Számítógépes matematikai kísérletek: a kreatív és vizuális gondolkodás fejlesztése Karsai János, Szanyiné Forczek Erzsébet Szegedi Tudományegyetem, Általános Orvostudományi Kar, Orvosi Informatikai Intézet Absztrakt. Az előadásban vázoljuk a számítógépes matematikai kísérletek alkalmazására vonatkozó elgondolásainkat és tapasztalatainkat. Bemutatunk néhány a "Számítógéppel támogatott matematikai modellezés" kurzuson alkalmazott Mathematica projektet. Kulcsszavak. Számítógéppel segített oktatás, modellezés, vizualizáció, Mathematica.. Bevezetés A nagyteljesítményű, realisztikus grafikával rendelkező asztali számítástechnikai eszközök elterjedésével a számítógépes vizualizáció és szimuláció a tudományos kutatás és oktatás szerves részévé vált. A vizualizációs kutatási technikákat még az olyan absztrakt tudományágakban is alkalmazzák, mint a matematika. És mivel az alkalmazott területeken vizsgált jelenségek gyakran bonyolult matematikai modellekkel írhatók le, a számítógéppel támogatott matematika modellezés jelentősége és hatása minden területen egyre növekszik. Ezt a tényt felismerve, évekkel ezelőtt a Szegedi Tudományegyetem Orvos- és Gyógyszerésztudományi Karán bevezettük a "Számítógéppel támogatott matematikai modellezés" kurzust. Jelenleg, a kurzus hallgatóságát főként az élettudományi, matematika és fizika szakos hallgatók adják. Ezzel párhuzamosan, a gyógyszerészhallgatók matematika oktatása is számítógépes segédlettel - nem prezentációk segédletével! - folyik. A következő fejezetben a számítógéppel segített oktatási tevékenységünk legfontosabb elemeit vázoljuk, utána pedig illusztráció gyanánt bemutatunk néhány, a Mathematica rendszerben készített oktatási projektet.. Az oktatási elvek A tény, hogy a matematika "csupán" segédeszköz a mérnökök és az alkalmazott tudományok számára, általánosan elfogadott. A hallgatók matematikai modellekkel dolgoznak, és nehéz számításokat végeznek a modellek mögött álló matematikai elméletek mélyebb ismerete nélkül. A számítógépes programok képesek helyettesíteni a fárasztó kézi számolásokat, de csak akkor, ha a felhasználó érti a használt fogalmakat és módszereket. Ugyanakkor, a kísérletek, a vizualizációs technikák felgyorsítják a megértés folyamatát, minthogy gyakran meggyőzőbbek, mint a szigorú matematikai bizonyítások. Ezért a tradicionális tárgyalásmód, a manuális gyakorlás és a számítógépes kísérletezés megfelelő kombinációja mélyebb és alkalmazhatóbb matematikai tudást eredményez és javítja a kreatív gondolkodást. A fentiek alapján, számítógéppel segített matematika és modellezés kurzusaink célja hármas: A számítógépes alkalmazások a matematika előadásokon és gyakorlatokon, mint demonstrációs anyagok az elmélet megértetését szolgálják.
A számítógépes kurzusokon a hallgatók alkalmazzák elméleti ismereteiket: megtanulják a számítógép használatát a matematikai eljárások végrehajtására, mint például a grafikonok rajzolása, a kalkulus eszközei, görbeillesztés, sorfejtések, differenciálegyeletek megoldása, és a szakmájukban felmerülő gyakorlati problémákat vizsgálnak a tanult számítógépesített matematikai eljárások segítségével. Kurzusunk főbb alapgondolatai az alábbiak: Potenciális hallgatóink főként a fizika, biológia, kémia, orvostudomány és a gyógyszerészet valamely részterülete iránt érdeklődnek. A számítógépes kísérletezést előnyben részesítjük a formális matematikai módszerekkel szemben. A hallgatók maximális eredményt szeretnének elérni minimális matematikai és számítástechnikai erőfeszítéssel. Ezért felhasználóbarát modellezési sémakészletet és számos esettanulmányt készítettünk, amelyek az elméleti anyag illusztrációjaként és kísérleti eszközként is egyaránt felhasználhatók. Az elméleti gyakorlatokon csupán az oktató dolgozik számítógépen, a számítógépes órákon az oktató és a hallgatók szimultán dolgoznak. A hallgatók használják és továbbfejlesztik a kapott