Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása

Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Zankó Istvánné tanár Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály Mûszaki Kiadó, Budapest

Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az elôzô kiadásokat bírálták: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus TÜSKÉS GABRIELLA matematika szaktárgyi szakértô Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Zankó Istvánné, 2010 Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2010 ISBN 978-963-16-4508-8 Azonosító szám: MK 4191-0/UJ Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Orgován Katalin ügyvezetô igazgató Szerkesztôségvezetô: Hedvig Olga Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki szerkesztô: Csukás Márta Borítóterv: H-moll Grafika Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Garay Ferenc Terjedelem: 16,45 (A/5) ív 1. kiadás e-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu www.muszakikiado.hu www.hajdumatek.hu

Tartalom MÉRTÉKEGYSÉGEK... 6 1. A TERMÉSZETES SZÁMOK... 7 A tízes számrendszer... 7 A római számírás... 9 Továbblépünk a tízes számrendszerben... 9 Tájékozódás a számegyenesen... 11 Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb... 12 Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel,...... 13 A természetes számok kerekítése... 15 Hosszúságmérés... 17 Tömegmérés... 17 A természetes számok összeadása... 18 A természetes számok kivonása... 19 A természetes számok szorzása... 21 Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval... 22 Az idõ mérése... 23 Osztó, többszörös... 25 A természetes számok osztása... 27 Osztás egyjegyû osztóval... 27 Az összeg és a különbség osztása... 28 Osztás többjegyû osztóval... 29 A mûveletek sorrendje... 30 Gyakorlófeladatok... 31 Nem tízes alapú számrendszerek... 34 Törd a fejed!... 35 Tudáspróba... 39 2. GEOMETRIAI ALAKZATOK... 40 Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal... 40 Egyenesek kölcsönös helyzete... 40 Síkidomok, sokszögek... 41 Egybevágó síkidomok... 42 Téglalap, négyzet... 42 A terület mérése, mértékegységei... 43 A téglalap területe... 44 Téglatest, kocka... 45 Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben... 46 A téglatest hálója, felszíne... 47 A téglatest térfogata... 47 Az ûrtartalom mérése... 49 3

Gyakorlófeladatok... 50 Törd a fejed!... 52 Képességpróba... 58 Tudáspróba... 58 3. A TÖRTEK... 60 A törtek értelmezése... 60 Törtek bõvítése, egyszerûsítése... 62 Törtek összehasonlítása... 63 Egyenlõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása... 64 Különbözõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása... 65 Törtek szorzása természetes számmal... 66 Törtek osztása természetes számmal... 68 Mi a valószínûbb?... 70 Gyakorlófeladatok... 71 Törd a fejed... 74 Tudáspróba... 78 4. GEOMETRIAI VIZSGÁLATOK, SZERKESZTÉSEK... 79 Ponthalmazok, a kör és a gömb... 79 Háromszög szerkesztése... 80 Szakaszfelezõ merõleges... 81 Téglalap szerkesztése... 82 Testek ábrázolása... 83 A szögtartomány... 86 A szögek mérése szögmérõvel... 87 A szögek fajtái... 88 Tájékozódás a terepen és a térképen... 89 Tájékozódás iránytûvel, tájolóval... 90 Gyakorlófeladatok... 90 Törd a fejed!... 93 Tudáspróba... 98 5. A TIZEDESTÖRTEK... 99 A tizedestörtek értelmezése... 99 A tizedestörtek ábrázolása számegyenesen... 102 A tizedestörtek egyszerûsítése, bõvítése, összehasonlítása... 102 A tizedestörtek kerekítése... 103 A mérés pontosságának jelzése... 104 Euróval fizetünk... 105 A tizedestörtek összeadása, kivonása... 105 Az összeadás és a kivonás tulajdonságai... 108 A tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel,...... 109 A tizedestörtek szorzása természetes számmal... 109 4

A tizedestörtek osztása természetes számmal... 110 Az átlag kiszámítása... 111 Törtalakban írt szám tizedestört alakja... 112 Gyakorlófeladatok... 112 Tudáspróba... 117 6. ÖSSZEFÜGGÉSEK, NYITOTT MONDATOK... 118 Táblázatok, grafikonok... 118 Összefüggések, sorozatok... 120 Arányos következtetések... 122 Egyenlet, egyenlõtlenség... 123 Gyakorló- és fejtörõ feladatok... 125 Tudáspróba... 129 7. AZ EGÉSZ SZÁMOK... 130 Nem elég a természetes szám... 130 Az egész számok összehasonlítása... 131 Az egész számok abszolútértéke... 132 Az egész számok összeadása, kivonása... 133 A derékszögû koordináta-rendszer... 135 Gyakorlófeladatok... 136 Törd a fejed!... 138 Tudáspróba... 141 8. ÖSSZEFOGLALÓ... 142 Számok és mûveletek... 142 Mérések, mértékegységek, geometria... 145 Képességpróbák... 149 A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA... 150 1. A természetes számok... 150 2. Geometriai alakzatok... 157 3. A törtek... 163 4. Geometriai vizsgálatok, szerkesztések... 166 5. A tizedestörtek... 169 6. Összefüggések, nyitott mondatok... 172 7. Az egész számok... 173 8. Összefoglaló... 174 5

MÉRTÉKEGYSÉGEK Hosszúságmérés: alapegység az 1 méter (jele: m). A Párizson átmenõ délkör hossza körülbelül 40 000 000 m = 40 000 km. Tömegmérés: alapegysége az 1 gramm (jele: g), SI-ben az 1 kilogramm (kg). 1000 g = 1 kg, az 1 l tiszta 4 C-os víz tömege. Nagyobb tömeg mérésére használják a tonnát (jele: t). 1 t = 1000 kg Ûrtartalommérés: alapmértékegysége az 1 liter (jele: l). 1 l 1 dm 3 (nagyon kicsi az eltérés). 1000 l 1 m 3 Az egység ezerszeresét a kilo-, százszorosát a hekto-, tízszeresét a deka-, tizedrészét a deci-, századrészét a centi-, ezredrészét a milli- elõtagok jelentik. Az alapegység hányszorosa (mekkora része) 1000 100 10 1 1 10 1 100 1 1000 A hosszúság mértékegységei méter Jelölés km m dm cm mm A tömeg mértékegységei gramm Jelölés kg dkg, dag g dg cg mg Az ûrtartalom mértékegységei liter Jelölés hl l dl cl ml kilométer deciméter centiméter milliméter kilogramm dekagramm decigramm centigramm milligramm hektoliter deciliter centiliter milliliter Idõmérés mértékegységei: óra (= hora; jele: h); 1 nap = 24 h; perc (= minutum; jele: min); 1 h = 60 min; másodperc (= secundum; jele: s); 1 min = 60 s Nagyobb idõhossz mérésére használjuk az évet: 1 év 365 nap 6

1. A TERMÉSZETES SZÁMOK A tízes számrendszer Helyiértékes írásmód a tízes számrendszerben 1. a) 79 531 Ft; b) 70 953 Ft; c) 7953 Ft; d) 79 503 Ft 7953 Ft < 70 953 Ft < 79 503 Ft < 79 531 Ft 2. a) Sok megoldás van. Például: 3 50 + 1 10 + 1 5 + 1 2 + 1 1 = 8 20 + 4 2 = 16 10 + 8 1 = = 2 50 + 3 20 + 1 5 + 3 1 = 1 50 + 11 10 + 2 2 + 4 1 b) Visszaadás nélkül: 1 100 + 1 50 + 1 10 + 1 5 + 1 2 + 1 1 c) 2 db százassal fizetünk, és visszakapunk 32 Ft-ot. 3. Sz T E sz t e a) Az 5 tényleges értéke: 5 3 4 0 9 ötvenezer 4 9 2 5 1 ötven 5 0 0 ötszáz 4 8 3 1 5 öt 5 0 9 4 ötezer b) Rendre: 9, egyes; 9, ezres; 5, százas; 8, ezres; 9, tízes c) Rendre: tízezres, 5; tízezres, 4; százas, 5; tízezres, 4; ezres, 5 4. a) 30 456; 34 506; 3456; b) 5 480; 50 048; c) 75 304; 34 750; 54 800; 50 480; 57 430; 43 075 5. a) 10; 100; 1000; 10 000 b) 10; 100; 1000 6. a) 50-et; b) 30-at; c) 20-at 7

