Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika 9. évfolyam tanulói jegyzet A TISZK rendszer továbbfejlesztése Petrik TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.
Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 matematika a mindennapi életben 9. évfolyam tanulói jegyzet
A kiadvány a TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 azonosító számú projekt keretében jelenik meg. Szerző: Lovas Margaret Lektor: Kiss Jolán Borító és tipográfia: Új Magyarország Fejlesztési Terv Arculati kézikönyv alapján A mű egésze vagy annak részletei az üzletszerű felhasználás eseteit ide nem értve oktatási és tudományos célra korlátozás nélkül, szabadon felhasználhatók. A tananyagfejlesztés módszertani irányítása: Observans Kft. Budapest, 009. Igazgató: Bertalan Tamás Tördelés: Király és Társai Kkt. Cégvezető: Király Ildikó
Tartalomjegyzék Bevezetés...5 Aritmetikai műveletek, algebrai átalakítások...6 Számok, műveletek számokkal...6 Műveleti sorrend...6 Kapcsolat a közönséges illetve a tizedes törtek között...8 Betűkifejezések, műveletek betűkkel... 1 Algebrai kifejezések...1 Műveletek algebrai kifejezésekkel...13 Képletek... 15 Arányosságok, aránypárok felállítása... 18 Arányosságok... 18 Egyenes arányosság...19 Egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja...1 Fordított arányosság...0 Fordított arányosságot megadó függvény grafikonja...3 Arányossági következtetés...6 Becslés...7 Arányok alkalmazása...9 Mértékegységek...33 Százalékszámítási feladatok...36 A százalék...36 Százalékérték, százalékláb, százalékalap...36 A százalék és a törtrész kapcsolata...38 A százalék és az arányosság kapcsolata...41
Bevezetés De hol fogom én ezt használni? Ugye mindenki feltette már magának ezt a kérdést néhány tantárgy bizonyos anyagrészei kapcsán. Nagyon sok esetben hangzik el ez a kérdés a matematika különböző részeivel kapcsolatban is. Most azt szeretnénk megmutatni Nektek, hogy a matematikának ez a rövid anyagrésze hogyan segíti az általatok választott szakmai alapozó tantárgyak feladatainak megoldását. Reméljük, hogy Ti is úgy fogjátok majd gondolni a tananyag végén, hogy valóban segítséget kaptatok a szakmai alapozó tantárgyak követelményeinek teljesítéséhez! Cél Fontos cél, hogy egy bevásárlás során könnyedén tudd kiszámolni az egységár alapján a többszörösért, ill. törtrészért fizetett összeget, ki tudd számolni, hogy van-e elég pénz nálad, azért, hogy ne kerülj fizetésnél kellemetlen helyzetbe. Célunk, hogy a választott szakmáddal kapcsolatos képleteket ismerd jól, és tudd megfelelően használni, hiszen a munkád során pl. egy keverési arányt az általad megálmodott színhez egyedül kell majd kiszámolnod. Szeretnénk elérni, hogy ne tudjanak becsapni, ha banki hitelt veszel fel, vagy ha árleszállítás van, egyszerű legyen kiszámolni, mennyivel tudsz olcsóbban megvenni pl. egy cipőt. Az arányokkal és a százalékszámítással kapcsolatos feladatok helyes megoldása. Követelmény Biztonsággal és megfelelő sorrendben tudd alkalmazni az alapvető aritmetikai műveleteket. Tudj képleteket biztonsággal rendezni, keresett értéket kifejezni. Ismerd az egyenes, ill. fordított arányosság közti különbséget, és a feladatokban felismerd a megfelelő összefüggéseket. Ismerd a százalékérték, a százalékláb, és a százalékalap közötti összefüggést, és ezt tudd biztonsággal alkalmazni. Jelmagyarázat A tanulói jegyzetben a tananyag fontos elemeit, a példákat és a tanulási tippeket különböző ikonok jelölik. Ikon Jelentés A fejezet célmeghatározása. Figyelmesen olvasd el, így megismered a fejezet fókuszpontjait! Az ikon fontos, jól megjegyzendő, megtanulandó ismereteket jelez. Az ikon mellett olyan gondolatébresztő, kérdéseket, felvetéseket, problémákat találsz, amelyek megválaszolásával elmélyülhetsz a témában. Az ismeretek elsajátítását megkönnyítik a példák. Az ikon mellett érdekességeket, példákat, gyakorlati életből vett esetleírásokat találsz. Az ikon a házi feladatot, otthoni munkát jelöli. PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 5
