 53,13 = 73,74. A háromszög alapon fekvő szögei 53,13, szárszöge 73,74. 19) 1 cm + cm 3 cm nem létezik ilyen háromszög. 0) Legyen a = 3x és b = 4x. Írjuk fel a koszinusztételt c oldalra! 1) 1 = (3x) + (4x) 3x 4x cos78 x,86 cm, így a 8,05 cm és b 10,73 cm. A háromszög ismeretlen oldalai 8,05 cm és 10,73 cm. 10 14,5 sinγ A terület képlet alapján: 37 = γ 1 30,69 és γ 149,31 (két megoldás!). Alkalmazzuk a koszinusztételt! c = 10 + 14,5 10 14,5 cos 30,69 c 1 7,80 cm. 1 c = 10 + 14,5 10 14,5 cos 149,31 c 3,66 cm. A háromszög harmadik oldala 7,8 cm vagy 3,66 cm. 11

) A vázlatrajz alapján: Az ABD háromszögben: 37 = 0 + 41 0 41 cos α α 65,. β 180 65, = 114,78. Az ABC háromszögben: f = 0 + 41 0 41 cos 114,78 f 9, m. A paralelogramma másik átlója 9, m. 3) Készítsünk vázlatrajzot! α = 180 11 = 68. e = 10 + 1 10 1 cos 68 e 1,41 cm. A paralelogramma rövidebb átlója 1,41 cm. 4) Készítsünk vázlatrajzot: Alkalmazzuk a koszinusztételt a DAB háromszögben: e = 5,5 + 8 5,5 8 cos 7 e 8,19 cm. Szinusztétellel: 1

sin β 1 8 = β 1 68,8, β 1 111,7, mert e > a α > β 1. sin 7 8,19 Alkalmazzuk a koszinusztételt a DBC háromszögben: 7 = 5 + 8,19 5 8,19 cos β β 58,7. β β 1 + β = 16,7. 8,19 = 5 + 7 5 7 cos γ γ 84,3. δ 360 (7 + 16,7 + 84,3 ) = 77,41. A négyszög ismeretlen szögei 16,7, 84,3 és 77,41. 5) A vázlatrajz alapján: A szabályos hatszög köréírható körének sugara és a hatszög oldala egyenlő és átmérője megegyezik a hatszög hosszabbik átlójával, így: f = AD = 8 cm = 16 cm. A szimmetria miatt e 1 = e. Az ABC háromszögben írjuk fel a koszinusztételt. e = 8 + 8 8 8 cos 10 e = 13,86 cm. A szabályos hatszög átlói 13,86 cm és 16 cm. 6) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! Írjuk fel az AFC háromszögben a koszinusztételt: s = 1 + 4,5 1 4,5 cos 71 s 11,36 cm. A keresett súlyvonal hossza 11,36 cm. 13

7) A keleti és a délnyugati irányok által bezárt szög 135. A kelet felé repülő repülőgép által megtett út hossza: s 1 = 750 A nyugat felé repülő repülőgép által megtett út hossza: s = 680 A koszinusztételt felírva: t = 56,5 + 510 56,5 510 cos 135 t 991,06 km. km 45 h = 56,5 km. h 60 km 45 h = 510 km. h 60 8) A két repülőgép 991,06 km távolságra lesz egymástól 45 perc múlva. 9 órakor az óramutatók szöge derékszög, így alkalmazható Pitagorasz tétele. 1 órakor az óramutatók szöge 30, alkalmazzuk a koszinusztételt. Írjunk fel egyenletrendszert: 7, = n + k 3,3 = n + k nk cos30 3,91 A két egyenletet egymásból kivonva, rendezés után n =. k Visszahelyettesítve az első egyenletbe: 3,91 + k = 51,84 k 1 3,99 cm és n 1 5,99 cm, illetve k k 5,99 cm és n 3,99 cm, nem lehetséges, mert n > k. Tehát az óra mutatói 6 cm és 4 cm hosszúak. 14

