Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel: a 2 = a 1 q. Megjegyzés: A mértani sorozat bármelyik elemének (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tagjának hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost a sorozat kvóciensének (hányadosának) nevezzük. Jele: q. TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy mértani sorozat első tagja a 1, kvóciense q, akkor n edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: a n = a 1 q n 1. TÉTEL: A különböző tagokból álló (a n ) mértani sorozat első n elemének összege: S n = a 1 qn 1 q 1. Megjegyzés: Amennyiben q = 1, akkor a sorozat első n tagjának összege: S n = n a 1. TÉTEL: A mértani sorozat bármely elemének négyzete (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával. Jelölés: a n 2 = a n k a n+k. Megjegyzés: Bármely elem abszolút értéke (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével. Jelölés: a n = a n k a n+k. 1
Kamatos - kamat számítása: Ha T n nel jelöljük az n edik év (vagy más időszak) végén felvehető összeget, T 0 lal az induló tőkét (a kezdetkor betett összeget), p vel a százaléklábat (évente ennyi százalékkal növekszik a betett összeg), n nel az évek (vagy más időszakok) számát, akkor a betett összeg növekedése a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p 100 )n. Az értékcsökkenés a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 p 100 )n. Gyűjtőjáradék számítása: Ha minden év elején ugyanakkora T 0 értéket teszünk be a bankba, s ez évente p százalékkal kamatozik, akkor az n edik év végén felvehető összeg a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p ) (1 + 100 p 100 )n 1 p 100. Törlesztőrészlet számítása: Ha egy T 0 nagyságú, p százalékos kamatozású kölcsönt kell visszafizetnünk n év alatt úgy, hogy minden évben ugyanakkora T n összeget fizetünk vissza, akkor a T n törlesztő részlet nagysága a következő képlettel írható le: T n = T 0 p (1 + 100 )n p 100 (1 + p 100 )n 1. Nevezetes összegek: Az első n pozitív természetes szám összege: 1 + 2 + 3 + + n = n (n+1) Az első n pozitív természetes szám négyzetének összege: 1 2 + 2 2 + n 2 = 2 n (n+1) (2n+1) 6 Az első n pozitív természetes szám köbének összege: 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n2 (n+1) 2 4 2
1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát. a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 A feladatnak két sorozat is megoldása, így mindkettőnek ki kell számolnunk a hiányzó adatát: q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = 2a 2 a 2 = 2 q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = ( 2) a 2 a 2 = 2 2. Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 2. Írd fel a sorozat általános (n - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 448? Írjuk fel a sorozat általános (n - edik) tagját: a n = a 1 q n 1 a n = 7 2 n 1 Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: S n = a 1 qn 1 q 1 S 5 = 7 25 1 2 1 = 217 Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen a n = 448, s számoljuk ki az n értékét. 7 2 n 1 = 448 2 n 1 = 64 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 2 n 1 = lg 64 (n 1) lg 2 = lg 64 n 1 = lg 64 lg 2 Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy n = 7. Ezek alapján a sorozat hetedik tagja a 448. 3
3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 18. Az ötödik és harmadik tag különbsége 36. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat a 1 és q segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 4 a 2 = 18 a 5 a 3 = 36 } a 1 q 3 a 1 q = 18 a 1 q 4 a 1 q 2 = 36 } a 1 q (q 2 1) = 18 a 1 q 2 (q 2 1) = 36 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: q = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 3. 4. Egy mértani sorozat második eleme 6, ötödik eleme 162. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát. a 5 = a 2 q 3 162 = 6q 3 q = 3 a 2 = a 1 q 6 = 3a 1 a 1 = 2 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő: 10 a n 999 10 2 3 n 1 999 15 3 n 1 498,5 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 15 n lg 3 lg 1498,5 lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 3 Ebből az n edik tagra azt kapjuk, hogy 2,5 n 6,65. Mivel n csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 3 n 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 4
5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 31. Az első és harmadik tag összege 26. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 3 = 26 a 1 + a 2 + a 3 = 31 } a 1 + a 1 q 2 = 26 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 31 } A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 5 q. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s azt kapjuk, hogy 5 + 5q = 26. q Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: 5q 2 26q + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 5 és q 2 = 1 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a q 2 nem felel meg a feladatnak. A q 1 = 5 visszahelyettesítése után a következő adódik: a 1 = 5 5 = 1. 6. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tagjának összege 14. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 112 a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5 = 14 } a 1 (1 + q + q 2 ) = 112 a 1 q 3 (1 + q + q 2 ) = 14 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 1 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 64. 5