7. a) 135 = 1 100 + 3 10 + 5 1; 306 = 3 100 + 0 10 + 6 1; 2345 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 5 1; 5008 = 5 1000 + 0 100 + 0 10 + 8 1; 23 205 = 2 10 000 + 3 1000 + 2 100 + 0 10 + 5 1; 20 034 = 2 10 000 + 0 1000 + 0 100 + 3 10 + 4 1 8. a) A legkisebb háromjegyû szám: 100; a legnagyobb: 999 b) A kétjegyû természetes számok száma: 99 9 = 90 (10; 11;...; 99); a háromjegyûeké: 999 99 = 900 (100; 101;...; 999); a négyjegyûeké: 9999 999 = 9000 (1000; 1001;...; 9999) c) Az ötjegyû kerek tízesek: 10 000; 10 010; 10 020;...; 99 980; 99 990 0-tól 99 990-ig 10 000 db kerek tízes van. 0-tól 9 990-ig 1 000 db kerek tízes van. 10 000-tõl 99 990-ig 10 000 1000 = 9000 kerek tízes van, ezek az ötjegyû kerek tízesek. Az ötjegyû kerek százasok: 10 000; 10 100; 10 200;...; 99 800; 99 900 10 000-tõl 99 900-ig 1000 100 = 900 kerek százas van. 10 000-tõl 99 000-ig 100 10 = 90 kerek ezres van. 9. a) 60 Ft; 600 Ft; 6 000 Ft; 60 000 Ft b) 100 Ft; 1 000 Ft; 10 000 Ft; 100 000 Ft c) 80 Ft; 800 Ft; 8 000 Ft; 80 000 Ft d) 100 Ft; 1 000 Ft; 100 000 Ft; 100 000 Ft e) 5 000 Ft; 5 000 Ft; 50 000 Ft; 50 000 Ft f) 100 000 Ft; 100 000 Ft; 100 000 Ft; 100 000 Ft 10. a) 65 738, 65 648; b) 71 010, 70 920; c) 34 995, 34 905 11. a) 64 748, 55 748; b) 70 200, 61 200; c) 29 321, 20 321 12. a) 70 008; b) 70 098; c) 70 998 13. a) 21 000, 22 000, 23 000,..., 34 000, 35 000 b) 23 000, 23 100, 23 200,..., 24 800, 24 900 c) 30 000, 40 000, 50 000 d) Nincs ilyen szám. 8 e) 25 002, 25 004, 25 006,..., 25 022, 25 024

A római számírás 14. XVIII; XXXI; XLV; XCIV; CCXLVIII; CDV; DCCCXXXIX; MCMXCIX; MMDCCCII; MMM 15. 66; 44; 298; 609; 911; 3999 Továbblépünk a tízes számrendszerben 16. a) Háromszázhuszonnégy; ezerkétszáznegyven (csekken: egyezerkettõszáznegyven); ezerhét; kétezer; kétezer-egy; huszonötezer; ötezer-háromszáznegyven; huszonnégyezer-három. b) Növekvõ sorrendben: 20 003; 20 008; 20 803; 28 003; 30 208; 200 038; 208 003 17. Csökkenõ sorrendben: 500 004; 450 004; 404 040; 54 000; 5405; 5004; 4500 18. a) 50 525; b) 500 075; c) 50 525; d) 50 525; e) 500 720; f) 502 575 19. a) 1234; 1243; 1324; 1342; 1423; 1432; 2134; 2143; 2314; 2341; 2413; 2431; 3124; 3142; 3214; 3241; 3412; 3421; 4123; 4132; 4213; 4231; 4312; 4321 A számokat növekvõ sorrendben írtuk fel. b) Hat számban áll a százasok helyén 4. c) Hat számban áll az ezresek helyén 2. 20. A kirakható négyjegyû számok növekvõ sorrendben: 2059; 2095; 2509; 2590; 2905; 2950; 5029; 5092; 5209; 5290; 5902; 5920; 9025; 9052; 9205; 9250; 9502; 9520 a) A legkisebb: 2059, mert 0-val négyjegyû szám nem kezdõdik; a legnagyobb: 9520 b) 18-at; c) 6; d) 4; e) 10-et 21. a) 865 420; b) 204 568 9

22. a) 45 687; 45 688; 45 689; 45 690; 45 691 b) 45 687; 45 697; 45 707; 45 717; 45 727 c) 45 687; 45 787; 45 887; 45 987; 46 087 d) 45 687; 46 687; 47 687; 48 687; 49 687 e) 45 687; 55 687; 65 687; 75 687; 85 687 f) 45 687; 145 687; 245 687; 345 687; 445 687 23. a) 523 452; 523 451; 523 450; 523 449; 523 448 b) 523 452; 523 442; 523 432; 523 422; 523 412 c) 523 452; 523 352; 523 252; 523 152; 523 052 d) 523 452; 522 452; 521 452; 520 452; 519 452 e) 523 452; 513 452; 503 452; 493 452; 483 452 f) 523 452; 423 452; 323 452; 223 452; 123 452 24. a) 234 897; 234 902; 234 907; 234 912; 234 917; 234 922 b) 234 897; 234 947; 234 997; 235 047; 235 097; 235 147 c) 234 897; 235 397; 235 897; 236 397; 236 897; 237 397 d) 234 897; 239 897; 244 897; 249 897; 254 897; 259 897 e) 234 897; 284 897; 334 897; 384 897; 434 897; 484 897 25. a) 4000-rel csökken; b) 400-zal nõ; c) 30 000-rel nõ; d) 3-mal csökken; e) 300 000-rel nõ; f) 30-cal csökken 26. a) Shreket. b) Macskafogó. c) A 3. héten, 4586-tal. d) Lecsó. e) Shrek. 27. a) 167 b) Margó: 10

Tájékozódás a számegyenesen 28. a) b) c) 29. a) x = 200; y = 350; z = 620; u = 770; v = 1000; w = 1100 b) Az a) feladatban adott számok 10-szeresei. Például: x = 2000 c) Az a) feladatban adott számok 100-szorosai. Például: x = 20 000 d) Az a) feladatban adott számok 1000-szeresei. Például: x = 200 000 30. a) x = 700; y = 3000; z = 5400; u = 7500; v = 8800; w = 10 000 b) Minden szám 20 000-rel nagyobb, mint az a) feladatban: x = 20 700; y = 23 000; z = 25 400;...; w = 30 000 c) x = 70 700; y = 73 000;...; w = 80 000 d) x = 130 700; y = 133 000;...; w = 140 000 31. a) a = 65; b = 400; c = 525; d = 810; e = 1150 b) a = 6518; b = 40 000; c = 52 480; d = 80 850; e = 116 000 32. a) b) c) d) 11

e) A növekvõ sorrend leolvasható a számegyenesrõl. Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb 33. a) 245 682; 245 684; 245 686; 245 688; 245 690; 245 692; 245 694; 245 696; 245 698; 245 700 b) 46 787; 46 789; 46 791; 46 793; 46 795; 46 797; 46 799 c) 415 610; 415 620; 415 630; 415 640; 415 650; 415 660; 415 670; 415 680; 415 690 d) 645 000; 646 000; 647 000; 648 000; 649 000; 650 000; 651 000 652 000 34. a) x > 5 b) x < 5 c) x ³ 5; h) x ³ 5; i) x ³ 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. d) x 5; e) x 5; g) x 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. f) 5 x 10 j) 5 < x < 10 12

35. 3250 a 3800 5320 < b < 5650 4830 < c 5060 36. a) 6080 < a 6310 b) 4400 b < 5550 37. 350 < u < 1050 Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel,... 38. a) Az egyforintosok száma: 450; 1250; 3200; 135 000; 10 000; 10 000 b) A tízforintosok száma: 54; 540; 5400; 54 000 c) A százforintosok száma: 63; 35; 543; 49 d) Az egyforintosok száma: 150; 15 000; 15 000 39. b) Tízzel szorozva: 580; 6040; 730; 8300; 5640; 70; 700 stb. Százzal szorozva: 5800; 60 400; 7300; 83 000; 56 400; 700; 7000 stb. c) Ezerrel szorozva: 68 000; 64 000; 735 000; 803 000; 500 000; 0; 139 000 Tízezerrel szorozva: 680 000; 640 000; 7 350 000; 8 030 000; 5 000 000; 0; 1 390 000. (A 0-t bármivel szorozva 0-t kapunk.) 40. Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a) 3 5 0 0 3 5 0 0 0 3 5 0 0 0 0 b) 3 5 0 3 5 13

41. a) A 0-ra végzõdõ számok oszthatók 10-zel. Pirossal például: 58 000 : 10 = 5800; 604 000 : 10 = 60 400; 564 000 : 10 = 56 400; 3 500 000 : 10 = 350 000; 70 000 : 10 = 7000; 70 070 : 10 = 7007; 700 700 : 10 = 70 070; 66 000 : 10 = 6600; 60 060 : 10 = 6006; 600 600 : 10 = 60 060 A szám osztható 100-zal, ha két utolsó számjegye 0. Kékkel például: 58 000 : 100 = 580; 604 000 : 100 = 6040; 7800 : 100 = 78; 564 000 : 100 = 5640; 3 500 000 : 100 = 35 000; 70 000 : 100 = 700; 700 700 : 100 = 7007; 66 000 : 100 = 660; 600 600 : 100 = 6006 A szám osztható 1000-rel, ha három utolsó számjegye 0. Feketével: 58 000 : 1000 = 58; 604 000 : 1000 = 604; 564 000 : 1000 = 564; 3 500 000 : 1000 = 3500; 70 000 : 1000 = 70; 7000 : 1000 = 7; 6000 : 1000 = 6; 66 000 : 1000 = 66 b) Igaz állítások például: Minden 1000-rel osztható szám osztható 100-zal is és 10-zel is. Minden 100-zal osztható szám osztható 10-zel is. c) Hamis állítások: Amelyik szám osztható 10-zel, az osztható 100-zal is. Minden 100-zal osztható szám 1000-rel is osztható. 42. Például: a) 300 420; 234 000 b) 200 340; 430 020 c) 403 200; 240 300 d) Ilyen szám nincs. e) 200 034; 420 003 14

