PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Ábrázoló geometria példákon keresztül 2011 1
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült:a Typotex Kiadó és a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Felelős Kiadó: Votisky Zsuzsa Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-279-462-4 Copyright: 2011 2016, Szilágyi Brigitta, Prok István A terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. 2
Készségfejlesztő feladatok Tangram Kockaforgatás Formafelismerés Vetületek 1. Térgeometriai bevezetés 2. Merőleges vetítés, kétképsíkos ábrázolás 3. Térelemek ábrázolása, illeszkedési feladatok, láthatóság 4. Egyenes és sík döféspontja, síkok metszésvonala Síkidomok áthatása 5. Áttérés új képsíkrendszerre, egyenes és sík transzformálása Poliéder adott irányú nézete Kitérő egyenesek távolsága, hajlásszöge és normáltranszverzálisa Testábrázolás képsík-transzformációval 6. Poliéder-felület metszete síkkal és egyenessel Poliéder síkmetszete 7. Poliéder-felületek áthatása Poliéder és vetítőhasáb áthatása Poliéderek áthatása 8. Méretes alapszerkesztések Méretes testábrázolás 1 Vetítősíkra épített test Méretes testábrázolás 2 Általános síkra épített test Méretes testábrázolás 3 Általános síkra épített test 9. Ellipszis, hiperbola, parabola 10. Körábrázolás Vetítősíkra illeszkedő kör Általános síkra illeszkedő kör 11. Axonometrikus ábrázolás Testábrázolás ortogonális axonometriában 12. Felületek ábrázolása 13. Forgásfelületek síkmetszete Forgáskúp síkmetszeteinek osztályozása Gömb síkmetszete Forgáshenger síkmetszete Forgáskúp síkmetszete 14. Forgásfelületek áthatása Forgáskúp és gömb áthatása 3
4
TANGRAM Mi is a Tangram? Egy hét elemből álló összerakós játék, amely Kínából jutott el Európába és Amerikába a XIX. század elején. Számtalan legenda fűződik hozzá. A legelterjedtebb szerint a játék ősi eredetű, és a császári dinasztiák már évezredek óta használják díszítésre, jóslásra, játékra. Ma már a világ egyik legnépszerűbb kirakó játéka. A kalandos eredet azonban, amelyről több forrás is beszámol, valószínűleg csak ügyes reklámfogás. A feladatokban szereplő alakzatokat Tangram elemeiből kell kirakni. Javasoljuk az elemek elkészítését, akár úgy, hogy az alábbi képet kinyomtatjuk és a vastag vonalak mentén feldaraboljuk, akár egyéb időállóbb anyagból hozzuk létre saját játékunkat. Ha feltesszük, hogy a darabokból kirakható alapnégyzet átlója egység hosszúságú, akkor az alkotó elemek méretei a következők: Két nagy egyenlő szárú, derékszögű háromszög az ábrán narancssárga és ciánkék melynek befogói, átfogója pedig hosszúságú. Egy közepes egyenlő szárú, derékszögű háromszög sárga melynek befogói, átfogója hosszúságú. Két kis egyenlő szárú, derékszögű háromszög világoszöld és sötétzöld melynek befogói, átfogója hosszúságú. A barna négyzet oldalhossza:. A sötétkék parallelogramma hosszabbik oldalai, rövidebb oldala hosszúságúak (szögei 45 és 135 ). 5
Fu Traing Wang és Chuan-chin Hsiung 1942-ben bizonyította, hogy tizenhárom különböző konvex alakzat készíthető az összes elem felhasználásával. Ezek az alábbiak: A Tangramból kirakhatók például hiányos négyzetek: Emberfigurák: Különböző állatfigurák: Javasoljuk az olvasónak, hogy próbálja meg kirakni a fenti alakzatokat, és ha kedvet kapott a játékhoz, gondolkodjon a mellékelt példatár feladványainak megoldásán is. 6
1. 2.* 3. 4.* Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 7
1. 2.* 3. 4.* Megoldás 8
5. 6.* 7. 8. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 9
5. 6.* 7. 8. Megoldás 10
9. 10. 11.* 12.* Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 11
9. 10. 11.* 12.* Megoldás 12
13.* 14.* 15.* 16.* Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 13
13.* 14.* 15.* 16.* Megoldás 14
17.* 18.* 19. 20.* Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 15
17.* 18.* 19. 20.* Megoldás 16
21.* 22.* 23. 24.* Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 17
21.* 22.* 23. 24.* Megoldás 18