Aritmetikai műveletek, algebrai átalakítások Ennek a témakörnek az a célja, hogy: helyesen tudd a számok közötti műveleteket elvégezni; jól tudd alkalmazni a százalékkal kapcsolatos fogalmakat; biztonsággal tudd kezelni a betűkifejezéseket; ezeken keresztül a fizikai, kémiai stb. képletekből helyesen tudd kifejezni a keresett értékeket. 1. feladat Számok, műveletek számokkal Gyűjtsetek példákat arra, hogy milyen konkrét helyzetekben kellett már valamilyen matematikai ismeretet alkalmaznotok! Ötletadónak néhány példát említünk: mobiltelefon díjcsomag választása, vegyszerek használati utasításának értelmezése............ Műveleti sorrend Általános iskolában már megtanultátok a számhalmazok nevét, tulajdonságait, és a számok között végezhető műveletekről is esett szó. Mégis fontosnak tartjuk néhány dolog átismétlését, felelevenítését a későbbi anyagrészek szempontjából. A valós számhalmazon értelmezett műveletek: összeadás (+), kivonás ( ), szorzás ( ), osztás (:), hatványozás, gyökvonás. Tulajdonságaik Kommutatív: a tagok sorrendje felcserélhető (összeadás, szorzás). Asszociatív: a tagok tetszőlegesen csoportosíthatók (összeadás, szorzás). A szorzás az összeadásra nézve disztributív: a (b+c) = a b+a c A kivonás, az osztás és a hatványozás (gyökvonás) ezekkel a tulajdonságokkal nem rendelkezik. 6 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Ha nincs zárójel, akkor a műveleti sorrend a következő: 1. hatványozás, gyökvonás;. szorzás, osztás; 3. összeadás, kivonás. Ha van zárójel, akkor a zárójelben lévő műveletet kell először elvégezni. Mintafeladat a műveleti sorrenddel kapcsolatban: a) 4,+5: =? A műveleti sorrendet betartva először az osztást végezzük el, majd ezután az összeadást. Tehát: 4,+5: = 4,+,5 = 6,7 b) (8 4,9) 5 = Mivel a feladat tartalmaz zárójelet, így most először az összeadást végezzük el, majd utána a szorzást. Tehát: (8 4,9) 5 = 3,1 5 = 15,5 Ha a műveleteket tizedes törtekkel végezzük, figyeljünk a helyi értékekre!. feladat Végezd el az alábbi műveleteket! a) 5,+3,07 = b) 3,75+3,5 (4,8+,) = c),9 3 (5,4 3,1) = d) 5 (7,4,55) 9,3:3 = Nézzünk egy példát arra, hogy az előző feladatban helyesen végzett műveleti típusok hol használhatók a mindennapi életben! Pisti elment az új plázába. A barátaival megnézték a Harry Potter legújabb részét, és mozi után elfagyizta a pénzét. Mindössze 600 Ft-ja maradt. Ám a szülei felhívták, hogy vigyen haza néhány dolgot a vacsorához. A listát SMS-ben elküldték: kg krumpli, 0,5 kg hagyma, db kígyóuborka. Pisti félt, hogy a pénztárnál bajban lesz, és nem tudja kifizetni, amit az édesanyja kért. Ezért vásárlás előtt megnézte az árakat: 1 kg krumpli 119 Ft, 1 kg hagyma 149 Ft, 1 db kígyóuborka 19 Ft. Ez után kiszámolta, hogy mennyit kell majd fizetnie: 119+0,5 149+ 19 = 38+74,5+58 = 570,5 570 Ft Így megnyugodott, hogy a nála lévő pénz elég lesz. PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 7
Műveletek közönséges törtekkel Ha közönséges törtek között végzünk műveleteket, akkor az összeadás ill. kivonás esetében a törteket hozzuk közös nevezőre! 3. feladat Oldd meg az alábbi feladatokat! 4 3 a) + : = 5 4 b) 1 3 8 5 c) + 4 6 6 6 1 : = 15 d) Kapcsolat a közönséges, illetve a tizedes törtek között Az előzőekben a műveleteket törtszámok körében végeztük el. De milyen számkörbe tartoznak a törtek? Ha visszaemlékszünk a definíciókra, akkor az előző kérdésünkre megkaphatjuk a választ. Két egész szám hányadosát racionális számnak nevezzük, azaz az b a alakban felírható számok racionális számok (a és b egész számok és b 0). Tehát ebbe a számkörbe tartoznak a közönséges törtek, és minden olyan szám, amelyet fel tudunk írni ilyen alakban. Tehát pl. az egészek, hiszen mindenki találkozott már azzal, amikor egy feladat végeredménye 3 6 =. De mi van a tizedes törtekkel? Valós számok: ebbe a számkörbe minden szám beletartozik. Tehát ebbe a számkörbe beletartoznak a tizedes törtek is. 8 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