A természetes számok kerekítése 43. 76 512 kisebb szomszédok nagyobb szomszédok egyes 76 511 76 513 tízes 76 510 76 520 százas 76 500 76 600 ezres 76 000 77 000 tízezres 70 000 80 000 Hasonlóan a 42 325 kisebb szomszédai: 42 324, 42 320, 42 300, 42 000, 40 000; nagyobb szomszédai: 42 326, 42 330, 42 400, 43 000, 50 000 A 94 528 kisebb szomszédai: 94 527, 94 520, 94 500, 94 000, 90 000; nagyobb szomszédai: 94 529, 94 530, 94 600, 95 000, 100 000 A 317 kisebb szomszédai: 316, 310, 300, 0, 0; nagyobb szomszédai: 318, 320, 400, 1000, 10 000 Az 1988 kisebb szomszédai: 1987, 1980, 1900, 1000, 0; nagyobb szomszédai: 1989, 1990, 2000, 2000, 10 000 A 10 000 kisebb szomszédai: 9 999, 9 990, 9 900, 9 000, 0; nagyobb szomszédai: 10 001, 10 010, 10 100, 11 000, 20 000 44. Pontos érték: 139 990 Ft Közelítõ érték: 140 000 Ft 45. a) Pontos: 3 (testvér) c) Kicsi a valószínûsége, hogy pontosan 800 000 Ft-ba került. e) A futópálya hosszát nagy pontossággal mérik, de a mérésnek mindig van valamekkora hibája. 46. Ezresre úgy kerekítünk, hogy a szám helyett a legközelebbi 1000-rel osztható számot vesszük. Ha a szám ezerrel osztható, akkor ez maga a szám, ellenkezõ esetben a közelebbi 1000-es szomszéd. Ha 500-ra végzõdik a szám, akkor fölfelé kerekítünk. Ha x 4000, akkor 3500 x < 4500. 15

47. a) Legalább 65, legfeljebb 74 kiránduló volt. 65 x 74 b) Az iskolába legalább 695 tanuló, legfeljebb 704 tanuló jár. 695 tanuló létszám < 705 tanuló c) Máténak legalább 650 Ft-ja, de 750 Ft-nál kevesebb pénze van. Legfeljebb 745 Ft-ja lehet. 650 Ft Máté pénze 745 Ft d) Encsen legalább 6500 ember, legfeljebb 7499 ember él. 6500 ember a lakosok száma < 7500 ember e) A pénztárgép legalább 6995 Ft-ot, de legfeljebb 7005 Ft-ot mutatott. 6995 Ft összeg < 7005 Ft f) A kardszárnyú delfin tömege: 6950 kg tömeg < 7050 kg 48. a) x 12 620; y 12 600; z 12 650; u 12 680; v 12 690 b) x 56 500; y 56 600; z 56 900; u 56 000; v 57 000 16

c) x 263 000; y 266 000; z 267 000; u 260 000; v 270 000 d) x 340 000; y 370 000; z 390 000; u 300 000; v 400 000 Hosszúságmérés 49. c) Ha a tanár araszának a hosszúsága más, mint a tanulóé, akkor az eredmény is más lesz. 53. Egy bekötõút hossza: 3 km Egy radír szélessége: 30 mm Egy szoba magassága: 300 cm 54. a) 6 m 10 cm = 61 dm = 610 cm = 6100 mm b) 3500 cm = 35 000 mm = 350 dm = 35 m c) 5060 m = 5 km 60 m = 50 600 dm = 506 000 cm Egy papírlap hossza: 3 dm 55. a) A 37 és fél dm-es és a 367 cm-es darabokból vágható le. 56. 48 cm b) Ha a 367 cm-es darabból vágjuk le, akkor kevesebb lesz a hulladék. Tömegmérés 57. a) A matematikakönyv tömege nagyobb, mint a matematikafüzet tömege. c) Egy tál konyhasó tömege nagyobb, mint az ugyanakkora tál daráé. 59. a) 4000 g = 400 dkg (dag) = 4 kg; b) 16 kg = 1600 dkg = 16 000 g; c) 2500 dag = 25 000 g = 25 kg; d) 40 t = 40 000 kg = 4 000 000 dkg; e) 20 060 kg = 20 t 60 kg = 2 006 000 dkg 17

60. A tanuló tömege: 30 kg A csecsemõ tömege: 3000 g A C vitamin tömege: 30 mg A homok tömege: 3 t A tea tömege: 3 dkg (dag) 61. Ásványtartalom: (19 + 1 + 25 + 55 + 5 + 395 + 2500) mg = 3000 mg = 3 g 1000 g 3 g = 997 g víz van 1 kg ásványvízben. 62. A 2600 kg tömegû gránittömb nem szállítható el ezzel a gépkocsival. A többi anyag tömege összesen 2400 kg. Egyszerre elszállítható. A természetes számok összeadása 64. a) 548 + 426 = 974; b) 974 243 = 731 65. A tagok megfelelõ csoportosításával ésszerûsíthetõ a számítás: a) 4000; b) 590; c) 2100; d) 11 000; e) 7000; f) 9000 66. a) Becslés: 6000 + 5000 + 6000 = 17 000; a kiszámított összeg: 16 017; b) 4708; c) 351 788; d) 336 641; e) 24 268 67. a) 2146; b) 7672; c) 15 256; d) 49 362; e) 23 288; f) 100 002 68. 779 579 = hétszázhetvenkilencezer-ötszázhetvenkilenc 69. 48 + 17 = 65 A zárójelekbe írt kifejezések értékének kiszámítása nélkül is meghatározhatjuk az eredményeket a komponensek változásából. a) (48 + 52) + 17 = 65 + 52 = 117 b) 48 + (17 10) = 65 10 = 55 c) (48 20) + (17 + 20) = 65 70. Például: a) A 100-at adhatom az egyik taghoz: 143 + (72 + 100) = 143 + 172 A 100 egy részét adhatom az egyik taghoz, a fennmaradó részt a másik taghoz: (143 + 7) + (72 + 93) = 150 + 165 18

b) A 75-öt elvehetem az elsõ tagból: (143 75) + 72 = 68 + 72 A 75 egy részét az egyik tagból veszem el, a fennmaradó részt a másik tagból: (143 3) + (72 72) = 140 + 0 Az egyik tagból elveszünk 100-at, a másikhoz hozzáadunk 25-öt: (143 100) + (72 + 25) = 43 + 97 c) Amennyit az egyik tagból elvettem, ugyanannyit kell a másikhoz adnom. 71. a) 198 + 202 = (198 + 2) + (202 2) = 200 + 200 = 400 b) 149 + 150 = (150 1) + 150 = 150 + 150 1 = 300 1 = 299 c) 517 + 1002 = 517 + 2 + 1000 = 519 + 1000 = 1519 d) 627 + 998 = (627 2) + (998 + 2) = 625 + 1000 = 1625 A természetes számok kivonása 72. 235 160 = 75. Jutkának 75 forintja marad. a) 235 (160 25) = 75 + 25 = 100 b) 235 (160 + 55) = 75 55 = 20 73. a) A különbség rendre: 5; 10; 0; 11 b) Ha a kisebbítendõt 1-gyel, 2-vel, 3-mal... stb. növeled, a különbség ugyanannyival nõ (ha közben a kivonandót nem változtatod). Ha a kisebbítendõt csökkented, a különbség ugyanannyival csökken. c) Ha a kivonandót 1-gyel, 2-vel, 3-mal... növeled, a különbség ugyanannyival csökken (ha közben a kisebbítendõ nem változik). Ha a kivonandót csökkented, a különbség ugyanannyival nõ. d) Ha a kisebbítendõt és a kivonandót egyidejûleg ugyanannyival csökkented vagy növeled, a különbség nem változik. 74. a) 60 45 = 15; b) (60 + 5) 45 = 15 + 5 = 20; c) 60 (45 + 5) = 15 5 = 10; d) (60 + 5) (45 + 5) = 15; e) (60 10) 45 = 15 10 = 5; f) 60 (45 10) = 15 + 10 = 25; g) (60 10) (45 10) = 15 75. a) 700; b) 1970; c) 1470; d) 300; e) 2300; f) 3300; g) 1300; h) 1300; i) 1300 19

