Matematika versenyfeladatok 2. rész 1. A 7 törpe házikójában valaki eltört egy tányért. Hófehérkének így számoltak be a történtekről: Tudor: Nem Szundi volt. Én voltam. Morgó: Nem én voltam. Nem Hapci volt. Vidor: Tudor volt. Nem Morgó volt. Ki törte el a tányért, ha a törpék egyik állítása igaz, a másik hamis? (3 pont) 2. Egy kosárban öt alma van. Az almákat úgy kell elosztani öt ember között, hogy mindenki kapjon egy almát és a kosárban is maradjon egy. Hogyan csinálnád? (3 pont) 3. Helyezz át két szál gyufát úgy, hogy 2000-et kapj! (3 pont) 4. Írd be a körökbe számokat 1-től 12-ig úgy, hogy a számok összege minden négyzet csúcsaiban 26 legyen! (12 pont) 5. Helyettesítsd a betűket számokkal (különböző betűknek különböző számok felelnek meg)! (3 + 5 + 4 pont) 6. Írd be a keresztrejtvénybe a feladatok megoldását (minden négyzetbe egy számjegyet)! (16 pont)
Vízszintes: A. Ebben az évben született Bolyai János matematikus F. Ennyiféleképpen léphetünk fel a hatodik lépcsőfokra, ha egyszerre csak egy, vagy két lépcsőfokot léphetünk. G. A négyszög belső szögeinek összege I. A legnagyobb 2003-mal osztható hatjegyű szám K. A VIII és a CMVII számok szorzata M. Egyforma számjegyek O. Az ABC háromszögben az α szög 4-szer nagyobb, mint a β szög, a γ szög 27 -kal nagyobb, mint az α. Mekkora az α, β, γ szög nagysága? (ebben a sorrendben) Függőleges: A. Egy egyjegyű szám és a tőle tízzel nagyobb szám szorzata B. A bot 27 cm hosszú. Hány cm hosszú 311 ilyen bot? C. Semmi D. 67-re végződő szám, 67-tel osztható szám, és ha a számot az utolsó két számjegy nélkül írjuk le, akkor is osztható lesz 67-tel E. 500 tanulóból 308-nak van telefonja, 309- nek van kerékpárja. 90 tanulónak nincs se telefonja, se kerékpárja. Hány tanulónak van telefonja és kerékpárja is? H. Ennyi óráig tart a február szökőévben J. A 21 cm élű kockát szétvágtuk 1 cm élű kockákra. Ha ezeket a kis kockákat egymás mellé raknánk egy sorba, milyen hosszú sort kapnánk? L. A négyzet területe 12-vel több, mint a kerülete. Mekkora a négyzet területe? N. Gondoltam egy számot, hozzáadok nyolcat, az eredményt megszorzom kettővel, ebből kivonok hatot, és az eredményt elosztom öttel, akkor 12-t kapok. Milyen számra gondoltam? 7. Béla bácsi a fiához utazott New Yorkba. 164000 Ft-ért váltott be dollárt. Berlinben kellett maradnia három napot, mert probléma adódott a vízumával. Kénytelen volt dollárért 100 eurót váltani az ott tartózkodása idejére. a) Hány dollárt kapott a 164000 Ft-ért, ha akkor 1 dollár 205 Ft volt a valutapiacon? b) Hány dollárjába került a 100 euró, ha akkor 1 euró éppen 1,2 dollár volt? c) Ha Magyarországon vált be eurót, jobban járt volna, mint így, ha 1 euró ekkor 247 Ft? d) És ha a megoldásod napján érvényes árfolyamon veszi? (8 pont) 2