7. Egy mértani sorozat harmadik tagja 36 tal nagyobb a másodiknál. E kéttag szorzata 243. Mennyi a sorozat első tagja? Legyen a 3 = a 2 + 36. Írjuk fel a szöveg alapján a következő egyenletet: a 2 (a 2 + 36) = 243. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: a 2 2 + 36a 2 + 243 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 21 = 9 és a 22 = 27. Ha a 2 = 9, akkor a 3 = 27 és q = 3. Ekkor a 1 = 3. Ha a 2 = 27, akkor a 3 = 9 és q = 1 3. Ekkor a 1 = 81. 8. Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is 12. Mennyi az első tíz tag összege? A szöveg alapján írjuk fel a következő egyenletet: 12 = ( 12) q 2. Ezt rendezve azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása q 1 = 1 és q 2 = 1. Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 10 ( 12) = 120. Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 12 ( 1)10 1 1 1 = 0. 9. Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az a n = 3 2 n sorozatból, hogy az összeg 1 milliónál nagyobb legyen? A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 6 és q = 2. Írjuk fel az első n tag összegét: 6 2n 1 2 1 1 000 000. Az egyenlőtlenség megoldása: n 17,34. Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez. 6
10. Egy számtani sorozat második tagja 7, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! A mértani sorozat tagjai: 7 d 7 + d 7 + 6d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 7 + d = 7 + 6d. 7 d 7 + d Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 3d = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 3. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis q = 1. Ha pedig d = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis q = 3 2. 11. Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5 öt, 6 ot, 9 et és 15 öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d a 2 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 5 a 2 + 6 a 2 + d + 9 a 2 + 2d + 15 A mértani sorozat alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 2 + 6 = a 2 + d + 9 a 2 d + 5 a 2 + 6 a 2 + d + 9 a 2 + 6 = a 2 + 2d + 15 a 2 + d + 9 } Az egyenletrendszert rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 2d. Ezt visszahelyettesítve adódik, hogy d 1 = 3 és d 2 = 3. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján q = 3 2. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3. Ez nem mértani sorozat. 7
12. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9 - cel, a harmadikat 6 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 9 a 2 + d 6 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 d 9 12 + d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 9 18 d 12 + d =. 9 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 6d 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 15 és d 2 = 9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a d 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján, ha d = 15, akkor a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, 27. 13. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 20. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 3 2d a 3 d a 3 a 3 + d a 3 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 3 d a 3 a 3 + 2d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 3 = 4. 8
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 d 4 4 + 2d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 4 = 4 + 2d 4 d 4. Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 2d 2 4d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 2d (d 2) = 0. Ebből következik, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 2. Ezek alapján, ha d = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8. Amennyiben d = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, 4. 14. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot 5 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d + 5 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 d 10 15 + d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 10 10 d = 15 + d 10. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 5d 50 = 0. 9
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 5 és d 2 = 10. Ezek alapján, ha d = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20. Amennyiben d = 10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, 5. 15. Egy mértani sorozat első három elemének összege 42. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? A számtani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 1 = 14 2d. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 2d 14 d 14 + 3d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 14 d 14 2d = 14 + 3d 14 d. Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 7d 2 42d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 7d (d 6) = 0. Ebből következik, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 6. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a 1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Amennyiben d = 6, akkor a 1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32. 10
16. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 1 - et, 14 - et és 2 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d 1 a 2 14 a 2 + d 2 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 d 36 48 + d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 36 49 d = 48 + d 36. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 d 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 33 és d 2 = 32. Ezek alapján, ha d = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81. Amennyiben d = 32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, 16. 17. Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 6 - ot, 7 - et és 12 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata 13 824. Határozzuk meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 6 a 2 + 7 a 2 + d + 12 A mértani sorozat elemeire igaz, hogy egy elem négyzete egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 d + 6) (a 2 + d + 12) = (a 2 + 7) 2. 11