A következő kérdés az, hogy a két fajta törtnek van-e valamilyen köze egymáshoz, át lehet-e alakítani egymásba ezeket a számokat? Mivel a racionális számokat úgy definiálták, hogy két egész szám hányadosa, ez azt jelenti nekünk, hogy a törtvonal az osztás műveletével azonos, és ezt az osztást el is lehet végezni. Nézzünk néhány konkrét példát! A tizedes törtek típusai: 3 = 0,75 véges tizedes tört. 4 4 1 = 0,131313... végtelen szakaszos (ismétlődő) tizedes tört, az ismétlődő számok a 333 szakasz, amit úgy jelölünk, hogy 0,13. Tehát a véges tizedes törtek, és a végtelen szakaszos tizedes törtek racionális számok, és a közönséges törtek átalakítása tizedes törtté igen egyszerű. 4. feladat Írd fel az alábbi közönséges törteket tizedes tört alakban! a) b) c) 4 5 3 3 d) 7 10 e) f) 5 9 8 7 PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 9
5. feladat Az előző feladat közönséges törtjeit csoportosítsd az alábbiak szerint! Véges tizedes törtté alakítható Végtelen szakaszos tizedes törtté alakítható Házi feladat (1) a) A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! b) A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám szorzata. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! c) Írd fel az első piramisban szereplő törteket tizedes tört formában! Hogyan lehet a tizedes törtekből közönséges törtet előállítani? Véges tizedes törtek esetén könnyű dolgunk van, hiszen csak a helyi értékeket kell felhasználnunk. 10 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
6. feladat 0,5 A tizedes törtek elnevezése segít a közönséges formára való átírásban. Ennek a törtnek nulla egész huszonötszázad az elnevezése. Ha a nulla egész részt elhagyjuk, akkor a huszonöt század már a helyi értékre és a megfelelő helyi értéken álló értékről ad felvilágosítást, amit felhasználunk a közönséges tört felírásához: 5 100 A törtet, ha lehet érdemes egyszerűsíteni. Ez a tört egyszerűsítve: 1 4 Írd fel közönséges tört alakban! a) 0,45 = b) 1,45 = c) 3,1 = d) 0,8 = e) 0,3 = f) 4,1 = A végtelen szakaszos tizedes törtek esetében az eljárás kissé bonyolultabb, hiszen nekünk egész számok hányadosaként kell felírnunk, tehát nincs szükségünk az ismétlődő szakaszra. Viszont egyszerűen nem lehet elhagyni, hiszen akkor nem ugyanarról a számról lenne szó. Nézzük meg, mit lehet tenni egy konkrét esetben! a 0, 5 = b a =?, b =? 1. Legyen 5 0, = x! Szorozzuk meg ezt az egyenlőséget 100-zal!. 5 5, = 100x Vonjuk ki az második egyenlőségből az elsőt! 3. 5 = 99x x = 5 99 PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 11
7. feladat Írd fel közönséges tört alakban! a) 5 0,3 = b) 0,3 = c) 5 0, 4 = 5 d) 1, 4 = Betűkifejezések, műveletek betűkkel Algebrai kifejezések Az eddigiekben átismételtük a számok között végezhető műveleteket. Már általános iskolában is találkoztatok azzal, hogy a matematika nemcsak számokkal dolgozik, hanem nagyon sok esetben betűk (ismeretlenek) között is végez műveleteket. Ha betűk és számok között a négy alapműveletet véges sokszor alkalmazzuk, akkor algebrai kifejezésről beszélünk. Oldottatok meg egyenletet, amelyben már volt egy ismeretlen, azaz egy betű. Már ott tanultátok, hogy a kijelölt műveleteket nem lehet minden esetben elvégezni. Ahhoz, hogy pl. össze tudjuk vonni a kifejezéseket, néhány dolgot tudnunk kell. Elnevezések: a számokat helyettesítő betűket változóknak (vagy ismeretleneknek) nevezzük; a változók szorzószáma az együttható. Ha az algebrai kifejezésben szereplő változók és azok kitevői megegyeznek, akkor egynemű, ha nem akkor különnemű algebrai kifejezésről beszélünk. 1 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Osztályozásuk: Algebrai kifejezések Egytagú 3x 6a; 5xy; 5y Többtagú 3x+; 4xy 5ab Egynemű 5 5xy; 1xy; xy 3 Különnemű 5xy; 5x y; 6a A többtagú algebrai kifejezéseket polinomnak nevezzük. 8. feladat Párosítsd az egynemű algebrai kifejezéseket! x y 3 5 xy 3x y x y 1x y 5 xy 3 4 x y x y 7 Műveletek algebrai kifejezésekkel A polinomokban az összevonásokat csak egynemű algebrai kifejezések között lehet elvégezni. Mintafeladat az algebrai kifejezések összevonására: 1 a 3 + a b a b 3a =,5a + 0,5a b PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 13