sémákat saját érdeklődésüknek megfelelően.. A projektek fejlesztéséről Számos könyv és számítógépes fejlesztés készült a matematikai programcsomagokkal kapcsolatosan. A legtöbbjük azonban vagy technikai részletekkel foglalkozik, vagy a matematikai elmélet megértetéséhez használja őket. Van közülük, amelyik modellezési problémákat tekint, de csak kevés ad általános bevezetést és a gyakorlatban is jól használható "recept-gyűjteményt". Ezért, felhasználva a már létező publikációk tapasztalatait, projekteket, "recepteket" fejlesztettünk kurzusaink számára, amelyek reményeink szerint teljesen illeszkednek a fentiekben vázolt elveinkhez. Ezek a projektek az alábbi csoportokba oszthatók. Rövid bevezetés a technikai eszközök használatába, ide véve a grafikus módszereket is. Matematikai fogalmak és eljárások, modellezési lépések és ezek számítógépes megvalósításaik. Elemi modellek vizsgálata. Bonyolultabb, differenciál- és differencia-egyenletekkel, impulzív rendszerekkel leírható, modellek vizsgálata. Az interaktív modellezés módszerei A projektek felépítése és stílusa lényegében azonos. A fejlesztés során az alábbi elveket vettük figyelembe: Hiper-média struktúra, hiperhivatkozásokkal. Rövid matematikai bevezető és technikai összefoglaló. Az elméleti módszerek felhasználóbarát implementációja. Grafikus magyarázatok és érvelések, a vizualizációs módszerek hangsúlyozása, mint például az animáció, színezés és interaktív módszerek. Kísérletezés: konstruktív módszerek a dedukcióval szemben. A kísérletek eredményeiben való bizodalom korlátait és veszélyeit tárgyaljuk.
A modellegyenletek numerikus megoldását részesítjük előnyben a formális megoldások helyett. A módszerek korlátaira felhívjuk a figyelmet. Jól előkészített parancsok, utasítások a gépelési és szintaktikus nehézségek elkerülésére. Egyszerű és összetettebb modellezési sémák, esettanulmányok bemutatása. Gyakorlatok, problémák (némelyik még nyitott). Természetesen, a kísérleti projektek nem helyettesíthetik a formális számolásokat, a sokat segítenek a vizsgált jelenségek kvantitatív és kvalitatív tulajdonságainak a megértésében. Hisszük, hogy projektjeink fejlesztik hallgatóink kreativitását és tudományos gondolkodását. 4. Példák Nem lehetséges a projektek részletes bemutatása, és az animációk sem mutathatók be. Ezért az ábrák mellett, az adott témakörökre vonatkozó legfontosabb célkitűzéseket és a projektek lehetőségeit vázoljuk.. Példa. A függvények grafikus ábrázolása számítógépen A hallgatók megtanulják az alapvető rajzoló utasításokat, a számítógépes ábrázolásban rejlő lehetőségeket, ugyanakkor tapasztalják a számítógépes ábrázolás veszélyeit is. Néhány figyelemre méltó "trükk": a tengelyek skálázási arányából lehet következtetni a változás mértékére; a mintapontok számának növelése realisztikusabb ábrát eredményez, de néha egyáltalán nem realisztikus idő alatt. Kevés pont felhasználásával nem valós grafikont kaphatunk. Figyelni kell a lehetséges szingularitásokra, a különösen nagy változási mértékre, és olvassuk el a hibaüzeneteket. - - - - - - - - - - - -. ábra. Az /x függvény "lehetséges" grafikonjai. példa. Számítógéppel segített ("fordított") függvényvizsgálat. A tekintett függvényre vonatkozó grafikus vizsgálatok után a hallgatók analitikus és numerikus módszerekkel meghatározzák a speciális pontokat (zéróhelyek, szélsőérték-helyek, stb.). A kezdő közelítések megadásának fontosságát hangsúlyozzuk..5.5.5.5 - - - -. ábra. Newton iteráció különböző kezdőértékekkel