A szöveg alapján így felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 + 7) (a 2 + 7) 2 = 13 824. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 d 24 29 + d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 24 23 d = 29 + d 24. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 6d 91 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 7 és d 2 = 13. Ezek alapján, ha d = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36. Amennyiben d = 13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, 16. 18. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 64. Ha az első elemhez hozzáadunk 1 et, a másodikhoz 4 et, a harmadikhoz pedig 5 öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q A számtani sorozat tagjai: a 2 q + 1 a 2 + 4 a 2 q + 5 A mértani sorozat tagjait összeszorozva a következő adódik: a 2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4 q + 1 8 4q + 5 A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbsége megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: 8 ( 4 + 1) = 4q + 5 8. q 12
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2 és q 2 = 1 2. Ezek alapján, ha q = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13. Amennyiben q = 1, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8, 7. 2 19. Egy mértani sorozat első tagja 0, 1. Az első négy tag összege 1 gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,1 q4 1 q 1 = q + 1. Ezt alakítsuk át a következőképpen: 0,1 (q2 + 1) (q 1) (q + 1) q 1 = q + 1. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy q 1 = 1, q 2 = 3 és q 3 = 3. Ezek alapján három sorozat is megfelel az adott feltételnek: Ha q = 1, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,1; a 3 = 0,1; a 4 = 0,1. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2,7. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2,7. 20. Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 20, a második és az ötödik szám szorzata 16. Melyik ez az öt szám? Legyen az öt szám: a; b; c; d; e. A számtani sorozat tulajdonságából a következő adódik: b + e = c + d. 13
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: b + e = 10 b e = 16 } Az első egyenletet átrendezve adódik, hogy b = 10 e. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe, a következő adódik: e 2 10e + 16 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai e 1 = 2 és e 2 = 8. Amennyiben e = 2, akkor b = 8. Ekkor a számtani sorozat tulajdonságából azt kapjuk, hogy c = 6 és d = 4. A mértani sorozat tulajdonságából pedig 8 a = 6 8 adódik, vagyis a = 32 3. Amennyiben e = 8, akkor b = 2. Ekkor a számtani sorozat tulajdonságából azt kapjuk, hogy c = 4 és d = 6. A mértani sorozat tulajdonságából pedig 2 = 4 adódik, vagyis a = 1. a 2 Ezek alapján a lehetséges számötösök: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2; 32 3. 21. A Papp család betesz a bankba 100 000 Ft - ot 5 évre, évi 7 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével a következő adódik: 100 000 1,07 5 = 140 255. Ezek alapján 5 év után kb. 140 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család. 22. Beteszünk a bankba 5 000 Ft - ot évi 11 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum 100 000 Ft - ot szeretnénk kivenni majd? A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 5 000 1,11 n 100 000 1,11 n 20 14
A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 1,11 n lg 20 n lg 1,11 lg 20 n lg 20 lg 1,11 28,7 Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 23. Egy autó ára újonnan 5 000 000 Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 3 év után 3 400 000 Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenletet: 5 000 000 (1 p 100 )3 = 3 400 000. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: p 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 24. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz 30 000 Ft - ot, mely év végén 5 % - ot kamatozik. 20 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Az első év végén kivehető összeg: 30 000 1,05. A második év végén: (30 000 1,05 + 30 000) 1,05 = 30 000 1,05 2 + 30 000 1,05. A huszadik év végén felvehető összeg: 30 000 1,05 20 + 30 000 1,05 19 + + 30 000 1,05 = 30 000 1,05 (1 + 1,05 + + 1,05 19 ) = 30 000 1,05 1 1,0520 1 1,05 1 1 041 578 Ezek alapján 20 év után kb. 1 042 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 15
25. Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az évente befizetett összeg: x. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: x 1,08. A második év végén: (x 1,08 + x) 1,08 = x 1,08 2 + x 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: x 1,08 30 + x 1,08 29 + + x 1,08 = x 1,08 (1 + 1,08 + + 1,08 29 ) = = x 1,08 1 1,0830 1 1,08 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1,08 1 1,0830 1 1,08 1 = 5 000 000. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x 40 868. Ezek alapján kb. 41 000 Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 26. Kovács Zoltán 30 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 9 millió kölcsönt, 15 évre évi 7 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. A 15. év végére visszafizetendő összeg: 9 000 000 1,07 15. Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: x 1,07 14 + x 1,07 13 + + x 1,07 2 + x 1,07 + x = = x (1 + 1,07 + 1,07 2 + + 1,07 14 ) = x 1 1,0715 1 1,07 1 16
Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1,0715 1 1,07 1 = 9 000 000 1,0715. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x 988 152. Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb. 988 000 Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 27. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft - ot 20 évre, évi 6 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 000 1,06 x. A második végén: (10 000 000 1,06 x) 1,06 x = 10 000 000 1,06 2 x 1,06 x. A huszadik év végén: 10 000 000 1,06 20 x 1,06 19 x 1,06 18 x 1,06 x = 10 000 000 1,06 20 x (1 + 1,06 + 1,06 2 + + 1,06 19 ) = 10 000 000 1,06 20 x 1 1,0620 1 1,06 1 Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 000 1,06 20 x 1 1,0620 1 1,06 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x 871 846. Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb. 872 000 Ft nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 17
28. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése 120 000 Ft lenne és minden hónapban 4 000 Ft tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése 80 000 Ft lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 3 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 5 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik e az álláspontja, ha legalább 6 évre tervez? Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András. Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja 120 000, differenciája 4000. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = 120 000 + 59 4000 = 356 000. Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = 120 000 + 356 000 2 60 = 14 280 000. A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja 80 000, kvóciense 1,03. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = 80 000 1,03 59 457 600. Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = 80 000 1,0360 1 1,03 1 13 044 000. Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania. Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket: S 72 = 2 120 000 + 71 4000 2 72 = 18 864 000 S 72 = 80 000 1,0372 1 1,03 1 19 733 000 Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb. 18
29. Egy 60 - os szög egyik szárán jelölünk ki egy P pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen P 1. Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból P 2 t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A PP 1 szakaszt jelöljük a 1 gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen az OP távolság x. Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát: a 1 = x sin 60 = x 3 2 ; a 2 = a 1 sin 30 = x 3 4 ; a 3 = a 2 sin 30 = x 3 8 ; A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: a 8 = x 3 2 (1 2 )7 = x 3 256 S 8 = x 3 ( 1 2 2 )8 1 3 1 = x 1 2 255 256 2 1 2 = x 255 3 256 1,725x 19
30. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy kisebb négyzetet. 100 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 2 2 ; a 2 = a 1 2 2 = 1 2 ; a 3 = a 2 2 2 = 2 4 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 2 2; K 2 = 2; K 3 = 2; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 1 2 ; T 2 = 1 4 ; T 3 = 1 8 ; A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 2 2, illetve q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: 100 S K100 = 2 2 ( 2 2 ) 1 9,657 2 2 1 S T100 = 1 2 (1 2 )100 1 1 2 1 = 1 20
31. A 7 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 3: 4 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 7; a 2 = a 1 5 7 = 5; a 3 = a 2 5 7 = 25 7 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 28; K 2 = 20; K 3 = 100 7 ; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 49; T 2 = 25; T 3 = 625 49 ; Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 5 25, illetve q =. 7 49 Ezek alapján a megoldások: a 7 = 7 ( 5 7 )6 = 15625 16807 0,93 S K7 = 28 (5 7 )7 1 5 7 1 3,17 S T7 = 49 (25 49 )7 1 25 49 1 = 49 21
32. Egy a oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara? Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen a négyzetek oldalhossza a 1 ; a 2 ;, a beírt körök sugarának hossza: r 1 ; r 2 ;. Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = a; a 2 = a 1 2 2 = a 2 2 ; a 3 = a 2 2 2 = a 1 2 ; Tekintsük az első néhány sugár hosszát: r 1 = a 1 1 2 = a 1 2 ; r 2 = a 2 1 2 = a 2 4 ; r 3 = a 3 1 2 = a 1 4 ; Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: K 1 = 4a; K 2 = a 2 2; K 3 = 2a; Tekintsük az első néhány kör kerületét: k 1 = a π; k 2 = a 2 2 π; k 3 = a 1 2 π; Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 2 2. 22
Ezek alapján a megoldások: a 6 = a ( 2 5 ) = a 2 2 8 r 6 = a 1 5 2 ( 2) = a 2 2 16 6 S ak6 = 4a ( 2 2 ) 1 2 2 1 = 4a 6 S rk6 = a π ( 2 2 ) 1 1 8 1 = 4a 2 2 2 = a π 7 (2 + 2) 2 2 1 2 7 4 7 (2 + 2) = a 11,95a 2 2 2 9,39a 33. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a 1 a 1 q a 1 q 2 Alkalmazzuk a Pitagorasz tételt: a 1 2 + a 1 2 q 2 = a 1 2 q 4. Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: q 4 q 2 1 = 0. Legyen b = q 2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy b 2 b 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = 1+ 5 A b 2 értéke nem felel meg a feladatnak. 2 és b 2 = 1+ 5 2. A b 1 visszahelyettesítése után a következő adódik: q 2 = 1 + 5. 2 A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: sin α = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = 2 1 + 5 α 38,17 cos β = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = 2 1 + 5 β 51,83 23