9. feladat Végezd el az összevonást a 8. feladat táblázat összetartozó párjai között! Nézzünk az összevonásra feladatokat! 10. feladat Végezd el az összevonást! a) 4a (7a 3) b) x + (5 4x) c) ( y 3) + (3 4y) ( y + 1) d) 5x 3 + (5x + 3) 7 e) f) y 3y + 5y 6 + y + 3 3y + 4y 3 3 3a + 5a 7 7a + a + 4a + 5 a g) ( x + 3x 5) + (x x 1) h) (8a 4ab + b ) ( b + ab a ) Házi feladat () 1) Karikázd be az egynemű algebrai kifejezéseket az alábbiak közül! a) 3 a b ab a b a 3 b 1,3a b b) 1 y 5 x 3 x y 3 3x y ) Végezd el az összevonást! a) 6x x 3x = 4x 3 y b) 3ab 4a b + 7ab a b + 5ab ab c) (b + ab a ) (8a 4ab + b ) 14 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Házi feladat (3) Gyűjtsetek 5 db általatok ismert fizikai, kémiai stb. képletet! Használjátok segédeszközként a függvénytáblázatot, vagy tavalyi tankönyveiteket vagy az internetet! www.mozsig.extra.hu/letoltes/kepletek.doc Képletek A képletek tulajdonképpen egyenlőségek betűkifejezések között. Ám ezekben az egyenlőségekben a betűk valamilyen mennyiségnek (út, idő stb.) a jelei, és maguk az egyenlőségek a természetben lejátszódó folyamatok jellemzői között adnak összefüggést. Így ahhoz, hogy egy képletet értelmezni tudjunk, mindenképpen ismernünk kell a benne szereplő betűk jelentését. Q = c m Δt Ezt a képletet még általános iskolai fizikaórán tanultátok a hőtan keretein belül. A benne szereplő betűk jelentése a következő: Q: hőmennyiség c: fajhő m: tömeg Δt: hőmérsékletváltozás Mintafeladat a keresett érték képletből való kifejezésére Fejezzük ki a képletből a tömeget! Ez azt jelenti, hogy a képletet rendezzük át oly módon, hogy a képletben szereplő többi mennyiség segítségével a tömeg legyen meghatározható, vagyis a képlet úgy nézzen ki, hogy m= Ez azt a feladatot adja nekünk, hogy a képlet jobb oldalán szereplő mennyiségek közül a fajhőt, és a hőmérsékletváltozást az egyenlőség másik oldalára kell átvinni. Megoldás Q=c m Δt /:c Q = m Δt /:Δt c Q =m c t PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 15
11. feladat Írd fel az alábbi képletekben szereplő betűk jelentését! 1. C 1 m 1 +C m = C 3 (m 1 +m ) (keverési egyenlet). p V= n R T (ideális gázok állapotegyenlete) 1. feladat Az első képletből fejezd ki a keverék koncentrációját, majd az 1-es kiindulási anyag tömegét! A második képletből fejezd ki a mólszámot, majd a gáz térfogatát! 13. feladat Válasszatok ki a táblán lévő képletek közül négyet! Fejezzétek ki a képletekből a tanár által kért értékeket! a) b) c) d) 16 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Házi feladat (4) Írd fel a képletekben szereplő betűk jelentését! A trapéz területe T ( a + c) m = Fejezd ki a képletből a trapéz magasságát! A sűrűség ρ m = V Fejezd ki a képletből a térfogatot! A téglalap kerülete K = ( a + b) Fejezd ki a képletből az a oldalt! Használjátok segédeszközként a függvénytáblázatot, vagy tavalyi tankönyveiteket vagy az internetet! www.wikipedia.hu Házi feladat (5) Keressetek 5 példát olyan mennyiségekre, melyek szerintetek egyenes arányban vannak egymással! PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 17
