FOGASGYŰRŰS TENGELYKAPCSOLÓK FOGÉRINTKEZÉSÉNEK ELEMZÉSE

Multidiszciplináris tudományok, 2. kötet. (2012) 1 sz. pp. 49-60. FOGASGYŰRŰS TENGELYKAPCSOLÓK FOGÉRINTKEZÉSÉNEK ELEMZÉSE Kelemen László PhD hallgató, Miskolci Egyetem, Gép- és Terméktervezési Tanszék 3515 Miskolc, Miskolc-Egyetemváros, e-mail: machkel@uni-miskolc.hu Szente Józse egyetemi docens, Miskolci Egyetem, Gép- és Terméktervezési Tanszék 3515 Miskolc, Miskolc-Egyetemváros, e-mail: machszj@uni-miskolc.hu Összeoglalás A ogasgyűrűs tengelykapcsolók tengelyvégek összekapcsolására, az egytengelyűségi eltérések kiegyenlítésére szolgálnak. Fő alkotó elemeik: a belső ogazatú hüvely és a domborított ogazattal rendelkező agy, melyek azonos ogszámmal rendelkező sajátos ogaskerekek. A domborított ogazat révén a tengelykapcsoló képes kompenzálni az összekapcsolt tengelyek szögeltérését, párosával beépítve pedig kiküszöböli az egytengelyűségi hibát is. A dolgozatban (a gyártási eljárásokkal összhangban) előállítjuk a ogelületek matematikai modelljeit. A kapcsoló működésének elemzéséhez közelítő számítási módszert mutatunk be, mely alkalmas a ogérintkezés vizsgálatára, a kapcsoló mozgástörvényének meghatározására. Kulcsszavak: ogasgyűrűs tengelykapcsoló, belső ogazat, domborított ogazat, leejtőmarás, ogmetszés, ogkapcsolódás Abstract Gear couplings are mechanical components to connect shat ends and eliminate the misalignments. Most important elements o the gear coupling are the hub and the sleeve. The hub is an external gear having crowned teeth and the sleeve is an internal spur gear. Both gears have equal number o teeth. In this paper the manuacturing methods are presented or the hub and sleeve and mathematical models are investigated or the tooth suraces o both components. An approximation is presented to determine the contact points and to analyze the gear meshing. Keywords: gear coupling, internal gear, crowning, gear hobbing, gear shaping, gear meshing 1. Bevezetés A ogasgyűrűs tengelykapcsoló (1. ábra) ő alkotó elemei a belső ogazatú hüvely és a domborított ogazattal rendelkező agy. A két ogazott gépelem egy sajátos ogaskerékpárt alkot, ahol a ogszámok azonosak. A domborított ogazat révén a tengelykapcsoló képes kompenzálni az összekapcsolt tengelyek szögeltérését. Ehhez egyetlen agy-hüvely párosítás elegendő, azonban a gyakorlatban általában két elempárt építenek be az 1. ábrának

Kelemen László, Szente Józse megelelően. Ezzel a szöghiba mellett az összekötött tengelyek egytengelyűségi hibájának a kiküszöbölése is lehetővé válik. Ebben a dolgozatban megvizsgáljuk a ogazott elemek gyártási lehetőségeit és ezekkel összhangban előállítjuk a ogelületek matematikai modelljét. A ogkapcsolódás elemzéséhez egyszerűsített eljárást dolgoztunk ki, mellyel előállítjuk a kapcsoló mozgástörvényét, és a működéssel kapcsolatos további vizsgálatok lehetőségét teremtjük meg. 1. ábra. Fogasgyűrűs tengelykapcsoló 2. Az agy domborított ogelületének meghatározása 2.1. A domborított ogelület gyártása A tengelykapcsoló agy domborított ogazata leejtőmarással, a munkadarab és a szerszám összehangolt mozgatásával állítható elő, a 2. ábrának megelelően. 2. ábra. A domborított ogazatú agy leejtőmarása 50