76. a) Becslés: 5700 4600 = 1100; a kiszámított különbség: 1112; b) 3744; c) 72 148; d) 26 142; e) 6973 77. a) 3227; b) 1323; c) 6400; d) 1327; e) 5184; f) 3345; g) 7050; h) 1999; i) 1211 78. a) 5219; b) 10 953; c) 64 649; d) 1032; e) 9304; f) 7944; g) 558 79. a) 26 tanuló; b) 750 m-t; c) 760 Ft-ja; d) 273 mm; e) Éva 88 cm f) Csak a változásokból nem lehet megállapítani a város lakóinak a számát, mert hiányzik a lakosok egy évvel ezelõtti száma. Annyit tudunk, hogy 350-nel többen élnek a városban, mint egy éve. 80. a) A = 138; b) A = 100; c) nincs természetes szám megoldása; d) A < 8; e) A ³ 10; f) minden természetes szám megoldás; g) A = 47; h) A = 5000; i) A = 5500; j) A 56; k) A > 1995; l) A > 2000 81. a) Szükséges adatok Felesleges adatok 328 Ft; 428 Ft; 1200 Ft 3 nap; 5 óra 1200 (328 + 428) = 444. 444 Ft-ot kell kérnie. b) Szükséges adatok: 35 kg; 75 kg; 58 kg. A lift terhelhetõsége: 300 kg Az adatokból kikövetkeztethetõ újabb szükséges adat: a két vendég tömege több 150 kg-nál. Felesleges adatok: 138 cm; 37 év; 162 cm Az öt személy több mint 318 kg, nem szállhatnak be egyszerre. c) Felesleges minden idõvel kapcsolatos adat. s = (87 000 m + 4500 m) 2 = 183 000 cm = 183 km d) Bélának (3850 + 1270 =) 5120 Ft-ja van. A két fiúnak együtt (3850 + 5120 =) 8970 Ft-ja. Felesleges adat: Kati pénze 820 Ft. e) Szükséges adatok: a fiúk száma 413, a lányok száma ennél 28-cal kevesebb. Felesleges adat: tavaly 50 fiúval kevesebb volt. A kislányok száma 385. 82. a) 8000 (4500 1000) + (2000 500) = 6000 (Ft) 20 b) 8000 4500 1000 (2000 500) = 1000 (Ft)

A természetes számok szorzása 83. A-ból B-be B-bõl C-be A-ból C-be B-n keresztül a) 1 2 1 2 = 2 b) 1 3 1 3 = 3 c) 2 3 2 3 = 6 d) 4 3 4 3 = 12 84. a) A babára 3-féle szoknyát adhat. Így a 4 blúzzal 3 4 = 12-féleképpen öltöztethetõ. b) Az állomástól a kilátóig vezetõ 3 út mindegyike 4-féleképpen folytatható a múzeumig, így az állomástól a múzeumig 3 4 = 12-féleképpen juthatunk el a kilátó érintésével. c) A kétjegyû szám háromféleképpen kezdõdhet, és mindegyik kezdés négyféleképpen folytatódhat, így a megoldások száma: 3 4 = 12 85. a) 280; 300; 600; b) 820; 410; 4100; c) 6800; 6732; 67 320; d) 200; 2000; 20 000 86. a) 13 4 25 = 13 (4 25) = 1300; b) 25 30 15 4 = (25 4) (30 15) = 100 450 = 45 000; c) (2 50) (34 20) = 68 000; d) 5 63 20 = (5 20) 63 = 6300; e) (2 5) 100 19 = 19 000; f) (8 125) (5 7) = 1000 35 = 35 000; g) 0 van a tényezõk között, ezért a szorzat 0; h) 7 (125 4 2) = 7000; i) (8 125) (4 5) 3 = 60 000; j) 195 (5 20) = 19 500; k) (4 2) (8 125) = 8000; l) (11 7) (4 250) = 77 000 21

87. a) 85 8 = 680 (Ft) b) 200 31 = 6200 (Ft) c) 25 16 = 400 (kézfogás) d) 250 100 = 25 000 (szõlõtõke) e) 250 6 = 1500 (dkg), (azaz kb. 15 kg) f) 3500 22 150 = 200 (Ft) g) (35 000 + 12 500 + 2500) 20 = 1 000 000 (Ft) 88. a) 2-szeresére nõ; b) ötödére csökken; c) felére csökken; d) 3-szorosára nõ; e) nem változik; f) nem változik; g) 4-szeresére nõ. 89. a) Pontatlan. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Hamis (pontatlan). f) Hamis (pontatlan). g) Igaz. Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval 90. a) 3766; 39 274; 378 214; 38 198; 37 660; 392 740; 3 767 614; 382 518; 376 600; 3 927 400; 3 782 140; 393 278 b) 3388; 32 186; 3 221 141; 34 727; 338 800; 312 860; 2 611 301; 339 647 c) 3648; 35 568; 322 848; 3 228 936; 36 480; 359 784; 367 992; 3 557 256; 3 648 000; 3 597 840; 3 651 192; 3 561 360 91. a) 84 25 = 2100; 88 25 = 2200; 88 25 = (84 + 4) 25 = 84 25 + 4 25 b) 70 39 = 2730; 70 40 = 2800; 70 40 = 70 (39 + 1) = 70 39 + 70 1 c) 921 39 = 35 919; 921 29 = 26 709; 921 29 = 921 (39 10) = 921 39 921 10 d) 333 75 = 24 975; 313 75 = 23 475; 313 75 = (333 20) 75 = 333 75 20 75 e) 541 17 = 9197; 541 1700 = 919 700; 541 (17 100) = (541 17) 100 22

f) 84 50 = 4200; 168 25 = 4200; 84 50 = (84 2) (50 : 2) = 168 25 g) 700 39 = 27 300; 7 39 = 273; (700 39) : 100 = 7 39 h) 921 30 = 27 630; 921 10 = 9210; 921 10 3 = 921 30 i) 333 25 = 8325; 111 75 = 8325; (333 : 3) (25 3) = 111 75 j) 541 117 = 63 297; 541 234 = 126 594; 541 (117 2) = (541 117) 2 92. a) 785 51 = 40 035 (Ft) b) 387 71 = 27 477 (Ft) c) 1200 : 6 = 200 (Ft) d) Akkor is 3 perc alatt. e) Valószínûleg hamarabb; ha õk is ugyanolyan tempóban dolgoznak: 2 óra f) 250 g 52 = 13 000 g = 13 kg g) m 2 3 10 11 27 35 x Ft 450 675 2250 2475 6075 7875 225 x h) 110 11 85 11 = 275 (km); vagy: (110 85) 11 = 25 11 = 275 (km) i) 3450 + 134 170 251 75 = 3450 + 22 780 18 825 = 7405 (Ft) Az idõ mérése 94. b) Egy szökõév elsõ 5 hónapja 152 napból áll. (Január 31 napos, február 29 napos, március 31 napos, április 30 napos, május 31 napos.) c) A leghosszabb ideig 80 percig Cili dolgozott. A három gyerek összesen 185 percig, azaz 3 óra 5 percig dolgozott. d) 9 óra 30 perctõl 13 óra 15 percig 3 óra 45 perc = 225 perc telik el. A hasonló feladatok megoldásában segíthet az idõegyenes. 23

e) 15 perc = 900 másodperc. f) Október 9-bõl még hátra van: 12 óra október 10-tõl 21-ig 11 24 óra: 264 óra október 21-én eltelik: + 4 óra Ez összesen: 280 óra g) 10 nap = 240 óra = 14 400 perc = 864 000 másodperc, és ez kevesebb 1 000 000 másodpercnél. 95. a) 8 óra 30 percet biztosítanak alvásra. b) 35 perc + 2 óra 30 perc + 25 perc + 10 perc = 3 óra 40 perc 3 óra 40 percet fordítanak egészségük megóvására. c) 2 óra 30 perc + 3 óra 25 perc + 1 óra 30 perc = 7 óra 25 perc 7 óra 25 percet fordítanak munkára. d) 15 perc = 900 másodperc 7800 m 900 7 000 000 m = 7000 km e) 250 ml + 3 és fél dl = 6 dl, több mint fél liter. f) 67, 72, 71 átlaga 70. 10 perc alatt körülbelül 10 70 = 700-at verhetett a szíve. 96. a) Az elsõ hat hónap 181 napból áll, szökõévben 182 napból. b) 1 hét = 168 óra; 1 nap = 1440 perc c) Aladár a házi feladatra 1 órát fordított. 4 45 + 90 = 270; 270 perc = 4 és fél óra d) Szükséges adatok: egy és fél óra, 12 perc, 65 perc Felesleges adatok: 127 km, 102 km Az út 167 perc = 2 óra 47 percig tartott. e) Szükséges adatok: 1 óra 25 perc, 2 óra 40 perc, 65 perc Felesleges adatok: 515 m tengerszint feletti magasság, 5 km hosszú út. A túra 5 óra 10 percig tartott. f) 6 és háromnegyed óra 2 óra 50 perc = 405 perc 170 perc 405 perc 170 perc = 235 perc = 3 óra 55 perc Legkésõbb 3 óra 55 perc múlva kell indulniuk. g) 4 45 52 = 9360; 9360 (perc) = 9360 : 60 = 156 (óra) Másképp számolva: 4 45 perc = 180 perc = 3 óra; 3 52 = 156 (óra) Flóra egy év alatt 156 órát (= 6 nap 12 órát) edz. 24

