Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2 8x + 1 f) x 2 + 8x + 1 2. Az alábbi függvények a valós számokat a valós számok halmazába leképezik le. Ábrázoljuk ezeket a függvényeket, határozzuk meg a függvények zérus helyeit és a szélsőértékeiket! a) f(x) = x 2 8x + 18 b) g(x) = x 2 + 2x c) h(x) = x 2 2x 8 d) i(x) = x 2 + 10x + 2 e) j(x) = x 2 12x + 27 f) k(x) = x 2 10x 21. Az ábrán látható függvénynek írjuk fel a hozzárendelési szabályát! Jellemezzük a függvényt! (A jellemzés fő szempontjai az előző feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.) a) b) c) d)
. Határozzuk meg a c paraméter értékét úgy, hogy a következő függvények zérus helyeinek száma 0, 1 illetve 2 legyen! a) f(x) = x 2 + 6x + c b) g(x) = x 2 8x + c c) h(x) = x 2 x + c. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) (x 2) (x + ) = 0 b) (2x ) ( x) = 0 c) x 2 8 = 0 6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) x 2 6x + 8 = 0 b) x 2 x + = 2x 2 + 9x + c) x 2 6x + 1 = 10x + 12 d) x 2 + 1x 9 = 0 e) 6x 2 + x + = 0 f) x 12x 2 + = 0 7. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) (x + 2) (2x ) + x = 6 b) (x + 1) (x 2) (x + ) = x c) (x + 1) (2x ) 2 (x + 1) = 7x + 1 d) (2x 7) (x + ) + (7x 1) (2x + ) = 6x 29 e) (x 1)2 f) x 2 x+1 8 x x = 2 = x g) x+1 2x 1 = x 2 x+2 h) 2x+1 x+ x+ = x 1 x+1 x 2 1 8. Alakítsuk szorzattá a következő másodfokú kifejezéseket! a) x 2 + x 6 b) x 2 + 7x + 12 c) 2x 2 9x + 18 d) 12x 2 + 1x + e) x 2 + 8x +
9. Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: a) és b) 2 és 7 c) 0 és d) 1 és 2 e) és 7 10 10. Egyszerűsítsük a következő törteket! a) x2 +7x+12 x 2 +2x 8 b) x2 1x 10 2x 2 7x 1 2x 2 +x c) 2x 2 +11x+1 d) 10x2 1x 8x 2 +1x 11. Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát. amelyen az alábbi kifejezések értelmezhetőek! a) 2x 1 b) 2x 1 c) x 2 x + d) (x 2)(x + ) e) x 1 x+ f) x 1 x+ g) x h) 1 x i) 1 x 2 12. A műveletek elvégzésével döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb! Számológépet ne használjunk! a) 10 vagy 1 b) 11 7 vagy 6 1 1. Végezzük el a következő műveleteket! a) 21 + 21 b) 29 + 2 29 2 c) ( 2 + 2 + ) 2 d) ( 8 + 1 8 + 1) 2
1. Végezzük el a következő műveleteket! a) 72 2 8 b) 8 27 + 7 c) 12 20 1. Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következő műveleteket! a) 7 b) 972 8 c) 7 + 22 7 22 d) 1 7 1 + 7 16. Gyöktelenítsük a következő törtek nevezőjét! a) b) 8 +2 12 1 10 c) 6+2 17. Végezzük el a következő műveleteket! a) ( 7+ ) (20 2 8) 7 b) ( 6 + 2 ) (10 + 7 ) +2 20 c) 7+ 7 + 18. Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következő számításokat! a) 7 + 22 b) 9 + 17 7 22 9 17 c) 1 7 1 + 7 19. Döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb! Számológépet ne használjunk! a) 2 2 b) c) vagy 7 vagy 2 17 vagy 1 d) 1 vagy 2 99 20. Végezzük el a következő összevonásokat! a) b) 162 + 16 + 12 20 2 c) 187 2 8 21. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x+ + x = 100 x x+ x 2 2 b) 2x+1 x 1 + 8 = 0 x+ x x 2 16 c) x+1 x+1 = 1 x 1 x+1 9x 2 1
22. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x x 2 + = 0 b) x + x 2 20 = 0 c) x 8x 2 9 = 0 d) 2x + 7x 2 = 0 e) x 6 7x 8 = 0 f) x 6 28x + 27 = 0 g) x 6 x = 0 2. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol az ismeretlenek a valós számok halmazából valóak! x + 2y = a) x 2 + y = 2 } x y = b) x + y 2 = 8 } c) x2 2y = 2 x + y = } x + y = 7 d) x y = 10 } e) x2 + y 2 = 10 x 2 + y = 1 } 2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) (x 2) (x 2) 2 + = 0 b) (x + ) 7 (x + ) 2 18 = 0 c) (x + ) 1 (x + ) 2 8 = 0 d) (x 2 + 6x) (x 2 + 6x + ) 77 = 0 e) (x 2 x) (x 2 x ) 10 = 0 2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) x 2 9 > 0 b) x 2 100 0 c) x 2 x 0 d) x 2 8x > 0 e) x 2 + 6x 7 < 0 f) x 2 9x + 18 < 0 g) x 2 + 12x + < 0 26. Mely egész számok esetén teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek? a) x 2 x 6 < 0 b) x 2 + x 20 0 c) x 2 x + 12 0 d) x 2 x + 12 0
27. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) x + x 2 12x 0 b) 2x 7x 2 + 1x > 0 c) x + x 2 2 0 d) x 10x 2 + 9 < 0 28. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! x+ a) < 0 x 2 +7 b) x2 +x+18 x c) x2 x 6 x 2 x 2 0 > 0 d) x2 7x+1 x 2 +7x 18 0 29. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) (x ) (x 2) x > 0 b) x 1 x 2 x 2 x 1 c) 1 + < x 1 x 2 2+x d) 1 + 1 2+2x x 0. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x + = b) x = 9 c) 2x = 1 d) + x + = 0 e) 7 x + 11 = 0 f) 8x 1 8 = 0 g) x = x + 1 h) x + 2 = 7x 8 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x + 6 = x b) x + 2 = x c) x + 1 = x 1 d) 2x + 8 = x + 2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x + 2 + x = b) x 6 x + 1 = 1 c) x + + 2x + 6 = 2 d) x + 6 x + 2 = 2x + 8 e) x + + 1 2x = 9 + x f) 2x + 2 x + 2 = x 6
. Számítsuk ki a következő számok számtani és martani közepük közötti különbséget! a) és 27 b) 20 és c) 6 és 2010. a) Két szám számtani közepe 2, a kisebb szám 20. Mennyi a nagyobb szám? b) Két szám mértani közepe 2, a kisebb szám 20. Mennyi a nagyobb szám? c) Két szám számtani közepe 0, a nagyobb szám 70. Mennyi a kisebb szám? d) Két szám mértani közepe 0, a nagyobb szám 70. Mennyi a kisebb szám?. a) József autóval egy órán át 60 km/h sebességgel, majd két órán át 80 km/h sebességgel haladt. Mennyi volt az átlagsebessége? b) Péter a 10 km-es út első harmadát 60 km/h, a második harmadát 80 km/h, az utolsó harmadát 90 km/h sebességgel tette meg. Mennyi volt az átlag sebessége? 6. a) Két szám különbsége 12, szorzatuk. Melyik ez a két szám? b) Két szám különbsége 12, négyzetösszegük 1. Melyik ez a két szám? c) Két szám különbsége 12, a nagyobb számot a kisebbel osztva hányadosuk 10- zel kisebb, mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám? 7. a) Két szám összege 20, szorzatuk 6. Melyik ez a két szám? b) Két szám összege 20, négyzetösszegük 208. Melyik ez a két szám? c) Két szám összege 20, négyzetük különbsége 200. Melyik ez a két szám? 8. Egy társaság kerékpártúrán vesz részt. Az egyik napon 80 km-t haladtak. Ha óránként km-rel többet tettek volna meg, akkor 1 órával hamarabb értek volna célba. Mekkora sebességgel kerékpároztak, és mennyi ideig tartott az út? 9. Eszter 000 Ft-ért virágpalántát vásárol. Ha a darabonként 90 Ft-tal olcsóbb petúniát választja, akkor 9-cel több palántát tud megvenni, mint a drágább muskátliból. Mennyibe kerül a muskátli palánta és hány darabot tud megvenni a pénzéből? 0. A téglalap alakú monitor képernyőjének oldalai cm és 27 cm. A képernyő körül minden oldalon azonos szélességű műanyag keret van, melynek területe 1/-a a képernyő területének. Milyen széles a keret? 1. Számítsuk ki a körcikk területét, valamint a körív hosszát, ha a sugár 8 cm, a középponti szög pedig a) 1 b) 60 c) 10 d) 270!
2. Mekkora középponti és kerületi szög nyugszik azon a köríven, amelynek hossza a kör kerületének a) 1/-a b) /-e c) 11/12-e d) 0%-a e) 7%-a?. Az alábbi arányok egy négyszög szögeinek az arányát mutatja egy adott körüljárás esetén. Döntsük el, hogy melyik húrnégyszög! Számítsuk ki a négyszög szögeinek értékét! a) :2:: b) :2:9:10 c) ::: d) 2::: e) :20:1:16. Számítsuk ki, hogy milyen távol van a Föld felszínén mérve Budapest az egyenlítőtől mérve! A város az északi 7, szélességi körön fekszik, és a Föld sugara 670 km. Az eredményt egész km-re kerekítve adjuk meg!. Egy szabályos háromszög alakú zárt kert oldalának hossza 1 m. A gazda a kert egyik oldalának felezőpontjában (a kerítésen belül) leszúrt egy karót, majd egy 7 méter hosszú kötéllel a karóhoz kötötte kecskéjét. Mekkora területen legelhet a jószág? 6. Mekkora szöget zár be egy szabályos nyolcszög egy csúcsából kiinduló legrövidebb és leghosszabb átló egymással? 7. Egy szimmetrikus trapéz alapjainak hossza 6 cm és 1 cm, szárai 7 cm hosszúak. Számítsuk ki a trapéz kiegészítő háromszögének oldalait! 8. Egy trapéz rövidebb alapjának hossza 7 cm, kiegészítő háromszögének két másik oldala 2 cm és 6 cm hosszú. A trapéz másik alapjának hossza 1 cm. Számítsuk ki a trapéz szárainak hosszát! 9. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza cm, illetve cm. Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót? Mekkora távolságra van a derékszög az átfogótól? 0. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két olyan szakaszra bontja, amelyek hossza 8 cm, illetve 2 cm. Mekkorák a háromszög befogói? 1. Egy háromszög alakú virágágyásba négyféle virágot szeretnénk ültetni, ezért azt az oldalak harmadoló pontjai mentén négy részre osztottuk. Liliomot a középső, hatszög alakú részbe ültetünk. Ezt az ábrán szürkével jeleztük. Számítsuk ki, hogy ez a szürke terület hanyadrésze a teljes virágágyásnak!