Fogasgyűrűs tengelykapcsolók ogérintkezésének vizsgálata Hengeres ogaskerekek leejtőmarása során a szerszám és a munkadarab olyamatos orgómozgást végeznek, miközben a szerszám lassú előtolással mozog a munkadarab tengelyével párhuzamosan. A domborított ogelület előállításához a 2. ábrának megelelően a szerszámot körpályán kell mozgatni. A leejtőmarógép sajátos elépítése ezt általában nem teszi lehetővé, ezért a szükséges relatív mozgást a munkadarab-asztal sugárirányú és a szerszám axiális mozgásával érjük el. Gyártás közben a tengelytáv olyamatosan változik. Legnagyobb értéke: amax r0 r1, (1) ahol r 0 a leejtőmaró osztókörsugara, r 1 a munkadarab osztókörsugara. A szerszám és a munkadarab relatív mozgásának körpályáját az A MN sugárral jellemezhetjük, mely ügg a szerszám osztókörsugarától és a ogdomborításra jellemző R mérettől (2. ábra): A r0 R. (2) A tengelytáv pillanatnyi értékét entiek mellett a leejtőmaró axiális helyzete határozza meg, melyet a 2. ábrán B-vel jelöltünk. Mindezek alapján a pillanatnyi tengelytáv: 2 2 a A B R r 1. (3) 2.2. A domborított ogelület matematikai modellje Az eddig leírtak alapján megállapítható, hogy a kialakuló ogelület több paraméter üggvénye. Így beolyásolja a leejtőmaró mérete (r 0 ) és az előtolás nagysága. Tulajdonképpen hengeres ogaskerekek leejtőmarására is igaz, hogy ugyanaz a ogaskerék másik leejtőmaróval, vagy más előtolással előállítva, nem ugyanazzal a ogelülettel rendelkezik. A hengeres ogaskerekek evolvens ogelületei tehát idealizált elületek. A domborított ogazatok esetében ezt az idealizált ogelületet úgy származtatjuk, hogy ogak tengelymetszeteiben változó proileltolással rendelkező evolvens ogazatot eltételezünk. 3. ábra. Az agy domborított ogelülete 51

Kelemen László, Szente Józse A ogelület egyenlete: x1 ry1sin 1, y1 ry1cos 1, (4) z1 t1. ahol r y1 tetszőleges sugár a ogproil mentén, θ 1 a ogszög. Számítására a s 1 inv invy 1 (5) 2r 1 összeüggés szolgál, ahol s a ogvastagság az osztóhenger mentén, r 1 az osztókörsugár, α az alapproilszög, α y1 a proilszög, mely rb 1 cos y1 (6) ry1 alapján határozható meg. r b1 az alapkörsugár. (5)-ben inv az evolvens üggvény, értelmezése: inv α = tan α α. A ogvastagság az osztóhenger mentén: 2 2 s s0 2( R R z1 ) tan, (7) ahol s 0 a ogvastagság a z 1 = 0 síkban. Mindezek alapján megállapítható, hogy θ 1 az r y1 sugártól és a z 1 = t 1 koordinátától ügg, vagyis (4)-ben x1 x1( t1, ry1), (8) y1 y1( t1, ry1). 3. A hüvely ogelületének meghatározása 3.1. Belső ogazatú ogaskerekek gyártási eljárásai A belső ogazatú ogaskerekek gyártási módszerei két csoportra oszthatók: proilozó és leejtő eljárásokra. A proilozó eljárások közé az alakmarás és az üregelés, a leejtő gyártási eljárások közé a ogmetszés (4. ábra), a oghámozás és a leejtőmarás tartozik. 4. ábra. Belső ogazatú ogaskerék gyártása metszőkerékkel 52

Fogasgyűrűs tengelykapcsolók ogérintkezésének vizsgálata A gyakorlatban a ogmetszés és az üregelés bír kiemelt jelentőséggel. A ogmetszés pontosságával, az üregelés termelékenységével emelkedik ki a belső ogazatú ogaskerekek előállítására használt módszerek közül. A továbbiakban részletesen csak a ogmetszéssel oglalkozunk, megjegyezve, hogy rendkívül magas költségei ellenére a tömeggyártás számára az üregelés jelenti a gazdaságos megoldást. A ogmetszőgépet és szerszámát, a metszőkereket Fellows találta el, és 1897-ben szabadalmaztatta. A munkadarab és a szerszám elhelyezkedését, a ogmetszésre jellemző mozgásokat a 4. ábra szemlélteti. Fogmetszéskor a szerszám és a munkadarab tengelyei párhuzamosak. A leejtést a szerszám és a munkadarab összehangolt orgómozgása adja. A szögsebességek között ennálló kapcsolat az áttétellel ejezhető ki, mely egyenlő a ogszámviszonnyal: 0 z2 u 2 z. (9) 0 A orgácsoló mozgás a szerszám üggőleges (egyes géptípusoknál vizszintes) alternáló mozgása. Fogmetszéskor kétéle előtolást különböztetünk meg: a sugárirányú és a kerületi előtolást. A sugárirányú előtolást vezérlőtárcsával, vagy menetes orsóval valósítják meg, a kerületi előtolás a szerszám osztókörén mért, egy löketre vonatkozó elordulás mm-ben. Forgácsolás közben sem a szerszám, sem a munkadarab nem orog. A leejtő mozgást, azaz a kis mértékű elordulást, a szerszám visszatérő mozgása közben végzik. Fogmetszéssel egyenes és erde ogú ogaskerekek is előállíthatók. Egyenes ogú ogaskereket egyenes ogú szerszámmal, erde ogú ogaskereket erde ogú szerszámmal lehet gyártani. Mivel a ogasgyűrűs tengelykapcsolókba egyenes ogú belső ogazatú kereket építenek be, a továbbiakban csak az egyenes ogazattal oglalkozunk. 3.2. A hüvely belső ogazatú ogelületének matematikai modellje A belső ogazatú ogaskerekek elméleti ogelületei evolvens hengerek. Az 5. ábrán a ogproil és a ogelület paraméterei láthatók. 5. ábra. A hüvely belső ogazatú ogelülete 53

