MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet megoldásával kapcsolatban? = x + 4 3 a) x = 0, b) végtelen sok megoldása van, c) nincs megoldása pont 11) Ha az A halmaznak 15 eleme van, a B halmaznak 9 eleme van, az A B halmaz 6 elemű, akkor hány eleme van az A B halmaznak? pont 113) Mely valós számokra igaz? 1 7 x 1 49 114) Az ABCD négyzet középpontja O Mekkora a négyzet területe, ha AO = 8 cm? pont 115) Egy konvex sokszög valamely csúcsából 5 átló húzható Mekkora e sokszög belső szögeinek összege? DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 99

11 FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 116) Egy üzletben egy liter tej ára 140 Ft, egy kg kenyéré pedig 10 Ft Egy napon a tej árát 10%-kal növelték, a kenyérét pedig 15%-kal csökkentették e boltban Ezen a napon egy liter tejért és egy kg kenyérért többet vagy kevesebbet fizetünk, mint az előző napon? 117) Egy urnába elhelyeztük az 1,, 3, 4, 5 számjegyeket, majd visszatevés nélkül kihúztunk egymás után -t és leírtuk sorban egymás mellé a kihúzott számjegyeket Mekkora annak a valószínűsége, hogy a leírt szám prímszám? 118) Az ábrán két edény és két grafikon látható A grafikonok az egyes edényekben levő folyadékmennyiséget szemléltetik a folyadék magasságának függvényében Melyik grafikon melyik edényhez tartozik? Válaszát indokolja! pont 119) Egy téglalap alakú konyha padlózatát szeretnénk járólappal lefedni A téglalap oldalai:,8 m és 3,6 m Egy járólap méretei: 10 cm x 0 cm Hány darab lapot kell vennünk, ha selejtre, törésre 10%-t kell számítani? 100 EGÉSZ ÉVES ÉS INTEZÍV ÉRETTSÉGI ELÕKÉSZÍTÕ TANFOLYAMOK

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 1110) Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x 3 1 függvényt! 1111) Az ABC derékszögű háromszög befogói: AC = 18, BC = 8 Az A csúcsból induló szögfelező talppontja E Milyen távol van az E pont a C csúcstól? 4 pont II/A rész Felhasználható idő: 135 perc 111) Egy számtani sorozat nyolcadik eleme 45, a tizenegyedik eleme pedig a második elemének hétszerese a) Melyik ez a számtani sorozat? 6 pont b) Hány prímszám van ebben a számtani sorozatban? c) Adja meg a sorozatnak három olyan elemét, melyek egy mértani sorozat egymást követő elemei! DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 101

11 FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 1113) Az alábbi táblázatban egy tavaly érettségizett 6 fős osztálynak a matematika érettségin az egyes feladatokra kapott összpontszámát láthatjuk Az első sorban a feladatok sorszáma mellett a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámot tüntettük fel, a másodikban pedig a 6 tanuló által a kérdéses feladatra kapott pontok számát 1 3 4 5 6 7 (9 pont) (9 pont) (14 pont) (16 pont) (10 pont) (10 pont) (1 pont) 19 180 16 3 38 10 4 a) Hány %-os az osztály teljesítménye? 6 pont b) Ábrázolja egy oszlopdiagramon az osztály egyes feladatokban elért teljesítményét! 4 pont c) Melyik feladatnál érte el az osztály a legjobb, ill a leggyengébb teljesítményt? pont 1114) Egy téglalap alakú teniszpályát egy olyan lámpával világítanak meg, mely a téglalap átlóinak metszéspontja fölött van A lámpa fénykúpjának nyílásszöge 10 o A téglalap oldalai 4 m és 11 m a) Legalább milyen magasan kell elhelyezni a lámpát, hogy az a pálya minden pontját megvilágítsa? 8 pont 10 EGÉSZ ÉVES ÉS INTEZÍV ÉRETTSÉGI ELÕKÉSZÍTÕ TANFOLYAMOK

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR b) A pályát cm vastagon beborították egy speciális tömör salakkal Mennyibe került ez, ha e salak ára dm 3 -ként 86 Ft? 4 pont II/B rész Az alábbi három feladat közül tetszés szerint választott kettőt kell csak megoldani 1115) Egy téglatest élei egymást követő pozitív egész számok A térfogat mértéke a legrövidebb oldal mértékének 0-szorosa a) Mekkora a téglatest testátlója? 7 pont b) Számítsa ki a leghosszabb él végpontjaiból induló testátlók hajlásszögét! 5 pont c) A téglatestet pirosra festettük, majd lapjaival párhuzamos síkokkal egységnyi élű kis kockákra vágtuk szét Hány db olyan kis kocka keletkezett, melynek pontosan két lapja piros? 5 pont 1116) Egy térképhez rögzített koordinátarendszerben az A falu koordinátái A(; 6), a B falu koordinátái B(8; 4) Az országút egyenlete y = (Az egység 1 km) a) Hol helyezzék el az országúton az M buszmegállót, hogy az az A falutól és a B falutól egyenlő távolságra legyen? 8 pont DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 103