Arányosságok, aránypárok felállítása Ennek a témakörnek az a célja, hogy: ismerd fel az arányos mennyiségeket; tudd megkülönböztetni az egyenes, ill. fordított arányosságot egymástól, és más típusú arányosságtól; tudd helyesen használni az arányokat különböző folyamatokkal kapcsolatos feladatok megoldása során (kémia, fizika, biológia); próbáld megbecsülni a végeredményt. arányosságok Biztosan mindenki találkozott már a mindennapi életben olyan mennyiségekkel, amelyek valamilyen szempontból arányosak voltak egymással, csak nem foglalkoztatok ennek az arányosságnak a matematikai formájával. Aránynak nevezzük általában két vagy több mennyiség nagyságbeli viszonyát. 14. feladat Írd az üres oszlopba a szerinted igaz állítás számát! 1. A két mennyiség együtt csökken, vagy együtt nő.. Ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökken. 3. Nem található az elsőhöz és a másodikhoz hasonló összefüggés (vagy csak nagyon távoli). Milyen összefüggés van? a) Egy karácsonyfa ára és magassága között. b) Aliz cicáinak száma és Aliz életkora között. c) Gábor otthon eltöltött ideje és az iskolában eltöltött ideje között. d) Táblás csokoládé tömege és a csoki íze között. e) Egy csúszda hossza és a rajta végigcsúszó csiga haladási ideje között. f) Egy könyv elolvasott és el nem olvasott lapjainak száma között. g) Bence bácsi testsúlya és életkora között. h) A családtagok száma és a család élelmiszerre költött pénzének mennyisége között. i) A CD-n már meghallgatott dalok és a még nem meghallgatott dalok között. j) A sütemények száma és a felhasznált liszt mennyisége között k) Egy épület magassága és kora között. l) A lakásban elfogyasztott víz mennyisége és a vízszámla végösszege között. 18 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Egyenes arányosság Pisti szeretné megnézni a Harry Potter című film legújabb részét, viszont nincs kedve egyedül menni. Az interneten megnézte, hogy egy diákjegy 990 Ft-ba kerül. Telefonál a barátainak, hogy eljönnének-e vele moziba. Felajánlja, hogy elmegy jegyet venni, és megelőlegezi a vételárat. Mennyi pénzt kell magával vinni, ha ketten, ill. négyen mennek moziba? Ha ketten mennek, akkor 990 = 1880 Ft-ot, ha viszont négyen, akkor 4 990 = 3960 Ft-ot kell vinnie. Az előző példán láttátok, hogy ebben az esetben a diákok száma és a jegyárak között olyan arányosság van, hogy ha az egyik mennyiség valahányszorosára növekedett, akkor ugyanannyiszorosára növekedett a másik mennyiség is (diákok száma/fizetett pénzmennyiség). 15. feladat Az iskolai büfében 90 Ft-ba kerül egy pogácsa. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Vásárolt pogácsák száma (db) Fizetendő összeg (Ft) 90 1 5 1 15 összeg Számold ki a következő hányadost néhány értékpár esetében: = darab 16. feladat 1,5 liter narancslevet 5 kg narancsból tudunk kifacsarni. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Narancslé mennyisége 1 (l) 1 3 Narancs mennyisége (kg) 1 narancs Számold ki a következő hányadost néhány értékpár esetében: = narancslé A táblázat egy oszlopában szereplő számokat összetartozó értékpároknak nevezzük. Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok hányadosa egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos. Az értékpárok hányadosa az arányossági tényező. PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 19
17. feladat Egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja Ábrázold az előző két táblázat értékeit koordináta rendszerben! Írd fel a függvény hozzárendelési utasítását! x x 0 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