Kelemen László, Szente Józse A ogelület egyenletei: x2 ry 2sin 2, y2 ry 2cos 2, (10) z2 t2. (10)-ben r y2 a ogproil tetszőleges sugara, θ 2 a ogárokszög. Számítására a következő összeüggés szolgál: e 2 inv invy 2, (11) 2r2 ahol e a ogárok szélessége az osztókörön mérve, r 2 az osztókörsugár, α az alapproilszög, α y2 a proilszög r y2 sugáron. Meghatározása az alábbi képlettel lehetséges: rb 2 cos y2. (12) r Itt r b2 alapkörsugár. (11)-ben inv az evolvens üggvény, értelmezése: inv α = tan α α. A ogelület két üggetlen paraméterrel írható le az alábbi ormában: x2 x2( ry 2), y2 y2( ry 2), (13) z2 z2( t2). 4. A ogkapcsolódás elemzése y2 6. ábra. Szöghibával rendelkező ogasgyűrűs tengelykapcsoló A szöghibával rendelkező ogasgyűrűs tengelykapcsoló egy különleges, metsződő tengelyű ogaskerékpárnak tekinthető (6. ábra). A tengelyszög megegyezik a szöghibával. A ogszámok a külső ogazatú agy és a belső ogazatú hüvely ogazatánál megegyeznek. Az agy domborított ogelülete és a 54

Fogasgyűrűs tengelykapcsolók ogérintkezésének vizsgálata hüvely evolvens proilú hengeres ogelülete minden pillanatban egy pontban érintkeznek. A kapcsolódás elemzéséhez - meg kell határozni a ogelületek egyenleteit, valamint - elő kell állítani a hajtás mozgástörvényét, mint az elordulási szögek közötti üggvénykapcsolatot. 4.1. Koordinátarendszerek Négy koordinátarendszert ogunk használni. S 1 (O, x 1, y 1, z 1 ) és S 2 (O, x 2, y 2, z 2 ) mozgó koordinátarendszerek, melyeket mereven hozzákapcsolunk az agyhoz (1 ogaskerék) ill. a hüvelyhez (2 ogaskerék). S (O, x, y, z ) és S a (O, x a, y a, z a ) álló koordinátarendszerek. S a globális rendszer, míg S a egy segéd koordinátarendszer. Ha nincsen szöghiba (γ = 0), S a egybeesik S el (6. ábra). Valamennyi koordinátarendszer közös O origóval rendelkezik. 7. ábra. Az alkalmazott koordinátarendszerek S 1 orog S a ban a z a tengely körül, amelyik egybeesik z 1 -gyel. A φ 1 elordulási szöget x a és x 1 tengelyek között mérjük (7. ábra). Amikor φ 1 = 0, S 1 egybeesik S a -val. Hasonló módon, S 2 orog S ben a z 2 -vel egybeeső z tengely körül. A φ 2 elordulási szöget az x és az x 2 tengelyek között mérjük (7. ábra). Amikor φ 2 = 0, S 2 egybeesik S -el. A koordinátarendszerek közötti összeüggéseket a következő egyenletek ejezik ki: r M r, (14) a a1 1 r M r, (15) 2 2 r M ar a, (16) ahol a helyvektorok az S 1, S 2, S a és S koordinátarendszerekben az alábbiak: x1 x2 xa x r 1 y 1, r 2 y 2, a y r a, és r y. z 1 z 2 z a z Az átviteli mátrixok az egyes koordinátarendszerek között: 55