Osztó, többszörös 97. a) 1, 20; 2, 10; 4, 5; b) 1, 36; 2, 18; 3, 12; 4, 9; 6; c) 1, 48; 2, 24; 3, 16; 4, 12; 6, 8; d) 1, 47; e) 1, 49; 7; f) 1, 50; 2, 25; 5, 10 98. a) 1 b) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37 c) A többi egész szám 39-ig. 99. a) b) A szám többszörösére mutat a nyíl. 100. a), b), c) 2, 5, 10 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft; 5840 Ft Csak 5 Ft-osra váltható 2645 Ft. d) 20 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 5840 Ft e) 50 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft f) 100 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft g) 200 Ft-osra váltható: 4000 Ft; 3200 Ft h) 500 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft 101. a) 0, 20, 40, 60, 80, 100,..., 500, 520, 540, 560, 580, 600 b) 0, 25, 50, 75, 100, 125,..., 500, 525, 550, 575, 600 c) 0, 30, 60, 90, 120, 150,..., 480, 510, 540, 570, 600 25

102. a) Sárga: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30 Zöld: 0; 9; 18; 27 Csak sárga: 3; 6; 12; 15; 21; 24; 30 Csak zöld nincs, hiszen amelyik szám 9-cel osztható, az osztható 3-mal is. Mindkét színnel: ami zöld. Egy színnel sem: 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20;... b) A = {A 3 többszörösei}; B = {A 9 többszörösei} 103. a) A 10 többszöröseit. b) C = páratlan; D = nem osztható 5-tel c) Az ábrán megszámoztuk a mezõket. Így a megoldásban a római számok jelentik a beszínezett halmazokat. X = {2-nek többszöröse, de 5-nek nem többszöröse}: II. Y = {2-nek és 5-nek többszöröse}: III. W = {5-nek többszöröse, de 2-nek nem többszöröse}: IV. Z = {2-nek vagy 5-nek többszöröse}: II., III., IV. 104. Csak sárga: 4; 8; 16; 20; 28; 26 csak kék: 6; 18; 30; mindkettõ: 0; 12; 24; egyik sem: 1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 19; 21; 22; 23; 25; 26; 27; 29

A természetes számok osztása 105. a) 3 x = 21; x = 7; b) 8 x = 96; x = 12; c) x 6 = 150; x = 25 (dm); d) x = 11 3; x = 33; e) x 7 = 56; x = 8 106. a) a = 8; b) b = 5; c) c = 3; d) d = 13; e) e = 25; f) f = 16; g) g = 136; h) h = 150; i) i = 2300; j) j = 100; k) k = 400; l) x = 40; m) nincs megoldás; n) n = 0; o) nincs megoldás; p) nincs megoldás 107. a) 3 többszörösei: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 3-mal osztva 0 maradékot adnak. b) A 4; 7; 10; 13; 16; 19 lesz kék. c) Nincs. d) 3-mal osztva 2-t adnak maradékul. 108. A hányados a) a kétszeresére nõ; b), c) a harmadára csökken; d) a négyszeresére nõ; e), f) nem változik. Osztás egyjegyû osztóval 109. A hányadosok után ( )-ben a maradék van. a) 163 (0); 63 (1); 1203 (0); 700 (5); 1006 (2) b) 159 (0); 128 (0); 60 (4); 1016 (0); 1561 (4) c) 56 (0); 115 (2); 105 (0); 147 (6); 655 (4) d) 63 (0); 111 (0); 500 (3); 677 (0); 111 (1) e) 71 (4); 71 (7); 57 (4); 921 (4); 125 (0) 110. a) 125 Ft; b) 745 Ft-ja van; c) nem, 143 nem osztható 5-tel; d) 3570 : 7 = 510 (0); e) 940 5 = 4700 27

Az összeg és a különbség osztása 111. a) (36 16) : 4 = 36 : 4 16 : 4 = 5 b) (24 500 3500) : 7 = 24 500 : 7 3500 : 7 = 3000 (Ft) c) (5720 + 2280) : 8 = 5720 : 8 + 2280 : 8 = 1000 (Ft) 112. a) (156 + 204) : 6 = 360 : 6 = 60; 156 : 6 + 204 : 6 = 26 + 34 = 60 b) (2015 + 410) : 5 = 2425 : 5 = 485; 2015 : 5 + 410 : 5 = 403 + 82 = 485 c) A természetes számok körében csak a következõ terv szerint végezhetjük el a számítást: (6506 + 3318) : 8 = 9824 : 8 = 1228 d) (456 234) : 3 = 222 : 3 = 74; 456 : 3 234 : 3 = 152 78 = 74 e) (4185 918) : 9 = 3267 : 9 = 363; 4185 : 9 918 : 9 = 465 102 = 363 f) A természetes számok körében csak egy terv szerint számítható ki: (6506 4931) : 5 = 1575 : 5 = 315 A következõ három feladatban csak egyféle terv szerint számolhatunk: g) 4536 : (6 + 2) = 4536 : 8 = 567 h) 225 : (3485 3480) = 225 : 5 = 45 i) Nem értelmezhetõ a nullával való osztás. 113. a) 148 4 = (150 2) 4 = 600 8 = 592; 96 : 4 = (100 4) : 4 = 25 1 = 24; 2985 : 5 = (3000 15) : 5 = 600 3 = 597 b) 72 81 + 28 81 = 100 81 = 8100; 68 : 4 28 : 4 = 40 : 4 = 10; 1896 : 8 16 : 8 + 120 : 8 = 2000 : 8 = 250 114. a) 32; 64; 80; 88; 92; 94;... b), c) 32; 40; 44; 46; 47; 47 és 1 2 28

Osztás többjegyû osztóval 115. 15 : 3 = 150 : 30 = 1500 : 300 (= 15 000 : 3000...) = 5 116. 27 : 3 = 270 : 30 = 2700 : 300 = 27 000 : 3000 = 9 (a maradék 0) 29 : 3 = 9; 290 : 30 = 9; 294 : 30 = 9; 2900 : 300 = 9; 2940 : 300 = 9 2 20 24 200 240 117. a) 96'7 : 23 = 4.; becslés: 40 < hányados < 50, maradék < 23; hányados (h) = 42, maradék (m) = 1; 568 : 41, h = 13, m = 35; 745 : 25, h = 29, m = 20; 630 : 15, h = 42, m = 0; 632 : 28, h = 22, m = 16 b) 745 : 68, h = 10, m = 65; 808 : 39, h = 20, m = 28; 560 : 28, h = 20, m = 0; 984 : 48, h = 20, m = 24; 635 : 27, h = 23, m = 14 c) 456 : 63, h = 7, m = 15; 2368 : 45, h = 52, m = 28; 6052 : 79, h = 76, m = 48; 6409 : 52, h = 123, m = 13; 7000 : 63, h = 111, m = 7 d) 46'52 : 18 = 2..; becslés: 200 < h < 300, m < 18; h = 258, m = 8; 2328 : 76, h = 30, m = 48; 8200 : 39, h = 210, m = 10; 6784 : 48, h = 141, m = 16; 3565 : 71, h = 50, m = 15 118. a) 207 Ft-ba. b) 365 Ft-ot (és megmaradt 15 Ft); felesleges adat: 11-es találat. c) 750 : 25 = 30 (db-ot). d) 58 Ft-ja. e) (65 000 1200) : 425 = 150 (Ft) és maradt 50 Ft. f) 74 000 : (310 + 60) = 200 (db-ot). 119. a) Becslés: 120 000 : 80 = 1500 (zsák). 1576 zsákot teletölthettek és az 1577. zsákba 72 kg jut. A további feladatokban is becsüld meg az eredményt! Itt csak a kiszámított értékeket adjuk meg. b) 10 080 perc = 168 óra = 7 nap. c) Csaba 3 km 450 m hosszú utat 6273 lépéssel tesz meg. (345 000 : 55 = 6272) 40 6273 lépést 2091 2 másodperc = 4182 másodperc 70 perc alatt tesz meg. 29

d) A csõ átmérõje felesleges adat. 275 csõre van szükség. A 275. csõbõl csak 12 m-es darab kell. e) 17 és fél percig esett az esõ. A fél perc a 60-nal való osztás maradékából, a 30 másodpercbõl adódik. 120. a) Becslés: 240 20 = 4800 < 6480 < 240 30 = 7200; 20 < h < 30 A vég 27 méter hosszú. b) Egy lap szélességû járdához 10 654 lap, két lap szélességû járdához 21 308 lap kell. Megvizsgálhatjuk, hogy ha a lapok között fél centiméteres rést hagynak ki, akkor kb. hány lappal kell kevesebb. (Körülbelül 200 lappal.) c) Egy hét alatt 27 535 Ft-ot keresett. d) 696 Ft az órabér. e) Egy-egy rész 506 kg. A maradék 32 kg = 32 000 g. 32 000 g : 78 410 g f) x 57 < 17 625; 17 625 : 57 = 309; x = 309 12 g) x 87 < 36 550 < x 88; 36 550 : 87 = 420; x = 420; 10-zel több. 10 A mûveletek sorrendje 121. a) (7800 + 13 200) : 30 = 700 (Ft) b) 645 20 + 600 8 = 18 340 (Ft-ot) Ha nem volt szökõév, mert akkor még 645-tel (vagy 680-nal) többet. 122. I. II. III. Összehasonlítás a) 110 62 110 I. = III. > II. b) 66 66 2 I. = II. > III. c) 1000 1190 390 III. < I. < II. d) 10 000 73 43 I. > II. > III. e) 136 3 48 I. > III. > II. f) 496 121 136 I. > III. > II. 123. a) 970; 890; b) 81; 6; 30 c) 983; 5285; d) 1315; 1770; e) 752; 13 706; f) 18 585; 905; 768; 976; 1489; 921