25.* 26.* 27.* 28. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 19
25.* 26.* 27.* 28. Megoldás 20
29. 30. 31.* 32. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 21
29. 30. 31.* 32. Megoldás 22
33. 34. 35. 36. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 23
33. 34. 35. 36. Megoldás 24
37. 38. 39. 40. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 25
37. 38. 39. 40. Megoldás 26
41. 42. 43. 44. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 27
41. 42. 43. 44. Megoldás 28
45. 46. 47. 48. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 29
45. 46. 47. 48. Megoldás 30
49. 50. 51. 52. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 31
49. 50. 51. 52. Megoldás 32
53. 54. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 33
53. 54. Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből? *a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni 34
1. 2. 3. 4. 5. Egy kocka pontosan három lapjára vonalakat rajzoltunk, a többit üresen hagytuk. Válasszuk ki a szaggatott vonal után állók közül azokat, amelyek a vonal előtt álló kocka elforgatásával nyerhetők! 35
6. 7. 8. 9. 10. Egy kocka pontosan három lapjára vonalakat rajzoltunk, a többit üresen hagytuk. Válasszuk ki a szaggatott vonal után állók közül azokat, amelyek a vonal előtt álló kocka elforgatásával nyerhetők! 36
11. 12. 13. 14. Egy kocka pontosan három lapjára vonalakat rajzoltunk, a többit üresen hagytuk. Válasszuk ki a szaggatott vonal után állók közül azokat, amelyek a vonal előtt álló kocka elforgatásával nyerhetők! 37
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 38
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 39
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 40
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 41
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 42
Egy lehetséges megoldás -6 kocka- 43
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 44
Egy lehetséges megoldás -9 kocka- 45
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 46
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 47
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 48
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 49
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 50
Egy lehetséges megoldás -7 kocka- 51
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 52
Egy lehetséges megoldás -7 kocka- 53
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 54
Egy lehetséges megoldás -9 kocka- 55
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 56
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 57
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 58
Egy lehetséges megoldás -8 kocka- 59
Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat? 60
Egy lehetséges megoldás -7 kocka- 61
Az ábrán egy síklapokkal határolt test rendezett felül-, oldal- és elölnézeti képeit láthatjuk. Mi lehet a test? Rajzoljuk meg egy általános (pl. axonometrikus) vetületét! 62
Megoldás 63
Az ábrán egy síklapokkal határolt test rendezett felül-, oldal- és elölnézeti képeit láthatjuk. Mi lehet a test? Rajzoljuk meg egy általános (pl. axonometrikus) vetületét! 64
Megoldás 65
Az ábrán egy síklapokkal határolt test rendezett felül-, oldal- és elölnézeti képeit láthatjuk. Mi lehet a test? Rajzoljuk meg egy általános (pl. axonometrikus) vetületét! 66
Megoldás 67
Az ábrán egy síklapokkal határolt test rendezett felül-, oldal- és elölnézeti képeit láthatjuk. Mi lehet a test? Rajzoljuk meg egy általános (pl. axonometrikus) vetületét! 68
Megoldás 69
Rajzoljuk meg a fönti, síklapokkal határolt testnek a nyilakkal jelölt irányokból adódó három rendezett vetületét! 70
Megoldás 71
Rajzoljuk meg a fönti, síklapokkal határolt testnek a nyilakkal jelölt irányokból adódó három rendezett vetületét! 72
Megoldás 73
Rajzoljuk meg a fönti, síklapokkal határolt testnek a nyilakkal jelölt irányokból adódó három rendezett vetületét! 74
Megoldás 75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188