Kelemen László, Szente Józse cos1 sin1 0 M a1 sin1 cos1 0, (17) 0 0 1 1 0 0 M a 0 cos sin, (18) 0 sin cos cos2 sin2 0 M 2 sin2 cos2 0. (19) 0 0 1 Az M nm jelölés az S m rendszerből az S n rendszerbe történő áttérést jelenti. 4.2. Érintkezési pontok a ogelületeken Az agy és a hüvely ogelületeinek közös érintkezési pontjaiban a helyvektorok és a normálisok is megegyeznek. Az S koordinátarendszerben elírva: (1) (2) r ( r, t, ) r ( r, t, ), (20) y1 1 1 y2 2 2 (1) (2) ry1 t1 1 ry2 t2 2 n (,, ) n (,, ). (21) A (20) vektor egyenlet megelel három üggetlen skaláris egyenletnek, de a (21) egyenlet csak két üggetlen skaláris egyenlettel egyenértékű, mivel mindkét normális egységvektor, azaz (1) (2) n n 1. (22) Az agy és a hüvely ogelületei a hozzájuk kapcsolt S 1 és S 2 koordinátarendszerekben a következő egyenletekkel írhatók le: x1 ry1sin1 r 1 y 1 ry1cos 1 (23) z 1 t 1 és x2 ry 2sin2 r 2 y 2 ry 2cos 2. (24) z t 2 2 A koordináták (4) és (10) összeüggésekből ismertek. Mindkét ogelület orog a saját tengelye körül az álló rendszerben. A orgó ogelületeket az álló S rendszerben elírva az alábbi egyenletekhez jutunk: és r M M r (25) (1) a a1 1 (2) r M 2r 2. (26) A normálisokat is áthelyezve az S álló koordinátarendszerbe: (1) n M M n, (27) a a1 1 56

Fogasgyűrűs tengelykapcsolók ogérintkezésének vizsgálata (2) n M 2n 2, (28) egyenleteket kapjuk, ahol a normális egységvektorokat a következő módon értelmezzük: r1 r1 ry1 t1 n1, (29) r1 r1 r t n 2 r r r r y1 1 r t 2 2 y2 2 r t 2 2 y2 2. (30) A (20) és (21) egyenletekkel megadott, öt nemlineáris skaláris egyenletből álló egyenletrendszer megoldása numerikus módszerrel, iterációs úton, számítógép alkalmazásával lehetséges. A megoldás nagyon összetett és bonyolult, ezért egy közelítésen alapuló egyszerűsített megoldást mutatunk be az érintkezési pontok helyének meghatározására és a tengelykapcsoló mozgástörvényének előállítására. 4.3. Közelítő számítás a ogérintkezés elemzésére A ogérintkezés vizsgálatának egyszerűsítése érdekében az agy domborított ogelületét diszkrét pontokkal behálóztuk. A pontokat a ogelületen sugárirányban és tengelyirányban elvett görbék metszéspontjaiként határoztuk meg, a 8. ábrán látható módon. Sugárirányban a elületi görbéket különböző sugarú hengerekkel metszettük ki, tengelyirányban az egymással párhuzamos síkban lévő görbék evolvens proilok. A csomópontok száma i irányban n, j irányban m (8. ábra). 8. ábra. A ogelület hálózása a csomópontokkal A csomópontok koordinátái az S 1 koordinátarendszerben: 57

Kelemen László, Szente Józse x1, i j ry1 isin 1,, i j y1, i j ry1 icos 1, i j, (31) z1j zmin jz, ahol r y1i = r min + iδr. (32) Áttérve az S a álló koordinátarendszerbe, a orgó ogelületen lévő csomópontok helyét a következő egyenletek határozzák meg: xai, j ry1 i sin 1 i, j 1, yai, j ry1 i cos 1 i, j 1, (33) z z. aj 1 j A γ szöghibával rendelkező ogasgyűrűs tengelykapcsoló ogelületi csomópontjainak koordinátái az álló S koordinátarendszerben az alábbiak szerint módosulnak: xi, j x,, ai j yi, j yai, j cos zaj sin, (34) zi, j yai, j sin zaj cos. A csomópontok elhelyezkedése kiejezhető az r y2 sugárral és a β szöggel az álló S koordinátarendszerben: 2 2 ry2, i j xi, j yi, j, (35) x,, arcsin i j i j. (36) ry2, i j A hüvely ogelületén azok a pontok lehetnek érintkezési pontok, amelyek egy-egy csomóponttal egybeesnek. Ezek a pontok az r y2i,j, sugárral, a θ 2i,j ogszöggel és a φ 2i,j elordulási szöggel azonosíthatók. θ 2i,j a (11) összeüggésből adódik, az elordulási szög a következő kiejezéssel határozható meg: 2, i j i, j 2, i j. (37) A számítási algoritmus paramétere a φ 1 szög. A φ 1 = φ 0 kezdeti értékhez φ 2 eltérő értékeit kapjuk az egyes csomópontok esetében. A ogelületek közötti pillanatnyi érintkezési pont az a csomópont lesz, amelyhez az összes (n m) számú megoldásból a legnagyobb φ 2 adódik. φ 2 kisebb értékei változó nagyságú oghézagra utalnak. 58 9. ábra. A mozgástörvény egy ogpár kapcsolódása esetén