. példa. Trajektóriák megjelenítése. Ezt az egyszerű, de hasznos projektet a hallgatók már a harmadik órán elkészítik. Lényegében egy paraméteres görbét, és a görbe mentén mozgó pontra vonatkozó animációt tartalmaz. A hallgatók megtanulják, hogyan lehet a negyedik dimenziót (az időt) D ábrán színekkel, animációval, vagy stroboszkopikus ábrázolással megjeleníteni. Később a görbe helyett differenciálegyenletek megoldásaival helyettesítve ez a projekt, valós problémák elemzését is segíti. - - 0 0 - - - - 0. ábra. Stroboszkópikus ábrák 4 4 4. példa. Görbeillesztések. A hallgatók az adott adathalmazt ábrázolják, transzformációkat, szűréseket alkalmaznak, ha szükséges, hogy az illeszkedő függvénycsaládra vonatkozó kezdeti sejtéshez. Majd, megoldják az illesztési problémát, és megpróbálják javítani az illesztést. 6 5 4 5 0 5 0 4. ábra. Egy inhomogén adathalmaz 5. példa. D differenciálegyenletek A hallgatók megismerik az D differenciálegyenletek vizsgálatának legegyszerűbb lépéseit (iránymező, egyensúlyi helyzetek, stabilitási tulajdonságok, megoldások kezdeti értékektől való függése) és a használt számítógépes eszközöket..5.5.5.5 5. ábra. A megoldások függése a kezdeti értékektől
6. példa. Kísérletek impulzív rendszerekkel Minthogy az impulzív rendszerek formális leírása és néha viselkedése egészen bonyolult lehet, csak ritkán részei a szokásos egyetemi kurzusoknak. Projektjeink néhány egyszerű modellt vizsgálnak és segítenek ezen fontos rendszerek természetének a megértésében. Ilyen például az ismételt gyógyszeradagolás, amelynél a dózisok közt eltelt időnek és a dózisok nagyságának az optimális beállítása alapvető fontosságú az alul- és túladagolás elkerülése és gazdasági szempontokból egyaránt..5.5 4 6 8 0 6. ábra. Az első dózistól való függés 7. Példa. Egy kis pihenő, számítógépes grafika és függvényábrázolás A komoly modellezési problémák között aktív relaxáció a felületek ábrázolása. Ábrázoljuk ugyanazt a függvényt a Descartes-féle koordinátarendszerben, henger-, polár-, toroid-, vagy valami egészen más koordinátarendszerben. Kellemes élményben lehet részünk. Mindemellett, fejlődik hallgatóink térlátása is. 7. ábra. Hullámok különböző terekben
Hivatkozások [] Beltrami, E.: Mathematics for Dynamic Modeling, Academic Press, 998. [] Giordano, F. R., Weir, M. D., Fox W. P.: A First Course in Mathematical Modeling, Brooks/Cole Publishing Company, 997. [] Gaylord, R. J., Wellin, P. R.: Computer Simulations with Mathematica, Telos-Springer, 995. [4] Dreyer, T. P.: Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 99. [5] Hege, H. C., Polthier, K. (Eds.): Visualization and Mathematics, Experiments, Simulations and Environments, Springer, 997. [6] Forczek E., Karsai J., Computer visualization in the Mathematics Classroom, Proceedings of the M/SET 000-International Conference on Mathematics / Science Education and Technology, San Diego CA, February 5-, 000. [7] Karsai J., Forczek E., Computer visualization in teaching Mathematics (in Hungarian), Proceedings of the Workshop on Multimedia in Higher Education, Keszthely, 995, 54-60. [8] Karsai, J.: Mathematics for Pharmacy Students (in Hungarian), A. Szent-Györgyi Med. Univ., 996. [9] Karsai J., Hantos Z.: Computer curricula at Albert Szent-Györgyi Medical University: infrastructure, programmes and development, Medical Informatics Europe '96, Technology and Informatics 4, IOS Press, 996, 88-84. [0] Karsai J., Forczek E., Nyári T.: Computer Visualization in Teaching Mathematics: Tools, Developments and Experiences (in Hungarian), Proceedings of the nd Conference on Informatics in Higher Education, Debrecen, 996, 59-597. [] Karsai J. et al, Computer labs to improve the visual thinking and intuition, Proceedings of the 0th SEFI MWG European Seminar on Mathematics in Engineering Education, June 4-6, 000. Miskolc, 7-79. [] Wolfram, S.: Mathematica, A System for Doing Mathematics by Computer, Addison- Wesley Publishing Company, 994. Karsai János, Ph.D. Szegedi Tudományegyetem, Orvosi Informatikai Intézet 670 Szeged Korányi fasor 9. E-mail: karsai@dmi.u-szeged.hu www: http://silver.szote.u-szeged.hu Szanyiné Forczek Erzsébet Szegedi Tudományegyetem, Orvosi Informatikai Intézet 670 Szeged Korányi fasor 9. E-mail: forczek@dmi.u-szeged.hu www: http://web.szote.u-szeged.hu/dmi/