Gyakorlófeladatok 124. a) Ötezer-háromszázhetvenhét; százötvenhat; háromszázötvenhatezer- -nyolcszázkilencvenhárom; százhetven; huszonháromezer-kilencszázöt; tízezer-nyolcszázhárom; ezerkilencszázkilencvenöt. b) 4030; 590 305; 2002; 3 000 630; 1 000 000 2002 < 4030 < 590 305 < 1 000 000 < 3 000 630 c) Legnagyobb: 964; legkisebb: 103 125. a) 606 820; 606 800; 607 000; 610 000 b) 460; 500; 0; 0 c) 10 000; 10 000; 10 000; 10 000 126. 305, 314; 14 500, 15 499; 0, 49; 15 000, 24 999 127. Az 1, 0, 9, 6 számkártyákból 18 négyjegyû szám rakható ki. Ezek: 1069; 1096; 1609; 1690; 1906; 1960; 6019; 6091; 6109; 6190; 6901; 6910; 9016; 9061; 9106; 9160; 9601; 9610 A legkisebb páros szám közülük: 1096 A legnagyobb páratlan szám: 9601 128. a) b) a) b) 129. a) 27 202; b) 36 635; c) 60 898; d) 102 271; e) 357 032; f) 31 067 31

130. a) 3222; b) 53 222; c) 6111; d) 3554; e) 8848; f) 59 115; g) 2912; h) 51 123; i) 25 236 131. a) 10 710; b) 529 032; c) 415 415; d) 117 488; e) 21 480; f) 108 360; g) 546 720; h) 285 150; i) 135 600; j) 1 483 424; k) 1 041 600; l) 710 600; m) 14 742; n) 365 466; o) 2 848 479; p) 1 381 089 132. Hányados: h; maradék: m a) h = 8, m = 26; b) h = 117, m = 57; c) h = 60, m = 25; d) h = 37, m = 26; e) h = 67, m = 29; f) h = 14, m = 32; g) h = 14, m = 83; h) h = 864, m = 44; i) h = 4, m = 29; j) h = 67, m = 2; k) h = 31, m = 30; l) h = 2561, m = 4; m) h = 15, m = 37; n) h = 2099, m = 63; o) h = 29, m = 618; p) h = 52, m = 5190 133. a) 7780; b) 980 600; 4740; 200 500; c) 334 000; d) 7 030 000; 1 037 000; 690 000; e) h = 400, m = 2; f) h = 520, m = 0; h = 311, m = 0; h = 100, m = 5; g) h = 140, m = 0; h) h = 300, m = 400; h = 40, m = 0; h = 140, m = 0 32 Milliós 134. Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a) 3 6 3 6 0 3 6 0 0 3 6 0 0 0 3 6 0 0 0 0

Milliós Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes b) 1 8 0 2 5 0 0 1 3 0 0 2 5 0 0 0 4 0 0 0 0 4 8 2 0 0 0 6 0 0 0 0 0 135. a) 28 + 34; b) 34 28; c) 28 13; d) 32 28; e) 34 29; f) 18 x 32 136. a) 190 + (190 35) = 345 (Ft) b) A nyitott mondat lehet: 145+ x = 280 135 Ft-ot kell még gyûjteni. c) Szükséges adatok: Katinak van 3100 forintja; a labda ára 650 Ft; a társasjáték 1970 Ft. Felesleges adat nincs. 3100 > 650 + 1970, ezért Katinak nem kell pénzt kérnie a szüleitõl. d) x = 258 145; x = 37 410 Ft-ot kaptak. e) (500 200) : 2 = 150 Az 500 Ft-ból az egyik gyerek 150, a másik 350 Ft-ot kapott. 137. a) Ha a résztvevõk száma százas pontosságú, akkor a tanulók számát is százasokra kerekítjük. 2500 800 = 1700 a felnõttek száma. b) A liftbe hatan szállhatnak be. 76 80; 500 : 80 6 c) (130 000 Ft + 150 000 Ft) 12 = 3 360 000 Ft Az évi jövedelem: 3 360 000 Ft 138. a) 15 m 8 cm = 1508 cm; 30 400 mm = 30 m 40 cm b) 40 dm 50 mm = 4 m 5 cm; 605 cm = 6 m 50 mm c) 7 km 50 m = 7050 m; 4360 m = 4 km 360 m 139. a) 35 kg 4 dkg = 3504 dkg; 25 300 g = 25 kg 30 dkg b) 450 dkg = 4 kg 500 g; 1508 dkg = 15 kg 80 g 33

140. a) 5 nap 6 óra = 126 óra; 50 óra = 2 nap 2 óra = 3000 perc b) Fél óra = 30 perc = 1800 másodperc c) 1év 52 hét; 3 (normál) év 100 nap = 1195 nap Nem tízes alapú számrendszerek B1. a) A babszemek száma a leltár alapján: 125 1 + 25 0 + 5 4 + 1 3 = 125 + 20 + 3 = 148 b) 148 hatosával csoportosítva: 36 4 + 6 0 + 1 4 = 404 ➅ B2. a = 5; b = 54; c = 109; d = 64; e = 33; f = 31; g = 127 B3. 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 0 10 1 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 32 1 0 0 0 0 1 33 1 1 1 0 1 1 59 1 0 0 0 0 0 0 1 129 B4. a) 0 = 0 ➂ ; 1 = 1 ➂ ; 2 = 2 ➂ ; 3 = 10 ➂ ; 4 = 11 ➂ ; 5 = 12 ➂ ; 6 = 20 ➂ ; 7 = 21 ➂ ; 8 = 22 ➂ ; 9 = 100 ➂ ; 10 = 101 ➂ ; 11 = 102 ➂ ; 12 = 110 ➂ ; 13 = 111 ➂ ; 14 = 112 ➂ ; 15 = 120 ➂ ; 16 = 121 ➂ ; 17 = 122 ➂ ; 18 = 200 ➂ ; 19 = 201 ➂ ; 20 = 202 ➂ b) Egy, három, kilenc, huszonhét, nyolcvanegy c) 0; 1; 2; 3; 4; 5 d) 322 ➄ ; 10020 ➂ ; 223 ➅ B5. a) 73 = 64 + 8 + 1 = 1001001 ➁ ; 73 = 64 + 2 4 + 1 = 1021 ➃ b) 1101111 ➁ ; 157 ➇ Összehasonlítás: Összehasonlítás: 34

c) 1A9 ; 11C ; ahol A = 11, C = 13 d) g = 26; h = 396; i = 133; j = 51 442 Törd a fejed! B6. A = {3 többszörösei} B = {5 többszörösei} K: 0; 15; 30 L: 3; 6; 9; 12; 18; 21; 24; 27; 33; 36; 39 M: 5; 10; 20; 25; 35; 40 N: 1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 22; 23; 26; 28; 29; 31; 32; 34; 37; 38 B7. a) b) B8. A: hamis B: hamis 35

B9. A = {Páratlan számok} B = {10-zel osztható számok} C = {Páros számok} D = {10-zel nem osztható számok} B10. 9; b) 111 111; c) 100 000; 108; 222 222; 150 000; 1107; 333 333; 200 000; 11 106; 444 444; 250 000; 111 105; 555 555; 300 000; 1111 104; 666 666; 350 000; 11 111 103; 777 777; 400 000; 111 111 102; 888 888; 450 000; 1 111 111 101; 999 999; 500 000 B11. a) x = 5784 + 4278 5800 + 4300 = 10 100; x = 10062; 5744 + 4278 = 10 062 40; 5284 + 5278 = 10 062 + 500 b) y = 8524 3462 8500 3500 = 5000; y = 5062; 8494 3462 = 5062 30; 8524 3262 = 5062 + 200; 6524 1462 = 5062; 8724 3662 = 5062; 8504 3492 = 5062 50 B12. Becslés: 4800 25 5000 25 = 125 000 4800 25 = 4000 25 + 800 25 = 120 000 480 25 = 120 000 : 10; 4800 50 = 120 000 2; 48 2500 = 120 000 B13. 157'50 : 25 = 6..; 600 < h < 700 B14. a = 157 500 : 25 = 6300 b = 15 750 : 75 = 630 : 3 = 210 c = 157 500 : 250 = 630 36