Fogasgyűrűs tengelykapcsolók ogérintkezésének vizsgálata Minden φ 1 értékhez található egy maximális φ 2. Az összetartozó értékpárok a tengelykapcsoló mozgástörvényét leíró üggvény egy pontját szolgáltatják. Miután φ 1 értékét Δφ-vel megváltoztatjuk, φ 2 -re egy új maximumot tudunk meghatározni. Ha φ 1 -et 0 és 2π között változtatjuk és valamennyi φ 1 -hez meghatározzuk a hozzá tartozó maximális φ 2 -t, az egy ogpárkapcsolódásból származó mozgástörvényhez jutunk (9. ábra). A 10. ábra három egymást követő ogpár kapcsolódását mutatja be. 10. ábra. A mozgástörvény három ogpár kapcsolódása esetén A ogasgyűrűs tengelykapcsoló mozgástörvényét a görbék egymást követő első süvegei szolgáltatják (11. ábra), mivel a metszéspontokban a következő ogpár átveszi a hajtást az előzőtől. 11. ábra. A tengelykapcsoló mozgástörvénye A bemutatott számítási módszer bizonyos közelítést tartalmaz, ugyanis nem veszi igyelembe, hogy az érintkezési pontokban a normálisoknak is meg kell egyezniük. A valós megoldás a közelítő megoldásként megkapott csomópont környezetében van. A közelítés pontossága növelhető az agy ogelületén a hálózás sűrítésével, azaz a csomópontok számának növelésével. 59

Kelemen László, Szente Józse 5. Összeoglalás A dolgozatban - a gyártási eljárásokat igyelembe véve - meghatároztuk a ogasgyűrűs tengelykapcsoló ogazott elemeinek ogelületét leíró matematikai modelleket. A tengelykapcsoló működésének elemzése érdekében megvizsgáltuk a szöghiba hatását a ogérintkezésre. Bemutattuk a ogaskerekek kapcsolódás-elméletére építve a ogelületek érintkezési pontjainak meghatározási módját. Tekintettel a megoldás bonyolult és körülményes voltára, egy közelítő, egyszerűsített számítási módszert dolgoztunk ki az érintkezési pontok helyének meghatározására. A közölt eljárás lényegesen leegyszerűsíti az érintkezési pontok megkeresését, a tengelykapcsoló mozgástörvényének előállítását. A közelítő módszer pontossága sűrűbb hálózással, a csomópontok számának növelésével szinte tetszés szerint javítható. 6. Köszönetnyilvánítás A kutató munka a TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0008 jelű projekt részeként az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társinanszírozásával valósul meg. 7. Irodalom [1] Litvin, F. L.: Theory o gearing, NASA Reerence Publication 1212, AVSCOM technical report 88-C-035, 1989. pp. 1-490. [2] Mitome, K.: Table sliding taper hobbing o conical gear using cylindrical hob, Transactions o the ASME, 103, 1981. pp. 446-451. [3] Moked, I.: Toothed couplings analysis and optimization, Transactions o the ASME Journal o Engineering or Industry, 1968. pp. 425-434. [4] Renzo, P. C., Kauman, S., De Rocker, D. E.: Gear couplings, Transactions o the ASME Journal o Engineering or Industry, 1968. pp. 467-474. [5] Yi Chuan-yun: Analysis o the meshing o crown gear coupling, Journal o Shanghai University, 2005. pp. 527-533. [6] Alares, M. A., Falah, A. H., Elkholy, A. H.: Clearance distribution o misaligned gear coupling teeth considering crowning and geometry variations, Mechanism and Machine Theory, (41), 2006. pp. 1258-1272. 60