9) Írjuk fel az a és b oldalakra a koszinusztételt! Majd alkalmazzuk a szinusztételt és a belső szögösszegre vonatkozó összefüggést! a. c = 10 + 15 10 15 cos 60 c = 175 = 5 7 13,3 cm. sinα 10 = α 40,89, β 79,11 ; sin 60 175 b. c = 5 + 8 5 8 cos 135 c = 1,07 cm sinα 5 = α 17,03, β 7,97 ; sin135 1,07 30) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! A két háromszög biztosan nem egybevágó, mert b b. Az ABC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: c = 6 + 1 6 1 cos 96,38 c 14 cm. Szinusztétellel: sin β 1 = β 58,41. (β 11,59, mert β < γ = 96,38 ) sin 96,38 14 α 180 (96,38 + 58,41 ) = 5,1. Az A B C háromszögben koszinusztételt alkalmazva: 18 = 1 ' + ( a ) 1 a cos 58,41 ' a 1 13 cm illetve Ha a = 13 cm, akkor a két háromszög nem hasonló, hiszen Ha a = 9 cm, akkor a két háromszög hasonló, mert: ' ' ' a b c 3 = = =. a b c a 9 cm. ' ' ' a b. a b 15

31) Az ábra jelölését használva: b = c +. Koszinusztételt felírva: 15 = c + (c + ) c (c + ) cos 139 c = 7 cm és b = 9 cm. Alkalmazzuk a szinusztételt (csak hegyes szög lehet a megoldás, hiszen α tompaszög): sinγ 7 = γ 17,83. sin139 15 β 180 (139 + 17,83 ) = 3,17. A háromszög keresett oldalai 7 cm és 9 cm, szögei 17,83 és 3,17. 3) Használjuk az ábra jelöléseit! Az FBC háromszögben koszinusztétellel: a = 6,8 + 4, 6,8 4, cos 58 a 5,8 cm. Szinusztétellel: sin β 6,8 = β 83,86. sin 58 5,8 (β 96,14, mert 6,8 < 5,8 + 4, a háromszög hegyesszögű.) Az AFC háromszögben koszinusztétellel: b = 6,8 + 4, 6,8 4, cos 1 b 9,7 cm. Szinusztétellel: sinα 6,8 = α 36,48. sin1 9,7 γ 180 (36,48 + 83,86 ) = 59,66. A háromszög szögei 36,48, 83,86 és 59,66. 16

33) γ 180 68,3 = 111,7. A trapéz AD szárát toljuk el, képe legyen PC! PB = x = 48,36 cm 13,41 cm = 34,95 cm. Az PBC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: d = 34,95 + 57,8 34,95 57,8 cos 68,3 d 55,41 cm. Szinusztételt alkalmazva: sinα 57,8 = α 75,8. sin 68,3 55,41 δ 180 75,83 = 104,18. A trapéz szára 55,41 cm, ismeretlen szögei 111,7, 104,18 és 75,8. 34) A trapéz AD szárát toljuk el, képe legyen A C! Az A BC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: = 3 + 5 3 5 cos β β 39,3. Szinusztétellel: sinα 3 = α 50,86. sin 39,9 Az oldalak emelkedési szöge 50,86 illetve 39,3. 17

35) δ = 180 44,47 = 135,53. ε = 44,47 55 1,55. A P 1 P C háromszögben szinusztétellel: x sin 55' = x 53 m. 50 sin 1,55 TP 1 C háromszögben a koszinusztétel alapján: m = 30 + 53 30 53 cos 44,47 m 37,94 m. A torony magassága megközelítően 38 m. 36) γ = 180 (75,13 + 73,99 ) = 30,88 Az ABC háromszögben szinusztételt alkalmazva: sin 73,99 b = b 58,06 m sin 30,88 31 Az ATC háromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt: t = 11 + 58,06 11 58,06 cos 75,13 t 56,5 m. A torony eredeti magassága megközelítőleg 56,5 m. (Mj.: a torony dőlési szöge megközelítőleg 3,97, a csúcsánál megközelítőleg 3,9 méterrel tér el a függőlegestől.) 18