B15. a) 5300 (2300 + 1800) = 1200; b) (5300 2300) + 1800 = 4800; c) 5300 + (2300 1800) = 5800 B16. 6 7 = 42; 9 3 = 27; 32 : 4 = 8; 96 : 8 = 12 a) 26 + 9 3 = A; 11 + 6 7 = A; 41 + 96 : 8 = A; 45 + 32 : 4 = A b) 67 6 7 = B; 33 32 : 4 = B; 37 96 : 8 = B; 52 9 3 = B c) 32 : 4 5 = C; 96 : 8 9 = C; 6 7 39 = C; 9 3 24 = C A = 53; B = 25; C = 3 B17. a) + 2 5 = 70; = 60; b) (2 + 5) = 70; = 10 c) ( + 2) 5 = 70; = 12; d) 2 + 5 = 70; = 32 és fél B18. a) (650 2 + 100) : 2 = (1300 + 100) : 2 = 700 b) (650 + 100) 2 : 2 = 750 2 : 2 = 750 c) (650 : 2 + 100) 2 = (325 + 100) 2 = 850 B19. Mindketten ugyanannyit költöttünk. (1200 + 1800 + 4000) + (3000 + 1500) = 7000 + 4500 = = 11 500 (Ft-ért vásároltam.) (1200 + 1800) + (4000 + 3000 + 1500) = 3000 + 8500 = = 11 500 (Ft-ért vásárolt Pista.) (Az összeg tagjai tetszés szerint csoportosíthatók.) B20. a) d = 0; b) e bármely természetes szám lehet; c) f = 34 B21. a) 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48 b) 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37; 43; 49 c) 2; 8; 14; 20; 26; 32; 38; 44; 50 d) 3; 9; 15; 21; 27; 33; 39; 45 e) 4; 10; 16; 22; 28; 34; 40; 46 f) 5; 11; 17; 23; 29; 35; 41; 47 g), h) 6-tal osztva 6, illetve 7 maradék nem lehet, mert abban még egyszer megvan a 6. A maradéknak kisebbnek kell lenni az osztónál. B22. a) 5 t = 5000 kg; 7 t 25 kg = 7025 kg; 13 t 13 kg= 13 013 kg; 5 tized t = 500 kg (1 tized t = 1000 kg : 10) b) 20 kg = 2000 dkg; 3 t 2 kg = 3002 kg = 300 200 dkg; negyed kg = 100 dkg : 4 = 25 dkg; 3 negyed kg = 75 dkg 37

c) 300 cm = 3 m; 300 dm = 30 m; 2000 mm = 2 m; 6000 cm = 60 m; 250 dm = 25 m; 250 cm = 2 és fél m d) 1000 dkg = 10 kg; 2000 g = 2 kg; 3400 dkg = 34 kg; 3500 g = 3 és fél kg B23. a) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Az ismert adatok segítségével a mennyiségeket szakaszokkal ábrázolhatjuk. Az ismert és az ismeretlen adatokat táblázatba foglalhatjuk: A megoldás lépései lehetnek: Csomag Doboz Rendeltek 35? Leszállítottak? 1344 Késõbb szállítják 7? (1) Leszállítottak (35 7 =) 28 csomagot, ez 1344 doboz. (2) Egy csomagban (1344 : 28 =) 48 doboz van. (3) A rendelt mennyiség (35 48 =) 1680 doboz. (4) Ellenõrzés például: késõbb szállítanak 48 7 = 366 dobozt, 1344 + 336 = 1680 doboz. b) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Most is segíthet a rajz, a mennyiségek szakaszokkal való ábrázolása. 38 A megoldás lépései lehetnek: (1) 3 autóra fér (8 + 1 =) 9 t burgonya. (2) 1 autóra 3 t fér. (3) Az elszállított burgonya (5 3 + 8 =) 23 tonna. (4) Ellenõrzés: 8 3 1 = 23 c) Hiányzik a lánc hossza, nem oldható meg a feladat. d) A gyerekek életkora felesleges adat. Mivel nem tudjuk, hogy a harmadik gyerek milyen munkatempóval ás, ezért csak azt mondhatjuk, hogy 4 óránál kevesebb idõ szükséges a kert felásásához. e) 1 km-t körülbelül 50 másodperc alatt teszünk meg. A 102 km-t 5100 másodperc = 85 perc alatt tesszük meg.

Tudáspróba 141. 1. 407 605; 7 000 056 2 pont 2. 560 782 560 780; 560 782 560 800; 560 782 561 000 3 pont 3. 0 < x 9 2 pont 4. a) 7 m 8 cm = 708 cm = 7080 mm; 34 500 mm = 34 m 5 dm 3 pont b) 4 t 5 kg = 4005 kg = 400 500 dkg; 405 dkg = 4 kg 50 g 3 pont c) 1 nap 12 óra = 36 óra = 2160 perc; 75 óra = 3 nap 3 óra 3 pont 5. x = 6343 2857 6300 2900 = 3400 x = 3486 y = 6517 51 6500 50 = 325 000 y = 332 367 z = (5428 + 3571) 18 (5400 + 3600) 20 = 180 000 z = 161 982 Ellenõrzéssel: 3 pont Rövidített szorzás esetén: 3 pont Mûveleti sorrend: 1 pont Becslés: 2 pont Számítás: 2 pont w = 5648 : 27; becslés: 200 < w < 300 2 pont w = 209; maradék 5 Számítás: 2 pont Ellenõrzés: 2 pont 6. 2 pont 7. a) 1 fõ 585 Ft 18 fõ x Ft x = 585 18 600 20 = 12 000; x < 12 000; x = 10 530 2 pont Az eredmény összhangban van a becsült értékkel. 10 530 Ft-ot kaptak összesen. 5 pont b) 570 : 45 = 12; 12 pogácsát vehet, és marad 30 Ft-ja. Ellenõrzéssel: 5 pont 39

2. GEOMETRIAI ALAKZATOK Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal 1. a) Test. b) Test (esetleg gömbtest). c) Vonal, ha eltekintünk a vastagságától, ellenkezõ esetben test. d) Felület (sík). e) Test (téglatest). f) Felület (gömbfelület). g) Vonal. Ha végesnek gondoljuk, akkor szakasz, ha végtelennek, akkor egyenes. h) Vonal, ha a vastagságától eltekintünk. 2. Szakasz AB CD EF GH MN EP PF GP PH Mérés (mm) 35 11 107 35 53 56 51 11 24 1 mm-es eltérés nem számít hibának. 3. a) A Q pont mindkét félegyeneshez hozzá tartozik. b) Lásd a tankönyv 76. oldalának utolsó három ábráját. Egyenesek kölcsönös helyzete 6. A pontok az adott egyenestõl 2 cm távolságra lévõ párhuzamos egyenespáron vannak. 7. a) A két szívószál párhuzamos egymással. Kétféleképpen helyezhetõ el a második szívószál. 40 b) A térben végtelen sokféleképpen helyezhetõ el a második szívószál úgy, hogy párhuzamos legyen a padra letett szívószállal.

8. 9. a) s párhuzamos p-vel (s p) b) f merõleges p-re (f p) c) k párhuzamos f-fel (k f ) k merõleges s-re (k s) k merõleges p-re (k p) Síkidomok, sokszögek 10. Csoportosítási szempontok lehetnek például: Egy határvonala van (1., 4., 5., 6., 7., 8.). A végtelenbe nyúlik, nem korlátos (4., 8.). Csak egyenes szakaszok határolják (1., 2., 4., 6., 7.). Félegyenesekbõl áll a határvonala (8.). Tengelyesen tükrös (1., 3., 5., 8.). 11. a) Az a oldallal szemközti oldal a c. b) Az a oldallal szomszédos oldalak a b és a d oldal. c) Az A csúccsal szemközt a C csúcs van. A két csúcsot átló köti össze. d) K = a + b + c + d = 27 mm + 24 mm + 30 mm + 35 mm = 116 mm = = 11 cm 6 mm = 1 dm 16 mm 12. A: 1., 4., 6., 7; B: 1., 2., 4., 6., 8., 10.; C: 6., 10.; D: 4., 6., 10.; E: 4., 6., 10.; F: 4., 6 41

Egybevágó síkidomok 13. Egybevágó sokszögek: az 1. és a 2., a 4. és a 9., a 5. és a 7. 14. b) Elkezdtük a kétszeresre nagyított kép megrajzolását: c) Elkezdtük a tükörkép megrajzolását. Egybevágó síkidomokat kapunk: d) A tükörkép egybevágó az eredeti képpel: 15. A két négyszög nem egybevágó egymással. Az oldalaik egyenlõk, de az egyikben merõlegesek a szomszédos oldalak, a másikban nem. Téglalap, négyzet 16. a) 148 m; 140 m; 112 m b) 74 db; 70 db; 56 db c) 296 300; 280; 224 220 lépéssel 42

17. A méréssel közelítõ értékeket kapunk, ezért az eredmények mellé odaírtuk, hogy milyen hibahatáron belül elfogadható a kerületre kapott érték. Például, ha K = 65 ± 3 mm, akkor a kerületet 62 mm és 68 mm közötti értéknek mérhetjük. (1) 79 ± 3 mm; (2) 69 ± 3 mm; (3) 70 ± 4 mm; (4) 56 ± 4 mm; (5) 65 ± 4 mm; (6) 81 ± 5 mm; (7) 68 ± 5 mm; (8) 47 ± 6 mm; (9) 66 ± 6 mm; (10) 48 ± 6 mm 18. a) 80 cm; b) 6 m = 60 dm = 600 cm; c) 252 dm = 2520 cm; d) 92 cm, ez a téglalap négyzet. 19. a) 70 2 + b 2 = 350; b 2 = 210; b = 105 cm b) Nincs ilyen téglalap, mert 2 65 mm = 130 mm. A másik két oldalnak 0 cm-nek kellene lennie. c) 15 dm, ez a téglalap négyzet; 4 15 dm = 60 dm = 6 m d) 6 cm, 11 cm; e) 8 cm, 16 cm 20. a) 4 a = 360 cm; a = 90 cm; b) 1 m 40 mm = 104 cm; a = 26 cm A terület mérése, mértékegységei 21. Ha a területegység 1 rácsnégyzet területe, akkor a téglalapok területe növekvõ sorrendben: (2) 10 egység; (4) 12 egység; (1) 15 egység; (3) 16 egység Észrevehetõ, hogy a (2) téglalap kerülete a legnagyobb (22 hosszúságegység), ugyanakkor ennek a téglalapnak a területe a legkisebb. A másik három téglalap kerülete egyenlõ, 16 hosszúságegység, a területük mégis különbözõ. Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 43