11 FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE b) A két falu önkormányzata úgy döntött, hogy építenek egy-egy bekötőutat a buszmegállótól az A, ill a B faluba 1 km út megépítése 8, millió Ft, a két falunak pedig összesen 5 millió Ft-ja van erre a célra Mennyi állami támogatást kell kérniük, hogy az utakat megépíthessék? 5 pont c) András az A faluban, édesanyja pedig B-ben lakik András megígérte édesanyjának, hogy átmegy hozzá és kiviszi kocsival a megállóba 10 óra 30-kor érkező buszhoz Legkésőbb mikor kell elindulnia A-ból kocsival, ha átlagosan 60 km/h sebességgel halad és édesanyjának felvétele két percet vesz igénybe? 4 pont 1117) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 1 1 y + =, sin x + sin y = 0 1+ x 1 x 1+ x 17 pont 104 EGÉSZ ÉVES ÉS INTEZÍV ÉRETTSÉGI ELÕKÉSZÍTÕ TANFOLYAMOK

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 113

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR MEGOLDÁSA I rész 111) Az egyenletből: 6 x 1 = 6x + 1 ; az egyenletnek nincs megoldása, tehát a c) állítás igaz 11) A feltételekből az alábbi halmazábra következik: Így az A B halmaznak 9 eleme van 113) 7 x 7, azaz x, ahonnan x 114) Készítsünk ábrát! Ha AO = 8 cm, akkor a négyzet oldala: AB = 8 cm Ekkor a T terület 115) Ha egy csúcsból 5 átló húzható, akkor a sokszögnek 8 oldala van, így belső szögeinek összege: ( 8 ) 180 = 1080 116) A kérdéses napon a tejért és a kenyérért fizetendő összeg: 1,1 140 + 0,85 10 = 154 + 10 = 56 Ft Ez kevesebb, mint az előző napon fizetendő 140 + 10 = 60 Ft 117) Az adott módon képezhető valamennyi kétjegyű szám: 1, 13, 14, 15, 1, 3, 4, 5, 31, 3, 34, 35, 41, 4, 43, 45, 51, 5, 53, 54 Közülük a prímeket aláhúztuk Így a keresett valószínűség: 0, 3 0 118) Az 1 grafikon az a), a grafikon a b) edényhez tartozik Ugyanis a henger esetében a térfogat növekedése a magassággal egyenesen arányos, a gömb esetében viszont nem DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 157

MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 11 FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 119) A területet 14 36 db csempével lehet lefedni Így a szükséges csempék száma: 14 36 1,1 = 554,4 555 db csempe 1110) Az f ( x) = x 3 1 függvény grafikonja: 1111) Az ábra jelöléseivel: 8 α tg α =, ahonnan 1 Ezzel 18 EC tg 1 =, ahonnan EC 18 0,15 3, 8 18 II/A rész 111) a) a 8 = 45 és a 11 = 7a Részletesen kiírva: a 1 + 7d = 45 és a1 + 10d = 7a1 + 7d A második egyenlőségből: 3d = 6a1, ahonnan d = a1 Ezt az első egyenlőségbe helyettesítve: a 1 + 14a 1 = 45, azaz a = 1 3 és ezzel d = 6 Tehát a számtani sorozat első eleme 3, differenciája 6 b) Egyetlen prímszám van a számtani sorozatban, az első elem Ugyanis a sorozat n-edik tagja (n>1): = 3 + ( n 1) 6, ahonnan látszik, hogy a sorozat minden további tagja osztható 3-mal a n c) Írjuk fel a sorozat első néhány elemét: 3, 9, 15, 1, 7, 33, A sorozat első, a második és az ötödik tagja egy q = 3 differenciájú mértani sorozat egymást követő tagjai (Természetesen nem ez az egyedüli megoldás) 1113) a) A maximálisan elérhető pontszám: 6 (9 + 9 + 14 + 16 + 10 + 10 + 1) = 080 Az osztály által elért összpontszám: 19 + 180 + 16 + 3 + 38 + 10 + 4 = 1438 1438 Így az osztály teljesítménye: 100 69,13% 080 158 EGÉSZ ÉVES ÉS INTEZÍV ÉRETTSÉGI ELÕKÉSZÍTÕ TANFOLYAMOK