18. feladat Tapasztalataink alapján elmondhatjuk, hogy az egyenes arányosság képe x a x lineáris függvény. ÉT: x є R + és a > 0 Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek az egyenes arányosság körébe sorolhatók!............ Fordított arányosság Kirándulást szervez Nagy tanárnő az osztályának Bécsbe. Külön busszal szeretnének menni, amelynek az ára diáklétszámtól függetlenül 150 000 Ft. Mennyibe fog kerülni az útiköltség, ha az osztály létszáma 30 fő? Mennyibe kerül a busz akkor, ha tíz tanuló nem akar elmenni a kirándulásra? Ha 30 tanuló megy kirándulni, akkor 150 000:30 = 5000 Ft a fejenkénti útiköltség. Ha csak 0 tanuló megy kirándulni, akkor 150 000:0 = 7500 Ft-ba kerül tanulónként a busz. Úgy döntenek, hogy feltöltik a buszt, és a 0 fő mellé szerveznek másik osztályból még húsz tanulót, akkor 150 000:40 = 3750 Ft csak a buszköltség fejenként. Az előző példán láttátok, hogy ebben az esetben a diákok száma és az útiköltség között olyan arányosság van, hogyha az egyik mennyiség valahányszorosára növekedett, akkor ugyanannyiad részére csökkent a másik mennyiség. (diákok száma/fizetett útiköltség) 19. feladat Egy autóval 300 km-t kell megtenni. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! sebesség (km/h) 100 50 75 idő (óra) 5 Számold ki a következő szorzatot néhány értékpár esetében: idő sebesség = PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 1
0. feladat 6 vízcsap 9 óra alatt tölt meg egy medencét Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Csapok száma (db) 6 1 idő (óra) 9 3 18 Számold ki a következő szorzatot néhány értékpár esetében: idő csapszám = Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok szorzata egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség fordítottan arányos. Az értékpárok szorzata az arányossági tényező. matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
1. feladat Fordított arányosságot megadó függvény grafikonja Ábrázold az előző két táblázat értékeit koordináta rendszerben! Írd fel a függvény hozzárendelési utasítását! x x PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 3
. feladat Tapasztalataink alapján elmondhatjuk, hogy a fordított arányosság képe x x a lineáris törtfüggvény. ÉT: x є R + és a > 0 Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek a fordított arányosság körébe sorolhatók!............ Házi feladat (6) Karikázd be azoknak az állításoknak a betűjelét, amely szerinted egyenes arányosságot határoz meg! a) A futóversenyen lefutott szakaszok és a hátralévő távok között b) A puzzle lerakott darabjainak a száma és a kirakott kép területe között c) A bankszámlánkon lévő pénz és az érte járó kamat nagysága között d) A matematika órából eltelt idők és a hátralévő idők között e) A megvásárolt szalámi mennyisége és az érte fizetendő összeg nagysága között 4 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Házi feladat (7) a) 10 dkg téliszalámit 400 Ft-ért árulnak a sarki boltban. Határozd meg, mennyit fizetnénk, ha 0, 30, 40, 80 dkg-ot vásárolnánk? Töltsd ki a táblázatot! Ábrázold az értékeket, és írd fel a hozzárendelési utasítást! x PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 5
b) ember egy kert felásásával 5 óra 5 perc alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet 1, 4, 5, 8 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás? Töltsd ki a táblázatot! Ábrázold az értékeket, és írd fel a hozzárendelési utasítást! x Arányossági következtetés Péternek néhány hónapja kishúga született. Édesanyja minden héten felírta súlyának gyarapodását, hogy a gyerekorvosnál be tudjon róla számolni. Péter megtalálta a feljegyzést, és nagyon érdekelte, hogy a súly és az életkor vajon egyenes arányban van-e egymással, ezért ábrázolta az értékeket. Azt tapasztalta, hogy a mért értékek ugyan az életkorral arányosan növekednek, ám ez nem egyenes arányosság. A mindennapi életben nagyon sok olyan folyamat játszódik le, ami pl. az idővel arányosan nő vagy csökken, ám ez az arány nem tarozik sem az egyenes, sem a fordított arányosság körébe. 6 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