8. Laci számológépe elromlott. Laci azt vette észre, hogy két számbillentyű hatása felcserélődött: amikor az egyiket lenyomja, a számológép úgy érzékeli, mintha a másikat nyomta volna le, és fordítva. Ha beüti, hogy 18x45 (azaz megnyomja az 1, 8, x, 4, 5 feliratú billentyűket), akkor az eredmény 972. Ha beüti, hogy 15x84, akkor 1190 lesz az eredmény. Melyik két számjegy cserélődött fel, ha tudjuk, hogy a két szorzásban mindkettő szerepel? (5 pont) 9. Keresd meg pl. az interneten a következő néhány madár sebességét, vagyis azt, hogy 1 másodperc alatt hány métert repülnek! Veréb Pinty Kék szajkó Ezüstsirály Vadpulyka Szárcsa Fácán Fürj a) Mennyi utat tesz meg a kék szajkó 5 másodperc alatt? b) Mennyivel több utat tesz meg 12 másodperc alatt a fürj, mint az ezüstsirály? c) Melyik madár tesz meg 50 m-t a legrövidebb idő alatt? (10 pont) 10. Ha nem hiszel a vámpírok létezésében, nem vagy egyedül. (Holtak, akik feltámadnak és az élők vérével táplálkoznak - hát - ez biológiai ismereteinknek némileg ellentmond...) Minden tudós egyetért abban, hogy vámpírok csupán a legendákban léteznek. A vámpírokban hívőket azonban a biológiai tények nem mindig tántorítják el. Costas Efthimiou fizikus professzor előállt egy matematikai bizonyítással a nemlétezésükre: Ha a vámpírok valaha is léteztek volna olyan formában, ahogy a filmek és a könyvek bemutatják őket, akkor nagyon gyorsan kiirtották volna az emberiséget. Szerinted mivel bizonyította az állítását? Egy kis segítség: A népszerű legenda a vámpírokról már évszázadok óta él, és úgy tartja, hogy aki egy vámpír áldozata lesz, az ő maga is vámpírrá változik, és elindítja a saját vér-vadászatát a szerencsétlen emberek ellen. Efthimiou azt mondja: Ha a vámpírok valóban úgy és olyan gyakorisággal étkeznek, ahogy azt leírják a könyvekben és filmekben, akkor az emberi fajt már rég kiirtották volna nem sokkal az után, ahogy az első vámpír megjelent." Induljunk ki abból a feltételezésből, hogy az első vámpír 1600. január 1-én keletkezett, annak a századnak az elején, amikor az első írások is megjelentek a vámpírokról. A kutató kiszámította az akkori populációt történelmi dokumentumok alapján, ez kb. 537 millióra tehető. (10 pont) 3
11. Grafilogika (8 pont) Szabályok: A számok darabszáma a sorok elején és az oszlopok tetején azt jelenti, hogy a kiszínezett négyzetek hány csoportban helyezkednek el. (Például az első oszlop tetején levő 2,3,1,5 számok azt jelzik, hogy abban az oszlopban a színes négyzetek négy csoportban helyezkednek el.) Maguk a számok azt jelzik, hogy az egyes csoportok hány színes négyzetet tartalmaznak. (Például az első oszlop tetején levő 2,3,1,5 számok azt jelentik, hogy az első csoportban 2, a következőben 3, majd 1 és végül 5 színes négyzet van.) Ha helyesen fejted meg a rejtvényt, egy kép rajzolódik ki a rejtvényből. Mit ábrázol ez a kép? 12. Kösd össze, ha tudod! (10 pont) Itt a téglalapok szigeteket jelölnek, amelyeket hidak kötnek össze. A szigetből kiinduló hidak számát jelzik a számok. A hidak csak függőlegesen és vízszintesen haladhatnak, nem keresztezhetik egymást és másik szigetet, és természetesen nem kanyarodhatnak. Két sziget között legfeljebb két híd haladhat. A hidak megépítése után bármely szigetről el kell tudni jutni bármely másikra. Íme egy egyszerű feladat és a megoldása: Tehát a feladat: 4
Jó munkát! Budapest, 2011. október 9. 5