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 11 FELADATSOR b) c) Az elérhető és elért pontszám közötti különbség a legkisebb az 5, a legnagyobb a 3 feladatnál Így a legjobb teljesítményt az 5, a leggyengébb teljesítményt a 3 feladatnál érték el az osztály tanulói 1114) a) A pálya két legtávolabbi pontja a téglalap valamelyik átlójának két végpontja Ezt d- vel jelölve: d = 4 + 11 = 697 Ezek után az alábbi rajzzal modellezhetjük a kérdést: 697 Innen tg60 = 697, vagyis h = 7, 6 méter h 3 Tehát a lámpát legalább 7,6 méter magasan kell elhelyezni, hogy a pálya minden pontját megvilágítsa b) A salakozáshoz felhasznált salak térfogata: 40 110 0, = 580 dm Ennek költsége az adatok alapján: 580 86 = 454080 Ft II/B rész 1115) Legyen a középső oldal mértéke x ( x > 1) Ekkor a másik két oldal mértéke x 1 és x + 1 a) A feltételek szerint ( x 1) x( x + 1) = 0( x 1), azaz x + x 0 = 0, DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 159

MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 11 FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 1± 81 1± 9 x 1, = =, x 1 = 5, 4 x = A negatív gyök nyilván érdektelen számunkra, így a téglatest oldalai: 3, 4, és 5 A testátló hossza: 3 + 4 + 5 = 50 7, 07 b) Az ábra ABK egyenlő szárú háromszögének a szárszögét kell meghatároznunk 5 α 5 1 sin = = = 50 50 α Innen = 45, azaz α = 90 Tehát a leghosszabb él két végpontjából induló testátló merőleges egymásra c) Azok a kis kockák, melyeknek két lapja piros, az éleken vannak, leszámítva a csúcsokban levőket Így az ilyen kis kockák száma: 4 1+ 4 + 4 3 = 4 1116) a) Ábrázoljuk az adatokat egy koordinátarendszerben! Ha az M pont ugyanolyan távol van A-tól, mint B-től, akkor M-nek rajta kell lennie az AB szakasz felezőmerőlegesén! Az AB szakasz F felezőpontjának a koordinátái: F(5; 5) Az AB egyenes egy irányvektora: v AB (6; - ), azaz v(3; -1) Ez a vektor a felezőmerőlegesnek egy normálvektora, így a felezőmerőleges egyenlete: 3 x y = 10 Mivel y =, ezért x = 4 Tehát az M pont koordinátái: M(4; ) 160 EGÉSZ ÉVES ÉS INTEZÍV ÉRETTSÉGI ELÕKÉSZÍTÕ TANFOLYAMOK

EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 1 FELADATSOR b) A bekötőutak hossza: MA = + 4 = 0 km Így az elkészítésükhöz szükséges pénzösszeg: 0 8, 73,343 millió Ft Figyelembe véve a rendelkezésre álló összeget, a szükséges állami támogatás összege: 73,343 5 = 1,343 millió Ft c) Az AB távolság: AB = 6 + = 40 km Így Andrásnak összesen meg kell tennie 40 + 0 10,7967, azaz 10,8 km-t Mivel 60 km/h a sebessége, így 1 km-t 1 perc alatt tesz meg, tehát az autózáshoz szükséges idő: 10,7967 perc Édesanyja felvétele perc, így, ha el akarja érni a kérdéses autóbuszt, legkésőbb 10 után17, perccel el kell indulnia 1117) Az egyenletrendszer első egyenletéből x 0 és x 1 Bővítsük az első egyenlet bal oldalának második törtjét x-szel: 1 x y 1+ x y + =, azaz =, 1+ x x + 1 x x + 1 x ahonnan x = y Ezt a második egyenletbe helyettesítve: sin y + sin y = 0, azaz sin y cos y + sin y = 0, sin y (cos y + 1) = 0 Innen vagy sin y = 0 vagy cos y + 1 = 0, azaz 1 cos y = Ha sin y = 0, akkor y = kπ és x = kπ ( k Z, k 0) 1 π 4π Ha cos y =, akkor y = ± + nπ, x = ± + nπ 3 3 ( n Z) 1 FELADATSOR MEGOLDÁSA I rész 135 11) A tanulók 36%-a fiú, tehát az iskolába járó diákok száma: 100 = 375 36 1) a) Igaz, b) hamis 13) P-nél derékszög van Ha PBA = 4, akkor PAB = 90 4 = 66 14) x y xy xy = x( x y( y y) x) = x y 15) A vízállás kb szeptember közepétől november végéig volt legalább 500 cm fölött, így ebben az időszakban legalább I fokú árvízvédelmi készültség volt a községben DFT-BUDAPEST, wwwdfthu, info@dfthu; (06-1) 473-0769 161