3. feladat Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek sem az egyenes, sem a fordított arányosság körébe nem sorolhatók!............ Becslés Nagyon sok esetben a hétköznapi élet folyamatainak végeredményét nem számoljuk ki, hiszen talán nincs rá ilyen pontossággal szükségünk, vagy esetleg nincs rá időnk. Ha felismerjük a mennyiségek között érvényben lévő arányosság típusát, akkor egy hozzávetőlegesen pontos eredményt tudunk mondani, azaz meg tudjuk becsülni pl. a vásárolandó festék mennyiségét, vagy a lekvárhoz szükséges tiszta befőttes üvegek számát. A becslés tehát egy értékének, mértékének megközelítő meghatározása. Ez a meghatározás tapasztalattól függően igen pontos is lehet. Ha jó becslést tudunk adni egy arányos feladat végeredményéhez, akkor tulajdonképpen leellenőriztük feladatunk megoldását. Klári szülei úgy döntenek, hogy szeretnék kifestetni a szobákat. Ezért a szomszéd házban lakó szakembertől árajánlatot kérnek. A lakás felmérése során megadják a festőnek, hogy Klári szobája 3,5 4,5 m-es, az ő szobájuk 4,5 4,8 m-es, a belmagasság,8 méter. A festő rövid gondolkodás után közli, hogy Klári szobája kb. 50 m a festés szempontjából, a szülei szobája kb. 80 m a festés szempontjából, tehát 130 m felületet kell lefesteni. Ez 500 Ft/m árral számolva 65 000 Ft munkadíjat jelent. Jól számolt a festő? Ellenőrizzük! Klári szobája: 3,5 4,5+ 3,5,8+ 4,5,8 = 60,55 m Szüleinek szobája: 4,5 4,8+ 4,5,8+ 4,8,8 = 73,68 m Összesen 134,3 m, ami 67 115 Ft-ot jelentene. PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 7
4. feladat Becsüld meg az alábbi városok távolságát a térkép alapján! Használd a becsléshez a mértéket! Budapest Debrecen: Budapest Kecskemét: Szeged Szombathely: Szeged Pécs: 5. feladat Szeretnél eljutni a szüleiddel a debreceni virágkarneválra. Az előző becslést használva határozd meg, hogy mennyi idő alatt értek le, ha 70 km/h átlagsebességgel számolhatunk, és mennyi benzint kell tankolni, ha az autó fogyasztása 6,5 liter 100 km-en! Ennyi idő alatt érünk le: Ennyit kell tankolnunk: Jól becsültél? A Budapest Debrecen távolság 30 km. 8 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
6. feladat Becsüld meg az alábbi feladatok eredményét! Becslés után számold ki a pontos értéket! a) Egy csomag mosópor 3,6 kg. Mekkora a tömege 4 csomag mosószernek? Kb.: b) ember egy kert felásásával 5 óra 5 perc alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet 4 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás? Kb.: c) 14 kg sárgabarackból 7 db literes üveg lekvárt tudunk főzni. 0 kg sárgabarackból hány db literes üveg lekvárt tudunk főzni? Kb.: d) liter pattogatott kukorica elkészítéséhez 10 dkg kukoricára van szükség. Mennyi kukoricára van szükség 5,5 l, pattogatott kukorica elkészítéséhez? Kb.: Arányok alkalmazása Biztosan találkoztatok már kémia órán is azzal, hogy az arányosság segítségével kellett a feladatokat megoldani. Sajnos bizonyos elméleti ismeretek nélkül nem tudunk feladatokat megoldani, tehát az első olyan definíció, amire szükség van. Mólkoncentráció vagy molaritás Az adott komponens móljainak száma az elegy térfogategységében (1 dm 3 -ében). Értékét megkaphatjuk, ha az adott anyag móljainak számát osztjuk az elegy dm 3 -ben kifejezett térfogatával. (Az anyag móljainak száma [n] az anyag grammban kifejezett tömegének és a relatív molekulatömegnek a hányadosa.) c = oldott anyag móljainak száma [mol/dm 3 ] 3 oldat térfogata [ dm ] Mintafeladat a kémia feladatok megoldásában az arány alkalmazására Egy oldatban van mól anyag, az oldat mennyisége 345 ml. Mekkora a mólkoncentráció? Emlékszel? Aránynak nevezzük általában két vagy több mennyiség nagyságbeli viszonyát Ez azt jelenti számunkra, hogy a mólkoncentráció tulajdonképpen egy arány. Ebben a feladatban az oldott anyag móljainak száma, az oldat térfogata 345 ml = 0,345 dm 3, tehát a koncentráció PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 9