22. a) T = 32 területegység. b) A területegységet négyszeresére növeltük, a mérõszám egynegyed részére csökken. T = 8 területegység. 23. A téglalap oldalai (hosszúságegység): 1 és 7; 2 és 6; 3 és 5; 4 és 4 A téglalapok területe (területegység): 7; 12; 15; 16 Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 24. Az oldalak növekedése: A terület növekedése: 2-szeres 3-szoros 4-szeres (2 2 =) 4-szeres (3 3 =) 9-szeres (4 4 =) 16-szoros stb. 25. a) b) c) d) K (hosszúságegység) 26 26 34 40 T (területegység) 31 32 32 33 26. a) 1 dm 2 = 100 cm 2 = 10 000 mm 2 ; 1 m 2 = 10 000 cm 2 b) 6 dm 2 = 600 cm 2 = 60 000 mm 2 ; 16 m 2 = 160 000 cm 2 c) 1 ha = 10 000 m 2 ; 9 ha = 90 000 m 2 ; 15 ha = 150 000 m 2 d) 4 ha 45 m 2 = 40 045 m 2 ; 200 000 m 2 = 20 ha e) 1 km 2 = 100 ha = 1 000 000 m 2 f) 6 km 2 20 ha = 620 ha = 6 200 000 m 2 A téglalap területe 27. a) T = 6 cm 2 = 600 mm 2 b) T = 1200 mm 2 = 12 cm 2 28. Figyeljük meg a szorzatok változását: a) 315 cm 2 ; b) 630 cm 2 ; c) 945 cm 2 ; d) 1260 cm 2 44

29. a) 16 200 mm 2 = 162 cm 2 b) 15 000 cm 2 = 150 dm 2 = 1 m 2 50 dm 2 c) 1500 mm 2 = 15 cm 2 d) 21 000 cm 2 = 210 dm 2 (= 2 m 2 10 dm 2 ) e) 350 000 m 2 = 35 ha f) 20 000 mm 2 = 200 cm 2 = 2 dm 2 g) 3 000 000 m 2 = 300 ha = 3 km 2 30. a) 50 cm; b) 120 mm; c) 205 m 31. c) T = 42 18 m 2 = 756 m 2 ; marad: 756 m 2 140 m 2 52 m 2 = 564 m 2 Téglatest, kocka 33. a) Az a négy él merõleges a kiválasztott lapra, amelyek egy pontban döfik a lap síkját. A többi nyolc él párhuzamos a kiválasztott lappal (azok is amelyek rajta vannak a lapon). b) Négy lap párhuzamos a kiválasztott éllel (két ilyen lapnak metszésvonala ez az él). c) A kiválasztott két él nem metszi egymást, és nem párhuzamos egymással. 45

Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben B1. a) A papírlap síkja párhuzamos az asztallap síkjával. (Igaz.) b) A lila rudak hossza 6 cm. A rájuk fektetett papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Néhány 3 cm hosszú világoskék rúdra ráhelyezünk egy lapot. Erre a lapra ráállítunk néhány világoskék rudat, majd rájuk is fektetünk egy lapot. A két papírlap síkja és az asztallap síkja párhuzamos egymással. A felül lévõ papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Az alatta lévõ lap pontjai 3 cm-re vannak a felsõ papírlap, illetve az asztallap síkjától is. c) A negyedik emelet padlósíkján. B2. Tekintsük a következõ feladatnál látható ábrát. a) Például az AB élre merõleges a BC, a BF, az AD és az AE él; az AB éllel párhuzamos az AB, az EF, a GH és a CD él; az AB éllel kitérõ élpárt alkot az EH, a DH, az FG és a CG él. b) Például az ABCD lappal párhuzamos az ABCD és az EFGH lap. c) Például az ABCD lappal párhuzamos az AB, a BC, a CD, a DA, az EF, az FG, a GH és a HE él. d) Például az AB éllel párhuzamos az ABCD, az ABFE, az EFGH és a CGHD lap. B3. a) A B csúcsban találkozó három él mindegyike merõleges a másik két élre. b) Az ABFE lapra merõleges az ABCD lap, az ADHE lap, a BCGF lap és az EFGH lap. c) Az ABFE lapra merõleges az AD él, az EH él, az FG él és a BC él. d) Az AB élre merõleges a BCGF és az ADHE lap. 46

A téglatest hálója, felszíne 34. Az a) és a c) kockaháló. 35. Az összeállítható téglatestek élei és felszíne: (1) 2 cm, 2 cm, 2 cm, A = 24 cm 2 ; (2) 2 cm, 2 cm, 3 cm, A = 32 cm 2 ; (3) 2 cm, 2 cm, 4 cm, A = 40 cm 2 ; (4) 2 cm, 3 cm, 4 cm, A = 52 cm 2 36. a) 500 mm 2 ; 2500 mm 2 ; 250 mm 2 ; b) 15 cm 2 ; 205 cm 2 ; c) 300 cm 2 = 30 000 mm 2 ; 3200 cm 2 = 320 000 mm 2 37. a) A = 112 egység; b) A = 192 egység; c) A = 136 egység 1 területegység egy rácsnégyzet területe. 38. a) 62 cm 2 ; b) 248 cm 2 = 2 dm 2 48 cm 2 ; c) 558 cm 2 = 5 dm 2 58 cm 2 ; d) 90 dm 2 ; e) 5400 dm 2 = 54 m 2 ; f) 142 m 2 ; g) 7636 mm 2 = 76 cm 2 36 mm 2 ; h) 1090 dm 2 = 10 m 2 90 dm 2 39. a) 7462 mm 2 = 74 cm 2 62 mm 2 b) 111 760 cm 2 = 11 m 2 17 dm 2 60 cm 2 c) 994 dm 2 = 9 m 2 94 dm 2 40. a) 24 cm 2 ; b) 96 cm 2 ; c) 2400 cm 2 = 24 dm 2 ; d) 41 334 mm 2 = 4 dm 2 13 cm 2 34 mm 2 ; e) 1 524 096 mm 2 = 1 m 2 52 dm 2 40 cm 2 96 mm 2 ; f) 18 150 mm 2 = 1 dm 2 81 cm 2 50 mm 2 41. 2 db 4 3 cm-es lappal kiegészítve 4 3 2 cm-es téglatestet kapunk; A = 52 cm 2. A téglatest térfogata 42. Rózsaszín rúdból 4 db 8 fehér kocka. Világoskék rúdból 9 db 27 fehér kocka. Piros rúdból 16 db 64 fehér kocka. Lila rúdból 36 db 216 fehér kocka. 47

43. a) 5 4 egységkockából épül fel egy réteg. 3 rétegbõl épül fel a téglatest. 5 4 3 = 60 egységkocka szükséges. b) Az alaplapjára (4 3 =) 12 egységkocka fér. (72 : 12 =) 6 egység magas lesz a téglatest. c) A felépíthetõ téglatestek éleinek a hosszúsága: 1 1 64 egység; 1 2 32 egység; 1 4 16 egység; 1 8 8 egység; 2 2 16 egység; 2 4 8 egység; 4 4 4 egység, ez kocka 44. a) A felépíthetõ téglatestek térfogata minden esetben 8 cm 3. b) Éleinek a hosszúsága, illetve felszíne: 1 1 8 cm; A = 34 cm 2 ; 1 2 4 cm; A = 28 cm 2 ; 2 2 2 cm; A = 24 cm 2 A felépíthetõ, egyenlõ térfogatú téglatestek közül a kocka felszíne a legkisebb. 45. a) 27-et; (hat vágással darabolható fel). b) 1-szerese; a darabolás során a térfogat nem változik. 1 c) része; minden vágással még két lapnyi új felület képzõdik. Így a kocka 3 felszínéhez még hozzáadódik a kétszerese, ezért az eredeti felszín megháromszorozódik. 46. a) 30 cm 3 ; b) 240 cm 3 ; c) 250 dm 3 ; d) 50 dm 3 ; e) 27 000 dm 3 = 27 m 3 ; f) 105 m 3 ; g) 43 400 mm 3 = 43 cm 3 400 mm 3 ; h) 2100 dm 3 = 2 m 3 100 dm 3 ; i) 35 640 cm 3 = 35 dm 3 640 cm 3 ; j) 8 000 000 cm 3 = 8000 dm 3 = 8 m 3 47. a) a b c = 3600 cm 3 ; c = 3600 : (a b); c = 18 cm; b) 8 dm; c) 10 cm = 1 dm; d) 12 cm; e) 25 dm = 2 m 5 dm 48