Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1
LOGO versenyfeladatok II., III., IV. kategória feladatai közt mindig szerepel valamilyen parkettázás Feladatminták Ötlet: szabályos sokszögekkel INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 2
Szabályos parkettázás A sík olyan egyrétegű, hézagmentes lefedése, ahol minden csúcspontban ugyanannyi szabályos sokszög találkozik és a csúcsok egymásba mozgatásakor a parketta invariáns. Azaz minden csúcspont környezete ugyanúgy néz ki és bármely csúcsot el tudunk mozgatni egymásba, a látvány nem változik. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 3
Szabályos sokszögek egy típust Tipp: melyikkel lehet? Háromszög, négyzet gyorsan jön lehet-e mással? méhek Próbálkozás Háromszög Négyzet Ötszög? Hatszög Hétszög? Nyolcszög? INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 4
Egy típust pusú szabályos sokszögb gből Egy csúcs:számelméletileg vizsgálva a problémát, osztópárok felírása a 360 fokra: 360*1 1*360 180*2 120*3 90*4 72*5 60*6 45*8 40*9 36*10 30*12 24*15 20*18 2*180 3*120 4*90 5*72 6*60 8*45 9*40 10*36 12*30 15*24 18*20 Szabályos sokszögek belső szögei: (n-2)*180 o /n 60 o, 90 o, 108, 120 o, 128,57, 135, 140, 144, 147,2727, 150,. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 5
Több típus t is lehet Hány szabályos sokszög találkozhat egy csúcspontban? Belső szög konvex =>minimum 3 szögtartomány Legkisebb belső szög a szabályos háromszögé =>maximum 6 Harmad, negyed, ötöd illetve hatodfokú parkettákról beszélhetünk, attól függően, hány sokszög találkozik egy-egy pontban Hányféle szabályos parkettázás létezik? TIPP INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 6
Harmadfokú parketták o o o (a 2) 180 (b 2) 180 (c 2) 180 + + = a b c 1 1 1 1 + + = a b c 2 360 o a,b,c 3; a,b,c Ζ a b c INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 7
Harmadfokú parketták 1 1 1 1 + + = a b c 2 1 1 1 b + c = 6 b=7 => c=42 a=3 => => b=8 => c=24 b=9 => c=18 b=10 => c=15 b=11 => c nem egész b=12 => c=12 a=4 => b=5,6,7,8 => c=20, 12, nem egész, 8 a=5 => b=5,6 => c=5, nem egész a=6 b=6 c=6 INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 8
Harmadfokú parketták {3, 7, 42} {3, 8, 24} {3, 9, 18} {3, 10, 15} {3, 12, 12} {4, 5, 20} {4, 6, 12} {4, 8, 8} {5, 5, 10} {6, 6, 6} INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 9
Negyedfokú parketták 1 1 1 1 + + + = 1 a,b,c,d 3; a b c d a,b,c,d Ζ a b c d 4 megoldást kapunk {3, 3, 4, 12} nem jó {3, 6, 3, 6} {3, 4, 4, 6 } {4, 4, 4, 4} INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 10
Ötödfokú parketták 1 1 1 1 1 3 + + + + = a b c d e 2 a,b,c,d,e 3; a,b,c,d,e Ζ a b c d e 2 megoldást kapunk {3, 3, 3, 3, 6} {3, 3, 3, 4, 4} INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 11
Hatodfokú parketták Egyetlen megoldás van Így mind a 11 lefedést előállítottuk INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 12
Matematika Geometriai probléma - algebrai eszközök Algebrai megoldás - nem mind felel meg Teljes megoldás További problémákat vet fel Matematikailag: Térbeli megfelelő Algoritmikusan: Geometriai transzformáció, amire invariáns INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 13
WINGEOM program Geometriai szerkesztések Lefedések Ingyenes, letölthető http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html Könnyű használni INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 14
Sokszög g rajzolása Imagine-ben Eljárás háromszögrajz ismétlés 3 [előre 100 jobbra 360/3] Vége Először lépkedéssel, majd konkrét értékekkel, majd paraméteresen Eljárás sokszögrajz :oldalhossz :oldalszám :szin ismétlés : oldalszám [előre : oldalhossz jobbra 360/: oldalszám] színezés :szin Vége INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 15
Parkettarajzolás Imagine-ben Egy alapelem, mozgás, következő alapelem. Egy sor megrajzolása (ismétlés) Vissza a sor elejére MOZGÁS, újabb sor megrajzolása És itt jön elő a geometriai transzformáció Meg kell keresni az invariáns elemet és a mozgást INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 16
Gyerekek munkái Peti Marci 333333: síklefedés2 5 9 sárga kék 50 Sík2 9 sárga kék 50 A2 sárga kék 50 4444: síklefedés 5 9 piros kék 50 666: síklefedés3 3 6 "sárga "kék "piros 30 3446: síklefedés8 5 5 "sárga "kék "piros 10 4 6 12: síklefedés10 5 5 10 "sárga "kék "piros Patti 3 12 12: lefedes1 "sárga "kék 3 5 30 4 8 8: lefedes2 30 3 5 "sárga "piros Márk Egy eljárás: nincs alapelem, sor. 4 8 8: a4848 "piros "sárga 40 6 4 3 6 3 6: a3636 40 "piros "kék 6 4 Kis trükkös 33336: a436 40 "zöld "kék 3 5 INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 17
Nem szabályos sokszöggel parkettázás INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 18
PENROSE csempék Nem periodikus csempézés INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 19
Linkek IMAGINE http://logo.sulinet.hu Dr. Kosztolányi József: Egy kutatási program általános iskolásoknak, POLYGON 1991, június WINGEOM http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html A sík parkettázása a Wingeom programmal http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/kcf/0/25849/1 Penrose csempézések http://www.termeszetvilaga.hu/tv9708/penrose1.html http://www.termeszetvilaga.hu/tv9708/penros1a.html Az aranymetszés síkgeometriája http://www.jgytf.uszeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/arany/04_sikgeometria.htm Reimann: Parketták a geometria szemszögéből http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/matematikai-mozaik/matematikaimozaik-081029-28 INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 20
Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 21