c = 0,345 = 5,8 mol/dm 3 Mintafeladat a kémia feladatok megoldásában az egyenes arány alkalmazására Mennyi ezüst-nitrátot kell bemérni 50 cm 3, 8,5 g/dm 3 koncentrációjú oldat készítéséhez? Megoldás A kémia a feladatmegoldáshoz a keresztszabályt használja. 8,5 g oldott anyag 1000 cm 3 x g oldott anyag 50 cm 3 x = 8,5 50 =,15 g 1000 Erre azt mondhatnátok, hogy ennek semmi köze az egyenes arányhoz, ez teljesen más. Emlékszel? Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok hányadosa egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos. Az értékpárok hányadosa az arányossági tényező. Oldjuk meg ezzel a módszerrel is a feladatot! Összetartozó értékpár az oldott anyag tömege és az oldószer mennyisége, tehát Fejezzük ki az x-et, vagyis szorozzunk 50-nel! 8,5 x = 1000 50 8,5 50 x= 1000 =,15 g Tehát valóban egyenes arányosság áll fenn a mennyiségek között, csak kémia órán nem a matematikai összefüggések hangsúlyozása a fontos. 30 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
7. feladat Oldd meg az alábbi kémia feladatokat! a) Rendelkezésedre áll 678 ml oldat, amiben van 0,13 mol oldott anyag. Számold ki a koncentrációját! b) Oldatot kell készítened, aminek a koncentrációja 0,3 mol/l, mennyisége 350 ml. Hány mól anya got kell hozzá bemérned? c) 810 cm 3 vízben és 175,35 g nátrium-kloridot oldottunk fel. Az oldat sajnos kevés lett, és készítenünk kell még 0,5 l ugyanilyen koncentrációjú oldatot. Mennyi só kell hozzá? d) Rendelkezésedre áll 1500 ml oldat, amiben van 1,3 mol anyag. Számold ki a koncentrációját! PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 31
Házi feladat (8) Magyar órán szóba kerül Csontváry Magányos cédrus című festménye. Úgy döntötök az osztályból négyen, hogy elmentek Pécsre, és megnézitek a festményt eredetiben. Készíts az útiköltségről egy összehasonlítást, ha Volánnal, vagy ha MÁV-val utaztok, illetve arra az esetre, ha édesapádat megkéred, hogy vigyen el benneteket, és a benzinköltségen megosztoztok! Segítséget a következő helyeken találsz: http://www.holvan.hu/ http://www.mav-start.hu/ http://www.volan.hu/ http://www.holtankoljak.hu/ Volán busz jegyára fejenként: MÁV jegyára fejenként: Budapest Pécs távolság (Először becsülj!): Édesapád azt mondta, hogy az autó 7 liter benzint fogyaszt 100 km-en. Hány liter benzinre van szükségetek? (Először becsülj!) Mennyibe kerül a benzin? Útiköltség fejenként: Melyik éri meg jobban? 3 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam
Házi feladat (9) 1. Oldatot kell készítened, aminek a koncentrációja 0,67 mol/l, mennyisége 500 ml. Hány mol anyagot kell hozzá bemérned?. Rendelkezésedre áll 1500 ml oldat, amiben van 1,3 mol oldott anyag. Számold ki a koncentrációját. 3. Mennyi nátrium-kloridot kell bemérni 350 cm 3 1 g/dm 3 koncentrációjú oldat készítéséhez? Mértékegységek Az előző néhány feladat esetében láttátok, hogy szükség volt a mértékegységek átváltására. A matematika látszólag nem törődik a mennyiségek mértékegységével, ám ez csak abból a szempontból igaz, hogy nem az a fontos, hogy a feladatot pl. méterben, vagy centiméterben számoljuk végig, viszont elengedhetetlen, hogy a mértékegységeket a feladat elején egyeztessük. A kémia, a fizika viszont nem engedi meg tetszőleges mértékegységek használatát. Ahhoz, hogy tudjuk, milyen átváltást kell végrehajtani, ahhoz a kiszámolandó mennyiség mértékegységét ismernünk kell. A néhány alapmennyiségen (tömeg, idő, hosszúság stb.) kívül, a segítségükkel előállítható mértékegységeket származtatott mértékegységeknek nevezzük. Ilyen származtatott mértékegység pl. a térfogat esetén m 3, a sűrűség esetében kg/m 3.A mindennapi életben használják pl. a db/ft mértékegységet, ami jelenti egy darab termék árát. 8. feladat Gyűjtsetek tizenkét olyan mértékegységet, amelyet ismertek!......... Nézzük, hogyan kell használni az átváltásokat, konkrét feladat megoldása során! Mintafeladat megoldása mértékegység váltásával 1 kg asztali só hány mol NaCl? Emlékszel? Néhány dolgot tudni kell, hogy a feladatot meg tudd oldani! PETRIK TISZK TÁMOP-..3-07/1-F-008-0011 33